2019-2020学年广东省深圳市宝安中学高一(下)晚测数学试卷(一)

2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷一、单选题1．若i （1﹣z ）＝1，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i2．平面向量|a →|=1，|b →|=4，(2a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π43．已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则a →在b →上投影向量的坐标为（ ） A ．（√22，√22） B ．（12，12）C ．（√2，√2）D ．（1，1）4．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，ω＞0，A ＞0）的部分图像如图所示，若将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）的解析式可以为（ ）A ．g(x)=2√2sin(3x +π4) B ．g(x)=2√2cos(3x +π4) C ．g(x)=2√2sin(3x −π4)D ．g(x)=−2√2cos(3x −π4)5．如图，已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，点M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列平面中与BB 1垂直的平面是（ ）A ．平面A 1C 1DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面AB 1C6．在△ABC 中，已知a +b =atanA +btanB ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形7．如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以B 为圆心的圆与AC 相切，P 为圆上一点，且∠ABP =2π3，若AP →=λAB →+μAD →，则λμ的值为（ ）A ．11√325B ．√325C ．13√325D ．13√358．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ∥平面CND 1，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5二、多选题9．已知复数z 满足z ﹣2i ＝zi +4，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 的模为√10B ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为﹣1+3iD ．(z−13)2023=−i10．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝sin x +cos x ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增B ．f （x ）的图象可由g （x ）的图象平移得到C ．f （x ）图象的对称轴均为g （x ）图象的对称轴D ．函数y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√212．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，△ABC 的面积S 满足(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，点O 为△ABC 的外心，满足AO →=λAB →+μAC →，则下列结论正确的是（ ） A ．S ＝6 B ．CB →⋅AO →=10C ．|AO →|=2√213D ．λ=2−2√33三、填空题 13．计算：sin47°−sin17°cos30°cos17°= ．14．将边长为20的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A ′B ′C ′，则A ′C ′＝ ．15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD 区域建一处湿地公园．已知∠DAB ＝90°，∠DBA ＝45°，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝60°，AB =2√2千米，则CD ＝ 千米．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B 1﹣AMCD ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ； ②存在某个位置，使得CN ⊥AB 1； ③存在某个位置，使得AD ⊥MB 1； ④四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大值为√24．上面说法中所有正确的序号是 ．四、解答题17．（10分）已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．18．（12分）已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴． （2）当x ∈[−π8，3π8]时，求函数f （x ）的单调增区间． 19．（12分）如图，在Rt △P AB 中，P A ⊥AB ，且PA =2√3，AB ＝2，将△P AB 绕直角边P A 旋转2π3到△P AC处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC （不含端点）上的一个动点．（1）是否存在点D ，使得BC ⊥PD ？若存在，求出∠CAD 的大小；若不存在，请说明理由； （2）当四棱锥P ﹣ABDC 体积最大时，求C 沿圆锥侧面到达点D 的最短距离．20．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ﹣2b cos A ＝b ． （1）求证：A ＝2B ；（2）若A 的角平分线交BC 于D ，且c ＝2，求△ABD 面积的取值范围．21．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE =√3．（1）求多面体ABCDE的体积．（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF∥平面ADE？说明理由；22．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，记OA＝a（单位：10m）．（1）在△ABC中，求cos∠ABC的值；（2）若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）如图（3）所示，点P 在水平地面上的投影为P0．①用θ表示PP0，BP0，BP的长；②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239（单位：10m），求实数a 的取值范围．2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．若i （1﹣z ）＝1，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i解：i （1﹣z ）＝1，则1﹣z =1i =−i ，故z ＝1+i ，其虚部为1． 故选：C ．2．平面向量|a →|=1，|b →|=4，(2a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解：设a →与b →的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵(2a →+b →)⊥a →，∴(2a →+b →)⋅a →=2a →2+a →⋅b →=0， ∵|a →|=1，|b →|=4，∴2+1×4×cos θ＝0，解得cos θ=−12， ∴a →与b →的夹角是2π3．故选：C ．3．已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则a →在b →上投影向量的坐标为（ ）A ．（√22，√22） B ．（12，12）C ．（√2，√2）D ．（1，1） 解：向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则|b →|=√12+12=√2，a →⋅b →=2×√2×cos π3=√2，故a →⋅b →|b →|×b→|b →|=√2√2×√2=(√22，√22)．故选：A ．4．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，ω＞0，A ＞0）的部分图像如图所示，若将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）的解析式可以为（ ）A ．g(x)=2√2sin(3x +π)B ．g(x)=2√2cos(3x +π)C ．g(x)=2√2sin(3x −π4) D ．g(x)=−2√2cos(3x −π4)解：由图知，最小正周期T =43（11π12−5π12）=2π3，所以ω=2πT=3， 又f （11π12）＝A ，所以A sin （3•11π12+φ）＝A ，即sin （11π4+φ）＝1，所以11π4+φ=π2+2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π−9π4，k ∈Z ，当k ＝1时，φ=−π4，此时f （x ）＝A sin （3x −π4）， 因为f （π2）＝﹣2，所以A sin （3•π2−π4）＝﹣2，即A sin5π4=−√22A ＝﹣2， 所以A ＝2√2，所以f （x ）＝2√2sin （3x −π4），因为将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，所以g （x ）＝2√2sin[3（x +π6）−π4]＝2√2sin （3x +π4）． 故选：A ．5．如图，已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，点M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列平面中与BB 1垂直的平面是（ ）A ．平面A 1C 1DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面AB 1C解：延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1交于一点P ，取PB 中点Q ，连接AQ ，CQ ，如图所示：因为正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，所以P ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱锥， 因为AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，且△P A 1B 1∽△P AB ， 所以A 1B 1AB=PB 1PB，即46=PB 1PB 1+2，解得PB 1＝4，所以PB ＝P A ＝AB ＝6，即△P AB 为等边三角形，因为Q 为PB 中点，所以AQ ⊥PB ，且QB ＝3，同理可得CQ ⊥PB ， 因为BB 1＝2，所以QB 1＝1，即QB 1QB=13，因为M ，N 为A 1B 1，B 1C 1中点，所以MB 1＝NB 1＝2， 故QB 1MB 1=12=QB AB，QB 1NB 1=12=QB CB，因为∠QB 1M ＝∠QBA ，∠QB 1N ＝∠QBC ， 所以△QB 1M ∽△QBA ，△QB 1N ∽△QBC ， 所以∠QMB 1＝∠QAB ，∠QNB 1＝∠QCB ， 因为MB 1∥AB ，NB 1∥CB ， 所以M 在AQ 上，N 在CQ 上，因为AQ ⊥PB ，CQ ⊥PB ，所以AM ⊥PB ，CN ⊥PB ，即AM ⊥BB 1，CN ⊥BB 1，因为AM ⊂平面AMCN ，CN ⊂平面AMCN ，AM ∩CN ＝Q ，所以BB 1⊥平面AMCN ． 故选：C ．6．在△ABC 中，已知a +b =a tanA +btanB，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形解：因为a +b =atanA +btanB ， 所以sin A +sin B =sinAsinAcosA+sinBsinB cosB=cos A +cos B ，整理可得sin A ﹣cos A ＝﹣sin B +cos B ，所以√2sin （A −π4）=−√2sin （B −π4）， 又因为A ，B ∈（0，π）， 所以A −π4∈（−π4，3π4），B −π4∈（−π4，3π4），所以A −π4=−（B −π4），可得A +B =π2， 所以△ABC 的形状一定是直角三角形． 故选：B ．7．如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以B 为圆心的圆与AC 相切，P 为圆上一点，且∠ABP =2π3，若AP →=λAB →+μAD →，则λμ的值为（ ）A ．11√325B ．√325C ．13√325D ．13√35解：过点P 做PE ⊥AB 交AB 延长线于点E ，如图所示：因为矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，所以AC =√42+32=5， 因为P 为圆上一点，所以BP 为圆的半径，因为圆与AC 相切，根据△ACB 面积相等可得：12AB ⋅BC =12AC ⋅BP ，即12⋅4⋅3=12⋅5⋅BP ，解得BP =125，因为∠ABP =2π3，所以∠PBE =π3，所以BE =65，PE =6√35， 因为PE ⊥AB ，所以PE ∥AD ，因为AD ＝3，PE =6√35，所以PEAD =6√353=2√35，所以EP →=2√35AD →，因为BE =65，AB ＝4，所以AE =265，所以AEAB =2654=1310，所以AE →=1310AB →，所以AP →=AE →+EP →=1310AB →+2√35AD →=λAB →+μAD →，故{λ=1310μ=2√35，所以λμ=13√325．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ∥平面CND 1，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5解：如图，取棱BC 的中点E ，连接DE ，B 1E ，ME ， 因为M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，所以在△BCD 1中，ME ∥CD 1，由于ME ⊄平面CND 1，CD 1⊂平面CND 1， 所以ME ∥平面CND 1，因为B 1N ∥CE ，B 1N ＝CE ，所以，四边形CNB 1E 为平行四边形， 所以CN ∥B 1E ，因为CN ⊂平面CND 1，B 1E ⊄平面CND 1， 所以B 1E ∥平面CND 1，因为B 1E ∩ME ＝E ，B 1E ，ME ⊂平面B 1EM ， 所以平面B 1EM ∥平面CND 1， 由于M 为体对角线BD 1的中点，所以，连接B 1M 并延长，直线B 1M 必过D 点， 故取A 1D 1中点F ，连接B 1F ，FD ，DE ， 所以由正方体的性质易知FD 1∥CE ，FD 1＝CE ，所以四边形CD 1FE 是平行四边形，EF ∥CD 1，EF ＝CD 1， 因为ME ∥CD 1，ME =12CD 1，所以E ，F ，M 共线，即F ∈平面B 1EM ，所以四边形B 1EDF 为点P 的轨迹，故A 选项错误；由正方体的棱长为1，所以四边形B 1EDF 的棱长均为√52，且对角线为EF =√2，B 1D =√3，所以四边形B 1EDF 为菱形，周长为2√5，故CD 选项错误， 由菱形的性质知，线段MP 的最大值为12B 1D =√32，故B 选项正确． 故选：B ．二、多选题9．已知复数z满足z﹣2i＝zi+4，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为√10B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为﹣1+3i D．(z−13)2023=−i解：因为z﹣2i＝zi+4，所以（1﹣i）z＝4+2i，z=4+2i1−i=2(1+i)(2+i)(1+i)(1−i)=1+3i，有|z|=√11+32=√10，故A正确；复数z在复平面内所对应的点为（1，3），位于第一象限，故B错误；复数z的共轭复数为z＝1﹣3i，故C错误；因为(z−13)2023=i2023=−i，故D正确．故选：AD．10．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A．B．C．D．解：对于A选项，由下图可知MN∥DE∥AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC，A正确．对于B 选项，设H 是EG 的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB ∥NH ，MN ∥AH ∥BC ，AM ∥CH ，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，B 错误．对于C 选项，如下图所示，根据正方体的性质可知MN ∥AD ，由于AD ⊄平面ABC ，所以MN ⊄平面ABC ，所以C 错误．对于D 选项，设AC ∩NE ＝D ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以MN ∥BD ，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，D 正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝sin x +cos x ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增B ．f （x ）的图象可由g （x ）的图象平移得到C ．f （x ）图象的对称轴均为g （x ）图象的对称轴D ．函数y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√2解：f （x ）＝sin x cos x =12sin2x ，g （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），选项A ，由x ∈（0，π4）知，2x ∈（0，π2），x +π4∈（π4，π2），又函数y ＝sin x 在（0，π2）上单调递增，所以f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增，即A 正确；选项B ，f （x ）的图象需由g （x ）的图象经过平移和伸缩变换得到，即B 错误； 选项C ，令2x =π2+k 1π，k 1∈Z ，则x =π4+k 1π2，k 1∈Z ， 所以f （x ）图象的对称轴为x =π4+k 1π2，k 1∈Z ，令x +π4=π2+k 2π，k 2∈Z ，则x =π4+k 2π，k 2∈Z ， 所以g （x ）图象的对称轴为x =π4+k 2π，k 2∈Z ， 所以g （x ）图象的对称轴均为f （x ）图象的对称轴，即C 错误； 选项D ，f （x ）max =12，g （x ）max =√2，而当x =π4时，f （x ）max =12与g （x ）max =√2可同时成立， 所以y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√2，即D 正确．故选：AD ．12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，△ABC 的面积S 满足(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，点O 为△ABC 的外心，满足AO →=λAB →+μAC →，则下列结论正确的是（ ） A ．S ＝6B ．CB →⋅AO →=10C ．|AO →|=2√213D ．λ=2−2√33解：∵(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，且b ＝4，c ＝6， ∴b 2+c 2−a 2+2bc =(4√3+8)⋅12bcsinA ， ∴2bccosA +2bc =(2√3+4)bcsinA ， ∴48cosA +48=48(√3+2)sinA ， ∴cosA +1=(√3+2)sinA ，∴cos 2A +2cosA +1=(7+4√3)(1−cos 2A)，解得cosA =√32或﹣1（舍去），∴sinA =12，∴S =12bcsinA =12×4×6×12=6，A 正确； 如图，O 为△ABC 的外心，则：CB →⋅AO →=(AB →−AC →)⋅AO →=AB →⋅AO →−AC →⋅AO →=|AB →||AO →|⋅12|AB →||AO →|−|AC →||AO →|⋅12|AC →||AO →|=12|AB →|2−12|AC →|2=12c 2−12b 2=18−8=10，B 正确； ∵AO →=λAB →+μAC →，∴{AO →⋅AB →=λAB →2+μAB →⋅AC →AO →⋅AC →=λAB →⋅AC →+μAC →2，且AO →⋅AB →=18，AO →⋅AC →=8，AB →2=36，AC →2=16，AB →⋅AC →=bccosA =12√3， ∴{36λ+12√3μ=1812√3λ+16μ=8，化简得{6λ+2√3μ=33√3λ+4μ=2，解得λ=2−2√33，μ=2−3√32，D 正确；根据余弦定理，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝16+36−2×4×6×√32=52−24√3=4(13−6√3)，∴a =2√13−6√3， 根据正弦定理，asinA=2√13−6√312=2R =2|AO →|，∴|AO →|=2√13−6√3，C 错误．故选：ABD ． 三、填空题 13．计算：sin47°−sin17°cos30°cos17°=12．解：sin47°−sin17°cos30°cos17°=sin(30°+17°)−sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°cos17°=12．故答案为：12．14．将边长为20的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A ′B ′C ′，则A ′C ′＝ 5（√6−1） ．解：由题意，在平面直角坐标系中，三角形ABC 是边长为20的正三角形，∴AB＝BC＝20，BC边上的高为ℎ=10√3，按“斜二测”画法如下图所示：∴B′D′=C′D′=12BC=10，A′D′=12ℎ=12×10√3=5√3，在三角形A'C'D'中，∠A'D'C'＝45°，由余弦定理得，A′C′=√A′D′2+C′D′2−2A′D′⋅C′D′cos∠A′D′C′=√(5√3)2+102−2×5√3×10×cos45°= 5(√6−1)．故答案为：5(√6−1)．15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB=2√2千米，则CD＝2√3千米．解：由题意可知，ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，所以2√2sin(180°−30°−45°−60°)=ACsin(45°+60°)，即2√2sin45°=ACsin45°cos60°+cos45°sin60°，所以4=AC√6+√24，所以AC=√6+√2，又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，所以△ABD为等腰直角三角形，所以AD=AB=2√2，在△DAC中由余弦定理得CD=√AC2+AD2−2⋅AC⋅ADcos∠DAC=√(√6+√2)2+(2√2)2−2(√6+√2)×2√2cos(90°−30°)=2√3，所以CD=2√3．故答案为：2√3．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B 1﹣AMCD ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ； ②存在某个位置，使得CN ⊥AB 1； ③存在某个位置，使得AD ⊥MB 1； ④四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大值为√24． 上面说法中所有正确的序号是 ①④ ．解：如图，分别取AB 1，AD 的中点为E ，F ，连接EN ，EM ，B 1F ，FM ，因为AB 1，B 1D 的中点分别为E ，N ，所以EN ∥AD ∥MC ，且EN =12AD ＝MC ，即四边形ENCM 为平行四边形，故EM ∥NC ，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ，故①正确；因为∠AB 1M ＝90°，所以AB 1与EM 不垂直，由EM ∥NC 可知，AB 1与NC 不垂直，故②错误； 由题意AB 1⊥B 1M ，若AD ⊥MB 1，则由线面垂直的判定可得MB 1⊥平面AB 1D ，则MB 1⊥B 1D ， 因为AM ＝MD ，所以△AMB 1与△MB 1D 全等，则AB 1＝B 1D ＝1，此时点B 1与点F 重合，不能形成四棱锥B 1﹣AMCD ，故③错误；如图，取AM 的中点为G ，连接B 1G ，B 1G =√22，当B 1G ⊥平面AMCD 时，四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大，最大值为13（1+2）×1×√22=√24，故④正确；故答案为：①④． 四、解答题17．（10分）已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365， （2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911． 18．（12分）已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴．（2）当x ∈[−π8，3π8]时，求函数f （x ）的单调增区间． 解：（Ⅰ）f(x)=sinx ⋅cosx +12cos2x +12=12sin2x +12cos2x +12 =√22sin(2x +π4)+12， ∴函数f （x ）的最小正周期T =2π2=π； 由2x +π4=k π+π2，解得x =kπ2+π8，k ∈Z ； （Ⅱ）当x ∈[−π8，3π8]时，2x +π4∈[0，π]， ∴当2x +π4∈[0，π2]即x ∈[−π8，π8]时，函数f （x ）单调递增， 即函数f （x ）的单调增区间为[−π8，π8]．19．（12分）如图，在Rt △P AB 中，P A ⊥AB ，且PA =2√3，AB ＝2，将△P AB 绕直角边P A 旋转2π3到△P AC处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC （不含端点）上的一个动点．（1）是否存在点D ，使得BC ⊥PD ？若存在，求出∠CAD 的大小；若不存在，请说明理由； （2）当四棱锥P ﹣ABDC 体积最大时，求C 沿圆锥侧面到达点D 的最短距离．解：（1）∵在圆锥中，P A ⊥底面ABC ， ∴P A ⊥BC ， 若BC ⊥PD ，∵PD ∩P A ＝P ，∴BC ⊥平面P AD 即可， 则BC ⊥AD ，即可，∵AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，∴AD 是BC 边上的中垂线即可， 即当D 是弧BC 的中点时，满足BC ⊥PD ，此时∠CAD =12×2π3=π3．（2）在四棱锥P ﹣ABDC ，高P A ＝2√3是定值，要使四棱锥P ﹣ABDC 体积最大，则只需要四边形ABCB 的面积最大即可，设∠CAD ＝θ，（0＜θ＜2π3），则∠BAD =2π3−θ， 设圆锥底面半径为R ，则R ＝AB ＝2，则ABCB 的面积S ＝S △CAD +S △BAD =12R 2sin θ+12R 2sin （2π3−θ）＝2sin θ+2sin （2π3−θ）＝2sin θ+√3cos θ+sin θ＝3sin θ+√3cos θ＝2√3（√32sin θ+12cos θ）＝2√3sin （θ+π6）， ∵0＜θ＜2π3，∴π6＜θ+π6＜5π6， 则当θ+π6=π2时，即θ=π3时，ABCB 的面积S 最大，此时四棱锥P ﹣ABDC 体积最大，此时D 为BC ̂的中点，其中BC ̂=2π3×AC =4π3，将圆锥的侧面展开后得到扇形如图： ∵PA =2√3，AB ＝2， ∴母线PB =√PA 2+AB 2=4，则圆心角∠CPB =4π34=π3，∵D 是BĈ的中点， ∴∠CPD =12∠CPB =π6， 则CD 2＝PC 2+PB 2﹣2PC •PB cosπ6=16+16﹣2×4×4×√32=32﹣16√3=8（4﹣2√3）＝8（√3−1）2， 则CD =√8×（√3−1）＝2（√6−√2）．20．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ﹣2b cos A ＝b ． （1）求证：A ＝2B ；（2）若A 的角平分线交BC 于D ，且c ＝2，求△ABD 面积的取值范围． 证明：（1）∵c ﹣2b cos A ＝b ，∴由正弦定理可得，sin C ﹣2sin B cos A ＝sin B ， ∵A +B +C ＝π， ∴sin （A +B ）＝sin C ，∴sin （A +B ）﹣2sin B cos A ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ＝sin B ， ∴sin （A ﹣B ）＝sin B ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈（0，π2），B ∈（0，π2），∴A ﹣B ∈(−π2，π2)，∵y ＝sin x 在（−π2，π2）上单调递增，∴A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ； （2）解：∵A ＝2B ，∴在△ABD 中，∠ABC ＝∠BAD ， 由正弦定理可得，AD sinB=AB sin(π−2B)=2sin2B，∴AD ＝BD =1cosB ，∴S △ABD =12AB ×AD ×sinB =12×2×1cosB×sinB =tanB ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0＜B ＜π20＜2B ＜π20＜π−3B ＜π2，解得π6＜B ＜π4， ∴tanB ∈(√33，1)，∴△ABD 面积的取值范围为（√33，1）． 21．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE =√3．（1）求多面体ABCDE 的体积．（2）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ？说明理由；解：（1）如图，在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，垂足点为H ，又平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴BH ⊥平面ACD ，∵△ABC 和△ACD 均为正三角形，∴H 为AC 中点，DH ⊥AC ，又平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴DH ⊥平面ABC ，又BE ⊥平面ABC ，∴DH ∥EB ，又EB ⊄平面ACD ，DH ⊂平面ACD ，∴EB ∥平面ACD ，∴E 到平面ACD 的距离等于B 到平面ACD 的距离，即为BH ，又AC ＝4，BE =√3，∴BH ＝DH =2√3，∴多面体ABCDE 的体积为：V E ﹣ABC +V E ﹣ACD =13×12×4×4×√32×√3+13×12×4×4×√32×2√3=12；（2）由（1）可知四边形DHBE 为直角梯形，DH ＝2EB ，且H 为AC 中点，取DH的中点G，连接GB，则易知GB∥DE，又GB⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴GB∥平面ADE，再取AH的中点F，连接GF，FB，则GF∥AD，同理可证GF∥平面ADE，又GF∩GB＝G，∴平面BGF∥平面ADE，又BF⊂平面BGF，∴BF∥平面ADE，∵H为AC中点，F为AH的中点，∴AC＝4AF，故AC上存在点F，且AC＝4AF，使得BF∥平面ADE．22．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，记OA＝a（单位：10m）．（1）在△ABC中，求cos∠ABC的值；（2）若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）如图（3）所示，点P 在水平地面上的投影为P0．①用θ表示PP0，BP0，BP的长；②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239（单位：10m），求实数a的取值范围．解：设DC＝m，则BD＝8m，所以在△ABD和△ABC中，分别利用余弦定理得：cos∠ABC=a8m=a2+81m2−a22⋅9m⋅a=9m2a，所以a2＝36m2，所以a＝6m，则cos∠ABC=3 4；（2）根据题意，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239，即(PB)max≤√239，过点P作PQ⊥l于点Q，连接BQ，PB，要使PB尽可能的大，则点P在直线m的上方部分，且Q在点A的右侧，如图，设PQ＝h，AQ＝x，a≤h≤a+6，由于PQ垂直底面ABC，在Rt△OPE中，（h﹣a）2+x2＝36，则h2+a2+x2﹣2ah＝36，所以PB=√BQ2+PQ2=√AB2+AQ2−2AB⋅AQ⋅(−34)+PQ2=√a2+x2+32ax+ℎ2=√36+2aℎ+32ax=√36+a(2ℎ+32x)，令{ℎ=a+6cosθx=6sinθ，则2h+32x＝2a+12cosθ+9sinθ＝2a+15sn（θ+φ）≤2a+15（其中tanφ=34），所以(PB)max=√36+2a2−15a≤√239，即2a2+15a﹣203≤0，所以（a﹣7）（2a+29）≤0，解得a≤7，所以实数a的取值范围（6，7]．。

广东省深圳市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·武威期末) 若某直线过(3,2),(4,2+ )两点,则此直线的倾斜角为（）.A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°2. （2分）在中，边a,b,c所对的角分别为A,B,C，若，则b=（）A .B .C .D . 23. （2分）下列命题中假命题是（）A . 离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直B . 过点（1，1）且与直线x－2y+=0垂直的直线方程是2x + y－3=0C . 抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1D . +=1的两条准线之间的距离为4. （2分）已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条5. （2分）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则．B . 若，则．C . 若，则．D . 若，则．6. （2分）下列叙述中正确的是（）A . 从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小B . 频数是指落在各个小组内的数据C . 每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率D . 组数是样本平均数除以组距7. （2分）我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为（）A . 28海里/小时B . 14海里/小时C . 14 海里/小时D . 20海里/小时8. （2分）在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为（）A . 30°B . 60°C . 30°或150°D . 60°或120°9. （2分）已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中, P,Q是面对角线A1C1上的两个不同动点.①存在P,Q两点,使BP DQ;②存在P,Q两点,使BP,DQ与直线B1C都成450的角;③若|PQ|=1,则四面体BDPQ的体积一定是定值;④若|PQ|=1,则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.以上命题为真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则（）A .B .C .D . 与关系不确定二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2016·上海理) 某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________（米）．12. （1分）(2018·中山模拟) 中, , 为边上的点,且 , ,则的面积最大值为________．13. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=________．14. （1分） (2019高二下·太原月考) 在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则 ________．15. （1分） (2018高二上·武邑月考) 棱长为1的正方体中，分别是的中点.① 在直线上运动时，三棱锥体积不变；② 在直线上运动时，始终与平面平行；③平面平面；④连接正方体的任意的两个顶点形成一条直线，其中与棱所在直线异面的有条；其中真命题的编号是________.（写出所有正确命题的编号）16. （1分） (2019高二上·南宁月考) 已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则的最大值为________三、解答题 (共4题；共20分)17. （5分）(2018高一下·柳州期末) 在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的值；（2）若，求边的长.18. （5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．19. （5分）(2016·赤峰模拟) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB= ，AD=1，AB=2，BC=3．（1）求证：SB⊥平面SAD；（2）求二面角D﹣SC﹣B的余弦值．20. （5分） (2019高二上·南充期中) 已知的三顶点坐标分别为，，．（1）求的外接圆圆M的方程；（2）已知动点P在直线上，过点P作圆M的两条切线PE,PF，切点分别为E,F.①记四边形PEMF的面积分别为S，求S的最小值；②证明直线EF恒过定点.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共20分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。

广东省深圳市2019-2020学年高三下学期第一次调研数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 集合，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）A．B．（﹣1，0）C．D．（0，1）2. 下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝x2cos x C．y＝2x+2﹣xD．3. 已知复数z＝i2019+i2020，则z的共轨复数（）A．﹣1+i B．1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i4. 已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3C．ln3＞log3e＞lnπD．ln3＞lnπ＞log3e5. 将直线l：y＝2x+1绕点A（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为（）A．2x﹣y+1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．3x﹣2y+3＝0 D．3x+y﹣6＝06. 已知数列{a n}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（）A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．167. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．C．D．8. 已知过原点的直线与曲线相切，则的斜率为（）A．B．C．D．9. 珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》?2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．10. 已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF 的中点，连接OM，则△OMQ的最小面积为（）A．1 B．C．2 D．411. 已知定义在R上的函数在[1，2]上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线x对称，给出下列结论：①；②函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个极值点；③函数f（x）在上单调递增；④函数f（x）的最小正周期是2．其中所有正确结论的编号是（）A．②③B．①④C．②③④D．①②12. 将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至处，在以点B'，A，C，为顶点的四面体AB'CD中，棱AC、B'D的中点分别为E、F，若AC＝6，且四面体AB'CD的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为（）C．D．A．B．二、填空题13. 记S n为等差数列{a n}的前n项和，若5a2＝S5+5，则数列{a n}的公差为_____．14. 某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（°C）之间的关系，气温X（°C）19 13 9 ﹣1每日总用电量y24 34 38 64（（万度）经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为14°C时，该地当日总用电量y（万度）为_____．15. 已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为_____．16. 已知点F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为_____．三、解答题17. 函数f（x）＝（sin x+cos x）2cos（2x+π）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且a＝2，求△ABC的面积．18. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，BC1＝CC．1（1）求证：A1B⊥平面AB1C1；（2）求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．19. 已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线x＝t交于点N．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．20. 某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k（k∈(1，2n））；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？（参考数据：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．21. 已知函数f（x）＝2cos2x+ax2．（1）当a＝1时，求f（x）的导函数在上的零点个数；（2）若关于x的不等式2cos（2sin x）+a2x2≤af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．22. 如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD 四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D （2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线M1是弧，曲线M2是弧．（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：（2）点E，F位于曲线M2上，且，求△EOF面积的取值范围．23. 已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．。

2019-2020学年广东省深圳市红岭中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1. 已知集合M{−1,0，1}，N ={0,1，2}，则M ∪N =( )A. {0,1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，2}D. {−1,0，1}2. 下列函数既是奇函数又是增函数的是( )A. y =cos(2x +π2) B. y =x 3 C. y =lnx 3D. y =x 233. 已知向量a ⃗ =(−2,m),b ⃗ =(1,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数m 的值为( )A. −1B. −12C. 12D. 14. 已知幂函数y =f(x)的图象经过点(3,√33)，则log 13f(3)的值是( ) A. −13B. 1C. 13D. −15. 已知直线mx +2y +3=0与直线3x +(m −1)y =0平行，则实数m 的值为( )A. −2B. 1C. 5D. −2或36. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. f(x)=elnx ，g(x)=x B. f(x)=x 2−4x+2,g(x)=x −2C. f(x)=sin2x2cosx ,g(x)=sinxD. f(x)=|x|,g(x)=√x 27. 一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机取出两个小球，则取到两个红球的概率为( )A. 13B. 12C. 23D. 348. 设f(x)={2e x−1,(x <2)log 3(x 2−1),(x ≥2)，则f[f(1)]=( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A. 4B. 8C. 12D. 2410. 将函数y =2sin(2x +π4)的图象向左平移π8个单位长度，则所得函数( )A. 是奇函数B. 其图象以x =π4为一条对称轴 C. 其图象以(π2,0)为一个对称中心D. 在区间(0,π2)上为单调递减函数11. 已知圆C ：(x −1)2+(y +2)2=2，若直线y =kx −4上总存在点P ，使得过点P的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是( )A. k ≤−43或k ≥0 B. k ≤−34 C. k ≤−34或k ≥1D. k ≥1二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）12. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2=a(a +b)，则cos 2Acos(C−A)的取值范围是______ ．13. 已知α∈(0,π2)，且cosα=35，则cos(π2+α)= ______ ．14. 已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4，直线l ：x +ay −5=0，若直线l 与圆C 相切，则实数a = ______ ．15. 已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，AB =CD =2√2，∠CBD =45°，则球O 的表面积为______．16. 已知函数f(x)={1−|2x −3|,x ≤312x −1,x >3，若函数g(x)=f(x)−ax 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=2sinxcosx −√3cos2x,x ∈R ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求f(x)在x ∈[0,π2]的值域．18.某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在[50,100]内，按成绩分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的a值；(2)根据频率直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；(3)用分层抽样的方法从成绩在[80,100]内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[90,100]内至少有1名学生被抽到的概率．19.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AD=√3,BC=√2．(1)若CD=1+√3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD=3√25,∠ADC∈(0,π2)，求sin∠ADC．20. 如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，BC//AD ，CE ⊥AD ，垂足为E ，AD =3BC =3，EC =1，将△DEC 沿EC 折起到△D 1EC 的位置，如图2所示，使平面D 1EC ⊥平面ABCE ．(1)连结BE ，证明：AB ⊥平面D 1BE ；(2)在棱AD 1上是否存在点G ，使得BG//平面D 1EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥G −D 1EC 的体积；若不存在，请说明理由．21. 已知圆C 1：x 2+y 2−2mx −4my +5m 2−4=0，圆C 2：x 2+y 2=1．(1)若圆C 1、C 2相交，求m 的取值范围；(2)若圆C 1与直线l ：x +2y −4=0相交于M 、N 两点，且|MN|=4√55，求m 的值；(3)已知点P(2,0)，圆C 1上一点A ，圆C 2上一点B ，求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围．22.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)．x(1)求a，b的值(2)若不等式f(log2x)−2klog2x≥0在x∈[2,4]上有解，求实数k的取值范围；−3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．(3)若f(|2x−1|)+k⋅2|2x−1|答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M{−1,0，1}，N={0,1，2}，∴M∪N={−1,0，1，2}，故选：B．根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：)=−sin2x为奇函数，但不是单调函数，不符合题意；对于A，函数y=cos(2x+π2对于B，函数y=x3为奇函数，其导数y′=3x2≥0，是单调增函数，符合题意；对于C，y=lnx3，其定义域为(0,+∞)，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意；3，为偶函数，不符合题意；对于D，y=x23=√x2故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，向量a⃗=(−2,m),b⃗ =(1,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =−2+2m=0，解可得：m=1；故选：D．根据题意，由数量积的坐标计算公式可得a⃗⋅b⃗ =−2+2m=0，解可得m的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：幂函数y =f(x)的图象过点(3,√33)，则f(3)=√33=313=(13)−13， 所以log 13f(3)=log 13(13)−13=−13．故选：A ．根据题意知f(3)=√33，再计算log 13f(3)的值． 本题考查了幂函数与指数函数的应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，直线mx +2y +3=0与直线3x +(m −1)y =0平行， 则有m(m −1)=3×2=6， 解可得：m =3或−2， 故选：D ．根据题意，由直线平行的判断方法可得m(m −1)=3×2=6，解可得m 的值，即可得答案．本题考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：f(x)=e lnx =x ，(x >0)，g(x)=x(x ∈R)，两函数定义域不同，故不为同一函数； f(x)=x 2−4x+2=x −2(x ≠−2)，g(x)=x −2(x ∈R)，两函数定义域不同，故不为同一函数；f(x)=sin2x2cosx =sinx(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，g(x)=sinx(x ∈R)，两函数定义域不同，故不为同一函数；f(x)=|x|，g(x)=√x 2=|x|，两函数定义域和解析式完全相同，故为同一函数． 故选：D ．由只有函数的定义域和对应法则相同，才是同一函数，判断各个选项，即可得到答案．本题考查同一函数的判断，注意只有函数的定义域和对应法则相同，才是同一函数，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：令红球为a，b，c，白球为D，取出两个小球的所有基本事件有：(a,b)，(a,c)，(a,D)，(b,c)，(b,D)，(c,D)，共6个，其中满足条件的有3个，故所求概率为1．2故选：B．令红球为a，b，c，白球为D，利用列举法取出两个小球的所有基本事件有6个，其中满足条件的有3个，由此能求出取到两个红球的概率．本小题主要考查古典概率等基本知识，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由分段函数可知f(1)=2e1−1=2e0=2，∴f(f(1))=f(2)=log3(22−1)=log33=1．故选：B．根据分段函数，先求f(1)，然后再计算f(f(1))的值即可．本题主要考查分段函数的应用，以及指数幂和对数的基本运算，比较基础．9.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：如图所示：该几何体为三棱锥体，故：V=13×12×2×3×4=4，故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：将函数y=2sin(2x+π4)的图象向左平移π8个单位长度，则所得函数为y=2sin(2x+π4+π4)=2cos2x，显然，所得函数为偶函数，故A不成立；令x=π4，求得y=0，故B错误；令x=π2，求得y=−2，为最小值，故C错误；在区间(0,π2)上，2x∈(0,π)，y为单调递减函数，故D成立，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的性质，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：已知圆C：(x−1)2+(y+2)2=2，若直线y=kx−4上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，如图所示：根据过点P的圆C的两条切线互相垂直，所以四边形APBC为正方形，所以PC=√(√2)2+(√2)2=2，所以只需圆心(1,−2)到直线y=kx−4的距离d=√1+k2≤2，解得k≤−43或k≥0．故选：A．直接利用直线和圆的位置关系由于存在点P使圆的两切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出k的取值范围．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】(√22,1)【解析】解：锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=a(a+b)，根据余弦定理a2+b2−2abcosC=a2+ab，整理得b−a=2acosC，由正弦定理sinB−sinA=2sinAcosC，整理得sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，所以sinA=sin(C−A)，由于A和C都为锐角，所以A=C−A，所以C=2A．由于0<C<π2，故0<A<π4．所以cos 2A cos(C−A)=cos 2A cosA=cosA ∈(√22,1)．故答案为：(√22,1)．根据条件利用正弦定理和余弦定理，得到cos 2Acos(C−A)=cosA ，然后有A 的范围，求出cos 2Acos(C−A)的取值范围．本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算能力，属于基础题．13.【答案】−45【解析】解：∵α∈(0,π2)，且cosα=35， ∴sinα=√1−cos 2α=45， ∴cos(π2+α)=−sinα=−45． 故答案为：−45．由已知求得sinα，再由三角函数的诱导公式求cos(π2+α)．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．14.【答案】34【解析】解：根据题意，圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4的圆心为(1,2)，半径为2， 若直线l 与圆C 相切，则有√1+a 2=2，解可得a =34； 故答案为：34．根据题意，由直线与圆相切的性质可得√1+a 2=2，解可得a 的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．15.【答案】24π【解析】解：因为已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，AB =CD =2√2，∠CBD =45°， 故下底面三角形的外接圆半径满足：2r =2√2sin45°=4⇒r =2；设外接圆圆心为E ，过E 作下底面的垂线，则球心O 在垂线上，且OE//AB ，OA =OB ；BE =r =2； 如图：则OE =12AB =√2；∴R 2=BE 2+OE 2=(√2)2+22=6； ∴球O 的表面积为：4πR 2=24π． 故答案为：24π．先根据条件求得下底面三角形的外接圆半径，分析球心所在位置，求出球半径，即可求得结论．本题考查球的表面积的求法，考查四面体及外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.【答案】(16,12)【解析】解：函数g(x)=f(x)−ax 有三个不同的零点，即为f(x)=ax 有三个不等实根， 即y =f(x)与直线y =ax 有三个交点， 作出y =f(x)的图象，当直线y =ax 经过点(3,12)时，a =16；当直线y =ax 与直线y =12x −1平行时，a =12． 由图象可得16<a <12时，两函数的图象有三个交点． 故答案为：(16,12).由题意可得f(x)=ax 有三个不等实根，即y =f(x)与直线y =ax 有三个交点，作出y =f(x)的图象，考虑直线y =ax 绕着原点旋转，可得a 的范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查观察和分析能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinxcosx−√3cos2x=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)∵x∈[0,π2]，∴2x−π3∈[−π3,2π3]，得2sin(2x−π3)∈[−√3,2]．即f(x)在x∈[0,π2]的值域为[−√3,2]．【解析】(Ⅰ)利用倍角公式及两角差的正弦变形，由周期公式求周期；(Ⅱ)直接由x的范围求得2x−π3的范围，则值域可求．本题考查考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是基础题．18.【答案】解：(1)由频率和为1，列方程得(0.008+0.024+0.044+a+0.008)×10=1，解得a=0.016；(2)因为0.08+0.24=0.32<0.5，0.32+0.44=0.76>0.5，所以中位数在[70,80)内，设为x，则(x−70)×0.044+0.32=0.5，解得x≈74，所以估计该校高一年级本次考试成绩的中位数为74；(3)用分层抽样的方法从成绩在[80,100]内的学生中抽取6人，[80,90)内抽取6×0.0160.016+0.008=4人，记为a、b、c、d，[90,100]内抽取2人，记为E、F，从这6人中随机抽取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种，月考成绩在[90,100]内至少有1名学生的基本事件有9种，故所求的概率为P=915=35．【解析】(1)由频率和为1列方程求得a的值；(2)利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的大小；(3)用分层抽样的方法抽取对应的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.【答案】解：(1)连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2=AB2+AD2=4，故BD=2，△BCD中，由余弦定理可得，cosC=BC2+CD2−BD22BC⋅CD=2+(1+√3)2−4 2×√2×(1+√3)=√22，因为C为三角形的内角，故C=π4，所以S△ABD=12AB⋅AD=12×1×√3=√32，S△BCD=12BC⋅CDsinC=12×√2×(1+√3)×√22=1+√32，故求四边形ABCD的面积S=12+√3，(2)在△BCD中，由正弦定理可得BCsin∠BDC =BDsin∠BCD，所以sin∠BDC=BC⋅sin∠BCDBD =35，因为∠ADC∈(0,12π)，所以∠BDC∈(0,12π)，cos∠BDC=45，Rt△ABD中，tan∠ADB=ABAD =√33，故∠ADB=π6，所以sin∠ADC=sin(π6+∠BDC)=35×√32+45×12=4+3√310．【解析】(1)由已知结合勾股定理可求BD，然后结合余弦定理可求C，再由三角形的面积公式可求；(2)由已知结合正弦定理可求sin∠BDC，然后结合同角平方关系可求cos∠BDC，结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用．20.【答案】解：(1)证明：因为平面D1EC⊥平面ABCE，平面D1EC∩平面ABCE=CE，D1E⊥EC，D1E⊂平面D1EC，所以D 1E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以D 1E ⊥AB ，又AB =√2，BE =√2，AE =2，满足AE 2=AB 2+BE 2，所以BE ⊥AB ， 又BE ∩D 1E =E ，所以AB ⊥平面D 1EB ．(2)解：在棱AD 1上存在点G ，使得BG//平面D 1EC ， 此时点G 为AD 1的中点．V G−D 1EC =V C−D 1EG ， 由(1)知，D 1E ⊥平面ABCE ，所以CE ⊥D 1E ， 又CE ⊥AE ，所以CE ⊥平面AED 1，所以CE 为三棱锥C −D 1EG 的高，且CE =1，在Rt △D 1EA 中，D 1E =1，AE =2，G 为斜边AD 1的中点， 所以 S △D 1EG =12S △D 1EA =12×12×2×1=12，所以 V G−D 1EC =V C−D 1EG =13S △D 1EG ⋅CE =13×12×1=16． 故在棱AD 1上存在点G ，使得BG//平面D 1EC ， 此时三棱锥G −D 1EC 的体积为16．【解析】(1)由D 1E ⊥EC ，得D 1E ⊥平面ABCE ，从而D 1E ⊥AB ，由勾股定理得BE ⊥AB ，由此能证明AB ⊥平面D 1EB ．(2)点G 为AD 1的中点．V G−D 1EC =V C−D 1EG ，由此能求出在棱AD 1上存在点G ，使得BG//平面D 1EC ，三棱锥G −D 1EC 的体积为16．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解(1)圆C 1的圆心为C 1 (m,2m)，半径r 1=2，圆C 2的圆心C 2(0,0)，半径r 2=1， 因为圆C 1，C 2相交，所以圆心距|r 1−r 2|<|C 1C 2|<|r 1+r 2|， 即1<√m 2+(2m)2<3，解得−3√55<m <−√55或√55<m <3√55(2)圆心C 1到直线l ：x +2y −4=0的距离d =√5，结合d 2+(MN 2)2=r 12，即(5m−4)25+45=4，解得m =0或m =85(3)由向量加减运算得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|，由−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 联想到作出圆C 2：x 2+y 2=1关于定点P(2,0)的对称圆C 3：(x −4)2+y 2=1， 延长BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与圆C 3交于点B 1，则−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |就是圆C 1上任意一点A 与圆C 3上任一点B 1的距离．所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =|C 1C 3|−3=√(m −4)2+(2m)2−3=√5m 2−8m +16−3=√5(m −45)2+645−3=8√55−3 所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围是[8√55−3,+∞)【解析】(1)根据|r 1−r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2，即可求解m 的取值范围； (2)由C 1到直线l 的距离为√5，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形即可求解m 的值．(3)通过作圆C 2的对称圆C 3，找到B 的对称点B 1，然后将|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |转化为|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即圆C 1与圆C 3上两个动点之间距离．最后通过圆心距与两圆半径解决即可． 本题考查了圆的方程的综合引用．属难题．22.【答案】解：(1)函数g(x)=ax 2−2ax +b +1=a(x −1)2+1+b −a ，因为a >0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数， 故{g(2)=1g(3)=4，即{b +1=13a +b +1=4，解得{a =1b =0； (2)由(1)可得f(x)=x 2−2x+1x=x +1x −2，不等式f(log 2x)−2klog 2x ≥0在x ∈[2,4]上有解， 等价为log 2x +1log 2x−2≥2klog 2x 在x ∈[2,4]上有解，即2k ≤1(log2x)2−2log2x+1在x ∈[2,4]上有解，令t =1log 2x ，则2k ≤t 2−2t +1，∵x ∈[2,4]，∴t ∈[12,1]，则函数m(t)=t 2−2t +1在t ∈[12,1]递减，可得m(t)的最大值为m(12)=14， 则2k ≤14，即k ≤18；(3)原方程可化为|2x −1|2−(3k +2)|2x −1|+(2k +1)=0，可令t =|2x −1|，则t >0，由题意可得t 2−(3k +2)t +(2k +1)=0有两个不等实根t 1，t 2，其中0<t 1<1，t 2>1或0<t 1<1，t 2=1，设ℎ(t)=t 2−(3k +2)t +(2k +1)，则{2k +1>0ℎ(1)=−k <0或{2k +1>0ℎ(1)=−k =00<3k+22<1，解得k >0或k ∈⌀， 则k 的取值范围是(0,+∞)．【解析】(1)由函数g(x)=a(x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故g(2)=1，g(3)=4，由此解得a 、b 的值； (2)不等式可化为log 2x +1log2x−2≥2klog 2x 在x ∈[2,4]上有解，即2k ≤1(log 2x)2−2log 2x+1在x ∈[2,4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；(3)原方程化为|2x −1|2−(2+3k)|2x −1|+(1+2k)=0，(|2x −1|≠0)，令|2x −1|=t ，则t 2−(2+3k)t +(1+2k)=0(t ≠0)，构造函数ℎ(t)=t 2−(2+3k)t +(1+2k)，通过二次方程实根分布，可得k 的不等式组，即可求得k 的范围．本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查方程有解的条件以及不等式成立问题的解法，考查等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于中档题．。

2019-2020学年深圳高中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|mx +1=0}，若A ∩B =B ，则所有实数m 的值组成的集合是( )A. {−1,2}B. {1,−12}C. {1,0，−12}D. {−1,0，12}2. 已知函数f(x)={(x −1)3,x ≤1lnx,x >1，若a =log 34，b =log 68，c =log 912，则( )A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(a)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(b)>f(c)>f(a)3. 已知cosβ=−2√55，则sin 4β−cos 4β的值为( )A. −15B. −35C. 15D. 354. 已知|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +3b ⃗ )=33则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A.B.C.D.5. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A =60°，若S △ABC =15√34，且5sinB =3sinC ，则ABC 的周长等于( )A. 8+√19B. 14C. 10+3√5D. 186. 在数列{a n }中，若a 1=1,a 2=12,2an+1=1a n+1an+2(n ∈N ∗)，设数列{b n }满足log 2bn =1a n(n ∈N ∗)，则b n 的前n 项和S n 为( )A. 2n 一1B. 2n 一2C. 2n+1一1D. 2n+1一27. 设ab <0，则下列四个式子：(1)|a −b|=|a|+|b|，(2)|a −b|<|a +b|，(3)|a +b|<|b|，(4)|a −b|>|a|−|b|中，正确的是( )A. (1)、(2)B. (1)、(4)C. (3)、(4)D. (2)、(4)8. 设等比数列{a n }的公比q =1，前n 项和为S n ，则S4a 2=( )A. 2B. 4C. 152D. 1729. 已知，是(−∞,+∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A. [，3)B. (0,3)C. (1,3)D. (1,+∞)10.半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为()A. B. C. D.11.7、函数在R上是单调函数的充要条件是A. B. C. D.12.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是()A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x2−6x+4=0的两根的等比中项是．14.在等式sin()(1+√3tan70°)=1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是______ ．15.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为．16.△ABC中，已知a=√2，c=3，B=45°，则b=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本小题满分12分)已知，其中，如果，求实数的取值范围．18.已知向量a⃗=(cosωx,sinωx)，b⃗ =(cosωx,√3cosωx)，其中(0<ω<2)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12．其图象的一条对称轴为x=π6(I)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；)=1，b=1，S△ABC=√3，(Ⅱ)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(A2求a的值．19.如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度(即△ABC的周长)为l.设EC=x百米．(1)试用x表示线段BC的长度；(2)求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．20.如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA=2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA=θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值．21.设数列{a n}的n项和为S n，若对任意∈N∗，都有．S n=3a n−5n(1)求数列{a n}的首项；(2)求证：数列{a n+5}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(3)数列{b n}满足b n=9n+4，问是否存m在，使得b n<m恒成立？如果存在，求出m的值，如a n+5果不存在，说明理由．22.已知函数(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求；(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ， ∵A ={−1,2}，B ={x|mx +1=0}， ∴当B 为空集时，满足题意，此时m =0；当B 不为空集时，m ≠0，此时B 中方程解得：x =−1m ， 可得−1m =−1或−1m =2， 解得：m =1或m =−12，综上，所有满足实数m 的值组成的集合为{1,0，−12}. 故选：C ．由A 与B 的交集为B ，得到B 为A 的子集，分B 为空集与B 不为空集两种情况，分别求出实数m 的值，即可确定出满足题意m 的集合．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：当x ≤1时，f(x)=(x −1)3为增函数，且f(x)≤0， 当x >1时，f(x)=lnx 为增函数，且f(x)>0， 综上f(x)在R 上为增函数，a =log 34=log 3(3×43)=1+log 343>1，b =log 68=log 6(6×43)=1+log 643>1，c =log 912=log 9(9×43)=1+log 943>1， ∵log 433<log 436<log 439，∴1 log 433>1log 436>1log 439，∴1log 343<1log 643<1log 943，∴log 343>log 643>log 943，∴1+log 343>1+log 643>1+log 943，∴a >b >c >1，∵当x >1时，f(x)=lnx 为增函数，∴f(a)>f(b)>f(c)， 故选：A ．根据条件判断函数的单调性，结合对数的运算法则和换底公式将对数进行化简，再利用函数的单调性比较大小即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合对数的运算法则和换底公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．3.答案：B解析：解：∵cosβ=−2√55， ∴sin 4β−cos 4=(sin 2β+cos 2β)⋅(sin 2β−cos 2β)=(sin 2β−cos 2β) =−cos2β=−[2cos 2β−1]=−(2×2025−1)=−35， 故选：B ．利用同角三角函数的基本关系吧要求的式子化为(sin 2β−cos 2β)，再利用条件、二倍角的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积，夹角计算，属于基础题.先推出a ⇀·b ⇀=−6，再依据cos <a ⇀,b ⇀>=a ⇀·b⇀|a ⇀|·|b ⇀|，即可推出结论．解：因为|a ⇀|=3，|b ⇀|=4，(a ⇀+b ⇀)·(a ⇀+3b ⇀)=33所以|a ⇀|2+3|b ⇀|2+4a ⇀·b ⇀=33，a ⇀·b ⇀=−6，cos <a ⇀,b ⇀>=a ⇀·b⇀|a ⇀|·|b ⇀|=−，且，所以a ⇀与b ⇀的夹角为，故选C ．5.答案：A解析：解：在ABC中，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，即b=35c.再根据S△ABC=15√34=12bc⋅sinA=12⋅35c⋅c⋅sin60°，解得c=5，∴b=3，a=√b2+c2−2bc⋅cosA=√19，故△ABC的周长为a+b+c=8+√19，故选：A．由条件利用正弦定理可得b=35c，再根据S△ABC=15√34=12bc⋅sinA求得b、c的值，再利用余弦定理求得a，从而求得三角形的周长．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．6.答案：D解析：解：若a1=1,a2=12,2an+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，可得1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n=⋯=1a2−1a1=1，即有{1an}为首项和公差均为1的等差数列，可得1a n=n，由log2b n=1an=n，可得b n=2n，则S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．故选：D．由条件可得{1an}为首项和公差均为1的等差数列，运用等差数列的求和公式和对数的运算性质可得b n=2n，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，以及等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：ab <0，则下列四个式子： (1)|a −b|=|a|+|−b|=|a|+|b|，正确； (2)由(1)可知：|a −b|<|a +b|，不正确；(3)例如取a =−5，b =1，可得|a +b|>|b|，因此(3)不正确； (4)由(1)可得|a −b|=|a|+|b|>|a|−|b|，正确． 故选：B ．利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力由于计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：∵等比数列{a n }的公比q =1，前n 项和为S n ， ∴S 4a 2=4a 1a 1=4．故选：B ．由等比数列的性质得S4a 2=4a 1a 1，由此能求出结果．本题考查等比数列的前4项和与第2项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．9.答案：A解析：∵f(x)={(3−a)x −a,x <1log a x,x ≥1是(−∞,+∞)上的增函数，∴x <1时，f(x)=(3−a)x −a 是增函数∴3−a >0，解得a <3；x ≥1时，f(x)=log a x 是增函数，解得a >1． ∵f(1)=log a 1=0 ∴x <1时，f(x)<0∵x =1，(3−a)x −a =3−2a ∵x <1时，f(x)=(3−a)x −a 递增 ∴3−2a ≤f(1)=0，解得a ≥32． 所以32≤a <3．故选A．10.答案：C解析：试题分析：半径为的半圆卷成一个圆锥，该圆锥的母线长为，底面圆的周长为该半圆的弧长，设底面圆的半径为，则有，故该圆锥的高，所以该圆锥的体积，选C．考点：1.扇形的弧长公式；2.空间几何体的体积．11.答案：B解析：12.答案：D解析：试题分析：因为直线与圆相切，所以，即，所以，所以的取值范围是。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的终边上一点()1,m ，且6sin α=，则m =（ ） A ．2± B ．2 C ．2-D ．6 2．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．已知椭圆C 的方程为22218x y m +=(0m >)，如果直线2y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（） A ．2B ．22C ．4D ．84．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ） A ．32B ．2C ．3D ．3225．设a ，b ，c 为ABC 的内角所对的边，若()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC 外接圆的半径为( ) A ．1B ．2C ．2D ．46．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为（ ） A ．193B ．192C ．191D ．1907．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，且1,22b a b =+=，则a （ ） A ．1B ．2C ．3D ．238．平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B 2C 3D ．139．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.310．把函数sin2)6y xπ=+（的图象沿x轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x=的图象，则()g x的解析式为（）A．()sin(4)12g x xπ=-B．()sin(4)6g x xπ=-C．()sin(4)3g x xπ=-D．2()sin(4)3g x xπ=-11．在三棱锥S ABC-中，2,1SA SB AC BC SC=====，二面角S AB C--的大小为60︒，则三棱锥S ABC-的外接球的表面积为（）A．43πB．4πC．12πD．523π12．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为()A．32B．12C．-32D．-12二、填空题：本题共4小题13．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．14．已知函数()sin()f x xωϕ=+π2,ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．15．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.16．若锐角αβ、满足()35cos cos513ααβ=+=-，，则cosβ=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

广东省深圳市宝安石岩公学2020年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题中的真命题是（）A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第一象限的角是锐角C．第二象限的角比第一象限的角大D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－＜α＜2kπ(k∈Z)参考答案：D2. 设集合A={x|x＞a}，集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}，若B∩（?R A）≠?，则实数a的取值范围是( )A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a＜5 D．a≥5参考答案：B【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题；探究型．【分析】先化简集合B，然后利用B∩（?R A）≠?，求实数a的取值范围．【解答】解：集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}={x|﹣3＜x＜5}，∴?U A═{x|x≤a}，要使B∩（?R A）≠?，则a＞﹣3．故选B．【点评】本题主要考查集合关系的应用，比较基础．3. 已知点G是△ABC内一点，满足，若，，则的最小值是（）.A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据向量关系，利用，表示，再根据向量的模以及基本不等式求最值.【详解】因为++=，所以G是△ABC重心，因此，从而,选A.(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查向量数量积、向量的模以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.4. （1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】把所给的式子展开，利用两角和的正切公式，化简可得结果．【解答】解：（1+tan20°）（1+tan25°）=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1+tan （20°+25°）?（1﹣tan20°?tan25°）+tan20°tan25°=1+1﹣tan20°?tan25°）+tan20°?tan25°=2，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，属于基础题．5. 圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r，原来的高为h，求出现在的体积，一步得出答案．【解答】解：V现=π（）2×2h=πr2h=V原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A．【点评】此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．6. （5分）设=2，则=（）A．B．﹣C．﹣2 D．参考答案：B考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简求出tanα的值，所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：∵==2，∴tanα+1=2tanα﹣2，即tanα=3，则原式===﹣=﹣=﹣．故选B点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7. 集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q B．P Q C． D．参考答案：C8. 已知向量，，若，则实数m的值是（）A. 3B. －3C. 1D. －1参考答案：A【分析】先将向量表示出来，再根据垂直关系计算得出m。

2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学模拟试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若M ∩(∁R N)=⌀，则下列结论错误的是( )A. ∃x ∈N ，x ∈MB. ∃x ∈N ，x ∉MC. ∀x ∈M ，x ∈ND. ∀x ∈N ，x ∈M2. 已知复数z =(1−i)+m(1+i)是纯虚数，则实数m =( )A. −2B. −1C. 0D. 13. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的80%分位数是( )A. 7.5B. 8C. 8.5D. 94. 设α为平面，a 、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A. 若a//α，b//α，则a//bB. 若a ⊥α，a//b ，则b ⊥αC. 若a ⊥α，a ⊥b ，则b//αD. 若a//α，a ⊥b ，则b ⊥α5. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 66. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )A. 13B. 14C. 15D. 167. 已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，则2sin 2α+sin2αcos(α−π4)=( )A. −2√55B. −3√510C. −3√1010D. 2√55 8. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosBcosC =2a−b c，c =1，则a 2+b 2+ab 的取值范围为( )A. (13,3]B. (1,3]C. (53,3]D. (73,3]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知函数f(x)=x 4−x 2，则( )A. f(x)的图象关于y 轴对称B. 方程f(x)=0的解的个数为2C. f(x)的单调递增区间是(1,+∞)D. f(x)的最小值为−1410. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t(月)的近似函数关系：y =a t (a >0且a ≠1)(t ≥0)的图象．有以下说法：其中正确的说法是( )A. 每月减少的有害物质质量都相等B. 第4个月时，剩留量就会低于15 C. 污染物每月的衰减率为13D. 当剩留12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2>t 311. 奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的l o go 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. O 为△ABC 的垂心B. ∠AOB =π−CC. |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=sinA ：sin B ：sin CD. tanA ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为棱A 1D 1的中点，下列说法正确的是( )A. 直线AC ⊥直线BMB. 过点的C 的平面α⊥MB ，则平面α截正方体所得的截面周长为3√2+√5 C. 若线段BM 上有一动点Q ，则Q 到直线AA 1的距离的最小值为2√55D. 动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且AP⊥BM，则AP与平面BCC1B1成角正切的取值范围是[2√5 5,√5 2]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sin(α+π6)=35，且α是第二象限角，则sin(π3−α)=______．14.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=200m，则山高MN=______m.15.已知a，b为正实数，且ab+a+3b=9，则a+3b的最小值为．16.如图，在三棱锥P−ABC中，点B在以AC为直径的圆上运动，PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，DE⊥PC，垂足为E，若PA=2√3,AC=2，则PEEC=______ ，三棱锥P−ADE体积的最大值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=(1+ai)(1−2i)+1+2i(a∈R)．(Ⅰ)若z在复平面中所对应的点在直线x−y=0上，求a的值；(Ⅱ)求|z−1|的取值范围．18. 在四边形ABCD 中，已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求x 、y 的关系式；(Ⅱ)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．19. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为23，乙队每人回答问题正确的概率分别为12,23,34，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．20. 在①函数y =f(x −π12)的图象关于原点对称；②函数y =f(x)的图象关于直线x =2π3对称．这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)=4sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，____． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x)cos2x在[−π12,π6]上的取值范围．21.如图，在半圆柱W中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD为母线，AB=AD=2，点F在AB⏜上，点G在DC⏜上，BF=DG=1，P为DC的中点．(1)求三棱锥A−DGP的体积；(2)求直线AP与直线BF所成角的余弦值；(3)求二面角A−GC−D的正切值．22.已知函数f(x)=log12(x2+1)，g(x)=x2−ax+6．(Ⅰ)若g(x)为偶函数，求a的值并写出g(x)的增区间；(Ⅱ)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2<x<3}，当x>1时，求g(x)x−1的最小值；(Ⅲ)对任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．根据M，N为R的两个不相等的非空子集，且M∩(∁R N)=⌀知M⊆N，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：因为M，N为R的两个不相等的非空子集，且M∩(∁R N)=⌀，所以M⊆N，所以∃x∈N，x∈M，选项A正确；所以∃x∈N，x∉M，选项B正确；所以∀x∈M，x∈N，选项C正确；由∃x∈N，x∉M知，∀x∈N，x∈M错误，选项D错误．故选：D．2.【答案】B【解析】解：∵z=(1−i)+m(1+i)=(m+1)+(m−1)i是纯虚数，∴{m+1=0m−1≠0，解得m=−1．故选：B．把复数z化为a+bi(a,b∈R)的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得m值．本题考查复数代数形式的基本运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为10×80%=8，所以数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10的80%分位数是1×(8+9)=8.5．2故选：C．根据百分位数的定义，即可求出该组数据的80%分位数． 本题考查了百分位数计算问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：若a//α，b//α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误； 若a ⊥α，a//b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b ⊥α，故B 正确； 若a ⊥α，a ⊥b ，则b//α或b ⊂α，故C 错误；若a//α，a ⊥b ，则b//α，或b ⊂α，或b 与α相交，故D 错误． 故选：B ．利用空间线线、线面、面面间的关系求解．本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．根据图形得出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9 故选：C ．6.【答案】A【解析】解：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马， 田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马． 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛， 基本事件总数n =3×3=9， 田忌获胜包含的基本事件有：田忌的上等马对齐王的中等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的中等马对齐王的下等马，共3种， ∴田忌获胜的概率P =39=13． 故选：A ．基本事件总数n =3×3=9，利用列举法求出田忌获胜包含的基本事件有3种，由此能求出田忌获胜的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：因为tan(α+π4)=12，所以1+tanα1−tanα=12，解得tanα=−13，因为−π2<α<0，所以sinα=−√1010；2sin 2α+sin2αcos(α−π4)=√22(cosα+sinα)=2√2sinα=2√2×(−√1010)=−2√55．故选：A ．通过tan(α+π4)=12利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．本题是基础题，考查两角和的正切公式的应用，三角函数的表达式的化简求值，考查计算能力，注意角的范围，三角函数的值的符号的确定，以防出错．8.【答案】D【解析】解：∵cosB cosC =2a−b c=2sinA−sinBsinC，整理可得2sinAcoC =sinCcosB +sinBcosC =sin(B +C)=sinA ，又sinA ≠0，∴可得cosC =12，∵C ∈(0,π)，∴C =π3， 又∵c =1，∴由正弦定理可得asinA =bsinB =√32=2√33，∴由余弦定理可得1=a 2+b 2−ab ， ∴可得a 2+b 2+ab =1+2ab =1+2×2√33sinA ×2√33sinB =1+83sinAsin(2π3−A)=53+2√33sin2A −23cos2A =53+43sin(2A −π6)， ∵锐角△ABC 中，A ∈(π6,π2)，可得2A −π6∈(π6,5π6)，∴sin(2A −π6)∈(12,1]，∴a 2+b 2+ab =53+43sin(2A −π6)的取值范围为(73,3]．故选：D ．由已知利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得a 2+b 2+ab =53+43sin(2A −π6)，可求范围2A −π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：f(x)=x 4−x 2，定义域为R ，且f(−x)=(−x)4−(−x)2=x 4−x 2=f(x)， 所以f(x)是偶函数，f(x)的图象关于y 轴对称，故A 正确； 令f(x)=0⇔x 2(x 2−1)=0，解得x =0或x =−1或x =1， 所以方程f(x)=0的解的个数为3个，B 错误；f′(x)=4x 3−2x =2x(x 2−1)=2x(x −1)(x +1)，令f′(x)>0，解得−1<x <0或x >1，故函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，(1,+∞)，故C 错误； 令f′(x)<0，解得x <−1或0<x <1，所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 所以f(x)min =min{f(−1),f(1)}=−14，故D 正确． 故选：AD ．由f(−x)=f(x)可得函数f(x)是偶函数，进而可判断A ；解方程f(x)=0可判断B ；根据导数符号与函数单调性的关系可判断C ，再结合单调性可求f(x)的最小值，进而判断D ．本题考查函数的对称性，考查方程的解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：∵y =a t (a >0且a ≠1)(t ≥0)的图象经过点(2,49)， ∴49=a 2，∴a =23，即y =(23)x ． 故1月到2月，减少的有害物质质量为23−49=29，2月到3月，减少的有害物质质量为49−827=427， 故每月减少的有害物质质量都相等是错误的，即A 错， 当t =4时，有害物质的剩留量y =1681<15，故B 正确， 污染物每月的衰减率为1−23=13，故C 正确， 当剩留12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3， 则(23)t 1=12，(23)t 2=14，(23)t 3=18，则t 1=log 2312，t 2=log 2314，t 3=log 2318，则t 1+t 2=t 3，故D 错，故选：BC ．由y =a t (a >0且a ≠1)(t ≥0)的图象经过点(2,49)可得y =(23)x .从而依次对选项判断即可．本题考查了指数函数的实际问题中的应用，同时考查了指数与对数的互化及对数运算的性质，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，A ：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴O 为△ABC 外心，∴A 正确，B ：∵在四边形ODCE 中，∠OEC =∠ODC =90°，∴∠DOE +∠DCE =180°， ∴∠DOE =180°−∠DCE ，即∠AOB =π−∠DCE ，∴B 正确，C ：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−C)=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosC ， 同理∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosB ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosA ， ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosC =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosB =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosA ， ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosA ：cos B ：cos C ，∴C 错误，D ：∵S A =12|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin(π−A)=12|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sinA ，∴S A ：S B ：S C =sinA |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：sinB |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：sinC|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=sinA cosA ：sinB cosB ：sinCcosC=tanA ：tan B ：tan C ， 由奔驰定理得tanA ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴D 正确， 故选：ABD ．利用已知条件画出图形，通过向量的数量积，转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．12.【答案】CD【解析】解：对于A ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1=B ，BD 、BB 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∵BM ∩平面BB 1D 1D ，∴直线AC 与直线BM 不垂直，故A 错误； 对于B ，如图1，取BB 1，AB 的中点E 、F ，连接CE 、EF 、CF ．因为BN ⊥CE ，EF ⊥A 1B ，由三垂线定理得BM ⊥CE ，BM ⊥EF ，所以BM ⊥平面CEF ，所以α截正方体所得的截面为△CEF ，故周长为√1+4+√1+4+√1+1=2√5+√2，故B 错误；对于C，如图过BM构造平面与AA1平行，AH即Q到直线AA1的距离的最小值，AH=2√55，故C正确；对于D，如图3，取CC1的中点Q，因为BM⊥AB1，BM⊥B1Q，所以BM⊥平面AB1Q，故P点轨迹为B1Q.在正方形BCC1B1中，当P与Q重合时，BP最大，当BP⊥B1Q时，BP最小．所以BP∈[√5√5]因为AB⊥平面BCC1B1，所以∠APB为AP与平面BCC1B1所成角，tan∠APB=ABBP ∈[2√55,√52]则AP与平面BCC1B1成角正切的取值范围是[2√55,√52]，故D正确．故选：CD．对于A，由AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BB1D1D，从而直线AC与直线BM不垂直；对于B，α截正方体所得的截面周长为2√5+√2；对于C，过BM构造平面与AA1平行，AH即Q到直线AA1的距离的最小值；对于D，如图构造2次线面垂直，得到Q点轨迹为B1E，由此能求出AP与平面BCC1B1成角正切的取值范围．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．13.【答案】−45【解析】解：因为sin(α+π6)=35，且α是第二象限角，所以sin(π3−α)=cos[π2−(π3−α)]=cos(α+π6)=−√1−sin2(α+π6)=−45．故答案为：−45．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】300【解析】解：在△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=200，∴AC=200sin45∘=200√2，在△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，运用正弦定理，可得AM=AC⋅sin60°sin45∘=200√3，在Rt△AMN中，MN=AM⋅sin∠MAN=200√3×sin60°=200√3×√32=300．故答案为：300．根据已知条件，结合三角形中内角和为180°和正弦定理，即可求解．本题考查了正弦定理在解三角形中的实际应用，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值．由已知得，a+3b=9−ab=9−13(3b⋅a)≥9−13×(a+3b2)2，解不等式即可求解．【解答】解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b=9，所以a+3b=9−ab=9−13(3b⋅a)≥9−13×(a+3b2)2，当且仅当a=3b时取等号，整理得(a+3b)2+12(a+3b)−108⩾0，解得a+3b≥6或a+3b≤−18(舍)，则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16.【答案】3 34【解析】解：由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB =A ， ∴BC ⊥平面PAB ，得BC ⊥AD ，又AD ⊥PB ，PB ∩BC =B ， ∴AD ⊥平面PBC ，得AD ⊥PC ，而DE ⊥PC ，AD ∩DE =D ， ∴PC ⊥平面ADE ，可得AE ⊥PC ．在Rt △PAC 中，由PA =2√3,AC =2，得PC =4． 由Rt △PEA∽Rt △PAC ，得PEPA =PAPC ，则PE =PA 2PC=124=3，∴EC =PC −PE =4−3=1， ∴PEEC =3；由PE =3，PA =2√3，得AE 2=3，又PD ⊥DE ，∴AD 2+DE 2=AE 2=3，得3=AD 2+DE 2≥2AD ⋅DE ， 即AD ⋅DE ≤32(当且仅当AD =DE 时等号成立)．∴三棱锥P −ADE 体积的最大值是13×12AD ×DE ×PE =13×12×32×3=34． 故答案为：3；34．由已知证明AE ⊥PC ，再由三角形相似列比例式可得PE ，进一步得到PEEC 的值；证明AD ⊥DE ，利用基本不等式求得AD ⋅DE 的最大值，可得三棱锥P −ADE 体积的最大值．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵z =1+2a +(a −2)i +1+2i =2+2a +ai ，∴z 在复平面中所对应的点的坐标为(2+2a,a)， 由题意可得，2+2a −a =0，得a =−2；(Ⅱ)|z −1|=|1+2a +ai|=√(1+2a)2+a 2=√5a 2+4a +1， ∵a ∈R ，且5a 2+4a +1=5(a +25)2+15≥15， ∴|z −1|≥√55，则|z −1|的取值范围为[√55,+∞)．【解析】(Ⅰ)把复数z 变形为代数形式，求得z 的坐标，结合题意可得关于a 的方程，求解得答案； (Ⅱ)利用复数模的计算公式求|z −1|，再由二次函数求最值即可．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +4,y −2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∴x(y −2)−(x +4)y =0，即x +2y =0．(Ⅱ)由题意，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +6,y +1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3)． ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x +6)(x −2)+(y +1)(y −3)=0， 由(Ⅰ)可知x =−2y ，∴y 2−2y −3=0，∴y =3或y =−1． ①当y =3时，x =−6，此时BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,0) ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，∴平行四边形ABCD 的面积为12AC ⋅BD =16． ②当y =−1时，x =2，此时BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4) ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∴S 四边形ABCD =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16． 综上可知：{x =−6y =3或{x =2y =−1，S 四边形ABCD =16．【解析】(Ⅰ)由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算得出结论． (Ⅱ)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，可得AC ，BD 的值，从而求出四边形ABCD 的面积为12AC ⋅BD 的值．本题主要考查两个向量平行垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．19.【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，记“甲队总得分为1分”为事件B ，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)=23×23×23=827， 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为P(B)=23×(1−23)×(1−23)+(1−23)×23×(1−23)+(1−23)×(1−23)×23=29． ∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为827，29．(2)记“甲队得分为2分”为事件C ，记“乙队得分为1分”为事件D ， 事件C 即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则P(C)=23×23×(1−23)+23×(1−23)×23+(1−23)×23×23=49，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则P(D)=12×(1−23)×(1−34)+(1−12)×23×(1−34)+(1−12)×(1−23)×34=14，由题意得事件C与事件D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：P(CD)=P(C)P(D)=49×14=19．【解析】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．(2)记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件C与事件D相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：函数f(x)=4sin(ωx+φ)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，∴T2=π2，即T=π，∴ω=2πT=2，∴f(x)=4sin(2x+φ)．(1)若补充条件①函数y=f(x−π12)的图象关于原点对称，∵y=f(x−π12)=4sin[2(x−π12)+φ]=4sin(2x+φ−π6)，∴φ−π6=kπ,k∈Z，即φ=π6+kπ,k∈Z，∵0<φ<π2，∴k=1时,φ=π6，∴函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(2x+π6)．若补充条件②函数y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称，∵f(x)=4sin(2x+φ)的图象关于直线x=2π3对称，∴sin(2×2π3+φ)=±1，∴4π3+φ=π2+kπ,k∈Z，∴φ=−5π6+kπ,k∈Z，∵0<φ<π2，∴k=1时,φ=π6，∴函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(2x+π6)．(2)由(1)得f(x)=4sin(2x+π6)，g(x)=f(x)cos2x=4sin(2x+π6)cos2x=(2√3sin2x+2cos2x)cos2x=2√3sin2xcos2x+2cos²2x=√3sin4x+cos4x+1=2sin(4x+π6)+1，∵x∈[−π12,π6]，∴4x+π6∈[−π6,5π6]，∴−12≤sin(4x+π6)≤1，∴0≤2sin(4x+π6)+1≤3，∴函数g(x)=f(x)cos2x在[−π12,π6]上的取值范围是[0,3]．【解析】(1)根据已知条件，可得周期，进而确定ω的值，再结合对称轴或对称中心的性质，即可求解f(x)的解析式；(2)根据三角函数的二倍角公式、两角和公式，可将原式化简为g(x)=2sin(4x+π6)+1，结合x的取值范围，即可求出g(x)的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键，要求学生熟练掌握公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，△DPG为正三角形，DP=DG=PG=1，所以S△DGP=12×1×1×sin60°=√34，因为AD为圆柱的母线，所以AD⊥平面DCG，所以V A−DGP=13×S△DGP×AD=√36．(2)过F点作圆柱的母线FH交DC⏜于H因为FH与BC均为圆柱的母线，所以FH//BC且FH=BC，所以四边形BCHF为平行四边形，所以FB//HC且FB=HC=1，所以△PCH为正三角形，又因为△DPG为正三角形，所以∠HCP=∠GPD=60°，CH//GP，所以BF//CH//GP，所以∠APG为直线AP与BF所成的角，在△APG中，AG=√5,GP=1,AP=√5，所以由余弦定理知：cos∠APG=AP2+GP2−AG22AP×GP =2√5=√510，所以直线AP与直线BF所成角的余弦值为√510．(3)因为AD⊥平面DCG，CG⊂平面DCG，所以CG⊥AD，又因为CG⊥DG，AD∩DG=D，所以CG⊥平面ADG，所以CG⊥AG，CG⊥DG，因此∠AGD为二面角A−GC−D的平面角，在Rt△ADG中，AD=2，DG=1，tan∠AGD=ADDG=2，所以二面角A−GC−D的正切值为2．【解析】(1)求出底面面积与高，然后求解V A−DGP．(2)过F点作圆柱的母线FH交DC⏜于H，说明∠APG为直线AP与BF所成的角，通过求解三角形推出结果．(3)说明∠AGD为二面角A−GC−D的平面角，通过求解三角形推出二面角A−GC−D的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.【答案】解：(Ⅰ)∵g(x)为偶函数，g(x)=x2−ax+6，∴g(x)=g(−x)，∴x2−ax+6=x2+ax+6，∴a=0，∴g(x)=x2+6，∴g(x)的增区间为(0,+∞)；(Ⅱ)∵关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2<x<3}，∴a=2+3=5，∴g(x)=x2−5x+6，∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3≥2√(x−1)⋅2x−1−3=2√2−3，当且仅当x=√2+1时取等号，∴g(x)x−1的最小值为2√2−3，(Ⅲ)∵任意x1∈[1,+∞)，f(x)=log12(x2+1)，∴f(x)max=f(1)=log122=−1，∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，设ℎ(x)=x2−ax+7，则对称轴为x=a2，①当a2≤−2时，即a≤−4时，ℎ(x)在[−2,4]上为增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，∴−112≤a≤−4，②当a2≥4时，即a≥8时，ℎ(x)在[−2,4]上为减函数，∴ℎ(x)min=ℎ(4)=23−4a≥0，即a≤234，∴此时为空集，③当−4<a<8时，ℎ(x)在[−2,a2]为减函数，在[a2,4]上为增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(a2)=−a24+7≥0，即−2√7≤a≤2√7，∴−4<a≤2√7，综上所述a的取值范围为[−112,2√7].【解析】(Ⅰ)根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，(Ⅱ)先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，(Ⅲ)先根据复合函数的单调性，求出函数f(x)max=−1，则可得x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．本题考查函数的奇偶性，考查对数函数和二次函数的性质，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是难题．第21页，共21页。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ） A ．23± B ．2± C ．2± D ．5± 2．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,,A B C 是圆22:4O x y +=上的三点，,OA OB OC AB OA +=⋅=（ ）A ．6B ．63C ．6-D ．63-4．数列{}n a 的通项公式为1(21)(21)n a n n =-⋅+，则数列{}n a 的前100项和100S =（ ）． A ．200201 B ．200401 C ．100201 D ．1004015．石臼是人类以各种石材制造的，用以砸、捣、研磨药材、食品等的生产工具，是由长方体挖去半球所得几何体，若某石臼的三视图如图所示（单位：dm ），则其表面积（单位：dm 2）为（ ）A ．132+8πB ．168+4πC ．132+12πD ．168+16π6．要得到函数1cos 312y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度 7．如图是函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x 的振幅为3③函数()f x 的一条对称轴方程为712x π=④函数()f x 的单调递增区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ⑤函数()f x 的解析式为()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．③⑤B ．③④C ．④⑤D ．①③8．设实数x y 、满足约束条件33210y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩，则2Z x y =+的最大值为（ ） A ．92 B ．4 C ．5 D ．1129．下列各数中最小的数是（ ）A ．(9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)11111110．数列2122,1,,,325---的一个通项公式为（ ）A ．12(1)n n a n +=-B ．(1)2n n n a n =-+ C ．2(1)n n a n =- D ．1(1)2n n n a n +=-+ 11．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A 17B 171C ．622-D ．524 12．函数()32=3f x x x -的对称中心是（ ）A ．()1,2B ．()1,2--C ．()1,2-D ．()1,2-二、填空题：本题共4小题13．已知在ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos A =____________.14．在ABC ∆中，三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，且边,,a b c 成等比数列，则ABC ∆的形状为_______．15．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.16．已知在数列{}n a 中，11a =且11n n n a a a +=+，若1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前100项和为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020-2021学年广东省深圳中学高一（下）期中数学试卷 试题数：22，总分：150

1.（单选题，5分）若复数z满足z•i=2+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A.-2 B.-2i C.2 D.2i 2.（单选题，5分）已知 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，cosα）， 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-sinα），若A、B、C三点共线，则tanα的值为（ ） A.-2 B. −12 C. 12 D.2 3.（单选题，5分）函数 𝑓(𝑥)=𝑙𝑔|𝑥|𝑥2 的图象大致为（ ）

A. B. C. D. 4.（单选题，5分）某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ） A.19% B.26% C.68% D.75% 5.（单选题，5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C等于（ ） A. 𝜋3 B. 2𝜋3 C. 3𝜋4 D. 5𝜋6 6.（单选题，5分）已知△ABC中， 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ．若 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x+y的值为（ ） A.-3 B.3 C.-1 D.1 7.（单选题，5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD || BC，AD=4，BC=6，∠C=45°，P为线段CD上的动点（包括端点），则 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ •𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）

A.8 B.12 C.20 D.30 8.（单选题，5分）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=2𝑎−𝑏𝑐 ，c=1，则a2+b2+ab的取值范围为（ ） A. (13，3]