2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题六 解析几何 1-6-1
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- 1 - 限时规范训练十五 直线与圆 限时45分钟，实际用时
分值80分，实际得分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山东省实验中学二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C.由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－sin Aa，bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝bsin B，故k1k2＝－sin Aa·bsin B＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.
2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－53或－35 B．－32或－23
C．－54或－45 D．－43或－34
解析：选D.点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－43或－34.
3．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(
)
A.95 B．1
C.45 D.135
解析：选C.圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|5＝95，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝45.
4．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B.C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4.圆心距d＝|C1C2|＝＋2＋＋2＝13.
- 2 - |r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴两圆C1与C2相交，有两条公切线，故选B.
5．圆C：x2＋y2－4x＋8y－5＝0被抛物线y2＝4x的准线截得的弦长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，故弦长为252－＋2＝8，故选B.
6．(2017·吉林长春三模)直线kx－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长的最小值为( )
A．25 B.5
C．210 D.10
解析：选A.由题意易知直线kx－3y＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5，当圆心到直线kx－3y＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×10－5＝25.故选A.
7．若两直线l1：3x＋4y＋a＝0与l2：3x＋4y＋b＝0都与圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0相切，则|a－b|＝( )
A.5 B．25
C．10 D．20
解析：选D.由题意知直线l1与l2平行，且它们间的距离等于d＝|a－b|5；又直线l1，l2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a－b|5＝4，即|a－b|＝20，故选D.
8．(2017·山东潍坊模拟)圆C：(x－1)2＋y2＝25，过点P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．1013 B．921
C．1023 D．911
解析：选C.因为圆的方程为(x－1)2＋y2＝25，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r＝5，因为P(2，－1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC|＝－2＋－2＝2，所以与PC垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S＝12×10×223＝1023.
9．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若线段PA长度最小值为2，则k的值为( )
A．3 B.212
- 3 - C．22 D．2
解析：选D.圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0,1)，半径r＝1，圆心到直线的最小距离d＝5k2＋1＝22＋12，解得k＝2或k＝－2(舍去)，故选D.
10．(2017·河北石家庄二检)若圆(x－5)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离等于1，则实数r的取值范围为( )
A．[4,6] B．(4,6)
C．[5,7] D．(5,7)
解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4＜r＜6，故选B.
11．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：x(y－mx－m)＝0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(0，3) B．(－3，0)∪(0，3)
C.0，33 D.－33，0∪0，33
解析：选D.由x(y－mx－m)＝0可知x＝0，y＝m(x＋1)，当直线y＝m(x＋1)与圆x2＋y2－2x＝0相切时，m＝±33，当m＝0时，只有两个公共点，因此m∈－33，0∪0，33，故选D.
12．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线y＝k(x－2)上存在点P，使得PM⊥PN，则实数k的取值范围是( )
A.－13，0∪0，13 B.－33，0∪0，33
C.－13，13 D．[－5,5]
解析：选B.因为直线y＝k(x－2)上存在点P，使PM⊥PN，即以MN为直径的圆x2＋y2＝1与y＝k(x－2)相交或相切，即|－2k|k2＋1≤1且k≠0，解得k∈－33，0∪0，33.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．圆心在直线x＝2上的圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．
解析：根据题意，设圆的方程为(x－2)2＋(y－a)2＝r2，则 －2＋－4－a2＝r2，－2＋－2－a2＝r2，
解得 a＝－3，r2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
- 4 - 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
14．与直线x－y－4＝0和圆A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
解析：如图，易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐标为C(c，－c)半径为r，又其直径为圆A的圆心A(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离减去圆A的半径2，即
2r＝62－2＝22⇒r＝2，
即圆心C到直线x－y－4＝0的距离等于2，
故有|2c－4|2＝2⇒c＝3或c＝1，
当c＝3时圆C在直线x－y－4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
15．(2017·山东威海模拟)抛物线y2＝12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，△FPM的外接圆的方程为________．
解析：据题意知，△PMF为等边三角形，PF＝PM，
∴PM⊥抛物线的准线，F(3,0)．
设M(－3，m)，则P(9，m)，等边三角形边长为MP＝2MA＝2×6＝12，如图．在直角△APF中，PF＝12，FQ＝23FA＝23×PF2－PA2＝23×122－62＝43，外心Q的坐标为(3，±43)，则△FPM的外接圆的半径为FQ＝43.
∴△FPM的外接圆的方程为(x－3)2＋(y±43)2＝48.
答案：(x－3)2＋(y±43)2＝48
16．(2017·山东青岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
- 5 -
解析：圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于等于2即可，
∴|4k－2|1＋k2≤2⇒0≤k≤43.
∴kmax＝43.
答案：43
