杨浦区2018学年度第一学期期末考试初三数学试卷

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若角αβ，都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=，则sin cos αβ=.其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】C【分析】根据锐角范围内sin α 、cos α 、tan α 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得． 【详解】①∵sin α随α 的增大而增大，正确； ②∵cos α随α 的增大而减小，错误； ③∵tan α随α 的增大而增大，正确；④若90αβ+=，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得sin cos αβ=，正确； 综上所述，①③④正确 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键． 2．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小. 【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒， ∴904050ABD ∠=︒-︒=︒． 故选B ． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.3．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．512D ．12【答案】B【分析】利用概率公式直接计算即可.【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率41123=． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键. 4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，若56ABD ∠=︒，则BCD ∠=（ ）．A ．32︒B ．34︒C ．44︒D ．46︒【答案】B【分析】根据AB 是⊙O 的直径得出∠ADB ＝90°，再求出∠A 的度数，由圆周角定理即可推出∠BCD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴在Rt △ABD 中，∠A ＝90°﹣∠ABD ＝34°， ∵弧BD ＝弧BD ， ∴∠BCD ＝∠A ＝34°， 故选B ． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（）A．把投影灯向银幕的相反方向移动B．把剪影向投影灯方向移动C．把剪影向银幕方向移动D．把银幕向投影灯方向移动【答案】B【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，据此分析判断即可．【详解】解：根据中心投影的特点可知，如图，当投影灯接近银幕时，投影会越来越大；相反当投影灯远离银幕时，投影会越来越小，故A错误；当剪影越接近银幕时，投影会越来越小；相反当剪影远离银幕时，投影会越来越大，故B正确，C错误；当银幕接近投影灯时，投影会越来越小；当银幕远离投影灯时，投影会越来越大，故D错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心投影的特点，熟练掌握中心投影的原理和特点是解题的关键．6．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A 25B5C．2 D．12【答案】D【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DEB= tan∠DAB=12，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．7．在矩形ABCD 中，B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ，若7AB =，34DF FC =，则BC 的长为（ ）A ．721-B ．432+C ．225+D ．423+【答案】D【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可． 【详解】延长EF 和BC ，交于点G ，∵3DF ＝4FC ， ∴34CF DF =， ∵矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°， ∴AB ＝AE ＝7，∴直角三角形ABE 中，BE 227772+= 又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ， ∴∠BEG ＝∠DEF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠G ＝∠DEF ， ∴∠BEG ＝∠G ， ∴BG ＝BE ＝72∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ， ∴△EFD ∽△GFC ， ∴34CG CF DE DF ==， 设CG ＝3x ，DE ＝4x ，则AD ＝7＋4x ＝BC ，∵BG ＝BC ＋CG ， ∴7＋4x ＋3x ＝72， 解得x ＝2−1，∴BC ＝7＋4x ＝7＋42−4＝3＋42， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．8．如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A ．ADANAN AEB ．BD MNMN CEC ．DN NEBM MCD ．DN NEMC BM【答案】C【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBMAM AMMCBMMC，故选C. 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.9．若抛物线2y x bx =+的对称轴是直线2x =，则方程25x bx +=的解是（ ） A ．11x =，25x = B ．11x =，25x =- C ．11x =-，25x = D ．11x =-，25x =-【答案】C【分析】利用对称轴公式求出b 的值，然后解方程. 【详解】解：由题意：22bx =-= 解得：b=-4 ∴25x bx +=2450x x --=(5)(1)0x x -+=解得：11x =-，25x = 故选：C 【点睛】本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键. 10．关于x 的一元二次方程2ax x 10-+=有实数根，则a 的取值范围是 A ．1a a 04≠≤且 B ．1a 4≤C ．1a a 04≠≥－且D ．1a 4≥－【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b 2-4ac=1-4a≥0，解得a≤14，因此可知a 的取值范围为a≤14且a≠0. 点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b 2-4ac 的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的十数根； 当△＜0时，方程没有实数根.11．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是（ ）边形 A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】根据多边形的对角线的条数公式(3)2n n -列式进行计算即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为n ，由题意得：(3)202n n -=， 解得：128,5n n ==-（舍去） 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键．12．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况， ∴两次都摸到黑球的概率是14． 故选A ．二、填空题（本题包括8个小题）13．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________； 【答案】5【分析】先确定外接圆的半径是AB ，圆心在AB 的中点，再计算AB 的长，由此求出外接圆的半径为5. 【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，∴△ABC 外接圆直径为斜边AB 、圆心是AB 的中点， ∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴22226810ABAC BC ，∴△ABC 外接圆半径为5. 故答案为：5. 【点睛】此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.14．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为______． 【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，直接可求△=24b ac -=2(2)4(1)2a --⨯-⨯=4-8a+8≥0，解得a≤32，因此a 的最大整数解为1. 故答案为1.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac ，解题关键是确定a 、b 、c 的值，再求出判别式的结果.可根据下面的理由：（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△<0时，方程没有实数根． 15．如图，若△ADE ∽△ACB ，且AD AC =23，DE=10，则BC=________【答案】15【分析】根据相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题. 【详解】解：∵△ADE∽△ACB，∴23DE ADBC AC==，DE=10，∴1023 BC=，∴15BC=.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．16．反比例函数2yx=和4yx=在第一象限的图象如图所示，点A在函数4yx=图像上，点B在函数2yx=图像上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为_____.【答案】1【分析】设A(m，4m)，B(m，2m)，则AB=4m-2m，△ABC的高为m，根据三角形面积公式计算即可得答案.【详解】∵A、B分别为4yx=、2yx=图象上的点，AB∥y轴，∴设A(m，4m)，B(m，2m)，∴S△ABC=12（4m-2m）m=1.故答案为：1【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标都满足反比例函数的解析式是解题关键.17．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4 整除的概率是__________． 【答案】15【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有1~10这是个数字．其中能被4整除的有4，8，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：小明制作了十张卡片，上面分别标有1~10这是个数字．其中能被4整除的有4，8；∴从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：21105=． 故答案为：15． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，点B C 、把弧AD 分成三等分，ED 是⊙O 的切线，过点B C 、分别作半径OA OB 、的垂线段，已知45E ∠=，2OD =，则图中阴影部分的面积是________．【答案】2π 【分析】根据题意可以求出各个扇形圆心角的度数，然后利用扇形面积和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【详解】解：∵ED 是⊙O 的切线，45E ∠=︒， ∴90,45ODE DOC ∠=︒∠=︒， ∵点B C 、把弧AD 分成三等分，45AOB BOC DOC ∴∠=∠=∠=︒， 2OB OC OD ===，∴2OG BG OF CF ====，2245211452222222360223602S πππ⨯⨯∴=⨯-⨯⨯⨯-=阴影．故答案为：2π．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和等腰直角三角形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简，再求值，26934222m m m m m m +++⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中m 满足：m 2﹣4＝1． 【答案】m 3m +，﹣12【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出符合条件的m 的值，从而代入计算可得．【详解】解：原式＝2(3)2m m +-÷232m mm +- ＝2(3)22(3)m m m m m +--+＝m 3m+， ∵m 2﹣4＝1且m≠2， ∴m ＝﹣2， 则原式＝232-+-＝﹣12． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20．某商品的进价为每件10元，现在的售价为每件15元，每周可卖出100件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于20元），那么每周少卖10件.设每件涨价x 元（x 为非负整数），每周的销量为y 件.（1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是多少元？ 【答案】（1）10010=-y x ，05x ≤≤；（2）每件的售价是17元或者18元.【分析】（1）根据“每件的售价每涨1元，那么每周少卖10件”，即可求出y 与x 的函数关系式，然后根据x 的实际意义和售价每件不能高于20元即可求出x 的取值范围；（2）根据总利润=单件利润×件数，列方程，并解方程即可．【详解】（1）解：y 与x 的函数关系式为10010=-y x∵售价每件不能高于20元∴01520x x ≥⎧⎨+≤⎩∴自变量的取值范围是05x ≤≤；（2）解：设每件涨价x 元（x 为非负整数），则每周的销量为()10010x -件，根据题意列方程()()100101510560-+-=x x ，解得：122,3x x ==，所以，每件的售价是17元或者18元．答：如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是17元或者18元．【点睛】此题考查的是一次函数的应用和一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 21．如图，△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB 的长.【答案】3+1【解析】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C 作CD ⊥AB 于D 点，然后分别根据Rt △ADC 中∠A 的正弦、余弦值和Rt △CDB 中∠B 的正切值得出AD 和BD 的长度，从而得出AB 的长度.试题解析：过点C 作CD ⊥AB 于D 点，在Rt △ADC 中，∠A=30°，AC=4，∴CD=12AC=12×4=1， ∴22224323AC CD --=在Rt △CDB 中，∠B=45°，CD=1，∴CD=DB=1，∴3．22．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD ．(1)求证：BD平分∠ABC；(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得CD AD=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．【详解】（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD AD=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=12 AB，∵OD=12AB，∴BC=OD．23．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．24．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，顶点坐标为（1，﹣4）（1）求二次函数解析式；（2）该二次函数图象上是否存在点M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2存在，点M的坐标为（7，3），（17，3）或（2，﹣3）【分析】（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点坐标为(1，﹣4)，可以求得a、b的值，从而可以得到该函数的解析式；（2）根据(1)中求得的函数解析式可以得到点C的坐标，再根据S△MAB＝S△CAB，即可得到点M的纵坐标的绝对值等于点C的纵坐标的绝对值，从而可以求得点M的坐标．【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点坐标为(1，﹣4)，∴1234baa b⎧-=⎪⎨⎪+-=-⎩，得12ab=⎧⎨=-⎩，∴该函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）该二次函数图象上存在点M，使S△MAB＝S△CAB，∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣3)(x+1)，∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，∴点A的坐标为(﹣1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,﹣3)，∵S△MAB＝S△CAB，点M在抛物线上，∴点M的纵坐标是3或﹣3，当y ＝3时，3＝x 2﹣2x ﹣3，得x 1＝1+7，x 2＝1﹣7；当y ＝﹣3时，﹣3＝x 2﹣2x ﹣3，得x 3＝0或x 4＝2； ∴点M 的坐标为(1+7,3)，(1﹣7,3)或(2,﹣3)．故答案为：（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）存在，点M 的坐标为(1+7,3)，(1﹣7,3)或(2,﹣3).【点睛】本题考查了二次函数与方程，几何知识的综合运用. 将函数知识与方程，几何知识有机地结合起来，这类试题难度较大. 解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质，定理和二次函数的知识.25．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，23AC =，6BC =，解这个直角三角形.【答案】60;30;43A B AB ∠=∠==.【分析】根据勾股定理求出AB ，根据解直角三角形求出∠B ，由余角的性质求出∠A ，即可得到答案.【详解】解：如图：∵90,23,6C AC BC ∠===，∴22(23)643AB =+=∵233tan AC B BC ===， ∴30B ∠=︒，∴903060A ∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形.26．如图所示，CD 是O 的直径，AB 为弦，CD 交AB 于点E .若30BAO ∠=︒， //AO BC ,2OA =.（1）求AOD ∠的度数；（2）求CE 的长度.【答案】（1）120°；（2）1.【分析】（1）首先根据∠BAO=30°，AO ∥BC 利用两直线平行，内错角相等求得∠CBA 的度数，然后利用圆周角定理求得∠AOC 的度数，从而利用邻补角的定义求得∠AOD 的度数．（2）首先根据30BAO ∠=︒，60AOC ∠=︒求得90AEO ∠=︒，在Rt AEO ∆中，求得OE 的值，将OE,OC 的值代入CE OC OE =-即可得出.【详解】解：（1）30BAO ∠=︒，//AO BC ，30CBA ∴∠=︒，60AOC ∴∠=︒，180120AOD AOC ∴∠=︒-∠=︒.（2）30BAO ∠=︒，60AOC ∠=︒，90AEO ∴∠=︒.在Rt AEO ∆中，sin301OE OA =⋅︒=.2OC OA ==，1CE OC OE ∴=-=.【点睛】本题考查了解直角三角形及圆周角定理，构造直角三角形是解题的关键.27．如图，顶点为M 的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 的)右侧)，与y 轴相交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由．(3)抛物线上是否存在点N(不与点C 重合)，使得以点A ，B ，N 为顶点的三角形的面积与S △ABC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)223y x x =+-；(2)见解析；(3)存在，71，3)，(71，3)，(2-，3-)【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；(3)根据题意得出ABC ABN S S =，然后求出3N y =±，再代入2y (x 1)4=+-求解即可．【详解】(1)∵抛物线2(1)4y a x =+-与y 轴相交于点C(0，-3)．∴34a -=-，∴1a =，∴抛物线解析式为22(1)423y x x x =+-=+-，(2)△BCM 是直角三角形，理由：由(1)有，抛物线解析式为2y (x 1)4=+-，∴顶点为M 的坐标为(-1，-4)，由(1)抛物线解析式为223y x x =+-，令0y =，2230x x +-=，∴1231x x ，=-=，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-3，0)，∴2223318BC =+=， ()()22210432MC ⎡⎤=--+---=⎣⎦， 2MB =()()22134020⎡⎤---+--=⎣⎦， ∵18220+=，∴222BC MC MB +=，∴△BCM 是直角三角形，(3)设N 点纵坐标为N y ，根据题意得ABC ABN S S =，即1122N AB OC AB y ⋅=⋅， ∴3N y =，当N 点纵坐标为3时，2(1)43x +-=，解得：1211x x ==，，当N 点纵坐标为-3时，2(1)43x +-=-，解得：3420x x =-=，(与点C 重合，舍去)，∴N 点坐标为1，3)，(1，3)，(2-，3-)，【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，勾股定理的逆定理的应用，图形面积的计算，解本题的关键是利用勾股定理的逆定理判断出△BCM 是直角三角形．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直平行的四边形是菱形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分且相等的四边形是正方形【答案】B【分析】直接利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A 、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误，不合题意B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，本选项错误，不合题意；D 、对角线互相平分且相等的四边形应是矩形，本选项错误，不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．2．一元二次方程22350x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．无法确定 【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝49＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．【详解】解：∵在方程22350x x --=中，△＝2(3)42(5)490＝＞，∴方程22350x x --=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3．如图，网格中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC 的顶点均在小正方形的顶点上，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB′C′，点C 在AB′上，则'BB 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．7πD ．6π【答案】A 【分析】根据图示知∠BAB′＝45°，所以根据弧长公式l ＝180n r π求得BB '的长．【详解】根据图示知，∠BAB′＝45°，BB '的长l ＝454180π⋅＝π， 故选：A ．【点睛】 此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．4．如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，点C 为O 上一点，连接AC ，BC ，若80P ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C 【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数．【详解】解：连接OA 、OB ，∵PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒．∴180********AOB P ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴111005022ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒． 故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．5．对于二次函数y ＝4（x+1）（x ﹣3）下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．与x 轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）C ．x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝﹣1【答案】C【解析】先把解析式化为顶点式的二次函数解析式,再利用二次函数的性质求解即可.【详解】()()413y x x =+-A. ∵a=4>0,图象开口向上,故本选项错误,B. 与x 轴交点坐标是（-1,0）和（3,0）,故本选项错误,C. 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小,故本选项正确,D.图象的对称轴是直线x=1,故本选项错误,故选C.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是理解并灵活运用二次函数的性质.6．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么P(飞镖落在阴影部分的概率)为( )A ．16B ．18C ．19D ．112【答案】C【解析】先求大正方形和阴影部分的面积分别为36和4,再用面积比求概率.【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36， 阴影部分面积为114122422⨯⨯+⨯⨯=，所以，P 落在三角形内的概率是41369=. 故选C.【点睛】本题考核知识点：几何概率.解答本题的关键是理解几何概率的概念，即：概率=相应的面积与总面积之比．分别求出相关图形面积，再求比.7．方程x 2-2x=0的根是（ ）A ．x 1=x 2=0B ．x 1=x 2=2C ．x 1=0，x 2=2D ．x 1=0，x 2=-2【答案】C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x 可得x （x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x 1＝0，x 2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.8．把两个大小相同的正方形拼成如图所示的图案.如果可以随意在图中取点.则这个点取在阴影部分的慨率是（）A．13B．12C．37D．38【答案】C【分析】先设图中阴影部分小正方形的面积为x，则整个阴影部分的面积为3x，而整个图形的面积为7x.再根据几何概率的求法即可得出答案.【详解】解：设图中阴影部分小正方形的面积为x，，则整个阴影部分的面积为3x，而整个图形的面积为7x,∴这个点取在阴影部分的慨率是33 77 xx故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是事件的概率问题，解题的关键是根据已给图形找出图中阴影部分的面积与整个图形的面积.9．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．【详解】A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念掌握它的概念“把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，是解题的关键.10．已知二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴x ＞0，可知122x x +＞0，即12x x +＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系．11．关于x 的一元二次方程()2340a x x --+=，则a 的条件是( ) A ．1a ≠B ．2a ≠C ．3a ≠D ．4a ≠【答案】C 【解析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】由一元二次方程的定义得30a -≠解得3a ≠故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．12．对于二次函数y ＝－(x ＋1)2＋3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③其图象的顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由抛物线解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断①②③，再利用增减性可判断④，可求得答案．【详解】∵2(1)3y x =-++，∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,3)，故②不正确，①③正确，∵抛物线开口向上，且对称轴为x=−1，∴当x>−1时，y 随x 的增大而增大，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大，故④正确，∴正确的结论有3个，故选:C.【点睛】考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的求解方法是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知关于x 的函数满足下列条件：①当x ＞0时，函数值y 随x 值的增大而减小；②当x ＝1时，函数值y ＝1．请写一个符合条件函数的解析式：_____．（答案不唯一）【答案】y ＝2x（答案不唯一）． 【分析】根据反比例函数的性质解答．【详解】解：根据反比例函数的性质关于x 的函数当x ＞0时，函数值y 随x 值的增大而减小，则函数关系式为y ＝k x （k ＞0），把当x ＝1时，函数值y ＝1，代入上式得k ＝1，符合条件函数的解析式为y ＝2x（答案不唯一）．【点睛】此题主要考察反比例函数的性质，判断k 与零的大小是关键.14．已知抛物线2 0y ax bx c a =++≠（）与 x 轴交于,A B 两点，若点 A 的坐标为()2,0-，抛物线的对称轴为直线 2x =，则点B 的坐标为__________．【答案】60（，）【解析】根据抛物线对称轴是直线2x =及,A B 两点关于对称轴直线对称求出点B 的坐标即可.。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列四种说法：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②将1010减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，……，依此类推，直到最后减去余下的12020，最后的结果是1； ③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；④对于任何实数x 、y ，多项式22427x y x y +--+的值不小于1．其中正确的个数是（） A ．1 B ．1C ．3D ．4【答案】C【分析】画图可判断①；将②转化为算式的形式，求解判断；③是用频率估计概率的考查；④中配成平方的形式分析可得．【详解】如下图，∠1=∠1，∠1+∠3=180°，即两边都平行的角，可能相等，也可能互补，①错误；②可用算式表示为：1232019202012342020⨯⨯⨯⨯⨯=，正确； 实验次数越多，则频率越接近概率，③正确；2222427(2)(1)2x y x y x y +--+=-+-+∵2(2)x -≥0，2(1)y -≥0∴22(2)(1)2x y -+-+≥1，④正确 故选：C 【点睛】本题考查平行的性质、有理数的计算、频率与概率的关系、利用配方法求最值问题，注意②中，我们要将题干文字转化为算式分析．2．如图所示，AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠C ＝27°，则∠AEC 的大小应为（ ）A ．23°B ．70°C ．77°D ．80°【答案】C【分析】根据平行线的性质可求解∠ABC 的度数，利用三角形的内角和定理及平角的定义可求解． 【详解】解：∵AB ∥CD ，∠C ＝27°， ∴∠ABC ＝∠C ＝27°， ∵∠A ＝50°，∴∠AEB ＝180°﹣27°﹣50°＝103°， ∴∠AEC ＝180°﹣∠AEB ＝77°， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB ＝10，水面宽AB ＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）A ．4B ．5C ．3D ．6【答案】D【解析】试题解析：∵OC ⊥AB ，OC 过圆心O 点，1116822BC AC AB ∴===⨯=， 在Rt OCB △中,由勾股定理得：2222108 6.OC OB BC =--= 故选D.点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.4．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A ．摸出的是3个白球B ．摸出的是3个黑球C ．摸出的是2个白球、1个黑球D ．摸出的是2个黑球、1个白球【答案】A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.5．若一个圆锥的底面积为24cm π，圆锥的高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ） A ．40︒ B ．80︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm2，∴圆锥的底面半径为2cm，∴底面周长为4π，圆锥的高为42cm，∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，设侧面展开图的圆心角是n°，根据题意得：6180n=4π，解得：n=1．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（）A．24 B．25 C．30 D．36【答案】C【分析】根据题意及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AB=2CE=12再根据三角形面积公式，即△ABC面积=12AB×CD=30.故选C.【详解】解：∵CE是斜边AB上的中线，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝12×CD×AB＝12×5×12＝30，故选：C．【点睛】本题的考点是直角三角形斜边上的中线性质及三角形面积公式.方法是根据题意求出三角形面积公式中的底，再根据面积公式即可得出答案.7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，7D ．5，2，8【答案】B【解析】根据三角形三边关系定理得出：如果较短两条线段的和大于最长的线段，则三条线段可以构成三角形，由此判定即可．【详解】A ．1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误； B ．2+3＞4，能构成三角形，故此选项正确； C ．3+4=7，不能构成三角形，故此选项错误； D ．5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 8．在平面直角坐标系中，对于二次函数()221y x =-+，下列说法中错误的是（ ） A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为()21，，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而增大 【答案】C【分析】根据()221y x =-+，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，进行判断选择即可.【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，所以答案选C. 【点睛】本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键. 9．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】在平均数相同时方差越小则数据波动越小说明数据越稳定，10．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，∴所得的点数能被3整除的概率为21 63 =，故选B．【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.11．若函数y＝3mx-的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m＞3 D．m＜3【答案】C【分析】根据反比例函数的性质得m﹣1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得m﹣1＞0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，当k＞0时，图像在第一、三象限内，根据这个性质即可解出答案. 12．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，1，1，1．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．7 B．1 C．5 D．4【答案】C【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，3，x，1，1，2．已知这组数据的平均数是3，∴x=3×2-4-4-3-1-1-2=3，∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，3，1，1，2，∴这组数据的中位数是：3．故选：C．【点睛】本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，一路灯B 距地面高BA ＝7m ，身高1.4m 的小红从路灯下的点D 出发，沿A →H 的方向行走至点G ，若AD ＝6m ，DG ＝4m ，则小红在点G 处的影长相对于点D 处的影长变长了_____m ．【答案】1．【分析】根据由CD ∥AB ∥FG 可得△CDE ∽△ABE 、△HFG ∽△HAB ，即DE CD AE AB =、HG FGHA AB=，据此求得DE 、HG 的值，从而得出答案．【详解】解：由CD ∥AB ∥FG 可得△CDE ∽△ABE 、△HFG ∽△HAB ， ∴DE CD AE AB =、HG FG HA AB =，即 1.467DE DE =+、 1.4467HG HG =++， 解得：DE ＝1.5、HG ＝2.5， ∵HG ﹣DE ＝2.5﹣1.5＝1， ∴影长变长1m ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 14．如图，点A 是反比例函数()40y x x=>的图象上一点，直线y kx b =+过点A 与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C .过点A 做AD x ⊥轴于点D ，连接BD ，若BOC 的面积为3，则BOD 的面积为_______．【答案】3332-+【分析】先由△BOC 的面积得出26b k =①，再判断出△BOC ∽△ADC ，得出24a k ab +=②，联立①②求出ab ，即可得出结论．【详解】设点A 的坐标为4(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，∴4AD OD a a==，， ∵直线y kx b =+过点A 并且与两坐标轴分别交于点B ，C ，∴()00b B b C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，， ∴ BO b =，bOC k=， ∵△BOC 的面积是3， ∴BOC11322bSOB OC b k==⨯⨯=， ∴26b k =，∴26b k =①∵AD ⊥x 轴， ∴OB ∥AD ， ∴△BOC ∽△ADC ，∴OC OBCD AD =， ∴4bb k b a k a=+，∴24a k ab +=②，联立①②解得，3ab =--舍)或3ab =-∴BOD 11 22S OD OBab ===． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出24a k ab +=是解本题的关键．15．在平面直角坐标系中，已知()A 6,3、()B 6,0两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小后得到线段A'B'，则A'B'的长度等于________． 【答案】1【分析】已知A （6，2）、B （6，0）两点则AB=2，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13，则A′B′：AB=2：2．即可得出A′B′的长度等于2．【详解】∵A （6，2）、B （6，0），∴AB=2． 又∵相似比为13，∴A′B′：AB=2：2，∴A′B′=2． 【点睛】本题主要考查位似的性质，位似比就是相似比．16．将半径为12，圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】1【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可得到关于r 的方程，然后解方程即可． 【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ， 根据题意得120122180ππ⨯=r解得r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程是解题的关键. 17．计算sin45°的值等于__________【答案】2【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解．【详解】解：45sin ︒=，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 18．关于x 的方程220kx x --=的一个根为2，则k =______. 【答案】1【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．【详解】把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1故答案为:1．【点睛】本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．三、解答题（本题包括8个小题）19．为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为,,,A B C D四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题:（1）参加征文比赛的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，表示C等级的扇形的圆心角为__ 图中m ；（4）学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）30；（2）图见解析；（3）144°，30；（4）23．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数；（2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可；（3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示C等级的扇形的圆心角和m的值；（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%，则3÷10%=30，即参加征文比赛的学生共有30人；（2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人，则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人补全条形统计图如下图（3）12360=144 30⨯︒︒，9100%=30%30⨯，∴m=30（4）依题意，列表如下:男女女男(男，女) (男，女)女(男，女) (女，女)女(男，女) (女，女)由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，所以4263P==；或树状图如下由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，所以4263P==．本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键．20．计划开设以下课外活动项目：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是°；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1500 人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数【答案】（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．【详解】（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷36360＝200（人）；选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×40200＝72°，故答案为：200、72；（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．（3）1500×8060200＝1050（人），答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？【答案】20【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x 棵树每棵桃树的产量就会减少2x 个（即是平均产10002x -个），桃树的总共有100x +棵，所以总产量是(100)(10002)x x +-个．要使产量增加15.2%，达到1001000(115.2%)⨯⨯+个．【详解】解：设应多种x 棵桃树，根据题意，得()()()100100021000100115.2%x x +-=⨯⨯+整理方程，得240076000x x -+=解得，1220,380x x ==，∵多种的桃树不能超过100棵，∴2380x =（舍去）∴20x答：应多种20棵桃树。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 交于点N 、M ，则下列式子中错误的是（ ）A ．DN AD BM AB = B ．AD DE AB BC = C ．DO DE OC BC =D ．AE AO EC OM= 【答案】D【解析】试题分析：∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ADE ∽△ABC ，△DOE ∽△COB ， ∴DN AD BM AB =，AD DE AB BC =， DO DE OC BC=， 所以A 、B 、C 正确；∵DE ∥BC ，∴△AEN ∽△ACM ， ∴AE AN AC AM=， ∴AE AN EC NM =， 所以D 错误．故选D ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．2．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中b ＝3cm ，c ＝8cm ，d ＝12cm ，则a ＝（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 【答案】A【解析】由四条线段a 、b 、c 、d 成比例，根据比例线段的定义，即可得a cb d =， 又由b=3cm ，c=8cm ，d=12cm ，即可求得a 的值．【详解】∵四条线段a 、b 、c 、d 成比例， ∴a c b d= ∵b=3cm ，c=8cm ，d=12cm ，∴8 312 a=解得：a=2cm．故答案为A．【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念．3．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”或，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的槪率为（）A．16B．15C．13D．19【答案】C【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为21 63 =，故选：C．【点睛】本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．4．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为( )A．10平方米B．10π平方米C．100平方米D．100π平方米【答案】D【解析】过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA2-π•OC2=π（OA2-OC2）=π•AC2，即可圆环的面积．【详解】过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴AC=BC，而AB=20，∴AC=10，∵AB与小圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴圆环的面积=π•OA 2-π•OC 2=π（OA 2-OC 2）=π•AC 2=100π（平方米）．故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．5．如图，Rt ABC ∆中，901,ACB AC BC ︒∠===，将Rt ABC ∆绕A 点逆时针旋转30︒后得到Rt ADE ∆，点B 经过的路径为,BD 则图中涂色部分的面积为（ ）A ．6πB ．3πC ．122π--D ．13【答案】A【分析】先根据勾股定理得到AB ，再根据扇形的面积公式计算出ABD S 扇形，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是ADE ABC ABD ABD SS S S S =+-=阴影部分扇形扇形． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴2222112AB AC BC ++= ∴22ABD 302 3603606n r S πππ⨯===扇形，又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ， ∴ADE ABC ABD ABD SS S S 6S π=+-==阴影部分扇形扇形．故选：A【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．6．不等式组542(1) 25321 32xxx x+≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩的解集是（）A．2x≤B．2x≥-C．22x-<≤D．22x-≤<【答案】D【分析】根据不等式的性质解不等式组即可.【详解】解：542(1)2532132x xx x+≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩化简可得：22xx≥-⎧⎨<⎩因此可得22x-≤<故选D.【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BCAB=35，BC=6∴AB=36sin5BCA=÷=10，故选D．考点：解直角三角形；8．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设白球的个数为x，利用概率公式即可求得.【详解】设白球的个数为x，由题意得，从14个红球和x个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3，则利用概率公式得：0.314x x=+， 解得：6x =， 经检验，x=6是原方程的根，故选：B.【点睛】本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.9．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则BC 的长是( )A ．πB ．13πC ．12πD ．16π 【答案】B 【解析】连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB ，OC ．∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝1，∴BC 的长＝6011803ππ⋅⋅=， 故选B ．【点睛】考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 10．如图，已知矩形ABCD 和矩形EFGO 在平面直角坐标系中，点B ，F 的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD 和矩形EFGO 是位似图形，点P(点P 在GC 上)是位似中心，则点P 的坐标为( )A．(0,3) B．(0,2.5) C．(0,2) D．(0,1.5) 【答案】C【分析】如图连接BF交y轴于P ，由BC∥GF可得GPPC＝GFPC，再根据线段的长即可求出GP，PC，即可得出P点坐标.【详解】连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴GPPC ＝GFPC＝12，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为(0,2)，故选C.【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是根据位似图形的对应线段成比例.11．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180︒，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．12．如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB=6，则⊙O 的半径为（ ）A ．2B ．22C ．62D ．【答案】A 【解析】试题分析：连接OA ，设⊙O 的半径为r ，由于AB 垂直平分半径OC ，AB=6，则AD=62AB =，OD=2r ，在Rt △AOD 中，OA 2=OD 2+AD 2，即r 2=（2r ）2+（62）2，解得r=2．考点:（1）垂径定理；（2）勾股定理．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，他调整自己的位置，使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm ，EF ＝20cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝10m ，则AB ＝_____m ．【答案】6.5【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上AC的长即可求得树AB的高．【详解】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC DC EF DE=，∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，CD＝10m，∴10 0.20.4 BC=，解得：BC＝5（m），∵AC=1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5（m），故答案为：6.5【点睛】本题考查相似三角形的应用，如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．14．函数25(2)my m x-=-，其中y是x的反比例函数，则m的值是__________.【答案】2-【分析】根据反比例函数的定义知m1-5=-1，且m-1≠0，据此可以求得m的值．【详解】∵y=（m-1）x m1−5是y关于x的反比例函数，∴m1-5=-1，且m-1≠0，∴（m+1）（m-1）=0，且m-1≠0，∴m+1=0，即m=-1；故答案为：-1．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=kx（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．15．已知12yx=，则x yx+=_____．【答案】3 2【分析】由已知可得x、y的关系，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵12y x =，∴2x y =，∴2322x y y y x y ++==. 故答案为：32. 【点睛】 本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键.16．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y 的最小值为﹣1，则a 的取值范围是_______．【答案】﹣3≤a≤1【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．【详解】解：∵二次函数y ＝x 1﹣4x+3＝（x ﹣1）1﹣1，∴对称轴为直线x ＝1，当a ＜1＜a+5时，则在a≤x≤a+5范围内，x ＝1时有最小值﹣1，当a≥1时，则在a≤x≤a+5范围内，x ＝a 时有最小值﹣1，∴a 1﹣4a+3＝﹣1，解得a ＝1，当a+5≤1时，则在a≤x≤a+5范围内，x ＝a+5时有最小值﹣1，∴（a+5）1﹣4（a+5）+3＝﹣1，解得a ＝﹣3，∴a 的取值范围是﹣3≤a≤1，故答案为：﹣3≤a≤1．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．如图，将Rt ABC ∆绕直角顶点A 顺时针旋转90︒，得到AB C ''∆，连结BB '，若125∠=︒，则C ∠的度数是____．【答案】70︒【分析】先根据旋转的性质得出'',''90,'C AC B C AB CAB AB AB ∠=∠∠=∠=︒=，然后得出'45AB B ∠=︒，进而求出'AB C ∠的度数，再利用'90'C ACB AB C ∠=∠=︒-∠即可求出答案．【详解】∵Rt ABC ∆绕直角顶点A 顺时针旋转90︒，得到AB C ''∆'',''90,'C AC B C AB CAB AB AB ∴∠=∠∠=∠=︒='45AB B ∴∠=︒∵125∠=︒''1452520AB C AB B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒''90AB C ACB ∠+∠=︒'90'902070C ACB AB C ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：70°．【点睛】本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．18．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况.如表：请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____m 3.【答案】130【解析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．【详解】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m 3），因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.325=130（m 3），故答案为130.【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：x 2﹣6x ﹣40＝0【答案】x 1＝10，x 2＝﹣1．【分析】用因式分解法即可求解.【详解】解：x 2﹣6x ﹣10＝0，（x ﹣10）（x+1）＝0，∴x ﹣10＝0或x+1＝0，∴x 1＝10，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．20．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，且点M 不与B、C 重合，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为：．【答案】（1）详见解析；（1）①详见解析；②BP=AB．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（1）①连接BD，如图1，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【详解】（1）解：补全图形如图1：（1）①证明：连接BD，如图1，∵线段AP 绕点 A 顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∴∠1=∠1．∴△ADQ ≌△ABP ，∴DQ=BP ，∠Q=∠3，∵在 Rt △QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在 Rt △BPD 中，DP1+BP1=BD1， 又∵DQ=BP ，BD 1=1AB 1，∴DP 1+DQ 1=1AB 1．②解：结论：BP=AB ．理由：如图 3 中，连接 AC ，延长 CD 到 N ，使得 DN=CD ，连接 AN ，QN ．∵△ADQ ≌△ABP ，△ANQ ≌△ACP ，∴DQ=PB ，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN ，∴DQ=CD=DN=AB ，∴PB=AB ．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴21．某商场销售一种电子产品，进价为20元/件.根据以往经验:当销售单价为25元时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.（1）销售该电子产品时每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为______；（2）商场决定每销售1件该产品，就捐赠()06a a <≤元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1440元，求a 的值．【答案】（1）10500y x =-+；（2）a=1．【分析】(1)利用“实际销售量=原销售量-10×上涨的钱数”可得；(2) 根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．【详解】(1) 由题意得，()250102510500y x x =--=-+，∴函数关系式为：10500y x =-+(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元，依题意得： (20)(10500)w x a x =---+()2107001050010000x a x a =-++--∵-10＜0，且抛物线的对称轴为直线352a x =+， ∴当352a x =+，y 的最大值是1440， ∴35201035500144022a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---⨯++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 化简得：()230576a -=，解得：154a =(不合题意，舍去)，26a = ．答：a 的值为1．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．22．如图，△ABC 的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转180°得到△A 1B 1C 1．（1）画出△A 1B 1C 1；（2）求在此变换过程中，点A 到达A 1的路径长．【答案】（1）画图见解析；（2）点A 到达A 1的路径长为10．【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A ，B ，C 绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）点A 到达A 1的路径是以O 为圆心，OA 为半径的半圆，据此求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）∵OA 221+310，∴点A 到达A 1的路径长为12×210＝10． 【点睛】本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．23．我们规定：方程20ax bx c ++=的变形方程为2(1)(1)0a x b x c ++++=．例如：方程22340x x -+=的变形方程为22(1)3(1)40x x +-++=．（1）直接写出方程2250x x +-=的变形方程；（2）若方程220x x m ++=的变形方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（3）若方程20ax bx c ++=的变形方程为2210x x ++=，直接写出a b c ++的值．【答案】（1）2420x x +-=；（2）1m <；（3）1【分析】(1)根据题目的规定直接写出方程化简即可.(2)先将方程变形,再根据判别式解出范围即可.(3)先将变形前的方程列出来化简求出a 、b 、c,相加即可求解.【详解】（1）由题意得()()212150x x +++-=,化简后得:2420x x +-=.（2）若方程220x x m ++=的变形方程为2(1)2(1)0x x m ++++=，即24(3)0x x m +++=.由方程220x x m ++=的变形方程有两个不相等的实数根，可得方程24(3)0x x m +++=的根的判别式>0∆，即244(3)0m -+>.解得1m <（3）2210x x ++=变形前的方程为: ()()212110x x -+-+=,化简后得:x 2=0,∴a=1,b=0,c=0,∴a+b+c=1.【点睛】本题考查一元二次方程的运用,关键在于读题根据规定变形即可.24．如图，一次函数y ＝kx+b （b ＝0）的图象与反比例函数y ＝m x（m≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（﹣3，4），点B 的坐标为（6，n ）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OB ，求△AOB 的面积；（3）若kx+b ＜m x，直接写出x 的取值范围． 【答案】（1）12y x =，y ＝﹣23x+2；（2）9；（3）x ＞6或﹣3＜x ＜1 【分析】（1）根据A 的坐标求出反比例函数的解析式，求出B 点的坐标，再把A 、B 的坐标代入y ＝kx+b ，求出一次函数的解析式即可；（2）先求出点C 的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；（3）根据A 、B 的坐标和图象得出即可．【详解】解：（1）把A 点的坐标（﹣3，4）代入y ＝m x得：m ＝﹣12， 即反比例函数的解析式是y ＝12x， 把B 点的坐标（6，n ）代入y ＝﹣12x 得：n ＝﹣2， 即B 点的坐标是（6，﹣2），把A 、B 的坐标代入y ＝kx+b 得：4326k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， 解得：k ＝﹣23，b ＝2， 所以一次函数的解析式是y ＝﹣23x+2；（2）设一次函数y＝﹣23x+2与x轴的交点是C，y＝﹣23x+2，当y＝1时，x＝3，即OC＝3，∵A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝11343222⨯⨯+⨯⨯＝9；（3）当kx+b＜mx时x的取值范围是x＞6或﹣3＜x＜1．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．【答案】（1）y＝12x+3或y＝12x﹣32；（2）2716【分析】（1）根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为y＝12x+b；把点B和D的坐标代入进行解答即可；（2）根据正方形是中心对称图形，当直线l经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABCD的面积，求得交点坐标，代入y＝12x+b，根据待定系数法即可求得直线l的解析式，然后求得E、F的坐标，根据待定系数法求得直线BE的解析式，得到与y轴的交点Q的坐标，根据三角形面积公式即可求得．【详解】（1）∵长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为（5，4），∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），设直线l的解析式为y＝kx，把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝12，∴直线l为：y＝12 x，设平移后的直线方程为y＝12x+b，把点B的坐标代入，得:4＝12×2+b，解得b＝3，把点D的坐标代入，得:1＝12×5+b，解得: b＝﹣32，则平移后的直线l解析式为：y＝12x+3或y＝12x﹣32；（2）设AC和BD的交点为P，∴P点的坐标为（72，52），把P点的坐标代入y＝12x+b得，52＝1722⨯+b，解得b＝34，∴此时直线l的解析式为y＝12x+34，如图，∴E（﹣32，0），F（0，34），设直线BE的解析式为：y＝mx+n，则3224m nm n⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：87127mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BE的解析式为：y＝87x+127，∴Q（0，127），∴QF＝127﹣34＝2728，∴△BEF 的面积＝1273(2)2282⨯⨯+＝2716．【点睛】本题主要考查一次函数的图象的平移和正方形的性质的综合，掌握待定系数法和求直线和坐标轴的交点坐标是解题的关键.26．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过点()0,3,(,0)1A B -，请解答下列问题:()1求抛物线的解析式；()2抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．()3点F 在抛物线的对称轴上运动，是否存在点F ，使BFC △的面积为4，如果存在，直接写出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2+2x+3；（2）5（3）存在点F ，点F （1，2）或（1，-2）【分析】（1）利用待定系数法即可求出结论；（2）先求出顶点D 的坐标，然后分别求出BE 和DE 的长，利用勾股定理即可求出结论；（3）先求出BC 的长，然后根据三角形的面积公式即可求出点F 的纵坐标，从而求出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+2x+c 经过点A （0，3），B （-1，0），∴将A （0，3），B （-1，0）代入得：233a c c -+=⎧⎨=⎩， 解得： 13a c =-⎧⎨=⎩ 则抛物线解析式为y=-x 2+2x+3；（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4由D为抛物线顶点，得到D（1，4），∵对称轴与 x 轴交于点E ，∴ DE=4，OE=1 ，∵ B（﹣1，0），∴ BO=1，∴ BE=2，在 Rt BED 中，根据勾股定理得： BD=22BE DE=25（3）抛物线的对称轴为直线x=1由对称性可得：点C的坐标为（3,0）∴BC=3－（-1）=4∵BFC△的面积为4，∴12BC·F y=4解得：F y=2或-2∴点F的坐标为（1，2）或（1，-2）即存在点F，点F（1，2）或（1，-2）【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和三角形的面积公式是解决此题的关键．27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．【答案】（1）12cm；（2）300cm 37【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝222015+＝25（cm），∵12BC×AD＝12AB×AC，∴AD＝AB ACBC⨯＝201525⨯＝12（cm）；即BC边上的高为12cm；（2）设正方形EFGH的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴AOAD＝EHBC，即1212x-＝25x，解得：x＝300 37，即正方形EFGH的边长为30037cm．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若ABC ∆∽DEF ∆，10AB =，12BC =，5DE =，则EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】利用相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题.【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，10AB =，12BC =，5DE =， ∴AB BC DE EF=， ∴10125EF =， ∴EF=6.故选C.【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属于中考基础题． 2．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：3【答案】B 【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AECS BE S EC S S ∆∆∴=== 故选B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．3．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ）A ．29B ．13C ．59D ．23【答案】B【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树状图得：则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果，∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为39＝13， 故选：B ．【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．4．要得到抛物线y ＝2（x ﹣4）2+1，可以将抛物线y ＝2x 2（ ）A ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】∵y ＝2（x ﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y ＝2x 2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y ＝2（x ﹣4）2+1． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出顶点坐标并抓住点的平移规律是解题关键．5．若一次函数 y=ax+b （a≠0）的图像与 x 轴交点坐标为（2，0），则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为( ) A ．直线 x=1B ．直线 x=-1C ．直线 x=2D ．直线 x=-2 【答案】A【分析】先将（2，0）代入一次函数解析式y ＝ax ＋b ，得到2a ＋b ＝0，即b ＝-2a ，再根据抛物线y=ax 2+bx+c的对称轴为直线x ＝2b a-即可求解． 【详解】解：∵一次函数y ＝ax ＋b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），∴2a ＋b ＝0，即b ＝-2a ，∴抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝2122b a a a --=-=． 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2b a -． 6．已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）A ．110B ．910C ．15D ．45【答案】C【分析】直接利用概率公式求解．【详解】∵10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，∴从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是21105=. 故选C.【点睛】 本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 7．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞98B ．k ＜98C ．k ＜﹣98D ．k ＜89【答案】B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，解得k ＜98． 故选：B ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．8．把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A ．y=2x -3B ．y=2x +3C ．y=2(3)x +D ．y=2(3)x -【答案】B【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】∵抛物线y=x 2向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=x 2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.9．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +<，③420a b c -+<，④20a b c ++>，其中正确结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点位置，可判断a 、b 、c 的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y 轴的交点在x 轴上方，∴a ＜0，c ＞0，∵0＜-2b a＜1，∴b ＞0，且b ＜-2a ，∴abc ＜0，2a+b ＜0，故①不正确，②正确； ∵当x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，故③正确；∵当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，又c ＞0，∴a+b+2c ＞0，故④正确；综上可知正确的有②③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．10．下列事件属于随机事件的是（ ）A ．旭日东升B ．刻舟求剑C ．拔苗助长D ．守株待兔 【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小,逐一判断选项，即可．【详解】A 、旭日东升是必然事件；B 、刻舟求剑是不可能事件；C 、拔苗助长是不可能事件；D 、守株待兔是随机事件；故选：D ．【点睛】本题主要考查随机事件的概念，掌握随机事件的定义，是解题的关键.11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ．将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长度是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．5【答案】A 【解析】直接利用位似图形的性质结合A 点坐标可直接得出点C 的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ， ∴C （1，2），则CD 的长度是2，故选A．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．12．如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是EPD 上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【分析】连接OE，OD，由切线的性质易证四边形OECD是矩形，则可得到∠EOD的度数，由圆周角定理进而可求出∠EPD的度数．【详解】解：连接OE，OD，∵⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∴∠EOD＝90°，∴∠EPD＝12∠EOD＝45°，故选：B．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质等知识，得出∠EOD＝90°是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．一天早上，王霞从家出发步行上学，出发6分钟后王霞想起数学作业没有带，王霞立即打电话叫爸爸骑自行车把作业送来（接打电话和爸爸出门的时间忽略不计），同时王霞把速度降低到前面的一半.爸爸骑自行车追上王霞后立即掉头以原速赶往位于家的另一边的单位上班，王霞拿到作业后立即改为慢跑上学，。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）A ．()a m n am an +=+B ．()()2222a b c a b a b c --=+--C ．()2105521x x x x -=-D ．()()168448x x x x x -+=+-+【答案】C【解析】根据题中“属于分解因式的是”可知，本题考查多项式的因式分解的判断，根据因式分解的概念，运用因式分解是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，进行分析判断.【详解】A ． 属于整式乘法的变形.B ． 不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.C ． 运用提取公因式法，把多项式分解成了5x 与（2x-1）两个整式相乘的形式.D ． 不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.故应选C【点睛】本题解题关键：理解因式分解的概念是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，注意的是相乘的形式. 2．如果:1:2x y =，那么下列各式中不成立的是（ ）A ．32x y y +=；B ．12y x y -=；C ．21y x =；D ．1213x y +=+ 【答案】D【解析】试题分析：由题意分析可知：A 中，131,,22x y x x x y y y y y ++=+=⇒=，故不选A ；B 中，111122y x x y y -=-=-=，故不选;C 中，1221x y y x =⇒=；D 中，1213x y +≠+，故选D 考点：代数式的运算点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解3．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，若∠ADC ＝33°，则∠ACO 的大小为（ ）A ．57°B ．66°C ．67°D ．44°【答案】A【分析】由圆周角定理定理得出∠AOC ，再由等腰三角形的性质得到答案.【详解】解：∵∠AOC 与∠ADC 分别是弧AC 对的圆心角和圆周角，∴∠AOC =2∠ADC =66°，在△CAO 中，AO=CO,∴∠ACO=∠OAC =1806126)57(︒-︒=︒， 故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，注意数形结合思想的应用．4．下列事件是不可能发生的是（ ）A ．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上B ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1C ．今年冬天黑龙江会下雪D ．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域【答案】B【分析】根据不可能事件的概念即可解答，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件.【详解】A. 随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上，可能发生，故本选项错误；B. 随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1，不可能发生，故本选项正确；C. 今年冬天黑龙江会下雪，可能发生，故本选项错误；D. 一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域，可能发生，故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查不可能事件，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件.5．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A 选项错误；B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B 选项错误；C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D 选项错误．D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 选项正确；故选D.6．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误，故选A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.7．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝( )A21B21C．212D．212【答案】B【解析】设AB=x，求出BC=x，2x，求出BD为（2x），通过∠ACB＝45°，CD＝AC，可以知道∠D即为22.5°，再解直角三角形求出tanD即可．【详解】解：设AB=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC=x，由勾股定理得：22x x+2，∴2x∴2x，∴tan22.5°=tanD=x 2x AB BD =+=21-故选B ．【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，设出AB=x 能求出BD= x+2x 是解此题的关键．8．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 C ．5 D ．5【答案】B【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，然后把1211x x +进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．【详解】根据题意得x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，所以1211x x +=121211x x x x +-=-=1， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a. 9．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0),(5,0)A B --,下列说法正确的是（ ）A ．0c >B ．240b ac -<C ．0a b c ++>D ．图象的对称轴是直线3x =-【答案】D 【分析】根据抛物线2y ax bx c =++与y 轴交点的位置即可判断A 选项；根据抛物线与x 轴有两个交点即可判断B 选项；由图象可知，当x=1时，图象在x 轴的下方可知0a b c ++<，故C 错误；根据图象经过点(1,0),(5,0)A B --两点，即可得出对称轴为直线3x =-．【详解】解：A 、由图可知，抛物线交于y 轴负半轴，所以c ＜0，故A 错误；B 、由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故B 错误；C 、由图象可知，当x=1时，图象在x 轴的下方，则0a b c ++<，故C 错误；D 、因为图象经过点(1,0),(5,0)A B --两点，所以抛物线的对称轴为直线3x =-，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．10．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）A ．2B ．12C ．18D ．24 【答案】C【分析】根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)则红球的个数为:24－6=18(个)故选C.【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.11．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线为（ ） A ．()2213y x =++B ．()2213y x =-+C ．()2213y x =--D ．()2213y x =+- 【答案】B【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线为：()2213y x =-+．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．12．以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ） A ．不能构成三角形B ．这个三角形是等腰三角形C ．这个三角形是直角三角形D ．这个三角形是钝角三角形【答案】C【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，问题得解．【详解】解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos303则该三角形的三边分别为：123∵122）232，∴该三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．在△ABC中，tanB＝34，BC边上的高AD＝6，AC＝35，则BC长为_____．【答案】5或1【分析】分两种情况：AC与AB在AD同侧，AC与AB在AD的两侧，在Rt△ABD中，通过解直角三角形求得BD，用勾股定理求得CD，再由线段和差求BC便可．【详解】解：情况一：当AC与AB在AD同侧时，如图1，∵AD是BC边上的高，AD＝6，tanB＝34，AC＝35∴在Rt△ABD中，683tan4ADBDB===，在Rt△ACD中，利用勾股定理得()22223563CD AC AD=-=-=∴BC=BD-CD=8-3=5；情况二：当AC与AB在AD的两侧，如图2，∵AD是BC边上的高，AD＝6，tanB＝34，AC＝5∴在Rt△ABD中，683tan4ADBDB===，在Rt△ACD中，利用勾股定理得()22223563CD AC AD=-=-=∴BC=BD+CD=8+3=1；综上，BC=5或1．故答案为：5或1．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用题，关键是分情况讨论，比较基础，容易出错的地方是漏解．14．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC 的长度是_______．【答案】2【解析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】设圆锥底面圆的半径为 r ，∵AC=6，∠ACB=120°， ∴1206180l π⨯⨯==2πr ， ∴r=2，即：OA=2，在 Rt △AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，22AC OA -2，故答案为2．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA 的长是解本题的关键． 15．一元二次方程240x x -=的解是_________.【答案】x 1=0，x 2=4【分析】用因式分解法求解即可.【详解】∵240x x -=，∴x(x-4)=0,∴x 1=0，x 2=4.故答案为x 1=0，x 2=4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.16．若a 是方程22410x x --=的一个根，则式子2201924a a +-的值为__________．【答案】1【分析】将a 代入方程中得到2241a a -=，将其整体代入2201924a a +-中，进而求解．【详解】由题意知，22410a a --=，即2241a a -=，∴2201924201912020a a +-=+=，故答案为：1．【点睛】本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．17．如图，已知半⊙O 的直径AB ＝8，将半⊙O 绕A 点逆时针旋转，使点B 落在点B'处，AB'与半⊙O 交于点C ，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC 的长为_____．【答案】2π【分析】设∠OAC ＝n°．根据S 阴＝S 半圆＋S 扇形BAB ′−S 半圆＝S 扇形ABB ′，构建方程求出n 即可解决问题．【详解】解：设∠OAC ＝n°．∵S 阴＝S 半圆+S 扇形BAB′﹣S 半圆＝S 扇形ABB′， ∴28360n π•＝8π， ∴n ＝45，∴∠OAC ＝∠ACO ＝45°，∴∠BOC ＝90°，∴BC 的长＝904180π••＝2π， 故答案为2π．【点睛】本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，弧长公式．18．反比例函数y=31k x -的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是_______． 【答案】13k <【解析】根据k ＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案．【详解】∵反比例函数y=31k x-的图象位于第二、四象限， ∴3k−1<0， 解得：13k <. 故答案为13k <. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质.根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元．如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【答案】第二个月的单价应是70元.【解析】试题分析：设第二个月降价x 元，则由题意可得第二个月的销售单价为(80)x -元，销售量为(20010)x +件，由此可得第二个月的销售额为(80)(20010)x x -+元，结合第一个月的销售额为80200⨯元和第三个月的销售额为40[800200(20010)]x ⨯--+元及总的利润为9000元，即可列出方程，解方程即可求得第二个月的销售单价.试题解析：设第二个月的降价应是x 元，根据题意，得:80×200+（80-x ）（200+10x ）+40[800-200-（200+10x ）] -50×800=9000,整理，得x 2-20x+100=0，解得x 1=x 2=10，当x=10时，80-x=70＞50，符合题意.答：第二个月的单价应是70元.点睛：这是一道有关商品销售的实际问题，解题时需注意以下几点：（1）进货成本=商品进货单价×进货数量；（2）销售金额=商品销售单价×销售量；（3）利润=销售金额-进货成本；（4）若商品售价每降价a 元，销量增加b 件，则当售价降低x 元时，销量增加：bx a件. 20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点及点O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点O 为位似中心，在网格区域内画出△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似（A ′、B ′、C ′分别为A、B、C的对应点），且位似比为2：1；（2）△A′B′C′的面积为个平方单位；（3）若网格中有一格点D′（异于点C′），且△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D′．（如果这样的点D′不止一个，请用D1′、D2′、…、D n′标出）【答案】（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析【分析】（1）依据点O为位似中心，且位似比为2：1，即可得到△A′B′C′；（2）依据割补法进行计算，即可得出△A′B′C′的面积；（3）依据△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，即可得到所有符合条件的点D′．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）△A′B′C′的面积为4×6﹣12×2×4﹣12×2×4﹣12×2×6＝24﹣4﹣4﹣6＝10；故答案为：10；（3）如图所示，所有符合条件的点D′有5个．【点睛】此题主要考查位似图形的作图，解题的关键是熟知位似图形的性质及网格的特点.21．如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N（1）求证：∠AOC=135°（2）若NC=3，BC=25，求DM的长【答案】（1）见解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据222=+，BC BD CD构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB∴OM=OE即：E为⊙O的切点；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA ）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°（2）由（1）得，AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，∵AB=AC∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x∵CD=3+x在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+ 即：()()2222533x x =-++解得：x=1或x=-1（舍去）即DM=1．【点睛】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程．22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，经过AD 两点的圆分别与AB ，AC 交于点E 、F ，连接DE ，DF ．（1）求证：DE ＝DF ； （2）求证：以线段BE+CF ，BD ，DC 为边围成的三角形与△ABC 相似，【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）连接AD ，证明∠BAD ＝∠CAD 即可得出DE DF =，则结论得出；（2）在AE 上截取EG ＝CF ，连接DG ，证明△GED ≌△CFD ，得出DG ＝CD ，∠EGD ＝∠C ，则可得出结论△DBG ∽△ABC ．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴DE DF =，∴DE ＝DF ．（2）证明：在AE 上截取EG ＝CF ，连接DG ，∵四边形AEDF 内接于圆，∴∠DFC ＝∠DEG ，∵DE ＝DF ，∴△GED ≌△CFD （SAS ），∴DG ＝CD ，∠EGD ＝∠C ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴△DBG ∽△ABC ，即以线段BE+CF ，BD ，DC 为边围成的三角形与△ABC 相似．【点睛】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握圆的内接四边形性质与相似三角形的判定是解题的关键． 23．抛物线2y x bx c =-++过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c 的值；（2）当x 为何值时，y 有最大值？【答案】（1）b, c 的值分别为5, -5；（2）当52x =时y 有最大值 【分析】（1）把点代入2y x bx c =-++求解即可得到b,c 的值；（2）代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =-++过点（0，-5）和（2，1）， ∴5421c b c =-⎧⎨-++=⎩, 解得 55b c =⎧⎨=-⎩, ∴b, c 的值分别为5, -5.（2）a= -1 ，b=5,∴当x=522b a -=时y 有最大值. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键.24．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可． （2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米． （2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析．25．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．（1）求证：DP 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）2933()22cm . 【分析】（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可．（2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OD ，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．∴∠DOP=180°﹣120°=60°．∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．∴OD ⊥DP ．∵OD 为半径，∴DP 是⊙O 切线．（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，∴OP=6cm ，由勾股定理得：DP=33cm ． ∴图中阴影部分的面积221603933333()236022ODP DOB S S S cm 扇形 26．如图所示，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC 的长．【答案】4cm【解析】试题分析：想求得FC ，EF 长，那么就需求出BF 的长，利用直角三角形ABF ，使用勾股定理即可求得BF 长．试题解析：折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，所以AF=AD=BC=10厘米（2分）在Rt △ABF 中，AB=8厘米，AF=10厘米，由勾股定理，得AB 2+BF 2=AF 2 ∴82+BF 2=102∴BF=6（厘米）∴FC=10-6=4（厘米）．答：FC 长为4厘米．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．27．如图所示，O 分别切ABC 的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若8BC =，10AC =，6AB =．（1）求AD 的长；（2）求O 的半径长．【答案】（1）4；（2）2【分析】（1）设AD=x ，根据切线长定理得到AF=AD,BE=BD,CE=CF,根据关系式列得方程解答即可； （2）连接OD 、OE 、OF 、OA 、OB 、OC ，将△ABC 分为三个三角形：△AOB 、△BOC 、△AOC ，再用面积法求得半径即可.【详解】解：（1）设 AD x =，O 分别切 ABC 的三边 AB 、BC 、CA 于点 D 、E 、F ，AF AD x ∴==，8BC =，10AC =，6AB =，6BD BE AB AD x ∴==-=-，10CE CF AC AF x ==-=-，6108BE CE x x BC ∴+=-+-==，即 1628x -=，得 4x =，AD ∴ 的长为 4．（2）如图，连接OD 、OE 、OF 、OA 、OB 、OC ，则OD ⊥AB,OE ⊥BC,OF ⊥AC,且OD=OE=OF=2，∵8BC =，10AC =，6AB =,∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角，∴△ABC 的面积=11112222AB OD AC OF BC OE BC AB , ∴11(6810)6822OD , ∴OD=2,即O 的半径长为2.【点睛】此题考查圆的性质，切线长定理，利用面积法求得圆的半径，是一道圆的综合题.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．40°C．35°D．30°【答案】C【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【详解】连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=125°﹣90°=35°，∴∠AOD=2∠ACD=70°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠ADO=55°．∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( )A．15B．25C．35D．45【答案】C【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=35．故选C ．考点：1.概率公式；2.中心对称图形．3．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高1.6m 的小明站在距离路灯的底部（点O ）12m 的点A 处，测得自己的影子AM 的长为4m ，则路灯CO 的高度是（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．9.6m【答案】B 【分析】根据平行得：△ABM ∽△ODM ，列比例式，代入可求得结论．【详解】解：由题意得：AB ∥OC ，∴△ABM ∽△OCM ， ∴AB AM OC OM= ∵OA=12，AM=4，AB=1.6，∴OM=OA+AM=12+4=16， ∴11.646OC = ∴OC=6.4，则则路灯距离地面6.4米.故选：B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．4．小丽参加学校“庆元旦，迎新年演唱比赛，赛后小丽把七位评委所合的分数进行处理，得到平均数、中位数，众数，方差，如果把这七个数据去掉一个最高分和一个最低分，则数据一定不发发生变化的是 （ ）A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数【答案】D【分析】根据中位数的定义即位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数进行分析即可．【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选：D ．【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度较小．5．抛物线2(3)2y x =--经过平移得到抛物线2y x ,平移过程正确的是（ ） A ．先向下平移2个单位,再向左平移3个单位B ．先向上平移2个单位,再向右平移3个单位C ．先向下平移2个单位,再向右平移3个单位D ．先向上平移2个单位,再向左平移3个单位.【答案】D【分析】先利用顶点式得到抛物线2(3)2y x =--的顶点坐标为(3,2)-，抛物线2y x 的顶点坐标为(0,0)，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线2(3)2y x =--的顶点坐标为(3,2)-，抛物线2y x 的顶点坐标为(0,0)，而点(3,2)-先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点(0,0)，抛物线2(3)2y x =--先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线2y x ． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ） A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.7．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝1500【答案】A【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=1．故选A．8．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【答案】B【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（）A．2B．3C．6 D．8【答案】B【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】连接OA，OC，过O作OE⊥AC，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝2∠D ，∴∠B+∠D ＝3∠D ＝180°，解得：∠D ＝60°，∴∠AOC ＝120°，在Rt △AEO 中，OA ＝4，∴AE ＝23，∴AC ＝43，故选：B ．【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D=60°．10．如图，这是二次函数226y ax bx a a =+++-的图象，则a 的值等于（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】D 【分析】由题意根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到26a a +- =0，然后解关于a 的方程即可．【详解】解：因为二次函数图象过原点，所以把（0，0）代入二次函数226y ax bx a a =+++-得出26a a +- =0，解得2a =或3a =-， 又因为二次函数图象开口向下，所以3a =-.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式进行分析作答即可． 11．如图，若A 、B 、C 、D 、E ，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC 与△DEF 相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F 对应的位置．【详解】解：根据题意，△ABC 的三边之比为25要使△ABC ∽△DEF ，则△DEF 的三边之比也应为25经计算只有甲点合适，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．12．将抛物线24y x =-向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为( )A ．()2435y x =-++B ．()2435y x =--- C ．()2435y x =--+D ．()2435y x =-+- 【答案】A 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（−3，1）；可设新抛物线的解析式为y ＝−4（x−h ）2＋k ，代入得：y ＝−4（x ＋3）2＋1．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. √4B. -2/3C. πD. 0.333...2. 若a，b是实数，且a+b=0，则下列说法正确的是（）A. a=0，b≠0B. b=0，a≠0C. a，b同时为0D. 无法确定3. 下列方程中，无解的是（）A. 2x+1=5B. 3x-6=0C. 4x+2=0D. x-3=24. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （2，-3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）5. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 等边三角形B. 长方形C. 正方形D. 梯形二、填空题（每题4分，共20分）6. 若a=2，b=-3，则a+b的值为______。

7. 若一个数的平方等于9，则这个数是______。

8. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为0.5，则这个角的度数是______。

9. 下列数中，绝对值最小的是______。

10. 已知函数f(x)=2x+3，若f(x)=7，则x的值为______。

三、解答题（共60分）11. （10分）已知一元二次方程x^2-5x+6=0，求方程的解。

12. （12分）已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B+C=180°，且AB=AC，求三角形ABC的形状。

13. （12分）某班有学生40人，其中男生人数是女生人数的2倍，求男生和女生各有多少人。

14. （12分）一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度行驶，3小时后到达乙地。

若汽车的速度增加20%，则从甲地到乙地的时间将缩短多少？15. （12分）已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，且f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，求函数f(x)的解析式。

四、附加题（共8分）16. （4分）请证明：若a、b、c是等差数列，则a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)。

17. （4分）已知函数f(x)=2x+1，求函数f(x)的图像。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）A．1∶3 B．2∶3 C3 2 D3 3【答案】A【解析】∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，∴∠C=∠FDE，同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，∴△DEF∽△CAB，∴△DEF与△ABC的面积之比=2 DEAC⎛⎫⎪⎝⎭，又∵△ABC为正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°∴△EFD是等边三角形，∴EF=DE=DF，又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴△AEF≌△CDE≌△BFD，∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，在Rt△DEC中，DE=DC×sin∠3，EC=cos∠C×DC=12DC，又∵DC+BD=BC=AC=32 DC，∴332332DCDEAC DC==，∴△DEF与△ABC的面积之比等于：2231:33DEAC⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A．点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边DEAC之比，进而得到面积比．2．如图，在O中，弦AB=12，半径OC AB⊥与点P，且P为的OC中点，则AC的长是（）A．42B．6 C．8 D．43【答案】D【分析】根据垂径定理求出AP，连结OA根据勾股定理构造方程可求出OA、OP，再求出PC，最后根据勾股定理即可求出AC．【详解】解：如图，连接OA，∵AB=12，OC⊥AB，OC过圆心O，∴AP=BP=12AB=6，∵P为的OC中点，设⊙O的半径为2R，即OA=OC=2R，则PO=PC=R，在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2=OP2+AP2，即：(2R)2=R2+62，解得：R=3即OP=PC=23在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2，即AC2=62+2(23)解得：AC=43故选：D ．【点睛】 本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP 的长是解此题的关键． 3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出△ABC 的三边长，再分别求出选项A 、B 、C 、D 中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案. 【详解】如图，223110AB =+AC=2，22212BC =+=A 、三边依次为：25，1， 1021225≠≠，∴A 选项中的三角形与ABC ∆不相似； B 52、1， 102152==B 选项中的三角形与ABC ∆相似； C 、三边依次为：352 10252≠≠C 选项中的三角形与ABC ∆不相似； D 1352，1022135≠≠，∴D 选项中的三角形与ABC ∆不相似； 故选：B.【点睛】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.4．对于二次函数228y x x =--，下列描述错误的是（ ）．A ．其图像的对称轴是直线x =1B ．其图像的顶点坐标是（1，-9）C ．当x =1时，有y 最小值-8D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大【答案】C 【分析】将解析式写成顶点式的形式，再依次进行判断即可得到答案.【详解】228y x x =--=2(1)9x --，∴图象的对称轴是直线x=1，故A 正确；顶点坐标是（1，-9），故B 正确；当x=1时，y 有最小值-9，故C 错误；∵开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故D 正确，故选：C.【点睛】此题考查函数的性质，熟记每种函数解析式的性质是解题的关键.5 ）AB C D 【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．【详解】解：（A ）原式＝，故A 是同类二次根式；（B ）原式＝，故B 不是同类二次根式；（C ）原式＝，故C 不是同类二次根式；（D ）原式＝D 不是同类二次根式；故选：A ．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．6．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形AOEB 中有一个向上攀爬的梯子，5OA =米，入口//AB OD ，且2AB =米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，则点B C 、之间的水平距离DE 的长度为（ ）A ．5米B ．6米C ．10米D ．8米【答案】D 【分析】根据题意B 、C 所在的双曲线为反比例函数，B 点的坐标已知为B （2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y=10x ，C （x ，1）代入y=10x 中，求出C 点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE 即可求出答案.【详解】解：设B 、C 所在的反比例函数为y=k xB （x B,y B ） ∴ x B =OE=AB=2 y B =EB=OA=5 代入反比例函数式中 5=2k 得到 k=10 ∴y=10x ∵ C(x C, y C ) y C =CD=1 代入y=10x中 ∴ 1= x C =10∴ DE=OD-OE= x C - x B =10-2=8故选D【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.7．正六边形的边心距与半径之比为（ ）A ．3B 3C 32D ．23【答案】C【分析】我们可设正六边形的边长为2，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．【详解】如右图所示，边长AB ＝2；又该多边形为正六边形，故∠OBA ＝60°，在Rt △BOG 中，BG ＝1，OG 3所以AB ＝2， 即半径、边心距之比为3:2．故选：C ．【点睛】此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用．8．如图，P 是ABC ∆的AB 边上的一点，下列条件不可能是ACP ABC ∆∆∽的是（ ）A ．ACPB ∠=∠B ．··AP BC AC PC = C ．APC ACB ∠=∠D ．2·AC AP AB =【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．【详解】解： A 、∵∠ACP ＝∠B ，∠A=∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，故本选项不符合题意；B 、∵AP PC AC BC=，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP ∽△ABC ，故本选项符合题意； C 、∵∠APC ＝∠ACB ，∠A=∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，故本选项不符合题意； D 、∵AC AP AB AC =，∠A=∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用． 9．如图所示，四边形OABC 是正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 点的坐标为(2，0)，P 是OB 上一动点，则PA ＋PD 的最小值为( )A ．10B 10C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+PA和的最小值．∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，∴22026=21+，∴10．∴PD+PA和的最小值是10．故选A．10．如果53x yx+=，那么yx＝（）A．85B．38C．32D．23【答案】D【分析】直接利用已知进行变形进而得出结果．【详解】解：∵53x yx+=，∴3x+3y＝5x，则3y＝2x，那么yx＝23．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题的关键．115x-x的值可以是（）A．2 B．0 C．1 D．9【答案】D5x-0，可得x-5≥0，解不等式就可得到答案.【详解】∵5x-有意义，∴x-5≥0，∴x≥5，观察个选项，可以发现x的值可以是9.故选D.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件.12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，P 是AB 上一点，将△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E ，且在AD 上，BE 交PC 于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（ ） ①BP ＝BF ；②若点E 是AD 的中点，那么△AEB ≌△DEC ；③当AD ＝25，且AE ＜DE 时，则DE ＝16；④在③的条件下，可得sin ∠PCB＝310；⑤当BP ＝9时，BE•EF ＝1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】①根据折叠的性质∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，从而证明BE ⊥CG 可得BE ∥PG,推出∠BPF＝∠BFP ,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD 的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE ≌△DCE;③先根据题意证明△ABE ∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE 即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF ∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin 值;⑤连接FG,先证明▱BPGF 是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF ∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE ·EF ．【详解】①在矩形ABCD ，∠ABC ＝90°，∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG ，∴∠GPF ＝∠PFB ，∴∠BPF ＝∠BFP ，∴BP ＝BF ；故①正确；②在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，在△ABE 和△DCE 中，=90AB DC A D AE DE =⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCE(SAS)；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴AB DE AE CD=，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴122512xx-=，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE20==，BE15==，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴EF EC PG CG=，设BP＝BF＝PG＝y，∴152025yy-=，∴y＝253，∴BP＝253，在Rt△PBC中，PC＝==，∴sin ∠PCB ＝251032510103PB PC ==； 故④不正确；⑤如图，连接FG ，由①知BF ∥PG ，∵BF ＝PG ＝PB ，∴▱BPGF 是菱形，∴BP ∥GF ，FG ＝PB ＝9，∴∠GFE ＝∠ABE ，∴△GEF ∽△EAB ，∴EF GF AB BE=， ∴BE•EF ＝AB•GF ＝12×9＝1；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，4个，故选：C ．【点睛】本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．二、填空题（本题包括8个小题）13．计算：2sin30°+tan45°＝_____．【答案】1．【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】原式＝1×12+1＝1． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点(13,13A 、D 在双曲线()0k y x x=<上，点B 的坐标是()0,1，点C 在坐标轴上，则点D 的坐标是___________.【答案】233⎛ ⎝ 【分析】先根据点A 的坐标求出双曲线的解析式，然后根据点B,C 之间的纵坐标之差和平行四边形的性质求出点D 的坐标即可. 【详解】∵点(13,13A +在双曲线()0k y x x=<上 1313=-∴2k =- ∴2y x=- ∵点B ()0,1,点C 在坐标轴上∴B,C 两点的纵坐标之差为1∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD//BC ，AD=BC∴A,D 两点的纵坐标之差为1∴D 点的纵坐标为1313+= 23x =-∴23x = ∴D 的坐标是233⎛ ⎝ 故答案为233⎛ ⎝ 【点睛】本题主要考查反比例函数及平行四边形的性质，掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键. 15．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%.在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少______个窗口.【答案】9【分析】设每个窗口每分钟能卖x 人的午餐，每分钟外出就餐有y 人，学生总数为z 人，并设要同时开n 个窗口，根据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在15分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂10分钟内卖完午餐，可列出不等式求解.【详解】解：设每个窗口每分钟能卖x 人的午餐，每分钟外出就餐有y 人，学生总数为z 人，并设要同时开n 个窗口，依题意有4545230301010(180%)x z y x z y nx z x =-⎧⎪⨯=-⎨⎪--⎩①②③， 由①、②得y x =，90z x =，代入③得10902nx x x -，所以8.8n .因此，至少要同时开9个窗口.故答案为：9【点睛】考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题中有多个未知数时，应利用相应的方程用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20分钟n 个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键．16．如图，平行四边形ABCD 中，60B ∠=，=12BC ，10AB =，点E 在AD 上，且AE=4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接DG ，则线段DG 的最小值为____________________．【答案】3【分析】结合已知条件，作出辅助线，通过全等得出ME=GN ，且随着点F 的移动，ME 的长度不变，从而确定当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小．【详解】解：如图所示，过点E 做EM ⊥AB 交BA 延长线于点M ，过点G 作GN ⊥AD 交AD 于点N ， ∴∠EMF=∠GNE=90°∵四边形ABCD 是平行四边形，BC=12∴AD ∥BC ，AD=BC=12，∴∠BAD=120°，∴∠AFE+∠AEF=60°又∵EG 为EF 逆时针旋转120°所得，∴∠FEG=120°，EF=EG ，∴∠AEF+∠GEN=60°，∴∠AFE=∠GEN ，∴在△EMF 与△GNE 中，∠AFE=∠GEN ，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG ，∴△EMF ≌△GNE （AAS ）∴ME=GN又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4，∴∠AEM=30°，122AM AE ==，2223ME AE AM =-=， ∴23ME GN ==， ∴当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小，如图所示，此时23DG GN ==，故答案为：23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的构造、几何中的动点问题，解题的关键是作出辅助线，得到全等三角形，并发现当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小．17．如图，点B 是圆周上异于,A C 的一点，若140AOC ∠=︒，则ABC ∠=_____．【答案】70或110【分析】根据题意，分为点B 在优弧和劣弧两种可能进行分析，由圆周角定理，即可得到答案.【详解】解：当点B 在优弧AC 上时，有：∵∠AOC=140°， ∴111402270ABC AOC ∠=∠=︒=⨯︒； 当点B 在劣弧AC 上时，有∵140AOC ∠=︒，∴111402270ADC AOC ∠=∠=︒=⨯︒， ∴18070011ABC ∠=︒-︒=︒；故答案为：70︒或110︒.【点睛】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.18．一个反比例函数的图像过点()2,3A -，则这个反比例函数的表达式为__________．【答案】6y x=- 【分析】设反比例函数的解析式为y=k x(k≠0)，把A 点坐标代入可求出k 值，即可得答案． 【详解】设反比例函数的解析式为y=k x (k≠0)， ∵反比例函数的图像过点()2,3A -，∴3=2k -， 解得：k=-6，∴这个反比例函数的表达式为6y x =-， 故答案为：6y x=-【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．【答案】（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜1，∴a 的取值范围是a ＜1；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣1．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ，点D 是AB 延长线上一点，∠A ＝30°，∠D ＝30°．（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，若⊙O 的半径为2，求MF 的长．【答案】（1）见解析；（2）MF 7.【分析】（1）如图，连接OE ，OF ，由垂径定理可知BE BF =，根据圆周角定理可求出∠DOF=60°，根据三角形内角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD 为⊙O 的切线；（2）如图，连接OM ，由中位线的性质可得OM//AE ，根据平行线的性质可得∠MOB ＝∠A ＝30°，根据垂径定理可得OM ⊥BE ，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE 的长，利用勾股定理可求出OM 的长，根据三角形内角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF 的长即可.【详解】（1）如图，连接OE ，OF ，∵EF ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴BE BF =，∴∠DOF ＝∠DOE ，∵∠DOE ＝2∠A ，∠A ＝30°，∴∠DOF ＝60°，∵∠D ＝30°，∴∠OFD ＝90°，∴OF ⊥FD ．∴FD 为⊙O 的切线.（2）如图，连接OM ，MF ，∵O 是AB 中点，M 是BE 中点，∴OM ∥AE ．∴∠MOB ＝∠A ＝30°．∵OM 过圆心，M 是BE 中点，∴OM ⊥BE ．∴MB=12OB=1， ∴OM=22OB BM -=3，∵∠OFD=90°，∠D=30°，∴∠DOF ＝60°，∴∠MOF ＝∠DOF+∠MOB=90°，∴MF ＝22OM OF +＝22(3)2+＝7．【点睛】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键.21．如图，线段AB 、CD 分别表示甲乙两建筑物的高，BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，垂足分别为A 、D ．从D 点测到B 点的仰角α为60°，从C 点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD ．（2）求乙建筑物的高CD ．【答案】（1）103；（2）1．【分析】（1）在Rt △ABD 中利用三角函数即可求解；（2）作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中利用三角函数求得BE 的长，然后根据CD=AE=AB ﹣BE 求解．【详解】（1）作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △ABD 中，AD===（米）；（2）在Rt △BCE 中，CE=AD=米，BE=CE•tanβ=×=10（米），则CD=AE=AB ﹣BE=30﹣10=1（米）答：乙建筑物的高度DC 为1m ．22．已知二次函数的图象顶点是(12)-，， 且经过()1, 3-，求这个二次函数的表达式． 【答案】()25124y x =-++ 【分析】根据二次函数解析式的顶点式以及待定系数法，即可得到答案． 【详解】把顶点()12-，代入()2y a x h k =-+得：()212y a x =++， 把()1,3-代入()212y a x =++得：54a =-， ∴二次函数的表达式为：()25124y x =-++． 【点睛】 本题主要考查二次函数的待定系数法，掌握二次函数解析式的顶点式是解题的关键．23．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），tan ∠BAC ＝34． （1）写出点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点D ，连接BD ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）点B的坐标为（1，3）；（2）点D的坐标为（134，0）；（3）存在，当t＝2514s或12552s时，△APQ与△ADB相似．【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标；（2）根据△ABC∽△ADB，得到ACAB=ABAD，代入计算求出AD，得到点D的坐标；（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝34，∴BCAC＝34，即4BC＝34，解得，BC＝3，∴点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴ACAB＝ABAD，在Rt△ABC中，AB22AC BC+2243+5，∴45＝5AD，解得，AD＝254，则OD＝AD﹣AO＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）存在，由题意得，AP＝2t，AQ＝254﹣t，当PQ⊥AB时，PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴APAB＝AQAD，即25t＝254254t-，解得，t＝2514，当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABD，∴APAD＝AQAB，即2254t＝2545t-，解得，t＝12552，综上所述，当t＝2514s或12552s时，△APQ与△ADB相似．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知二次函数2221y x mx m=-+-（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）当m 的值改变时，该函数的图像与x 轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）图像与x 轴两个公共点之间的距离为()()112m m +--=【分析】（1）证明判别式△＞0即可证得；（2）将二次函数表达式化简成交点式，得到函数与x 轴交点，通过交点可以证明函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离为定值即可.【详解】解：（1）证明：令0y =, 得22210x mx m -+-=()()222424140b ac m m -=-⨯-=> ∴ 此方程有两个不相等的实数根．∴ 不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）()()()22221111y x mx m x m x m x m =-+-=--=-+-- 当110,1,1y x m x m ==-=+时，∴ 图像与x 轴两个公共点坐标为()()1,0,1,0m m -+∴ 图像与x 轴两个公共点之间的距离为()()112m m +--=.【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点，可以利用判别式△的符号进行判断，还涉及到因式分解.25．如图，点A 是我市某小学，在位于学校南偏西15°方向距离120米的C 点处有一消防车.某一时刻消防车突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火灾，消防队必须立即沿路线CF 赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为110米，问消防车的警报声对学校是否会造成影响？若会造成影响，已知消防车行驶的速度为每小时60千米，则对学校的影响时间为几秒？（13≈3.6，结果精确到1秒）【答案】4秒【分析】作AB ⊥CF 于B ，根据方向角、勾股定理求出AB 的长，根据题意比较得到消防车的警报声对听力测试是否会造成影响；求出造成影响的距离，根据速度计算即可．【详解】解：作AB ⊥CF 于B ，由题意得：。

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杨浦区2018学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2019。

1（测试时间:100分钟，满分:150分）考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分） 1．下列四组线段中,成比例的是（A ）1，1，2，3； (B)1，2,3，4; (C ）2，2，3，3; （D ）2，3，4，5． 2．如果:3:2a b =,且b 是a 、c 的比例中项，那么:b c 等于（A ）4:3； （B ）3:4； (C)2:3； （D ）3:2。

3．如果△ABC 中，∠C =90°，1sin 2A =，那么下列等式不正确的是（A)cos A =（B)cot A = （C ）sin B =（D ）tan B = 4．下列关于向量的运算中,正确的是 （A ）a b b a -=-；（B ）2()22a b a b --=-+；（C)()0a a +-=；（D)0a a +=．5．如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：（A)0x =;（B ）12x =；（C ）34x =；（D ）1x =．6．如果以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为 (A)23；（B ）34；（C ）45；(D ）56.二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果53x x y =-,那么xy = ▲ ．8．等边三角形的中位线与高之比为 ▲ ．9．如果两个相似三角形的面积比为4:9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 ▲ ．10．在△ABC 中，AB =3,AC =5，BC =6，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =1，如果△ABC ∽△ADE ，那么AE = ▲ ．11．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，如果点G 为重心，那么∠GCB 的余切值为 ▲ ． 12．如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a 过原点，那么a 的值是 ▲ ． 13．如果抛物线22y x bx c 的对称轴在y 轴的左侧，那么b ▲ 0（填入“<”或“>”）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列事件中，为必然事件的是（ ） A ．抛掷10枚质地均匀的硬币，5枚正面朝上B ．某种彩票的中奖概率为10%，那么买100张这种彩票会有10张中奖C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的数字不大于6D ．打开电视机，正在播放戏曲节目 【答案】C【分析】根据必然事件的概念答题即可【详解】A: 抛掷10枚质地均匀的硬币，概率为0.5，但是不一定5枚正面朝上，故A 错误； B: 概率是表示一个事件发生的可能性的大小，某种彩票的中奖概率为10%，是指买张这种彩票会有0.1的 可能 性 中奖，故B 错误；C:一枚质地均匀的骰子最大的数字是6，故C 正确； D: .打开电视机，正在播放戏曲节目是随机事件，故D 错误. 故本题答案为：C 【点睛】本题考查了必然事件的概念2．方程x 2﹣2x+3=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根 C ．没有实数根 D ．有两个不相等的实数根【答案】C【解析】试题分析：利用根的判别式进行判断. 解：∵2(2)41380∆=--⨯⨯=-< ∴此方程无实数根. 故选C. 3．如图，在O 中，37B ∠=，则劣弧AB 的度数为（ ）A ．1?06B ．1?26C ． 74?D ． 53【答案】A【解析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解． 【详解】连接OA ，∵OA=OB ，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A 【点睛】本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理． 4．已知tan 3a =a =（ ）A ．60︒B ．30C ．45︒D ．90︒【答案】A【解析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】∵tan 603︒= ∴60α=︒， 故选：A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 5．抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A ．23(1)2=--y x B ．23(1)2y x =+- C ．23(1)2y x =++ D ．23(1)2y x =-+ 【答案】B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是23(1)2y x =+-， 故答案为：B ． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．6．将分别标有“走”“向”“伟”“大”“复”“兴”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是（ ） A ．16B ．115C ．18D ．112【答案】B【分析】根据题意列表得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有30种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的有2种， 则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是213015； 故选：B ． 【点睛】此题考查了树状图法或列表法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；列表法适合两步完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．二次函数y ＝x 2﹣6x+m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（4，0） C ．（5，0） D ．（﹣6，0）【答案】C【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．【详解】解：由二次函数26y x x m =-+得到对称轴是直线3x =，则抛物线与x 轴的两个交点坐标关于直线3x =对称，∵其中一个交点的坐标为()1,0，则另一个交点的坐标为()5,0， 故选C ． 【点睛】考查抛物线与x 轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．8．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( ) A ．y=2(x+1)2+3B ．y=2(x －1)2－3C ．y=2(x+1)2－3D ．y=2(x －1)2+3【答案】A【分析】抛物线平移不改变a 的值．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+1． 故选：A ．9．对于二次函数y ＝－(x ＋1)2＋3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③其图象的顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由抛物线解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断①②③，再利用增减性可判断④，可求得答案．【详解】∵2(1)3y x =-++，∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,3)， 故②不正确，①③正确，∵抛物线开口向上，且对称轴为x=−1， ∴当x>−1时，y 随x 的增大而增大， ∴当x>1时，y 随x 的增大而增大， 故④正确，∴正确的结论有3个， 故选:C. 【点睛】考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的求解方法是解题的关键.10．将二次函数21252y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．21(4)32y x =-+ B ．21(4)12y x =-+C ．21(2)32y x =-+D ．21(2)12y x =-+【答案】C【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式． 【详解】21252y x x =-+ 21(4)52x x =-+ 21(44)522x x =-++-21(2)32x =-+ 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．11．如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．A ．2πB ．2πC ．178π D ．198π 【答案】B【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积，利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：AOC BOD ∆∆≌，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积229039012360360πππ⋅⨯⋅⨯=-=故选B ． 【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积是解题关键．12．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，连接BE ．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE 的周长是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【解析】试题解析：△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，E ∴是AC 的中点，6,AE CE ∴== 210,BC DE ==∠BEC=90°，228.BE BC CE ∴=-=△BCE 的周长106824.BC CE BE =++=++= 故选B.点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半. 二、填空题（本题包括8个小题）13．在ABC ∆中，已知4AB AC ==cm ，6BC =cm ，P 是BC 的中点，以点P 为圆心，3cm 为半径画☉P ，则点A 与☉P 的位置关系是____________. 【答案】点A 在圆P 内【分析】求出AP 的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】∵AB=AC ，P 是BC 的中点， ∴AP ⊥BC ，BP=3cm ， ∴AP=2243=7-cm ， ∵73<， ∴点A 在圆P 内. 故答案为：点A 在圆P 内.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d>r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内. 14．如果23x y =，那么x yy +=__________． 【答案】53【解析】∵x 2y 3=，根据和比性质，得x y y +=323+=53，故答案为53.15．计算：2sin 45︒=______．【答案】【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解．【详解】解：2sin 452︒=-故答案为： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键． 16．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是___． 【答案】12π．【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】设扇形的半径为r ． 则120180rπ＝4π， 解得r ＝6，∴扇形的面积＝21206360π⨯＝12π，故答案为12π． 【点睛】本题考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l ＝180n r l π=，扇形的面积公式S ＝2360n r π，解题的关键是熟记这两个公式．17．已知2是关于x 的一元二次方程240x x p +-=的一个根，则该方程的另一个根是________． 【答案】-1．【解析】设方程的另一个根为2x ,由韦达定理可得:12bx x a+=-,即224x +=-, 解得26x =-.点睛:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.18．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是______ ．【答案】1 3【解析】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有2种情况，∴转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是：21 63＝.故答案是：1 3 .【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题属于放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题（本题包括8个小题）19．为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】(1) 14；（2）112.【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的图形△A′B′C，点B′的坐标为________；（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路径'AA的长（结果保留π）．【答案】（1）图见解析；B′的坐标为（﹣1，3）；（2）52π.【分析】（1）过点C作B′C⊥BC，根据网格特征使B′C=BC，作A′C⊥AC，使A′C=AC，连接A′B′，△A′B′C即为所求，根据B′位置得出B′坐标即可；（2）根据旋转的性质可得∠ACA′=90°，利用勾股定理可求出AC的长，利用弧长公式求出'AA的长即可. 【详解】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；B′的坐标为（﹣1，3）．（2）∵A（3，3），C（0，﹣1）．∴AC2234+5，∵∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径'AA的长为：905180π⋅⋅＝52π.【点睛】本题考查旋转的性质及弧长公式，正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.21．从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率．【答案】表见解析，1 3【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．【详解】解：列表如下：所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有4种，∴该点在第二象限的概率为412＝13．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键. 22．某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：（1）该校这10天用电量的众数是度，中位数是度；（2）估计该校这个月的用电量（用30天计算）.【答案】（1）113；113；（2）3240度.【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的计算方法计算出平均用电量，再乘以总用电天数即可得解．【详解】解：（1）113度出现了3此,出现的次数最多，故众数为113度；将数据按从小到大的顺序排列，共10个数据，位于第5,6的数均为113，故中位数为113度；（2）130(9093204339114240)3240 10⨯+++++=（度）．答：估计该校该月的用电量为3240度．【点睛】本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法，属于基础题目，易于理解掌握．23．如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，AB⊥AC，过点A作AE⊥BD于点E.(1)若BC＝，求AE的长度；(2)如图②，点F是BD上一点，连接AF，过点A作AG⊥AF，且AG＝AF，连接GC交AE于点H，证明：GH＝CH.【答案】(1)AE=65；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意可得：AB＝AC＝6，可得AO＝3，根据勾股定理可求BO的值，根据S△ABO＝12AB×BO＝12BO×AE，可求AE的长度.(2)延长AE到P，使AP＝BF，可证△ABF≌△APC，可得AF＝PC.则GA＝PC，由AG⊥AF，AE⊥BE可得∠GAH ＝∠BFA＝∠APC，可证△AGH≌△PHC，结论可得.【详解】解：(1)∵AB＝AC，AB⊥AC，BC＝62∴AB2+AC2＝BC2，∴2AC2＝72∴AC＝AB＝6∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO＝3在Rt△AOB中，BO＝2AO AB＝35∵S△ABO＝12AB×BO＝12BO×AE∴3×6＝35×AE∴AE＝65 5(2)如图：延长AE到P，使AP＝BF∵∠BAC＝90°，AE⊥BE∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°∴∠ABE＝∠CAE且AB＝AC，BF＝AP∴△ABF≌△APC∴AF＝PC，∠AFB＝∠APC∵AG⊥AF，AG＝AF∴AG＝PC∵∠GAH＝∠GAF+∠FAE＝90°+∠FAE，∠AFB＝∠AEB+∠FAE＝90°+∠FAE∴∠GAH＝∠AFB∴∠AFB＝∠GAH＝∠APC，且AG＝PC，∠GHA＝∠CHP∴△AGH≌△CHP∴GH＝HC【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．24．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案】10，1．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得化简，得，解得：当时，（舍去），当时，，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．考点：一元二次方程的应用题．25．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．（1）用树状图列出所有可能出现的结果；（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．【答案】（1）见解析；（2）1 4【分析】（1）根据题意画树状图，求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得3次摸到的球颜色相同的结果数，再根据概率公式即可解答．【详解】（1）画树状图为：共有8种等可能的结果数；（2）3次摸到的球颜色相同的结果数为2，3次摸到的球颜色相同的概率＝28＝14．【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．26．如图，某科技物展览大厅有A、B两个入口，C、D、E三个出口.小昀任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开.(1)若小昀已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率.(2)求小昀选择从入口A进入，从出口E离开的概率.(请用列表或画树状图求解)【答案】(1)13; (2)16【分析】（1）用列举法即可求得；（2）画树状图（见解析）得出所有可能的结果，再分析求解即可.【详解】（1）小昀选择出口离开时的所有可能有3种：C、D、E，每一种可能出现的可能性都相等，因此他选择从出口C离开的概率为：1 ()3P C ；（2）根据题意画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，即（AC ）、（AD ）、（AE ）、（BC ）、（BD ）、（BE ），这些结果出现的可能性相等所以小昀选择从入口A 进入，出口E 离开（即AE ）的概率为1()6P AE =. 【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出事件所有可能的结果是解题关键.27．岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x （元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=-2x+140；（2）当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）先求出利润与销售价格之间的关系式，然后利用二次函数的最值问题，即可得到答案．【详解】解：（1）由图象，设函数解析式为y=kx+b ，把（60，20）、（70，0）代入，得6020700k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：k=﹣2，b=140 ，∴函数解析式为y=-2x+140；（2）设该品牌小黄鱼每千克的售价为x 元，总利润为W 元，根据题意，得2(40)(40)(2140)22205600W x yx x x x =-⋅=--+=-+-当x=2b a-=55时，W 有最大值244ac b a -=1． 即当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握题意，正确求出关系式，从而进行解题．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ）A ．29B ．13C ．59D ．23【答案】B【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树状图得：则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果，∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为39＝13， 故选：B ．【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．2．已知平面直角坐标系中，点()1,2P -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,2-D ．()1,2 【答案】C【解析】∵在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标都互为相反数，∴点P （1，-2）关于原点的对称点坐标为（-1，2），故选C.3．如图，已知▱ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ，下面结论：①DB ＝2BE ；②∠A ＝∠BHE ；③AB ＝BH ；④△BHD ∽△BDG ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④【答案】B【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【详解】∵∠DBC ＝45°，DE ⊥BC∴∠BDE ＝45°，∴BE ＝DE由勾股定理得，DB BE ，∵DE ⊥BC ，BF ⊥CD∴∠BEH ＝∠DEC ＝90°∵∠BHE ＝∠DHF∴∠EBH ＝∠CDE∴△BEH ≌△DEC∴∠BHE ＝∠C ，BH ＝CD∵▱ABCD 中∴∠C ＝∠A ，AB ＝CD∴∠A ＝∠BHE ，AB ＝BH∴正确的有①②③对于④无法证明．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房建设力度.2013年市政府共投资2亿元人民币建设廉租房8万平方米，预计到2015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率都为x ，可列方程（ ）A ．229.5x =B ．()22212(1)9.5x x ++++=C ．22(1)9.5x +=D ．()2221(1)9.58x x ++++=⨯ 【答案】B【分析】根据1013年市政府共投资1亿元人民币建设了廉租房，预计1015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，由每年投资的年平均增长率为x 可得出1014年、1015年的投资额，由三年共投资9.5亿元即可列出方程．【详解】解：这两年内每年投资的增长率都为x，则1014年投资为1（1+x）亿元，1015年投资为1（1+x）1亿元，由题意则有()2++++=，22x12(x1)9.5故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意是解题的关键.若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增长用“+”，下降用“-”.5．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】B【分析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．【详解】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．故选B．【点睛】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，且DE将△ABC分成面积相等的两部分，那么DE的值为（）BC2A．2﹣1 B．2+1 C．1 D．【答案】D【分析】由条件DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，又由DE将△ABC分成面积相等的两部分，可得S△ADE：S△ABC=1：1，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得答案．【详解】如图所示：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．设DE ：BC=1：x ，则由相似三角形的性质可得：S △ADE ：S △ABC =1：x 1．又∵DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，∴x 1=1，∴x =DE BC ==． 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）A ．0种B ．1种C ．2种D ．3种【答案】B【解析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．【详解】∵两根铝材的长分别为27cm 、45cm ，若45cm 为一边时，则另两边的和为27cm ，27<45，不能构成三角形，∴必须以27cm 为一边，45cm 的铝材为另外两边，设另外两边长分别为x 、y ，则(1)若27cm 与24cm 相对应时， 27x y 243036==， 解得：x=33.75cm ，y=40.5cm ，x+y=33.75+40.5=74.25cm>45cm ，故不成立；(2)若27cm 与36cm 相对应时，27x y 363024==， 解得：x=22.5cm ，y=18cm ，x+y=22.5+18=40.5cm<45cm ，成立；(3)若27cm 与30cm 相对应时，27x y 303624==， 解得：x=32.4cm ，y=21.6cm ，x+y=32.4+21.6=54cm>45cm ，故不成立；故只有一种截法.故选B.8．在一个10万人的小镇，随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（）A．0.0045B．0.03C．0.0345D．0.15【答案】D【解析】根据等可能事件的概率公式，即可求解．【详解】450÷3000=0.15，答：他看该电视台早间新闻的概率大约是0.15．故选D．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键．9．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上说法都不对【答案】C【分析】先计算出根的判别式的值，根据∆的值就可以判断根的情况．【详解】∆＝b2-4ac＝1-4×1×1＝-3∵-3＜0∴原方程没有实数根故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．10．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】A【解析】试题解析：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM ，∴∠DCM=∠ADC ﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA ﹣∠DCM=55°﹣35°=20°．故选A ．11．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中:①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=③ 0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 的增大而增大；⑤20a b -=；⑥240b ac ->，正确的说法有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【分析】根据抛物线开口向上得出a ＞1，根据抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上得出c ＜1，根据图象与x 轴的交点坐标得出方程ax 2+bx+c=1的根，把x=1代入y=ax 2+bx+c 求出a+b+c ＜1，根据抛物线的对称轴和图象得出当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，2a=-b ，根据图象和x 轴有两个交点得出b 2-4ac ＞1．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞1，∵抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜1，∴ac ＜1，∴①正确；∵图象与x 轴的交点坐标是（-1，1），（3，1），∴方程ax 2+bx+c=1的根是x 1=-1，x 2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax 2+bx+c 得：a+b+c ＜1，∴③错误；根据图象可知：当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确；∵-2b a=1， ∴2a=-b ，∴2a+b=1，不是2a-b=1，∴⑤错误；∵图象和x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞1，∴⑥正确；正确的说法有：①②④⑥．故答案为：D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．12．如图，在△ABC 中，∠A=90°．若AB=12，AC=5，则cosC 的值为（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．125【答案】A【解析】∵∠A=90°，AC=5，AB=12，∴BC=22AC AB +=13， ∴cosC=513AC BC =， 故选A.二、填空题（本题包括8个小题）13．小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为_______米．【答案】1【分析】直接利用已知构造三角形，利用同一时刻，实际物体与影长成比例进而得出答案．【详解】如图所示：由题意可得，DE ＝2米，BE ＝CD ＝8米，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴182AB =， 解得：AB ＝4，故旗杆的高度AC 为1米．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确构造三角形是解题关键．14．如图，已知等边ABC ∆的边长为26，D ，E 分别为BC ，AC 上的两个动点，且AE =CD ，连接BE ，AD 交于点P ，则CP 的最小值_______．【答案】22【分析】根据题意利用相似三角形判定ABE ∆≌CAD ∆，并求出OC 的值即有CP 的最小值'(),CP OC r =-从而求解.【详解】解：如图∵AE CD =∴ABE ∆≌CAD ∆∴120APB ∠=∴P 点的路径是一段弧(以O 点为圆心的圆上)∴120AOB ∠=∴30OBA ∠=,90OBC ∠=∵26AB =∴22OB r ==∴2242OC OB BC =+=。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件【答案】D【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．考点：随机事件．2．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选C．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝2：1，则△DEF 的面积与△BAF的面积之比为（）A ．1 ：4B ．4：9C ．9：4D ．2：3【答案】B 【分析】先判断△DEF ∽△BAF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC=AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴2DEF BAF S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△. 又∵DE ：EC ＝2：1， ∴2==3DE DE DE AB DC DE EC =+， ∴2224==39DEF BAF S DE S AB ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△. 故选B.【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 4．已知二次函数2y a x bx c =++，当2x =时，该函数取最大值8.设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若14x ＞，则a 的取值范围是（ ）A ．-3a -1＜＜B ．-2a 0＜＜C ．-1a 1＜＜D ．2a 4＜＜ 【答案】B【分析】利用函数与x 轴的交点，求出横坐标1x ，根据开口方向、以及14x ＞列出不等式组，解不等式组即可.【详解】∵二次函数2y a xbx c =++，当2x =时，该函数取最大值8 ∴2y a -28a<0x =+（），，当y=0时，2a -28=0x +（） ∴1288x =2+-x =2--a a， ∵14x ＞∴82+-4a>∴a-2＞∴-2a0＜＜故选：B【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.5．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．3B．234C 1433D2233【答案】C【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，∴易证AE⊥BC，∵A、C关于BD对称，∴PA＝PC，∴PC+PE＝PA+PE，∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，BE＝23∴PC+PE的最小值为23∴点H的纵坐标a＝3∵BC∥AD，∴AD PDBE PB=＝2，∵BD＝43，∴PD＝2834333⨯=，∴点H的横坐标b＝83，∴a+b＝83143 23+=；故选C．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( )A．11sinα-m B．11sinα+m C．11cosα-m D．11cosα+m【答案】A【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=PCPB'，列出方程即可解决问题．【详解】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=PC PB'，∴1xx-=sinα，∴x-1=xsinα，∴（1-sinα）x=1，∴x=11sinα-．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型． 7．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ）A ．0.12B ．0.42C ．0.5D ．0.58 【答案】D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，故选：D ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．8．如图，在△ABC 中E 、F 分别是AB 、AC 上的点，EF ∥BC ，且12AE EB =，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF 的面积为 （ ）A ．4B ．6C ．16D ．18 【答案】C【解析】解：∵12AE EB =， ∴13AE AB =， ∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2211()()39S AEF AE S ABC AB ===， ∵△AEF 的面积为2，∴S △ABC =18，则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=1．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，难度不大．9．如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（-1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，-4）B．（1，-4）C．（-1，4）D．（-4，2）【答案】A【解析】过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且相似比为1：2，即可得到11 2BO B O =，再根据△BOC∽△B1OD，可得OD=2OC=4，B1D=2BC=2，进而得出点B1的坐标为（2，-4）．【详解】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，∵点B的坐标为（-1，2），∴BC=1，OC=2，∵△AOB和△A1OB1相似，且相似比为1：2，∴11 2BOB O=,∵∠BCO=∠B1DO=90°，∠BOC=∠B1OD，∴△BOC∽△B1OD，∴OD=2OC=4，B1D=2BC=2，∴点B1的坐标为（2，-4），故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把A(3，4)逆时针旋转180°，得到点B,则点B的坐标为（）A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)【答案】D【分析】由题意可知点B与点A关于原点O中心对称，根据关于原点对称，横纵坐标均互为相反数可得B点坐标.【详解】解：因为点B是以原点为旋转中心，把A(3，4)逆时针旋转180°得到的，所以点B与点A关于原B--.点O中心对称，所以点(3,4)故选：D【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的点对称，理解中心对称的定义是解题的关键.11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB 度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】B【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝12∠AOB＝12×100°＝50°．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.12．已知x=﹣2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解，则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．0或4 【答案】B【分析】直接把x=﹣2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【详解】∵x=﹣2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解，∴4−2m+4=0，∴m=4.故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=﹣2代入已知方程.二、填空题（本题包括8个小题）13．二次函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是_________【答案】（1，3）【解析】首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式y=a(x+b2a)2+244ac ba-，知顶点坐标是（-b2a，244ac ba-），把已知代入就可求出顶点坐标．【详解】解：y=ax2+bx+c，配方得y=a(x+b2a)2+244ac ba-，顶点坐标是（-b2a，244ac ba-），∵y=2（x-1）2+3，∴二次函数y=2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）．【点睛】解此题的关键是知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是（-b2a，244ac ba-），和转化形式y=a(x+b2a)2+244ac ba-，代入即可.14．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上一点，菱形OABC 的边长为5，且tan ∠COA=34，若函数(0)k y x x =>的图象经过顶点B ，则k 的值为________．【答案】1【分析】作BD ⊥x 轴于点D ，如图，根据菱形的性质和平行线的性质可得∠BAD=∠COA ，于是可得3tan tan 4BAD COA ∠=∠=，在Rt △ABD 中，由AB=5则可根据勾股定理求出BD 和AD 的长，进而可得点B 的坐标，再把点B 坐标代入双曲线的解析式即可求出k ．【详解】解：作BD ⊥x 轴于点D ，如图，∵菱形OABC 的边长为5，∴AB=OA=5，AB ∥OC ，∴∠BAD=∠COA ，∴3tan tan 4BAD COA ∠=∠= 在Rt △ABD 中，设BD=3x ，AD=4x ，则根据勾股定理得：AB=5x=5，解得：x=1，∴BD=3，AD=4，∴OD=9，∴点B 的坐标是（9，3），∵(0)k y x x=>的图象经过顶点B ， ∴k=3×9=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形、勾股定理和待定系数法求函数的解析式等知识，属于常考题型，熟练应用上述知识、正确求出点B 的坐标是解题的关键．15．己知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则它的侧面积为__________（结果保留π）．【答案】8π 【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式12S LR =即可求出圆锥的侧面积． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为224ππ⨯=， 则圆锥的侧面积为14482ππ⨯⨯=． 故答案为8π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．16．如图，直线x=2与反比例函数2y x=和1y x =-的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是_____．【答案】32． 【详解】解：∵把x=1分别代入2y x =、1y x =-，得y=1、y=12-， ∴A （1，1），B （1，1x -）．∴13AB 122⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． ∵P 为y 轴上的任意一点，∴点P 到直线BC 的距离为1．∴△PAB 的面积1133AB 222222=⨯=⨯⨯=． 故答案为：32． 17．在平面直角坐标系中，点(4，-5)关于原点的对称点的坐标是________．【答案】（-4，5）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【详解】解：点(4，-5)关于原点的对称点的坐标是（-4，5），故答案为：（-4，5）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．18．已知：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E 为AC 的中点，若8CD =，5DE =，则AD 的长是_______．【答案】6【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，DE＝5，CD＝8，∴AC＝2DE＝1．∴AD2＝AC2−CD2＝12−82＝2．∴AD＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x（2x﹣5）＝4x﹣1．（2）x2+5x﹣4＝2．【答案】（1）x＝2.5或x＝2；（2）x＝5412-±．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝2，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝2，则2x﹣5＝2或x﹣2＝2，解得x＝2.5或x＝2；（2）∵a＝1，b＝5，c＝﹣4，∴△＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞2，则x＝5412-．【点睛】本题考查因式分解法、公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、公式法解一元二次方程.20．某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍，设B 产品生产数量的增长率为x （0x >），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值.【答案】5%【分析】根据题意，列出方程即可求出x 的值．【详解】根据题意，得2(12)200(12)(14)100(1)(22001100)(1 4.4)x x x x x +⨯+++⨯+=⨯+⨯+整理，得2200x x -=解这个方程，得15%x =，20x =（不合题意，舍去）所以x 的值是5%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．21．一个不透明的口袋里装着分别标有数字3-，1-，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀.（1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字记为x ，然后把小球放回；再任取一球，将球上的数字记为y ，试用画树状图（或列表法）表示出点(),x y 所有可能的结果，并求点(),x y 在直线1y x =--上的概率.【答案】（1）所抽取的数字恰好为负数的概率是12；（2）点（x ，y ）在直线y ＝﹣x ﹣1上的概率是14． 【分析】（1）四个数字中负数有2个，根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出点（x ，y ）落在直线y=-x-1上的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵共有4个数字，分别是﹣3，﹣1，0，2，其中是负数的有﹣3，﹣1， ∴所抽取的数字恰好为负数的概率是24＝12； （2）根据题意列表如下：所有等可能的情况有16种，其中点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的情况有4种，则点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的概率是416＝14．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的60%.现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件。