2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分 专题二

专题二 三角函数与平面向量

第2讲 三角恒等变换与解三角形

一、选择题

1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )

A.13 B．3 C.913 D.139

解析：由α为锐角，cos α＝35，

得sin α＝45，

所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－13，

所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan（α－β）1＋tan α·tan（α－β）＝3.

答案：B

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )

A．3 B.932 C.332 D．33

解析：c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

因为C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②

由①和②得ab＝6，

所以S△ABC＝12absin C＝12×6×32＝332.

答案：C

3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π2，那么β＝(

)(导学号 54850106)

A.π12 B.π6 C.π4 D.π3

解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，

得sin α＝45，

又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，

得sin(α－β)＝210，

则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋45×210＝22，

由0＜β＜π2，得β＝π4.

答案：C

4．(2017·韶关调研)已知cosx－π3＝13，则cos2x－5π3＋sin2π3－x的值为(

)

A．－19 B.19 C.53 D．－53

解析：cos2x－5π3＋sin2π3－x＝－cos2x－23π＋sin2(x－π3)＝1－2cos2x－π3＋1－cos2x－π3＝2－3cos2x－π3＝53.

答案：C

5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )

A．a＝2b B．b＝2a

C．A＝2B D．B＝2A

解析：因为2sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin

B.

所以等式左边去括号，得

sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，

则2sin Bcos C＝sin Acos C，

因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0.

所以2sin B＝sin A，根据正弦定理变形，得a＝2b.

答案：A

二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos

C＋ccos A，则B＝________．

解析：由正弦定理得2sin Bcos B＝sin A·cos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B．所以2sin Bcos B＝sin B，

又sin B≠0，所以cos B＝12，故B＝π3.

答案：π3

7．(2017·池州模拟)已知sinπ3－α＝130＜α＜π2，则sinπ6＋α＝________．(导学号 54850107)

解析：因为sinπ3－α＝13，

所以cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α；

又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π3.

所以sinπ6＋α＝ 1－cos2π6＋α＝ 1－132＝

223.

答案：223

8．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．

解析：由已知，cos ∠ABC＝42＋22－422×4×2＝14.

所以cos ∠CBD＝－14，

所以sin ∠CBD＝1－cos2∠CBD＝154，

所以S△ABC＝12×BD×BC×sin ∠CBD＝12×2×2×154＝152.

又BC＝BD＝2，且∠ABC＝2∠BDC，

则cos ∠ABC＝14＝2cos2∠BDC－1.

解得cos ∠BDC＝104或－104(舍去)．

答案：152 104

三、解答题

9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos

A＝0，a＝27，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解：(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3，

又0＜A＜π，所以A＝2π3.

由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 2π3.

则c2＋2c－24＝0，解得c＝4或－6(舍去)．

(2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝π2.

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝23π－π2＝π6.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·ADsin π612AC·AD＝1.

又△ABC的面积为12×4×2sin ∠BAC＝23，

所以△ABD的面积为3.

10．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝35.

(1)求b和sin A的值；

(2)求sin2A＋π4的值．

解：(1)在△ABC中，因为a>b，

故由sin B＝35，可得cos B＝45.

由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B＝13，所以b＝13.

由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝31313.

所以b的值为13，sin A的值为31313.

(2)由(1)及a

所以sin 2A＝2sin Acos A＝1213，

cos 2A＝1－2sin2A＝－513.

故sin2A＋π4＝sin 2Acos π4＋cos 2Asin π4＝7226.

11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝4cos x·sinx＋π6＋m(m∈R)，当x∈0，π2时，f(x)的最小值为－1.

(导学号 54850108)

(1)求实数m的值；

(2)在△ABC中，已知f(C)＝1，AC＝4，延长AB至D，使BC＝BD，且AD＝5，求△ACD的面积．

解：(1)因为f(x)＝4cos xsinx＋π6＋m＝4cos xsin xcos π6＋cos xsin π6＋m＝3sin 2x＋2cos2x＋m＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＋m＝2sin2x＋π6＋m＋1.

因为x∈0，π2，2x＋π6∈π6，7π6得

2sin2x＋π6min＝－1.

所以f(x)＝－1＝－1＋m＋1，解得m＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝2sin2x＋π6，且f(C)＝1，

所以2sin2C＋π6＝1，

因为C∈(0，π)，得2C＋π6∈π6，13π6，

所以2C＋π6＝5π6，解得C＝π3.

如图，设BD＝BC＝x，则AB＝5－x，

在△ACB中，由余弦定理，

得cos C＝12＝

42＋x2－（5－x）22×4×x，

解得x＝32.

所以cos A＝42＋5－322－3222×4×5－32＝1314，得sin A＝1－cos2A＝77.

所以S△ACD＝12AC·ADsin A＝12×5×4×77＝1077.