时域数学模型

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。

在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。

下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。

二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。

一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。

这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。

2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。

通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。

对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。

3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。

与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。

对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。

一、连续系统的时域分析1.连续系统的时域分析模型在系统的时域分析方法，连续系统的基本数学模型是用微分方程来表示。

引入特殊的算子(即运算符号)后，可以根据系统的微分方程得到连续系统另外一种重要的时域模型，称为传输算子。

此外，系统还可以用图形化的模型来表示其内部结构和功能,称为系统的方框图。

这里还将借助于算子得到系统方框图的算子模型（1）微积分算子在连续系统中，对连续信号的求导和求积分分别用微分算子p和积分算子1/p表示，强调一点，用微积分算子表示信号的微积分时，算子必须写在信号的前面，例如pf(t)不能写为f(t)p。

（2）连续系统的算子模型将系统微分方程中的求导用微分算子表示后，得到系统的算子方程，进一步得到系统的传输算子H(p)。

传输算子是系统时域分析中采用的基本数学模型，本章介绍系统的零输入响应和单位冲激响应都是根据系统的传输算子直接求解，而不是用数学方法通过微分方程求解。

2.连续系统的方框图方框图是用一些基本运算单元的组合表示系统对输入信号的运算和变换功能，是系统一种图形化的模型。

必须熟悉连续系统中各基本运算单元的表示符号及其代表的运算，能正确分析方框图中各信号之间的运算关系。

为了对系统进行分析，求解其响应，必须根据方框图求得系统的数学模型(传输算子、微分方程等)。

为了简化数学模型的求取，将方框图中所有的基本运算单元用其算子模型表示，从而得到方框图的算子模型。

其中主要是将方框图中的所有积分器用1/p表示。

3.连续系统的零输入响应零输入响应指的是在系统当前输入为零时，由t=0~时刻系统的初始状态引|起的响应。

系统的初始状态一般以零输入响应yx(t)及其各阶导数在t=0-时刻的取值表示,即y x(0-)、y’x(0-)、y’’x(0-)...这些取值作为已知数据，用于确定零输入响应中的待定系数。

零输入响应的具体函数形式完全决定于系统的特征根。

特征根根据系统传输算子的分母多项式求得。

每个特征根决定零输入响应中的一项，具体根据特征根是单根还是重根,按以下两式得到零输入响应函数表达式，即4.连续系统的单位冲激响应单位冲激响应简称单位响应，指的是在单位冲激信号d (t)作用下系统的零状态响应，记为h(t)。

电容的时域表达式
纯电阻电路
只有含有电阻（纯电阻负载）的交流电路成为纯电阻电路。

例：白炽灯、电阻炉、电烙铁等。

时域数学模型： u(t)=R i(t)
电容电路
如果把电接到交流电源上，由于交变电压时刻在变化，电极板上的电荷也就时刻在交替发生充放电，使电路中有电流流通，即呈通路状态。

电容量不同，电流也不相同。

时域数学模型： q(t)=Cu(t)
u(t)=\frac{1}{C} \int_{0}^{t}i(t) dt
电感电路
电感线圈是电工电子技术中最常用的元件之一，象电动机、变压器、交流接触器、断路器、继电器等等电气设备。

如果线圈中通过电流，电流会产生磁场，就会有磁通穿过线圈，当电流发生变化时，穿过线圈的磁通也随着发生变化，
从而在线圈的自身引起感应电动势——自感电动势。

自感电动势具有对抗电流变化的性质。

时域数学模型： \phi(t)=Li(t)
u(t)=L\frac{di(t)}{dt}
请看。

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统是指由两个一阶系统级联或并联组成的动态系统。

它的数学模型可以表示为如下形式：$$s^2Y(s) + 2ξω_nsY(s) + ω_n^2Y(s) = X(s)$$其中，$s$是复频域变量，$Y(s)$和$X(s)$分别是系统的输出和输入拉普拉斯变换形式；$ξ$是阻尼比，$ω_n$是自然频率。

为了进行时域分析，我们需要将模型转换为时域表示。

我们可以通过拉普拉斯逆变换对模型进行求解。

首先，我们可以将拉普拉斯变换模型转换为分母为二次方程的形式：$$s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2 = 0$$这是一个特征方程，也称为二阶系统的特征方程。

根据特征方程的解，我们可以获得系统的阻尼比和自然频率。

特别地，当阻尼比$ξ$小于1时，系统被称为欠阻尼；当阻尼比$ξ$等于1时，系统被称为临界阻尼；当阻尼比$ξ$大于1时，系统被称为过阻尼。

根据不同的阻尼比，我们可以对系统的时域响应进行分类：1.欠阻尼情况下，系统的时域响应会产生振荡。

振荡的频率为阻尼比与自然频率的乘积。

2.临界阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，但不会产生振荡。

3.过阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，没有振荡，并且速度较快。

在实际应用中，我们经常需要对二阶系统的时域响应进行分析和设计。

常见的时域响应指标包括步响应、阶跃响应和频率响应。

这些响应可以通过对特征方程进行求解来获得。

对于步响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的过渡时间、最大超调量和静态误差等信息。

通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。

对于阶跃响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的上升时间、峰值时间和调节时间等信息。

同样，通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。

对于频率响应，我们可以通过将特征方程转换为复频域变量来获得系统的频率响应函数。

频率响应函数可以帮助我们分析系统在不同频率下的增益和相位变化。