高考数学总复习第七章立体几何39空间几何体的表面积和体积课时作业

第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第七章立体几何初步课时分层作业四十7.2 空间几何体的表面积与体积文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第七章立体几何初步课时分层作业四十7.2 空间几何体的表面积与体积文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第七章立体几何初步课时分层作业四十7.2 空间几何体的表面积与体积文的全部内容。

课时分层作业四十空间几何体的表面积与体积一、选择题(每小题5分,共35分)1。

某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为1个单位）,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A。

B。

C.D。

【解析】选B。

由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为3,底面圆的半径为2，所以几何体的体积V=××π×22×3=。

2.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切)，则这个几何体的表面积是 ( )A。

18 B.36 C.45D。

54【解析】选D。

由三视图知，几何体为正三棱柱。

因为俯视图是边长为6的正三角形，所以几何体的内切球的半径R=6××=，所以三棱柱的侧棱长为2。

所以几何体的表面积S=2××6×6×+3×6×2=54。

3.已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为( ）A。

2021年高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.2.(xx·重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.+πB.+πC.+2πD.+2π【解析】选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知,三棱锥的体积为V1=××1×2×1=,半个圆柱的体积为V2=×π×12×2=π,所以几何体的体积为+π.3.(xx·郑州模拟)已知体积为的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则此三棱柱的高为( )A. B. C.1 D.【解析】选 C.由三视图可知正三棱柱的底面边长为2,设正三棱柱的高为h,正三棱柱的体积为×2×·h=,解得h=1.4.(xx·邯郸模拟)某几何体的三视图如图所示,若其正视图为等腰梯形,侧视图为正三角形,则该几何体的表面积为( )A.2+2B.6C.4+2D.8【解析】选B.根据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行底面,且EF=1.过点E作EM⊥AB,垂足为M,则AM=,所以EM=1,DE=AE==.所以S梯形ABFE=×(1+2)×1==S梯形CDEF,S△ADE=S△BCF=×1×=×1×1=,S矩形ABCD=2×1=2;所以该几何体表面积S表面积=2+2×+2×=6.【加固训练】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是( )A.18B.36C.45D.54【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径R=6××=,所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积S=2××6×6×+3×6×2=54.5.(xx·浏阳模拟)一几何体的三视图如图所示,若正视图和侧视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选B.由三视图知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,所以四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,所以外接球的直径为,所以外接球的表面积为S=4π=3π.【加固训练】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为( )A.πB.πC.3πD.12π【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=,又AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2,故SC==,即球O的半径为,所以球O的表面积为S=4π×=3π.6.(xx·泉州模拟)一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题干图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为4××1×1=2,由三视图知其中一条侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形.由于此侧棱长为,对角线长为2,故棱锥的高为=3,所以此棱锥的体积为×2×3=2.【加固训练】(xx·开封模拟)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解析】选B.由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为4,3,4的三棱锥的多面体,所以其体积为V=6×3×6-××4×3×4=100(cm3).7.(xx·成都模拟)某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的四边形都是边长为2的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )A. B.6 C.4 D.【解析】选A.由三视图知,该几何体是一个棱长为2的正方体,挖去一个以该正方体的中心为顶点,以该正方体的上底面为底面的四棱锥后得到的几何体,所以该几何体的体积V=23-×22×1=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx·石家庄模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2π×1×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.答案:389.(xx·四川高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.【解析】由三视图易知几何体ABC-A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱,则又S△PMN=MN·NP=××1=,点A到平面PMN的距离h=,所以=V A-PMN=S△PMN·h=××=.答案:10.(xx·浏阳模拟)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,则其正视图的面积为,三棱锥D-BCE的体积为.【解析】由题意可知,正视图为直角三角形,直角边长为2,4,故正视图的面积为×2×4=4;四棱锥B-ACDE中,AE⊥平面ABC,所以AE⊥AB,又AB⊥AC,且AE和AC相交,所以AB⊥平面ACDE,又AC=AB=AE=2,CD=4,由四棱锥B-ACDE的体积V=××2=4,又三棱锥E-ACB的体积为××2×2×2=,所以三棱锥D-BCE的体积为4-=.答案:4(20分钟40分)1.(5分)(xx·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B.3π C. D.6π【解析】选B.由三视图可知,此几何体(如图所示)是底面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的,所以V=×π×12×4=3π.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选B.由三视图可知,此几何体是底面半径为1,高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的,直观图如图(1)所示,我们可用大小与形状完全相同的几何体补成一个半径为1,高为6的圆柱,如图(2)所示,则所求几何体的体积为V=×π×12×6=3π.2.(5分)(xx·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.21+B.18+C.21D.18【解析】选 A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其侧面面积的和为3,三棱锥的底面是边长为的正三角形,其表面积的和为,故所求几何体的表面积为24-3+=21+.3.(5分)(xx·肇庆模拟)有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为3π,已知球的半径R=2,则此圆锥的体积为.【解析】由πr2=3π得圆锥的底面半径为r=,如图,设OO1=x,则x===1,圆锥的高h=R+x=3或h=R-x=1.所以,圆锥的体积为V=Sh=×3π×3=3π或V=Sh=×3π×1=π.答案:3π或π【加固训练】(xx·佛山模拟)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为( )A.πB.8πC. D.【解题提示】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.【解析】选C.根据题意知,△ABC是一个等边三角形,其面积为,外接圆的半径为1.小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积取最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,所以,DQ与平面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ=,所以DQ=4,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(4-R)2,所以R=,则这个球的表面积为S=4π=.4.(12分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积.(2)如果点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.【解析】(1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=(2πa)·(a)=πa2,S圆柱侧=(2πa)·(2a)=4πa2,S圆柱底=πa2,所以S表面=πa2+4πa2+πa2=(+5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ===a,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.5.(13分)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.【解析】如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,且DD′是等腰梯形BCC′B′的高,又因为B′C′=20cm,BC=30cm,所以S侧=3××(20+30)×DD′=75DD′.S上+S下=×(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325,所以DD′=cm,又因为O′D′=×20=(cm),OD=×30=5(cm),所以棱台的高h=O′O===4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=×=1900(cm3).即棱台的体积为1900cm3.。

空间几何体的结构及其表面积、体积1．下列说法中正确的是()A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．163πB．323πC．16πD．24π3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A．1＋ 2 B．1＋2 2C．2＋ 2 D．2＋2 24．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．32 B．32πC．16πD．8π5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB 的中点，则三棱锥B1-BFE的体积为()A.13B．14C.112D．166．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB．(1＋2)πC．22πD．(2＋2)π7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A． 3 B．3 2C．1 D．3 28.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为()A．23B．33C．43D．329.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．10．(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．11．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm3的球挖去一个三棱锥P-ABC后得到的几何体，其中P A⊥AB，BC⊥平面P AB，BC＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________．能力提高1．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B．36C.23D．222．(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为4 3D．球O的内接正四面体的棱长为2空间几何体的结构及其表面积、体积1．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案] D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163π B ．323π C ．16πD ．24πB [设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝16π，解得R ＝2，则球的体积V ＝43πR 3＝323π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1＋ 2B ．1＋2 2C ．2＋ 2D ．2＋2 2C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×12×1×1＋2×12×2×1＝2＋2，故选C.]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]5.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥B 1-BFE 的体积为( )A.13 B ．14 C.112D ．16C [由等体积法可知V B 1-BFE ＝V E -BFB 1＝13S △BB 1F ·AD ＝16×1×12×1＝112.故选C.] 6．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )A.2π B ．(1＋2)π C ．22πD ．(2＋2)πAB [若以直角边所在直线为旋转轴，得到一个底面半径为1、高为1的圆锥，其表面积为π×1＋π×1×2＝(1＋2)π；若以斜边所在直线为旋转轴，得到两个底面半径为22、高为22的圆锥所形成的组合体，其表面积为2×π×22×1＝2π.故选AB.]7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A ． 3B ．32 C ．1D ．32C [由等边三角形ABC 的面积为934，得34×AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝ 3.设球的半径为R ，则由球的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C.]8.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A ．23B ．33C ．43D ．32A [(分割法)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12， AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E -ADG ＋V 三棱锥F -BCH ＋V 三棱柱AGD -BHC ＝2V 三棱锥E -ADG ＋V 三棱柱AGD -BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.]9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．2＋22 [如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .图①图②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝2 2.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝22＋1.由此可还原原图形如图②.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝2 2＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝12(A′D′＋B′C′)×A′B′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.]10．(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．61π[截面图如图所示，底面半径为5，圆周直径为10，则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝π2，则圆台的高为3，V＝13h(S1＋S1S2＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.]11．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm3的球挖去一个三棱锥P-ABC后得到的几何体，其中P A⊥AB，BC⊥平面P AB，BC＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.3[设球的半径为R，由球的体积4π3R3＝17176π，解得R＝172cm.因为BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥P A.因为P A⊥AB，AB∩BC＝B，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AC.由BC⊥AB可知，AC为截面圆的直径，故可设AC＝x cm(1＜x＜17)，取PC 的中点O ，连接OA ，OB (图略)，则PO ＝OC ＝OA ＝OB ，故O 为球心，所以PC ＝17cm.在Rt △P AC 中，P A ＝17－x 2 cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝x 2－1 cm ， 所以V P -ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×x 2－1×1×17－x 2＝16(x 2－1)(17－x 2)≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋17－x 222＝43(cm 3)，当且仅当x 2－1＝17－x 2，即x ＝3时，等号成立． 所以当用料最省时，AC ＝3 cm.]12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB 为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A 出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B 点后再沿侧面回到A 点，则该质点运动路径的最短长度为________．22π36 [该圆锥的高h ＝32－1＝2 2. 所以该圆锥的体积V ＝13×π×12×22＝223π. 将圆锥侧面沿母线SA 展开，如图所示．因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA ′＝2π3. 由题意知点B 是侧面展开后得到的扇形中弧AA ′的中点， 连接AB ，A ′B ，SB ，则∠ASB ＝π3，可得AB ＝A ′B ＝AS ＝3. 所以该质点运动路径的最短长度为AB ＋A ′B ＝6.]能力提高1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22A [由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍． 在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26.]2．(多选)已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，AB ＝BC ＝CA ＝2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( )A ．球O 的表面积为6πB ．球O 的内接正方体的棱长为1C ．球O 的外切正方体的棱长为43 D ．球O 的内接正四面体的棱长为2AD [设球O 的半径为r ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，半径为R .易得R ＝233.因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以r 2－19r 2＝43，得r 2＝32.所以球O 的表面积S ＝4πr 2＝4π×32＝6π，选项A 正确；球O 的内接正方体的棱长a 满足3a ＝2r ，显然选项B 不正确；球O 的外切正方体的棱长b 满足b ＝2r ，显然选项C 不正确；球O 的内接正四面体的棱长c 满足c ＝263r ＝263×62＝2，选项D 正确．故选AD.]。

高考数学总复习第七章立体几何课时作业40空间几何体的表面积与体积文（含解析）新人教A 版课时作业40 空间几何体的表面积与体积1．(2019·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.2．(2019·福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( C )A ．64－32π3B ．64－8πC ．64－16π3D ．64－8π3解析：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－14⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×4×4＋π×4×4＝64－16π3.故选C ． 3．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( C )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：∵S △OAB 是定值，且V O -ABC ＝V C -OAB ， ∴当OC ⊥平面OAB 时，V C -OAB 最大， 即V O -ABC 最大．设球O 的半径为R ，则 (V O -ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π.4．(2019·河南濮阳一模)已知三棱锥A -BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角，则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( D )A ．10π3B ．5πC ．6πD ．20π3解析：取BD 中点M ，连接AM ，CM ，取△ABD ，△CBD 的中心即AM ，CM 的三等分点P ，Q ，过P 作平面ABD 的垂线，过Q 作平面CBD 的垂线，两垂线相交于点O ，则点O 为外接球的球心，其中OQ ＝33，CQ ＝233， 连接OC ，则外接球的半径R ＝OC ＝153，表面积为4πR 2＝20π3，故选D ．5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF -BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝( B )A ．14 B．13 C ．12D ．15解析：由三视图可知多面体ADF -BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为A ．∵M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，∴点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，距离为a ， ∴V 1＝V E -FMC ＝V M -EFC ＝13·12a ·a ·a ＝a 36，又V 2＝12a ·a ·a ＝a 32，故V 1V 2＝a 36a 32＝13.6．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( A )A ．89πB ．169πC ．42－13πD ．122－13π解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a ，长方体的高为h ，则0＜a ＜2，0＜h ＜2.于是h2＝1－22a1，h ＝2－2A ．令f (a )＝V 长方体＝a 2h ＝2a 2－2a 3， ∴f ′(a )＝4a －32a 2， 当f ′(a )＝0时，a ＝223.易知f (a )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫223＝1627. ∴材料利用率＝1627π3×12×2＝89π，故选A ．7．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V ＝12×32×π×14＝63π，故选B ．8．已知三棱锥O -ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O -ABC 的体积为( B )A ．32B ．233C ．23D ．13解析：设球O 的半径为R ，因为S △AOC ＋S △BOC ＝12R 2(sin ∠AOC ＋sin ∠BOC )，所以当∠AOC ＝∠BOC ＝90°时，S △AOC ＋S △BOC 取得最大值，此时OA ⊥OC ． OB ⊥OC ，OB ∩OA ＝O ，OA ，OB ⊂平面AOB ，所以OC ⊥平面AOB ， 所以V 三棱锥O -ABC ＝V 三棱锥C -OAB ＝13OC ·12OA ·OB sin ∠AOB ＝16R 3sin ∠AOB ＝233，故选B ． 9．某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为34＋π3.解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V ＝13×12×(2＋1)×32×1＋14×43π×13＝34＋π3.10．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为8π.解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为母线SA 与底面所成的角为30°， 所以l ＝233r .由△SAB 的面积为8得12l 2＝8，即12×43r 2＝8，所以r 2＝12，h ＝33r ＝2. 所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×12×2＝8π.11．(2019·江西南昌二中模拟)在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ＝3，SB ＝23，二面角S -AB -C 的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为21π.解析：根据题意得SA 2＋AB 2＝SB 2， 即SA ⊥AB ．取AB 的中点为D ，SB 的中点为M ，连接CD 、MD ，得∠CDM 为二面角S -AB -C 的平面角，∴∠MDC ＝120°.如图，设三角形ABC 的外心为O 1， 则O 1在CD 上，连接BO 1， 则CO 1＝3＝BO 1，DO 1＝32. 设外接球半径为R ，易知球心为过M 垂直面ABS 的垂线与过O 1垂直面ABC 的垂线的交点O . 在四边形MDO 1O 中，∵二面角S -AB -C 的平面角∠MDC ＝120°， 且MO ⊥MD ，O 1O ⊥DO 1，MD ＝O 1D ＝32， ∴∠ODO 1＝60°，OO 1＝O 1D tan60°＝32，连接OB ，∴R 2＝OB 2＝OO 21＋O 1B 2＝94＋3＝214，∴球的表面积S ＝4πR 2＝21π.12．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：在平面ABCD 内， 因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°， 所以BC ∥AD ．又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 故BC ∥平面PAD ．(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD ．因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ．因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ， 则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,．（1）证明: // 平面;（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，，，所以得到四边形为平行四边形，所以，利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法，得到三棱柱的体积.试题解析：（1）设线段的中点为，∵BD和是的对应棱，∴，同理，∵AO和是棱柱的对应线段，∴，且，且四边形为平行四边形且，面面.（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高，在正方形ABCD中，，在中，，，所以，.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．【答案】.【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=．【考点】１．球的体积；２．球内接多面体．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【解析】(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵面ACE，面ACE，∴BF∥平面ACE；(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；(3)解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴题型BDEF的面积为，由(1)知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF ＝2VA－BDEF＝2×S BDEF·AO＝．【考点】空间直线与平面位置关系，几何体的体积4.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.棱长为的正四面体的外接球半径为．【答案】【解析】记正四面体棱长为，外接球半径为，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得，因此中本题中.【考点】正四面体（正棱锥的性质）.7.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算8.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以. （1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】（1）见解析（2）M为线段PB的中点时（3）不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．4πC．2πD．π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π．12.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。

第2讲 空间几何体的表面积与体积组 基础关1．如图，△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为( )A ．90B ．92C ．96D ．88 答案 C解析 解法一：如图1，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，所以所求几何体的体积V ＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72，四棱锥D －MNEF 的体积为V 2＝13S梯形MNEF ·DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96. 解法二：把原几何体补成一个直三棱柱，如图2，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，故所求几何体的体积V ＝12V 三棱柱＝12·S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为( )A.12B. 2C.32 D ．2 答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r ，又圆锥的表面积为π，∴πr (r ＋3r )＝π，解得r ＝12，母线长l ＝32，故圆锥的高h ＝l 2－r 2＝ 2.3．(2019·安徽皖中入学摸底考试)将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 答案 A解析 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π3×3，∴r ＝1，h ＝32－1＝22，设内切球的半径为R ，则R 22－R ＝13，∴R ＝22，V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫223＝2π3，故选A.4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积( )A ．由E 点的位置而定B ．由F 点的位置而定C ．由E ，F 点共同确定D ．为定值 答案 D解析 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值，所以体积为定值．5．(2019·河南信阳期中联考)我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，若AA 1＝AB ＝1，当“阳马”(四棱锥B －A 1ACC 1)体积最大时，“堑堵”(三棱柱ABC －A 1B 1C 1)的表面积为( )A.2＋1B.3＋1C.22＋32D.3＋32答案 C解析 设AC ＝x (x >0)，根据题意，BC ＝1－x 2，则四棱锥B －A 1ACC 1的体积V ＝13x 1－x 2，令t ＝x 2(1－x 2)，t ′＝2x －4x 3＝0，x ＝22，故x ＝22时，四棱锥B －A 1ACC 1体积最大，故此时三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积S ＝x ＋1－x 2＋1＋2×12×x 1－x 2＝22＋22＋1＋12＝22＋32.故选C. 6．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．答案 144π解析 设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°， ∴S △AOB ＝12R 2.∵V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 面积为定值， ∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O －ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，V O －ABC 最大，为13×12R 2·R ＝36，∴R＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π·62＝144π.7．如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，该几何体的体积为________，截面ABC 的面积为________．答案 6 6解析 过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°则V ＝V A 1B 1C 1－A 2B 2C ＋V C －ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝5，AC ＝23，则S △ABC ＝ 6.8．(2020·驻马店摸底)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，三棱锥O －ABD 的体积为V 1，四棱锥O －ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．答案12解析 因为O 为BD 1的中点，所以V O －ABD ＝V A －OBD ＝V A －ODD 1， 又因为四边形ADD 1A 1是平行四边形， 所以V A －ODD 1＝V O －ADD 1＝12V O －ADD 1A 1，所以V O －ABD ＝12V O －ADD 1A 1，即V 1＝12V 2，所以V 1V 2＝12.9．我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biē nào)．若三棱锥P －ABC 为鳖臑，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，且该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．答案83解析 根据题意，三棱锥P －ABC 为鳖臑，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，如图所示，可得∠P AB ＝∠P AC ＝∠ABC ＝∠PBC ＝90°.易知PC 为外接球的直径，设外接球的半径为R .又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则R 2＝24π4π＝6，则BC ＝(26)2－(22)2＝4，则该鳖臑的体积为13×12×2×4×2＝83.10．(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．答案 334π81解析 该三棱锥侧面的斜高为⎝⎛⎭⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81.组 能力关1．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π 答案 D解析 设P A ＝PB ＝PC ＝2a ，则 EF ＝a ，FC ＝3，∴EC 2＝3－a 2.在△PEC 中，cos ∠PEC ＝a 2＋3－a 2－(2a )22a 3－a 2.在△AEC 中，cos ∠AEC ＝a 2＋3－a 2－42a 3－a 2. ∵∠PEC 与∠AEC 互补，∴3－4a 2＝1，∴a ＝22， 故P A ＝PB ＝PC ＝ 2.又AB ＝BC ＝AC ＝2， ∴P A ⊥PB ⊥PC ， ∴外接球的直径2R ＝ (2)2＋(2)2＋(2)2＝6，∴R ＝62，∴V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫623＝6π.故选D. 2．(2019·河北省五校联考)如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为( )A.2π3B.(3－1)π3C.(5－23)π3D.(5－3)π3答案 C解析 小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球．小球运动到左侧与圆锥相切时，其轴截面如图所示．由题意，知∠OAB ＝30°，OB ＝1，则OA ＝2.∴AC ＝1.∵AD ＝2，∴AN ＝AD ·cos30°＝ 3.∴CN ＝AN －AC ＝ 3 －1.∴小球滚动形成的圆柱的高h ＝10＋3－1－2＝7＋ 3.∴小球滚动形成的几何体的体积V ＝π×12×(7＋3)＋43π×13＝(25＋33)π3，∵V容器＝π×12×10＋13×π×12×3＝(30＋3)π3，∴V 空＝V 容器－V ＝(5－23)π3.故选C.3．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C ：y ＝x 2，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T .给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 A解析 ∵几何体T 是由阴影旋转得到的，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为x 1，切线对应的横坐标为x 2.f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2， 切线为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， ∴x 21＝y ，x 2＝y ＋12.横截面面积S ＝πx 22－πx 21＝π⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y ＋1)24－y ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122.图①中的圆锥高为1，底面半径为12，可以看成由直线y ＝2x ＋1绕y 轴旋转得到的，横截面的面积为S ＝πx 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫y －122.所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A.4．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，则正三棱柱的底面边长为________，这个三棱柱的表面积为________.答案 23 18 3解析 由已知得4πR 33＝4π3，所以R ＝1，所以三棱柱的高h ＝2R ＝2.设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径r ＝13×32a ＝1，解得a ＝23，所以该三棱柱的表面积为3a ·2R ＋2×34a 2＝18 3. 5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．答案 402π解析 因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 所成角的正弦值为158，因为△SAB 的面积为515，设母线长为l ，所以12×l 2×158＝515，所以l 2＝80，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面圆的半径为l cos π4＝22l ，因此，圆锥的侧面积为πrl ＝22πl 2＝402π.6．如图所示，等腰三角形ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P －ACFE 的体积，求V (x )的最大值．解 因为PE ⊥EF ，PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ，所以PE ⊥平面ABC .因为CD ⊥AB ，FE ⊥AB ，所以EF ∥CD ， 所以EF CD ＝BE BD ，即EF 3＝x 36，所以EF ＝x 6， 所以S △ABC ＝12×66×3＝96，S △BEF ＝12·x ·x 6＝612x 2，所以V (x )＝13⎝⎛⎭⎫96－612x 2x ＝63x ⎝⎛⎭⎫9－112x 2(0<x <36)． 因为V ′(x )＝63⎝⎛⎭⎫9－14x 2， 所以当x ∈(0,6)时，V ′(x )>0，V (x )单调递增； 当6<x <36时，V ′(x )<0，V (x )单调递减， 因此当x ＝6时，V (x )取得最大值12 6.。

课时作业39 空间几何体的结构及其三视图和直观图[基础达标]、选择题．下列命题中，正确的是()．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．侧面都是矩形的四棱柱是长方体．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．[2021·湖北孝感模拟]如图，网格纸上的小方格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是()．[2021·河南郑州质量检测]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．[2021·东北四市联考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图为()．如图，矩形O′A′B′C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()．正方形．矩形．菱形．一般的平行四边形．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()．1B．2．3D．4．[2021·山西省八校联考]将正方体(如图1)截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为()．[2021·河北模拟]某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()．3∈A B．5∈A．26∈A D．43∈A．[2021·河南百校联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()．23B．3.6D. 50．[2021·江西南昌模拟]如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为()．1：1B．2：1．2：3D．3：2、填空题1．下列说法正确的有________个．1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．2)正棱锥的侧面是等边三角形．3)底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧视图的面积是________．3．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．4．[2021·洛阳高三统考]在半径为4的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝4，则平面BCD被球所截得图形的面积为________．[能力挑战]5．[2021·惠州调研]某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为()．32．327．64．6476．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中()．最长的是AB，最短的是AC．最长的是AC，最短的是AB．最长的是AB，最短的是AD．最长的是AC，最短的是AD7．[2021·广州毕业班测试]在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为________．课时作业39．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．案：D．解析：由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，且与长方形的长相交的某一侧面垂直于底面，所以正视图为A.案：A．解析：若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C.案：C．解析：图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P－A1B1A，B(C)点消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.案：D.析：如图，在原图形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，D＝C′D′＝2 cm，以OC＝OD2＋CD2(42)2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，四边形OABC是菱形，因此选C.案：C．解析：由三视图得四棱锥的直观图如图所示．中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB⊂底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD⊂平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，从而SB＝SD2＋AD2＋AB2＝3，又BC＝22＋11＝5，SC＝22，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故选C.案：C.析：将图2中的几何体放到正方体中如图所示，从侧视图的视线方向观察，易知该几何体的侧视图为选项D中的图形，故选D.案：D.析：由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF的长为25，EF的长为25，EC的长为42，故选D.案：D.析：根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1－MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M＝22＋22＋12＝3，故最长的棱的长度为3，选B.案：B0．解析：根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1 1.案：A1.析：(1)错误．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．2)错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．3)错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．案：02.析：根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是正方形，侧棱相等，所以这是一个正四棱锥．其侧视图与正视图是完全一样的正三角形．故其面积为34×22＝ 3. 案： 33．解析：分别作出在六个面上的射影可知选②③.案：②③4．解析：因为A ，B ，C ，D 为球面上不同的四点，所以B ，C ，D 不共线，由AB ＝AC ＝AD 知A 在平面BCD 内的射影为△BCD 外接圆的圆心，记圆心为O 1.设O 为球的球心，则OB ＝OC ＝OD ，故O 在平面BCD 内的投影也为△BCD 外接圆的圆心O 1，故有OA ⊥平面BCD .又AB ＝AC ＝AD ＝4，所以平面BCD 垂直平分线段OA .记△BCD 外接圆的半径为r ，由勾股定理得r 2＋⎝⎛⎭⎫12OA 2＝42，即r 2＝16－4＝12.从而平面BCD 被球所截得的图形即△BCD 的外接圆，其面积为πr 2＝12π.案：12π5．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P －ABC ，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ，BC ＝27，P A 2＋y 2＝102，(27)2＋P A 2＝x 2，所以xy ＝x 102－[x 2－(27)2]＝x 128－x 2≤x 2＋(128－x 2)2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.选C.案：C6．解析：由条件知，原平面图形中AB ⊥BC ，从而AB <AD <AC .案：B7.析：设AA 1的中点为N ，连接MN ，NB ，BC 1，MC 1，AD 1，则MN ∥AD 1∥BC 1，平面MNBC 1就是过正方体中C 1，B ，M 三点的截面，因为正方体的棱长为2，所以A 1M ＝A 1N ＝1，所以MN ＝2，同理BC 1＝2 2.又MC 1＝BN ＝22＋12＝5，所以梯形MNBC 1的高h ＝(5)2－⎝⎛⎭⎪⎫22－222＝322，所以所求截面的面积为S 梯形MNBC 1＝12×(2＋22)×322＝92. 案：92。

第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。

【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第七章第二节空间几何体的表面积与体积课时作业理新人教A版一、选择题1.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x,且它的8个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为125π,则x的值为( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)102.(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为错误!未找到引用源。

,则此球的体积为( )(A)错误!未找到引用源。

π(B)4错误!未找到引用源。

π(C)4错误!未找到引用源。

π(D)6错误!未找到引用源。

π3.(2013·广州模拟)如图所示为一几何体的三视图,那么这个几何体的体积为( )(A)错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

(B)2(C)错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)2 (C)错误!未找到引用源。

(D)35.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)(1+错误!未找到引用源。

)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

6.(2013·潮州模拟)有一个几何体的三视图如下,外轮廓是边长为1的正方形,则该几何体的体积为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

7.(2013·佛山模拟)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为( )(A)错误!未找到引用源。

π(B)2π(C)3π(D)4π8.(能力挑战题)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )(A)8π(B)6π(C)4π(D)2π二、填空题9.(2012·江苏高考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为cm3.10.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC的体积为.11.(2013·江门模拟)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是cm.三、解答题12.(能力挑战题)如图,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F -ABCD的体积.(1)求V(x)的表达式.(2)求V(x)的最大值.答案解析1.【解析】选D.设球的半径为r,则4πr2=125π,∴r2=错误!未找到引用源。

第2课时空间几何体的表面积和体积1. 柱、锥、台和球的侧面积和体积2. 几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_________ .⑵圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于 _________1. （教材改编）一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是（）.A. 8 nB. 6 nC. 4 nD. n2. 已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是（）.3.若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的侧面积等于（ ）.2 2 2 2A. 12 n cmB. 15 n cmC. 24 n cmD. 30 n cm4.（教材改编）表面积为3n 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆 ，则该圆锥的底面直径为 ________ .5.（教材改编）如图所乃陟在棱长为4的正方休ABCD-A,民GD 中“是上一点，且尸出=-A.Bi ，则多面体P-BCX'iBi 的体积为4-------------指点迷津♦圆台与圆锥、圆柱的演变当圆台的上底演变为 0时,成为圆锥（如r i =0）当圆台的上下底相同时成为圆柱 ，借此可记忆 公式（如r i =r 2）.♦侧面积与侧面展开图的关系对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行 .要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题，如直棱柱（圆柱）侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解.圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长 ，圆弧长等于底 面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小♦求体积的两种方法：割补法与等积法A.B. 3C. 4D. 5（第3（第5补法是把不规则（不熟悉的或复杂的）几何体延伸或补成规则的（熟悉的或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的（不规则的）几何体切割成简单的（规则的）几何体.等积法包括等面积法和等体积法•等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高.♦有关球的组合体的两种位置，内切和外接球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题.考点透析考向一几何体的表面积与侧面积例1 （2014 •福建）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）.A. 2 nB. nC. 2D.1【方法总结】（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和.（2）若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；（3）若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.1. （2013 •潍坊考前适应性训练）如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）.A. 16 +4 nB. 12 +4nC. 16 +8n考向二几何体的体积例2 （2013 •郑州二测）一个几何体的三视图及其尺寸如图所示 （单位:cm ）,其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（）.D ・对cm 3【审题视点】 由侧视图可知为旋转体，由正、俯视图可知为锥体【方法总结】 （1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、 锥体或台体，则可直接利 用公式进行求解（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等进行（3）若以三视图的形式给出几何体 ，则应先根据三视图得到几何体的直观图 ，然后根据条件求解.D. 12 +8nA.手 cmc.2. （2013 •长春模拟）一个几何体的三视图如图所示 ，则该几何体的体积为（).7A. 1考向三球的组合体例3 （2013 •郑州第一次质检）在三棱锥 A-BCD 中，AB=CD 6, AC=BD=AD=E E C 则该三棱锥的外接球的表面积为 ________ .【审题视点】 把三棱锥A -BCD 以AB CD AC BDAD BC 为对角线补成一个长方体.【方法总结】 解决球与其他几何体的切、 接问题，关键在于仔细观察、 分析,弄清相关元素 的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、 几何体的各种 元素以及体现这些元素之间的关系 ）,达到空间问题平面化的目的.3. （2013 •南昌模拟）某几何体的三视图如图所示 ,若该几何体各顶点都在一球面上 ，则这个球的表面积为 _________ .（第3题）考向四平面图形的折叠与立体图形的展开例4 （2013 •江南十校联考）如图⑴所示,在边长为12的正方形ADDA 中，点BC 在线段AD 上,且AB=3, BC=,过点B 作BB // AA ,分别交 AD,AD 于点B ,P,过点C 作CC// AA ,分别交 AD , AD 于点C , Q.将该正方形沿 BB , CC 折叠，使用DD 与AA 重合，构成如图 ⑵所示的三棱 柱 ABC-ABC.（1） 求证：AE L 平面BC C B ; （2）求平面PQA 将三棱D.7柱ABC-ABC分成的左、右两部分几何体的体积之比.【审题视点】平面图形折叠后，D与A重合，ABCD形成△ ABC由此看出AB丄BCA吐BB.从而可计算S-BCQP的体积.【方法总结】(1)求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离.(2)解决折叠问题的技巧解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化,哪些没有发生变化.对折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化.变式训练4.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，△ ABC为等边三角形，AA'丄平面ABCAB=3, AA'=4, M为AA' 的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为/^，设这条最短路线与CC'的交点为N求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；⑵PC与CN的长.（第4题）典例（2014 •安徽）一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是（）.正住】魂出觀（左）視国A. Y B ¥ C. 6 D 7【解题指南】由三视图得出几何体的形状，继而求得几何体的体积.【網析】如国所示•由三視圈可釦该几何体是棱牧为2的正方体截去两个小三核锥后余下的部分，算体积V=8-ZX1 1 27yXyXIXIXl-y.【答案】A1.（2014 •辽宁）某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（）.& 4 27D. 8 - 2 n 2. （2014 •浙江）某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）.，X 13 B. 90cm D. 138cm 3C. 8 - n10 ■ 27参考答案与解析知识梳理1. 2izrh nrZ*—^~Sh4n/?z冷2. (1)各面面积之和(2)侧面积与底面积之和基础自测L C 2. B 3. B 4.2 5.—3考点透析【例1】A 解析：由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r= 1,高h=1,则该圆柱的侧面积S=2 n rh= 2 n ,故选A.【例2】A 解析：依题意•得该几何体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴切开几其中该圆锥的底面半径为1、高为肌因此孩几何休的依积为4-X f —XrcXl2X3 “C选A.2 \3 J2【例3] 43n 解析学依题宣榊得该三棱锥的三组对棱分别相等•因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为c且其外接球的半径为R.则j 6Z+r2= 52电得a2+ ,F + c2= 43*即(2R严=/+空+川=43易血R即为该三梭锥的外接球的半径•所以该三棱锥的外接球的表面积为仏【例4】(1) DD]与AA|重合席*在公ABC中・AB=3*BC=4・所以A( =12-7=5-所以AB2+I3C2= AC2.所以AB±BC.所以AB丄面UCC J B^(2)由(1)可甸MB为四棱锥A -HCQP的髙.在四边形13CQP中J3P=AE=3,CQ=A〃+EC=7\所以梯形BCQP的面积为S = ~(BP+CQ)XBC^2Q・£所以Kvzi<w=^T><SXA« = —X20X3 = 20.又匕啟“严&]=斗* AB * BEi = * X 3 X 4 X 12 = 72. 所以=V.w-A]H[「]—匕卜=疋—20=52*因为V^-BCQP ' ^APQC B A =20 552 = 5 * 13.■B AB in m ~■1. A 解析：该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体.直侧面积 为 4ir + 6+10=16 + 4ir,2. 3 B 解析：由题餐可该几何体为一个四梭锥•底面面积为髙为3.1 3 1 1 ■体积 V= — X — X 1 = 故选 H 鈕解析：由三视图可得*该几何体是底面为正方形.条侧棱垂直 干底面的PM 棱锥*易知该几何体的外接球的半径尺=斗x_________ JFv^l 2 + P + 22 = —^―t HJj®球的表面积 S=4xR‘=6仏4. (1)浚三陵柱的侧面展开图为边长分别为4和9的矩形对角线丘为 742-1-92 =何、(2)将该三梭柱的侧面沿棱也/展开•如图*设 PC=_r 』l] MP 2 =因为 MP= V /59_,MA=2.AC^3< 所以T =2.H 卩 PC~2.又 NC#AM,挤 M VC Hn 2 NC故—=———.即—= ------- ・PA AM 52 所以NC=亠*5NC 经典考题 真题体验1. C解析：根据三视图可知•该几何体是正方体切去两个体积相等的恻柱的四分之一后余下的部分，故亥儿何体体枳V=23--^-X7rX乙12X2=8-K.2. B解析：此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的•其体积为6X 4X3 +斗X3X4X3=90(cm)3,故选 B.3. C 解析：该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体枳V=zX 3Z X2+^X 22 X 4 = 347r(cm3),原毛坯的体积V毛坯=TT X 3Z X 6 = 547r(cm3)•被切部分的体积1^切妊—V=34TT—347T= 20%(cm3)・5 _20 兀_10以V毛坯54K27 *3A.72cmC. 108cm 33. （2014 •全国新课标II）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）.。

课时作业(三十八) [第38讲 空间几何体的表面积与体积](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．[2012·东北三校联考] 设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2－12．[2011·西安三检] 如图K38－1是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则图中主视图所标a ＝( )A ．1 B.32C. 3 D ．2 33．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则该球的表面积为( )A ．8πB ．4π C.32π3 D.423π4．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________ cm 2.能力提升 5．[2012·长春二联] 如图K38－2所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )2A.12 B ．1 C.34 D.32 6．[2012·湖北荆州中学三模] 一个几何体的三视图如图K38－3所示，则这个几何体的体积为( )－3A.32 B.12 C.32 D.32＋1 7．[2012·唐山期末] 一个几何体的三视图如图K38－4所示，其中主视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )－4A.16π3B.8π3C ．4 3D ．23π8．如图K38－5，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P －ABC ，则此正三棱锥的侧面积是( )A ．3 5B ．513C ．315D ．415 9．[2012·武汉适应性训练] 一个多面体的三视图如图K38－6所示，其中主视图是正方形，左视图是等腰三角形．则该几何体的表面积为( )A ．88B ．98C ．108D ．158图K38－6图K38－710．[2012·长春调研] 某几何体的三视图如图K38－7所示，这个几何体的内切球的体积为________．11．[2012·哈尔滨质检] 一个底面是直角梯形的四棱锥的三视图如图K38－8所示，则此四棱锥的四个侧面的面积的和是812．已知圆锥的底面半径为3，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________．13．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，则四面体P－CDQ的体积是________．14．(10分)已知某几何体的俯视图是如图K38－9所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.15．(13分)一直三棱柱高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将该棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．难点突破16．(12分)如图K38－10所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱P A，PB，PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P－ABC中，求证：P A⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－图K38课时作业(三十八)【基础热身】1．B [解析] 由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，则长方体的体对角线长为（2a ）2＋a 2＋a 2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S球＝4πR 2＝6πa 2.故选B.2．C [解析] 由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V ＝12×2×a ×3＝33，∴a ＝ 3. 3．A [解析] 如图，设截面的半径为r ，则πr 2＝π，r ＝1，又已知球心与截面的距离d ＝1，则球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，球的表面积S ＝4πR 2＝8π.4．506 [解析] 侧面高为52－1＝26，所以侧面积为S ＝5×（4＋6）×262＝506(cm 2)．【能力提升】5．A [解析] 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为V＝13×32×1＝12.故选A. 6．B [解析] 如图由三视图可知，该几何体是一个横放的四棱锥，底面是直角梯形(上底为1，下底为2，高为1)，高为1，故这个几何体的体积为V ＝13（1＋2）×12×1＝12.7．A [解析] 设外接球的半径为R ，则R 2＝1＋(3－R )2⇒R ＝233，这个几何体的外接球的表面积为4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3. 8．C [解析] 设球心为O ，连接PO ，AO ，BO .因为P －ABC 是正三棱锥，所以PO ⊥底面ABC ，且PO ＝AO ＝2，所以P A ＝2 2.作PD ⊥AB 于D ，则D 为AB△AOB 中，∠AOB ＝120°，AO ＝所以AB ＝23，DO ＝1.在Rt △POD 中，得PD ＝5，所以棱锥的侧面积为3×12·AB ·PD ＝32×23×5＝315.故选C.9．A [解析] 由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，底面三角形是等腰三角形(底为6，高为4)，三棱柱的高为4，故底面三角形的腰长为32＋42＝5.故该几何体的表面积为S ＝12×6×4×2＋5×4×2＋6×4＝88.故选A.10.4327π [解析] 此几何体是底面边长为2，高为3的正四棱锥，可算出其体积为433，表面积为12.令内切球的半径为r ，则13×12r ＝433⇒r ＝33，从而内切球的体积为V ＝43π⎝⎛⎭⎫333＝43π27.11.522＋32[解析] 如图所示几何体为一直四棱锥，其中P A ⊥平面ABCD ，底面为直角梯形，且P A ＝2，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，易知四棱锥侧面△P AB ，△P AD 均为直角三角形，又由AB ⊥BC ，P A ⊥BC 可推得BC ⊥平面P AB ，故△PBC 为直角三角形，所以PC ＝PB 2＋BC 2＝2.CD ＝2，PD ＝6，由勾股定理知△PCD 也为直角三角形，故四个侧面面积之和为12×1×2＋12×2×2＋12×2×2＋12×1×3＝522＋32.12．4π [解析] 如图，球心为O ，圆锥底面圆心为O 1，OO 1为球半径，AO 1为圆锥底面圆半径，∠O 1AO ＝30°，OO 1＝33AO 1＝1，所以球的表面积为4π.13.112V [解析] 设长方体的长、宽、高分别为 AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则有V ＝abc .由题意知PD ＝12c ，S △CDQ ＝12·CD ·AD ＝12ab ，∴V P －CDQ ＝13S △CDQ ·PD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝112V .14．解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面P AD ，PBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面P AB ，PCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5，因此侧面积S ＝212×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.15．解：体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ， 圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5， ∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5， ∴R ＝1.∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π.而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36，∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)， 即削去部分的体积的最小值为6(6－π) cm 3. 【难点突破】16．解：(1)证明：由题设知A ，B ，C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3， 从而PB ＝PC ，AB ＝AC .取BC 的中点D ，连接AD ，PD ， 则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ， ∴BC ⊥面P AD ，故P A ⊥BC .(2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，P A ＝P 1A ＝BC ＝10，PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12. 在等腰三角形DP A 中，底边P A 上的高h ＝AD 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝119，∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119.又BC ⊥面P AD ，∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA ＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119＝503119.。

课时作业39 空间几何体的表面积和体积[基础达标]一、选择题1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是( )A．3：2 B．2：1C．4：3 D．5：3解析：底面半径r＝23π2πl＝13l，故圆锥中S侧＝13πl2，S表＝13πl2＋π⎝⎛⎭⎪⎫13l2＝49πl2，所以表面积与侧面积的比为4：3.答案：C2．[2019·东北三省四市联考]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A．12＋2 2 B．8＋2 2C．4＋4 2 D．8＋4 2解析：本题考查三视图及几何体的表面积．由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2，高为2，故该四棱锥的表面积为S＝2×2＋2×12×2×2＋2×12×2×22＝8＋42，故选D.答案：D3．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是( )A.23B.43C.83D．4解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥A －PBC (放到棱长为2的正方体中)，V A －PBC ＝13×S △PBC ×AB ＝13×12×2×2×2＝43.故选B.答案：B4．[2019·开封市高三考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A.2π9 B.π3 C.16π3 D.16π9解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V ＝13×13×π×22×4＝169π，故选D.答案：D5．[2019·山东潍坊模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．4＋2 3B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．6＋4 2解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥PC ，又AP ＝AC ＝BC ＝2，所以PC ＝22＋22＝22，又AB ＝22，所以S △PBC ＝S △PAB＝12×2×22＝22，S △ABC ＝S △PAC ＝12×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4 2. 答案：B6．[2019·福州模拟]已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于( )A.83πB.323π C ．16π D．32π解析：设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π，故选B.答案：B7．[2019·福州模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．14B ．10＋4 2 C.212＋4 2 D.21＋32＋4 2解析：解法一 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D.解法二 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝S 三棱柱表－S 三棱锥侧＋S 三棱锥底＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2＋22×2＋2×12×22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D. 答案：D 8．[2019·山西八校联考]已知一个球的表面上有A ，B ，C 三个点，且AB ＝AC ＝BC ＝23，若球心到平面ABC 的距离为1，则该球的表面积为( )A ．20π B．15π C ．10π D．2π解析：设球心为O ，△ABC 的中心为O ′，因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以AO ′＝23×3＝2，因为球心到平面ABC 的距离为1，所以OO ′＝1，所以AO ＝22＋12＝5，故该球的表面积S ＝4π×(OA )2＝20π.故选A.答案：A9．[2019·石家庄摸底考试]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.16π＋13 B.82π＋13C ．8(2π＋1)D ．16(π＋1)解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱锥的底面边长为2，高为2，所以该几何体的体积为13×2×2×2＋13×π×22×4＝16π＋83，故选B.答案：B10．[2019·南昌调研]已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，PA 为球O 的直径且PA ＝4，则点P 的底面ABC 的距离为( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3解析：取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径PA ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.答案：B 二、填空题11．[2019·南昌模拟]如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋2π＝(3＋2)π.答案：(3＋2)π12．[2019·山东潍坊模拟]已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：213．[2019·福州四校联考]已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱柱的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的体积为________．解析：设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°，∴13×12×3×3×h ＝3，∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3. 答案：32π314．[2018·江苏卷，10]如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：本题考查组合体体积的计算．多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43.答案：43[能力挑战]15．[2019·广东广州调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．4＋42＋2 3B ．14＋4 2C ．10＋42＋2 3D ．4解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S －ABCD .连接AC ，因为AC ＝22＋42＝25，SC ＝252＋22＝26，SD ＝SB ＝22＋22＝22，CD ＝22＋22＝22，SB 2＋BC 2＝(22)2＋42＝24＝SC 2，故△SCD 为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．过D 作DK ⊥SC 于点K ，则DK ＝222－62＝2，△SCD 的面积为12×2×26＝23，△SBC 的面积为12×22×4＝4 2.所求几何体的表面积为12×(2＋4)×2＋2×12×2×2＋42＋23＝10＋42＋23，选C. 答案：C 16．[2019·河北联盟考试]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD －A ′B ′C ′D ′所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C.答案：C17．[2019·广州调研]如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥B －CDE ，且长方体的长、宽、高分别为2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,1)，C (0,1,0)，D (1,2,0)，E (0,2,0)，设球心为P (x ，y ，z )，依题意可得|PB |＝|PC |＝|PD |＝|PE |.由|PD |＝|PE |得(x－1)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝12.由|PC |＝|PE |得x 2＋(y －1)2＋z 2＝x 2＋(y－2)2＋z 2，解得y ＝32.由|PB |＝|PE |得x 2＋y 2＋(z －1)2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得z ＝32.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，故三棱锥外接球的半径R ＝|PB |＝14＋94＋14＝112，故该三棱锥的外接球的表面积S ＝4π×114＝11π.答案：11π。