高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)

(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将 所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互 斥事件的概率加法公式．
跟踪训练 1 设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝1，2， 3，4，5)．
(1)求 a； (2)求 PX≥35； (3)求 P110<X≤170.
【解析】(1)由分布列的性质，得 PX＝15＋PX＝25＋PX＝35 ＋PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以 a＝115.
故 ξ 的分布列为
ξ6 4
2
0
P
1 6
5 36
5 108
35 54
题型三 超几何分布 【例5】 (2018·洛阳模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空 气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根 据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/ 立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/ 立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质 量为超标．
【解析】 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球，
故 P(X＝4)＝CC23C31291＝22270.
【答案】
27 220
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
【例 1】 (1)设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P
1 3
2－3q q2
则 q 等于( )
A．1
C.32－
题型二 离散型随机变量的分布列的求法 角度一 与排列组合有关的分布列的求法 【例2】 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装 有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种 粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．

高中数学-离散型随机变量 的分布列复习
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．X x 1x 2…x i …x nPp 1P 2…p i …p n三、离散型随机变量分布列的性质：1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ；211ni i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布X 01P 1－p p如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列X 01…mP00n M N Mn NC C C --11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．例1：设随机变量X 的分布列如下：则p 为()X 1234P 161316pA.16B.13C.23D.12解：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是()A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解：由12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3.∴P (x ＝2)＝22×3＝13.＝0.3，那么n ＝________.解：1n×3＝0.3，∴n ＝10.例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为X 012P解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －101P 121－2q q 2则q 等于()A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22解：由分布列的性质知1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.ξ123…nP k n k n k n …k n则k 的值为()A.12B ．1C ．2D ．3解：由k n ＋k n ＋…＋kn＝1，∴k ＝1.ξ－2－10123P112312412112212112若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．解：由P (ξ2<x )＝1112且结合分布列得4<x ≤9.i i ＝1,2….2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即X 01234P170167036701670170例10：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球解：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3.ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (ξ＝－3)＝C 33C 311＝1165.ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (ξ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球．∴P (ξ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355.ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13.ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (ξ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355.ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (ξ＝2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝3时表示取得3个白球，∴P (ξ＝3)＝C 33C 311＝1165.∴所求概率分布列为：ξ－3－2－10123P116511113551313551111165例11：在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为X 1234P4311831831131解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ0123P5421021514121解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η3210P5421021514121例13：第:31届奥林匹克夏季运动会于2016年8月5日至21日在里约热内卢举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为ξ0123P145528551255155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.离散型随机变量及其分布列训练题1一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A. B.C.D.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤53．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为()A.23B.34C.45D.564．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 D.21255．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是()A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)二、填空题6．随机变量X 的分布列如下：X －101P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______.7．设随机变量X 只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P (X ＞8)＝________，P (6＜X ≤14)＝________.三、解答题8．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的分布列．X 012P0.30.40.5X 012P0.3－0.10.8X1234P0.20.50.3X 012P1727379．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是23，试验不成功的概率都是13.甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X ，求X 的分布列．10．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (i ＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i 分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．(1)求甲恰好射击两次的概率；(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．1.C2.C3.解析：由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1∴a ＝54.故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案：D4.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C5.解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝n －m A 2mA 3n答案：D6.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：237.解析：P (X ＞8)＝23，P (6＜X ≤14)＝23.答案：23238.解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.(2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120.∴X 的分布列为X 1234P710730712011209.解：(1)记事件“一次试验中，选择第i 套方案并试验成功”为A i ，i ＝1,2，则P (A i )＝1C 12×23＝13.3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P ＝P (A 1·A 1·A 1＋A 2·A 2·A 2)＝313⎛⎫ ⎪⎝⎭＋313⎛⎫ ⎪⎝⎭＝227.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则X ～B (3，23)，P (X ＝k )＝C k 3313k-⎛⎫ ⎪⎝⎭23k⎛⎫⎪⎝⎭，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为X 0123P127294982710.解：(1)记“选手甲第i 次击中目标的事件”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A i )＝0.8，P (A i )＝0.2，依题意可知：A i 与A j (i ，j ＝1,2,3，i ≠j )相互独立，所求的概率为P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.8×0.2＝0.16.(2)ξ的可能取值为0,3,5,6.P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝3)＝0.8×0.2＝0.16，P (ξ＝5)＝0.82×0.2＝0.128，P (ξ＝6)＝0.83＝0.512.所以ξ的分布列为：ξ0356P 0.20.160.1280.512【参考答案】离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题）1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（）A ．n=3B ．n=4C ．n=10D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（）A ．B ．C ．D ．6．设随机变量X 的概率分布列为X 1234P m则P （|X ﹣3|=1）=（）A ．B ．C ．D ．7．设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（）X ﹣101P p A ．B ．C ．D ．8．随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，其中c 为常数，则P （ξ≥2）等于（）A ．B ．C ．D ．9．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为x 012p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A ．B ．C ．D ．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P （X ），则P （X=4）的值为（）A ．B ．C ．D ．ζ﹣101P 0.30.40.4ζ123P 0.40.7﹣0.1ζ﹣101P0.30.40.3ζ123P0.30.40.4X123P ip11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2B．3C．4D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B．C．D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A．B．C．D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣101P0.5q2则q=．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）=．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）=．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m 个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ012P？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．月收入（百元）赞成人数[15，25）8[25，35）7[35，45）10[45，55）6[55，65）2[65，75）1科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计391225．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1．25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ01234PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0123P （X ）X 05101520P。

第十二讲随机变量及其分布列课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀本章主要内容：1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布.本章教学目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)第一节离散型随机变量及其分布列【知识与方法】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应；③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．授课班级授课日期学员月日组“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。

几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带"几何"的数学名词来源解释。

几何分布（Geometric distribution）是离散型机率分布。

其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。

课外拓展3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0=ξ，表示正面向上，1=ξ，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：为离散型随机变量X 用等式可表示为P(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=ni ip．1.两点分布),1(~P B X若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.【例题与变式】题型一随机变量【例1】判断正误：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.题型二 随机变量的可能取值及试验结果【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，则X 的所有可能取值有哪些？【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b -c |，求随机变量ξ的取值情况．【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X 的所有可能.题型三 分布列及其性质的应用【例1】设随机变量X 的分布列为P (X =i )=ia(i =1,2,3,4)，求：(1)P (X =1或X =2)；(2))2721(<<X P .【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X 的分布列为,5,4,3,2,1,25)(===i k i X P 则)2521(<<X P 等于（ ） A ．152 B ．52 C ．51 D ．151【例3】已知数列{}n a 是等差数列，随机变量X 的分布列如下表：求3a .【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a ．【变式2】（2017春•秦都区月考）设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为（ ）A ．3817 B ．3827 C ．1917 D ．1927 【变式3】（2017春•武陵区月考）若离散型随机变量X 的分布列为：则实数a 的值为_______．【例4】设离散型随机变量X 的分布列为：求：(1)2X +1(2)|X -1|的分布列.【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X -2|=1)=（ ）A.712B.12C.512D.16 题型四 求离散型随机变量的分布列【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．(1)设{}R x c bx x x A ∈<+-=,022，求φ≠A 的概率； (2设随机变量ξ=|b -c |，求ξ的分布列．【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.题型五 两点分布【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列.【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ=0)等于（ ）A ．0B ．13C ．12D ．23题型六 超几何分布【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.(1)求顾客乙中奖的概率；(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【例3】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率．【变式1】(2017·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.【变式2】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35](35，45](45，55](55，65] (65，75] (75，85]频数311113(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的分布列.1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X -1 0 1 P132-3qq 2则q 的值为( )A.1B.32±336C.32－336D.32＋3362.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X =0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.233.中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤54.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( ) A.435 B.635 C.1235 D.363435.随机变量X 的分布列如下：X -1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |=1)A.16 B.13 C.12 D.23 6.设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3M若随机变量Y =|X -2|，则P (Y 7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)=________.8.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列.9.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.1.实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.2.授课及学员问题总结：第二节 二项分布及其应用【知识与方法】一．条件概率1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质 (1))()()()()(A n AB n A P AB P A B P ==； (2)1)(0≤≤A B P ，当A 事件与B 事件对立时0)(=A B P ，当A 事件与B 事件相等时1)(=A B P ； (3)如果B 与C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P +=Y ； (4))()()()()(B P B A P A P A B P AB P ⋅=⋅=；(5)要注意)(A B P 与)(AB P 的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.在)(A B P 中，事件A 成为样本空间，在)(AB P 中，样本空间则为全体情况. 二．相互独立实验1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )=P (B )，P (A |B )=P (A )． 2．相互独立事件与互斥事件的区别互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．3．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．4．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )=P (A )×P (B )；超几何分布和二项分布的区别： 1.超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要;2.超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）;3. 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。

第六节离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示❶.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n❷.有时也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列.(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1.3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.(2)超几何分布列❹在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *❺..若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量．表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.m＝min{M，n}的理解m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k 的最大值为m＝M.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1.抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的基本事件是( ) A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D.甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点解析：选D 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选D.2.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( )A.16 B.13 C.14D.112解析：选C 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.3.某射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79D.0.51解析：选C P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 4.已知随机变量X 的分布规律为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝________.解析：由分布列的性质知12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，∴P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：135.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则P (X ＝2)＝________.解析：由题意，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，故P (X ＝2)＝C 23C 27C 410＝310.答案：310考点一 离散型随机变量的分布列的性质[基础自学过关][题组练透]1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析：选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为( ) A.23B.34C.45D.56解析：选D 由⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝54.故P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56. 3.设离散型随机变量X 的分布列为(1)求随机变量Y ＝2(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：从而Y ＝2X ＋1的分布列为(2)列表为∴P (η＝0)＝P (X ＝1)＝P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3. 故η＝|X －1|的分布列为(3)首先列表为从而ξ＝X2的分布列为[名师微点]离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.考点二超几何分布[师生共研过关][典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.[解](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M ＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为[解题技法] 1.随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.2.求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列.[过关训练]某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M ＝3，n＝3的超几何分布.X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝C i3C3－i5C38(i＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝C03C35C38＝528，P(X＝1)＝C13C25C38＝1528，P(X＝2)＝C23C15C38＝1556，P(X＝3)＝C33C05C38＝156.所以X的分布列为考点三求离散型随机变量的分布列[师生共研过关][典例精析]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝A12A13 A25＝3 10.(2)X的可能取值为200,300,400，则P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.故X的分布列为X 200300400P 11031035 [解题技法]离散型随机变量分布列的求解步骤[过关训练]有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.解：(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法，所以C2n＝6，即n(n－1)2＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝624＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝824＝13，P(X＝4)＝9A44＝38，所以随机变量X的分布列为X 023 4P 124141338。

端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个 粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全 相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则 P(A)＝C12CC31130C15＝14. (2)X的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝CC31380＝175，P(X＝1)＝CC12C31028＝175， P(X＝2)＝CC22C31018＝115.
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝430＋470＋1120＝13210.
．
0,1,2,3 [因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次 品数X的可能取值为0,1,2,3.]
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有
X个红球，则随机变量X的分布列为
．
X0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
[因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝
C22 C25
1.随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a bc 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝
值范围是
．
，公差d的取
2 3
－13，13
[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b
＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，
根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
1 …m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN

（2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 确定随机变量的可能取值→求随机变量取各个值的概率→列表写出分布列.
在有多个结果的随机试验中，如果只关心一个随机事件是否发生，可以将它化归为两点分布来研究. 例7 某商场为了促销，在一个口袋里装有大小相同的10个红球和20个白球，顾客从中一次摸出5个球，拟设定一个中奖规则. 例1 设离散型随机变量X的分布列为
【解题要点】 确定随机变量的可能取值→求随机变量 取各个值的概率→列表写出分布列.
考点2 由分布列求随机事件的概率
例5 已知随机变量ξ的分布列为 P( k) c (k＝0，1，2，3)，求
k 1
P( 1)的值.
例6 已知随机变量ξ服从两点分布， 其分布列如下，求ξ的成功概率.
ξ
0
1
P
9c2－c 3－8c
高三数学离散型随 机变量及其分布列
知识梳理
t
p
1 2
5730
1.随机试验的特征：
(1)实验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的， 且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的 一个，但在一次试验之前不能肯定这次 试验会出现哪种结果.
2.随机变量： 表示随机试验不同结果的数字变量，常 用字母X，Y，ξ，η等表示.
（2）记“f(x)＝2ξx＋4在区间[－3，－1] （2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪种结果. （2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
示该游客离开该城市时游览的景点数与没有 游览的景点数之差的绝对值. 设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余都为一等品.
如果n比较大时，可考虑用解析法表示. （2）p1＋p2＋…＋pn＝1.

11/4/2018 9
超几何分布
例 3 (2015· 天津卷节选)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛
允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员 3 名，其中 种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名．从这 8 名运 动员中随机选择 4 人参加比赛． (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子 选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数， 求随机变量 X 的分布列．
所以随机变量 X 的分布列为
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X P
1 1 14
2 3 7
3 3 7
4 1 14
常德市第一中学
詹长刚
训练 3 (2016· 济南调研)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当 量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行 国家标准 GB3095－2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
湖南省常德市第一中学 詹长刚 常德市第一中学 詹长刚 11/4/2018 1
一.基础知识回顾 1.离散型随机变量的定义；
2.离散型随机变量的分布列及其性质； 3.常见的离散型随机变量的分布列.
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常德市第一中学
詹长刚
二.例题与练习
请大家完成 P193诊断自测 1-5 例题1+训练1
解析(1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345； 3 (2)由题意知，X=0,-1,1,三位递增数共有 C9 ＝84，

离离离离离离离离离离离离一、单选题1. 随机变量X的分布列如下表所示：则P(X≤2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.42. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=( )A. 23B. 12C. 13D. 14二、解答题3. 一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(1)若有放回地抽取，求X的分布列；(2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．①求误差不超过0.2的X的值；②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．4. 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有2的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前3三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1，p2=0．}为等比数列；①试证明：{p n−13②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p10与q10的大小．5. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金;若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金;若中三次奖，则共获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利⋅的概率都是146. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．答案和解析1.解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1，可得m=0.2，所以P(X ≤2)=P(X =1)+P(X =2)=0.1+0.2=0.3．故选：C ．2.解：因为X 的分布列服从两点分布，所以，因为所以，，故选C ．3.解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p =13×13=19，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知X∽B(3,19)，所以P(X =k)=C 3k×(19)k ×(89)3−k ，k =0，1，2，3，故X 的分布列为： X 0123P512729 6424382431729所以X 的期望E(X)=3×19=13．(2) ①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n −1次传球之前球在甲脚下的概率为p n−1， 第n −1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−p n−1， 则p n =p n−1×0+(1−p n−1)×12=−12p n−1+12， 即p n −13=−12(p n−1−13)，又p 1−13=23， 所以{p n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列． ②由 ①可知p n =23(−12)n−1+13，所以p 10=23(−12)9+13<13， 所以q 10=12(1−p 10)=12[23−23(−12)9]>13，故p 10<q 10．4.解：(1)解：设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621;(2)解：设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取值为0，n ，3n ，6n;(单元：元)ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 30(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(141(1−14)2=2764,P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964,P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164;顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n16， 由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．5.解：(1)P =1−C 62C 102=1−1545=23，即该顾客中奖的概率为23．(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60． 且P(X =0)=C 62C 102=13，P(X =10)=C 31C 61C 102=25， P(X =20)=C 32C 102=115，P(X =50)=C 11C 61C 102=215，P(X =60)=C 11C 31C 102=115． 故X 的概率分布列为：6.解：(1)一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X 表示样本中一等品的个数．若有放回地抽取，X ～B(4,25)，∴P(X =0)=C 40(35)4=81625， P(X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P(X =2)=C 42(25)2(35)2=216625， P(X =3)=C 43(25)3(35)=96625，P(X =4)=C 44(25)4=16625，∴X 的分布列为：(2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X 服从超几何分布，样本中一等品的比例为X4，而总体中一等品的比例为40100=0.4，①|X4−0.4|≤0.2，解得0.8≤X≤2.4，所以X=1或X=2，②P(|X4−0.4|≤0.2)=P(X=1)+P(X=2)=C401C603+C402C602C1004．。

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。

离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳一、基础知识1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示❶. (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n❷此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列.(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1.3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列X 0 1 P1－pp若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.(2)超几何分布列❹在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *❺.X 01… mPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN如果随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. m ＝min{M ，n }的理解m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n ≤M 时，k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m ＝n ；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n ＞M 时，k 的最大值为m ＝M .考点一 离散型随机变量的分布列的性质1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析：选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56解析：选D 由⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝54.故P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56. 3.设离散型随机变量X 的分布列为(1)求随机变量Y ＝2(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：从而Y ＝2X ＋1的分布列为(2)列表为∴P (η＝0)＝P (X ＝1)P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为(3)首先列表为从而ξ＝X2的分布列为考点二超几何分布[典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.[解](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M ＝C48 C510＝518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为[题组训练]某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列.解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布.X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝C i 3C 3－i 5C 38(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C 03C 35C 38＝528，P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 05C 38＝156.所以X 的分布列为考点三 求离散型随机变量的分布列[典例精析]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列.[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400，则P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.故X 的分布列为[题组训练]有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法.(1)求n 的值；(2)求随机变量X 的分布列.解：(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法， 所以C 2n ＝6，即n (n －1)2＝6， n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝13，P (X ＝4)＝9A 44＝38，所以随机变量X 的分布列为[课时跟踪检测]A 级1.若随机变量X 的分布列为则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.[1,2] C.(1,2]D.(1,2)解析：选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2].2.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k (其中k ＝1,2,3)，则a 的值为( ) A.1 B.913 C.1113D.2713解析：选D 因为随机变量X 的分布列为 P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k(k ＝1,2,3)，所以根据分布列的性质有a ×13＋a ⎝⎛⎭⎫132＋a ⎝⎛⎭⎫133＝1，所以a ⎝⎛⎭⎫13＋19＋127＝a ×1327＝1， 所以a ＝2713.3.(2019·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )A. B.C. D.解析：选C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110，故选C.4.一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( )A.P (X ＝3)B.P (X ≥2)C.P (X ≤3)D.P (X ＝2)解析：选D 依题意知，(n －m )A 2mA 3n是取了3次，所以取出白球应为2个.5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A.10%B.20%C.30%D.40%解析：选B 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，∴x ＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x ＝2，∴次品率为210＝20%.6.某射击选手射击环数的分布列为若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.解析：由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 答案：40%7.已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________.解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p 1＋p 2＋p 3＝3p 2＝1，p 2＝13，又⎩⎪⎨⎪⎧p 1≥0，p 3≥0，即⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：459.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，其中P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4).故P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114，所以随机变量X 的分布列为10.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量 [0,1 000](1 000,3 000](3 000，＋∞)节数61812(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列.解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为1236×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X 的可能取值为0,20,40,60.P (X ＝0)＝1C 26＝115，P (X ＝20)＝C 13C 12C 26＝615＝25，P (X ＝40)＝C 12＋C 23C 26＝515＝13，P (X ＝60)＝C 13C 26＝315＝15，则X 的分布列为X 0 20 40 60 P11525131511.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列.解：(1)由题意知110[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745，P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 27C 14C 16C 210C 210＝91225， P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13， P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225， P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225.所以η的分布列为B 级1.若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A.(1－α)(1－β) B.1－(α＋β) C.1－α(1－β)D.1－β(1－α)解析：选B 显然P (ξ＞x 2)＝β，P (ξ＜x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤ξ≤x 2)＝1－P (ξ＞x 2)－P (ξ＜x 1)＝1－α－β.2.一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X 为随机变量，则P (X ＝k )等于( )A.k nB.1nC.k －1nD.k ！n ！解析：选B {X ＝k }表示“第k 次恰好打开，前k －1次没有打开”，∴P (X ＝k )＝n －1n×n －2n －1×…×n －(k －1)n －(k －2)×1n －(k －1)＝1n. 3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________.解析：事件“X ＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：27220.4.某班级50名学生的考试分数x 分布在区间[50,100)内，设考试分数x 的分布频率是f (x )且f (x )＝⎩⎨⎧n10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9.考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).(1)求b 的值，并估计该班的考试平均分数； (2)求P (ξ＝7)； (3)求ξ的分布列.解：(1)因为f (x )＝⎩⎨⎧n10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9，所以⎝⎛⎭⎫510－0.4＋⎝⎛⎭⎫610－0.4＋⎝⎛⎭⎫710－0.4＋⎝⎛⎭⎫－85＋b ＋⎝⎛⎭⎫－95＋b ＝1，所以b ＝1.9. 估计该班的考试平均分数为⎝⎛⎭⎫510－0.4×55＋⎝⎛⎭⎫610－0.4×65＋⎝⎛⎭⎫710－0.4×75＋⎝⎛⎭⎫－85＋1.9×85＋⎝⎛⎭⎫－95＋1.9×95＝76.(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P (ξ＝7)＝C 23C 11＋C 13C 22C 36＝310.(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9，所以P (ξ＝5)＝C 11C 22C 36＝120，P (ξ＝6)＝C 11C 12C 13C 36＝310，P (ξ＝7)＝310，P (ξ＝8)＝C 23C 12C 36＝310，P (ξ＝9)＝C 33C 36＝120.故ξ的分布列为。

计数原理、概率、
随机变量及其分布
高考第一轮复习 第 五节 离散型随机变量及其分
布列
1高考引航
2必备知识
3关键能力
高考引航
随机变量
答案知识清单
必备知识
离散型
p 1p 2
p i p n 概率分布列
答案
基础训练
C
C
C
题型归纳题型一 离散型随机变量分布列的性质关键能力
点拨：随机变量X的线性组合的概率及分布列问题:1.随机变量X的线性组合η=aX+b(a,b∈R)是随机变量;2.求η=aX+b的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.注意利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
C
答案
解析
题型二 超几何分布
解析
点拨：超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
解析
方法突破
方法一 公式法
解析
方法二 方程法
解析
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【思维方法】1.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．2.求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．3.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．4.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．5.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.6.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.7.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.8.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).9.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．10.注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．11.二项分布的均值与方差．(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX ＋b)，同样还可求出D(aX＋b)．12.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【查缺补漏】【考点一】离散型随机变量分布列的性质【典例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于()A．1 B.32±336C.32－336 D.32＋336【典例2】设随机变量X的分布列为P(X＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P(X≥3 5)；(3)求P(110<X≤710)．【典例3】设离散型随机变量X的分布列为求2X＋1的分布列．【考点二】离散型随机变量的分布列【典例1】端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列．【典例2】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．【典例3】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．【考点三】超几何分布【典例1】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．【典例2】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．【典例3】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．【考点四】相互独立事件同时发生的概率【典例1】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【典例2】为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．【考点五】n 重伯努利试验与二项分布【典例1】甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列．【典例2】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【典例3】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列．【考点六】正态分布【典例1】甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ21)，N(μ2，σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量为0.4 kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99【典例2】(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是()附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35【典例3】某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位：mm)分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N(45，25)，Y服从正态分布N(55，25).(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率；(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z，若用正态分布N(μ0，σ20)来近似描述Z的分布，请你根据(1)中的结果，求参数μ0和σ0的值(精确到0.1).注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.477 3，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.【考点七】离散型随机变量的均值与方差【典例1】某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X (单位：元)，求X 的分布列与数学期望E (X )，方差D (X ).【典例2】在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：(1)ξ～N (μ，196)，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值；②若P (ξ>2a －5)＝P (ξ<a ＋3)，求a 的值；(2)在(1)的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：概率3414现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.【考点八】二项分布的均值与方差【典例1】随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.(1)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5，7.5)(时)内的频率；(2)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表)；(3)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[4.5，6.5)(时)内的周数为X，求X的分布列以及数学期望.【典例2】已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (12，p )，且E (2ξ－3)＝5，则D (3ξ)＝( ) A.83B.8C.12D.24【典例3】某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16.” ①求抽奖者获奖的概率；②为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和均值.【考点九】均值与方差在决策问题中的应用【典例1】某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【典例2】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【典例3】某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．【真题训练】1.（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等2.（2021•北京）在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：．设X是检测的总次数，（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111求X的分布列与数学期望EX．（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设Y是检测的总次数，试判断数学期望EY与（Ⅰ）中EX的大小．（结论不要求证明）3. （2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P （ξ＝2）＝ ，E （ξ）＝ ．4. （2022•新高考Ⅱ）已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），且P （2＜X ≤2.5）＝0.36，则P （X ＞2.5）＝ ． 【热点预测】1. 某射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A ．0.28 B ．0.88 C ．0.79 D ．0.512. 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是( ) A.1425B.1225C.34D.353. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝A.32 B ．2 C.52 D ．34. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋225. 10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为( ) A.35B.23C.34D.4156. 随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.2 B ．3 C ．4 7. 从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是( ) A.435B.635C.1235D.363438. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N (80，52)，则直径在(75，90]内的概率为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A.0.682 6B.0.841 3C.0.818 5D.0.954 4 9. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D (X )＝( ) A ．2 B ．1 C.23 D.3410. 一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)11. 某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，兴趣小组的2个成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为( )A.112B.143144C.1172D.2314412. (多选题)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ak ＋1(k ＝1，2，5)，E (ξ)，D (ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A ．P (0＜ξ＜3.5)＝56 B ．E (3ξ＋1)＝7 C ．D (ξ)＝2D ．D (3ξ＋1)＝613. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．14. 甲、乙两人参加“请党放心，强国有我”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为________.15. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：16.设离散型随机变量X的分布列为若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.17.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.18.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝__________，E(ξ)＝__________．19.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)20.为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施.新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科.假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生. (1)求这3名学生都选择物理的概率；(2)设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列.21.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，其中a，b，c成等差数列且c＝2a.物理成绩统计如表．(说明：数学满分150分，物理满分100分)(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．22.某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买。