广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二第一学期期中考试数学(文)试题

宝安中学2013—2014学年第一学期期中考试高二数学（理科）本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分， 第Ⅱ卷为9-20题，共110分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（本卷共40分）一：选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共计40分）1若a ＜b ＜0，则 （ ） A ． b11<aB ． 0＜ba ＜1C ． a b ＞b 2D ．bb a a > 2.已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x+4y 的最小值为 （ ）A ．6B ．-6C ．12D ．-123. 在ABC ∆中，60=B ，若此三角形最大边与最小边之比为2:)13(+，则最大内角 （ ）A ．45 B ．60 C ．75 D ．904. 在等比数列{}n a 中0(1,2,3,)n a n >=，若569a a ⋅=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+等于 （ ）A ．8B ．10C ．12D ．32log 5+5. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236. 已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是 （ ）A ．｛x|32x x <->-或｝B ．｛x|12x <-或13x >-｝C ．｛x|1123x -<<-｝ D ．｛x|32x -<<-｝7. 在ABC ∆中，1=AB ，2=BC ，则角C 的取值范围是 （ ） A ．]6,0(πB ．]3,0(πC ．]2,6(ππD ．),6[ππ8. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S 且满足17180,0S S ><,则17121217,,,S S S a a a 中最大的项为 （ ） A ．66S a B ．77S a C ．88S a D ．99Sa 第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。

2015-2016学年广东省深圳市宝安区西乡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，第12小题，共60分）1．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞±2}C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|﹣2＜x＜2}2．下列不等式成立的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b3．已知{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，则S5等于（）A．36 B．25 C．20 D．494．等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2等于（）A．1 B．2 C．3 D．65．在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则公比q等于（）A．B．2 C．或2 D．﹣26．在△ABC中，已知b2+c2﹣a2+bc=0，则角A等于（）A．B．C．D．7．如果△ABC三边a，b，c满足bcosA=acosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则a5=（）A．B．C．D．9．下列不等式成立的个数是（）①；②；③a2+b2≥﹣2ab；④．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，+∞） D．（1，+∞）11．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为（）A．20×（1.01）5万B．20×（1.01）4万C．万D．万12．关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知△ABC的面积为，a=3，b=2，则C= 或．14．不等式组所表示的平面区域的面积为．15．一元二次不等式ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式ax2﹣x+c＜0的解集为．16．求和： = ．三、解答题：（本大题共6题，共70分，其中第22题是A层必做，B层选做）17．已知等差数列{a n}中，a2=﹣5，a8=7（1）求数列的通项公式；（2）如果数列{b n}满足b n=|a n|，计算：b1+b2+b3+…+b10．18．在△ABC中，已知，求边c的长及△ABC的面积S．19．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣a2）（1）当时，求函数f（x）＜0时x的取值范围；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞0．20．已知等比数列{a n}满足a1+a4=，a1a4=，且公比q＜1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项的和，求S1+S2+…+S n．21．如图，要设计修建一个矩形花园，由中心面积为100m2的花卉种植区和四周宽为2m的人行道组成．设这个花花卉种植区矩形的长和宽分别为xm和ym，整个花园占地面积为Sm2．（1）求S与x，y的关系；（2）问花卉种植区的长和宽为多少时，这个花园占地面积最小，并求最小值．22．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n+1．（1）求a4+a5+a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列的前n项和为T n，证明T n＜．2015-2016学年广东省深圳市宝安区西乡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，第12小题，共60分）1．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞±2}C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|﹣2＜x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由图象可知不等式ax2+bx+c＞0，位于x轴上方的部分的x的取值范围即是不等式的解．【解答】解：由图象可知不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|x＜﹣2或x＞2}，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的和不等式，以及数形结合的思想，属于基础题．2．下列不等式成立的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题；对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】采取排除法，即可排除A，B，C，根据基本不等式性质即可判断D．【解答】解：对于A，当a=﹣1，b=1时，则不成立，对于B，当a=1，b=﹣1时，则不成立，对于C，当c=0时，则不成立，对于D，根据不等式的基本性质，可知D正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，采取排除法是常用的方法，属于基础题．3．已知{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，则S5等于（）A．36 B．25 C．20 D．49【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，求出a3，然后求解前5项的和．【解答】解：{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，可得a3=2×3﹣1=5，S5=5a3=25．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质的应用，考查计算能力．4．等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2等于（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；方程思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的前n项和，求解第二项即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2=S2﹣S1=32﹣1﹣31+1=6．故选：D．【点评】本题考查等比数列通项公式以及前n项和的应用，是基础题．5．在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则公比q等于（）A．B．2 C．或2 D．﹣2【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，∴，解得或故选C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．6．在△ABC中，已知b2+c2﹣a2+bc=0，则角A等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵b2+c2﹣a2+bc=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，根据余弦定理得：cosA=﹣，又A∈（0，π），则角A=．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理的结构特征是解本题的关键，同时注意角度的范围．7．如果△ABC三边a，b，c满足bcosA=acosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】根据正弦定理进行化简即可．【解答】解：∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB﹣sinBcosA=0，即sin（A﹣B）=0，则A=B，即△ABC是等腰三角形，故选：A．【点评】本题主要考查三角形形状的判断，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于基础题．8．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则a5=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】把已知数列递推式变形，可得数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列．代入等差数列的通项公式后可得a5．【解答】解：由a n+1=，得，即．又a1=，∴．则数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列．则．∴．故选：A．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是基础题．9．下列不等式成立的个数是（）①；②；③a2+b2≥﹣2ab；④．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据基本不等式的性质分别判断即可．【解答】解：①，x是负数时不满足，故①错误；②=2，当且仅当x=±1时“=”成立，故②正确；③由a2+b2≥﹣2ab得：a2+b2+2ab≥0，∴（a+b）2≥0，故③正确；④，ab＜0时：结果为负数，故④错误；故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意“一正，二定，三相等”的条件，是一道基础题．10．如图，阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，+∞） D．（1，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意知，只要求出目标函数z=x﹣2y的最小值，使a＜z的最小值即可．【解答】解：由题意知，只要求出目标函数z=x﹣2y的最小值，由可行域可知，当直线y=x经过（0，1）时，最大，即z最小，此时z=﹣2，所以要使阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，只要a＜﹣2；故选：B．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，理解二元一次不等式表示的平面区域，会利用数形结合的数学思想解决问题．11．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为（）A．20×（1.01）5万B．20×（1.01）4万C．万D．万【考点】数列的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列通项公式得n年后这个小镇的人口数为20（1+%）n．【解答】解：某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇的人口数为20（1+%），2年后这个小镇的人口数为20（1+%）2，3年后这个小镇的人口数为20（1+%）3，4年后这个小镇的人口数为20（1+%）4，5年后这个小镇的人口数为20（1+%）5=20×（1.01）5．故选：A．【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12．关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分m=0和m≠0进行讨论，若m≠0，则左侧二次函数开口向上，△＜0，列出不等式解出．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣x＞0，即x＜0，不符合题意．当m≠0时，∵式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，∴，解得m．综上，m的取值范围是（，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知△ABC的面积为，a=3，b=2，则C= 60°或120°．【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；解三角形．【分析】根据△ABC的面积S=，可得sinC=，进而得到答案．【解答】解：∵a=3，b=2，∴△ABC的面积S==，∴sinC=，∴C=60°或120°；故答案为：60°或120°【点评】本题考查的知识点是三角形的面积公式，三角求值，难度不大，属于基础题．14．不等式组所表示的平面区域的面积为．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式．【分析】画出满足约束条件的可行域，数形结合可得可行域的面积．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可得：可行域是一个底面AB=3，AB边上的高为的三角形，∴可行域的面积S=×3×=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，正确理解“同正异负”的原则，是解答的关键．15．一元二次不等式ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式ax2﹣x+c＜0的解集为（﹣1，2）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据关于ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，利用韦达定理求出a，b的值，再代入不等式ax2﹣x+c＜0，即可求得结论．【解答】解：∵ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴﹣2+1=﹣，﹣2×1=，∴a=1，c=﹣2，∴不等式ax2﹣x+c＜0可化为x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了一元二次不等式的知识，解题关键是利用根与系数的关系得出第二个不等式的各项的系数，在解答此类题目时要注意与一元二次方程的结合．16．求和： = ．【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】由，知S n=a1+a2+a3+…+a n=2（），再用裂项求和法能够得到这个数列的和．【解答】解：，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=2（）=2×=2（1﹣）=．故答案：．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题：（本大题共6题，共70分，其中第22题是A层必做，B层选做）17．已知等差数列{a n}中，a2=﹣5，a8=7（1）求数列的通项公式；（2）如果数列{b n}满足b n=|a n|，计算：b1+b2+b3+…+b10．【考点】等差数列的性质．【专题】分类讨论；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（2）可得等差数列{a n}的前4项为负数，从第5项开始为正数，去绝对值由等差数列的求和公式可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解得，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）令a n=2n﹣9≥0可得n≥，∴等差数列{a n}的前4项为负数，从第5项开始为正数，∴b1+b2+b3+…+b10=（7+5+3+1）+（1+3+5+7+9+11）==16+36=52【点评】本题考查等比数列的性质和通项公式以及求和公式，属基础题．18．在△ABC中，已知，求边c的长及△AB C的面积S．【考点】解三角形．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由已知中，根据正弦定理可得sinB=，根据大边对大角的原则，由b＞a可得B＞A，即B=60°或120°，分类讨论即可求出对应的边c的长及△ABC 的面积S【解答】解：由正弦定理得∴∵b＞a∴B＞A∴B=60°或120°当B=60°时，，又A=30°，∴C=90°∴当B=120°时，又A=30°，∴C=30°∴【点评】本题考查的知识点是解三角形，其中根据已知条件结合正弦定理，得到B=60°或120°，是解答本题的关键，本题易忽略B有两解的情况，而造成错解．19．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣a2）（1）当时，求函数f（x）＜0时x的取值范围；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞0．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）把a=代入f（x）得到（x﹣）（x﹣）＜0，解出x的范围；（2）解出f（x）=0的解，根据a的范围比较两根的大小，得出不等式的解．【解答】解：（1）当时，，∴，解得＜x＜，∴x的取值范围是；（2）令f（x）=0得x=a或x=a2．当0＜a＜1时，a＞a2，f（x）＞0的解集为（﹣∞，a2）∪（a，+∞）；当a=1时，a=a2=1，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；当a＞1时，a＜a2，f（x）＞0的解集为（﹣∞，a）∪（a2，+∞）．【点评】本题考查了二次不等式的解法，比较两根的大小是关键．20．已知等比数列{a n}满足a1+a4=，a1a4=，且公比q＜1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项的和，求S1+S2+…+S n．【考点】等比数列的性质．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可解得a1和a4，进而可得公比，可得通项公式；（2）由（1）和等比数列的求和公式可得S n，再由等差数列的求和公式和等比数列的求和公式可得．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}满足a1+a4=，a1a4=，且公比q＜1∴解方程组可得，∴∴；（2）由（1）可得，∴S1+S2+S3+…+S n=====【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．21．如图，要设计修建一个矩形花园，由中心面积为100m2的花卉种植区和四周宽为2m的人行道组成．设这个花花卉种植区矩形的长和宽分别为xm和ym，整个花园占地面积为Sm2．（1）求S与x，y的关系；（2）问花卉种植区的长和宽为多少时，这个花园占地面积最小，并求最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；不等式．【分析】（1）先得出花园的长和宽，再用面积公式求S的表达式；（2）先化简S，再用基本不等式求其最小值．【解答】解：（1）如右图，花园的长度为x+4，宽度为y+4，单位：m，所以，花园的面积为：S=（x+4）•（y+4）（x＞0，y＞0），说明：该面积可也写成S=116+4（x+y）（x＞0，y＞0）；（2）∵x＞0，y＞0且xy=100，∴S=（x+4）•（y+4）=xy+4（x+y）+16=116+4（x+y）≥116+8=116+80=196，当且仅当：x=y=10时，花园面积S取得最小值196m2，答：当花卉种植区的长和宽都为10m，整个花园的占地面积最小为196m2．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，以及基本不等式在求最值问题中的应用，属于中档题．22．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n+1．（1）求a4+a5+a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列的前n项和为T n，证明T n＜．【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由a4+a5+a6=S6﹣S3，由条件计算即可得到所求值；（2）运用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，计算即可得到所求通项；（3）运用放缩法，可得＜=﹣，再由裂项相消求和及不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）由数列{a n}的前n项的和为，a4+a5+a6=S6﹣S3=36+12+1﹣（9+6+1）=33；（2）当n=1时，a1=S1=1+2+1=4，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，所以；（3）证明：因为数列的前n项的和为T n又，所以=，当n=1时，，当n≥2时，T n=＜+++…+=+﹣+﹣+…+﹣=﹣＜．所以对一切．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查放缩法证明不等式，属于中档题．。

2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞bC．若 D．若2．（5分）（文）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣2，a+2，a+8，则a n=（）A．B．C．D．3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．354．（5分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．205．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．36．（5分）已知a1=1，a n=n（a n+1﹣a n），则数列{a n}的通项公式是（）A．2n﹣1 B．（）n﹣1C．n2D．n7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．298．（5分）若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值11．（5分）在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．或12．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在二．填空题：（每小题5分，共计20分）13．（5分）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a6=．15．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，则cx2+bx+a＜0的解集为．16．（5分）△ABC中，a，b是它的两边，S是△ABC的面积，若S=（a2+b2），则△ABC的形状为．三．解答题：（共6题，共计70分）17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．18．（12分）（1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值．（2）已知正数a，b满足2a2+3b2=9，求a的最大值并求此时a和b的值．19．（12分）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞bC．若 D．若【解答】解：当c≤0时，若ac＞bc⇒a≤b，故A错误；当a+b＜0时，a2＞b2⇒a2﹣b2＞0⇒（a+b）（a﹣b）＞0⇒a﹣b＜0⇒a＜b，故B 错误；若，则a＞0＞b，故C错误；若，则0≤a＜b，则a3＜b3，故D正确；故选：D．2．（5分）（文）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣2，a+2，a+8，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a﹣2，a+2，a+8为等比数列{a n}的前三项，∴（a+2）2=（a﹣2）（a+8），即a2+4a+4=a2+6a﹣16，解得：a=10，∴等比数列{a n}的前三项依次为8，12，18，即等比数列的首项为8，公比为=，则此等比数列的通项公式a n=．故选：C．3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：由等差数列的性质得，3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，所以a1+a2+…a7=7a4=28，故选：C．4．（5分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a 2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选：A．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选：C．6．（5分）已知a1=1，a n=n（a n+1﹣a n），则数列{a n}的通项公式是（）A．2n﹣1 B．（）n﹣1C．n2D．n【解答】解：整理a n=n（a n+1﹣a n）得=∴=×==n∴a n=na1=n故选：D．7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a 1==16故S5==31故选：C．8．（5分）若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2+2bc+c2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA，bc=2bccosA，cosA=，∴A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形故选：B．9．（5分）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，则，∴c=3；故角B为最大角，cosB=故选：B．10．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=﹣x+z经过A时z最小，经过B时z最大，由得到A（2，0）所以z 的最小值为2+0=2，由于区域是开放型的，所以z 无最大值；故选：B．11．（5分）在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．或【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==，∴C=，A=，S=AB•ACsinA=或C=，A=，S=AB•ACsinA=．故选：D．12．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选：A．二．填空题：（每小题5分，共计20分）13．（5分）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（﹣2，1）．【解答】解：由a⊙b=ab+2a+b，得到x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，即x2+x﹣2＜0分解因式得（x+2）（x﹣1）＜0，可化为或，解得﹣2＜x＜1所以实数x的取值范围为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）14．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a6=．=，两边取倒数可得：﹣=2，【解答】解：∵a n+1∴数列是等差数列，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴．则a6=．故答案为：．15．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，则cx2+bx+a＜0的解集为（﹣3，）．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，∴﹣，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0；∴﹣+2==﹣，﹣×2=﹣=；∴b=﹣a，c=﹣a，∴cx2+bx+a＜0化为﹣ax2﹣ax+a＜0，∴2x2+5x﹣3＜0，∴（x+3）（2x﹣1）＜0，解得：﹣3＜x＜；∴不等式cx2+bx+a＜0的解集是：（﹣3，）．故答案为：（﹣3，）．16．（5分）△ABC中，a，b是它的两边，S是△ABC的面积，若S=（a2+b2），则△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，a，b是它的两边长，S是△ABC的面积，S=（a2+b2）=ab•sinC，可得sinC=≥1．再由sinC≤1，可得sinC=1，故有C=90°，且a=b，可得：△ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．三．解答题：（共6题，共计70分）17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．【解答】（本题12分）解：（1）当m=1时，不等式f（x）＞0为：2x2﹣x＞0⇒x（2x﹣1）＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；…（6分）（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0∵不等式f（x）+1＞0的解集为，所以是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的两根因此⇒．…（12分）18．（12分）（1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值．（2）已知正数a，b满足2a2+3b2=9，求a的最大值并求此时a和b的值．【解答】解：（1），=，∵x＜﹣1，∴x+1＜0，∴﹣（x+1）＞0，∴∴，当且仅当时，f（x）取最大值1．…（6分）（2）解：a，b都是正数，，，当且仅当2a2=3+3b2，又2a2+3b2=9，得时，有最大值．…（12分）19．（12分）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？【解答】解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，由图可知，直线y=﹣x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小．故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．（2分）又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，（5分）可得=．（7分）（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…（12分）21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴T n=[（6n﹣5）4n+5]22．（12分）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．【解答】解：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=，设BE=x．由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BE•EDcos∠BED，5=x2++2××x，解得x=1，x=﹣（舍去）．故BC=2，从而AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=，即AC=又sinB=，故=，sinA=．解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限．由sinB=，则=（cosB，sinB）=（，），设=（x，0），则=（，）．由条件得||==．从而x=2，x=﹣（舍去）．故=（﹣，）．于是cosA===．∴sinA==．解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=，BN====，而HB=，∴CN=，HC=，AC==．故由正弦定理得=，∴sinA=．。

广东省深圳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=254．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1B．﹣1 C．D．1或﹣15．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3B．C．D．58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．410．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t 的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2） D．（2，）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．18．（14分）设F1，F2分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．广东省深圳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数，由此得出命题p是真命题而命题q是假命题．再结合复合命题判断真假的法则，可得出正确答案．解答：解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．∵命题q是假命题∴命题“p且q”为假命题，故B错误命题“非q”为真命题，故D错误又∵命题p是真命题∴命题“p或q”是真命题，故A正确命题“非p”为假命题，故C错误故选A点评：本题考查了命题真假的判断，着重考查了复合命题的概念与判断真假的方法，属于基础题．2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．解答：解：若x2﹣x=0 则x=0或x=1．即x2﹣x=0推不出x=1．反之，若x=1，则x2﹣x=0，即x=1推出x2﹣x=0所以“x2﹣x=0”是“x=1”的必要不充分条件．故选B点评：判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定．一般的①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设圆心C（2，m），由CA2=CB2，求出m的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆C的方程．解答：解：设圆心C（2，m），根据圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），可得CA2=CB2，即4+（m+4）2=4+（m+2）2，求得m=﹣3，可得圆心为（2，﹣3）、半径为CA=，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5，故选：C．点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1B．﹣1 C．D．1或﹣1考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：解决直线与圆相切问题，常用圆的几何性质，即圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列方程即可解得a值．解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，∴，∴a=1或﹣1．故选D．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的几何性质，圆的标准方程，点到直线的距离公式等知识的运用．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．解答：解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选C．点评：本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．解答：解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1，x2，x3，x4．由导函数的图象可知：当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．故选B．点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3B．C．D．5考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心到点P的距离d，根据圆的半径r，即可求出切线长l．解答：解：∵圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的标准方程是（x﹣2）2+（x﹣3）2=1，∴圆心（2，3）到点P的距离是d==；圆的半径r=1，∴切线长为l===3．故选：A．点评：本题考查了直线与圆的应用问题，解题时应熟练地掌握圆的标准方程与一般方程的互化问题，是基础题．8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可．解答：解：∵y=2x2 ∴y'=4x，∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，∴切点坐标为（1，2）∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）即4x﹣y﹣2=0故选C．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．解答：解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C点评：本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t 的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2） D．（2，）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=|xe x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．解答：解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x2+2ax+1≥0，根据命题否定是真命题，利用△≥0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：．故答案为：．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是利用命题的否定与原命题的对立关系，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：分当m＞5和m＜5时两种情况，根据e=求得m．解答：解：当m＞5时，=，解得m=，当m＜5时，=解得m=3符合题意，故答案为：点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a，b，c的关系．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由正弦函数的周期公式可求ω，从而确定解析式即可求的值；（2）由正弦函数的图象和性质即可求出函数f（x）的最大值及相应x的集合．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0∴T=，解得ω=2∴f（x）=sin（2x+）∴f（）=sin（）=sin=（2）∵﹣1∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x/x=}．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据圆的弦的性质可知，弦的垂直平分线过圆心，则问题可解；（2）利用垂径定理去求即可．解答：解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．点评：本题考查了直线与圆的位置关系中的相交弦问题，一般是利用几何法来解决．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）q求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间．（2）令导函数等于0求出根，然后求出根对应的函数值及区间的端点对应的函数值，求出f（x）的值域，得到m的范围．解答：解：（1）…（2分）令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（6分）（2）令∴x=0和x=﹣2，…（8分）∴∴f（x）∈…（11分）∴m＜0…（12分）点评：求函数的单调区间常利用的工具是导数；解决不等式恒成立的问题，一般分离参数转化为求函数的最值．18．（14分）设F1，F2分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意可求得a=2，b2=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，∴2a=4，a=2．∴+=1，∴b2=3，∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），∵Q（0，），∴|PQ|2=4cos2θ+=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+=﹣sin2θ﹣sinθ+=﹣+5≤5．∴|PQ|的最大值为．点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆的参数方程及两点间的距离，考查配方法与最值问题，属于难题．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA=﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．解答：解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）由题意，确定函数的定义域并求导，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立化为g（x1）max＜f（x2）min，从而求解．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f（x）在上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，属于中档题．。

广东省深圳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本题8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）抛物线y2=16x的焦点为（）A．（0，2）B．（4，0）C．D．3．（5分）若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（）A．，+，﹣B．，+，﹣C．，+，﹣D．+，﹣，+24．（5分）若点P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=05．（5分）命题p：不等式x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分条件，则（）A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真6．（5分）若向量=（1，λ，1），=（2，﹣1，1）且与的夹角的余弦值为，则λ等于（）A．2B．﹣2 C．﹣2或D．2或7．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）8．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．10．（5分）命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是．11．（5分）若直线y=x﹣m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是．12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=1，平面ABEF⊥平面ABCD，则点D到平面BCF的距离为．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、有焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为．14．（5分）已知P是椭圆=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．18．（14分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．20．（14分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB 分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．广东省深圳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案．解答：解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2是解答本题的关键．2．（5分）抛物线y2=16x的焦点为（）A．（0，2）B．（4，0）C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=8，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．解答：解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=8，∴=4，故焦点坐标为（4，0），故选B．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求的值是解题的关键．3．（5分）若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（）A．，+，﹣B．，+，﹣C．，+，﹣D．+，﹣，+2考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：证明题．分析：空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面解答：解：∵（+）+（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除A；∵（+）﹣（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除B；∵+2=（+）﹣（﹣），∴，+，﹣，+2共面，不能构成基底，排除D；若、+、﹣共面，则=λ（+）+m（﹣）=（λ+m）+（λ﹣m），则、、为共面向量，此与{、、}为空间的一组基底矛盾，故，+，﹣可构成空间向量的一组基底．故选：C点评：本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属基础题4．（5分）若点P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；转化思想．分析：求出圆心坐标，求出PC的斜率，然后求出MN的斜率，即可利用点斜式方程求出直线MN 的方程．解答：解：圆心C（3，0），，∴MN方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选D．点评：本题是基础题，考查直线的斜率的求法，直线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（5分）命题p：不等式x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分条件，则（）A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：对命题p，q分别判断真假，然后按照复合命题的真假判断解答．解答：解：由题意命题p：不等式x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1}，为真命题；因为“A=B”是“sinA=sinB”成立的充分不必要条件，所以命题q是假命题．故选A．点评：本题考查了命题的真假判断以及复合命题的判断，属于基础题．6．（5分）若向量=（1，λ，1），=（2，﹣1，1）且与的夹角的余弦值为，则λ等于（）A．2B．﹣2 C．﹣2或D．2或考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：根据向量数量积的定义以及坐标表示，列出方程，求出λ的值．解答：解：∵向量=（1，λ，1），=（2，﹣1，1），且与的夹角的余弦值为，∴•=||×||cos＜，＞=××=×；又•=1×2+λ×（﹣1）+1×1=3﹣λ，∴=3﹣λ；两边平方得=（3﹣λ）2，整理得5λ2﹣36λ+52=0，解得λ=2，λ=．故选：D．点评：本题考查了空间向量的应用问题，解题时应类比平面向量的定义与性质，是基础题．7．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．解答：解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．点评：本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．8．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式求得直线m的方程，与直线l的方程对比可得m∥l，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离大于半径r，从而得到圆和直线l相离．解答：解：由题意可得a2+b2＜r2，OP⊥l1．∵K OP=，∴l1的斜率k1=﹣．故直线l1的方程为y﹣b=﹣（x﹣a），即ax+by﹣（a2+b2）=0．又直线l2的方程为ax+by﹣r2=0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为＞=r，故圆和直线l2相离．故选A．点评：本题考查点和圆、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离大于半径r，是解题的关键．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是①②③（填上你认为正确的命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．分析：命题判断一是直接判断二是用等价命题法①若x，y互为倒数，则xy=1成立；②三角形全等则面积一定相等正确，③若m≤1则△=4﹣4m≥0方程有根④若A∩B=B应是B⊆A．解答：解：①若x，y互为倒数，则xy=1成立；②逆命题是“三角形全等则面积一定相等”正确则其否命题正确，③若m≤1则△=4﹣4m≥0方程有根原命题正确则其逆否命题正确④若A∩B=B应是B⊆A则其逆否命题不正确．故答案是①②③点评：本题主要考查命题的判断方法．10．（5分）命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是∃x0∈R有|x﹣2|+|x﹣4|≤3．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：将命题中的“任何”变为“∃”，同时将结论否定即可．解答：解：“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是∃x0∈R，有，|x﹣2|+|x﹣4|≤3故答案为∃x0∈R有|x﹣2|+|x﹣4|≤3点评：本题考查含量词的命题的否定形式：将：“任意”与“存在”互换，结论否定．11．（5分）若直线y=x﹣m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，﹣1．点评：本题考查直线与曲线的交点问题，在同一坐标系中，分别作出函数的图象，借助于数形结合是求解的关键12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=1，平面ABEF⊥平面ABCD，则点D到平面BCF的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由题意作出图象，则可将点D到平面BCF的距离可化为点A到平面BCF的距离，再转化为平面ABEF内点A到直线BF的距离，从而利用面积相等求解．解答：解：如右图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴点D到平面BCF的距离可化为点A到平面BCF的距离，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，∴平面BCF⊥平面ABEF，∴点A到平面BCF的距离可化为平面ABEF内点A到直线BF的距离，则在平面ABEF内，BF=，则××h=×4×1，则h=．故答案为：．点评：本题考查了学生的作图能力与转化能力，属于中档题．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、有焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为1＜e≤2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解答：解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得，∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故答案为：1＜e≤2．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．14．（5分）已知P是椭圆=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为．考点：椭圆的简单性质．专题：解三角形；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用椭圆的方程求得：|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=8，进一步利用余弦定理|PF2|cosθ解得：|PF1||PF2|=12，在利用向量的夹角求出θ，最后利用三角形的面积公式求的结果．解答：解：已知P是椭圆=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则：|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=8在△PF1F2中，利用余弦定理得：|PF2|cosθcosθ=解得：则：|PF1||PF2|=12故答案为：点评：本题考查的知识要点：椭圆的定义和性质，余弦定理得应用，向量的夹角，及三角形的面积的应用．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3hslx3y3h，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．点评：本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题．16．（12分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，∴n=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．解答：解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．18．（14分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：k PA k PB=∴，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x≠±）（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0∴x1+x2=，x1 x2=0，|MN|=，整理得，k4+k2﹣2=0，解得k2=1，或k2=﹣2（舍）∴k=±1，经检验符合题意．∴直线l的方程是y=±x+1，即：x﹣y+1=0或x+y﹣1=0点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．20．（14分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB 分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）待定系数法求椭圆的方程．（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，使用基本不等式求最大值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意，解得a2=4，b2=2．所以，椭圆C的方程为．故点P（1，）（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为．由得，．设A（x A，y A），B（x B，y B），则，同理可得．则，．所以直线AB的斜率为定值．（Ⅲ）设AB的直线方程为，由得．由，得m2＜8．此时，．由椭圆的方程可得点P（1，），根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为，由两点间的距离公式可得=，故===≤×=．因为m2=4使判别式大于零，所以当且仅当m=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为．点评：直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和关键．。

2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．12．（4分）下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b3．（4分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．275．（4分）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A．B．C．D．6．（4分）已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列7．（4分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）8．（4分）在平面直角坐标系中，定义到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．（4分）已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．（4分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．（4分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．13．（4分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．三、解答题（4大题，共44分）15．（10分）△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数。

数学（文科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分） 1．已知0a，0b ,则不等式b xa ->>1的解是（ ）. A 11x a b -<< B 11x a b <<-C 10x b -<<,或1x a >D 1x b <-，或1x a>2．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若a =b =45B =︒，则角A=（ ）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°4．已知数列}{n a 是等比数列，则下列数列：①}{2n a ； ②}{1-+n n a a ； ③}{lg n a ； ④|}{|n a 中仍成等比数列的个数为 （ ）A 1B 2C 3D 4 5．不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6.若等差数列{}n a 满足2d =-,n S 是数列前n 的和,若1011S S =则1a 为 ( )A 18B 20C 22D 24 7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01508. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项9.等差数列}{n a 前n 项和为n S ,公差0<d ，若存在正整数)1(>m m 使m m S a =，则当m n >时n S 与n a 的大小关系为（ ）A n n a S >B n n a S <C n n a S =D 不能确定10 ．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（ ）A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p 二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．若等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a = .12．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则 实数m 的取值范围是 13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

广东省深圳市宝安区2016-2017学年高二数学上学期期中试题（答案不全）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1、已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（ ）A 。

2B .3 C. 2- D 。

3-2、等比数列{}n a 中，44a =，则a 2·a 6等于( ）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．323、已知ABC ∆中，3=a ,33=b ， 30=A ，则B 等于（ ）30.A 15030.或B 60.C12060.或D 4、不等式0322≥-+x x 的解集为（ ）A 、}13|{-≤≥x x x 或B 、}31|{≤≤-x xC 、}31|{-≤≥x x x 或D 、}13|{≤≤-x x5、已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a ( ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．36、符合下列条件的三角形△ABC 有且只有一个的是( ）A ．a=1，b=，A=30° B ．a=1，b=2,c=3C ．b=c=1，B=45°D ．a=1，b=2，A=100°7、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，并且a ＝1,b ＝3，A ＝30°,则c 的值为（ ）A 、2B 、3C 、3或2D 、1或28、已知函数f （x)=ax 2—x —c,且不等式ax 2-x-c>0的解集为｛x ｜—2<x<1},则函数y=f(-x ）的图象为（ ）9、已知各项均为正数的等比数列}{n a 中,13213,,22a a a 成等差数列,则=++1081311a a a a （ ） A. 27 B 。

3 C. 1-或3 D 。

1或27 10、已知a ＞0，实数x,y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ） A ．2 B ．1 C ．D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．11、在△ABC 中，BC=2，AC=2,C=300，则△ABC 的面积为12、若数列{}n a 满足：n n a a a 2,111==+)(*N n ∈，则=+++n a a a .....21 。

2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C=，a=2，b=1，则c 等于（ ）A ．B ．C ．D ．1 2．下列结论不正确的是（ ）A ．若ab ＞bc ，则a ＞cB ．若a 3＞b 3，则a ＞bC ．若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bcD ．若＜，则a ＞b3．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则此三角形必是 （ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275．数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2015=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cosBsinAsinC=sin 2B ，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列B ．，，成等比数列C ．a 2，b 2，c 2成等差数列D ．a 2，b 2，c 2成等比数列7．已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣1|，则不等式f （x ）＞1的解集为（ ）A ．（，2）B ．（，2）C ．（，3）D ．（，3）8．在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．已知数列{a n}满足a1=3，a n=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．+113．已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．﹣1三、解答题（4大题，共44分）15．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若数列{c n}满足c n=，且{c n}的前n项和为K n，求证：K n＜3．18．设二次函数f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R），对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；正项数列{a n}满足a n+1=f（a n）．数列{b n}，{c n}分别满足|b n+1﹣b n|=2，c n+12=4cn2．（1）若数列{b n}，{c n}为递增数列，且b1=1，c1=﹣1，求{b n}，{c n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g（n）=（n≥1，n∈N*），求g（n）的最小值；（3）已知a1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3（）+log3（）+…+log3（）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．1【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c为三角形的边长，则c=．故选B2．下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b【考点】不等式比较大小．【分析】A．C．D．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用数f（x）=x3在R上单调递增即可判断出正误．【解答】解：A．ab＞bc，b＜0，则a＜c，因此不成立．B．由函数f（x）=x3在R上单调递增，则a3＞b3⇔a＞b，正确．C．a＞b，c＜0，则ac＜bc，正确．D．∵＜，则a＜b，正确．故选：A．3．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin（A﹣B）=0，由A和B都为三角形的内角，得到A﹣B 的范围，利用特殊角的三角函数值得到A﹣B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选A4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【考点】等差数列的性质．【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．=，若a1=，则a2015=（）5．数列{a n}满足a n+1A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】求出数列的前几项，推出数列是周期数列，然后化简求解即可．【解答】解：a1=，代入到递推式中得a2=，同理可得a3=，a4=，a5=；因此{a n}为一个周期为4的一个数列．∴a2015=a4×503+3=a3=．故选：B．6．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．7．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出取并集即可．【解答】解：当x≥1时，f（x）＞1⇒（x+1）﹣2（x﹣1）=﹣x+3＞1，解得：x ＜2，∴1≤x ＜2①，当﹣1≤x ＜1时，f （x ）＞1⇒（x +1）﹣2（1﹣x ）＞1，解得：x ＞，∴＜x ＜1②，当x ＜﹣1时，f （x ）＞1⇒﹣（x +1）+2（x ﹣1）＞1，解得：x ＞4无解③综上，不等式的解集为（，2），故选：A ．8．在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】由题设可求p 1（0，1），P 2（1，1），由已知，可寻求a n 与a n ﹣1的关系，来研究数列{a n }的性质．再结合得出的性质求和计算．【解答】解：由题设知p 1（0，1），P 2（1，1），a 1=|P 1P 2|=1，且当n ≥2时，a n 2=|P n P n +1|2=（x n +1﹣x n ）2﹣（y n +1﹣y n ）2=[（y n ﹣x n ）﹣x n ]2+[（y n +x n ）﹣y n ]2=5x n 2﹣4x n y n +y n 2a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=（x n ﹣x n ﹣1）2﹣（y n ﹣y n ﹣1）2①由得 有代入①计算化简得a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=+=（5x n 2﹣4x n y n +y n 2）=a n 2．∴=，（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=，∴S10==故选C二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【考点】正弦定理．【分析】首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．10．已知等比数列{a n}的公比，则的值为﹣3．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式可得a n=a n﹣1q，故分母的值分别为分子的对应值乘以q，整体代入可得答案．【解答】解：由等比数列的定义可得：=====﹣3，故答案为：﹣311．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为560．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，由此能求出这个新数列的前10项之和．【解答】解：等差数列2，6，10，…，190的通项为a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2，等差数列2，8，10，14，…，200的通项为b n=2+（n﹣1）•6=6n﹣4，数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，∴c n=2+（n﹣1）•12=12n﹣10，S n==，∴=560．故答案为：560．12．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1﹣1．【考点】等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．【分析】将数列递推式两边同时加上1，化简后再作商可得数列{a n+1}是等比数列，代入通项公式化简，再求出a n．【解答】解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n﹣1=2n+1，∴a n=2n+1﹣1．13．已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是14．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将直线l：t=3x+4y﹣7对应的直线进行平移，观察截距的变化可得t的范围，由此可得|3x+4y﹣7|的最大值．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（0，1），C（1，0）设t=F（x，y）=3x+4y﹣7，将直线l：t=3x+4y﹣7进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值；当l经过点B时，目标函数z达到最大值0，1）=﹣3，t最小值=F（﹣1，﹣1）=﹣14∴t最大值=F（∴|3x+4y﹣7|∈[3，14]，故Z=|3x+4y﹣7|的最大值是14．故答案为：14．14．以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．﹣1【考点】数列的应用；元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理．【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣…﹣a2﹣a1，﹣1由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为三、解答题（4大题，共44分）15．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可计算求值得解．（2）由余弦定理可求cosA，结合A的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．（3）利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理所得==，可得：AC=AB×=3×=5．（2）由余弦定理所得cosA===﹣，又∵A∈（0，π），∴A=．=AB•AC•sinA==．（3）S△ABC16．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件求出池底面积，然后求解池壁面积S的表达式．（2）设水池总造价为y，推出y=（6x+）×120+1600×150，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得水池底面积为：=1600（平方米）池壁面积S=2（3x+3）=6x+（平方米）（2）设水池总造价为y，所以y=（6x+）×120+1600×150≥2．当且仅当6x=，即x=40米时，总造价最低为297600元．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n +1=S n +2（n ≥1，n ∈N *），数列{b n }满足b n =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足c n =，且{c n }的前n 项和为K n ，求证：K n ＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得b n ==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得所求和；（3）求得c n ==＜=2（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，注意从第四项放缩，化简整理即可得证．【解答】解：（1）∵a n +1=S n +2①∴a n =S n ﹣1+2②当n ≥2时①﹣②a n +1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ，即a n +1=2a n ，数列{a n }为公比q=2的等比数列．当n=1时，a 2=a 1+2=4，a 2=2a 1=4也满足a n +1=2a n ．∴a n =a 1q n ﹣1=2n ；（2）b n ==，前n 项和T n =1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n ﹣1）•（）n ，③T n =1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n ﹣1）•（）n +1，④③﹣④： T n =+2[（）2+（）3+…+（）n ]﹣（2n ﹣1）•（）n +1=+2•﹣（2n ﹣1）•（）n +1，化简可得T n =3﹣（2n +3）•（）n ；（3）证明：由（2）可得c n ==＜=2（﹣），前n 项和为K n =+++…+＜2+++2（﹣+﹣+…+﹣）=2++﹣，∵＜，﹣＜∴K n ＜2++=3，即K n ＜3．18．设二次函数f （x ）=（k ﹣4）x 2+kx （k ∈R ），对任意实数x ，有f （x ）≤6x +2恒成立；正项数列{a n }满足a n +1=f （a n ）．数列{b n }，{c n }分别满足|b n +1﹣b n |=2，c n +12=4c n 2．（1）若数列{b n }，{c n }为递增数列，且b 1=1，c 1=﹣1，求{b n }，{c n }的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g （n ）=（n ≥1，n ∈N *），求g （n ）的最小值；（3）已知a 1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n ∈N *，都有log 3（）+log 3（）+…+log 3（）＞﹣1+（﹣1）n ﹣12λ+nlog 32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）由题意，数列{b n }，{c n }为递增数列，即可求出{b n }，{c n }的通项公式（2）由题意可得，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，解不等式可得k=2，可得f（x）的解析式，可得f（n）=﹣2n2+2n，代值计算即可求出g（n）的表达式，根据g（n）=为关于n的单调递增函数，即可求出最小值．（3）假设存在非零整数λ．运用构造数列，结合等比数列的定义和通项公式和求和公式，化简所求不等式，即为2n﹣1＞（﹣1）n﹣1λ恒成立，讨论n为奇数和偶数，即可得到所求．【解答】解：（1）数列{b n}为递增数列，则|b n+1﹣b n|=b n+1﹣b n=2，∴{b n}为公差d=2的等差数列b1=1．∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1（n∈N*）由c n+12=4cn2，∴=4又∵数列{c n}为递增数列，∴=2，∴数列{c n}公比q=2的等比数列，首先c1=﹣1，∴c n=（﹣1）•2n﹣1=﹣2n﹣1，（n∈N*）（2）对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立，即为（k﹣4）x2+（k﹣6）x﹣2≤0，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，即为k2﹣4k+4≤0，即（k﹣2）2≤0，解得k=2，即有f（x）=﹣2x2+2x，∴f（n）=﹣2n2+2n，∴g（n）====2•=∴g（n）=为关于n的单调递增函数，又∵n≥1．∴g（n）min=g（1）==﹣2（3）由（2）得f（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+∵a n +1=f （a n ），又∵f （x ）≤，∴正项数列{a n }满足a n ∈（0，]令b n =﹣a n ，则b n +1=﹣a n +1=﹣（﹣2a n 2+2a n ）=2（﹣a n ）2，∴lgb n +1=lg2（﹣a n ）2=lg2+2lg （﹣a n ）=lg2+2lgb n ，∴lgb n +1+lg2=2（lg2+lgb n ），∵lg2+lgb 1=lg （﹣）+lg2=lg∴lg2+lgb n =（lg ）•2n ﹣1，∴lg2b n =lg （），∴b n =•（），∴log 3（）+log 3（）+…+log 3（）=log 32•+log 32•3+…+log 32•3=nlog 32+=nlog 32+2n ﹣1，要证2n +nlog 32﹣1＞﹣1+（﹣1）n ﹣1•2+nlog 32恒成立即证2n ＞（﹣1）n ﹣12λ恒成立∴2n ＞（﹣1）n ﹣12λ恒成立①当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立，当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值1为．∴λ＜1；②当n 为偶数时，即λ＞﹣2n ﹣1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值﹣2为．∴λ＞﹣2，所以，对任意n ∈N *，有﹣2＜λ＜1．又λ为非零整数，∴λ=﹣1．2017年3月23日。

2013-2014宝安中学高二年级上学期期中考试数学（文科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分） 1．已知0a >，0b >,则不等式b xa ->>1的解是（ ）. A 11x a b -<< B 11x a b <<-C 10x b -<<,或1x a >D 1x b <-，或1x a>2．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若a =b =45B =︒，则角A=（ ）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°4．已知数列}{n a 是等比数列，则下列数列：①}{2n a ； ②}{1-+n n a a ； ③}{lg n a ； ④|}{|n a 中仍成等比数列的个数为 （ ）A 1B 2C 3D 4 5．不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞Y6.若等差数列{}n a 满足2d =-,n S 是数列前n 的和,若1011S S =则1a 为 ( )A 18B 20C 22D 24 7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01508. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项9.等差数列}{n a 前n 项和为n S ,公差0<d ，若存在正整数)1(>m m 使m m S a =，则当m n >时n S 与n a 的大小关系为（ ）A n n a S >B n n a S <C n n a S =D 不能确定10 ．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（ ）A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p 二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．若等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a = .12．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则 实数m 的取值范围是 13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

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广东省深圳市2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x 的不等式x x x 352>--的解集是（ ） A.}1x 5{-<>或x x B.{5x 1}x x >-<或C.}5x 1{<<-xD. {5x 1}x -<<2．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A. 15B.14 C 。

13 D. 123．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ )A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->- 4．在ABC ∆中，45,60,1B C c =︒=︒=,则最短边的长等于（ ）A ．63 B ． 62 C ．12 D ．325．已知不等式2230x x --<的整数解构成等差数列{}n a 的前三项,则数列{}n a 的第四项是（ )A. 3B. －1 C 。

2 D. 3或－16．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为（ ）A 。