2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分 专题三
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专题三 数列
第2讲 数列的求和及综合应用
一、选择题
1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n项和Sn为( )
A．n2＋1－12n B．n2＋2－12n
C．n2＋1－12n－1 D．n2＋2－12n－1
解析：an＝(2n－1)＋12n，
所以Sn＝n（1＋2n－1）2＋121－12n1－12＝n2＋1－12n.
答案：A
2．(2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝a2a1＜0.
若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝0不满足对∀n∈N*，a2n－1＋a2n＜0.
所以“q＜0”是“∀n∈N*，a2n－1＋a2n＜0”的必要不充分条件．
答案：C
3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9 B．15
C．18 D．30
解析：因为an＋1－an＝2，a1＝－5，所以数列{an}是公差为2的等差数列．所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.
数列{an}的前n项和Sn＝n（－5＋2n－7）2＝n2－6n.
令an＝2n－7≥0，解得n≥72.
所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.
则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6，
S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.
答案：C
4．(2017·湘潭三模)已知Tn为数列2n＋12n的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为( )(导学号 54850115)
A．1 026 B．1 025
C．1 024 D．1 023
解析：因为2n＋12n＝1＋12n，
所以Tn＝n＋121－12n1－12＝n＋1－12n，
所以T10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210.
又m＞T10＋1 013，
所以整数m的最小值为1 024.
答案：C
5．(2017·湖南衡阳联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋3a5＝4，(a8－1)3＋3a8＝2，则下列选项正确的是( )
A．S12＝12，a5＞a8 B．S12＝24，a5＞a8
C．S12＝12，a5＜a8 D．S12＝24，a5＜a8
解析：（a5－1）3＋3（a5－1）＝1，（a8－1）3＋3（a8－1）＝－1，设f(x)＝x3＋3x，易知f(x)在R上为奇函数且单调递增．
所以f(a5－1)＋f(a8－1)＝0，(a5－1)＞(a8－1)，a5＞a8，(a5－1)＋(a8－1)＝0，S12＝12（a5＋a8）2＝12.
答案：A
二、填空题
6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2.
答案：2n＋1－n－2
7．(2017·潮州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝an＋1SnSn＋1，则b1＋b2＋…＋bn＝________．
解析：易知数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以Sn＝2（1－3n）1－3＝3n－1，
又bn＝an＋1SnSn＋1＝Sn＋1－SnSnSn＋1＝1Sn－1Sn＋1，
则b1＋b2＋…＋bn＝1S1－1S2＋1S2－1S3＋…＋1Sn－1Sn＋1＝1S1－1Sn＋1＝12－13n＋1－1.
答案：12－13n＋1－1
8．(2017·广东清远一中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项am，an，使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为________．
解析：因为正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，
所以a1q2＝a1q＋2a1，则q2＝q＋2，所以q＝2.
又anam＝4a1，得a12m－1·a12n－1＝16a21，
所以a21·2m＋n－2＝16a21，所以m＋n＝6.
所以1m＋4n＝1m＋4n16（m＋n）＝
165＋nm＋4mn≥165＋2 nm·4mn＝32，所以1m＋4n的最小值是32.
答案：32
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝25.
所以{an}的通项公式为an＝2n＋35.
(2)由(1)知，bn＝2n＋35.
当n＝1，2，3时，1≤2n＋35＜2，bn＝1；
当n＝4，5时，2≤2n＋35＜3，bn＝2；
当n＝6，7，8时，3≤2n＋35＜4，bn＝3；
当n＝9，10时，4≤2n＋35＜5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10．已知等比数列{an}中，an＋an＋1＝3×2n－1.
(1)求{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2)设bn＝an＋1SnSn＋1，令Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn和Tn的最小值．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
在an＋an＋1＝3×2n－1中，令n＝1，n＝2，
a1＋a2＝a1（1＋q）＝3，a2＋a3＝a1q（1＋q）＝6，解得a1＝1，q＝2.
所以an＝2n－1，Sn＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.
(2)由题意知bn＝an＋1SnSn＋1＝1Sn－1Sn＋1，
Tn＝1S1－1S2＋1S2－1S3＋…＋1Sn－1Sn＋1＝1S1－1Sn＋1＝1－12n＋1－1
因为Tn＋1－Tn＝1－12n＋2－1－1－12n＋1－1＝2n＋1（2n＋1－1）（2n＋2－1）＞0，
所以{Tn}单调递增，
所以(Tn)min＝T1＝23.
11．(2017·衡水中学质检)若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.
(导学号 54850116)
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn＋n2n－1
对一切n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.所以a1＋1＝2，解得a1＝1.
又数列{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，
所以数列{bn}是等比数列，公比为2.
所以bn＝2n－1.
(2)设数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1＝2n2n＝n2n－1，
数列{cn}的前n项和为Tn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，
所以12Tn＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，
所以12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝
2－n＋22n，
因此Tn＝4－n＋22n－1.
不等式(－1)nλ＜Tn＋n2n－1，
化为(－1)nλ＜4－22n－1，
n＝2k(k∈N*)时，λ＜4－22n－1，所以λ＜2.
n＝2k－1(k∈N*)时，－λ＜4－22n－1，所以λ＞－2.
综上，可得实数λ的取值范围是(－2，2)．
[典例] (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
规范解答：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，所以a1＝2，(3分)
所以数列{an)是首项为2，公差为3的等差数列，(4分)
因此{an}的通项公式an＝2＋3(n－1)＝3n－1.(6分)
(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，
得bn＋1＝nbn1＋an＝bn3≠0，则bn＋1bn＝13，(9分)
因此数列{bn}是首项为b1，公比为13的等比数列，(10分)
设数列{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.(12分)
1．牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断bn＋1bn＝13.
2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得bn＋1与bn的关系．
3．写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，才能得出a1，并指出数列{an}的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求bn＋1＝bn3的步骤并要指明{bn}的性质；求Sn时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分．
[解题程序] 第一步：将n＝1代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求出a1的值；
第二步：利用等差数列的通项公式求出an；
第三步：将第(1)问中求得的an代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求得bn＋1与bn的关系；
第四步：判断数列{bn}为等比数列；
第五步：代入等比数列的前n项和公式求Sn.
第六步：反思检验，规范解题步骤．
[跟踪训练] (2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
