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基于Matlab 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算

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基于Matlab 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算（二）
3 运用MATLAB 对动力总成悬置系统固有特性的计算
3.1 理论计算
动力总成系统固有特性的计算, 即计算系统的固有频率和振型。

动力总成悬置系统无阻尼的自由振动微分方程:
式中: M——对称正定惯性矩阵;
K——对称正定刚度矩阵。

求多自由度振动系统的固有频率, 从数学上讲就是求特征值的问题:
设式（13）的解为: X=Xsin（ωt+a）
代入式（13）化简后得: KX=ω2MX
左乘M- 1 得: M- 1KX=ω2X （14）
令M- 1K=A, 则: AX=ω2X （15）
ω2 即为A 阵的特征值, X 为其特征向量。

由于M 对称正定, K 也是对称阵, 因而式（13）是广义特征值问题。

可用广义特征值的方法求得特征值及特征向量, 所求特征值即为系统的固有频率。

3.2 MATLAB 计算过程
Matlab 是Matrix Laboratory （矩阵实验室）的缩写, 它是由美国Mathwork 公司于1967 年推出的软件包, 已发展为一种功能强大的计算机语言, 特别适合于科学与工程计算。

（1）将动力总成系统质量参数代入式（6）可得惯性矩阵M。

（2）将各悬置点的位置参数及悬置块的主刚度代入, 可得EiBiDi。

再根据式（12）求得总体的刚度矩阵K。

（3）编制Matlab 程序, 由上述（1）、（2）得到矩阵M, K, 由式（14）、（15）即可求得A。

（4）由式（15）, 通过Matlab 命令eig （A）,即可求出矩阵A 的特征值ω2。

利用公式ω2=2πf,即可得到悬置系统的各个振动固有频率f。

4 振动占优方向的判定
在系统定坐标系中, 根据系统的质量矩阵[M] 及振型矩阵, 可以求出系统在做各阶主振动时的能量分布, 将它写成矩阵形式, 定义为能量分布矩阵[EG]j。

当系统以第j 阶固有频率振动时,此矩阵的（k, j）元素为:
式中:
[M]kl——质量矩阵的（k, j）元素;
{u（ j）}k——第j 阶振型列阵的第k 个元素;
{u（ j）}1——第j 阶振型列阵的第l 个元素;
ωj——为第j 阶固有频率。

根据此矩阵各行元素值总和的大小便可以判别出在系统以第j 阶固有频率振动时的占优方向。

在确定了系统的固有频率和固有振型以及相应的振动占优方向后, 便可以从避开共振频率这一理论来初步评价系统的隔振性能。

目录文尾口口口 m工程地质计算机应用 2004年 1 期总33期
-------------------------------------------------------------------------------- 应用MATLAB计算结构自振频率和振型的一种方法
关文阁杨黎萌魏翠玲（河北工程学院土木工程系河北邯郸 056038）
【摘要】本文从质量归一化原理出发，采用MATLAB工具箱中eig函数，推导出一个新的求解多质点弹性体系自振频率和振型的方法。

算例表明该方法比传统的雅可比方法更简捷更易
于应用。

【关键词】自振频率振型雅可比法特征值法 Matlab
当采用地震反应谱方法计算水平地震作用标准值时，需要求得模型结构的多个主振型及其相应的自振频率（周期）。

因此，计算多质点弹性体系的自由振动（包括自振周期、振型等）是进行结构抗震设计的必要步骤。

1 基本理论
多质点弹性体系的无阻尼自由振动方程
(1)
式中：为体系刚度矩阵；为体系质量矩阵。

方程（1）左乘整理后得
(2)
令则有
(3a)
或 (3b)
这是一个求特征值和特征向量问题。

该方程非零解的充要条件，是它的系数行列式等于零，即 (4)
式（4）称为方阵的特征方程。

称为方阵的特征值或特征根。

将所求得的个逐个回代到式（3b），解出 , 称为方阵与相对应的特征向量，也就是所要求解的第振型。

因此，求解体系的自振频率与振型问题也就是求解方阵的特征值和特征向量问题。

再利用公式(4)求出体系的频率。

(5)
1.1雅可比法
雅可比(Jacobi)法可以求解实对称阵的特征值和特征向量。

对式(4)首先需要把作对称化处理。

令 (6)
式中
则 (7)
代入式（2），得
等式两边左乘整理后得
即 (8)
式中为一实对称矩阵。

矩阵与有相同的特征值，但它们的特征向量之间存在式(4)的关系，所以，振型可用式(7)求得，即
(9)
用雅可比方法求解实对称矩阵的特征值和特征向量的基本原理是，寻找一个正交矩阵，使
(10)
式中，为一对角矩阵。

这时矩阵的个对角元素就是对称矩阵的个特征值；正交矩阵中的第列就是与对角矩阵中第个对角元素对应的特征向量。

所以，雅可比法实际上是运用平面旋转变换的方法消去矩阵中的非对角元素使其对角化。

具体步骤参见文献[1]。

1.2本文方法
本文采用MATLAB程序中eig函数求特征矩阵和特征值，应用质量归一化原理对特征矩阵变形就得到体系的振型矩阵。

再按(5)求得自振频率。

由质量归一化
(11)
令振型矩阵表示为
(12)
把(12)带入(11)得
(13)
式中表示由质量归一化原理求得，为特征矩阵转化到振型矩阵的系数，为一对角阵。

所以，
多质点弹性体系的振型矩阵可按(12)计算。

2 算例
设计长4m的钢筋混凝土悬臂梁模型。

混凝土强度标号为C30，弹性模量为210 GPa，截面面积A为200×200=40000mm2，重量密度q为25(kN.m-3)。

将悬臂梁均匀离散为2单元，考虑横向和转动位移，该单元为四个自由度。

用雅可比法和本文方法分别计算其自由振动频率和振型。

算例中、的具体求解见文献[2]，JACOBI法与本文方法所求特征值与特征向量见表１。

3 结论
本文介绍了求解多质点自振频率和振型的一些方法，并推导出一个新的求解多质点振频率和振型的方法。

该方法在理论推导中应用了质量归一化原理，计算中采用了MATLAB程序中eig 函数。

最后，通过一个悬臂梁算例，与传统的雅可比方法所得结果进行对比，结论表明本文方法具有程序简洁，计算效率快，计算结果精确(可精确到10～15)等优点。

表1 本文方法(不迭代)与Jacobi法(迭代9000次)计算结果对比
Frequency(1/s)
1st model
2nd model
3rd model
4th model
本文(103)
Jacobi(103)迭代6000次
Jacobi(103)迭代9000次
本文
Jacobi
本文
Jacobi
本文
Jacobi
本文
Jacobi
1.1482
1.1481
1.1482
-0.0478
0.0474
-0.0114
-0.0114
0.0729
0.0731
-0.0340
-0.0339
0.3956
0.3126
0.3956
-0.2454
0.2455
0.2147
0.2147
-0.0110
-0.0097
-0.0291
-0.0290
0.1170
0.2694
0.1171
-0.1886
0.1892
-0.1123
-0.1123
-0.1010
-0.1000
-0.1001
-0.1001
0.0185
0.0186
0.0185
-0.9114
0.9120
-0.2708
-0.2708
-0.1215
-0.1168
-0.0344
-0.0341
注：上表中Jacobi法所求振型为迭代9000次所得数据。

（收稿日期：2003-11-25；Email: guanwenge@）
参考文献
[1] 高振世等.建筑结构抗震设计[M].北京：中国建筑工业出版社,1997
[2] 夸克工作室.有限元分析基础篇ANSYS 和Matlab[M].北京：清华大学出版社2020.
-------------------------------------------------------------------------------- 目录文首。

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汽车振动学实验报告 2

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《汽车振动学》实验报告姓名:学号:班级: 2011级交通运输1班指导教师: 蒋淑霞实验主题:基于Matlab的汽车振动分析实验一：单自由度阻尼振动分析：包括欠阻尼 、临界阻尼和过阻尼一、 实验内容（1）将老师给的源程序读懂（包含临界阻尼和欠阻尼）。

（2）参考上述程序，改变阻尼比和画出不同阻尼比下的响应曲线共10条，并比较各响应曲线特性。

（3）同时考虑过阻尼曲线。

二、 实验前期准备与内容分析 阻尼自由振动：前面讲的自由振动系统没有考虑阻力的影响，实际由于阻力的存在系统机械能不可能守恒，振动中这种阻力称为阻尼，如摩擦阻尼、电磁阻尼、介质阻尼和结构阻尼。

对于实际系统中的阻尼很难确定，工程中最常见的一种阻尼力学模型是粘性阻尼，如在流体中运动、在润滑表面的滑动。

粘性阻尼力与相对速度成正比:c ：粘性阻尼系数，或阻尼系数，单位：N ·s/m建立平衡位置坐标系，受力分析：阻尼力、弹性力、重力.得到动力学方程:其中，固有频率： 相对阻尼系数: 三、 实验代码与结果 第一种情况：零界阻尼ksai=1 %零界阻尼,ksai 表示为阻尼比 k=10^3; m=4;w0=sqrt(k/m); %固有频率 v0=10; %初始速度 x0=5; %初始位移 t=(0:300)/100;x1=exp(-w0*t).*(x0+v0*t) axes(handles.axes1)plot(t,x1) %在图形axes1中输出图像 xlabel('时间 （s ）'); %x 坐标表示时间 ylabel('位移 （mm ）'); %y 坐标表示位移第二种情况：欠阻尼ksai=0.2 %阻尼比为0.2 k=10^3;1,...,2.0,1.0=εm=4;x0=5 %初始位移v0=10 %初始速度w0=sqrt(k/m); %固有频率wd=sqrt(1-ksai^2)*w0; %阻尼固有频率t=(0:300)/100;x2=exp(-ksai*w0*t).*(x0*cos(wd*t)+((v0+ksai*w0*x0)/wd)*sin(wd*t ))y=x0*exp(-ksai*w0*t) %渐近线axes(handles.axes2)plot(t,x2,'k',t,y,'g--') ; 在axes2输出图像hold on;ksai=0.4 %阻尼比0.4k=10^3;m=4;x0=5 %初始位移v0=10 %初始速度w0=sqrt(k/m); %固有频率wd=sqrt(1-ksai^2)*w0; %阻尼固有频率t=(0:300)/100;x2=exp(-ksai*w0*t).*(x0*cos(wd*t)+v0*sin(wd*t))axes(handles.axes2)plot(t,x2,'y')hold on;ksai=0.6 %阻尼比0.6k=10^3;m=4;x0=5 %初始位移v0=10 %初始速度w0=sqrt(k/m); %固有频率wd=sqrt(1-ksai^2)*w0; %阻尼固有频率t=(0:300)/100;x2=exp(-ksai*w0*t).*(x0*cos(wd*t)+v0*sin(wd*t))axes(handles.axes2)plot(t,x2,'m')hold on;legend('欠阻尼0.2','零界线','欠阻尼0.4','欠阻尼0.6') %对曲线进行命名xlabel('时间（s）');ylabel('位移（mm）');第三种情况：过阻尼ksai=2 %阻尼比为2k=10^3;m=4;x0=5 %初始位移v0=10 %初始速度w0=sqrt(k/m); %固有频率w1=w0*sqrt(ksai^2-1);t=(0:300)/100shw1t=(exp(w1*t)-exp(-w1*t))/2chw1t=(exp(w1*t)+exp(-w1*t))/2x3=exp(-ksai*w0*t).*(x0*chw1t+((v0+ksai*w0*x0)/w1)*shw1t) axes(handles.axes3);plot(t,x3)xlabel('时间（s）');ylabel('位移（mm）');在gui中输出结果：实验二：单自由度简谐振动幅频相频特性曲线一、实验内容1.观察单自由度简谐振动的幅频相频特性曲线。

基于Matlab的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算

基于Matlab的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算


摘要： 介绍了计算发动机橡胶悬置系统固有频率和主振型的过程， 并利用 Ｍａｔｌａｂ 编程。通过程序运行， 快速获得
悬置振动系统的固有频率， 并对振动占优方向进行判定， 也为进一步分析系统的响应打下了必要的基础。
关键词： 发动机悬置； 固有频率； 主振型； ＭＡＴＬＡＢ； 自由振动； 刚度矩阵； 惯性矩阵； 振动占 优方向
∑ｎ
Ｔ＝
ｉ＝１
１ ２
ｍｉｖｉ２
＝
１ ２
Ｊθ" ｘ２＋
１ ２
Ｊ
θ" ｙ２＋
１ ２
Ｊθ" ｚ２－
（Ｊｘｙθ" ｘθ" ｙ＋Ｊｙｚθ" ｙθ" ｚ＋Ｊｚｘθ" ｚθ" ｘ）
１ Ｔ＝ ２
$
%
" ｍ %
ｘ%
%
%
ｙ" ｍ %
%
%
"%
ｚ ｍ %
%
%
θ" Ｊ － Ｊ %
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%
%
θ" － Ｊ Ｊ %
%
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θ" － Ｊ － Ｊ %%
( (
ｉ
+ +
( (
(
+(
Δｙ ＝ ０ (
+(
( ｉ+ (
(
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Δｚ ０ (
+(
) ｉ, )
０ １ ０
０ ０ １
０ － ｚｉ
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ｚ － ｙ ｙ ｉ ０－ ｘ ｘ０ ｚθ θ ｉ
//
ｉ ｉ
* + +
/ / / /
基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算

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基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算阅读：25212010-04-13 21:38标签：杂谈可参考文涛，基于Matlab语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型计算分析，2007对于无阻尼系统[VEC,VAL]=eig(inv(A)*K)对于有阻尼系统，参考振动论坛计算程序输入M，D，Kfunction [v,w,zeta]=vbr_sf(m,d,k)%vbr_sf vbr_sf(m,d,k)% [v,w,zeta]=vbr4(m,d,k)% function vbr_sf finds the mode shapes and natural frequencies of% a linear second order matrix equation. 有阻尼二阶矩阵方程% [v,w]=vbr_sf(m,k) finds the mode shapes and natural frequencies % for the undamped case.if nargin==2k=d;[v,w]=eig(m\k);w=sqrt(w);endif nargin==3if norm(d/m*k-k/m*d) < 1e-8*norm(k/m*d)%disp('Damping is proportional, eigenvectors are real.')[v,w]=eig(m\k);w=sqrt(w);zeta=(v'*m*v)\(v'*d*v)/2/w;else%disp('Damping is non-proportional, eigenvectors are complex.') a=[0*k eye(length(k));-m\k -m\d];[v,w1]=eig(a);w=abs(w1);zeta=-real(w1)/w;endendw=diag(w);zeta=diag(zeta);振动系统的特性包括固有特性，固有特性一般指的是没有激励对应数学齐次方程的特征，也就是特征解，包括特征值（物理上常称固有频率）和特征向量（物理上常称振型）。

基于MATLAB的前悬架车辆振动特性

基于MATLAB的前悬架车辆振动特性

基于MATLAB的前悬架车辆振动特性吕宝占;高辉松;张莹;朱思洪;王晖云【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(028)005【摘要】以国产某型号无悬架车辆参数为例,在建立二自由度双轴车辆振动模型和分析其固有频率的基础上,建立了三自由度双轴前悬架车辆的动力学模型,以积分白噪声随机路面作为激励,运用MATLAB/SIMULINK对两种动力学模型进行了仿真分析,在仿真过程中,通过改变前悬架系统的参数,得出了悬架的不同刚度和阻尼对车辆振动特性的影响规律.仿真结果表明:安装前悬架使车身垂直振动加速度、俯仰振动角加速度的均方根值都有明显降低,有效的改善了无悬架车辆的行驶平顺性和驾驶的舒适性;但同时也发现,安装前悬架使车身俯仰振动角位移的均方根值略有增大.【总页数】5页(P13-17)【作者】吕宝占;高辉松;张莹;朱思洪;王晖云【作者单位】南京农业大学,工学院,江苏,南京,210031;南京农业大学,工学院,江苏,南京,210031;南京农业大学,工学院,江苏,南京,210031;南京农业大学,工学院,江苏,南京,210031;南京农业大学,工学院,江苏,南京,210031【正文语种】中文【中图分类】U463.33【相关文献】1.基于MatLab的车辆振动响应幅频特性分析 [J], 陈俊杰;李兆凯;范传帅;刘伟2.基于Matlab的矿用汽车后悬架侧倾特性运动学分析 [J], 戴正阳;孙凯德3.基于MATLAB/Simulink的油气悬架非线性阻尼特性分析 [J], 吕宝占;刘志怀;朱思洪4.基于MATLAB两自由度1/4车辆悬架模型动态特性分析 [J], 杨鑫5.基于MATLAB的拖拉机座椅悬架振动特性分析软件的开发 [J], 周旖鋆;赵明飞;周晶莹;吴义孝;王坤;朱跃因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。