水溶液电导率与离子体密度关系的理论推导

2. ౖՊಘࢳ༰‫ޏ‬೬ெͱཙࡎၝ ౖՊ ‫ޖ‬઒U250101 0 1.ᄯ‫ڳ‬ದဒӖ༰(‫ܟ‬Պ) स༰ၝ ౖՊ ஽ӻ 266580
ౖՊ ‫ޖ‬઒ 250101 3. 3. ౖՊಘ‫ޏ‬೬ೇЦ‫ڕ‬स‫׻‬๠ᄯ໯ 3 3 ‫؛‬䆒ˈ ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ ಴ℸᔧ 好的理解地层水电导率的变化规律，以及满足实际生产中 A 0为正负离子及水分子所占据立方体空间的初始边长； A ᨬ㽕˖ഄሖ∈⬉ᇐ⥛ᰃ⹂ᅮഄሖ৿∈˄⊍⇨˅佅੠ᑺⱘ䞡㽕খ᭄ˈᅗⱘ㊒ᑺⳈ᥹ᕅડࠄ⊍⇨ࢬ᥶ঞᓔথᮍ 3 3
科学管理
2017年第12期
水溶液电导率与离子体密度关系的理论推导
刘金玉1 廖波1 王殿生1 高巍2 白山3
1.中国石油大学（华东） 理学院 山东 青岛 266580 2. 山东省科学技术情报研究院 山东 济南 250101 3. 山东省技术市场管理服务中心 山东 济南 250101 摘要：地层水电导率是确定地层含水（油气）饱和度的重要参数，它的精度直接影响到油气勘探及开发方案的制定， 而目前地层水的电导率主要通过实验方法测得，为了更好的理解地层水电导率的变化规律，运用离子动力学知识推导了强 电解质水溶液电导率与离子体密度及速率的关系，所建立的公式能够很好的反映水溶液电导率随离子浓度增大而增大的上 升趋势。 关键词：电导率 地层水 体密度 离ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈ (2)ᓣЁ [1-3] 适用于个别油田，不具有普适性，不宜推广 密度； 。为了更 ρ 为溶液浓度增加后的正负离子体密度，mol/L；
U
U U $ (2) U U （2） （2）式中ρ 0为正负离子初始体密度，ρ 1为水分子体
2 U 0 U1 A03 2 U U1 A3
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(1)
∈⒊⎆⬉ᇐ⥛Ϣ行ᄤԧᆚᑺ݇㋏ⱘ⧚䆎᥼ᇐ Ϟᓣবᔶᕫ˖
在石油领域，尤其是测井方向，国内外专家已在求解 ঞࠡံ 1 ॷϏ 1 ฆԯಓ 1 ‫غ‬ฐ 2 ౖ͂ 3 地层水电导率方面开展了大量研究工作，但采用的主要是 实验方法，这样求得的地层水电导率存在的误差较大，只

1 (1) 3 ‫˖ेˈס‬ (1) 3 强电解质水溶液电导率与离子体密度及速率的关系。 间的边长，m。 0 1 0 1 2 U 0 U1 2 U 0 U1 A0 2 U U1 A3 (1) ᯴∈⒊⎆⬉ᇐ⥛䱣行ᄤ⌧ᑺ๲໻㗠๲໻ⱘϞछ䍟࢓DŽ Ϟᓣবᔶᕫ˖ U U 在温度不变的情况下，水分子的热运动速率不变，则 1 电导率与离子体密度关系的理论推导 Ϟᓣবᔶᕫ˖ U 2 U Ϟᓣবᔶᕫ˖ ݇䬂䆡˖⬉ᇐ⥛ ഄሖ∈ ԧᆚᑺ 行ᄤࡼ࡯ᄺ $ $ (2) U U$ $ 水分子与离子之间的碰撞次数与平均自由程成反比，即与 (2) 1 U U 由于水溶液体系复杂，水溶液电导率的影响因素众 3U K 0U U(3) ೼⷇⊍乚ඳˈ ᇸ݊ᰃ⌟ѩᮍ৥ˈ ೑‫ݙ‬໪ϧᆊᏆ೼∖㾷ഄሖ∈⬉ᇐ⥛ᮍ䴶ᓔሩњ໻䞣ⷨおK U U U $ (2) $ (2) U U U U 2 $ 0 1$ U U 多，作用规律各不相同，在推导水溶液电导率与离子体密 $ 正负离子及水分子所占据立方体空间的边长成反比，结合 $ (2) Ꮉ԰ˈԚ䞛⫼ⱘЏ㽕ᰃᅲ偠ᮍ⊩ˈ䖭ḋ∖ᕫⱘഄሖ∈⬉ᇐ⥛ᄬ೼ⱘ䇃Ꮒ䕗໻ˈা䗖⫼ѢϾ߿ U U U 0 Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈ U U U1 [1-3] ᓣЁ Ў∈ߚᄤԧᆚᑺˈ U Ў⒊⎆⌧ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 DŽЎњ᳈དⱘ⧚㾷ഄሖ∈⬉ᇐ⥛ⱘব࣪㾘ᕟˈҹঞ⒵䎇 ⊍⬄ˈϡ‫݋‬᳝᱂䗖ᗻˈϡᅰ᥼ᑓ U(2)݊Ё 第四条基本假设，可知溶液的粘滞系数亦与正负离子及水 度及速率的关系式时，做如下假设：①正负水合离子及水 U 0U U1 Ў∈ߚᄤԧᆚᑺˈ U1 Ў∈ߚᄤԧᆚᑺˈU Ў⒊⎆⌧ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ K 0 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ K Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈ (2)ᓣЁ (2)ᓣЁ 0 Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈ U Ў⒊⎆⌧ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 ᅲ䰙⫳ѻЁ∖পഄሖ∈⬉ᇐ⥛ⱘ䳔∖ˈ ᴀ᭛䖤⫼行ᄤࡼ࡯ᄺⶹ䆚ⷨおᔎ⬉㾷䋼∈⒊⎆⬉ᇐ⥛ U 3 3 U 分子所占据立方体空间的边长成反比，因此当正负离子 分子均匀分布，如图1所示；②强电解质溶解过程中，溶 0 Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈ 1 ಴ℸᔧ 2 U ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ (1) 2 U 0 U1 A0 ‫؛‬䆒ˈ U A ‫؛‬䆒ˈ ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ ಴ℸᔧ U 0 Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈ ᓣЁ Ў∈ߚᄤԧᆚᑺˈ Ў⒊⎆⌧ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 (2) U1 Ў∈ߚᄤԧᆚᑺˈ U 1 (2)ᓣЁ U Ў⒊⎆⌧ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 ‫؛‬䆒ˈ ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ ಴ℸᔧ Ϣ行ᄤԧᆚᑺঞ䗳⥛ⱘ݇㋏DŽ ㉬⒲㋏᭄ЎK 0 ᯊˈᅣ㾖䖤ࡼ䖒ࠄᑇ㸵ৢˈℷ行ᄤ᠔ফ໪⬉എ࡯ㄝѢ㉬⒲䰏࡯ˈे˖ 2 U U 液温度保持不变，即电解质的溶解热为零；③从整体考 Ϟᓣবᔶᕫ˖ ℷ䋳行ᄤԧᆚᑺ๲ࡴЎ U ᯊˈ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄বЎॳᴹⱘ ‫؛‬䆒ˈ ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ ಴ℸᔧ 3 2 U U1 ‫˖ेˈס‬ 2U U1 1 ⬉ᇐ⥛Ϣ行ᄤԧᆚᑺ݇㋏ⱘ⧚䆎᥼ᇐ 体密度增加为 ρ 时，溶液的粘滞系数变为原来的 ‫؛‬䆒ˈ ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ ಴ℸᔧ 0 1 3U ℷ䋳行ᄤԧᆚᑺ๲ࡴЎ U ᯊˈ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄বЎॳᴹⱘ ‫˖ेˈס‬ 2 U 虑，离子之间静电力属于内力，不影响整体离子的运动状 1 ⬅Ѣ∈⒊⎆ԧ㋏໡ᴖˈ∈⒊⎆⬉ᇐ⥛ⱘᕅડ಴㋴ӫ໮ˈ԰⫼㾘ᕟ৘ϡⳌৠˈ೼᥼ᇐ∈⒊ U 3 U ℷ䋳行ᄤԧᆚᑺ๲ࡴЎ U ᯊˈ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄বЎॳᴹⱘ ‫˖ेˈס‬ 2 U U 6Sr K v (4) 倍，即： 0 1 $ qE 0 $ (2) 0 0 2 U U 2 U U1 1 U U 2 U 态，由于离子的质量和体积非常小，忽略重力和浮力作 U 2U ⎆⬉ᇐ⥛Ϣ行ᄤԧᆚᑺঞ䗳⥛ⱘ݇㋏ᓣᯊˈ ‫خ‬བϟ‫؛‬䆒˖ ķℷ䋳∈ড়行ᄤঞ∈ߚᄤഛࣔߚᏗˈ K0 (3) 3 0 1 U1 ‫ ˖ेˈס‬K 3 ℷ䋳行ᄤԧᆚᑺ๲ࡴЎ U ᯊˈ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄বЎॳᴹⱘ 3 ℷ䋳行ᄤԧᆚᑺ๲ࡴЎ ‫˖ेˈס‬ U ᯊˈ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄বЎॳᴹⱘ 2 U 0 U1 2 U U 0 1 བ೒ 1 ᠔冫˗ĸᔎ⬉㾷䋼⒊㾷䖛⿟Ёˈ⒊⎆⏽ᑺֱᣕϡবˈे⬉㾷䋼ⱘ⒊㾷⛁Ў䳊˗ĹҢᭈ 2 U U 用，故离子只受外电场力和粘滞阻力作用；④黏滞阻力是 0 1 U U 2 (4)ᓣЁ q Ўℷ行ᄤ᠔ᏺ⬉䞣ˈ C˗ E 0 1Ўऩԡ໪⬉എᔎᑺ˗ r Ўℷ行ᄤञᕘˈm˗K 0 Ў∈ U 1 Ў⒊⎆⌧ᑺ๲ࡴৢⱘℷ䋳行 (2)ᓣЁ 0 Ўℷ䋳行ᄤ߱ྟԧᆚᑺˈU U 3 KЎ∈ߚᄤԧᆚᑺˈ K (3) ݊ЁK K Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ U ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ ԧ㗗㰥ˈ行ᄤП䯈䴭⬉࡯ሲѢ‫ˈ࡯ݙ‬ϡᕅડᭈԧ行ᄤⱘ䖤ࡼ⢊ᗕˈ⬅Ѣ行ᄤⱘ䋼䞣੠ԧ鳥䴲 0 0 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ 1 离子和水分子之间相互碰撞的结果，黏滞系数的大小和碰 K 3 2 U U2 U U K (3) 00 1 （3） U U 2 ‫؛‬䆒ˈ ৃⶹ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄ѺϢℷ䋳行ᄤঞ∈ߚᄤ᠔ऴ᥂ゟᮍԧぎ䯈ⱘ䖍䭓៤ড↨ˈ ಴ℸᔧ ᐌᇣˈᗑ⬹䞡࡯੠⍂࡯԰⫼ˈᬙ行ᄤাফ໪⬉എ࡯੠㉬⒲䰏࡯԰⫼˗ĺ㉬⒲䰏࡯ᰃ行ᄤ੠∈ 2U U1 K U011 ⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄˗ v 0 Ў∈⒊⎆㉬⒲㋏᭄ㄝѢ ᯊℷ行ᄤ⊓⬉എᮍ৥ⱘᅣ㾖䖤ࡼ䗳⥛DŽ 32 U 0 K 0 ㉬⒲㋏᭄ЎK 0 ᯊˈᅣ㾖䖤ࡼ䖒ࠄᑇ㸵ৢˈℷ行ᄤ᠔ফ໪⬉എ࡯ㄝѢ㉬⒲䰏࡯ˈे˖ 撞次数成正比。 3 K K K (3) (3) η 其中 0 0 为水溶液初始粘滞系数；η 为正负离子体密 ߚᄤП䯈ⳌѦ⺄ᩲⱘ㒧ᵰˈ㉬⒲㋏᭄ⱘ໻ᇣ੠⺄ᩲ⃵᭄៤ℷ↨DŽ U U 2 2 U U1 0 1 U U 2 0Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ 1 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ ݊Ё K K U 3 ℷ䋳行ᄤԧᆚᑺ๲ࡴЎ ᯊˈ⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄বЎॳᴹⱘ ‫˖ेˈס‬ U 0 ৠ⧚ˈ∈⒊⎆㉬⒲㋏᭄Ў K ᯊˈᄬ೼ҹϟ݇㋏ᓣ˖ qE 0 6SrK 0 v0 (4) 度为ρ 时水溶液的粘滞系数。 U 0 U1 K 0 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ K Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ U2ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ 䋳∈ড়行ᄤ ℷ∈ড়行ᄤ ݊Ё ∈ߚᄤ ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ ݊Ё K 0 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ K Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ U ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ ݊Ё K 0 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ K Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ qE 0 U(4) 6 S rK (5) ᓣЁ Ўℷ行ᄤ᠔ᏺ⬉䞣ˈC˗ E 0 Ўऩԡ໪⬉എᔎᑺ˗ qv r Ўℷ行ᄤञᕘˈm˗K 0 Ў∈ ㉬⒲㋏᭄ЎK 0 ᯊˈᅣ㾖䖤ࡼ䖒ࠄᑇ㸵ৢˈℷ行ᄤ᠔ফ໪⬉എ࡯ㄝѢ㉬⒲䰏࡯ˈे˖ 2U U 以单个正离子为受力分析对象，水溶液粘滞系数为 A 1 3 K K (3) 0 ㉬⒲㋏᭄Ў U1 2 U 0 ⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄˗ 0 ᯊˈᅣ㾖䖤ࡼ䖒ࠄᑇ㸵ৢˈℷ行ᄤ᠔ফ໪⬉എ࡯ㄝѢ㉬⒲䰏࡯ˈे˖ Ў∈⒊⎆㉬⒲㋏᭄ㄝѢ vK K ᯊℷ行ᄤ⊓⬉എᮍ৥ⱘᅣ㾖䖤ࡼ䗳⥛DŽ v 0 Ў∈⒊⎆㉬⒲㋏᭄ㄝѢK 0 ᯊℷ行ᄤ⊓⬉എᮍ৥ⱘᅣ㾖䖤ࡼ䗳⥛DŽ η 0时，宏观运动达到平衡后，正离子所受外电场力等于 ㉬⒲㋏᭄Ў K 0 ᯊˈᅣ㾖䖤ࡼ䖒ࠄᑇ㸵ৢˈℷ行ᄤ᠔ফ໪⬉എ࡯ㄝѢ㉬⒲䰏࡯ˈे˖ ㉬⒲㋏᭄Ў K 0 ᯊˈᅣ㾖䖤ࡼ䖒ࠄᑇ㸵ৢˈℷ行ᄤ᠔ফ໪⬉എ࡯ㄝѢ㉬⒲䰏࡯ˈे˖ (4)ᓣ੠(5)ᓣ㘨ゟᕫ qE 6 S r K v ৠ⧚ˈ∈⒊⎆㉬⒲㋏᭄Ў K ᯊˈᄬ೼ҹϟ݇㋏ᓣ˖ (4) 0 0 0 粘滞阻力，即： ݊ЁK 0 Ў∈⒊⎆߱ྟ㉬⒲㋏᭄ˈ K Ўℷ䋳行ᄤԧᆚᑺЎ qE 0 6SrK 0 v0 U ᯊ∈⒊⎆ⱘ㉬⒲㋏᭄DŽ (4) 6SrKv qE (5) 0 K v K 0 v0 (6) （4） 60 S K v (4) (4) qE 0 qE6 vr