2021高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质课时作业(含解析)B版

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2. 掌握公理、判定定理和性质定理.【知识清单】知识点1．直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α知识点2．平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点梳理】考点一：直线与平面垂直的判定与性质【典例1】（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．(1)求证：AB⊥平面P AD；(2)求证：EF//平面P AD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）∵侧棱P A垂直于底面，∴P A⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，这样，AB垂直于平面P AD内的两条相交直线，∴AB⊥平面P AD．（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，∴FG∥PD，FG∥面P AD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面P AD．故平面EFG ∥平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．【典例2】（2019·甘肃高三期末（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，11B C =，1B C ⊥平面ABC .（1）证明：AC ⊥平面11BCC B ； （2）求点C 到平面11ABB A 的距离.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1B C AC ⊥.因为1AC BC ==，AB ，所以AC BC ⊥， 又1BC B C ⋂，所以AC ⊥平面11BCC B . （2）设点C 到平面11ABB A 的距离为h ，因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥，1B C BC ⊥.则1AB ，1BB AB =，所以1ABB ∆是等边三角形，故12ABB S ∆==111122C ABB A C ABB B ABC V V V ---==111233ABC B C S ∆=⨯⨯⨯=，11111123323C ABB A ABB A V S h h h -=⋅=⨯⨯⋅=.所以h【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 【变式探究】1. （2019·河南南阳中学高三开学考试（文））如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，AB CD AD AB ⊥，， 且24 3.AD CD AB PA PD PC ======，(1)若O 为AC 的中点，证明:PO ⊥平面.ABCD (2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】(1)证明：因为AB CD AD AB ⊥，，AD CD AC ∴⊥=，,又3PA PC ==，O 为AC 的中点PO AC ∴⊥，1PO ==连接OD ，在Rt ACD ∆中，O 为AC 的中点12OD AC ∴== ∵222OD OP PD +=，PO OD ∴⊥又ODAC O =∴PO ⊥平面ABCD(2)解：设点C 到平面PAB 的距离为h ，则12442ABC S ∆=⨯⨯=，PB ==在PAB ∆中，32PA AB PB ==，， ∴9452cos 2323PAB +-∠==⨯⨯.∴1322PAB S ∆=⨯⨯=由C PAB P ABC V V --=44PO =⨯=，解得h =2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =,060BAD ∠=，面PAD ⊥面ABCD ,PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面POB ；(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥P EDB -的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】(1)证：因为O 为等边PAD ∆中边AD 的中点， 所以AD PO ⊥,又因为在菱形ABCD 中，060BAD ∠=， 所以ABD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以AD BO ⊥,而PO BO O =,所以AD ⊥平面POB .(2)解：由(1)知AD PO ⊥，面PAD ⊥面ABCD ,所以PO ⊥底面ABCD ，因为等边PAD ∆的边长为2，所以PO , 易知BCD ∆为边长为2的等边三角形，所以三棱锥P BCD -的体积为：21213P BCD V -==, 因为E 是PC 的中点，所以1122P EDB P BCD V V --==， 所以三棱锥P EDB -的体积为12．考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π==2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 603AC r ==在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==在Rt PAO 中，PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【典例4】（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =．（1）证明：平面1AA B ⊥平面11AAC C ； （2）求三棱锥111B A BC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1A B AC ⊥．又∵AB AC ⊥，∵1AB A B B ⋂=， ∴AC ⊥平面1A AB ． 又∵AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ．（2）111111111111111332B A BC B A B C A B C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯=△． 【规律方法】 1.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 2．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【变式探究】1.在四边形ABCD 中，//,,45AD BC ADAB BCD，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D 【解析】在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆为等腰直角三角形，故45ABD ADB ∠=∠=︒， 所以45DBC ∠=︒，故CD BD ⊥，折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =， 所以CD ⊥平面ABD ，因AB 平面ABD ，所以CD AB ⊥.又因为AB AD ⊥，AD CD D =，所以AB ⊥平面ADC ，因AB平面ABC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .2．（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，BD 是线段AC 的中垂线，BD 与AC 交于点O ，8AC =，2PD =，3OD =，5OB =．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求点B 到平面PAC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥． 又因为BD AC ⊥，BDPD D =，所以AC ⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． （2）因为8AC =，2PD =，3OD =，5OB =，所以由勾股定理得5AD CD ===，AP CP ==所以182PACS =⨯=△11852022ABC S AC OB =⋅=⨯⨯=△． 设点B 到平面PAC 的距离为h ．由B PAC P ABC V V --=，得1133PAC ABC S h S PD ⋅=⋅△△， 即1141320233h ⨯⨯=⨯⨯， 解得101313h =． 【总结提升】在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文））设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α；③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】由,m n 是空间两条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面． 在①中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误；在②中，设,,n n l l ααβ⊂⋂=⊥，因为αβ⊥，所以n β⊥，又m β⊥，所以//m n ，又m α⊄，n ⊂α，所以//m α，故②正确；在③中，若,,//m n m ααβ⊥⊥，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，设,m n γγα⊂⋂=，因为//m α，所以//m n ，又m l ⊥，所以n l ⊥， 又因为,,l n αβαβα⊥⋂⊂＝，所以n β⊥，所以m β⊥，故④正确． 故选：C ．【典例6】（2020·临猗县临晋中学月考（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，P A －AB －P A －BC －AB －BC －P A －AB －BC －2－D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13【解析】（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA 平面BDE ，平面PAC ⋂平面BDE DE =， 所以PA DE .因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【规律方法】1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．4.垂直关系的转化：【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理））如图所示，在RtΔABC中，AB=4，AC=3，BC=5，在BC边上任取一点D，并将ΔABD沿直线AD折起，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后B、C两点间距离的最小值为__________．【答案】√13【解析】如图所示，设∠BAD=θ，则∠CAD=π2−θ,过点C作CE⊥AD于E，过B作BF⊥AD交AD的延长线于点F，所以BF=4sinθ,CE=3sin(π2−θ)=3cosθ,AF=4cosθ,AE=3cos(π2−θ)=3sinθ，所以EF=4cosθ−3sinθ，所以|BC|=√CE2+EF2+BF2=√(3cosθ)2+(4cosθ−3sinθ)2+(4sinθ)2 =√9cos2θ+16cos2θ+9sin2θ−24sinθcosθ+16sin2θ=√25−24sinθcosθ=√25−12sin2θ，当sin2θ=1时，|BC|min=√13.2.（2019·云南高三月考（文））如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点，证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求四棱锥A 1﹣PBCD 的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】（1）证明：令1A B 的中点为F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC , 所以PD 是ABC △的中位线，所以//PD BC ,12PD BC =. 因为E 是1AC 的中点,且F 为1A B 的中点,所以EF 是1A BC 的中位线,所以//EF BC ，且12EF BC =，于是有PDEF ,所以四边形PDEF 为平行四边形,所以//DE PF , 又DE ⊄平面1PBA ，PF ⊂平面1PBA 所以有//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE AC ⊥. 又因为E 是1AC 的中点，所以1A D DC DA ==， 即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.因为在ABC △中,90B ∠=︒，//PD BC ，PDA 沿PD 翻折至1PDA ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，所以111131·13322A PBCD PBCD V S A P -==⨯⨯=四棱锥四边形. 考点四： 平行、垂直的综合应用【典例7】（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥ 1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC又11BC ⊂平面11EBC F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF = 11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP ⋂平面11EB C F NP =∴//AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ⋂平面ABC AM =，面1A NMA ⋂平面1111AB C A N = ∴//ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形 设ABC 边长是6m (0m >)可得：ON AP =，6NP AO AB m ===O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m∴16sin 603ON =⨯⨯︒=故：ON AP == //EF BC∴AP EPAM BM=3EP= 解得：EP m =在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =1B Q EP =且1//B Q EP∴四边形1B QPE 是平行四边形， ∴1//B E PQ由（1）11B C ⊥平面1A AMN故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ===sin10QN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：10.【典例8】（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析 【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．【总结提升】1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． 【变式探究】1. （2020·江苏省震泽中学期末）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为线段,PB PC 上的点（异于端点），平面PAB ⊥平面PBC .（1）若//BC 平面AMN ，求证：//BC MN ；（2）若M 为PB 的中点，求证：平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为//BC 平面AMN ，BC ⊂平面PBC ，平面AMN平面PBC MN =，由线面平行的性质可得//BC MN（2）因为M 为PB 的中点，且AP AB =，由等腰三角形的性质可得AM PB ⊥， 又因为平面PAB ⊥平面PBC ， 平面PAB ⋂平面PBC BC =，AM ⊂平面PAB ，由面面垂直的性质定理即可得：AM ⊥平面PBC ，又因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC2.如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1—BCD ，如图(2)所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？请说明理由． 【答案】【解析】(1)证明：∵D ，M 分别为AC ，FC 的中点， ∴DM ∥EF ，又∵EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， ∴DM ∥平面A 1EF .(2)证明：∵EF ⊥BD ，A 1E ⊥BD ，A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥A 1F .(3)直线A 1B 与直线CD 不能垂直．理由如下：∵平面BCD ⊥平面A 1BD ，平面BCD ∩平面A 1BD ＝BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， ∴EF ⊥平面A 1BD ，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面MCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．。

第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、知识梳理1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2． (2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ．②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．常用结论1．线线、线面、面面垂直间的转化2．两个重要定理 (1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．3．重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．二、习题改编1．(必修2P73练习T1改编)下列命题中错误的是________(填序号)．①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：对于④，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．答案：④2．(必修2P67练习T2改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×二、易错纠偏常见|Ｋ(1)忽略线面垂直的条件致误；误区(2)忽视平面到空间的变化致误．1．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件．答案：必要不充分2．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________．解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c 的位置关系不确定，平行，相交，异面都有可能．答案：平行，相交或异面线面垂直的判定与性质(多维探究)角度一线面垂直的证明如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面P AB .【证明】 (1)因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥AB . 因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，取P A 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB .所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形， 所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB . 因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ， 所以EF ⊥平面P AB .角度二 线面垂直性质的应用如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.(1)判定线面垂直的四种方法(2)判定线线垂直的四种方法如图所示，在四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E 是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，因为P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.因为AC⊥CD，P A∩AC＝A，所以CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，所以CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥AB.又因为AB⊥AD且P A∩AD＝A，所以AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ， 所以PD ⊥平面ABE .面面垂直的判定与性质(典例迁移)(一题多解)如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .【证明】 (1)法一：取P A 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点， 所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD .法二：连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以CF∥平面P AD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又EF⊄平面P AD，P A⊂平面P AD，所以EF∥平面P AD.又因为CF∩EF＝F.故平面CEF∥平面P AD.又因为CE⊂平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A，又AB⊥P A，所以AB⊥EF.同理可得AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【迁移探究1】(变问法)在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面P AC. 证明：因为AB⊥P A，AB⊥AC，且P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB.所以MN⊥平面P AC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面P AC.【迁移探究2】(变问法)在本例条件下，证明：平面EFG∥平面P AC.证明：因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥P A，FG∥AC，又EF⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理，FG∥平面P AC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面P AC.证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.垂直关系中的探索性问题(师生共研)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB ＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.(1)求证：B1C∥平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由．【解】(1)证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.(2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM，又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为AC＝2，所以AM＝1.又因为AA1＝2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM，所以AC1⊥平面A1BM.(3)当点N 为BB 1的中点，即BN BB 1＝12时， 平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 证明如下：设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点， 所以DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又因为N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ， 所以四边形BNDM 为平行四边形， 所以BM ∥DN ，因为BM ⊥平面ACC 1A 1，所以DN ⊥平面AA 1C 1C . 又因为DN ⊂平面AC 1N ， 所以平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC ＝CE ，点F 为CE 的中点．(1)证明：AE ∥平面BDF ；(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE? 若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF.因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．又F为EC的中点，所以OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE∥平面BDF.(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB.又AB∥CD，所以PH∥CD，所以P，H，C，D四点共面．因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE，因为BC＝CE，且H为BE的中点，所以CH⊥BE.又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，所以BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，所以PM⊥BE.直观想象逻辑推理平面图形折叠问题的解题技巧一、将平面图形折叠成立体图形如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．【解析】平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化．画出图形即可判断，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH，共3对．【答案】 3画折叠图形一般以某个面为基础，依次将其余各面翻折还原，当然，画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识，这是解答此类问题的关键．二、折叠中的“变”与“不变”如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．【解】 (1)证明：在题图①中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得 OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45 °＝ 5.由翻折不变性可知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ， 同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角．结合题图①可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302，所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155.折叠问题的关键有二：①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；②分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变．一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的．涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的．分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱．三、立体图形的表面展开图的应用在一个底面直径是5 cm ，高为2π cm 的圆柱形玻璃杯子的上沿B 处有一只苍蝇，而恰好在相对的底沿A 处有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇，蜘蛛所走的最短的路程是________．【解析】 利用侧面展开图，如图，蜘蛛所走的最短的路程是线段AB 的长，AC ＝12×2π×52＝52π cm ，BC ＝2π cm ，则AB ＝（2π）2＋⎝⎛⎭⎫52π2＝412π cm ，即蜘蛛所走的最短的路程是412π cm.【答案】412π cm求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题：通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题．[基础题组练]1．(2020·辽宁大连模拟)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l ⊂α，α⊥β，则l与β平行或相交或垂直，必要性不成立．所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.2．(2020·河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①②B．②④C．①③D．②③解析：选B.对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是()A．AC＝BCB．AB⊥VCC．VC⊥VDD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO解析：选C.因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.又因为VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD.又因为CD⊂平面VCD，所以AB⊥CD.又因为AD＝BD，所以AC＝BC，故A正确．又因为VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC，故B正确；因为S△VCD＝12VO·CD，S△ABC ＝12AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条件无法判断VC⊥VD.故选C.4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A.由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确．6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于27.答案：277.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是边PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面P AC，BC⊥AC，BC⊥P A⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．答案：①②④9.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE ∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明：(1)如图，取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ，因为F 是CE 的中点，所以FG 是梯形CDPE 的中位线， 因为CD ＝3PE ，所以FG ＝2PE ， FG ∥CD ，因为CD ∥AB ，AB ＝2PE ， 所以AB ∥FG ，AB ＝FG ， 即四边形ABFG 是平行四边形， 所以BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ， 所以BF ∥平面ADP .(2)延长AO 交CD 于点M ，连接BM ，FM ，因为BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点， 所以ABMD 是正方形，则BD ⊥AM ，MD ＝2PE . 所以FM ∥PD ，因为PD ⊥平面ABCD ， 所以FM ⊥平面ABCD ，所以FM ⊥BD ， 因为AM ∩FM ＝M ，所以BD ⊥平面AMF ， 所以BD ⊥平面AOF .10．(一题多解)如图1，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥DC ，PB ＝3，DC ＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△P AD 沿AD 折起，构成如图2所示的四棱锥P -ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：在四棱锥P -ABCD 中，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ， 所以△ABN ∽△CDN ， 所以BN ND ＝BACD ＝2，因为PM ＝12MB ，所以BN ND ＝BMMP＝2，所以在△BPD 中，MN ∥PD ， 又PD ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC . 所以PD ∥平面MAC .(2)法一：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且两平面相交于AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ，所以V P ­ABC ＝13S △ABC ·P A ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×1＝13. 因为AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，所以PB ＝P A 2＋AB 2＝5，PC ＝P A 2＋AC 2＝3，BC ＝AD 2＋（AB －CD ）2＝2，所以PB 2＝PC 2＋BC 2，故∠PCB ＝90°， 记点A 到平面PBC 的距离为h ， 所以V A ­PBC ＝13S △PBC ·h ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×2h ＝66h . 因为V P ­ABC ＝V A ­PBC ，所以13＝66h ，解得h ＝63.故点A 到平面PBC 的距离为63. 法二：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且两平面相交于AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BC ， 因为AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，BC ＝AD 2＋（AB －CD ）2＝2，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， 又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC ，过点A 作AE ⊥PC 于点E ，则BC ⊥AE ， 因为PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AE ⊥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离为AE ＝P A ·AC PC ＝1×23＝63.[综合题组练]1.如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′­FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF 上的射影不可能在FC上，所以④不成立．3．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②4．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ，又2×2＝h ×22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝（22）2－（33）2＝66. 由面积相等得66× x 2＋（22）2＝22x ，得x ＝12.即线段B 1F 的长为12. 答案：125．(2020·河南郑州第二次质量预测)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝π3，△P AD 是等边三角形，F 为AD 的中点，PD ⊥BF .(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 在线段BC 上，且EC ＝14BC ，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求出三棱锥D －CEG 的体积；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接PF ，因为△P AD 是等边三角形，F 是AD 的中点，所以PF ⊥AD . 因为底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝π3，所以BF ⊥AD .又PF ∩BF ＝F ，所以AD ⊥平面BFP ，又PB ⊂平面BFP ， 所以AD ⊥PB .(2)能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD .由(1)知AD ⊥BF ，因为PD ⊥BF ，AD ∩PD ＝D ，所以BF ⊥平面P AD . 又BF ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面P AD ，又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，且PF ⊥AD ，所以PF ⊥平面ABCD .连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG ∥PF 交PC 于点G ，所以GH ⊥平面ABCD . 又GH ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面ABCD . 因为AD ∥BC ，所以△DFH ∽△ECH ，所以CH HF ＝CE DF ＝12，所以CG GP ＝CH HF ＝12，所以GH ＝13PF ＝33，所以V D －CEG ＝V G －CDE ＝13S △CDE ·GH ＝13×12DC ·CE ·sin π3·GH ＝112.6．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1­BCD ，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，因为CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．。

2021年高考数学一轮复习专题8.5直线平面垂直的判定与性质讲【考纲解读】【知识清单】1.直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b对点练习：【xx课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C2. 平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.⎭⎪⎬⎪⎫ABβAB⊥α⇒β⊥α性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNABβAB⊥MN⇒AB⊥α【xx课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】3.线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 对点练习：【xx 课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】（2）在平面内作，垂足为． 由（1）知，平面，故，可得平面． 设，则由已知可得，． 故四棱锥的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得，故． 从而，，．可得四棱锥的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+． 【考点深度剖析】空间中的垂直关系是高考命题的重点，客观题、大题都有可能考查，以客观题形式考查命题的真假判断，在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．浙江卷对垂直关系的考查多于对平行关系的考查.【重点难点突破】考点一 直线与平面垂直的判定与性质【1-1】【xx 届南宁市高三摸底】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面. 【答案】①③④【1-2】【xx 届湖北省七市（州）高三3月联考】设直线与平面相交但不．垂直，则下列说法中正确的是A. 在平面内有且只有一条直线与直线垂直B. 过直线有且只有一个平面与平面垂直C. 与直线垂直的直线不可能．．．与平面平行D. 与直线平行的平面不．可能与平面垂直【答案】B【解析】对于答案A. 在平面内显然有无数条直线与直线垂直，因此说法是错误的；对于答案C. 与直线垂直的直线是可以与平面平行，因此说法不正确；对于答案D. 与直线平行的平面也有可能与平面垂直，因此说法也不正确，故应选答案B【1-3】【【百强校】xx届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】试题分析：依据空间线面角的定义可知答案C是正确的,故应选C.【1-4】【xx届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷一】如图，在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．【答案】详见解析试题解析：证明：（1）设与交于点，连接，．因为，且，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为，且为的中点，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以．在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，所以，又平面，平面，，所以平面．【领悟技法】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【触类旁通】【变式1】在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，若，则（）A ．当时，平面平面B ．当时，平面平面C ．当，直线与底面都不垂直D ．，使直线与直线垂直 【答案】A【变式2】如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG 平面EFG ；（2）SD 平面EFG ；（3）GF 平面SEF ；（4）EF 平面GSD ；（5）GD 平面SEF. 正确的是（ ）D SG 2G 3G 1FEGA ．（1）和（3）B ．（2）和（5）C ．（1）和（4）D ．（2）和（4） 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知且，所以，（1）正确；若面，则，由（1）知，在中，这是不可能的，（2）错；若面，则,由（1）知，，在中是不可能的，（3）错；由（1）知，则；由已知知,且,所以，（4）正确；若面，则，由（1）知，在中，这是不可能的，（5）错.故选C.综合点评：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.考点二平面与平面垂直的判定与性质【2-1】【xx届浙江省杭州市高三4月检测】设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则.则（）A. ①②都是假命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①②都是真命题【答案】B【2-2】已知直线，与平面，，，满足，，，，则必有（）A．且 B.且C.且D.且【答案】D【解析】因为，，所以.因为,所以,又因为,所以.【2-3】如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误．．的是A．B．平面平面C．的最大值为D．的最小值为【答案】C【2-4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B1C1的边A1C1于点D．(1)确定D的位置，并证明你的结论；(2)证明：平面AB1D⊥平面AA1D．【答案】（1）D为A1C的中点．（2）见解析.【解析】(1)D为A1C1的中点，证明如下：连A1B交AB1于O，连OD．∵BC1∥平面AB1D，BC1⊂平面A1BC1，平面AB1D∩平面A1BC1＝DO，∴BC1∥DO，∴D为A1C的中点．(2)证明：∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，三角形A1B1C1为正三角形，∴B1D⊥A1C1.又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，∴B1D⊥平面ACC1A1，又B1D⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面AA1D．【领悟技法】判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【触类旁通】【变式1】【xx届浙江嘉兴市高三上学期基础测试】对于空间的三条直线和三个平面，则下列命题中为假命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【变式2】【【百强校】xx届江苏泰州中学高三摸底】如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）正方形中，，又平面，平面，∴平面．（2）∵平面，且平面，∴，又正方形中，，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴平面⊥平面．综合点评：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.考点三线面、面面垂直的综合应用【3-1】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．（I）求证：平面；（II）求证：平面平面；（III）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.又因为平面平面，且平面，所以平面.所以平面平面.（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等边三角形的面积.又因为平面，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.【3-2】如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点. （I）证明：平面平面；（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，在中，2211312AA A D AD=-=-=，所以故三棱锥的体积1132633AECV S FC=⨯=⨯⨯=.【3-3】如图M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．（1）若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP⊥MN；（2）棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． 【答案】见解析（2）假设存在点P ，使面APC 1⊥面ACC 1，过P 作PF⊥AC 1，则PF⊥面ACC 1.又∵BD⊥面ACC 1，∴PF∥BD，而两平行线PF 、BD 所确定的平面即为两相交直线BD 、DD 1确定的对角面BB 1D 1D ，∴F 为AC 1与对角面BB 1D 1D 的交点，故F 为AC 1的中点，由PF∥BD，P∈DD 1知，P 也是DD 1的中点． 显然，当P 为DD 1中点，F 为AC 1中点时， ∵AP＝PC 1，∴PF⊥AC 1又PF∥BD，BD⊥AC，∴PF⊥AC. 从而PF⊥面ACC 1，则面APC 1⊥面ACC 1.故存在点P ，使P 为DD 1中点时，面APC 1⊥面ACC 1. 【3-4】【山东卷】 如图，三棱台中，分别为的中点.（I）求证：平面；（II）若求证：平面平面.【答案】见解析.证法二：在三棱台中，由为的中点，可得所以为平行四边形，可得在中，分别为的中点，所以又，所以平面平面，因为平面，所以平面.(II)证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以.又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面【领悟技法】1. 垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．【触类旁通】【变式1】【xx届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初】如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.试题解析：证明：⑴在中，因为分别是的中点，所以∥又⊂平面，平面，所以∥平面；⑵因为，且点是的中点，所以⊥；又，∥，所以，因为⊂平面，⊂平面，，⊂平面，所以平面⊥平面.【变式2】【xx年福建省数学基地校】下面的一组图形为一四棱锥的侧面与底面.(I)请画出四棱锥的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.(II)若面，为中点，求证：面面；【答案】（I ）见解析（II ）见解析试题解析：（I ）存在一条侧棱，如图所示．,,,SAD SA AD AB AD A AB AD ABCD ∆⊥⋂=⊂在中，又面， .（II ）,,SD F SC G AF FG EG 取中点的中点连接、、，,,SA ABCD SA CD CD AD SA AD A CD SAD ⊥∴⊥⊥⋂=∴⊥面又且面， ,,CD AFRt SAD SA AD AF SD ∴⊥∆=∴⊥中，又，11,,//,,22CD SD D AF SCD FG CD FG CD AE CD ⋂=∴⊥==面，//,,A FG AE FG AE EGF ∴=∴四边形为平行四边形, //,,,EG AF EG SCD EG SEC SEC SCD ∴∴⊥⊂∴⊥面又面平面平面.综合点评：平行、垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.【易错试题常警惕】易错典例：如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，侧面底面，已知，. 证明 :.【剖析】错误原因在于解答最后时无中生有地造了一个判定定理：如果两个平面垂直，那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.这个结论是错误的. 【正解】作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面，因为，所以，因为，所以是等腰直角三角形，所以，因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以.温馨提醒：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.（3）易错防范：①在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.②面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答立体几何体积、距离等计算问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是“无图考图”，如：【典例】【xx届云南省师范大学附属中学高三月考二】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）线段上存在一点，使得平面．试题解析：（Ⅰ）证明：由已知，得，∵，，又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）线段上存在一点，使得平面．证明：在线段上取一点，使，连接∵，∴，且，又∵，且，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．∴．。

立体几何
高考第一轮复习第五节　直线、平面垂直的判定与性质
1高考引航
2必备知识
3关键能力
高考引航
任意一条
两条相交直线
答案知识清单必备知识
平行
答案
直二面角
垂线
交线
答案
锐角
答案
两个半平面所组成的图形
基础训练
B
A
题型归纳题型一 线线垂直的判定与性质
关键能力
点拨：判断(证明)线线垂直的方法:
(1)根据定义;
(2)若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c;
(3)若直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c;
(4)向量法:两条直线的方向向量的数量积为零.
题型二 线面垂直的判定与性质
点拨：证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本方法.
题型三 面面垂直的判定与性质
解析
点拨：求异面直线所成的角,一般方法是通过平移直线,把异面问题转化为共面问题,通过解三角形求出所构造的角.证明面面垂直,可转化为证明线面垂直,而线面垂直又可以转化为证明线线垂直,在证明过程中,需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题,有时还需应用勾股定理的逆定理,通过计算来证明垂直关系,这在高考题中是常用的方法之一.
解析
方法突破
方法 垂直中的探索性问题
解析
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