新教材高中数学第6章立体几何初步5垂直关系 平面与平面垂直素养作业北师大版必修第二册

单元素养评价(五)(第六章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α【解析】选B.已知两条不相交的空间直线a和b,可以在直线a上任取一点A,则A∉b,过A作直线c∥b,则过直线a,c必存在平面α且使得a⊂α,b∥α.2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,HG交于一点P,则( )A.点P一定在直线BD上B.点P一定在直线AC上C.点P一定在直线AC或BD上D.点P既不在直线AC上,也不在直线BD上【解析】选B. 如图,因为P∈HG,HG⊂平面ACD,所以P∈平面ACD.同理,P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.3.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图,设CD=a,PE=b,则PO==,由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4-2·-1=0,解得=(负值舍去).4.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“困盖”的术:置如其周,令相乘也. 又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.【解析】选B.设圆锥底面积的半径为r,高为h,则L=2πr,πr2h=(2πr)2h,所以π=.5.菱形ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与对角线BD的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.相交垂直D.异面垂直【解析】选D.如图,PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD.又四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC. 因为PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以BD⊥PA.显然PA与BD异面,所以PA与BD异面垂直.6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )A.+B.2+C.+D.+【解析】选 B.如图,将直观图ABCD 还原后为直角梯形A′BCD′,其中A′B=2AB=2,BC=1+,A′D′=AD=1.所以这个平面图形的面积S=×(1+1+)×2=2+.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【解析】选C.如图,连接BC1,B1C,A1D,由题设知,A1B1⊥平面BCC1B1,从而A1B1⊥BC1,又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1.8.如图,等边三角形ABC的边长为4,M,N分别为AB,AC的中点,沿MN将△AMN折起,使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°,则四棱锥A-MNCB的体积为(A. B. C. D.3【解析】选A.如图,作出二面角A-MN-B的平面角∠AED,AO为△AED底边ED上的高,也是四棱锥A-MNCB的高.由题意,得ED=,AO=,所以S四边形MNCB=×(2+4)×=3,V=××3=.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.用一张长、宽分别为8 cm和4 cm的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面,则此正四棱柱的对角线长可以为( )A. cmB.2 cmC.32 cmD. cm【解析】选BD.分两种情况:(1)以4 cm的长为高,则正四棱柱底面是边长为2 cm的正方形,因此对角线长l1==2(cm).(2)以8 cm长为高,则正四棱柱底面是边长为 1 cm的正方形,因此对角线长l2==(cm).10.用一个平面去截正方体,关于截面的形状,下列判断正确的是( )A.直角三角形B.正五边形C.正六边形D.梯形【解析】选CD.画出截面图形如图:可以截出三角形但不是直角三角形,故A错误;如图1经过正方体的一个顶点去截就可得到五边形,但不是正五边形,故B错误;正方体有六个面,如图2用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以截出正六边形,故C正确;可以截出梯形,故D正确.11.如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB 的中点,下列结论正确的是( )A.PC∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.OM⊥PAD.直线PD与直线MN所成角的大小为90°【解析】选ABC.连接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论A正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为∠PDC.又三角形PDC 为等边三角形,所以∠PDC=60°,故D错误.12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O 的直径,且SC=2,则( )A.三棱锥S-ABC的体积为B.三棱锥S-ABC的体积为C.三棱锥O-ABC的体积为D.三棱锥O-ABC的体积为【解析】选AC.由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC的底面都是△ABC,O是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍,所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍,由题知三棱锥O-ABC的棱长都为1,如图,所以S△ABC=,高OD==,则V O-ABC=××=,V S-ABC=2V O-ABC=.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b;④若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述命题中,正确命题的序号是________.【解析】对①可举反例,如图,需b⊥β才能推出α⊥β;对③可举反例说明,当γ不与α,β的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案:②④14.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,此圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,如图所示,相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现,我们不妨称这个圆柱为“阿氏球柱体”,若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球(溢出部分水),则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为________.【解析】因为球内切于圆柱,所以圆柱的底面半径与球的半径相等,不妨设为r,则圆柱的高为2r,所以V圆柱=πr2·2r=2πr3,V球=πr3.所以球与圆柱的体积之比为2∶3,即球的体积等于圆柱体积的.所以在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球,溢出部分水的体积为圆柱体积的,即剩下的水的体积是圆柱体积的,则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为. 答案:15.已知正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,侧棱长为6,则正四棱台外接球的半径为________.【解析】根据题意,设该四棱台为ABCD-A1B1C1D1,取正棱台的上下底面的中心O1,O2,即上下底面外接圆的圆心也为O1,O2,则O2A=AC=AB=3,同理O1A1=A1C1=A1B1=.过点A1作A1H⊥AO2,且交AO2于点H,则有A1H===8,球心O在线段O1O2上,则有+=8,解得R=3.答案:316.(本题第一空3分,第二空2分)已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,P 到β的距离为,Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为________,此时直线PQ与平面α所成的角为________.【解析】如图,分别作QA⊥α于点A,AC⊥l于点C,PB⊥β于点B,PD⊥l于点D,连接CQ,BD,则∠ACQ=∠PDB=60°,AQ=2,BP=,所以AC=PD=2.又因为PQ==≥2,当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值,此时,PQ⊥平面α,故PQ与平面α所成的角为90°.答案:290°四、解答题(共70分)17.(10分)(2020·江苏高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C 的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,E为CD的中点,F 为PD上一点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面FAE.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形,所以AC⊥BD,又PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(2)在菱形ABCD中,∠BAD=180°-∠ABC=120°,AD=CD,所以∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°,AC=AD.因为E为CD的中点,所以∠CAE=∠CAD=30°,所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+30°=90°,即AB⊥AE.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面FAE,所以平面PAB⊥平面FAE.18.(12分)在四面体A-BCD中,点E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.【解析】(1)因为点E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC.因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(2)因为点E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,所以EF∥AC,FM∥BD,所以∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或所成角的补角).在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM是等边三角形,所以∠EFM=60°,所以异面直线AC与BD所成的角为60°.19.(12分)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是cm3.(1)求正方体石块的棱长;(2)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳,求此球形石凳的最大表面积.【解析】(1)设正方体石块的棱长为a cm,则每个截去的四面体的体积为××××=.由题意可得8×+=a3,解得a=40.故正方体石块的棱长为40 cm.(2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径,所以球形石凳的表面积S=4π×2=1 600π(cm)2.20.(12分)(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.【证明】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1,所以BB1⊥平面ABCD,所以AC⊥BB1,因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,因此AC⊥平面BB1D1D,因为EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥AC;(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1,连接DM,MF,EC1,因为D1E=2ED,DD1∥CC1,DD1=CC1,所以ED=MC1,ED∥MC1,所以四边形DMC1E为平行四边形,所以DM∥EC1,因为MF∥DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,所以DM∥AF,所以EC1∥AF,因此点C1在平面AEF内.【补偿训练】如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中点,F是线段DD1上的动点.(1)求证:EF∥平面BCC1B1;(2)若∠BCD=∠C1CD=60°,且平面D1C1CD⊥平面ABCD,求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.【解析】(1)如图,连接DE,D1E.因为AB∥CD,AB=2CD,E是AB的中点,所以BE∥CD,BE=CD,所以四边形BCDE是平行四边形,所以DE∥BC.又DE⊄平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,所以DE∥平面BCC1B1.因为DD1∥CC1,DD1⊄平面BCC1B1,CC1⊂平面BCC1B1,所以D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE=D,DE⊂平面DED1,D1D⊂平面DED1,所以平面DED1∥平面BCC1B1.因为EF⊂平面DED1,所以EF∥平面BCC1B1.(2)如图,连接BD.设CD=1,则AB=BC=CC1=2.因为∠BCD=60°,所以BD==.所以CD2+BD2=BC2,所以BD⊥CD.同理可得,C1D⊥CD.因为平面D1C1CD⊥平面ABCD,平面D1C1CD∩平面ABCD=CD,C1D⊂平面D1C1CD,所以C1D ⊥平面ABCD,因为BC⊂平面ABCD,所以C1D⊥BC,所以C1D⊥B1C1.在平面ABCD中,过点D作DH⊥BC,垂足为H,连接C1H,如图.因为C1D∩DH=D,所以BC⊥平面C1DH.因为C1H⊂平面C1DH,所以BC⊥C1H,所以B1C1⊥C1H,所以∠DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角.因为在Rt△C1CD中,C1D=,在Rt△BCD中,DH=CD·sin 60°=,所以在Rt△C1DH中,C1H==,所以cos ∠DC1H==.所以平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值为.21.(12分)在三棱锥P-ABC中,AB=BC,PA⊥平面ABC,D为PC的中点,E为AC的中点.(1)求证:BD⊥AC;(2)若M为AB的中点,请问线段PC上是否存在一点N,使得MN∥平面BDE?若存在,请说明点N 的位置,并说明理由.若不存在,也请说明理由.【解析】(1)因为AE=EC,PD=CD,所以DE∥AP.又因为PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以DE⊥AC.因为AB=BC,AE=EC,所以BE⊥AC.因为AC⊥DE,AC⊥BE,BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.又因为BD⊂平面BDE,所以BD⊥AC.(2)PC上存在点N,使得MN∥平面BDE.理由如下:取AE的中点Q,连接MQ,NQ.因为MB=MA,AQ=QE,所以MQ∥BE.又因为MQ⊄平面BDE,BE⊂平面BDE,所以MQ∥平面BDE.因为MN⊂平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,MN∩MQ=M,MN∥平面BDE,MQ∥平面BDE,所以平面MNQ∥平面BDE.又因为NQ⊂平面MNQ,所以NQ∥平面BDE.因为平面PAC∩平面BDE=DE,NQ∥平面BDE,NQ⊂平面PAC,所以NQ∥DE.又因为AQ=QE,NQ∥DE,所以N为线段PD的中点.故线段PC上存在一点N,使得MN∥平面BDE,此时点N是线段PC上靠近点P的四等分点.22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD上一点.(1)求证:CD∥平面ABE;(2)求证:CD⊥AE;(3)若E为PD中点,平面ABE与侧棱PC交于点F,且PA=PD=AD=2,求四棱锥P-ABFE的体积. 【解析】(1)因为底面ABCD是正方形,所以AB∥CD.因为AB⊂平面ABE,CD⊄平面ABE,所以CD∥平面ABE.(2)因为底面ABCD是正方形,所以CD⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,而AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE.(3)由AB∥CD,CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,得AB∥平面PCD,而AB⊂平面ABFE,且平面ABFE∩平面PCD=FE,可得FE∥CD∥AB.又E为PD的中点,可得EF=CD.由(2)知CD⊥平面PAD,则AB⊥平面PAD,得AB⊥PD.因为三角形PAD是等边三角形,E为PD 的中点,所以PD⊥AE.又AE∩AB=A,所以PD⊥平面ABFE.在等边三角形PAD中,求得AE=. 所以S梯形ABFE=(1+2)×=.则四棱锥P-ABFE的体积V=S梯形ABFE·PD=×××2=.【补偿训练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AC1,B1C的中点.(1)证明:DE∥平面A1B1C1;(2)若A1B1=B1C=2,AA1=AC=2,证明:C1E⊥平面ACB1.【证明】(1)连接A1C,如图.因为四边形ACC1A1是平行四边形,D为AC1的中点,所以A1D=DC.因为B1E=EC,所以DE∥A1B1.又因为A1B1⊂平面A1B1C1,DE⊄平面A1B1C1,所以DE∥平面A1B1C1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1B1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1B1,同理AC⊥CC1,BC⊥CC1.因为A1A=2,A1B1=2,所以AB1=2.又因为AC=2,B1C=2,所以AC2+B1C2=A,得AC⊥B1C.因为CC1∩B1C=C,CC1,B1C⊂平面BB1C1C,所以AC⊥平面BB1C1C,又C1E⊂平面BB1C1C,所以AC⊥C1E,同理AC⊥BC.因为AC⊥BC,AC=2,AB=2,所以BC=2.又因为CC1=2,BC⊥CC1, 所以平行四边形BB1C1C为正方形.因为E为B1C的中点,所以C1E⊥B1C,又AC∩B1C=C,AC,B1C⊂平面ACB1,所以C1E⊥平面ACB1.。

第六章 3.2A组·素养自测一、选择题1．异面直线是指( D )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面．∴A应排除．对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除．对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( B )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形[解析]设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形．3．已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β等于( D )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°[解析]由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[解析]可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾)．5．空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形[解析] 如图,因为BD ⊥AC ,且BD ＝AC ,又因为E ,F ,G ,H 分别为对应边的中点,所以FG 綊EH 綊12BD ,HG 綊EF 綊12AC ．所以FG ⊥HG ,且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．6．异面直线a ,b ,有a ⊂α,b ⊂β且α∩β＝c ,则直线c 与a ,b 的关系是( D ) A ．c 与a ,b 都相交 B ．c 与a ,b 都不相交 C ．c 至多与a ,b 中的一条相交 D ．c 至少与a ,b 中的一条相交[解析] 若c 与a ,b 都不相交,∵c 与a 都在α内, ∴a ∥c .又c 与b 都在β内,∴b ∥c . 由基本事实4,可知a ∥b ,与已知条件矛盾． 如图,只有以下三种情况．二、填空题7．直线a 与直线b 为两条异面直线,已知直线l ∥a ,那么直线l 与直线b 的位置关系为 异面或相交 .[解析] 假设l ∥b ,又l ∥a ,根据基本事实4,可得a ∥b ,这与a 与b 异面直线相矛盾,故假设不成立,所以l 与b 异面或相交．8．(2021·广东省肇庆市期中)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC ．若AB ＝AC ＝AA 1＝1,BC ＝2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为 60° .[解析] 依题意,得BC ∥B 1C 1,故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角．连接A1B,在△A1BC中,BC＝A1C＝A1B＝2,故∠A1CB＝60°,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论正确的为①③ .(填序号)[解析]把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．[解析](1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF＝45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图,连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD＝FB,所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA,AF,易得FH＝HA＝AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点,所以∠HFO＝30°,即FO与BD所成的角为30°.B组·素养提升一、选择题1．下列说法中正确的是( B )A．若两直线无公共点,则两直线平行B．若两直线不是异面直线,则必相交或平行C．过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线[解析]对于A,空间两直线无公共点,则两直线可能平行,可能异面,故A不正确；对于C,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内过该点的直线是相交直线,故C不正确；对于D,和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线,如图的三棱锥A－BCD中,l1与l2为异面直线,BC与AC均与l1,l2相交,但BC与AC也相交,故D不正确．2．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果图示面为里面,将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )A．AB与CD B．AB与GHC．EF与GH D．EF与CD题图答图[解析]将平面图形还原成正方体后如图所示,其中AB与CD异面,AB与GH异面,EF与GH异面．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直[解析] 如图所示,连接BD 1,CD 1,CD 1与C 1D 交于点F ,由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形,在平行四边形A 1BCD 1中,E ,F 分别是线段BC ,CD 1的中点,所以EF ∥BD 1,所以直线A 1B 与直线EF 相交,故选A ．4．空间四边形ABCD 中,AD ＝BC ＝2,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,EF ＝3,则异面直线AD ,BC 所成的角为( C )A ．45°B ．120°C ．60°D ．60°或120°[解析] 取AC 的中点G ,连接EG ,FG .由三角形中位线可知,EG 綊12BC ,FG 綊12AD ,所以∠EGF 或其补角即为异面直线AD 与BC 所成的角．在△EGF 中,cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22·EG ·FG ＝12＋12－322×1×1＝－12.所以∠EGF ＝120°.由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.故选C ． 二、填空题5．在四棱锥P －ABCD 中E ,F ,G ,H 分别是PA ,PC ,AB ,BC 的中点,若EF ＝2,则GH ＝ 2 . [解析] 由题意知EF 綊12AC ,GH 綊12AC ,故EF 綊GH ,故GH ＝2.6．如图,若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33 ,异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是 306. [解析] 因为AA 1∥DD 1,所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角,连接BD ,在Rt △D 1DB 中,sin ∠DD 1B ＝DB BD 1＝2226＝33. 因为AD ∥BC ,所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角(或其补角), 连接D 1C ,在△D 1BC 中,因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,所以D 1B ＝26,BC ＝2,D 1C ＝25,D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2,所以∠D 1CB ＝90°, 所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306, 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306. 三、解答题7．如图所示,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点．求证：(1)D 1E ∥BF ； (2)∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．[解析] (1)取BB 1的中点M ,连接EM ,C 1M .在矩形ABB 1A 1中,易得EM ＝A 1B 1,EM ∥A 1B 1．因为A 1B 1＝C 1D 1且A 1B 1∥C 1D 1,所以EM ＝C 1D 1且EM ∥C 1D 1． 所以四边EMC 1D 1为平行四边形． 所以D 1E ∥C 1M ,在矩形BCC 1B 1中,易知MB ＝C 1F ,且MB ∥C 1F ,所以四边形C 1FBM 为平行四边形,所以C 1M ∥BF ,所以D 1E ∥BF .所以D 1E ∥BF . (2)由(1)知,ED 1∥BF ,BB 1∥EA 1,因为∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同,所以∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．8．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点．求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．[解析] 如图,过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E .连接A 1E ,则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ,则A 1M ＝32a ,ME＝54a ,A 1E ＝414a ,所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2,所以∠A 1ME ＝90°,即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.。

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第2课时平面与平面垂直的判定学习任务核心素养1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点) 2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点)1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？问题2：如何判断两个平面垂直？知识点平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊂α，l⊥β⇒α⊥β1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()[提示](1)正确．(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√类型1平面与平面垂直的判定【例1】(教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[跟进训练]1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.[证明]∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.类型2空间垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△P AD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？[提示]转化关系如下：2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？[提示](1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．3.(1)直线与直线垂直→直线与平面垂直→直线与直线垂直(2)利用（1）的条件AD⊥平面PGB→找到过点F的平面和平面PGB平行→确定F的位置[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[跟进训练]2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .1．直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．可能重合 C ．相交且垂直D ．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂β C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC [A 与D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选C.]3．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B.]4．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．平行[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.]回顾本节内容，自我完成以下问题：面面垂直的判定定理应用的思路是什么？[提示]平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．。

§2 直观图学习任务核心素养1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．(重点)2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以与简单组合体的直观图．(难点)1．通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于斜二测画法的相关计算，培养学生数学运算素养．美术与数学有着千丝万缕的联系，在美术图中，空间图形或实物在画板上既要有立体感，又要表现出各主要局部的位置关系和度量关系．空间图形或实物如何在画板上表示出来？如何反映它们的主要特征呢？这就是空间几何体的直观图，画好空间几何体的直观图应首先从水平放置的平面图形入手．阅读教材，结合上述情境回答如下问题：问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时习惯画成什么？为什么？问题3：水平放置的平面图形中的线段在直观图中长度不变吗？知识点1 平面图形直观图的画法1.相等的角在直观图中还相等吗？[提示] 不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．1.如下关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的答案是( )A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直B[选项A错误，水平放置的正方形的直观图一定是平行四边形；选项B正确；选项C错误，两条相交直线的直观图仍然是相交直线；选项D错误，两条垂直的直线的直观图不一定垂直．]知识点2 空间图形直观图的画法(斜二测画法)步骤(1)在的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平平面．(3)图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段．(4)图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半．(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．2.空间几何体的直观图是唯一的吗？[提示] 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不一样．2.思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，假如∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，如此在直观图中，∠A＝45°.( )(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( )(3)建立z轴的一般原如此是让z轴过空间图形的顶点．( )[提示](1)错误．∠A也可能等于135°.(2)错误．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变．(3)正确．[答案](1)×(2)×(3)√类型1 水平放置的平面图形的直观图【例1】(教材北师版P201例1改编)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．[解](1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，如此三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．[跟进训练]1．画一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图(尺寸自定).[解] (1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy ，再建立坐标系x ′O ′y ′，其中∠x ′O ′y ′＝45°.(2)描点．如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y 轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且D ′C ′＝DC .(3)连线．连接B ′C ′，A ′D ′.(4)成图．如图③，四边形A ′B ′C ′D ′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图． 类型2 空间几何体的直观图【例2】(教材北师版P 202例2改编)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的直观图．[解](1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的局部改为虚线)，就得到长方体的直观图．空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．[跟进训练]2．画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．[解] (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝32.连接BC，CA，如此△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的局部画成虚线，如此三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．类型3 直观图的相关计算【例3】如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．x轴平行的线段AB＝2，和y轴平行的线段CD＝4，那么用斜二测画法画出线段AB，CD 的直观图A ′B ′和C ′D ′的长度分别是什么？[提示] A ′B ′＝2，C ′D ′＝2.2.如下列图，水平放置的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，其直观图A ′B ′C ′D ′的面积是多少？[提示] 由斜二测画法可知，矩形ABCD 的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ＝12×2×22×4＝22．3.建立平面直角坐标系xOy →画原图形OABC →计算平行四边形OABC 的周长和面积[解] 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′＝1 cm ；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝22cm ；在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ，A ，B ，C 各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC 为平行四边形，OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3 cm ，∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8 cm ，面积为S ＝1×22＝22cm 2.把例3中的正方形O ′A ′B ′C ′换为如下列图的等腰直角三角形A ′B ′O ′，假如O ′B ′＝1，求原三角形ABO 的面积．[解]直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2.由直观图复原为平面图形的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段复原时长度不变，平行于y ′轴的线段复原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的24倍．[跟进训练]3．△ABC 是正三角形，且它的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D ．616a 2D [如图①，建立如下列图的平面直角坐标系xOy .如图②，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法知：A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，过C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于D ′，如此C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.]1．根据斜二测画法的规如此画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，如此∠x ′O ′y ′与∠x ′O ′z ′的度数分别为( )A ．90°，90°B ．45°，90°C ．135°，90°D ．45°或135°，90°D [根据斜二测画法的规如此，∠x ′O ′y ′的度数应为45°或135°，∠x ′O ′z ′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.]2．如下列图为某一平面图形的直观图，如此此平面图形可能是如下图中的( )A [由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直，应当选A.]3．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，可能是下面的( )C [正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，应当选C.]4．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，如此其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm 2.52[该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.]△ABC 的直观图如下列图，如此原△ABC 的面积为______．9 [由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何画水平放置的平面图形的直观图？[提示] 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2.用斜二测画法画直观图时应注意哪些问题？[提示] 用斜二测画法画直观图时要紧紧把握住“一斜〞、“二测〞两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半〞．。

第六章 4.2A组·素养自测一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1中,截面BA1C1与直线AC的位置关系是( A )A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误[解析]∵AC∥A1C1,又∵AC⊂/面BA1C1,∴AC∥面BA1C1．2．已知直线l、m,平面α、β,下列结论正确的是( D )A．l∥β,l⊂α⇒α∥βB．l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC．l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD．l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m＝M⇒α∥β[解析]如右图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误；取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC．又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误；直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确．3.如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB 的位置关系是( B )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能[解析]∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊂/平面ABC,∴A1B1∥平面ABC．又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC＝DE,∴DE∥A1B1．又AB∥A1B1,∴DE∥AB．4．如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是( C )A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对[解析]如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形,∴应选C．5．(多选)下列选项,正确的是( CD )A．若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βB．c为直线,α,β为平面,若c∥α,c∥β,则α∥βC．若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a、b无交点D．若a⊂α,α∥β,则a∥β[解析]AB中的α、β可能平行也可能相交；CD正确．6．如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC 于A′,B′,C′,若PA′AA′＝23,则△A′B′C′与△ABC面积的比为( D )A ．25B ．38C ．49D ．425[解析] ∵平面α∥平面ABC ,平面PAB ∩α＝A ′B ′,平面PAB ∩平面ABC ＝AB ,∴A ′B ′∥AB ．又∵PA ′AA ′＝23,∴A ′B ′AB ＝PA ′PA ＝2 5.同理B ′C ′BC ＝A ′C ′AC ＝2 5.∴△A ′B ′C ′与△ABC 相似,∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝425.二、填空题7．已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a ,在β内总存在直线b ∥a ,则α与β的位置关系是 平行 (填“平行”或“相交”)．[解析] 假若α∩β＝l ,则在平面α内,与l 相交的直线a ,设a ∩l ＝A ,对于β内的任意直线b ,若b 过点A ,则a 与b 相交,若b 不过点A ,则a 与b 异面,即β内不存在直线b ∥a .故α∥β.8.如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,过BB 1的中点E 作一个与平面ACB 1平行的平面交AB于M ,交BC 于N ,则MN AC ＝ 12.[解析] ∵平面MNE ∥平面ACB 1,由面面平行的性质定理可得EN ∥B 1C ,EM ∥B 1A ,又∵E 为BB 1的中点,∴M ,N 分别为BA ,BC 的中点,∴MN ＝12AC ,即MN AC ＝12.9.如图,a ∥α,A 是α的另一侧的点,B ,C ,D ∈a ,线段AB ,AC ,AD 分别交平面α于E ,F ,G ,若BD ＝4,CF ＝4,AF ＝5,则EG ＝ 209.[解析] ∵a ∥α,α∩平面ABD ＝EG ,∴a∥EG,即BD∥EG,∴EGBD＝AFAF＋FC,则EG＝AF·BDAF＋FC＝5×45＋4＝209.三、解答题10.如图所示,四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形,E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.[解析]因为F为CD的中点,H为PD的中点,所以FH∥PC,所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AF∥CE,所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH,AF⊂平面AFH,FH∩AF＝F,所以平面AFH∥平面PCE.B组·素养提升一、选择题1．a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,现给出六个结论．①a∥c,b∥c⇒a∥b；②a∥γ,b∥γ⇒a∥b；③α∥c,β∥c⇒α∥β；④α∥γ,β∥γ⇒α∥β；⑤α∥c,a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ,α∥γ⇒α∥a.其中正确的结论是( C )A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④[解析]①平行公理．②两直线同时平行于一平面,这两条直线可相交、平行或异面．③两平面同时平行于一直线,这两个平面相交或平行．④面面平行传递性．⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面或平行或直线在平面内．⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这条直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的面积为( B )A ．352B ．92C ．98D ．358[解析]如图,取AA 1的中点N ,连接MN ,NB ,MC 1,BC 1,由于截面被平行平面所截,所以截面为梯形,且MN ＝12BC 1＝2,MC 1＝BN ＝5,所以梯形的高为32, 所以梯形的面积为12(2＋22)×32＝92.3.已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′,点E ,F ,G ,H 分别是棱AD ,BB ′,B ′C ′,DD ′的中点,从中任取两点确定的直线中,与平面AB ′D ′平行的条数是( D )A ．0B ．2C ．4D ．6[解析] 连接EG ,EH ,EF ,FG ,GH ,∵EH ∥FG 且EH ＝FG ,∴四边形EFGH 为平行四边形,∴E ,F ,G ,H 四点共面．由EG ∥AB ′,EH ∥AD ′,EG ∩EH ＝E ,AB ′∩AD ′＝A ,EG ⊂平面EFGH ,EH ⊂平面EFGH ,AB ′⊂平面AB ′D ′,AD ′⊂平面AB ′D ′,可得平面EFGH ∥平面AB ′D ′.故平面EFGH 内的每条直线都符合条件．故选D ．4．(多选)如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,E ,F ,G ,H 分别为PA ,PD ,PC ,PB 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论,其中正确的是( ABC )A．平面EFGH∥平面ABCDB．BC∥平面PADC．AB∥平面PCDD．平面PAD∥平面PAB[解析]把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交．∵AB∥CD,∴AB∥平面PCD．同理平面BC∥PAD．故选ABC．二、填空题5．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足点M在FH上时,有MN∥平面B1BDD1．[解析]∵FH∥BB1,HN∥BD,FH∩HN＝H,∴平面FHN∥平面B1BDD1,又平面FHN∩平面EFGH＝FH,∴当M∈FH时,MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1．6．如图,四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形,PA＝PB＝AB＝2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝G,且PG＝λGD,则λ＝ 1 ,ED与AF相交于点H,则GH＝3.2[解析] 因为ABCD 是平行四边形, 所以AB ∥CD ,且AB ＝CD ．又E ,F 分别是AB ,CD 的中点,所以AE ＝FD , 又∠EAH ＝∠DFH ,∠AEH ＝∠FDH , 所以△AEH ≌△FDH ,所以EH ＝DH .因为平面AGF ∥平面PEC ,平面PED ∩平面AGF ＝GH ,平面PED ∩平面PEC ＝PE ,所以GH ∥PE ,则G 是PD 的中点,即PG ＝GD ,故λ＝1．因为PA ＝AB ＝PB ＝2,所以PE ＝3,GH ＝12PE ＝32. 三、解答题7．如图所示,P 为□ABCD 所在平面外一点,点M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论．[解析] (1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以BC ∥AD ．又因为AD ⊂平面PAD ,BC ⊂/平面PAD ,所以BC ∥平面PAD ．又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ,BC ⊂平面PBC ,所以BC ∥l .(2)MN ∥平面PAD ．证明如下：如图所示,取PD 的中点E ,连接NE 、AE ,所以NE ∥CD ,NE ＝12CD ．而CD 綊AB ,M 为AB 的中点,所以NE ∥AM ,NE ＝AM ,所以四边形MNEA 是平行四边形, 所以MN ∥AE .又AE ⊂平面PAD ,MN ⊂/平面PAD ,所以MN ∥平面PAD ．8.如图,在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,AB ＝2CD ,E ,E 1分别是棱AD ,AA 1上的点．设F 是棱AB 的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1．[证明]因为F为AB的中点,所以AB＝2AF 又因为AB＝2CD,所以CD＝AF,因为AB∥CD,所以CD∥AF,所以四边形AFCD为平行四边形,所以FC∥AD,又FC⊂/平面ADD1A1,AD⊂平面ADD1A1,所以FC∥平面ADD1A1,因为CC1∥DD1,CC1⊂/平面ADD1A1,DD1⊂平面ADD1A1,所以CC1∥平面ADD1A1,又FC∩CC1＝C,所以平面ADD1A1∥平面FCC1．又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1．。

第六章 6.2A 组·素养自测一、选择题1．(多选)关于直观图画法的说法中,正确的是( ACD )A ．原图中平行于x 轴的线段,其对应线段平行于x ′轴,其长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段,其对应线段平行于y ′轴,其长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时,∠x ′O ′y ′可等于45°D ．作直观图时,由于选轴的不同,所画直观图可能不同[解析] 由直观图的画法知平行于y 轴的线段其对应线段平行于y ′轴,长度为原来的一半．只有B 错误．2. 下列说法正确的是( D )A ．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B ．两条相交直线的直观图可能是平行直线C ．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形[解析] 选项A 错,水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B 错,两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C 错,互相垂直的两条直线的直观图夹角为45°或135°；选项D 正确．3．AB ＝2CD ,AB ∥x 轴,CD ∥y 轴,已知在直观图中,AB 的直观图是A ′B ′,CD 的直观图是C ′D ′,则( C )A ．A ′B ′＝2C ′D ′ B ．A ′B ′＝C ′D ′ C ．A ′B ′＝4C ′D ′D ．A ′B ′＝12C ′D ′[解析] ∵AB ∥x 轴,CD ∥y 轴,∴AB ＝A ′B ′,CD ＝2C ′D ′,∴A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′.4．如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图,其中O ′A ′＝6 cm,O ′C ′＝2 cm,则原图形是( C )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形[解析] 将直观图还原得到平行四边形OABC ,如图所示．由题意知O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 cm,OD ＝2O ′D ′＝4 2 cm,C ′D ′＝O ′C ′＝2 cm,∴CD ＝2 cm, OC ＝CD 2＋OD 2＝6 cm,又OA ＝O ′A ′＝6 cm ＝OC ,∴原图形为菱形．5．如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的形状是( A )[解析] 由斜二测画法可知,与y ′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A 正确．6.如图Rt △O ′A ′B ′是一个平面图形的直观图,若O ′B ′＝2,则这个平面图形的面积是( C )A ．1B ． 2C ．22D ．4 2[解析] 由直观图可知,原平面图形是Rt △OAB ,其中OA ⊥OB ,则OB ＝O ′B ′＝2,OA ＝2O ′A ′＝4,∴S △OAB ＝12OB ·OA ＝22,故选C ．二、填空题7．如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD 的形状为 正方形 .[解析] 因为∠D ′A ′B ′＝45°,由斜二测画法的规则知∠DAB ＝90°, 又因为四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形,且A ′B ′＝2B ′C ′,所以AB ＝BC ,所以原四边形ABCD 为正方形．8.如右图,水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′,已知A ′C ′＝6,B ′C ′＝4,则AB 边的实际长度是 10 .[解析] 由斜二测画法,可知△ABC 是直角三角形,且∠BCA ＝90°,AC ＝6,BC ＝4×2＝8,则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.9．如图,平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图,若O ′P ′＝3,O ′R ′＝1,则原四边形OPQR 的周长为 10 .[解析] 由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形,且OP ＝3,OR ＝2,所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.三、解答题10.如图所示,四边形ABCD 是一个梯形,CD ∥AB ,CD ＝AO ＝1,三角形AOD 为等腰直角三角形,O 为AB 的中点,试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中,AB ＝2,高OD ＝1,由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD 和下底AB 的长度都不变,在直观图中,O ′D ′＝12OD ,梯形的高D ′E ′＝24,于是梯形A ′B ′C ′D 的面积为12×(1＋2)×24＝328. B 组·素养提升一、选择题1．给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的个数是( C ) ①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由斜二测画法规则可知,直观图保持线段的平行性,∴④对,①对；而线段的长度,角的大小在直观图中都可能会发生改变,∴②③错．2．下图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的( C )[解析] 按斜二测画法规则,平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y 轴或在y 轴上的线段在新坐标系中变为原来的12,并注意到∠xOy ＝90°,∠x ′O ′y ′＝45°,将图形还原成原图形知选C ．3．已知正三角形ABC 的边长为2,那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为(D )A ．3B ．32 C ．62D ．64[解析] 根据题意,建立如图1所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出其直观图,如图2中△A ′B ′C ′所示．易知,A ′B ′＝AB ＝2,O ′C ′＝12OC ＝32.过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′,则C ′D ′＝22O ′C ′＝64.所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64. 4．(多选)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知B ′C ′＝4,A ′C ′＝3,B ′C ′∥y ′轴,则△ABC 中以下说法正确的是( ACD )A．△ABC是直角三角形B．AC长为6C．BC长为8D．AB边上的中线长为73 2[解析]由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三角形,其中AC＝3,BC＝8,所以AB＝73,AB边上的中线长度为732.故选ACD．二、填空题5.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是AC .[解析]画出原图形如图所示,△ABC为直角三角形,显然,AC边最长．6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是 8 cm,面积是 2 2 cm2.[解析]如图,OA＝1 cm,在Rt△OAB中OB＝2 2 cm,所以AB＝OA2＋OB2＝3(cm)．所以四边形OABC 的周长为8 cm.面积是2 2 cm 2. 三、解答题7．如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．[解析] (1)如图a 所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图a 中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在图b 中,在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝332 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ；再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图c 所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．8．已知水平放置的三角形ABC 是正三角形,其直观图的面积为64a 2,求△ABC 的周长． [解析] 图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形,设△ABC 的边长为x ,由斜二测画法知：A ′B ′＝AB ＝x ,O ′C ′＝12OC ＝34x ,作C ′D ′⊥A ′B ′,垂足为D ′,∵∠C ′O ′D ′＝45°, ∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x , ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2.∴616x2＝64a2,∴x＝2a,∴△ABC周长为3×2a＝6a.。

§5垂直关系5.1直线与平面垂直(15分钟30分）1。

下列说法正确的是（) A。

垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C。

垂直于同一个平面的两直线平行D。

垂直于同一条直线的一条直线和平面平行【解析】选C。

垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面,故A,B错误;由线面垂直的性质定理知C正确；D中这条直线可能在平面内,故D错误。

2。

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则有() A。

B1B⊥lB。

B1B∥lC.B1B与l异面D。

B1B与l相交【解析】选B。

因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B1B。

3.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF=2,CD=3，则CE=(）A.2 B。

3C。

D.【解析】选D。

因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF∥DE且AF=DE.因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF=2，所以DE=2。

又CD=3，所以CE===.4。

一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是 2 cm,3 cm,这条线段与平面α所成的角大小是________。

【解析】如图,作出AC⊥α，BD⊥α,则AC∥BD，AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于O,AB=10，AC=3,BD=2,则AO=6，BO=4，所以∠AOC=∠BOD=30°.答案：30°5。

如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.【解析】取BC的中点F，连接EF，DF。

则EF∥C1C，且EF=C1C=1.又因为C1C⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.所以∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角。

又因为DF==,所以tan∠EDF===。

北师大版（新课标）高中数学课本目录大全（必修）北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

第6章立体几何初步类型1 平面的根本性质与应用1．证明点共线问题的常用方法根本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据根本事实3证明这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上证明假如干线共点的根本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3．证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC ∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，直线A1C与平面BDEF的交点为R.(1)证明：B，D，E，F四点共面．(2)证明：P，Q，R三点共线．(3)证明：DE，BF，CC1三线共点．[证明](1)连接B1D1，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1綊BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即B，D，E，F四点共面．(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β，因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又因为Q∈EF，所以Q∈β.如此Q是α与β的公共点，同理，P点也是α和β的公共点，所以α∩β＝PQ.又因为A1C∩β＝R，所以R∈A1C.所以R∈α且R∈β.如此R∈PQ.故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD，且EF≠BD，所以DE与BF一定相交，设交点为M，因为BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DCC1D1，且平面BCC1B1∩平面DCC1D1＝CC1，所以M∈CC1，所以DE，BF，CC1三线共点．[跟进训练]1．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，如此如下结论正确的答案是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面A[连接A1C1，AC，如此A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，因为平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，所以M∈AO，所以A，M，O三点共线．]类型2 平行问题(1)证明线线平行的依据①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；②根本事实4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．(2)证明线面平行的依据①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质．(3)证明面面平行的依据①定义；②面面平行的判定定理；③垂直于同一直线的两平面平行；④面面平行的传递性．【例2】 如下列图，四边形ABCD 是平行四边形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝2MA .在线段PB 上是否存在一点F ，使平面AFC ∥平面PMD ？假如存在，请确定点F 的位置，并给出证明；假如不存在，请说明理由．[解]当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD ，证明如下：如图，连接AC 和BD 交于点O ，连接FO ，如此PF ＝12PB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点．∴OF ∥PD . 又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ， ∴OF ∥平面PMD .又MA ∥PB ，MA ＝12PB ，∴PF ∥MA ，PF ＝MA .∴四边形AFPM 是平行四边形． ∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD . ∴AF ∥平面PMD .又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC . ∴平面AFC ∥平面PMD . [跟进训练]2．m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，如此如下命题正确的有________．(写出所有正确命题的序号)①假如α⊥γ，β⊥γ，如此α∥β； ②假如m ∥n ，m ∥α，如此n ∥α；③假如α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，如此m ∥n ； ④假如m ⊥α，m ⊥n ，如此n ∥α.③[对于①，假如α⊥γ，β⊥γ，如此α与β的位置关系是垂直或平行，故①错误；对于②，假如m ∥n ，m ∥α，如此n 可能在α内或平行于α，故②错误；对于③，假如α∩β＝n ，m ∥α，m∥β，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断m∥n，故③正确；对于④，假如m ⊥α，m⊥n，如此n可能在α内或平行于α，故④错误．]类型3 垂直问题(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直如此需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的根本思想．【例3】如下列图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB＝∠ABP＝90°.(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求证：AB⊥PC.[证明](1)因为∠DAB＝90°，所以AD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面PAB.(2)由(1)知AD⊥AB，因为AD∥BC，所以BC⊥AB.又因为∠ABP＝90°，所以PB⊥AB.因为PB∩BC＝B，所以AB⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以AB⊥PC.在本例(1)中，假如点E 在棱PD 上，且CE ∥平面PAB ，求PEPD的值．[解]过E 作EF ∥AD 交PA 于F ，连接BF . 因为AD ∥BC ，所以EF ∥BC . 所以E ，F ，B ，C 四点共面． 又因为CE ∥平面PAB ，且CE ⊂平面BCEF ，平面BCEF ∩平面PAB ＝BF ， 所以CE ∥BF ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以EF ＝BC ＝12AD .在△PAD 中，因为EF ∥AD ， 所以PE PD ＝EFAD ＝12，即PEPD ＝12. 类型4 几何体的外表积和体积(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点〞、“接点〞作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(2)假如球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【例4】 三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．假如平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，如此球O 的外表积为________．36π[如图，连接AO ，OB ， ∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ， 设球O 的半径为R ，如此OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R .∴V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ，解得R ＝3，∴球O 的外表积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.][跟进训练]3．《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113B [圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝L 2h 12π，由题意得12π≈752，π近似取为258，应当选B.]类型5 简单的空间角问题根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；证明作出的角是异面直线所成的角；解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，如此它就是要求的角；如果求出的角是钝角，如此它的补角才是要求的角．【例5】 四棱锥P －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，如此异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．33D ．23C [设四棱锥P ­ABCD 的棱长为1，AC ∩BD ＝O ，如此O 是AC 与BD 的中点，连接OE (图略)，又E 是PB 的中点，所以由三角形中位线定理，得OE ∥PD ，OE ＝12PD ＝12，如此∠AEO或其补角是异面直线AE 与PD 所成的角．又△PAB 是等边三角形，所以AE ＝32AB ＝32.易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝22，在△OAE 中，由余弦定理，得cos ∠AEO ＝AE 2＋OE 2－OA 22AE ·OE ＝33，即异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为33.][跟进训练]4．如图，在圆锥PO 中，PO ⊥底面⊙O ，PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B －PA －C 的余弦值．[解](1)证明：连接OC .∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO .∵OA ＝OC ，D 是AC 的中点，∴AC ⊥OD . 又∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD . 又∵AC ⊂平面PAC ， ∴平面POD ⊥平面PAC .(2)在平面POD 内，过点O 作OH ⊥PD 于点H .由(1)知，平面POD ⊥平面PAC ，又平面POD ∩平面PAC ＝PD ，∴OH ⊥平面PAC . 又∵PA ⊂平面PAC ， ∴PA ⊥OH .在平面PAO 中，过点O 作OG ⊥PA 于点G ，连接HG ， 如此有PA ⊥平面OGH ， ∴PA ⊥HG .故∠OGH 为二面角B －PA －C 的平面角． ∵C 是AB ︵的中点，AB 是直径， ∴OC ⊥AB .在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin 45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PD＝PO ·ODPO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105.在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PA＝PO ·OAPO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG＝10563＝155.∴cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105.故二面角B ­PA ­C 的余弦值为105.1．(2020·某某卷)假如棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，如此该球的外表积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π C [设外接球的半径为R ，易知2R ＝3×23＝6，所以R ＝3，于是外表积S ＝4πR 2＝36π，应当选C.]2．(2020·全国Ⅰ卷)埃与胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，如此其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12C [由题意知，可将金字塔看成如下列图的正四棱锥S ­ABCD ，其中M 为AD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，连接SM ，SO ，OM ，如此SO ⊥底面ABCD ，SM ⊥AD ，OM ⊥AD ，即正四棱锥S ­ABCD的高为SO ，侧面△SAD 的高为SM .设底面正方形ABCD 的边长为a ，SM ＝h ，如此OM ＝a2，正四棱锥S ­ABCD 的一个侧面三角形的面积为12ah ，在Rt △SOM 中，SO 2＝SM 2－OM 2＝h 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝h 2－a 24，以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积为SO 2＝h 2－a 24，故12ah ＝h 2－a 24，化简、整理得4h 2－2ah －a 2＝0，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫h a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫h a －1＝0，令h a ＝t ，如此4t 2－2t －1＝0，因为t >0，所以t ＝1＋54，即h a ＝1＋54，所以其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为5＋14，应当选C.] 3．(2020·全国Ⅰ卷)A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．假如⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，如此球O 的外表积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32πA [如下列图，设球O 的半径为R ，⊙O 1的半径为r ，因为⊙O 1的面积为4π，所以4π＝πr 2，解得r ＝2，又AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，所以AB sin 60°＝2r ，解得AB ＝23，故OO 1＝23，所以R 2＝OO 21＋r 2＝(23)2＋22＝16，所以球O 的外表积S ＝4πR 2＝64π.应当选A.]4．(2020·某某卷)圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图为半圆，如此这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．1[法一：设该圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl 2＝2π，解得l ＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R ，如此2πR ＝2π，解得R ＝1.法二：设该圆锥的底面半径为R ，如此该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR ，因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r ，如此πr ＝2πR ，即r ＝2R ，所以侧面展开图的面积为12·2R ·2πR ＝2πR 2＝2π，解得R ＝1.] 5．(2020·某某卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，如此此六角螺帽毛坯的体积是__________cm 3. 123－π2[正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＝π2 所求几何体体积为(123－π2)cm 3，故答案为：123－π2.] 6．(2020·全国Ⅲ卷)圆锥的底面半径为1，母线长为3，如此该圆锥内半径最大的球的体积为________．23π[易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE 与其内切球O 如下列图，设内切球的半径为R ，如此sin ∠BPE ＝ROP ＝BE PB ＝13，所以OP ＝3R ，所以PE ＝4R ＝PB 2－BE 2＝32－12＝22，所以R ＝22，所以内切球的体积V ＝43πR 3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为23π.]。

第六章 5.1A 组·素养自测一、选择题1．下列说法中,正确的是( B ) A ．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B ．垂直于同一平面的两条直线互相平行 C ．垂直于同一平面的两个平面互相平行 D ．平行于同一平面的两条直线互相平行[解析] A 中两直线可相交、异面、平行,故A 错；B 中l ⊥α,m ⊥α则l ∥m ,正确；C 中两平面可平行、相交,故C 错；D 中两直线可平行、相交、异面,故D 错．2．直线a 与直线b 垂直,b 平行于平面α,则a 与α的位置关系是( D ) A ．a ⊥α B ．a ∥α C ．a ⊂α或a ∥αD ．不确定[解析] 当b ∥α时,可存在直线a ⊂α,a ⊥α,a ∥α,故关系不确定．3．如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,则图中共有直角三角形的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵PA ⊥平面ABCD , ∴PA ⊥AB ,PA ⊥AD ,PA ⊥BC ,PA ⊥CD ．⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BCPA ⊥BC PA ∩AB ＝A ⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB 由⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AD CD ⊥PA PA ∩AD ＝A ⇒CD ⊥平面PAD ⇒CD ⊥PD ． ∴△PAB ,△PAD ,△PBC ,△PCD 都是直角三角形．4．如图,三条相交于点P 的线段PA ,PB ,PC 两两垂直,P 在平面ABC 外,PH ⊥平面ABC 于H ,则垂足H 是△ABC 的( C )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心[解析] ∵PC ⊥PA ,PC ⊥PB ,PA ∩PB ＝P ,∴PC ⊥平面PAB ．又∵AB ⊂平面PAB ,∴AB ⊥PC ．又∵AB ⊥PH ,PH ∩PC ＝P ,∴AB ⊥平面PCH . 又∵CH ⊂平面PCH ,∴AB ⊥CH .同理BC ⊥AH ,AC ⊥BH .∴H 为△ABC 的垂心．5.如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝2,AA 1＝1,则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( D )A ．223B ．23C ．24D ．13[解析] ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,∴∠AC 1A 1为直线AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角, ∵AA 1＝1,AB ＝BC ＝2,∴AC 1＝3, ∴sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 6．(多选)如图,在三棱锥P －ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,PA ＝AB ,D 为PB 的中点,则下列结论正确的有( ABC )A ．BC ⊥平面PAB B ．AD ⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC[解析]∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB＝A,∴BC⊥平面PAB,故A正确；由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,又PA＝AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB,又PB∩BC＝B,PB,BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC,∴AD⊥PC,故B正确；由AD⊥平面PBC,∴C正确．由题意知PB与AC不垂直,所以PB与平面ADC不垂直,D错误．二、填空题7.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数有 4 个．[解析]∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC．∴△PAB、△PAC为直角三角形．∵BC⊥AC,PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥AC,BC⊥PC．∴△ABC、△PBC为直角三角形．8.如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为55 .[解析]如图,连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中,BF＝1,BE＝5,则tan ∠FEB＝55.9．如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF＝DE,AD＝6,则EF＝ 6 .[解析]∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.又AF＝DE,∴四边形AFED为平行四边形,故EF＝AD＝6.三、解答题10.如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC＝90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[解析](1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°,∴AB⊥BC．又AB∩PA＝A,∴BC⊥平面PAB．(2)∵BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,∴BC⊥AE.∵PB⊥AE,BC∩PB＝B,∴AE⊥平面PBC．(3)∵AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,∴AE⊥PC．∵AF⊥PC,AE∩AF＝A,∴PC⊥平面AEF.B组·素养提升一、选择题1．(多选)如图,六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论正确的是( BCD )A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF[解析]∵六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形,∴AF∥CD,由线面平行的判定定理,可得CD∥平面PAF,故D正确；∵DF⊥AF,DF⊥PA,又AF∩PA＝A,∴DF⊥平面PAF,故B正确；由正六边形的性质可知,CF∥AB,由线面平行的判定定理,可得CF∥平面PAB,故C正确；∵CF与AD不垂直,∴CF⊥平面PAD不正确．故选BCD．2. (2021·安徽蚌埠高二检测)如图所示,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是( A )A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BD[解析]若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD,又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A不正确．因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD,同理可证PB⊥BC．因为PA⊥矩形ABCD,所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD．3．如图,设平面α∩平面β＝PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是( B )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH[解析]因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.故选B．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( C )A．8 B．6 2C．8 2 D．8 3[解析]在长方体ABCD－A1B1C1D1中,连接BC1,根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°,因为AB＝2,所以BC1＝23,从而求得CC1＝22,所以该长方体的体积为V＝2×2×22＝82,故选C．二、填空题5．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心 .(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)[解析]P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心．6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为 45° .[解析]如图,设C在平面α内的射影为O点,连接AO,MO,则∠CAO＝30°,∠CMO就是CM与α所成的角．设AC ＝BC ＝1,则AB ＝2, ∴CM ＝22,CO ＝12. ∴sin ∠CMO ＝COCM ＝22, ∴∠CMO ＝45°. 三、解答题7．如图所示,在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱BC 的中点,点F 是棱CD 上的动点．试确定点F 的位置,使得D 1E ⊥平面AB 1F .[解析] 当F 为CD 的中点时,D 1E ⊥平面AB 1F . 连接A 1B 、CD 1,则A 1B ⊥AB 1,A 1D 1⊥AB 1,又A 1D 1∩A 1B ＝A 1,∴AB 1⊥面A 1BCD 1, 又D 1E ⊂面A 1BCD 1,∴AB 1⊥D 1E . 又DD 1⊥平面BD , ∴AF ⊥DD 1．又AF ⊥DE ,∴AF ⊥平面D 1DE , ∴AF ⊥D 1E .∴D 1E ⊥平面AB 1F .即当点F 是CD 的中点时,D 1E ⊥平面AB 1F .8.如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2,PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点,求三棱锥P －BCE 的体积．[解析] (1)证明：连接AC 交BD 于点O ,连接PO .∵底面ABCD 是菱形, ∴BD ⊥AC ,BO ＝DO . 又∵PB ＝PD ,∴PO ⊥BD ．∵AC ∩PO ＝O ,AC ⊂平面PAC ,PO ⊂平面PAC ,∴BD ⊥平面PAC , 又PC ⊂平面PAC ,∴BD ⊥PC ．(2)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD ＝60°, ∴BO ＝12AB ＝1．又∵PD ＝PB ＝2,∴PO ＝ 3.∵AO ＝12AC ＝3,PA ＝6,∴PA 2＝PO 2＋AO 2,∴△PAO 是等腰直角三角形,且∠POA ＝90°.又∵E 是PA 的中点,∴S △PEC ＝12S △PAC ＝12·12AC ·PO ＝12×12×23×3＝32,∴V P －BEC ＝V B －PEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.。