结构力学专题十四(近似法求自振频率)

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12.11近似法计算自振频率

解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。
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(2)求 Yi i 1,2,3：
3
Yi
Yi1
r i
mr
g
ki
于是，可得
3
Y1
r 1
mr
g
k1
m1
m2 k1
m1
m2
m3 B
y (t)
1
y (x,t )
y2(t) y3(t)
x
T
1 2
l 0
m
xyx,
t
2
d
x
1 2
i
mi
yi t
2
y
x
1 2 cos2 (t )
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2 cos2 t
0
2
i
mi Yi 2
其最大值为:
Tmax
1 2
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2
为-0.05%，-0.7%，-4.8%。
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l2
l2
(3)计算前三个频率：
ml 6
ml 8 ml 4 ml 4 ml 4 ml 8
3
l4 l4 l4 l4
将体系简化为三个自由度体系，如图所示，可解得
1
9.865 l2
EI , m
2
39.2 l2
EI , m
3
84.6 l2
EI m

建筑工程之结构力学讲义两个自由度体系的自由振动(参考2)

1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2

2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与第一振型相近
2

120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
整理得： (12 22 )(m1Y11Y12 m2Y21Y22 ) 0
因 1 2 ，则存在：
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0 (15.51)
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。3
由功的互等定理：
(m112Y11)Y12 (m212Y21)Y22 (m122Y12 )Y11 (m222Y22 )Y21
D

11m1

1
2
21m1
12m2
22m2

1
2
0
令

1
2
2 (11m1 22m2 ) (11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 2

1 2
(11m1
22m2 )
1
1
1
(11m1 22m2 )2 4(11 22 12 21)m1m2

2

0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9

9.87 l2
EI m

混凝土结构的自振频率计算方法

混凝土结构的自振频率计算方法一、引言混凝土结构的自振频率是一个重要的结构动力学参数，它反映了结构的固有振动特性。

在结构设计、施工和使用过程中，准确计算混凝土结构的自振频率对于保证结构安全、优化结构设计和控制结构振动有着至关重要的作用。

本文将介绍混凝土结构的自振频率计算方法，包括自振频率的定义、计算公式、计算方法和影响因素等方面，旨在为混凝土结构的设计、施工和使用提供参考。

二、自振频率的定义混凝土结构的自振频率是指结构在没有外界激励的情况下，由结构自身固有的初始状态开始，自由振动产生的频率。

它是结构动态响应的基本参数之一，与结构的质量、刚度和阻尼等物理特性有关。

自振频率的单位为赫兹（Hz），表示结构在单位时间内振动的次数。

一般来说，自振频率越高，结构的刚度越大，振动频率越快，结构的响应越剧烈。

三、自振频率的计算公式混凝土结构的自振频率可以通过以下公式计算：f = 1/2π × √(k/m)其中，f为自振频率；k为结构的刚度；m为结构的质量。

刚度和质量是影响自振频率的两个关键参数，它们的计算涉及到结构的几何形状、材料性质和构造方式等多个因素。

这些因素的影响将在后文中详细介绍。

四、自振频率的计算方法混凝土结构的自振频率计算方法一般分为两种，即理论计算和实测测量。

1. 理论计算法理论计算法是通过计算结构的质量和刚度来确定自振频率的方法，它是一种常用的、经济有效的计算方法。

该方法的具体步骤如下：（1）确定结构的几何形状和尺寸，包括截面形状、截面尺寸、长度和高度等参数。

（2）确定结构的材料性质，包括混凝土弹性模量、钢筋弹性模量、混凝土密度、钢筋密度等参数。

（3）计算结构的质量，包括混凝土质量和钢筋质量。

其中，混凝土质量可通过截面尺寸、混凝土密度和长度计算得出；钢筋质量可通过截面尺寸、钢筋密度和长度计算得出。

（4）计算结构的刚度，包括弹性刚度和塑性刚度。

弹性刚度可通过结构的几何形状、材料性质和受力状态计算得出；塑性刚度可通过结构的截面形状、材料性质和受力状态计算得出。

结构自振周期的近似计算

3.5.3 结构自振周期的近似计算通过结构的频率方程求自振周期比较复杂，这里介绍几种近似计算方法。

动能为势能为由能量守恒，有例.已知：解:3.6 竖向地震作用《规范》规定：设防烈度为8度和9度区的大跨度屋盖结构、长悬臂结构、烟囱及类似高耸结构和9度区的高层建筑，应考虑竖向地震作用。

效应：使建筑物上下颠簸F F3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响规范规定：对于质量及刚度明显不均匀、不对称的结构，应考虑水平地震作m用的扭转影响。

刚心)(tug质心分析过程：[受弯钢筋凝土构件的滞回曲线滞回模型：描述结构或构件滞回关系的数学模型。

双线性模型双线性模型一般适用于钢结构梁、柱、节点域构件。

钢筋混凝土梁、柱、墙等一般采用退化三线性模型。

退化三线性模型结构非弹性地震反应分析的简化方法适用范围：不超过12层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构和填充墙钢筋混凝土框架结构；不超过20层且层刚度无突变的钢框架结构和支撑钢框架结构；式中：N N a h +−5.0)(/---系数，混凝土强度等级不超过C50时，取1.0，C80时为0.94，by二、结构薄弱层位置判别结构薄弱层：塑性变形集中的楼层，即ζy 最小或相对较小的楼层对于ζy 沿高度分布均匀的框架结构，底层作为薄弱层。

3.9 结构抗震验算3.9.1 结构抗震计算方法原则(1 ) 一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用，并进行抗震验算各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。

(2 )有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15°时，应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。

(3) 质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震作用下的扭转影响，其他情况，应允许采用调整地震作用效应的方法计入扭转影响。

(4) 不同方向的抗侧力结构的共同构件（如框架角柱），应考虑双向水平地震作用的影响。

(5)8、9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。

结构力学第十四章总结

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第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki (a) k1 k2 (b) k3
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和. k=k1+k2+k3
k1 k2 k3 k 2 2 2 1 2 3 m m
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
(3) 最大位移和最大内力的计算振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。 5. 阻尼对振动的影响 r 1 2 (1) 考虑阻尼时体系的自振频率 c 其中, 为阻尼比, c为阻尼系数。 2m 通常ξ很小，一般结构可取 r≈ 。 (2) 阻尼比的确定。利用有阻尼体系自由振动时振幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。 y 1 ln k
2
T1 T2 T3
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。
A k1 B k2 m (a) k1 k2 m (b)
解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系，竖向振动频率为

k m
k1 k 2 m(k1 k 2 )
返回
y1 (t ) F sin t 1P FI111
2 EI [ Y " ( x )] dx 2 i 2 2 m [ Y ( x )] d x m Y 0 i i l 0

自振频率计算公式例题解析

自振频率计算公式例题解析在物理学中，自振频率是指一个物体在没有外力作用下，以自然频率进行振动的频率。

这个概念在工程学和物理学中都有着重要的应用，因此了解如何计算自振频率是非常重要的。

本文将通过例题的解析，帮助读者更好地理解自振频率的计算公式和应用。

自振频率的计算公式如下：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]其中，f代表自振频率，k代表弹簧的弹性系数，m代表物体的质量。

这个公式告诉我们，自振频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关，而与振幅和阻尼无关。

现在，让我们通过一个例题来解析自振频率的计算过程。

例题，一个质量为2kg的物体悬挂在一个弹簧上，当物体受到外力拉伸弹簧10cm后，弹簧的弹性系数为200N/m。

求这个系统的自振频率。

解析：首先，我们可以利用胡克定律来计算弹簧的弹性系数。

胡克定律表示弹簧的弹性系数与弹簧的弹性形变成正比，即F=kx，其中F为弹簧的弹力，k为弹性系数，x为弹性形变。

根据题目给出的信息，我们可以得到：\[k = \frac{F}{x} = \frac{200N}{0.1m} = 2000N/m\]接下来，我们可以利用自振频率的计算公式来计算系统的自振频率。

根据公式：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]代入已知的数值，我们可以得到：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2000N/m}{2kg}}\]\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{1000}\]\[f = \frac{1}{2\pi}\times 31.62\]\[f ≈ 5Hz\]因此，这个系统的自振频率约为5Hz。

通过这个例题的解析，我们可以看到自振频率的计算过程并不复杂。

只需要利用弹簧的弹性系数和物体的质量，就可以轻松地计算出系统的自振频率。

这个公式在工程学和物理学中都有着广泛的应用，可以帮助工程师和科学家们更好地设计和研究振动系统。

结构力学：第十章结构动力学6

越准。
5
例用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频率方程：
[k] 2[m] 0
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最初两个频率近似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%）说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
用不同的集中质量方案求
出对称振动和反对称振动
的自振频率。
最小频率对应着反对称振型
1.5m
2ml

《结构力学习题》(含答案解析)

第三章静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。

2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。

3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。

4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。

6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。

M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。

8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。

a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。

二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。

q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。

EI = 常数，a = 2m 。

a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。

EI = 常数。

l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数，M =⋅90kN m , P = 30kN 。

求D 点的竖向位移。

P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。

ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数。

q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。

EI ＝常数。

l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。

EI＝常数。

18、求图示刚架中D点的竖向位移。

E I = 常数。

qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。

l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。

ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。

结构自振周期和振型的计算

框架—剪力墙结构。
4、矩阵迭代法（略）
(二)、经验公式
剪力墙结构体系 TT11 00..0055NN 框—剪结构体系 TT11 00..006655NN
一般砖混结构的周期为0.3s左右。
(三)、试验方法 1、自由振动法 2、共振法
N为建筑的层数。
由动能等效：T1max T2max
T1ma x
1 2
n i 1
mi ( xi )2
T2 max
1 2
Meq ( xm )2
等效质量 Meq
mi xi2 xm2
最后得到基频 k
M eq
T1 2 Meq
折算质量法计算结构的基本周期，来自用于将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单
质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等
弯剪型
T1 1.7 T
顶点位移单位为米,
可用于计算一般多高层框架结构的基本周期，顶点位移的计算，按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产生的顶点位移.
弯曲型
剪切型
弯剪型
弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构
剪切型变形：以剪力产生的变形为主，如框架结构
弯剪型变形：弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如
体系的最大位能：
1
多质点体系 Umax 2 F max
xn (t)
1 {X }T [K ]{X }
xi (t)
2
体系的最大动能：
多质点体系
Tmax
1 2
vmax
2
m
1 2{ X }T [M ]{ X }
2
体系按基本频率1作自由振动，相应的基本振型取一种近似形式，即假设各质点的重力荷载Gi作为水平作用产生的弹性变形曲线.

结构自振频率的几种计算方法

2.1 单跨梁的质量化为均布质量的方法
该方法主要是运用能量法原理，即根据能量守恒定理，结构体系在振动过程中，如果不计阻尼的影响,则任何时刻位能与动能之和始终为一常数[1]。如果体系在平衡位置时的位能为零,其动能为最大Umax ,而体系在极限位置(最大位移) 时的动能为零，其位能为最大Wmax ，则有：
=
1 2
L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
-2-

∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
ω2 = 0
dx 2
L
(3)
∫ my(2x)dx
0
令式(2) 和式(3) 的自振频率相等，则：
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
= ωy(x) cos(ωt + φ)
∫ ∑ U
=
1 2
L 0
mu
(
∂y( x,t) ∂t
)
2
dx
+
1 2
n j =1
m
j
( ∂y(x,t) ∂t
)2
∫ ∑ =
1ω2 2
cos2 (ωt
L
+ φ ) mu y(2x) dx +
0
1 2
n
m jω 2 cos2 (ωt
j =1
+
φ
)
y
2 j
式中： y j 为集中质量 m j 处的振型曲线值，L ω 2 cos2 (ωt + φ ) 为梁的跨度。

结构自振频率的几种计算方法
பைடு நூலகம்
袁明亮
河海大学土木学院，江苏南京（210098）

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设 y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2(x)
cos 2 (
t
)dx
Tmax
1 2
2
mY
2
(x)dx
U(t)
EI 2
Y ( x)2
sin 2 (
t
)dx
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx mY ( x)2 dx
m, EI
l
13.54(1/ s)
精确解 1 13.36(1/ s) 误差 1.35%
（四）、位移曲线的确定
（2）只有均布质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg产生;
动能 :
Tmax
1 2
m[Y (x)]2 2dx
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mgY (x)dx
2
mgY ( x)dx
（三）、分布质量与集中质量同时存在
设: y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2 (x) cos2 ( t )dx
n
1 2
2
miYi2 cos2 ( t )
i 1
Tm a x
1 2
2
mY
2 ( x)dx
1 2
2
n
miYi
2
i 1
U(t)
EI 2
Y ( x)2
mY 2 ( x)dx
例3：用能量法求图示体系的频率。
设y(x)由q mg产生
m, EI
l
Y ( x)
1 24EI
mg(x4
2Lx3
L3 x)
9.88 L2
EI m
精确解
2
1
L2
EI m
误差 0.07%
（四）、位移曲线的确定
（3）同时存在均布质量和集中质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg和mi g产生;
已知: m 180t, k 98MN/m。
设 : Y T 1 2 3
13.37(1/ s) 1
误差
m3 m m2 1.5m k3 k m1 1.75m k2 2k
k1 2.5k
0.075%
设: Y T 1 1 1
17.9(1/ s) 1
误差 34.0%
（二）、无限自由度体系
（1）只有集中质量时
动能 :
Tm a x
1 2
n
miYi
2
2
i 1
n
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mi gYi
i 1
n
mi gYi
2
i 1
n
miYi
2
i 1
例１：用能量法求图示体系的频率。
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
Y2
3mg 2k
Y1
3mg 2k
mg k
5mg 2k
§10-5 近似法求自振频率
二、能量法求结构基频目的：求结构的基频
假定：不考虑阻尼影响原理：能量守恒定理：
动能＋应变能＝总能量＝常数
（一）、有限自由度体系
设体系按某振型振动
y(t) Ysin( t )
T(t)
1 2
n
miYi
2
2
cos 2 (
t
)
1 2
2
cos 2 (
t
)YT M Y
i 1
动能 :
Tm a x
1 2
m[Y
(x)]2 2dx
1 2
n
miYi2
2
i 1
n
应变能(荷载作功) :
Umax
1 2
mgY (x)dx
1 2
mi gYi
i 1
n
2
mgY ( x)dx mi gYi
i1
n
EI Y ( x) 2 dx
n
mY 2 ( x)dx miYi2
mY 2 ( x)dx miYi2
U(t)
1 2
n
n
kijYiYj
sin 2 (
t
)
Hale Waihona Puke 1 2sin 2 (
t
)
Y
T
K
Y
i1 j 1
n
Tmax
1 2
2
miYi 2
1 2
2
Y
T
M
Y
i 1
nn
Umax
1 2
kijYiYj
1 2
YT K Y
i1 j 1
nn
2
kijYiY j i 1 j 1
n
miYi2
YT K Y YT M Y
sin 2 (
t
)dx
m1 mi mn m, EI
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx
mY
(
x)2
dx
n
miYi
2
i 1
（四）、位移曲线的确定
对于求基频，通常以结构重力产生的位移曲线作为
｛Ｙ｝或Ｙ（ｘ）的近似表达式；如果水平振动，则重力沿水平方向作用。
这时应变能可用荷载作功表示。
§10-5 近似法求自振频率
一、集中质量法简化为单自由度体系：
9.8 L2
EI m
误差 0.73%
m, EI
l
简化为两个自由度体系：
1
9.86 L2
EI m
2
38.18 L2
EI m
误差 0.11% 误差 3.3%
简化为三个自由度体系：
2
39.19 L2
EI m
误差 0.73%
第十章结构动力计算
2 22 k
43 m
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
精确解
2 1
1 2
k m
误差 2.3%
例2：用能量法求图示体系的频率。
已知: m 180t, k 98MN/m。
Y T 1.70 2.95 3.95
m3 m m2 1.5m k3 k m1 1.75m k2 2k
k1 2.5k
i1
i1
作业： 14-12
i 1
例１：用能量法求图示体系的频率。
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
设 : Y T 1 0.5
2 k
2m
2 1
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
设 : Y T 1 1
2 2 k
m
2 2
设 : Y T 1 1
2 2k
3m
2 1
误差 33.3%
例2：用能量法求图示体系的频率。