学而思二年级秋季前七讲复习题

学而思二年级新测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个词语与“快乐”意思最接近？A. 悲伤B. 愉快C. 愤怒D. 失望2. 20 + 30 = ?A. 40B. 50C. 60D. 703. 我们用哪个字来表示“植物的种子”？A. 果B. 叶C. 根D. 种4. 下列哪个是正确的书写姿势？A. 趴在桌子上写B. 躺着写C. 坐直写D. 站着写5. “春眠不觉晓”是哪位古代诗人的诗句？A. 李白B. 杜甫C. 白居易D. 苏轼二、填空题（每题2分，共10分）1. 一________眼，可以看到很多东西。

2. 我们每天需要喝足够的_________来保持身体健康。

3. 在学校，我们要遵守学校的_________和纪律。

4. 动物园里有各种各样的_________，比如老虎、大象和猴子。

5. 每当_________节到来，我们都会和家人团聚吃月饼。

三、判断题（每题2分，共10分）1. 一年有12个月。

（）2. 地球是我们居住的星球。

（）3. 所有的猫都是肉食动物。

（）4. 长城是中国的一个著名景点。

（）5. 太阳从西边升起。

（）四、简答题（每题4分，共20分）1. 请简述你为什么喜欢学习数学？2. 描述一下你心目中的英雄是谁，他/她有哪些值得你学习的地方？3. 请解释为什么我们要保护环境？4. 你是如何理解“团结就是力量”这句话的？5. 描述一下你最喜欢的一本书，并说明原因。

五、作文题（共50分）题目：《我的梦想》要求：请围绕“我的梦想”这个主题，写一篇不少于200字的作文。

可以描述你的梦想是什么，为什么会有这个梦想，以及你打算如何去实现它。

请同学们认真审题，仔细作答，注意字迹工整，条理清晰。

祝你取得好成绩！。

学而思选拔考试答案(二年级数学)一、基础题（80分）1.（共20分）计算(1)23+65=88(2)51+12=63(3)11+36=47(4)50-11=39(5)12-8=4(6)44-22=22(7)8+19=27(8)43+10=53(9)27+39=66(10)12+33=45(11)47-19=28(12)87-25=62(13)40-23=17(14)6×9=54(15)7×3=21(16)5×7=35(17)8×4=32(18)56÷7=8(19)25÷5=5(20)16÷4=42.（10分）在一条笔直的马路一侧种着很多小树苗；其中梧桐树的左边有12棵树；梧桐树的右边有10棵树；那么马路这一侧总共有________棵树．【解析】考查的排队问题；不仅要将左右相加；还得将梧桐树本身加进去；12+10+1=23（棵）．【答案】23．3.（10分）小丽在出门前想挑一套自己喜欢的衣服；她一共有2件不同的上衣；3条不同的裤子；请问小丽一共可以搭配出________套不一样的衣服．【解析】衣服的搭配问题；将三件上衣记为A、B、C；两条裤子记为①、②；那么可以是A①、A②、B①、B②、C①、C②；一共有六种不同的搭配．【答案】6．4.（共10分）在一根拉直的绳子上剪3刀；可以把这根绳子分成________段；要剪成10段；剪________刀．【解析】考查间隔问题．剪1刀；分成了两段；剪2刀；分成了三段；那么剪3刀；分成了4段；总结一下规律；段数比刀数多1；所以要剪成10段；只需要剪9刀．【答案】4；9．5.（共10分）找规律填数：（1）31；35；39；43；47；________；________．（2）5；7；10；14；19；________；________．（3）2；40；5；35；8；30；11；25；________；________．（4）5；8；13；21；34；________；________．（5）______；_____．【解析】考查数列和图形的规律．（1）从第二个数开始；每个数都比前面一个数大4；所以接下来应该是51；55．（2）第二个数比第一个数大2；第三个数比第二个数大3；第四个数比第三个数大4；所以这是一个二次等差；接下来应该是25；32．（3）这是一个双重数列；一个隔一个的去看才会发现规律；2；5；8；11……和40；35；30；25……，分别是两个等差数列；因此接下来应该是14；20．（4）这是一个兔子数列；从第三个数开始；每个数都等于前两个数的和；所以接下来应该是55；89．（5）考查图形的规律；都是箭头；只不过方向不一样；上右下左依次出现．【答案】（1）51；55．（2）25；32．（3）14；20．（4）55；89．（5）6.（共10分）哥哥和弟弟各带了一些钱；弟弟带了4元；去买牛奶的时候发现：哥哥如果给弟弟2元钱；他们俩的钱就刚好能够各买一瓶牛奶；那么牛奶一瓶________元钱；哥哥比弟弟多带了________元钱．【解析】考查加减法应用；根据“哥哥如果给弟弟两元钱；他们俩的钱就刚好能够各买一瓶牛奶”可以得出哥哥比弟弟多4元；所以哥哥带了8元；给两元给弟弟刚好可以买一瓶牛奶；说明一瓶牛奶8-2=6（元）．【答案】6；4．7.（共10分）数一数．有________个方块有________个三角形【解析】考查图形计数.第一个立体图形可以将最上面的三个正方体翻到第二层；此时一共两层；每层10个；共20个；第二个数三角形；可以分层去数；上面一层有1+2+3=6个；下面一层没有三角形；两层合起来有1+2+3=6个；所以共有6+6=12个．【答案】20；12．二、拓展题（60分）8.（12分）小明和小亮比赛爬楼梯；小明从一楼爬到四楼用了12分钟；小亮从一楼爬到七楼用了18分钟；那么________爬楼的速度比较快(填“小明”或“小亮”）．【解析】考查间隔问题中的爬楼梯；小明一楼到四楼总共爬了3层；用时12分钟；所以每一层用12÷3=4分钟；小亮一楼到七楼总共爬了6层；用时18分钟；所以每一层用18÷6=3分钟；所以小亮的爬楼速度比较快．【答案】小亮．9.（12分）巧算．（1）45+67+145-57=________（2）200-23-46-14-17=________【解析】考查巧算能力；凑整．【答案】（1）原式=45+145+67-57=190+10=200．（2）原式=200-（23+17+46+14）=200-100=100．10.（12分）下面的式子中；不同的汉字代表不同的数；请你根据式子判断；“数”=________；“学”=________．数+学+5=20学+学=数【解析】考查图文算式．由第二个式子可以知道“数”和“学”的等量关系；将这个等量关系代入到第一个式子中可以得到：“学”+“学”+“学”+5=20；所以3个“学”=15；“学”=5；所以“数”=5+5=10．【答案】10；5．11.（12分）熊大有12根玉米；他如果给熊二2根；他们俩就有一样多的玉米了；请问：熊二原来有________根玉米．【解析】考查加减法的应用；根据“他如果给熊二两根；他们俩就有一样多的玉米了”可以得到熊大比熊二多4根；所以熊二原来有12-4=8（根）．【答案】8．12.（12分）小林生日的时候带了一盒巧克力和小伙伴们分享；乐乐先吃了这些巧克力的一半；明明又吃了剩下巧克力的一半；萍萍吃了3颗；最后还剩下3颗；那么小林总共带了________颗巧克力．【解析】考查的是还原问题．可以画一个图帮助理解【答案】（3+3）×2×2=24（颗）．三、挑战题（60分）13.（15分）下面的式子中；A、B分别代表了不同的数字；请你根据下式判断A=_________；B=_________；AB表示的两位数是_________．【解析】考查竖式谜.通过尾数判断；可以得知B+B的尾数应该是8；所以B=4或9；若B=4；那么A+A+A=13；无解；若B=9；那么A+A+A=12；所以A=4；那么AB表示的两位数是49．【答案】4；9；49．14.（15分）艾迪去商店买书；买完总共要付38元；他带了一张20元；3张10元；4张5元；10张1元；那么艾迪有________种不同的付钱方法．【解析】考查付钱方法；枚举．【答案】9种．20元10元5元1元11131108103310280313030802330228014815.（15分）王平、宋丹、韩涛三个人都是少先队员的干部；一个是大队长；一个是中队长；一个是小队长．一次数学测验中；这三个人的成绩是：(1)韩涛比大队长的成绩好；(2)王平和中队长的成绩不相同；(3)中队长比宋丹的成绩差．请你根据这几个人的成绩判断：_________是大队长．【解析】考查逻辑推理；由（2）和（3）可知；中队长既不是王平也不是宋丹；所以中队长是韩涛；由（1）和（3）可知大队长和宋丹不是一个人；所以大队长只能是王平．【答案】王平．16.（15分）沙漏是一种计时工具；图中的沙漏里所有沙子从一边到另一边用的时间为1分钟；可以来计一分钟的时间；下次再用来计时的时候翻过来即可．小红拿它开始计时的时候沙子都在B中；小红用它计了3分钟；小明又用它计了10分钟；然后小乐又用它计了5分钟；当小乐用完时；沙子在________中（填A或B）【解析】考查奇偶数的应用；总共用来计时3+10+5=18（分钟）；18是一个偶数；所以沙子应该还在B中．【答案】B．。

第七讲 数的整除的综合运用一、 数的整除的特征：1、 看末位2、5 只需看末一位能否被2或5整除 2510×= 4、25 只需看末两位能否被4或25整除 425100×= 8、125 只需看末三位能否被8或125整除 81251000×=以四位数abcd 为例，四位数abcd =1000×a +100×b +10c +d 。

10、100、1000都是2或5的倍数，只需d 也是2或5的倍数即可。

2、 看各位数字和3、9 只需看各位数字的加和是否为3或9的倍数3、 分段系列7、11、13 从右往左三位一格、三位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被7、11或13整除。

11 从右往左一位一格、一位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被11整除 11、33、99 从右往左两位一格、两位一格，求加和，和能被11、33或99整除4、 合数判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。

二、 数的整除的性质：（1）传递性：若，，则；|c b |b a |c a （2）可加性：若，，则|c a |c b |c a b ±（）。

三、 试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，另被除数为最大或者最小。

当被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。

当被除数最小时，除以除数会得到一个余数，让除数把余数减去即为所缺少的数，再用被除数把这些数加上即为所求的数。

四、 经典例题例1、在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数． （1）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； （2）一共有多少种满足条件的填法？【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．□（1）依次填入3、6，因为433+++2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；（2）经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法。

学而思数学二年级复习宝典植树的问题植树的问题，首先分是直线的，还是圆形的。

直线的，再区分：两端都种树，段数= 树的数量-1两端都不种树，段数= 树的数量+1一端种树，一端不种树，段数= 树的数量如果是封闭图形的，段数等于树的数量。

有些题目告诉总长度，求种树多少棵。

这种题目是先用除法求出分成几段，种树来进再根据两端是否行判断。

带余数的除法被除数÷除数= 商⋯⋯.余数被除数= 商×除数+ 余数除数= （被除数—余数）÷商商= （被除数—余数）÷除数余数，最大为除数减去1 ，这样就可以知道余数一共有多少种可能性。

如果不整除，余数最小是1 ，最大是除数—1 。

例题一箱苹果不到40个，4个4个地数还多2个，5个5个地数还多1个，这箱苹果有个。

枚举法中的乘数原理一件事情，如果需要两个步骤完成，第一个步骤有那么完成这件事情，一共有a×b 种选择。

a 个选择，第二个步骤，有b 个选择，排队题目排队题目，最重要的是画图。

其次，区分是第几个，还是前面后或者后面有几个。

注意，小米和小兰之间相差3 个人，如果没有明确，可能是小米在前，也可能是小兰在前，要分两种情况分别考虑的。

周期问题（普通周期，数列周期，日期周期）定需要先写出周期的排序。

没有余数，也就余数为0 ，就是周期的最后一个。

对于日期来说，区分第10 天，和再过10 天。

过河过桥问题过河问题，如果一只船只能坐两个人，那么一定是速度最快的人来回。

过桥问题，最多只有两个人可以同时通过，并且要送一件东西回来的话，如果是4 个人的话，甲乙丙丁，用的时间是丁＞丙＞乙＞甲，烙饼问题如果一次可以同时烙两个饼，时间= 烙饼的数量×烙一面饼的时间（注意，是烙一面饼的时间）。

如何表示饼的正面和反面？搭配问题乘法公式，以及通过枚举法解决组数问题组数的问题，可以通过乘法公式解决，先确定位置，比如千位，百位，十位，个位。

例题：3,5,6,7 可以组成多少个没有重复数字的偶数？2,4,5,7 可以可以组成多少个没有重复数字的偶数？拆数问题把一个整数拆成几个不同的数的和，可以用枚举法解决。

第七讲归纳与递推1、早在公元前300多年前，古希腊著名科学家欧几里德就在他的旷世名著<几何原本》一书中记载了几何学中最基本、最引人人胜的一条著名定理：“三角形的内角和等于180度”，我们的问题是：①四边形的内角和等于多少度（见下图）?答：五边形的内角和等于多少度（见下图）?答：②进一步，如果把多边形的边数记作n，你能够归纳出n边形的内角和的计算公式吗？答：公式为____．③在家庭装修中，经常采用各种正多边形（注：正多边形就是各条边均相等且各内角也相等的多边形）的瓷砖搭配出各式各样的地面图案．小明家装修时采用了三种正多边形瓷砖铺地面，这三种型号的瓷砖可以围绕着地面上的一点既不重叠又不产生漏洞的拼接起来．其中一种型号是正方形，另一种型号是正六边形，你知道第三种型号的多边形瓷砖的边数是多少吗？请写出你的计算过程．2、一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一张平面为四部分，问：五条直线最多分一个平面为多少部分？3、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．4、一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成部分．5、n个平面最多钝将空间分成多少个部分？6、如下图所示，第一个三角形的面积是256，取三角形的3条边的中点，连成一个三角形，将中间的三角形挖去，得到第二个图，再将第二个图中每个三角形按照前一个做法得到第三个图，如此下去……，求第五个图形的面积是。

7、在一张长方形纸片内有n个点，加上四个顶点共，n+4个点，这些点中任意三点都不在同一条直线上，（1）n=4时，将长方形纸片剪开，最多可以剪成多少个以这些点为顶点的三角形（画出一个示意图即可作答）．(2)n=2010时，最多可以剪成多少个以这些点为顶点的三角形？并作简要说明．(注意：(1)、(2)中任意两个三角形不重叠）8、在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上和，如图a所示；第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图b 所示，=＋；第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图c所示，1=＋，1=＋；如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标的数的总和是____．9、小凯家住二楼，从一楼到二楼的楼梯共有9阶，小凯上楼时每步可跨1阶、跨2阶、或跨3阶．请问他共有多少种不同的方法上楼？10、仅由数字1和2组成一些数，其中至少有两个数字1相连的数称为“学而思数”，如11，112，1211等都是“学而思数”，而12212就不是“掌而思数”．那么所有六位的学而思数共多少个？11、用1×2小长方形或1×3的小长方形覆盖2×6的方格网（如下图所示），共有不同的盖法。

1初二秋季·第7讲·提高班·教师版⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩定义轴对称基本知识点对称点与对称轴垂直平分线性质与判定做图形的对称轴轴对称轴对称变换用坐标表示轴对称等腰三角形性质、判定等腰三角形等边三角形性质、判定【例1】 ⑴如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么下列说法错误的是（ ）A ．△EBD 是等腰三角形，EB =EDB ．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等C ．折叠后得到的图形是轴对称图形D ．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形【解析】∵ABCD 为矩形∴∠A =∠C=90°，AB =CD ∵∠AEB =∠CED典题精练思路导航题型一：轴对称7期中复习E DCA2初二秋季·第7讲·提高班·教师版∴△AEB ≌△CED （第四个正确） ∴BE =DE （第一个正确） ∠ABE =∠CDE （第二个不正确） ∵△EBA ≌△EDC ，△EBD 是等腰三角形∴过E 作BD 边的中垂线，即是图形的对称轴．（第三个正确） 故选B ．⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，最后将图④的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）D.C.B.A.【解析】A【例2】 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．B【解析】沿AC -CD -DB 路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON 上任意取一点T ，在OM 上任意取一点R ，连接FR 、BR 、RT 、3初二秋季·第7讲·提高班·教师版ET 、AT ，∵A 、E 关于ON 对称， ∴AC =EC ，同理BD =FD ，FR =BR ，AT =ET ， ∴AC +CD +DB =EC +CD +FD =EF ， AT +TR +BR =ET +TR +FR ， ∵ET +TR +FR ＞EF ，∴AC +CD +DB ＜AT +TR +BR ，即沿AC -CD -DB 路线走是最短的路线．（1）AB草地河C DE FMNOME CT R O DF（2）河草地 B ASSS SAS ASA AAS HL ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩对应边相等全等三角形性质全等三角形对应角相等全等三角形判定：，，，， ⎧⎨⎩性质、判定角平分线有关角平分线辅助线思路导航题型二：全等三角形4初二秋季·第7讲·提高班·教师版【例3】 如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD =AC ，在CF 的延长线上截取CG =AB ，连接AD 、AG ． 请你确定△ADG 的形状，并证明你的结论．BAC DEFG【解析】连接DG ，则△ADG 是等腰三角形．∵BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高， ∴∠AFC =∠AEB =90° ∴∠ACG =∠DBA 又∵BD =CA ，AB =GC ， ∴△ABD ≌△GCA ； ∴AG =AD ，∴△ADG 是等腰三角形．【例4】 △ABC 中，∠CAB =∠CBA =50°，O 为△ABC 内一点，∠OAB =10°，∠OBC =20°，求∠OCA 的度数．COBA【解析】作CD ⊥AB 于D ，延长BO 交CD 于P ，连接PA ，∵∠CAB =∠CBA =50°，典题精练GFE DCAB∴AC=BC，∴AD=BD，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴∠ACB=80°，∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP，∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD，∵在△CAP和△OAP中，∠ACP＝∠AOP，∠CAP＝∠OAP∴△CAP≌△OAP，∴AC=OA，∴∠ACO=∠AOC，【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E．⑴如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；⑵点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；⑶如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关初二秋季·第7讲·提高班·教师版56初二秋季·第7讲·提高班·教师版系，并说明理由．GN图3图2图1AE BCDAE BCDDC BE A【解析】⑴在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠DBA =∠A =30°． ∴DA =DB ． ∵DE ⊥AB 于点E ． AB ． ∴BC =BE ．∴△EBC 是等边三角形；⑵结论：AD =DG +DM ．证明：如图2所示：延长ED 使得DN =DM ，连接MN ，∵∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ， ∴∠ADE =∠BDE =60°，AD =BD ， 又∵DM =DN ，∴△NDM 是等边三角形， ∴MN =DM ，在△NGM和△DBM中，∵∠N＝∠MDB，MN＝DM，∠NMC＝∠DMB∴△NGM≌△DBM，∴BD=NG=DG+DM，∴AD=DG+DM．⑶结论：AD=DG-DN．证明：延长BD至H，使得DH=DN．由⑴得DA=DB，∠A=30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH=ND，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．7初二秋季·第7讲·提高班·教师版8初二秋季·第7讲·提高班·教师版即∠DNG =∠HNB ． 在△DNG 和△HNB 中，∵DN ＝HN ，∠DNG ＝∠HNB ，∠H ＝∠2 ∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB ．∵HB =HD +DB =ND +AD ， ∴DG =ND +AD ． ∴AD =DG -ND ．【例6】 已知四个实数a 、b 、c 、d ，且a ≠b ，c ≠d ．满足：a 2+ac =4，b 2+bc =4，c 2+ac =8，d 2+ad =8．⑴求a +c 的值；⑵分别求a 、b 、c 、d 的值．【解析】⑴由（a 2+ac ）+（c 2+ac ）=4+8=12，得（a +c ）2=a 2+c 2+2ac =12，∴a +c =23⑵由（a 2+ac ）-（b 2+bc ）=4-4=0，（c 2+ac ）-（d 2+ad ）=8-8=0， 得（a -b ）（a +b +c ）=0，（c -d ）（a +c +d ）=0， ∵a ≠b ，c ≠d ，典题精练题型三：因式分解9初二秋季·第7讲·提高班·教师版∴a +b +c =0，a +c +d =0， ∴b =d =-（a +c ），又（a 2+ac ）-（c 2+ac ）=4-8=-4，得（a -c ）（a +c ）=-4．【例7】 设a 1=32-12，a 2=52-32，…，a n =()()222121n n +--（n 为大于0的自然数）．⑴探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数（不必说明理由）．【解析】⑴∵a n =（2n +1）2-（2n -1）2=4n 2+4n +1-4n 2+4n -1=8n ，又∵n 为非零的自然数， ∴a n 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 ⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256． n 为一个完全平方数的2倍时，a n 为完全平方数．10 初二秋季·第7讲·提高班·教师版训练1. 阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n +1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？（回答“是”或“不是”）．⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ． 应用提升⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．图3ABCA 1B 1B 2CD BA图2图1C…B n+1A 3A 2A 1B nB 2B 1BA【解析】⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3， ∵沿∠BAC 的平分线AB 1折叠， ∴∠B =∠AA 1B 1；思维拓展训练(选讲)又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C，∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；⑵∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；11初二秋季·第7讲·提高班·教师版12 初二秋季·第7讲·提高班·教师版由小丽展示的情形三知，当∠B =3∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B =n ∠C ；⑶由⑵知设∠A =4°，∵∠C 是好角，∴∠B =4n °；∵∠A 是好角，∴∠C =m ∠B =4mn °，其中m 、n 为正整数得4+4n +4mn =180 ∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．训练2. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，BO ⊥AC ，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB =PD ，DE ⊥AC 于点E ， 求证：△BPO ≌△PDE ．备用图2431COBAD CE OP AB⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． ⑵特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP =CD ．【解析】⑴证明：∵PB =PD ，∴∠2=∠PBD ，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD∴△BPO≌△PDE（AAS）；⑵证明：由⑴可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∵∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB＝PD∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．训练3.因式分解初二秋季·第7讲·提高班·教师版1314 初二秋季·第7讲·提高班·教师版⑴()22223103x a b x a ab b ++-+- ⑵()()211a b ab +-+⑶()()2222483482x x x x x x ++++++⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【解析】⑴()22223103x a b x a ab b ++-+-()()()()()223333x a b x a b a b x a b x a b =++---=+--+⑵()()211a b ab +-+()()()()()()222211111a b ab a b a a b b a b a ab b ab =+-++=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+- ⑶()()2222483482x x x x x x ++++++()()()()()()()222224848258682458x x x x x x x x x x x x x x =++++++=++++=++++⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ ()()()()()()()222223b c a b c bc a b c bc a b c b c a bc a b c ab ac bc =+-++++=-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-训练4. 按下面规则扩充新数：已有a 和b 两个数，可按规则c =ab +a +b 扩充一个新数，而a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；⑵能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 【解析】⑴∵a =2，b =3，c 1=ab +a +b =6+2+3=11， ∴取3和11， ∴c 2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；⑵5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1，即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）-1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，（式中m、n为整数）当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．初二秋季·第7讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第7讲·提高班·教师版题型一 轴对称 巩固练习【练习1】 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2．图2图1CB'B D'DA'CDB A【解析】∵两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，∴A ′M =A ′N =MN ，MO =DM =DO ，OD ′=D ′E =OE ，EG =EC =GC ，B ′G =RG =RB ′， ∴OM +MN +NR +GR +EG +OE =A ′D ′+CD =1+1=2； 故答案为：2．题型二 全等三角形 巩固练习【练习2】 在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，P是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP 的长是（ ） 复习巩固BPAO DC17初二秋季·第7讲·提高班·教师版A ．4B ．5C ．6D ．8【解析】∵∠COP =∠A +∠APO =∠POD +∠COD ，∠A =∠POD =60°，∴∠APO =∠COD ． 在△APO 和△COD 中，∵∠A ＝∠C ，∠APO ＝∠COD ，OP ＝OD ∴△APO ≌△COD （AAS ）， ∴AP =CO ， ∵CO =AC -AO =6， ∴AP =6． 故选C ．【练习3】(3)GE FDA(2)AB CD E FG (1)GE DF A【解析】⑴证明：∵AF ⊥BD ，∠ABF =∠MBF ，∴∠BAF =∠BMF ， ∴MB =AB ， ∴AF =MF ，18 初二秋季·第7讲·提高班·教师版同理可说明：CN =AC ，AG =NG∴FG 是△AMN 的中位线， ∴FG =12MN =12（MB +BC +CN ）=12（AB +BC +AC ）⑵图⑵中，FG =12（AB +AC -BC ） 图⑶中，FG =12（AC +BC -AB ） ①如图⑵，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ，由⑴中可知，MB =AB ，AF =MF ，CN =AC ，AG =NG ， ∴FG =12MN =12（BM +CN -BC ）=12（AB +AC -BC ）， ②如图⑶延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ，同样由⑴中可知，MB =AB ，AF =MF ，CN =AC ，AG =NG ， ∴FG =12MN =12（CN +BC -BM ）=12（AC +BC -AB ）题型三 因式分解 巩固练习【练习4】 分解因式：()4442x y x y +++-．【解析】 原式=（x 2+y 2）2-2x 2y 2+（x 2+2xy +y 2）2-2，=（x 2+y 2）2-2x 2y 2+（x 2+y 2）2+4xy （x 2+y 2）+4x 2y 2-2， =2（x 2+y 2）2+2x 2y 2+4xy （x 2+y 2）-2， =2[（x 2+y 2）2+x 2y 2+2xy （x 2+y 2）-1]， =2[（x 2+xy +y 2）2-1]， =2（x 2+xy +y 2-1）（x 2+xy +y 2+1）．【练习5】 图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． ⑴图②中的阴影部分的面积为 ；19初二秋季·第7讲·提高班·教师版⑵观察图②请你写出三个代数式()2m n +、()2m n -、mn 之间的等量关系是 ；⑶若x +y =7，xy =10，则()2x y -= ；⑷实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示． 如图③，它表示了 ．⑸试画出一个几何图形，使它的面积能表示()()22343m n m n m mn n ++=++．③②①nnm m m nm n mmnm mnmnmmnn【解析】（1）阴影部分的边长为（m -n ），阴影部分的面积为（m -n ）2；（2）（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ； （3）（x -y ）2=（x +y ）2-4xy =72-40=9； （4）（m +n ）（2m +n ）=2m 2+3mn +n 2； （5）答案不唯一： 例如：．初二秋季·第7讲·提高班·教师版第十五种品格：创新成功往往就藏在你没注意的地方有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是3的倍数？A. 15B. 24C. 36D. 422. 下列哪个图形是正方形？A. 矩形B. 三角形C. 正方形D. 梯形3. 5个苹果加上7个苹果，一共有多少个苹果？A. 10B. 12C. 15D. 184. 小明有8个铅笔，小红比小明多2个铅笔，小红有多少个铅笔？A. 6B. 8C. 10D. 125. 下列哪个数比10小？A. 7B. 10C. 12D. 146. 下列哪个算式的结果是10？A. 3 + 7B. 5 + 5C. 4 + 6D. 2 + 87. 下列哪个数是奇数？A. 3B. 4C. 5D. 68. 下列哪个图形有4条边？A. 三角形B. 正方形C. 圆形D. 梯形9. 小明有15个球，他分给小红5个球，小明还剩多少个球？A. 10B. 15C. 20D. 2510. 下列哪个算式的结果是15？A. 3 × 5B. 4 × 4C. 5 × 3D. 6 × 2二、填空题（每题2分，共20分）11. 7 + 3 = _______（填空）12. 8 - 5 = _______（填空）13. 6 × 2 = _______（填空）14. 9 + 4 = _______（填空）15. 10 - 7 = _______（填空）16. 3 × 3 = _______（填空）17. 8 + 5 = _______（填空）18. 4 × 4 = _______（填空）19. 6 - 3 = _______（填空）20. 9 + 6 = _______（填空）三、判断题（每题2分，共10分）21. 下列说法正确的是（√/×）： - 4 × 5 = 2022. 下列说法正确的是（√/×）： - 7 + 7 = 1423. 下列说法正确的是（√/×）： - 6 × 2 = 1224. 下列说法正确的是（√/×）：- 8 - 3 = 525. 下列说法正确的是（√/×）：- 5 + 4 = 9四、应用题（每题5分，共20分）26. 小明有12个橘子，小红有8个橘子，他们一共有多少个橘子？27. 小红有15个铅笔，小明比小红多5个铅笔，小明有多少个铅笔？28. 小明买了3个苹果，每个苹果2元，小明一共花了多少元？29. 小红有18个糖果，她分给小明3个糖果，小红还剩多少个糖果？30. 小明有20个硬币，他给小红5个硬币，小明还剩多少个硬币？答案：一、选择题：1. B2. C3. C4. C5. A6. B7. A8. B9. A10. C二、填空题：11. 1012. 313. 1214. 1315. 316. 917. 1318. 1619. 320. 15三、判断题：21. √22. √23. √24. √25. ×四、应用题：26. 小明有12个橘子，小红有8个橘子，他们一共有20个橘子。

学而思2013年暑秋入学测试题（新二年级）数 学学校 姓名 成绩_________学员 须知1.答题时间为50分钟，共12道题，请独立完成。

2.每题请尽量写出答题过程或简要思路过程。

36＋37＝ 98＋24＝ 131－98＝ 126－47＝7+10+28+32+33= 99+17-29+23-5= 1+10+101=（1）图中有多少个正方形？ （2）下图由小正方体堆成，数一数共有多少个小正方体？（ ）个（ ）个（3）图中有多少条线段？ （4）下图有多少个三角形？（ ）条（ ）个有趣的图形计数.比一比，看谁算得快！12（1）2，4，6，8，（），（）.（2）100，92，84，76，（），（）.（3）4，12，36，（），（）.（4）1，2，3，4，5，8，7，16，（），（）. （5）1，4，9，16，25，（），（）.（6）（7）（8）（9）▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲△▲▲▲▲▲▲▲△▲▲△▲▲▲▲▲▲△▲▲▲△▲▲找规律填数、画图形.3（10）艾迪切披萨饼，用3刀可以切分出最多的数量来，最多是（ ）块.18个同学排成一队做操.从左边数小文排在第11个，从右边数小文排在第几个？在一条长30米的公路一边植树，每隔10米种一棵，两端都种，这条路上共种多少棵树？456（1）把“＋”、“－"填在□里，使等式成立．1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 ＝ 3（2）在下面的式子中适当的地方填上括号使等式成立．①45－20－8＝33 ②8 - 6－4＝6（2）你能将下图分成形状、大小都一样的四个图形，而且每个图形中都有一颗星星吗？怎么分？（1）下图如何剪一刀，变成一个正方形？画出剪的地方.巧添算符78下面的图形各表示什么数？填一填.将无法区分的6个苹果放在三个同样的筐子里，每个筐都必须放，共有多少种不同的放法？910粮店里有大米45袋和一些面粉，卖掉30袋大米和16袋面粉后，剩下的大米、面粉数量相等.粮店原有面粉多少袋？小新上学了.他早上起床后要做好几件事情（如下表）.怎样安排，可以最快完成？请你把做事的先后顺序排一排.1112。