2019-2020广东省深圳市宝安中学高一(下)晚测数学试卷

广东省深圳市宝安中学(高中部)2019-2020学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】综合题．【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．【点评】此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．2. 已知f(e x+e-x+1)=e2x+e-2x,则f(x)=( )A.x2+2(x≥2)B.x2-2(x≥2)C.x2-2x(x≥3)D.x2-2x-1(x≥3)参考答案：D3. 已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，）C．（，）D．[，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质可知，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，从而可求得f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围．【解答】解：令x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）＞f（0）=0，∵f（x）为奇函数，∴﹣f（x1）＞﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＜f（x2）＜0，∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数；∵f（2x﹣1）＜f（），∴2x﹣1＜，∴x＜．∴满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（﹣∞，）．故选A．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，分析得到f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数是关键，属于中档题．4. 如图，定点A和B都在平面内，定点 C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点参考答案：B5. 下列命题中正确的是 ( )A．一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行．B．平行于同一直线的两个平面平行．C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．D．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．参考答案：A6. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种参考答案：C【分析】先把5名学生分成3组，再分配到3个社区即可求得结果。

2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷一、单选题1．若i （1﹣z ）＝1，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i2．平面向量|a →|=1，|b →|=4，(2a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π43．已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则a →在b →上投影向量的坐标为（ ） A ．（√22，√22） B ．（12，12）C ．（√2，√2）D ．（1，1）4．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，ω＞0，A ＞0）的部分图像如图所示，若将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）的解析式可以为（ ）A ．g(x)=2√2sin(3x +π4) B ．g(x)=2√2cos(3x +π4) C ．g(x)=2√2sin(3x −π4)D ．g(x)=−2√2cos(3x −π4)5．如图，已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，点M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列平面中与BB 1垂直的平面是（ ）A ．平面A 1C 1DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面AB 1C6．在△ABC 中，已知a +b =atanA +btanB ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形7．如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以B 为圆心的圆与AC 相切，P 为圆上一点，且∠ABP =2π3，若AP →=λAB →+μAD →，则λμ的值为（ ）A ．11√325B ．√325C ．13√325D ．13√358．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ∥平面CND 1，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5二、多选题9．已知复数z 满足z ﹣2i ＝zi +4，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 的模为√10B ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为﹣1+3iD ．(z−13)2023=−i10．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝sin x +cos x ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增B ．f （x ）的图象可由g （x ）的图象平移得到C ．f （x ）图象的对称轴均为g （x ）图象的对称轴D ．函数y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√212．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，△ABC 的面积S 满足(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，点O 为△ABC 的外心，满足AO →=λAB →+μAC →，则下列结论正确的是（ ） A ．S ＝6 B ．CB →⋅AO →=10C ．|AO →|=2√213D ．λ=2−2√33三、填空题 13．计算：sin47°−sin17°cos30°cos17°= ．14．将边长为20的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A ′B ′C ′，则A ′C ′＝ ．15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD 区域建一处湿地公园．已知∠DAB ＝90°，∠DBA ＝45°，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝60°，AB =2√2千米，则CD ＝ 千米．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B 1﹣AMCD ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ； ②存在某个位置，使得CN ⊥AB 1； ③存在某个位置，使得AD ⊥MB 1； ④四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大值为√24．上面说法中所有正确的序号是 ．四、解答题17．（10分）已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．18．（12分）已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴． （2）当x ∈[−π8，3π8]时，求函数f （x ）的单调增区间． 19．（12分）如图，在Rt △P AB 中，P A ⊥AB ，且PA =2√3，AB ＝2，将△P AB 绕直角边P A 旋转2π3到△P AC处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC （不含端点）上的一个动点．（1）是否存在点D ，使得BC ⊥PD ？若存在，求出∠CAD 的大小；若不存在，请说明理由； （2）当四棱锥P ﹣ABDC 体积最大时，求C 沿圆锥侧面到达点D 的最短距离．20．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ﹣2b cos A ＝b ． （1）求证：A ＝2B ；（2）若A 的角平分线交BC 于D ，且c ＝2，求△ABD 面积的取值范围．21．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE =√3．（1）求多面体ABCDE的体积．（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF∥平面ADE？说明理由；22．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，记OA＝a（单位：10m）．（1）在△ABC中，求cos∠ABC的值；（2）若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）如图（3）所示，点P 在水平地面上的投影为P0．①用θ表示PP0，BP0，BP的长；②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239（单位：10m），求实数a 的取值范围．2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．若i （1﹣z ）＝1，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i解：i （1﹣z ）＝1，则1﹣z =1i =−i ，故z ＝1+i ，其虚部为1． 故选：C ．2．平面向量|a →|=1，|b →|=4，(2a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解：设a →与b →的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵(2a →+b →)⊥a →，∴(2a →+b →)⋅a →=2a →2+a →⋅b →=0， ∵|a →|=1，|b →|=4，∴2+1×4×cos θ＝0，解得cos θ=−12， ∴a →与b →的夹角是2π3．故选：C ．3．已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则a →在b →上投影向量的坐标为（ ）A ．（√22，√22） B ．（12，12）C ．（√2，√2）D ．（1，1） 解：向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则|b →|=√12+12=√2，a →⋅b →=2×√2×cos π3=√2，故a →⋅b →|b →|×b→|b →|=√2√2×√2=(√22，√22)．故选：A ．4．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，ω＞0，A ＞0）的部分图像如图所示，若将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）的解析式可以为（ ）A ．g(x)=2√2sin(3x +π)B ．g(x)=2√2cos(3x +π)C ．g(x)=2√2sin(3x −π4) D ．g(x)=−2√2cos(3x −π4)解：由图知，最小正周期T =43（11π12−5π12）=2π3，所以ω=2πT=3， 又f （11π12）＝A ，所以A sin （3•11π12+φ）＝A ，即sin （11π4+φ）＝1，所以11π4+φ=π2+2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π−9π4，k ∈Z ，当k ＝1时，φ=−π4，此时f （x ）＝A sin （3x −π4）， 因为f （π2）＝﹣2，所以A sin （3•π2−π4）＝﹣2，即A sin5π4=−√22A ＝﹣2， 所以A ＝2√2，所以f （x ）＝2√2sin （3x −π4），因为将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，所以g （x ）＝2√2sin[3（x +π6）−π4]＝2√2sin （3x +π4）． 故选：A ．5．如图，已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，点M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列平面中与BB 1垂直的平面是（ ）A ．平面A 1C 1DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面AB 1C解：延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1交于一点P ，取PB 中点Q ，连接AQ ，CQ ，如图所示：因为正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，所以P ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱锥， 因为AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，且△P A 1B 1∽△P AB ， 所以A 1B 1AB=PB 1PB，即46=PB 1PB 1+2，解得PB 1＝4，所以PB ＝P A ＝AB ＝6，即△P AB 为等边三角形，因为Q 为PB 中点，所以AQ ⊥PB ，且QB ＝3，同理可得CQ ⊥PB ， 因为BB 1＝2，所以QB 1＝1，即QB 1QB=13，因为M ，N 为A 1B 1，B 1C 1中点，所以MB 1＝NB 1＝2， 故QB 1MB 1=12=QB AB，QB 1NB 1=12=QB CB，因为∠QB 1M ＝∠QBA ，∠QB 1N ＝∠QBC ， 所以△QB 1M ∽△QBA ，△QB 1N ∽△QBC ， 所以∠QMB 1＝∠QAB ，∠QNB 1＝∠QCB ， 因为MB 1∥AB ，NB 1∥CB ， 所以M 在AQ 上，N 在CQ 上，因为AQ ⊥PB ，CQ ⊥PB ，所以AM ⊥PB ，CN ⊥PB ，即AM ⊥BB 1，CN ⊥BB 1，因为AM ⊂平面AMCN ，CN ⊂平面AMCN ，AM ∩CN ＝Q ，所以BB 1⊥平面AMCN ． 故选：C ．6．在△ABC 中，已知a +b =a tanA +btanB，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形解：因为a +b =atanA +btanB ， 所以sin A +sin B =sinAsinAcosA+sinBsinB cosB=cos A +cos B ，整理可得sin A ﹣cos A ＝﹣sin B +cos B ，所以√2sin （A −π4）=−√2sin （B −π4）， 又因为A ，B ∈（0，π）， 所以A −π4∈（−π4，3π4），B −π4∈（−π4，3π4），所以A −π4=−（B −π4），可得A +B =π2， 所以△ABC 的形状一定是直角三角形． 故选：B ．7．如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以B 为圆心的圆与AC 相切，P 为圆上一点，且∠ABP =2π3，若AP →=λAB →+μAD →，则λμ的值为（ ）A ．11√325B ．√325C ．13√325D ．13√35解：过点P 做PE ⊥AB 交AB 延长线于点E ，如图所示：因为矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，所以AC =√42+32=5， 因为P 为圆上一点，所以BP 为圆的半径，因为圆与AC 相切，根据△ACB 面积相等可得：12AB ⋅BC =12AC ⋅BP ，即12⋅4⋅3=12⋅5⋅BP ，解得BP =125，因为∠ABP =2π3，所以∠PBE =π3，所以BE =65，PE =6√35， 因为PE ⊥AB ，所以PE ∥AD ，因为AD ＝3，PE =6√35，所以PEAD =6√353=2√35，所以EP →=2√35AD →，因为BE =65，AB ＝4，所以AE =265，所以AEAB =2654=1310，所以AE →=1310AB →，所以AP →=AE →+EP →=1310AB →+2√35AD →=λAB →+μAD →，故{λ=1310μ=2√35，所以λμ=13√325．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ∥平面CND 1，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5解：如图，取棱BC 的中点E ，连接DE ，B 1E ，ME ， 因为M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，所以在△BCD 1中，ME ∥CD 1，由于ME ⊄平面CND 1，CD 1⊂平面CND 1， 所以ME ∥平面CND 1，因为B 1N ∥CE ，B 1N ＝CE ，所以，四边形CNB 1E 为平行四边形， 所以CN ∥B 1E ，因为CN ⊂平面CND 1，B 1E ⊄平面CND 1， 所以B 1E ∥平面CND 1，因为B 1E ∩ME ＝E ，B 1E ，ME ⊂平面B 1EM ， 所以平面B 1EM ∥平面CND 1， 由于M 为体对角线BD 1的中点，所以，连接B 1M 并延长，直线B 1M 必过D 点， 故取A 1D 1中点F ，连接B 1F ，FD ，DE ， 所以由正方体的性质易知FD 1∥CE ，FD 1＝CE ，所以四边形CD 1FE 是平行四边形，EF ∥CD 1，EF ＝CD 1， 因为ME ∥CD 1，ME =12CD 1，所以E ，F ，M 共线，即F ∈平面B 1EM ，所以四边形B 1EDF 为点P 的轨迹，故A 选项错误；由正方体的棱长为1，所以四边形B 1EDF 的棱长均为√52，且对角线为EF =√2，B 1D =√3，所以四边形B 1EDF 为菱形，周长为2√5，故CD 选项错误， 由菱形的性质知，线段MP 的最大值为12B 1D =√32，故B 选项正确． 故选：B ．二、多选题9．已知复数z满足z﹣2i＝zi+4，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为√10B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为﹣1+3i D．(z−13)2023=−i解：因为z﹣2i＝zi+4，所以（1﹣i）z＝4+2i，z=4+2i1−i=2(1+i)(2+i)(1+i)(1−i)=1+3i，有|z|=√11+32=√10，故A正确；复数z在复平面内所对应的点为（1，3），位于第一象限，故B错误；复数z的共轭复数为z＝1﹣3i，故C错误；因为(z−13)2023=i2023=−i，故D正确．故选：AD．10．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A．B．C．D．解：对于A选项，由下图可知MN∥DE∥AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC，A正确．对于B 选项，设H 是EG 的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB ∥NH ，MN ∥AH ∥BC ，AM ∥CH ，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，B 错误．对于C 选项，如下图所示，根据正方体的性质可知MN ∥AD ，由于AD ⊄平面ABC ，所以MN ⊄平面ABC ，所以C 错误．对于D 选项，设AC ∩NE ＝D ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以MN ∥BD ，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，D 正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝sin x +cos x ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增B ．f （x ）的图象可由g （x ）的图象平移得到C ．f （x ）图象的对称轴均为g （x ）图象的对称轴D ．函数y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√2解：f （x ）＝sin x cos x =12sin2x ，g （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），选项A ，由x ∈（0，π4）知，2x ∈（0，π2），x +π4∈（π4，π2），又函数y ＝sin x 在（0，π2）上单调递增，所以f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增，即A 正确；选项B ，f （x ）的图象需由g （x ）的图象经过平移和伸缩变换得到，即B 错误； 选项C ，令2x =π2+k 1π，k 1∈Z ，则x =π4+k 1π2，k 1∈Z ， 所以f （x ）图象的对称轴为x =π4+k 1π2，k 1∈Z ，令x +π4=π2+k 2π，k 2∈Z ，则x =π4+k 2π，k 2∈Z ， 所以g （x ）图象的对称轴为x =π4+k 2π，k 2∈Z ， 所以g （x ）图象的对称轴均为f （x ）图象的对称轴，即C 错误； 选项D ，f （x ）max =12，g （x ）max =√2，而当x =π4时，f （x ）max =12与g （x ）max =√2可同时成立， 所以y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√2，即D 正确．故选：AD ．12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，△ABC 的面积S 满足(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，点O 为△ABC 的外心，满足AO →=λAB →+μAC →，则下列结论正确的是（ ） A ．S ＝6B ．CB →⋅AO →=10C ．|AO →|=2√213D ．λ=2−2√33解：∵(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，且b ＝4，c ＝6， ∴b 2+c 2−a 2+2bc =(4√3+8)⋅12bcsinA ， ∴2bccosA +2bc =(2√3+4)bcsinA ， ∴48cosA +48=48(√3+2)sinA ， ∴cosA +1=(√3+2)sinA ，∴cos 2A +2cosA +1=(7+4√3)(1−cos 2A)，解得cosA =√32或﹣1（舍去），∴sinA =12，∴S =12bcsinA =12×4×6×12=6，A 正确； 如图，O 为△ABC 的外心，则：CB →⋅AO →=(AB →−AC →)⋅AO →=AB →⋅AO →−AC →⋅AO →=|AB →||AO →|⋅12|AB →||AO →|−|AC →||AO →|⋅12|AC →||AO →|=12|AB →|2−12|AC →|2=12c 2−12b 2=18−8=10，B 正确； ∵AO →=λAB →+μAC →，∴{AO →⋅AB →=λAB →2+μAB →⋅AC →AO →⋅AC →=λAB →⋅AC →+μAC →2，且AO →⋅AB →=18，AO →⋅AC →=8，AB →2=36，AC →2=16，AB →⋅AC →=bccosA =12√3， ∴{36λ+12√3μ=1812√3λ+16μ=8，化简得{6λ+2√3μ=33√3λ+4μ=2，解得λ=2−2√33，μ=2−3√32，D 正确；根据余弦定理，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝16+36−2×4×6×√32=52−24√3=4(13−6√3)，∴a =2√13−6√3， 根据正弦定理，asinA=2√13−6√312=2R =2|AO →|，∴|AO →|=2√13−6√3，C 错误．故选：ABD ． 三、填空题 13．计算：sin47°−sin17°cos30°cos17°=12．解：sin47°−sin17°cos30°cos17°=sin(30°+17°)−sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°cos17°=12．故答案为：12．14．将边长为20的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A ′B ′C ′，则A ′C ′＝ 5（√6−1） ．解：由题意，在平面直角坐标系中，三角形ABC 是边长为20的正三角形，∴AB＝BC＝20，BC边上的高为ℎ=10√3，按“斜二测”画法如下图所示：∴B′D′=C′D′=12BC=10，A′D′=12ℎ=12×10√3=5√3，在三角形A'C'D'中，∠A'D'C'＝45°，由余弦定理得，A′C′=√A′D′2+C′D′2−2A′D′⋅C′D′cos∠A′D′C′=√(5√3)2+102−2×5√3×10×cos45°= 5(√6−1)．故答案为：5(√6−1)．15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB=2√2千米，则CD＝2√3千米．解：由题意可知，ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，所以2√2sin(180°−30°−45°−60°)=ACsin(45°+60°)，即2√2sin45°=ACsin45°cos60°+cos45°sin60°，所以4=AC√6+√24，所以AC=√6+√2，又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，所以△ABD为等腰直角三角形，所以AD=AB=2√2，在△DAC中由余弦定理得CD=√AC2+AD2−2⋅AC⋅ADcos∠DAC=√(√6+√2)2+(2√2)2−2(√6+√2)×2√2cos(90°−30°)=2√3，所以CD=2√3．故答案为：2√3．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B 1﹣AMCD ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ； ②存在某个位置，使得CN ⊥AB 1； ③存在某个位置，使得AD ⊥MB 1； ④四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大值为√24． 上面说法中所有正确的序号是 ①④ ．解：如图，分别取AB 1，AD 的中点为E ，F ，连接EN ，EM ，B 1F ，FM ，因为AB 1，B 1D 的中点分别为E ，N ，所以EN ∥AD ∥MC ，且EN =12AD ＝MC ，即四边形ENCM 为平行四边形，故EM ∥NC ，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ，故①正确；因为∠AB 1M ＝90°，所以AB 1与EM 不垂直，由EM ∥NC 可知，AB 1与NC 不垂直，故②错误； 由题意AB 1⊥B 1M ，若AD ⊥MB 1，则由线面垂直的判定可得MB 1⊥平面AB 1D ，则MB 1⊥B 1D ， 因为AM ＝MD ，所以△AMB 1与△MB 1D 全等，则AB 1＝B 1D ＝1，此时点B 1与点F 重合，不能形成四棱锥B 1﹣AMCD ，故③错误；如图，取AM 的中点为G ，连接B 1G ，B 1G =√22，当B 1G ⊥平面AMCD 时，四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大，最大值为13（1+2）×1×√22=√24，故④正确；故答案为：①④． 四、解答题17．（10分）已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365， （2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911． 18．（12分）已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴．（2）当x ∈[−π8，3π8]时，求函数f （x ）的单调增区间． 解：（Ⅰ）f(x)=sinx ⋅cosx +12cos2x +12=12sin2x +12cos2x +12 =√22sin(2x +π4)+12， ∴函数f （x ）的最小正周期T =2π2=π； 由2x +π4=k π+π2，解得x =kπ2+π8，k ∈Z ； （Ⅱ）当x ∈[−π8，3π8]时，2x +π4∈[0，π]， ∴当2x +π4∈[0，π2]即x ∈[−π8，π8]时，函数f （x ）单调递增， 即函数f （x ）的单调增区间为[−π8，π8]．19．（12分）如图，在Rt △P AB 中，P A ⊥AB ，且PA =2√3，AB ＝2，将△P AB 绕直角边P A 旋转2π3到△P AC处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC （不含端点）上的一个动点．（1）是否存在点D ，使得BC ⊥PD ？若存在，求出∠CAD 的大小；若不存在，请说明理由； （2）当四棱锥P ﹣ABDC 体积最大时，求C 沿圆锥侧面到达点D 的最短距离．解：（1）∵在圆锥中，P A ⊥底面ABC ， ∴P A ⊥BC ， 若BC ⊥PD ，∵PD ∩P A ＝P ，∴BC ⊥平面P AD 即可， 则BC ⊥AD ，即可，∵AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，∴AD 是BC 边上的中垂线即可， 即当D 是弧BC 的中点时，满足BC ⊥PD ，此时∠CAD =12×2π3=π3．（2）在四棱锥P ﹣ABDC ，高P A ＝2√3是定值，要使四棱锥P ﹣ABDC 体积最大，则只需要四边形ABCB 的面积最大即可，设∠CAD ＝θ，（0＜θ＜2π3），则∠BAD =2π3−θ， 设圆锥底面半径为R ，则R ＝AB ＝2，则ABCB 的面积S ＝S △CAD +S △BAD =12R 2sin θ+12R 2sin （2π3−θ）＝2sin θ+2sin （2π3−θ）＝2sin θ+√3cos θ+sin θ＝3sin θ+√3cos θ＝2√3（√32sin θ+12cos θ）＝2√3sin （θ+π6）， ∵0＜θ＜2π3，∴π6＜θ+π6＜5π6， 则当θ+π6=π2时，即θ=π3时，ABCB 的面积S 最大，此时四棱锥P ﹣ABDC 体积最大，此时D 为BC ̂的中点，其中BC ̂=2π3×AC =4π3，将圆锥的侧面展开后得到扇形如图： ∵PA =2√3，AB ＝2， ∴母线PB =√PA 2+AB 2=4，则圆心角∠CPB =4π34=π3，∵D 是BĈ的中点， ∴∠CPD =12∠CPB =π6， 则CD 2＝PC 2+PB 2﹣2PC •PB cosπ6=16+16﹣2×4×4×√32=32﹣16√3=8（4﹣2√3）＝8（√3−1）2， 则CD =√8×（√3−1）＝2（√6−√2）．20．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ﹣2b cos A ＝b ． （1）求证：A ＝2B ；（2）若A 的角平分线交BC 于D ，且c ＝2，求△ABD 面积的取值范围． 证明：（1）∵c ﹣2b cos A ＝b ，∴由正弦定理可得，sin C ﹣2sin B cos A ＝sin B ， ∵A +B +C ＝π， ∴sin （A +B ）＝sin C ，∴sin （A +B ）﹣2sin B cos A ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ＝sin B ， ∴sin （A ﹣B ）＝sin B ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈（0，π2），B ∈（0，π2），∴A ﹣B ∈(−π2，π2)，∵y ＝sin x 在（−π2，π2）上单调递增，∴A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ； （2）解：∵A ＝2B ，∴在△ABD 中，∠ABC ＝∠BAD ， 由正弦定理可得，AD sinB=AB sin(π−2B)=2sin2B，∴AD ＝BD =1cosB ，∴S △ABD =12AB ×AD ×sinB =12×2×1cosB×sinB =tanB ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0＜B ＜π20＜2B ＜π20＜π−3B ＜π2，解得π6＜B ＜π4， ∴tanB ∈(√33，1)，∴△ABD 面积的取值范围为（√33，1）． 21．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE =√3．（1）求多面体ABCDE 的体积．（2）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ？说明理由；解：（1）如图，在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，垂足点为H ，又平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴BH ⊥平面ACD ，∵△ABC 和△ACD 均为正三角形，∴H 为AC 中点，DH ⊥AC ，又平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴DH ⊥平面ABC ，又BE ⊥平面ABC ，∴DH ∥EB ，又EB ⊄平面ACD ，DH ⊂平面ACD ，∴EB ∥平面ACD ，∴E 到平面ACD 的距离等于B 到平面ACD 的距离，即为BH ，又AC ＝4，BE =√3，∴BH ＝DH =2√3，∴多面体ABCDE 的体积为：V E ﹣ABC +V E ﹣ACD =13×12×4×4×√32×√3+13×12×4×4×√32×2√3=12；（2）由（1）可知四边形DHBE 为直角梯形，DH ＝2EB ，且H 为AC 中点，取DH的中点G，连接GB，则易知GB∥DE，又GB⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴GB∥平面ADE，再取AH的中点F，连接GF，FB，则GF∥AD，同理可证GF∥平面ADE，又GF∩GB＝G，∴平面BGF∥平面ADE，又BF⊂平面BGF，∴BF∥平面ADE，∵H为AC中点，F为AH的中点，∴AC＝4AF，故AC上存在点F，且AC＝4AF，使得BF∥平面ADE．22．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，记OA＝a（单位：10m）．（1）在△ABC中，求cos∠ABC的值；（2）若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）如图（3）所示，点P 在水平地面上的投影为P0．①用θ表示PP0，BP0，BP的长；②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239（单位：10m），求实数a的取值范围．解：设DC＝m，则BD＝8m，所以在△ABD和△ABC中，分别利用余弦定理得：cos∠ABC=a8m=a2+81m2−a22⋅9m⋅a=9m2a，所以a2＝36m2，所以a＝6m，则cos∠ABC=3 4；（2）根据题意，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239，即(PB)max≤√239，过点P作PQ⊥l于点Q，连接BQ，PB，要使PB尽可能的大，则点P在直线m的上方部分，且Q在点A的右侧，如图，设PQ＝h，AQ＝x，a≤h≤a+6，由于PQ垂直底面ABC，在Rt△OPE中，（h﹣a）2+x2＝36，则h2+a2+x2﹣2ah＝36，所以PB=√BQ2+PQ2=√AB2+AQ2−2AB⋅AQ⋅(−34)+PQ2=√a2+x2+32ax+ℎ2=√36+2aℎ+32ax=√36+a(2ℎ+32x)，令{ℎ=a+6cosθx=6sinθ，则2h+32x＝2a+12cosθ+9sinθ＝2a+15sn（θ+φ）≤2a+15（其中tanφ=34），所以(PB)max=√36+2a2−15a≤√239，即2a2+15a﹣203≤0，所以（a﹣7）（2a+29）≤0，解得a≤7，所以实数a的取值范围（6，7]．。

2019-2020学年广东省高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．133．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．204．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．119．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.610．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.9512．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取名．15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．13【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7＝a3+4d，代入数据计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝a3+4d＝（﹣1）+2×4＝7；故选：A．3．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】由样本的频数等于样本容量与频率的乘积可得所求．解：频数为50×0.18＝9．故选：A．4．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的一组向量．解：A.，∴共线，不能作为基底；B．﹣1×7﹣2×5≠0；∴不共线，可以作为基底；C.；∴共线，不能作为基底；D.；∴共线，不能作为基底．故选：B．5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性直接求解．解：∴0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，b＝（）﹣0.1＞（）0＝1，c＝＜0，∴b＞a＞c．故选：B．6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．解：∵，，∴，且，∴．故选：D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．解：因为A＝，B＝，a＝6，则由正弦定理，可得b＝＝＝2．故选：B．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．11【分析】由题意利用等比数列的性质，对数的运算性质，求得结果．解：因为a6＝3，所以，log3a1+log3a2+log3a3+...+log3a11＝log3（a1a2a3 (11)＝＝log3311＝11，故选：D．9．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.6【分析】设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M ＝{抽到三等奖或幸运奖}，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）．解：奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M＝{抽到三等奖或幸运奖}，P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.1﹣0.25＝0.65．故选：C．10．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解解：由题意可得，＝∴＝＝﹣故选：D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.95【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得n，然后逐一核对四个选项得答案．解：，，∴样本点的中心为（2，），代入＝0.95x+2.6，得，解得n＝4.3．故A正确；∵y关于x的线性回归方程为，∴变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x＝6，则求得，但不能断定y的值一定是8.3，故C错误；若x的值增加1，则y的值约增加0.95，故D正确．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）【分析】由已知利用余弦定理可求c＝，可求cos A＝，由已知可求范围b2∈（12，18），求得范围b2+∈（，），即可得解cos A的范围．解：因为a＝3，a2＝3b cos B+b2cos A，所以9＝3b•+b2•，所以bc＝9，所以c＝，则cos A＝＝．因为b∈（2，3），所以b2∈（12，18），所以b2+∈（，），则cos A∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是10．【分析】直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a＞0，∴5a+≥2＝10（当且仅当5a＝也即a＝1时，等号成立）．故答案为：10．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取28名．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解：高三学生人数：3600﹣1280﹣1200＝1120．∴该学校的高三学生中应抽取：1120×15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．【分析】由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，利用三角形内角和定理可求∠ACB＝60°，由正弦定理即可求解AC的值．解：由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝60°，所以由正弦定理＝，可得＝，可得AC＝＝．故答案为：．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为800000元．【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．写出约束条件，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．需要满足的条件是，作出可行域如图，作直线z＝3000x+2000y，当直线过点A时，z取最大值．联立，解得A（200，100），则z的最大值为800000元．故答案为：800000．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【分析】（1）设＝（x，y），由题意可得，解得x，y的值即可得解．（2）由已知可求，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求•＝0，可得，即可得解．解：（1）设＝（x，y），则，解得，或，于是＝（1，2），或＝（﹣1，﹣2）．（2）△ABC是直角三角形，∠B为直角．证明：∵＝（﹣1，﹣4）﹣（5，2）＝（﹣6，﹣6），＝（3，4）﹣（5，2）＝（﹣2，2），∴•＝﹣6×（﹣2）+（﹣6）×2＝0，∴，即△ABC是直角三角形，∠B为直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．【分析】（1）根据茎叶图的概念和平均数的计算方法即可得解；（2）根据方差的计算分别求出和，而方差越小，农作物长得越齐．解：（1）＝＝30cm，＝＝30cm．∴甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值相等．（2）＝＝，＝＝．∴＜，即甲试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．【分析】（1）依题意结合数列的通项公式，能列出两个关于基本量首项a1和公差d的两个方程，解方程即可得数列{a n}的通项公式；（2）将2S n＝23+a2n+4转化为关于n的一元二次方程，解方程即可得答案．解：（1）设数列{a n}的公差为d，依题意得，所以，解得，所以a n＝2n﹣1．（2）由（1）得，因为2S n＝23+a2n+4，所以2n2＝23+2×（2n+4）﹣1，化简得n2﹣2n﹣15＝0，解得n＝5或n＝﹣3（舍去）．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9.5求得y值即可．解：（1）由题意可得，＝，，，＝1.8，，≈0.24．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当2020年的年收入为9.5万元时，．∴预测该家庭2020年的年支出金额为7.65万元．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2＝ac，结合a ＝2c，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，结合a＝2c，可求a的值，由（1）可求b的值，即可得解三角形的周长．解：（1）因为b sin（A+C）＝a sin C，可得b sin B＝a sin C，所以b2＝ac…因为a＝2c，所以cos B＝＝＝＝，…因为0＜B＜π，所以sin B＝＝＝…（2）因为△ABC的面积为ac sin B＝c2＝4，所以c＝4…因为a＝2c，所以a＝8…因为b2＝ac＝32，所以b＝4…故△ABC的周长为a+b+c＝8+4+4＝12+4…22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知数列递推式直接利用构造新数列的方法证明数列{a n﹣2}是等比数列；（2）利用（1）的结论求得a n，进一步利用裂项相消法分类求出数列{b n}的前n项和为T n，再分类求出T n的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m ≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．。

2019-2020学年广东省深圳市宝安沙井职业高级中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，则△ABC外接圆的直径为（）A． B． C． D．参考答案：B2. 函数的零点所在区间为（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=log32﹣1＜0，f（3）=log33﹣＞0，∴函数f（x）的零点一定在区间（2，3），故选：B．【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．3. 下列图象中表示函数图象的是（）A B C D参考答案：C略4. 函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数参考答案：A【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y=﹣sin2x，从而得出结论．【解答】解： =cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选：A．5. 将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．，都有 B．，都有C．，都有 D．，都有参考答案：A6. 已知几何体的三视图如右图所示，它的表面积是（）A、B、C、D、6参考答案：C略7. 向量，，在正方形网络中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．2参考答案：C【考点】向量的几何表示．【分析】设正方形的边长为1，则易知=（﹣1，﹣3），=（﹣1，1），=（6，2）；从而可得（﹣1，﹣3）=λ（﹣1，1）+μ（6，2），从而求得．【解答】解：设正方形的边长为1，则易知=（﹣1，﹣3），=（﹣1，1），=（6，2）；∵=λ+μ，∴（﹣1，﹣3）=λ（﹣1，1）+μ（6，2），解得，λ=﹣2，μ=﹣；故=4；故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示的应用及学生的转化思想的应用．8. 设，则（）A、B、C、D、参考答案：A略9. 已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z max=2．z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：C．10. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则；③若a>b，c>d，则；④a>b，则>其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则_______________.参考答案：12. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于__________．参考答案：【分析】首先利用正三棱锥的性质，设底面边长为AB＝a，进一步求得侧棱长为：AC＝2a，顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE，进一步求得：OD，最后在Rt△AOD中，利用余弦公式求得结果．【详解】解：正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设底面边长为BC＝a，则：侧棱长为：AC＝2a顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE进一步求得：OD在Rt△AOD中，cos∠ADO故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：正三棱锥的性质，线面的夹角及相关的运算．13. 将函数y=sin2x的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是___________．参考答案：14. 已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是．参考答案：a＜c＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数解析式判断出f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a，b，c的范围即可得a，b，c的大小．【解答】解：由于f（﹣1）==＜0，f（0）=1＞0，故f（x）=2x+x的零点a∈（﹣1，0）．∵g（2）=0∴g（x）的零点b=2；∵h（）==，h（1）=1＞0∴h（x）的零点c∈（），由于函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x均是定义域上的单调增函数，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．15. 幂函数的图像过点，那么的解析式是____.参考答案：略16. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=20×20=400cm2，高h=20cm，故体积V==cm3，故答案为：17. 若，则关于的不等式的解集是 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若1a ＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10B ．16C ．20D ．242．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||23MN ≥．则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,0⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-B ．1C ．3D ．74．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A ．3B ．72C ．154D ．不确定5．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A ．5B ．10C ．4D ．206．已知向量1a =，2b =，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（ ） A ．2B ．322C ．2D ．37．设定义域为R 的奇函数()f x 是增函数，若()2cos 2(2sin 2)0f m f m θθ-+-<对R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1)-∞2,+B ．[1)-∞2,+C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( ) A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．ACD ．A=B=C9．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．83D ．16311．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π612．对于一个给定的数列{}n a ，定义：若()11n n n a a a n ∆+=-∈*N ，称数列{}1na ∆为数列{}na 的一阶差分数列；若()2111n n n a a a n ∆∆∆+=-∈*N，称数列{}2na ∆为数列{}na 的二阶差分数列．若数列{}na 的二阶差分数列{}2n a ∆的所有项都等于1，且1820170a a ==，则2018a =（ ） A ．2018B ．1009C ．1000D ．500二、填空题：本题共4小题13．过点13P （，）作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= . 14．不等式103x x -≥+的解集是_______. 15．设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________． 16．已知数列{}n a 满足111n na a n n+-=+且12a =，则50a =____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的终边上一点()1,m ，且6sin α=，则m =（ ） A ．2± B ．2 C ．2-D ．6 2．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．已知椭圆C 的方程为22218x y m +=(0m >)，如果直线2y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（） A ．2B ．22C ．4D ．84．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ） A ．32B ．2C ．3D ．3225．设a ，b ，c 为ABC 的内角所对的边，若()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC 外接圆的半径为( ) A ．1B ．2C ．2D ．46．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为（ ） A ．193B ．192C ．191D ．1907．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，且1,22b a b =+=，则a （ ） A ．1B ．2C ．3D ．238．平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B 2C 3D ．139．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.310．把函数sin2)6y xπ=+（的图象沿x轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x=的图象，则()g x的解析式为（）A．()sin(4)12g x xπ=-B．()sin(4)6g x xπ=-C．()sin(4)3g x xπ=-D．2()sin(4)3g x xπ=-11．在三棱锥S ABC-中，2,1SA SB AC BC SC=====，二面角S AB C--的大小为60︒，则三棱锥S ABC-的外接球的表面积为（）A．43πB．4πC．12πD．523π12．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为()A．32B．12C．-32D．-12二、填空题：本题共4小题13．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．14．已知函数()sin()f x xωϕ=+π2,ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．15．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.16．若锐角αβ、满足()35cos cos513ααβ=+=-，，则cosβ=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年广东省深圳宝安中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =1+√x},B ={x|x −2⩽0}，则A ∩B =( )A. [1,2]B. [0,2]C. (−∞,1]D. [2,+∞) 2. 与y =|x |为同一函数的是( )A. y =(√x)2B. y =√x 2C. y ={x (x >0)−x (x <0)D. y =x 3. 设全集U =R ，A ={x|x 2−x −6<0}，B ={x|y =lg(x +1)}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A. {x|−3<x <−1}B. {x|−3<x <0}C. {x|−1<x <3}D. {x|x >−1} 4. 定义在集合{x|4−x 2≥0}上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，则( ) A. f(0)<f(−1)<f(−2)B. f(−1)<f(−2)<f(0)C. f(−1)<f(0)<f(−2)D. f(−2)<f(−1)<f(0) 5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数是( ) A. y =x +1B. y =x|x|C. y =1xD. y =−x 2 6. 集合A ={1,2，3，4}，B ={x|(x −1)(x −a)<0}，若集合A ∩B ={2,3，4}，则实数的范围是( ) A. 4<a <5 B. 4≤a <5 C. 4<a ≤5 D. a >47. 已知函数f(x)={log 2x +2,x >03x ,x ≤0，则f[f(18)]的值( ) A. 3B. 13C. −3D. −13 8. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a 9. 已知函数y =a x−2+3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P ，点P 在幂函数y =f (x )的图像上，则log 3f (13)=( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 210. 函数y =log a (x −1)(0<a <1)的图象大致是( )A. B. C. D.11. 已知函数f(x)=ln(x 2+1e )−|ex |，则不等式f(x +1)<f(2x −1)的解集是( ) A. (0,2)B. (−∞,0)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (2,+∞) 12. 已知3a =5b =15(a >0,b >0,a ≠b)，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A. a +b >4B. ab >4C. (a −1)2+(b −1)2>2D. a 2+b 2<8 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：_______．14. 已知函数f(x)=lg(−x 2+4x +5)，则该函数的单调递减区间为______ ；该函数在定义域内的最大值为______ ．15. 已知函数f(x)={x 2−4x +6,x ≤0−x +6,x >0，若f(x)<f(−1)，则实数x 的取值范围是____ 16. 已知函数f(x)=−x 2+ax +b 2−b +1(a ∈R,b ∈R)，对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)成立，若当x ∈[−1,1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=√x ∈R)的定义域为集合A ，函数g(x)=1+2x 的值域为集合B ．(1)当a =3时，求A ∪B ；(2)若A ∩B =Ø，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=3x+12x−1．(1)求f(13)，f(23)，f(14)，f(34)的值;(2)当实数a≠12时，猜想f(a)+f(1−a)的值，并证明．19.已知函数f(x)=a2x+2a x−1(a>1)在[−1,1]上的最大值为14．(1)求a的值；(2)解不等式f(x)≥2．20.画出函数f(x)={1x ,0<x<1x,x≥1的图象．21.已知函数f(x)=ax2−2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5](Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若关于x的函数g(x)=f(x)−(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=1+ax2(a≠0)是奇函数，且函数f(x)的图像过点(1,3)．x+b(1)求实数a，b的值;(2)用定义证明函数f(x)在(√2,+∞)上单调递增;2(3)求函数f(x)在[1,+∞)上的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={y|y=1+√x}={y|y≥1},B={x|x−2⩽0}={x|x≤2}，∴A∩B=[1,2]．故选A．2.答案：B解析：A中定义域为x≥0，不合题意；B中y=√x2=|x|，符合题意；C中定义域是x≠0，不合题意；D中对应关系与已知函数不同，故选B．3.答案：C解析：【分析】阴影部分表示的集合为A∩B，解出A，B，再求交集．本题考查了求Venn图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．【解答】解：阴影部分表示的集合为A∩B，而A={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，B={x|y=lg(x+ 1)}={x|x>−1}，故A∩B={x|−1<x<3}，故选C．4.答案：D解析：解：由4−x2≥0可解得x∈[−2,2]，f(x)是定义在集合[−2,2]上的奇函数，∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴奇函数的图象关于原点对称，即有f(x)在区间[−2,0]上也是增函数，∴f(−2)<f(−1)<f(0)，故选：D ．由4−x 2≥0可解得x ∈[−2,2]，由f(x)在区间[0,2]上是增函数，知f(x)在区间[−2,0]上也是增函数，故f(−2)<f(−1)<f(0)．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．5.答案：B解析：解：函数y =x +1为非奇非偶函数，不满足条件；函数y =1x 为奇函数，但定义域内不单调，不满足条件；函数y =−x 2为偶函数，不满足条件；只有函数y =x|x|既是奇函数，又是增函数，满足条件；故选B ．根据指数一次函数，幂函数，绝对值函数及函数对折变换法则，我们逐一分析四个答案中的四个函数的性质，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键． 6.答案：D解析：【分析】本题考查集合间的关系，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．【解答】解：由集合A ={1,2，3，4}，B ={x|1<x <a}或B ={x|a <x <1}∵集合A ∩B ={2,3，4}，∴a >4．故选：D ．7.答案：B解析：解：f(18)=log 218+2=−3+2=−1，f(−1)=3−1=13，即f[f(18)]=f(−1)=13，故选：B根据分段函数的表达式，代入进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，比较基础．8.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．【解答】解：由题意得：b =log 132<log 131=0，c =log 1215>log 1214=2=a ， 则c >a >b ．故选C ．9.答案：A解析：【分析】本题考查指数函数以及对数函数图像与性质，幂函数的解析式，属于中档题．利用指数函数的性质求得点P ，代入幂函数求得其解析式，然后求f(13)．【解答】解：函数y =a x−2+3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P ，由指数函数的性质可知x =2时y =4，故P(2,4)，设f(x)=x α，代入点P ，2α=4，则α=2，∴f(x)=x 2，f(13)=(13)2=19．则故选A ． 10.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，属于基础题．把对数函数的图象向右一个单位即可得到结果．解：∵0<a <1，∴y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，又∵函数y =log a (x −1)的图象是由y =log a x 的图象向右平移一个单位得到，故选A ．11.答案：C解析：解：函数f(x)=ln(x 2+1e )−|e x |，可知函数是偶函数，x >0时，f(x)=ln(x 2+1e )−e x 是增函数，则x <0时是减函数，故不等式f(x +1)<f(2x −1)，可得|x +1|<|2x −1|，解得x <0或x >2．故选：C ．利用函数的奇偶性以及函数的单调性转化不等式求解即可．本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想的应用，是基本知识的考查． 12.答案：D解析：解：∵3a =5b =15，∴(3a )b =15b ，(5b )a =15a ，∴3ab =15b ，5ba =15a ，∴3ab ⋅5ba =15b ⋅15a ，∴(15)ab =15a+b ，∴ab =a +b ，则有ab =a +b ≥2√ab ，∵a ≠b ，∴ab >2√ab ，∴ab >4，∴a +b =ab >4，∴(a −1)2+(b −1)2=a 2+b 2−2(a +b)+2>2ab −2(a +b)+2=2，∵a 2+b 2>2ab >8，故D 错误故选：D ．由已知条件可得a +b =ab ，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．13.答案：−20解析：本题考查的是对数的运算，属于容易题．根据对数运算即可得到答案．【解答】 解：=lg 1100÷110=−20．故答案是−20．14.答案：[2,5)；lg9解析：解：令t =−x 2+4x +5>0，求得−1<x <5，故函数的定义域为(−1,5)，且f(x)=g(t)=lgt ， 故本题即求函数t 在定义域内的减区间，利用二次函数的性值可得t 在定义域内的减区间为[2,5)． 由于当x =2时，函数t 取得最大值为9，该函数在定义域内的最大值为lg9，故答案为：[2,5)；lg9．令t =−x 2+4x +5>0，求得函数的定义域，结合f(x)=g(t)=lgt ，本题即求函数t 在定义域内的减区间，利用二次函数的性值可得结论．求得t 的最大值，可得f(x)=g(t)的最大值． 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．15.答案：(−1,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数的单调性问题，属于基础题。

广东省深圳市宝安中学(高中部)2020年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在上是增函数，则实数a的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据正弦型函数的单调性，结合已知、数轴进行求解即可.【详解】当时，即时，函数单调递增，已知函数在上是增函数，所以有：，当时，不等式组的解集为空集；当时，；当时，不等式组的解集为空集，综上所述：实数的最大值.故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力，考查了集合的应用.2. 与直线x+2y﹣3=0垂直且过点P（2，3）的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x﹣2y+1=0 参考答案：A3. 在△中，若，则等于（）A. B. C. D.参考答案：D4. 等比数列{}各项为正数，且，则的值为（）A、3B、6C、9D、12参考答案：A5. 已知，则的大小关系是（）A．B． C．D．参考答案：D略6. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：D略7. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）参考答案：D略8. 在△ABC中，若，则△是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形参考答案：B略9. 如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为A． B． C． D．不确定参考答案：C10. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有1个红球和全是白球B.至少有1个白球和全是白球C.恰有1个白球和恰有两个白球D.至少有1个白球和全是红球参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为．参考答案：2略12. （5分）从30名男生和20名女生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为10的样本，则抽到每个人的概率是．参考答案：考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义和概率的性质进行求解即可．解答：根据概率的性质可知用分层抽样方法抽取一个容量为10的样本，则抽到每个人的概率是=，故答案为：点评：本题主要考查分层抽样和概率的计算，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．13. 若方程组有解，则实数的取值范围是．参考答案：[1,121]，化为，要使方程组有解，则两圆相交或相切，，即或，，故答案为.14. 已知，则________．参考答案：－6【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．【详解】由题意，向量，则，，所以．故答案为：－6【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 已知，则的最小值为_____．参考答案：2【分析】首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，．【详解】解：由题可得：（当且仅当时取等号），整理得：，即：，又：，所以：（当且仅当时取等号），则：的最小值是2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。

广东省深圳市重点名校2019-2020学年高一下学期期末监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为 A ．122y x =+B ．27y x =-+C ．1522y x =+ D ．1322y x =+ 【答案】D 【解析】过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线斜率为12，代入过的点得到1322y x =+. 故答案为D.2．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D 【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了3．已知点()P x y ，满足条件0,,290,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A ．9B ．-6C ．-9D ．6【答案】B 【解析】试题分析：满足约束条件的点(,)P x y 的可行域，如图所示由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.考点：线性规划问题.4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P 满足OP OA OB λμ=+，其中λ，μ∈R ，且λ+μ=1，则点P 的轨迹方程为() A ．0x y -= B ．0x y +=C ．230x y +-=D ．22(1)(2)0x y ++-=【答案】C 【解析】 【分析】设P 点坐标(,)x y ，代入OP OA OB λμ=+，得到即33x y λμλμ=-⎧⎨=+⎩，再根据1λμ+=，即可求解.【详解】设P 点坐标(,)x y ，因为点,A B 的坐标分别为(1,1),(3,3)-， 将各点坐标代入OP OA OB λμ=+,可得(,)(1,1)(3,3)x y λμ=+-，即33x y λμλμ=-⎧⎨=+⎩，解得1()21()6x y y x λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入1λμ+=，化简得230x y +-=，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题. 5．已知函数()tan f x x =，则下列结论不正确的是（ ） A ．2π是()f x 的一个周期 B ．33()()44f f ππ-= C ．()f x 的值域为R D ．()f x 的图象关于点(,0)2π对称【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解. 【详解】A ．()tan f x x =的最小正周期为π，所以2π是()f x 的一个周期，所以该选项正确； B. 33()1,()1,44f f ππ-==-所以该选项是错误的； C. ()tan f x x =的值域为R ，所以该选项是正确的；D. ()tan f x x =的图象关于点(,0)2π对称,所以该选项是正确的.故选B 【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．72B ．73C ．74D ．7【答案】A 【解析】由题意，焦点坐标()0,7，所以0037y y =+，解得072y =，故选A 。

广东省深圳市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知﹣＜α＜0，sinα+cosα= ，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）若一扇形的圆心角为，半径为20cm，则扇形的面积为（）A . 40cm2B . 80cm2C . 40cm2D . 80cm23. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 函数的最小正周期为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·天全期中) 已知an= ，则数列{an}的前100项和S100=（）A .B .C .D .5. （2分）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120,则a=（）A .B . 2C .D .6. （2分）已知等差数列前n项和为，且，则的值为（）A . 13B . 26C . 8D . 1627. （2分）在△ABC 中，，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高一下·自贡开学考) 要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+ ）函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位9. （2分） (2017高二上·信阳期末) 已知等差数列{an}前n项和为Sn ，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（）A . 109B . 99C .D .10. （2分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为,则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2016高一下·九江期中) 已知角a的终边经过点P（5，﹣12），则sina+cosa的值为________．12. （1分）已知tanα、tanβ是方程7x2﹣8x+1=0的两个根，则tan（α+β）的值为________．13. （1分） (2018高一下·重庆期末) 等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为________．14. （1分） (2017高二下·黄山期末) 设F1 ， F2分别是椭圆的两个焦点，P是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数m的值为________．15. （1分）设△ABC的三个内角为A、B、C，向量，若，则C=________．16. （1分） (2017高三上·宿迁期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ．若a3=5，且S1 ， S5 ， S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an=________．17. （1分）等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．18. （1分） (2019高三上·临沂期中) 已知a＞0，b＞0，2a+b=1，则的最小值为________．三、解答题 (共4题；共35分)19. （5分）已知等差数列{an}首项a1=1，公差为d，且数列是公比为4的等比数列，（1）求d；（2）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（3）求数列的前n项和Tn ．20. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知函数f（x）= sin cos +sin2 （ω＞0，0＜φ＜）．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点（，1）．（1）函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 = ．且f（A）= ，求角C的大小．21. （10分） (2018高一下·涟水月考) 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a,b,c，且（1）求B的大小（2）若，求△ABC的面积.22. （10分）(2017·广东模拟) 已知递增数列{an}，a1=2，其前n项和为Sn ，且满足3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足 =n，求其前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

广东省深圳市宝安石岩公学2020年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题中的真命题是（）A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第一象限的角是锐角C．第二象限的角比第一象限的角大D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－＜α＜2kπ(k∈Z)参考答案：D2. 设集合A={x|x＞a}，集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}，若B∩（?R A）≠?，则实数a的取值范围是( )A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a＜5 D．a≥5参考答案：B【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题；探究型．【分析】先化简集合B，然后利用B∩（?R A）≠?，求实数a的取值范围．【解答】解：集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}={x|﹣3＜x＜5}，∴?U A═{x|x≤a}，要使B∩（?R A）≠?，则a＞﹣3．故选B．【点评】本题主要考查集合关系的应用，比较基础．3. 已知点G是△ABC内一点，满足，若，，则的最小值是（）.A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据向量关系，利用，表示，再根据向量的模以及基本不等式求最值.【详解】因为++=，所以G是△ABC重心，因此，从而,选A.(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查向量数量积、向量的模以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.4. （1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】把所给的式子展开，利用两角和的正切公式，化简可得结果．【解答】解：（1+tan20°）（1+tan25°）=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1+tan （20°+25°）?（1﹣tan20°?tan25°）+tan20°tan25°=1+1﹣tan20°?tan25°）+tan20°?tan25°=2，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，属于基础题．5. 圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r，原来的高为h，求出现在的体积，一步得出答案．【解答】解：V现=π（）2×2h=πr2h=V原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A．【点评】此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．6. （5分）设=2，则=（）A．B．﹣C．﹣2 D．参考答案：B考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简求出tanα的值，所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：∵==2，∴tanα+1=2tanα﹣2，即tanα=3，则原式===﹣=﹣=﹣．故选B点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7. 集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q B．P Q C． D．参考答案：C8. 已知向量，，若，则实数m的值是（）A. 3B. －3C. 1D. －1参考答案：A【分析】先将向量表示出来，再根据垂直关系计算得出m。