2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分 专题五

专题五 解析几何

第3讲 圆锥曲线的综合问题

一、选择题

1．已知F1，F2是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1→²PF2→的最大值是( )

A．－2 B．1

C．2 D．4

解析：设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1→²PF2→＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝34x2－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤34x2－2≤1，因此PF1→²PF2→的最大值是1.

答案：B

2．(2017²衡水中学质检)已知椭圆x225＋y216＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )

A．3 B．4

C．5 D．15

解析：在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和 (3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)．

由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，

所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，

因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.

答案：D

3．(2017²北京西城区调研)过抛物线y2＝43x的焦点的直线l与双曲线C：x22－y2＝1的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1²x2＞0，则k的取值范围是( )(导学号

54850132)

A.－12，12

B.－∞，－12∪12，＋∞

C.－22，22

D.－∞，－22∪22，＋∞

解析：易知双曲线两渐近线y＝±22x，当k＞22或k＜－22时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2＞0.

答案：D

4．(2017²全国卷Ⅰ改编)椭圆C：x23＋y2m＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是( )

A．(3，＋∞) B．[1，3)

C．(0，3) D．(0，1]

解析：依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，

则ab≥tan 60°，即3m≥3.解得0＜m≤1.

答案：D

5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )

A．(0，1) B．(0，2)

C．(2，0) D．(1，0)

解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝14x2，则y′＝12x，则在点A处的切线方程为y－y1＝12x1(x－x1)，化简得y＝－12x1x－y1，

同理，在点B处的切线方程为

y＝－12x2x－y2，

又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，

代入得－2＝－12x1t－y1，－2＝－12x2t－y2，

这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程

－2＝－12xt－y，

则直线AB的方程为y－2＝－12tx，直线AB恒过点(0，2)．

答案：B

二、填空题

6．设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．

解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一条渐近线为y＝bax，

联立y2＝x，y＝bax消去y，得b2a2x2＝x.

由x0＞1，知b2a2＜1，b2＜a2.

所以e2＝c2a2＝a2＋b2a2＜2，因此1＜e＜2.

答案：(1，2)

7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则FP→²FQ→的最小值为________．

解析：如图，FP→²FQ→＝|FP→|2＝|FQ→|2－1.

由抛物线的定义知：|FQ→|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ→|min＝2，所以FP→²FQ→的最小值为3.

答案：3

8．(2017²济南模拟)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．

解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)．

则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝y224＋y1.

又y1y2＝－p2＝－4.

所以|AC|＋|BD|＝y224－4y2(y2＜0)．

利用导数易知y＝y224－4y2在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，|AC|＋|BD|的最小值为3.

答案：3

三、解答题

9．(2017²西安调研)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，点P1，32在椭圆E上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．

解：(1)由题意得ca＝32，1a2＋34b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3，

故椭圆E的方程为x24＋y2＝1.

(2)设直线l的方程为y－32＝k(x－1)，代入方程x24＋y2＝1，

消去y，得(1＋4k2)x2＋(43k－8k2)x＋(4k2－43k－1)＝0，

所以xQ²1＝4k2－43k－11＋4k2.

因为0＜xQ＜1，

所以0＜4k2－43k－11＋4k2＜1，

即4k2－43k－11＋4k2＞0，4k2－43k－11＋4k2＜1.

解得－36＜k＜3－22或k＞3＋22，经检验，满足题意．

所以直线l斜率k的取值范围是－36＜k＜3－22或k＞3＋22.

10．(2017²新乡三模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(导学号 54850133)

(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；

(2)是否存在实数p，使|2QA→＋QB→|＝|2QA→－QB→|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

解：(1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)，

所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2.

设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|，

当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值为2＋3＝5.

(2)假设存在实数p，满足条件等式成立．

联立x2＝2py与2x－y＋2＝0，

消去y，得x2－4px－4p＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p，2p)．

因为|2QA→＋QB→|＝|2QA→－QB→|，

所以QA⊥QB，则QA→²QB→＝0.

因此(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝0.

(x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)²(2x2＋2－2p)＝0，

5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p2－8p＋4＝0，

把x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p代入得4p2＋3p－1＝0，解得p＝14或p＝－1(舍去)．

因此存在实数p＝14，使得|2QA→＋QB→|＝|2QA→－QB→|成立．

11．(2017²唐山一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点Qb，ab在椭圆上，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．

解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，

所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝12，得a2＝2b2，①

又点Qb，ab在椭圆C上，

所以b2a2＋a2b4＝1，②

联立①、②得a2＝8，且b2＝4.

所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1.

(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x＝2或x＝－2，从而有|PN|＝23，S＝12|PN|²|OM|＝12³23³22＝26；

当直线PN的斜率k存在时，

设直线PN的方程为y＝kx＋m(m≠0)，

P(x1，y1)，N(x2，y2)；

将PN的方程代入C整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

所以x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1²x2＝2m2－81＋2k2，

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2m1＋2k2.

由OM→＝OP→＋ON→，

得M－4km1＋2k2，2m1＋2k2.

将M点坐标代入椭圆C方程得m2＝1＋2k2.

又点O到直线PN的距离为d＝|m|1＋k2，

|PN|＝1＋k2|x1－x2|，

S＝d²|PN|＝|m|²|x1－x2|＝1＋2k2²|x1－x2|＝16k2－8m2＋32＝26.

综上可知，平行四边形OPMN的面积S为定值26.

[典例] (本小题满分12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

规范解答：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而圆心A(－1，0)，|AD|＝4.

所以|EA|＋|EB|＝4.(2分)

又因为B(1，0)，所以|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(4分)

(2)解：当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由y＝k（x－1），x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，

所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.(6分)

过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，点A到直线m的距离为2k2＋1，

所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.(8分)

故四边形MPNQ的面积S＝12|MN|| PQ|＝121＋14k2＋3.(9分)

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83)．(10分)

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，

故四边形MPNQ的面积为12.

综上可知，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83)．(12分)