2015-2016学年浙江省杭州市萧山三中高一上学期期中数学试卷和解析
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2015-2016学年浙江省杭州市萧山三中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）M={x∈R|x≥2}，a=π，则下列四个式子①a∈M；②{a}∈M；③a⊆M；④{a}∩M={π}，其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．①③2．（3分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx B．C．D．3．（3分）已知函数y=x2的值域是[1，4]，则其定义域不可能是（）A．[1，2]B．[，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，﹣1）∪{1}4．（3分）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限5．（3分）下列关系式中正确的是（）A． B．C． D．6．（3分）若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）=aφ（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上存在最大值5，则f（x）在（﹣∞，0）上存在（）A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值﹣1 D．最大值﹣37．（3分）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定8．（3分）若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）9．（3分）已知函数，给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2），则下列区间可作为E的是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2） D．（3，6）10．（3分）已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，15）D．（20，24）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．（4分）计算=．12．（4分）幂函数f（x）=kxα（k，α∈R）的图象经过点，则k+α=．13．（4分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1）．则当x＞0时f（x）=．14．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为．15．（4分）已知不等式9x2﹣log a x＜0，当时恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）下列几个命题：（1）函数f（x）=x n+a x﹣1（n∈Z，a＞0，a≠1）的图象必过点（1，2）；（2）f（x）=+是偶函数，但不是奇函数；（3）函数y=f（x）值域是[﹣3，3]，则函数y=f（x﹣2）值域是[﹣1，5]；（4）设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）图象关于y轴对称；（5）y=|3﹣x2|图象与直线y=a有k个公共点，则k的值不可能是1；上述五个命题中所有正确的命题序号是．17．（4分）设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：（本大题共4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（10分）已知集合A={x|﹣2＜x＜5}，集合，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，（1）求A∩B，A∪B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．19．（10分）设函数f（x）=a﹣，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．20．（10分）已知x满足不等式x2≥（3x﹣2），求函数f（x）=log 2•log2的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若方程f（x）=g（x）有两个不同的解，求出实数a的取值范围；（2）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]的最大值．2015-2016学年浙江省杭州市萧山三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）M={x∈R|x≥2}，a=π，则下列四个式子①a∈M；②{a}∈M；③a⊆M；④{a}∩M={π}，其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．①③【解答】解：根据条件知：a是集合M的元素，故a∈M．而包含一个元素的集合{a}中的元素都是集合M的元素，且2∈M，但2∉{a}，所以{a}⊆M．故选：B．2．（3分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx B．C．D．【解答】解：A中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；B中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；C中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；D中的两个函数即f（x）=2﹣x和g（x）==2﹣x，这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，因此，是同一个函数，故选：D．3．（3分）已知函数y=x2的值域是[1，4]，则其定义域不可能是（）A．[1，2]B．[，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，﹣1）∪{1}【解答】解：根据函数y=x2在[1，2]上单调递增，故函数的值域是[1，4]，故选项A正确；根据函数y=x2在[﹣，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，故函数的值域是[0，4]，故选项B不正确；根据函数y=x2在[﹣2，﹣1]上单调递减，故函数的值域是[1，4]，故选项C正确；根据函数y=x2在[﹣2，﹣1）上单调递减，则函数在[﹣2，﹣1）∪{1}上的值域是[1，4]，故选项D正确；故选：B．4．（3分）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限【解答】解：∵a＞1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选：B．5．（3分）下列关系式中正确的是（）A． B．C． D．【解答】解：由于y=在（0，+∞）上是增函数，故．由于y=在（0，+∞）上是减函数，故，故有，故选：D．6．（3分）若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）=aφ（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上存在最大值5，则f（x）在（﹣∞，0）上存在（）A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值﹣1 D．最大值﹣3【解答】解：根据题意，f（x）=aφ（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上存在最大值5，即当x＞0时，有aφ（x）+bg（x）+2≤5，即aφ（x）+bg（x）≤3，又由φ（x），g（x）都是奇函数，则aφ（x）+bg（x）也为奇函数，故当x＜0时，aφ（x）+bg（x）=﹣[aφ（﹣x）+bg（﹣x）]≥﹣3，则当x＜0时，f（x）=aφ（x）+bg（x）+2≥﹣3+2=﹣1，即f（x）在（﹣∞，0）上存在最小值﹣1，故选：C．7．（3分）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定【解答】解：已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），二次函数的图象开口向上，对称轴为x=﹣1，0＜a＜3，∴x1+x2=1﹣a∈（﹣2，1），x1与x2的中点在（﹣1，）之间，x1＜x2，∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴f（x1）＜f（x2），故选：A．8．（3分）若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵函数f（x）=是R上的增函数，∴，解得：a∈[4，8），故选：D．9．（3分）已知函数，给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2），则下列区间可作为E的是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2） D．（3，6）【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），因为y=log2t递增，而t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）上递减，在（3，+∞）上递增，所以函数f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（3，+∞），由题意知，函数f（x）在区间E上单调递减，则E⊆（﹣∞，﹣1），而（﹣3，﹣1）⊆（﹣∞，﹣1），故选：A．10．（3分）已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，15）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，15）．故选：C．二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．（4分）计算=．【解答】解：原式=﹣1+=4﹣1+=．故答案为：．12．（4分）幂函数f（x）=kxα（k，α∈R）的图象经过点，则k+α=﹣1．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k，α∈R）的图象经过点，∴k=1，=9，解得：α=﹣2则k+α=﹣1，故答案为：﹣1．13．（4分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1）．则当x＞0时f（x）=x（x+1）．【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x）∵当x＜0时，f（x）=x（x﹣1）．∴当x＞0时，﹣x＜0∴f（x）=f（﹣x）=﹣x（﹣x﹣1）=x（x+1）．故答案为：x（x+1）．14．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为（0，）∪（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log2x）＞0，可化为：f（|log2x|）＞f（2），又f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴|log2x|＞2，∴log2x＞2或log2x＜﹣2，∴x＞4或0＜x＜．故答案为（0，）∪（4，+∞）15．（4分）已知不等式9x2﹣log a x＜0，当时恒成立，则实数a的取值范围是[，1）．【解答】解：不等式9x2﹣log a x＜0，当时恒成立⇔log a x＞9x2，当时恒成立，∴[log a x]min＞[9x2]max，又0＜a＜1，∴y=log a x在区间（0，）上单调递减，又y=9x2在区间（0，）上单调递增，∴log a≥9×=1，∴≤a＜1，故答案为：[，1）．16．（4分）下列几个命题：（1）函数f（x）=x n+a x﹣1（n∈Z，a＞0，a≠1）的图象必过点（1，2）；（2）f（x）=+是偶函数，但不是奇函数；（3）函数y=f（x）值域是[﹣3，3]，则函数y=f（x﹣2）值域是[﹣1，5]；（4）设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）图象关于y轴对称；（5）y=|3﹣x2|图象与直线y=a有k个公共点，则k的值不可能是1；上述五个命题中所有正确的命题序号是①④⑤．【解答】解：（1）∵f（x）=x n+a x﹣1（n∈Z，a＞0，a≠1），∴f（1）=1n+a1﹣1=1+1=2，故函数的图象必过点（1，2），即（1）正确；（2）由得4≤x2≤4，即x2=4，x=±2，∵f（2）=f（﹣2）=0，f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴f（x）=+是偶函数，也是奇函数，故（2）错误；（3）因为函数y=f（x﹣2）是由函数y=f（x）向右平移2个单位得到的，图象上下没有平移，值域不变，是[﹣3，3]，故（3）错误；（4）∵1﹣x+（x﹣1）=0，函数y=f（x）定义域为R，∴函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）图象关于y轴对称，（4）正确；（5）∵y=|3﹣x2|，直线y=a有k个公共点，其图象如下，由图知，当a＜0时，无公共点；当a=0或a＞3时有两个公共点；当0＜a＜3时有四个公共点；∴y=|3﹣x2|图象与直线y=a有k个公共点，k的值不可能是1，（5）正确．综上所述，上述五个命题中所有正确的命题序号是①④⑤．故答案为：①④⑤．17．（4分）设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：∵4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，∴m≤=（0≤x≤1）恒成立，令f（x）=2﹣2x+2﹣x+1=（2﹣x+）2+，∵x∈[0，1]，∴2﹣x∈[，1]，f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=3，∴m≤，故答案为：（﹣∞，]．三、解答题：（本大题共4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（10分）已知集合A={x|﹣2＜x＜5}，集合，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，（1）求A∩B，A∪B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|﹣2＜x＜5}，集合={x|2＜2﹣x ＜24}={x|﹣4＜x＜﹣1}∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}，A∪B={x|﹣4＜x＜5}．（2）集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，∵A∪C=A，∴C⊆A，当C=∅时，满足题意，此时m+1＞2m﹣1，解得：m＜2．当C≠∅时，要使C⊆A成立，需满足，解得：2≤m≤3综上可得实数m的取值范围是（﹣∞，3]．19．（10分）设函数f（x）=a﹣，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则=，∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：a=1．∴．∵2x+1＞1，∴，∴，∴﹣1＜f（x）＜1所以f（x）的值域为（﹣1，1）．20．（10分）已知x满足不等式x2≥（3x﹣2），求函数f（x）=log 2•log2的最大值和最小值．【解答】解：∵x2≥（3x﹣2），∴，即，即，解得1≤x≤2，则log2x∈[0，1]，f（x）=log2•=（log2x﹣1）（log2x﹣2）==﹣，故当log2x=0时，f（x）max=2，当log2x=1时，f（x）min=0．21．（12分）已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若方程f（x）=g（x）有两个不同的解，求出实数a的取值范围；（2）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]的最大值．【解答】解：（1）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）；（3）令F（x）=f（x）•g（x），①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴x=，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，F（x）=，对称轴x=，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即≤a≤2，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴x=，此时F max（x）=F（）=，④当a＞4时，对称轴x=∈（2，+∞），此时F（x）max=F（2）=2a2﹣4a；综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值F（x）=．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
