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线代知识总结

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线性代数知识点总结

目录

第一章行列式.................................................................................................................... 2

第一节：二阶与三阶行列式 ............................................................................................... 2

第二节：全排列及其逆序数 ............................................................................................... 2

第三节：n阶行列式的定义 ................................................................................................ 3

第四节：对换....................................................................................................................... 4

第五节：行列式的性质 ....................................................................................................... 5

第六节行列式按行（列）展开 .................................................................................... 6

第七节克拉默法则 ......................................................................................................... 7

第二章矩阵........................................................................................................................ 8

第一节：矩阵....................................................................................................................... 8

第二节：矩阵的运算 ........................................................................................................... 8

第三节：逆矩阵................................................................................................................. 11

第四节：矩阵分块法 ......................................................................................................... 13

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 .......................................................................... 15

第一节：矩阵的初等变换 ................................................................................................. 15

第二节：矩阵的秩 ............................................................................................................. 16

第三节：线性方程组的解 ................................................................................................. 18

第四章向量组的线性相关性.......................................................................................... 19

第一节：向量组及其线性组合 ......................................................................................... 19

第二节：向量组的线性相关性 ......................................................................................... 21~1~第一章行列式

第一节：二阶与三阶行列式

1、把表达式a

11a

22a

12a

21称为a

11a

12a

21a

22所确定的二阶行列式，并记作a

11a

12a

21a

12，

即Da

11a

12a

21a

22a

11a

22a

12a

21.结果为一个数。

同理，把表达式a

11a

22a

33a

12a

23a

31a

13a

21a

32a

11a

23a

32a

12a

21a

33a

13a

22a

31,称为

a

11由数表a

21a

12a

22a

32a

13

a

31a

11a

12a

23所确定的三阶行列式，记作a

21a

22a

31a

32a

33a

13a

23。

a

33

a

11a

12即a

21a

22a

31a

32a

13a

23=a11a22a33a

12a23a31a

13a21a32a

11a23a32a

12a21a33a

13a22a31,a

33

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组a

11x

1a

12x

2b

1a

21x

1a

22x

2b

2

0

a

12

，设Da

11a

12

b

1a

21a

22D

1b

1b

2a

12a

22D

2

a

11a

11

b

1b

1a

21b

2.

则x

1ba

22D

12Da

11a

12a

21a

22x

2abD

2212.a

11a

12D

a

21a

22

注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

1、全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大~2~于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。

2、计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在1,2,,n1,n前面比它大的数码之和即分别算出

1,2,,n1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元

素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。

第三节：n阶行列式的定义

a

11

1、定义：n阶行列式Da

12a

22

a

n2a

1na

2n

a

nn等于所有取自不同行、不同列的n个元素的a

21

a

n1

乘积a

1p1a

2p2a

npn的代数和，其中p1，p2…pn是1, 2,…,n的一个排列，每一项的符号由

其逆序数决定。

a

11

2、Da

12a

22

0a

1na

2n

a

nn1t12n0

0a

11a

22a

nna

11a

22a

nn也可简记为detaij

，

其中a

ij为行列式D的（i，j元）。

a

11

3、根据定义，有Da

12a

22

a

n2a

1na

2n

a

nn

p1p2a

21

a

n11

pntp1p2pna

1p1a

2p2a

npn

4、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一

次方程组的需要而定义的;

2、n阶行列式是n!项的代数和;

3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;

4、a

1p1a

2p2a

npn的符号为1，t的符号等于排列p

1,p

2,...p

n的逆序数t

5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。~3~

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线上营销知识总结

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线上营销知识总结：

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线性代数知识点梳理

线性代数知识点梳理

线性代数知识点梳理

一、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)

还具有两种形式：

(1)矩阵形式

(2)向量形式。

齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：

①有唯一零解;

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

线代知识的四大特点分析

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2020考研数学：线代知识的四大特点分析

考研数学是考研所有科目中较难的科目，而线性代数则是考研数学的重点，大家要特别重视。为此 小编整理了“2020考研数学：线代知识的四大特点分析”的文章，希望对大家有所帮助。

一、内容抽象，尤其向量部分最为典型。

在现实生活中，我们可以看到一维空间、二维空间甚至是三维空间，但是对于三维空间我们是难以想象的。向量主要研究的就是三维向量，所以这就需要较强的抽象思维和逻辑推理能力，这一点对于侧重于计算能力培养的工科学生来说是一个难点。因此在学习的过程中，对所涉及的基本概念应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系以及它们的作用，一步步达到运用自如的境地。

二、概念多，性质多，定义多，定理多。

例如有关矩阵的，就有相似矩阵、合同矩阵、正定矩阵、正交矩阵、伴随矩阵等。在向量这部分，向量组线性相关的性质就10来个。

三、符号多，运算法则多，有些运算法则与以前的完全不同。

正如《2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲配套强化指导》第二篇线性代数部分所说的，对于数的运算我们满足交换律、结合律和消去律;但是矩阵的运算与之有相同的也有不同的，矩阵的运算不满足交换律和消去律，但是满足结合律。所以这些在复习的时候一定要注意区分。

四、内容纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。

线性代数内容之间的联系是比较紧密的。相对高数来说，它们的联系又是非常隐蔽的。以可逆矩阵为例，阶矩阵是可逆的，从行列式的角度有其等价说法，就是阶矩阵的行列式不等于0;从矩阵的角度它的等价说法是矩阵的秩等于阶数，从向量的角度描述，就是矩阵的行向量组是线性无关的，同时列向量组也是线性无关的，并且任何一个三维列(行)向量都可以由该矩阵的列(行)向量组来线性表示;从特征值的角度描述，就是矩阵的特征值都是非零的。

因此在学习的过程中，对所涉及的概念、性质及定理要理解，同时很多东西还要靠记忆，尤其要注意基本概念、基本方法之间的相互关系，有些问题是相互交错，相互渗透，似螺旋上升，比如矩阵的秩与向量组的秩、线性方程组与向量组的线性组合、线性相关之间的关系。弄清这些关系，一方面可对所涉及的概念通过不断重复而达到加深印象的目的，另一方面也能对问题有进一步的深入理解。

2024年线性代数知识点总结汇总.docx

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线性代数知识点总结

1行列式

<-）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2,行列式定义：不一样行不一样列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式〉

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k.等丁•用数k乘此行列式

（4）拆列分派：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等下两个行列式之和.

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0,

（二）重要行列式

4、上（T）Jfi（/对角线）行列式的值等r主对角线元素的乘积

*K"-1）

5、副时角线行列式的俏等于副对角线元素的乘枳乘（T）：6.1.aP1.a8屣开式：（A是m阶矩阵,B是n阶矩阵）,则 =W-M

=(TrBi4同

7、n阶（n32）范镌蒙镌行列式

X”

D"=

bbb∙∙∙ba∙∙∙b

（三）按行（列）展开

9,按行展开定理:

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

（四）行列式公式

(1)∣kA∣=kn∣A∣

(2)∣AB∣=∣A∣∙∣B∣

(3) ∣Aτ∣=∣A∣ Ii

★8、 对角线的元素为a. 数学归纳法证明

H他元素为b的行列式的值:

=[Λ+(M-1)6](Λ-6)W^1 (4) ∣A1∣=∣A∣∙1

(5) ∣A∙∣=∣A∣n1.

Mh11Λ

(6)若A的特性值A1、A2、……An.W1. *-1

(7)若A与B相似，则IA1.=IB1.

(五)克莱姆法则

11、克莱姆法则：

(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯•解

D),,

XJ=-^∙,J=I,2,…,〃

(2)假如非齐次线性方程组无解或有两个不一样解，则它的系数行列苴必为0