浙江省金华市十校2019年1月全国各地期末试题汇编高二第一学期期末调研考试数学试题及答案解析

2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点与点（）A. 关于平面对称B. 关于平面对称C. 关于平面对称D. 关于轴对称【答案】C【解析】【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.2.圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】【分析】计算两个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“”时，如，，故不能推出“”.当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.4.给定①②两个命题：①为“若，则”的逆否命题；②为“若，则”的否命题，则以下判断正确的是（）A. ①为真命题，②为真命题B. ①为假命题，②为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】【分析】判断①原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出②的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若，则”，由于时，，故否命题是假命题.所以①为真命题，②为假命题，故选C.5.设是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A. 存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面B. 存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面C. 不存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面D. 不存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面【答案】A【解析】【分析】画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示，分别是的中点.由图可知，，平面，平面.由此判断A选项正确，本题选A.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得函数的导数，然后令求出正确选项.【详解】依题意有，故，所以选D.7.如图，在空间四边形中，，，，，则异面直线与所成角的大小是（）A. B. C. D.【解析】【分析】通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能．．．为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，，，故.当时，，即，，，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在图中分别作出直线与平面、平面所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.同理过作，得到.由于，故，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线与直线垂直，则实数_______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.12.已知函数，则在处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______；该几何体的体积为______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_______；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则_______.【答案】 (1). (2). 6【分析】根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，，，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.15.若函数在上单调递减，则实数的值为_______.【答案】【解析】【分析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数的值.【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_______.【答案】【分析】根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17.已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是_______.【答案】【解析】【分析】过作直线，交于，交与，过作，交于.计算出的长，计算折叠后的长，计算出翻折过程中经过的角度，利用弧长公式计算出的运动轨迹的长度.【详解】过作直线，交于，交与，过作，交于.由于，故.在翻折过程中，，所以平面，所以.当时，，即三角形为等边三角形，.当时，，，.所以翻折过程中点运动的圆弧对应的圆心角为，故弧长为.【点睛】本小题主要考查翻折问题，考查空间想象能力和动态分析能力，属于中档题.三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18.已知平面上有两点，.（1）求过点的圆的切线方程；（2）若在圆上，求的最小值，及此时点的坐标.【答案】（1）和；（2）见解析【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意.当直线斜率存在是，设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线的斜率，由此求得切线方程.（2）用余弦定理求得的表达式，将问题转化为到原点距离的最小值来求解.【详解】（1）①斜率不存在时：满足条件；②斜率存在时，设直线：，，即∴切线方程为和.（2）在中，由余弦定理可知：，则当最小时，取最小值所以，，，.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱柱中，，侧面为菱形.（1）求证：平面平面；（2）如果点分别为，的中点，求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先征得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）取的中点，连，通过证明平面,平面，证得平面平面，进而证得平面.【详解】（1）证明：∵三棱柱的侧面为菱形，故，又，且为平面内的两条相交直线，故平面，因平面，故平面平面.（2）如图，取的中点，连又为的中点，故，因平面，平面，故平面，同理，平面.因为平面内的两条相交直线，故平面平面因平面故平面.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，属于中档题.20.如图，在三棱锥中，垂直于平面，，，，点分别为的中点，点为上一点，，直线平面.（1）求的值；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连结交于点，连结，利用线面平行的性质定理得到，利用相似比求得的值.（2）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，求得直线和平面所成角的正弦值.【详解】（1）连结交于点，连结，因为平面，又因为平面，平面平面所以那么在中，在中，点分别为的中点，所以，所以（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系不妨设则，，，，，设平面的法向量，则即取，得平面的一个法向量又，所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理，考查利用空间向量计算线面角的正弦值，属于中档题.21.已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过焦点的弦分别为，设，，若，求的值.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）根据焦点和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，设出的坐标，根据共线向量的坐标运算求得点坐标的表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，同理联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出韦达定理，由此计算得点的坐标，并求得的值.【详解】（1）由已知条件得，解得所以椭圆的方程为（2）设直线：，直线：，，，由，得，由，得联立得所以同理由，得消去得由，得，代入可得，又得（*）又，代入（*）式可得，解得或（舍去），所以.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.要求椭圆的标准方程，需要通过已知条件，转化为有关的方程组，解方程组求出的值，由此求得椭圆的标准方程，要注意椭圆焦点在哪个坐标轴上.22.已知函数，其中．（1）当时，求的最大值和最小值；（2）当时，证明：在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为），且为定值．【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，根据函数为奇函数，利用导数研究当时函数的单调性，由此求得函数在上的单调性，进而求得最大值和最小值.（2）①将写成分段函数的形式，当利用导数求得函数有一个极大值点和一个极小值点，当时，函数单调递增，没有极值点.由此证得结论成立. ②根据①的结论，写出关于极值点的韦达定理，计算出为定值.【详解】（1）当时，是奇函数，考虑，，求导得，当时，，当时，所以在单调递减，单调递增，又根据奇函数的对称性，可知在单调递减，和单调递增，，所以的最大值为，最小值为.（2）①当时，当时，，，，所以在有2个根，，其中，，则在和单调递增，在又在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增所以在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点②因为是方程的两个根，所以，又，所以为定值.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值和最小值，考查函数的奇偶性，考查含有绝对值函数的解题策略，考查利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.研究含有绝对值的函数，一般采用写成分段函数的方法，再对每段函数进行研究.。

2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（﹣1，2，3）（）A．关于xOy平面对称B．关于xOz平面对称C．关于yOz平面对称D．关于x轴对称2．（5分）圆x2+y2＝2与圆x2+y2+2x﹣2y＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．相离3．（5分）“x＞a“是“x＞|a|“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）给定①②两个命题：①为“若a＝b，则a2＝b2”的逆否命题；②为“若x＝﹣3，则x2+x﹣6＝0”的否命题．则以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为假命题，②为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题5．（5分）设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A．存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B．存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C．不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D．不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面6．（5分）已知f（x）＝，则f′（）＝（）A．﹣2﹣ln2B．﹣2+ln2C．2﹣ln2D．2+ln27．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）经过坐标原点O的直线l与曲线y＝|sin x|相切于点P（x0，y0）．若x0∈（π，2π），则（）A．x0+cos x0＝0B．x0﹣cos x0＝0C．x0+tan x0＝0D．x0﹣tan x0＝0 9．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使△POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是θ、φ，则（）A．θ＞φ，（tanθ）min＝B．θ＝φ，θmax＝45°C．θ＜φ，θmax＝45°D．θ＝φ，θmin＝45°二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11．（6分）已知直线l：m2x+my﹣5＝0，若l的倾斜角为45°，则实数m＝；若直线l与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，则实数m＝．12．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，则f（x）在x＝0处的切线方程为；单调递减区间是．13．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形．则该几何体的最长的棱的长度为；该几何体的体积为．14．（6分）如图，已知抛物线C：y2＝8x，则其准线方程为；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝．15．（6分）若函数f（x）＝e﹣x（x2+ax﹣a）在R上单调递减，则实数a的值为．16．（6分）过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为．17．（4分）已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（12分）已知平面上有两点A（﹣1，0），B（1，0）．（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线方程；（Ⅱ）若P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB垂直于平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD，AB ＝BD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AF＝λAC，直线CG∥平面BEF．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭图上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0＞0）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的弦分别为P A，PB，设＝λ1，＝λ2，若λ1＝2，求λ2的值22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2x|x﹣a|，其中x∈[﹣2，2]．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当＜a＜2时，证明：f（x）在[﹣2，2]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2），且为定值．2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（﹣1，2，3）关于yOz平面对称．故选：C．2．【解答】解：圆心分别为（0，0），（﹣1，1），半径分别为，，圆心距为：，两圆半径之和为2所以两圆相交．故选：A．3．【解答】解：若a≥0，由x＞|a|得x＞a，若a＜0，则由x＞|a|得x＞﹣a，此时x＞﹣a＞a成立，即必要性成立，当a＜0时，不妨设a＝﹣1，则由x＞﹣1，不一定推出x＞|﹣1|，即充分性不成立，则“x＞a“是“x＞|a|“的必要不充分条件，故选：B．4．【解答】解：若a＝b，则a2＝b2为真命题，可得其逆否命题也为真命题，故①为真命题；“若x＝﹣3，则x2+x﹣6＝0”的否命题为“若x≠﹣3，则x2+x﹣6≠0”，取x＝2，可得x2+x﹣6＝0，故②为假命题．故选：C．5．【解答】解：在正方体ABCD﹣中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．∴由l，m是两条异面直线，知：存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面．故选：A．6．【解答】解：f（x）＝（），则函数的导数为f′（x）＝•＝（﹣），则f′（）＝•（﹣）＝（2+ln2）＝2+ln2，故选：D．7．【解答】解：如图，在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG＝CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，连接AC，AG，CG，在△BCD中，由∠CBD＝90°，BC＝BD＝1，可得CD＝，∴BG＝．在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝1，AB＝，由余弦定理可得．由∠ABD＝∠CBD＝90°，可得BD⊥平面ABC，则CG⊥平面ABC，可得∠ACG＝90°．在Rt△ACG中，可得AG＝，又AB＝，∴△ABG为等边三角形，即∠ABG＝60°．∴异面直线AB与CD所成角的大小是60°．故选：B．8．【解答】解：经过坐标原点O的直线l与曲线y＝|sin x|相切于点P（x0，y0），若x0∈（π，2π），可得直线与y＝﹣sin x相切于P，由y＝﹣sin x的导数y′＝﹣cos x，可得﹣cos x0＝，即有x0＝＝tan x0，即为x0﹣tan x0＝0，故选：D．9．【解答】解：如图，当∠OFB＝90°时，则，即b2＝a2﹣c2＝ac，∴e2+e﹣1＝0，解得e＝（舍），或e＝；当∠POF＝90°时，b＝c，则b2＝a2﹣c2＝c2，得e＝；当∠OPF＝90°时，以OF为直径的圆的方程为，联立，得c2x2﹣a2cx+a2b2＝0．由△＝a4c2﹣4a2b2c2≥0，得a2﹣4b2＝a2﹣4（a2﹣c2）≥0，即，可得，∵∉[，1），∈[，1）．∴椭圆的离心率不可能是．故选：C．10．【解答】解：过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则EM＝EN＝a，MF≥a，NF≥a，∠EFM＝θ，∠EFN＝φ，∴tanθ＝≤1，∴θmax＝45°，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EM⊥平面AC，EN⊥平面BC1，∴四边形EMFN的四个内角都是90°，∴θ＜φ，θmax＝45°，故选：C．二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11．【解答】解：直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan45°＝1，即直线斜率存在，则m≠0，则直线的斜截式方程为y＝﹣mx+，即﹣m＝1，得m＝﹣1，直线x﹣2y﹣1＝0的斜截式方程为y＝x﹣，直线斜率为，直线l的斜截式方程为y＝﹣mx+，直线斜率k＝﹣m，若直线l与直线x﹣2x﹣1＝0垂直，则﹣m＝﹣1，即m＝2，故答案为：﹣1，2．12．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x的导数为f′（x）＝3x2﹣3，可得f（x）在x＝0处的切线斜率为﹣3，切点为（0，0），则切线的方程为y＝﹣3x；由3x2﹣3＜0，可得﹣1＜x＜1，可得减区间为（﹣1，1）．故答案为：y＝﹣3x，（﹣1，1）．13．【解答】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为的四棱锥体，所以：最长的棱长为l＝＝几何体的体积为：V＝，故答案为：．14．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x，得p＝4，．∴抛物线的准线方程为x＝﹣2；设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：|AF|＝，|BF|＝，且|AF|+|BF|＝|AB|，∴x1+x2＝|AB|﹣p，又，∴＝＝＝＝．由抛物线的性质可得：＝，又|AF|＝3，∴|BF|＝6．故答案为：x＝﹣2；6．15．【解答】解：f′（x）＝，若f（x）在R递减，则﹣x2+（2﹣a）x+2a≤0在R恒成立，即x2+（a﹣2）x﹣2a≥0在R恒成立，故△＝（a﹣2）2+8a≤0恒成立，故（a+2）2≤0恒成立，故a＝﹣2，故答案为：﹣2．16．【解答】解：设双曲线C1的右焦点F2，作NA⊥抛物线C2的准线于点A，则易得：丨NF1丨＝2丨MF1丨＝2b，丨NF2丨＝2丨MO丨＝2a＝丨AN丨，由Rt△F1MO～Rt△NAF1，则＝，∴，∴b2＝ac，则c2﹣a2﹣ac＝0，由e＝，则e2﹣e﹣1＝0，e＞1∴．曲线C1的离心率．故答案为：．17．【解答】解：过D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，D′E．∵矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，∴DE＝，BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE cos30°＝3+﹣2×××＝，则BE＝．∴D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠D′ED为二面角D﹣AC﹣D′的平面角．以E为原点，以EA，ED，ED′为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，设∠D′ED＝θ，则D（0，cosθ，sinθ），B（﹣1，﹣，0）∴BD＝＝，∴≤≤解得﹣≤cosθ≤，∴≤θ≤，∴D点轨迹的圆心角为，∴D点轨迹的长度为×＝π．故答案为：π．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为（3，4），半径r＝2，分2种情况讨论：①，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆相切，符合题意，②，当直线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x﹣1），则有＝2，解可得k＝，此时切线的方程为y＝（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，综合可得：切线的方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），则AP2+BP2＝（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2＝2（m2+n2）+2，又由OP＝，则当OP最小时，AP2+BP2取得最小值，又由P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上，则OP min＝5﹣2＝3，即（m2+n2）的最小值为9，此时AP2+BP2取得最小值，且其最小值为2×9+2＝20；此时m＝3×＝，n＝3×＝，即P的坐标为（，）．19．【解答】解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．20．【解答】解：（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，∵CG∥平面BEF，CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF＝PF，∴CG∥PF，在△ACG中，＝，在△ACG中，点E，G分别为AD，BD的中点，∴＝＝，∴＝．（Ⅱ）如图，以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则B（0，0，0），E（0，1，1），F（，），G（0，1，0），＝（0，1，1），＝（，），G（0，1，0），设平面BEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，﹣1），设直线FG和平面BEF所成角为θ，∵＝（﹣），∴sinθ＝＝＝．∴直线FG和平面BEF所成角的正弦值为．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c＝2，即a2﹣b2＝4，又+＝1，解得a＝，b＝，则椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）设直线AP：x＝my﹣2，BP：x＝ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），＝2，可得y0＝﹣2y1，＝λ2，可得y0＝﹣λ2y2，（λ2＞1），联立x＝my﹣2和x2+3y2＝6，可得（3+m2）y2﹣4my﹣2＝0，y0+y1＝，y0y1＝﹣，同理可得y0+y2＝﹣，y0y2＝﹣，①由y0＝﹣2y1，可得﹣y1＝，﹣2y12＝﹣，消去y1，可得m2＝，由y0＞0，可得m＝，可得P（﹣，），由y0＝﹣λ2y2，代入①可得（1﹣λ2）y2＝﹣，﹣λ2y22＝﹣，可得＝，又n＝＝＝﹣，即有8λ22﹣65λ2+8＝0，解得λ2＝8或（舍去），所以λ2＝8．22．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x3﹣2x|x|，考虑x＞0时，f（x）＝x3﹣2x2，f′（x）＝3x（x﹣），当x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，在（，2）递增，又根据奇函数的对称性知：f（x）在（﹣，）递减，在（﹣2，﹣），（，2）递增，而f（﹣2）＝f（2）＝0，f（﹣）＝，f（）＝﹣，故f（x）的最大值是f（﹣）＝，最小值是f（）＝﹣；（Ⅱ）①当＜a＜2时，f（x）＝，当a＜x≤2时，f′（x）＝3x2﹣4x+2a＝3+2a﹣＞0，故f（x）在（a，2）递增，没有极值点，当﹣2≤x≤a时，f′（x）＝3x2+4x﹣2a，f′（﹣2）＝4﹣2a＞0，f′（0）＝﹣2a＜0，f′（a）＝3a2+2a＞0，故f′（x）在（﹣2，a）有2个根x1，x2，其中x1∈（﹣2，0），x2∈（0，a），则f（x）在（﹣2，x1）和（x2，a）递增，在（x1，x2）递减，又f（x）在（a，2）递增，故f（x）在（﹣2，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，2）递增，故f（x）在（﹣2，2）上有且只有一个极大值点x1和一个极小值点x2，②∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+4x﹣2a＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，f（x1）﹣f（x2）＝（+2﹣2ax1）﹣（+2﹣2ax2）＝（x1﹣x2）[（+x1•x2+）+2（x1+x2）﹣2a]＝（x1﹣x2）（+﹣﹣2a）＝（x1﹣x2）（﹣﹣），又＝﹣4x1x2＝+，∴＝﹣为定值．。

金华十校2018—2019学年第一学期期末调研考试高二地理试卷注意：本卷满分100分，考试时间90分钟。

答案必须做在答题卷上，否则无效。

一、选择题（本题共有25小题，每小题2分，共50分。

每小题都只有一个正确选项，不选、多选、错选均不得分。

）1．2018年11月19日，两颗北斗导航卫星成功发射。

威胁“北斗三号”在太空中安全运行的太阳活动主要是 ①黑子 ②极光 ③耀斑 ④太阳风 A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 2．四川盆地紫色土富含的钙、磷、钾等养分元素最初来源于A ．成土母质B ．地形C ．生物D ．气候 3．森林土壤的有机质含量一般低于草地，原因主要是 A ．森林覆盖的地区没有枯枝落叶 B ．草原地区有机质分解的速度快 C ．森林提供的有机质主要在根系 D ．草类根系茂密且集中于近地表 4．北半球大洋中、低纬度海区洋流 A ．大洋东侧为暖流 B ．大洋西侧为寒流 C ．呈顺时针方向流动 D ．从低纬流向高纬读春季某时刻亚洲部分地区海平面气压分布图（单位：百帕），完成5、6题。

5．图示时刻A ．气压：甲地低于丁地B ．风速：乙地小于丙地C ．气温：丙地高于甲地D ．风向：丁地与乙地相同 6．未来两天，丙地气象部门最可能发布①大风预警 ②森林火灾预警 ③干旱预警 ④低温冻害预警 A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④读澳大利亚甲、乙、丙、丁四地的降水资料（单位：mm ）。

完成7、8题。

第5、6题图第7、8题图1丁甲乙丙120°150°23.5°S 第7、8题图21月 4月 7月 10月 全年 ①130.5 132.9 56.3 88 1302.1 ②9.2 47.2 158.3 46.1 776.8 ③396.9 224.5 25.6 43.6 2064.4 ④204.319.22.51.8597.17．降水资料与乙地匹配正确的是A．①B．②C．③D．④8．关于丁地降水成因的叙述，正确的是A．终年受赤道低压带控制B．终年受东北信风影响C．沿岸洋流增温增湿作用D．山脉背风坡阻挡水汽反照率是指某表面反射辐射量与入射辐射量的比值，反映了地表对太阳辐射的吸收能力。

金华十校2018-2019学年第一学期调研考试高二数学卷全解一、选择题(4×10=40分)1．C【解析】因为两点的y坐标和z坐标相等，x坐标相反，所以两点关于yOz平面对称，选C．2．A【解析】两圆的圆心分别是()-，圆心距0,0和()1,1是2，半径都是2，所以两圆相交，选A．3．B【解析】因为|a|≥a，所以x>|a|⇒ x>a，但x>a⇏x>|a|，所以选B．4. C【解析】若a=b，则a2=b2是真命题，所以逆否命题为真，①为真命题，“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题是“若x≠－3，则x2＋x－6≠0”是假命题，所以②为假命题，选C5．A【解析】l，m是两条异面直线，设n为与l平行且与m 相交的直线，则存在与n ，m 都垂直的直线，也存在与与n ，m 都平行的平面，从而也存在与l ，m 都垂直的直线，存在与l ，m 都平行的平面，选A ． 6．D 【解析】()()1211222ln 22x x xxf x x--⨯'=，所以112ln 2ln 222f ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，选D ．7． B 【解析】补成正方形，如图，异面直线AB 与CD所成角为60º，所以选B ．8． D 【解析】x ∈(π,2π)时，y =|sin x |=-sin x ，∴ y ′ =-cos x ，∴00cos =-y x x ，tan x 0= x 0故选D ．9．C 【解析】（1）若OP =OF ，则e =2.2（2）若PF =OF ，则记F 1为左焦点，则15PF c =，1512=52a PF PF c c e -+=-⇒=；（3）若PF =OP ，则记F 1为左焦点，则1102,22PF c PF c ==，11021022=222a PF PF c c e -+=+⇒=．选C ．10．B 【解析】EF 在平面A 1C 上运动，而平面A 1C 平分90º二面角A 1D 1-BC -B 1C 1，∴θ=ϕ 且θ max =45º，故选B.二、填空题（9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分）11．-1，2．【解析】若直线l 的倾斜角为45°，则斜率为1，由已知l 的斜率为－m ，所以m ＝-1；若直线l 与直线x －2y －1＝0垂直，则实数－m·12=-1，得m ＝2．12．y =-3x ，(-1,1)．【解析】f '(x )＝3x 2－3，f ' (0)＝－3，所以f (x )在x =0处的切线方程为y =－3x ；令f ' (x )＝3x 2－3<0，得-1<x <1，所以f (x )单调递减区间是(-1,1)． 13．10，423．【解析】描述的几何体是一个直四棱锥，底面正方形边长2，棱锥高为10，最长的棱长为()()22222+=10；V =13Sh =21223⨯⨯=423．14．x =-2，6．【解析】易得准线方程为x =-2；设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AF= x 1+2=3，得x 1=1，又因为x 1·x 2=24p =4，得x 2=4，所以BF = x 2+2=6．15．-2【解析】f (x )＝2e ()x x ax a -+-在R 上单调递减，则f ' (x )≤0在R 上恒成立，又f ' (x )=2(2)2xx a x ae -+-+，令f ' (x )≤0得2(2)2x a x a +--≥0，△=(a +2)2≤0，得a =-2． 16．512+．【解析】如图所示，由题意可知，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以|AN |＝|F 2N |＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，在Rt △F 1F 2N 中，cos ∠NF 1F 2＝b c，在Rt △F 1AN 中，cos ∠F 1NA ＝a b，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c＝a b，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解得e ＝512+或e ＝152-(舍去)．17．36π．【解析】如图，已知D 在以DO （DO AC ⊥，32DO =）为半径的半圆上运动，所在面与AO 垂直，过B 作BE DO ⊥于E ，则DE 即上述圆的直径，190BED ∠=o ，290BED ∠=o （设1D ，2D 为D 两个位置点12137,22BD BD ==），因1BE =，则 1233,22ED ED ==，则1260D OD ∠=o ，所以运动的路程圆弧长为36π三. 解答题(74分)18. 解：(Ⅰ)①斜率不存在时：1x = 满足条件；……………………………………… 2分②斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，2343241k k k k--=⇒=+，即3430x y --=.∴切线方程为： 1x =和3430x y --=.…………………………………………6分(Ⅱ)在△ABP中，由余弦定理可知：()2222142AP BP OP AB +=+，………… 8分 EBAEBA则当OP最小时，22AP BP +取最小值. ………………………………………… 11分所以OP min =5-2=3，394129123,3,,555555x y P P P ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭.…………………14分 19. 解：(Ⅰ)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C⊥BC 1． ………………………………………………………………………2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线， 故B 1C ⊥平面ABC 1． (5)分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1， 故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………… 7分(Ⅱ)如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1， 故DF ∥面ABC 1． ………………………………………………………………12分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…………………………………………………………14分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………15分20. 解：(Ⅰ)连结AG交BE于点P，连结PF，因为CG∥平面BEF，又因为CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF=PF．所以CG∥PF．………………………………………………………………………4分那么在△ACG中，AFAC =AP AG在△ACG中，点E，G分别为,AD BD的中点，所以PGAP=EGAB=12，所以λ=AFAC =APAG=23．………………………………………………………7分(Ⅱ)如图，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．不妨设AB =2． 则B (0,0,0)，E (0,1,1)，F (23,23,23)，G (0,1,0)． …………………10分BE u u u r=(0,1,1)，BE u u u r=(23,23,23)．设平面BEF 的法向量n =(x ,y , z )，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2()0.3y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取y =1，得平面BEF 的一个法向量n =(0,1,-1)， ……………………………3分又FGu u u r =(-23,13,-23)，所以sin θ=FG ⋅u u u r n n=11332+=22．………………………15分21. 解：(Ⅰ)由已知条件得：22224,311,a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：226,2,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为：22162x y +=………………………………………………… 6分(Ⅱ)设直线PA ：x =my -2，直线PB ：x =ny +2，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2). 由112PF F A=u u u r u u u r，得y 0=-2 y 1，由222PF F Bλ=u u u u r u u u u r ，得y 0=2λ-y 2．……………………8分联立222,3 6.x my x y =-⎧⎨+=⎩得22(3)420m y my +--=．所以0120124,32.m y y m y y ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=同理0220224,32.n y y n y y -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=由y 0=-2 y 1，得1012210124,322.3m y y y m y y y m ⎧-=+=⎪⎪+⎨-⎪-=⋅=⎪+⎩消去m 得m 2=15．……………………… 11分 由y 0>0，得m =55，代入可得P (32-,52)．又220222220224(1),32.3n y y y n y y y n λλ-⎧-=+=⎪⎪+⎨-⎪-=⋅=⎪+⎩得22222(1)83n n λλ-=+．(*) ……………………14分又21PF n k ==7252-=75-，代入(*)式可得22286580λλ-+=， 解得2λ=8或2λ=18(舍去)，所以2λ=8. …………………………………………… 15分22.解：(Ⅰ)当0a =时，f (x )=x 3-2x |x |是奇函数，考虑x >0时，f ( x )=x 3-2x 2. 求导得()243433f x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，……………………………………………2分当43x >时，()0f x '>，当403x <<时，()0f x '<所以f (x )在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；又根据奇函数的对称性，可知f (x )在44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭和4,23⎛⎫⎪⎝⎭单调递增。

2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（-1，2，3）（）A. 关于xOy平面对称B. 关于xOz平面对称C. 关于yOz平面对称D. 关于x轴对称【答案】C【解析】解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（-1，2，3）关于yOz平面对称．故选：C．在空间直角坐标系中，点（a，b，c）与点（-a，b，c）关于yOz平面对称．本题考查空间中点的对称的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y=0的位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】解：圆心分别为（0，0），（-1，1），半径分别为，，圆心距为：，两圆半径之和为2所以两圆相交．故选：A．根据圆心距小于两圆半径之和可得相交．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．3.“x＞a“是“x＞|a|“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若a≥0，由x＞|a|得x＞a，若a＜0，则由x＞|a|得x＞-a，此时x＞-a＞a成立，即必要性成立，当a＜0时，不妨设a=-1，则由x＞-1，不一定推出x＞|-1|，即充分性不成立，则“x＞a“是“x＞|a|“的必要不充分条件，故选：B．根据绝对值的意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4.给定①②两个命题：①为“若a=b，则a2=b2”的逆否命题；②为“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题．则以下判断正确的是（）A. ①为真命题，②为真命题B. ①为假命题，②为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】解：若a=b，则a2=b2为真命题，可得其逆否命题也为真命题，故①为真命题；“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题为“若x≠-3，则x2+x-6≠0”，取x=2，可得x2+x-6=0，故②为假命题．故选：C．由原命题和逆否命题等价，可判断①；写出命题的否命题，取x=2，计算可判断②．本题考查四种命题的形式和真假判断，注意运用相互关系和反例法，考查推理能力，属于基础题．5.设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A. 存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B. 存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C. 不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D. 不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面【答案】A【解析】解：在正方体ABCD-中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．∴由l，m是两条异面直线，知：存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面．故选：A．在正方体ABCD-中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.已知f（x）=，则f′（）=（）A. -2-ln2B. -2+ln2C. 2-ln2D. 2+ln2【答案】D【解析】解：f（x）=（），则函数的导数为f′（x）=•=（-），则f′（）=•（-）=（2+ln2）=2+ln2，故选：D．求函数的导数，令x=，代入求解即可．本题主要考查函数的导数的计算，根据导数的运算法则进行求导是解决本题的关键．7.如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠CBD=90°，∠ABC=45°，BC=BD=1，AB=，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】解：如图，在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG=CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，连接AC，AG，CG，在△BCD中，由∠CBD=90°，BC=BD=1，可得CD=，∴BG=．在△ABC中，∠ABC=45°，BC=1，AB=，由余弦定理可得．由∠ABD=∠CBD=90°，可得BD⊥平面ABC，则CG⊥平面ABC，可得∠ACG=90°．在Rt△ACG中，可得AG=，又AB=，∴△ABG为等边三角形，即∠ABG=60°．∴异面直线AB与CD所成角的大小是60°．故选：B．在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG=CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，求解三角形得到BG，AG的长度，结合已知AB=，可得△ABG为等边三角形，即∠ABG=60°，即异面直线AB与CD所成角的大小是60°．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.经过坐标原点O的直线l与曲线y=|sin x|相切于点P（x0，y0）．若x0∈（π，2π），则（）A. x0+cos x0=0B. x0-cos x0=0C. x0+tan x0=0D. x0-tan x0=0【答案】D【解析】解：经过坐标原点O的直线l与曲线y=|sin x|相切于点P（x0，y0），若x0∈（π，2π），可得直线与y=-sin x相切于P，由y=-sin x的导数y′=-cos x，可得-cos x0=，即有x0==tan x0，即为x0-tan x0=0，故选：D．由题意可得得直线与y=-sin x相切于P，求得函数的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，结合同角基本关系式，即可得到结论．本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式，以及同角基本关系式，考查运算能力，属于基础题．9.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使△POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．由题意画出图形，然后分类求解得答案．【解答】解：如图，当∠OFP=90°时，则，即b2=a2-c2=ac，∴e2+e-1=0，解得e=（舍），或e=；当∠POF=90°时，b=c，则b2=a2-c2=c2，得e=；当∠OPF=90°时，以OF为直径的圆的方程为，联立，得c2x2-a2cx+a2b2=0．由△=a4c2-4a2b2c2≥0，得a2-4b2=a2-4（a2-c2）≥0，即，可得，∵∉[，1），∈[，1）．∴椭圆的离心率不可能是．故选C．10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是θ、φ，则（）A. θ＞φ，（tanθ）min=B. θ=φ，θmax=45°C. θ＜φ，θmax=45°D. θ=φ，θmin=45°【答案】C【解析】解：过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为a，则EM=EN=a，MF≥a，NF≥a，∠EFM=θ，∠EFN=φ，∴tanθ=≤1，∴θmax=45°，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EM⊥平面AC，EN⊥平面BC1，∴四边形EMFN的四个内角都是90°，∴θ＜φ，θmax=45°，故选：C．过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为a，则EM=EN=a，MF≥a，NF≥a，∠EFM=θ，∠EFN=φ，从而tanθ=≤1，进而θmax=45°，再由四边形EMFN的四个内角都是90°，能推导出θ＜φ．本题考查线面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共40.0分）11.已知直线l：m2x+my-5=0，若l的倾斜角为45°，则实数m=______；若直线l与直线x-2y-1=0垂直，则实数m=______．【答案】-1 2【解析】解：直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k=tan45°=1，即直线斜率存在，则m≠0，则直线的斜截式方程为y=-mx+，即-m=1，得m=-1，直线x-2y-1=0的斜截式方程为y=x-，直线斜率为，直线l的斜截式方程为y=-mx+，直线斜率k=-m，若直线l与直线x-2x-1=0垂直，则-m=-1，即m=2，故答案为：-1，2．求出直线的斜截式方程，结合直线斜率和倾斜角的关系进行求解即可得m，结合直线垂直与斜率关系进行求解即可．本题主要考查直线斜率和倾斜角的关系，结合直线垂直于斜率的关系是解决本题的关键．12.已知函数f（x）=x3-3x，则f（x）在x=0处的切线方程为______；单调递减区间是______．【答案】y=-3x（-1，1）【解析】解：函数f（x）=x3-3x的导数为f′（x）=3x2-3，可得f（x）在x=0处的切线斜率为-3，切点为（0，0），则切线的方程为y=-3x；由3x2-3＜0，可得-1＜x＜1，可得减区间为（-1，1）．故答案为：y=-3x，（-1，1）．求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；由导数小于0，可得减区间．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查方程思想和运算能力，属于基础题．13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形．则该几何体的最长的棱的长度为______；该几何体的体积为______．【答案】【解析】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为的四棱锥体，所以：最长的棱长为l==几何体的体积为：V=，故答案为：．首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和勾股定理的应用公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型．14.如图，已知抛物线C：y2=8x，则其准线方程为______；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=______．【答案】x=-2 6【解析】解：由抛物线C：y2=8x，得p=4，．∴抛物线的准线方程为x=-2；设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：|AF|=，|BF|=，且|AF|+|BF|=|AB|，∴x1+x2=|AB|-p，又，∴====．由抛物线的性质可得：=，又|AF|=3，∴|BF|=6．故答案为：x=-2；6．由抛物线方程求得p，进一步求得的值，则抛物线的准线方程可求；再由已知结合抛物线性质求解|BF|的值．本题考查抛物线的方程及其简单性质，是基础题．15.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为______．【答案】-2【解析】解：f′（x）=，若f（x）在R递减，则-x2+（2-a）x+2a≤0在R恒成立，即x2+（a-2）x-2a≥0在R恒成立，故△=（a-2）2+8a≤0恒成立，故（a+2）2≤0恒成立，故a=-2，故答案为：-2．求出函数的导数，问题转化为x2+（a-2）x-2a≥0在R恒成立，结合二次函数的性质求出a的值即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道常规题．16.过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为______．【答案】【解析】解：设双曲线C1的右焦点F2，作NA⊥抛物线C2的准线于点A，则易得：丨NF1丨=2丨MF1丨=2b，丨NF2丨=2丨MO丨=2a=丨AN丨，由Rt△F1MO～Rt△NAF1，则=，∴，∴b2=ac，则c2-a2-ac=0，由e=，则e2-e-1=0，e＞1∴．曲线C1的离心率．故答案为：．由题意可知根据根据三角形相似，求得=，即b2=ac，则c2-a2-ac=0，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，相似三角形的性质，中位线定理，考查计算能力，属于中档题．17.已知矩形ABCD，AB=，AD=1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是______．【答案】π【解析】解：过D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，D′E．∵矩形ABCD中，AB=，AD=1，∴DE=，BE2=AB2+AE2-2AB•AE cos30°=3+-2×××=，则BE=．∴D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠D′ED为二面角D-AC-D′的平面角．以E为原点，以EA，ED，ED′为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，设∠D′ED=θ，则D（0，cosθ，sinθ），B（-1，-，0）∴BD==，∴≤≤解得-≤cosθ≤，∴≤θ≤，∴D点轨迹的圆心角为，∴D点轨迹的长度为×=π．故答案为：π．过D作DE⊥AC，垂足为E，则D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角D-AC-D′的大小为θ，用θ表示出B和D的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．本题考查了空间距离的计算，建立坐标系用θ表示出BD的长是解题的关键，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知平面上有两点A（-1，0），B（1，0）．（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（x-3）2+（y-4）2=4的切线方程；（Ⅱ）若P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，圆（x-3）2+（y-4）2=4的圆心为（3，4），半径r=2，分2种情况讨论：①，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，与圆相切，符合题意，②，当直线的斜率存在时，设切线的方程为y=k（x-1），则有=2，解可得k=，此时切线的方程为y=（x-1），即3x-4y-3=0，综合可得：切线的方程为x=1或3x-4y-3=0；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），则AP2+BP2=（m+1）2+n2+（m-1）2+n2=2（m2+n2）+2，又由OP=，则当OP最小时，AP2+BP2取得最小值，又由P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，则OP min=5-2=3，即（m2+n2）的最小值为9，此时AP2+BP2取得最小值，且其最小值为2×9+2=20；此时m=3×=，n=3×=，即P的坐标为（，）．【解析】（Ⅰ）根据题意，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），分析可得AP2+BP2=（m+1）2+n2+（m-1）2+n2=2（m2+n2）+2，分析（m2+n2）的几何意义，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．【答案】解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．【解析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．20.如图，在三棱锥A-BCD中，AB垂直于平面BCD，BC⊥CD，BC=CD，AB=BD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AF=λAC，直线CG∥平面BEF．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，∵CG∥平面BEF，CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF=PF，∴CG∥PF，在△ACG中，=，在△ACG中，点E，G分别为AD，BD的中点，∴==，∴=．（Ⅱ）如图，以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则B（0，0，0），E（0，1，1），F（，），G（0，1，0），=（0，1，1），=（，），G（0，1，0），设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，-1），设直线FG和平面BEF所成角为θ，∵=（-），∴sinθ===．∴直线FG和平面BEF所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，推导出CG∥PF，由此能求出结果．（Ⅱ）以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线FG和平面BEF所成角的正弦值．本题考查实数值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭图上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0＞0）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的弦分别为PA，PB，设=λ1，=λ2，若λ1=2，求λ2的值【答案】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，即a2-b2=4，又+=1，解得a=，b=，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设直线AP：x=my-2，BP：x=ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），=2，可得y0=-2y1，=λ2，可得y0=-λ2y2，（λ2＞1），联立x=my-2和x2+3y2=6，可得（3+m2）y2-4my-2=0，y0+y1=，y0y1=-，同理可得y0+y2=-，y0y2=-，①由y0=-2y1，可得-y1=，-2y12=-，消去y1，可得m2=，由y0＞0，可得m=，可得P（-，），由y0=-λ2y2，代入①可得（1-λ2）y2=-，-λ2y22=-，可得=，又n===-，即有8λ22-65λ2+8=0，解得λ2=8或（舍去），所以λ2=8．【解析】（Ⅰ）由题意可得c=2，即a2-b2=4，代入已知点的坐标，可得a，b的方程组，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AP：x=my-2，BP：x=ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，消元可得m的值，即有P的坐标，化简整理可得8λ22-65λ2+8=0，解方程可得所求值．本题考查椭圆方程的求法，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=x3-2x|x-a|，其中x∈[-2，2]．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当＜a＜2时，证明：f（x）在[-2，2]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2），且为定值．【答案】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x3-2x|x|，考虑x＞0时，f（x）=x3-2x2，f′（x）=3x（x-），当x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，在（，2）递增，又根据奇函数的对称性知：f（x）在（-，）递减，在（-2，-），（，2）递增，而f（-2）=f（2）=0，f（-）=，f（）=-，故f（x）的最大值是f（-）=，最小值是f（）=-；（Ⅱ）①当＜a＜2时，f（x）=，当a＜x≤2时，f′（x）=3x2-4x+2a=3+2a-＞0，故f（x）在（a，2）递增，没有极值点，当-2≤x≤a时，f′（x）=3x2+4x-2a，f′（-2）=4-2a＞0，f′（0）=-2a＜0，f′（a）=3a2+2a＞0，故f′（x）在（-2，a）有2个根x1，x2，其中x1∈（-2，0），x2∈（0，a），则f（x）在（-2，x1）和（x2，a）递增，在（x1，x2）递减，又f（x）在（a，2）递增，故f（x）在（-2，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，2）递增，故f（x）在（-2，2）上有且只有一个极大值点x1和一个极小值点x2，②∵x1，x2是方程f′（x）=3x2+4x-2a=0的两个根，∴x1+x2=-，x1•x2=-，f（x1）-f（x2）=（+2-2ax1）-（+2-2ax2）=（x1-x2）[（+x1•x2+）+2（x1+x2）-2a]=（x1-x2）（+--2a）=（x1-x2）（--），又=-4x1x2=+，∴=-为定值．【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数的形式，根据导函数的单调性得到x1，x2是方程f′（x）=3x2+4x-2a=0的两个根，求出x1+x2=-，x1•x2=-，以及f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（--），=+，从而求出的值．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

金华十校2018-2019学年第一学期调研考试高二技术 试题本试卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。

全卷共??页，第一部分1至8页，第二部分9-??页。

满分100分，考试时间90分钟。

第一部分 信息技术（50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、错选、多选均不得分）1. 下列有关信息和信息技术说法正确的是（ ）A ．信息越早获取其价值就越大B. 信息可以脱离载体在网络世界里自由传播C. 经过加工、处理，信息往往可以从一种形态转换为另一种形态D.某GPS 导航规划的路线经常出错，更新数据后很少出错，主要体现信息的真伪性2. 下列有关信息和信息技术说法正确的是（ ）A ．因特网信息资源的三种主要评价方式分别是统计评价、核心刊物评价、专家推荐B. 网页的本质是使用HTTP 语言编写的文本文件C. 国际互联网标准化组织制定了各种通信协议（如TCP/IP 等），目的是为了信息表达的规范化D. 文字、语言、声音、图像、广播、电视等都是信息的表达方式3. 下列有关多媒体技术说法错误的是（ ）A ．多媒体技术是指以计算机为平台综合处理多种媒体的技术B. 多媒体技术具有多样性、交互性、实时性三个显著特征C. 将BMP 格式的图片另存为JGP 格式，实现了多媒体图像的数据压缩D. 计算机对各类媒体进行加工处理，本质上都是通过计算完成的4. 编辑某Word 文档，部分界面如下所示，下列说法正确的是（ ）A ．文中图片环绕方式为四周型B. 将Word 文档的用户名缩写改为FC 后，对末尾“容器”两字添加批注，则批注编号为“FC1”C. 可以使用“替换”功能将文中所有“人工智能”都设置为红色D. 接受所有修订后，第一行部分文字将变为“人工智能是计算机科学的一个分支，”5. 一副未经压缩的1024*768像素的BMP 图像，其存储容量约为1.5 MB ，则该图片可能的颜色数为（ ）A. 22B. 24C. 28D. 216 6. 某算法流程图如下图所示：绝密★启用前金华十校2018-2019学年第一学期调研考试高三信息技术答案一、选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分。

2019-2020学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知向量a →=(−2，4，3)，b →=(1，−2，x)，若a →⊥b →，则x ＝（ ） A ．−32B ．103C ．﹣2D ．22．（3分）已知x ，y ∈R ，则“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（3分）已知直线a ，b 和平面α．则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ⊥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥αD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊂α4．（3分）已知m ＜1且m ≠0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1与x 24+y 23=1必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点A （cos130，sin130），B （cos70，sin70）的直线距离为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．16．（3分）若f （x ）＝3（x ﹣1）f '（1）+x 2，则f （2）﹣f '（2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =2π3，线段AD ，BD 的中点分别E ，F ．现将MBD 沿对角线BD 翻折，当二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．√356B ．16C ．2√65D ．158．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f'（x）﹣f（x）＞0，则（）A．G（x）＝e x f（x）是增函数，ef（2020）＞f（2019）B．G（x）＝e x f（x）是减函数，ef（2020）＜f（2019）C．F(x)=f(x)e x是增函数，f（2020）＞ef（2019）D．G(x)=f(x)e x是减函数，f（2020）＜ef（2019）9．（3分）已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点F1，F2，两曲线在第﹣一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝8，椭圆和双线线的离心率分别为e1，e2，则2e1+1e2的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（2，4）D．（2√2，4）10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E、N分别为边AB，BC的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1与A不重合），若M、K分别为线段A1D，A1C 的中点，则在MDE折起过程中，（）A．DE可以与A1C垂直B．不能同时做到MN∥平面A1BE且BK∥平面A1DEC．当MN⊥A1D时，MN⊥平面A1DED．直线A1C、BK与平面BCDE所成角分别为θ1，θ2，θ1，θ2能够同时取得最大值二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）设两直线l1：（3﹣m）x+4y＝1与l2：2x+（5﹣m）y＝1，若l1∥l2，则m＝；若l1⊥l2，则m＝．12．（3分）已知函数f（x）＝xe2x﹣1，则函数f（x）的极小值为，零点有个．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为；外接球体积为．14．（3分）已知抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝﹣1，则a ＝ ，若过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则|y 1|+4|y 2|的最小值为 ． 15．（3分）已知函数f(x)=12x 2−4x +3lnx 在区向间(t ，t +32)上是单调函数，则实数t 的取值范围 ．16．（3分）如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，∠DAB ＝60°，AC 和BD 交于点O ，AB ＝AF ，点P 为线段CE 上任意﹣点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围是 ．17．（3分）已知抛物线y =12x 2的焦点为F ，A 是抛物线上两点，且|AF |+|BF |＝n ，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为C （0，4），则n ＝ ． 三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知点P （1，2），圆C ：x 2+y 2﹣6y ＝0．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程； （2）设A 是圆C 上的动点，求OA →⋅OP →（O 为坐标原点）的取值范围．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，CA ＝CB ，∠BAA 1＝60°． （1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面ABB 1A 1⊥平面CGA 1；（2）若M 、N 、Q 分别是线段A 1B 1、CB 1、CB 的中点，求证：直线C 1A 1∥平面MNQ ．20．已知四棱锥P ﹣ABCD ，BC =CD =12DA ，BC ∥AD ，∠ADC ＝90°，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，PC =√2． （1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若BC ＝1，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ﹣ABCD 的体积最大时，求二面角B ﹣PC ﹣D 的大小． 21．已知函数f （x ）＝2ax ﹣ln （x +1），a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜32时，若对任意的x ∈（﹣1，+∞），均有f(x)≥ln 12a ，求实数a 的取值范围． 22．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点(2√33，√2)在椭圆C 上，且△F 1AF 2的面积为√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx +1与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得∠OEB ＝∠OED ，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段F 1F 2上一点，若△PQF 1与△PQF 2的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．2019-2020学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知向量a →=(−2，4，3)，b →=(1，−2，x)，若a →⊥b →，则x ＝（ ） A ．−32B ．103C ．﹣2D ．2【解答】解：由a →⊥b →，可得a →⋅b →=0，即﹣2﹣8+3x ＝0， 解得x =103． 故选：B ．2．（3分）已知x ，y ∈R ，则“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由x 2+y 2＜1，可得﹣1＜x ＜1，且﹣1＜y ＜1． 则可得到（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，故充分性成立；反之若（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，可取x ＝y ＝2，显然得到不x 2+y 2＜1，故必要性不成立， ∴“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的充分不必要条件． 故选：A ．3．（3分）已知直线a ，b 和平面α．则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ⊥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥αD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊂α【解答】解：A 选项，由线面平行的判定定理知，应该是a ∥α或a ⊂α，即A 错误； B 选项，应该是a ∥α或a ⊥α或a ⊂α，即B 错误； C 选项，由线面垂直的性质定理可知，C 正确； D 选项，应该a ⊂α或a ∥α，即D 错误． 故选：C ．4．（3分）已知m ＜1且m ≠0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1与x 24+y 23=1必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【解答】解析：若m ＜0，则1﹣m ＞﹣m ＞0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1表示焦点在x轴上的椭圆，此时c 2＝a 2﹣b 2＝1﹣m ﹣（﹣m ）＝1，故焦点坐标为（±1，0）， 因此与椭圆x 24+y 23=1具有相同的焦点，故选：D ．5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点A （cos130，sin130），B （cos70，sin70）的直线距离为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．1【解答】解：k AB=sin70−sin130cos70−cos130=cos20−cos40sin20+sin40=cos20−2cos 220+1sin20+2sin20⋅cos20=1−cos20sin20=sin10cos10， 根据诱导公式可知：B （sin20，cos20），所以经过A ，B 两点的直线方程为：y −cos20=sin10cos10(x −sin20) 即sin10x ﹣cos10y +cos10cos20﹣sin10sin20＝0，即sin10x −cos10y +√32=0，所以原点O 到直线的距离为d =√32√sin 10+cos 10=√32，故选：C ．6．（3分）若f （x ）＝3（x ﹣1）f '（1）+x 2，则f （2）﹣f '（2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解答】解：求导f '（x ）＝3f '（1）+2x ，令x ＝1，则f '（1）＝3f '（1）+2．解得f '（1）＝﹣1， 因此f （x ）＝﹣3（x ﹣1）+x 2，f '（x ）＝2x ﹣3， 所以f （2）＝﹣3+4＝1．f '（2）＝1， 故f （2）﹣f '（2）＝0， 故选：B ．7．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =2π3，线段AD ，BD 的中点分别E ，F ．现将MBD 沿对角线BD 翻折，当二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）。

金华十校2023-2024学年第一学期调研考试高二数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线：230x y -+=与直线：220x ay +-=互相平行，则=a （）A .1B.4C.4- D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可.【详解】因为两直线平行，则有()1220a ⨯--⨯=，解得4a =-，经验证此时两直线不重合，故选：C .2.已知等差数列{}n a 中，3109a a +=，则12S =（）A.24 B.36C.48D.54【答案】D 【解析】【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意()()3113121012669542a a S a a +==+=⨯=.故选：D.3.如果函数()y x =在2x =处的导数为1，那么()()ΔΔ2l Δm 2i x f x f x→+-=（）A.1B.12C.13D.14【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数()y x =在2x =处的导数为1，根据导数的定义可知()()Δ0Δ22lim 1Δ22x f x f x →+-=+-，故选：A .4.过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A.250x y -+=B.230x y +-=C.240x y -+= D.20x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题意设直线方程为：20x y m -+=，将点()1,2P -代入求解.【详解】解：由题意设直线方程为：20x y m -+=，因为该直线过点()1,2P -，所以()2120m ⨯--+=，解得4m =，所以直线方程为：240x y -+=，故选：C5.圆C ：222245(0)x y x y r r +-+=->与圆22:6D x y +=的位置关系不可能（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D 【解析】【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.【详解】由题可得圆C ：()()22212x y r -+-=，则其圆心()1,2，半径为r ；圆22:6D x y +=，则其圆心为()0,0.r <+，故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.故选：D6.已知v为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），则下列说法中，正确的是（）A.1v n l ⇔α∥∥ B.12n n αβ⊥⇔⊥C.12n n αβ⇔⊥∥ D.1v n l ⊥⇔⊥α【答案】B 【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意112121,,//,v n l n n n n v n l ααααββ⇔⊥⊥⇔⊥⇔⇔⊥⊥∥∥或l ⊂α.故选：B.7.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval ）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M 和N ，动点为H ，若2MH NH ⋅=，则动点H 的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得H 的轨迹方程，从而确定正确答案.【详解】设2MN c =，以线段MN 的中点O 为平面直角坐标系原点，MN 为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()(),0,,0M c N c -，设(),H x y ，则()()222,,2MH NH x c y x c y x c y ⋅=+⋅-=-+= ，即2222x y c +=+，所以H 的轨迹是以原点为圆心，半径为.故选：B8.已知直线():1l y kx m k =+≠±与双曲线221x y -=有唯一公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()(),0,0,A x B y 两点，则当M 运动时，点(),P x y 到()()C D 、两点距离之和的最小值为（）A.4- B.4C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得点P 在双曲线22144x y -=上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.【详解】联立221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，化简并整理得()2221210k x kmx m -+++=，由题意()()()222Δ24110km k m =--+=，化简得221m k =-，解得22,11M M Mkm mx y kx m k k --==+=--，所以过点M 且与l 垂直的直线方程为22111km my x k k k ⎛⎫=-+- ⎪--⎝⎭，在该直线方程中分别令0,0y x ==，依次解得2222,0,0,11mk m A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以22222222222224441111P P A B mk m k x y x y k k k k --⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，即点P 在双曲线22144x y -=上面运动，双曲线22144x y -=的图象如图所示：若P 在右支上面，可以发现点()C 为22144x y-=的右焦点，不妨设其左焦点为()Q -，所以2444PC PD PQ PD a QD +=+-≥-==，等号成立当且仅当点P 与点E 重合，其中点E 为线段QD 与双曲线右支的焦点，若P 在左支上面，如图所示：所以2444PC PD PQ PD a QD +=++≥+==，等号成立当且仅当点P 与点F 重合，其中点F 为线段QD 与双曲线左支的焦点，综上所述，点(),P x y 到()()C D 、4-.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是求出点P 的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列导数运算正确的（）A.()e e xx'= B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()ln x x'=⎡⎤⎣⎦12 D.()()e 1exxx x '=+【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对A ，()e e x x '=，故A 正确；对B ，211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，B 错误；对C ，()ln x x x'=⋅=⎡⎤⎣⎦11222，C 正确；对D ，()e ee (1)e x xxx x x x '=+=+，D 正确.故选：ACD10.已知等差数列{}n a 的公差为3-，若70a >，80a <，则首项1a 的值可能是（）A.18B.19C.20D.21【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得71181161807210a a d a a a d a =+=->⎧⎨=+=-<⎩，所以11821a <<.故选：BC.11.已知抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，焦点为F ，点()()1122,,A x y B x y 是抛物线上的两点，抛物线在,A B 两点的切线交于点P ，则下列结论一定正确的（）A.抛物线的方程为：24x y =B.11AF y =+C.当直线AB 过焦点时，三角形OAB 面积的最小值为1D.若()1222AB y y =++，则AFB ∠的最大值为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线准线列方程求出参数p 即可判断；对于B ，由抛物线定义即可判断；对于C ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形OAB 面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得223t k =+或22133t k =-+，进一步由余弦定理基本不等式可得()min 1cos 2AFB ∠=-，由此即可判断.【详解】对于A ，抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，所以12p-=-，解得2p =，所以抛物线的方程为：24x y =，故A 正确；对于B ，因为点()11,A x y 在抛物线上，所以由抛物线定义可知11AF y =+，故B 正确；对于C ，由题意抛物线焦点坐标为()0,1，显然过焦点的直线AB斜率存在，如图所示：不妨取直线AB 的方程为1y kx =+，且120x x <<，联立抛物线方程24x y =，得2440x kx --=，所以212124,4,16160x x k x x k +==-∆=+>，所以()21212242y y k x x k +=++=+，()2121141AB y y k =+++=+，点()0,0O 到直线1y kx =+的距离为d =，所以三角形OAB面积为122S AB d ==≥，等号成立当且仅当0k =，即三角形OAB 面积的最小值为2，故C 错误；对于D ，显然直线AB 斜率存在，不妨取直线AB 的方程为y kx t =+，且120x x <<，如图所示：联立抛物线方程24x y =，得2440x kx t --=，所以2212124,4,161600x x k x x t k t k t +==-∆=+>⇒+>，所以()()21222121212242,16x x y y k x x t k t y y t +=++=+==，AB ===，因为()12322AB y y =++，所以()2242222k t ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，==，即223t k =+或22133t k =-+，而()()()()()22222212121231124cos 2211y y y y AF BF ABAFB AF BFy y +++-+++-∠==++()()()()2212121131318114442y y y y +++=-≥-=-++，等号成立当且仅当21220y y k t t ==+=>，解得0k =，此时22330t k =+=>或22110333t k =-+=>，且此时满足()2Δ16160k t t =+=>，即()min 1cos 2AFB ∠=-，所以AFB ∠的最大值为2π3，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得,k t 关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得1cos 2AFB ∠≥-，但,k t 是验证基本不等式等号是否成立的重要条件.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm ，重量为360g 的实心玩具，则下列说法正确的是（）A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.【答案】AD 【解析】【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A ，利用对称性得球的直径判断B ，求解两平行平面的距离判断C ，先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，对于A ，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，由题意，该几何的棱长为6cm AB =，所以正方体的棱长为622cm 2，正确；对于B ，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即212R =，解得6R =，所以包装盒的半径最小为6cm ，错误；对于C ，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面EMQ 与平面BCG 的距离，证明求解过程如下：如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，故11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，由正方体棱长为21A C =由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故264EMQ S =⨯= ，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得21111323A M ⨯⨯=⨯，解得21A M =，根据对称性知2111A M N C =，所以11212111M N A C A M N C =--=则平面EMQ 与平面BCG 的距离为，即该玩具的高度为，错误；对于D ，该几何体的体积为(311832V =-⨯⨯⨯=因为玩具的密度为0.707≈，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.故选：AD【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()2122f x x x =+在点()()22f ,处的切线斜率为________．【答案】4【解析】【分析】函数求导后，求得()2f '，即为所求.【详解】因为()2122f x x x =+，所以()2f x x '=+，则()2224f ='+=，故答案为：4.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列{}n a 满足冰雹猜想，其递推关系为：1a m =（m 为正整数），11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时若41a =，则m 所有可能的取值为________．【答案】1和8【解析】【分析】根据11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，利用递推求解.【详解】解：因为11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，所以3422a a ==或()341103a a =-=（舍去）；2324a a ==或()2311133a a =-=（舍去）；1228a a ==或()121113a a =-=，故答案为：1和815.如图，在四面体ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且1,2AE AH CF CG M EB HD FB GD ====是EG 和FH 的交点，以{},,AB AC AD 为基底表示AM ，则AM =________．【答案】111636AB AC AD++【解析】【分析】由题意首先得四边形EFGH 为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.【详解】因为12AE AH CF CG EB HD FB GD ====，所以1//,3EH BD EH BD =，同理1//,3FG BD FG BD =，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以()11113232AM AE EM AB EG AB E G A AC C =+=+=+++()61111113216366AB AB AC CA AD AB AC AD =+++-++=.故答案为：111636AB AC AD ++.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为5,3F 为椭圆C 的一个焦点，若F 关于直线y kx =的对称点恰好在椭圆C 上，则斜率k 的取值构成的集合为________．【答案】112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】求出点F 关于直线y kx =的对称点Q 的坐标，代入椭圆C 的方程中，整理计算可得参数.【详解】过点F 且与直线y kx =垂直的直线l 为1c y x k k =-+，两直线的交点22,11c ck M k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，从而点()22212,11c k ck Q k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.点Q 在椭圆C 上，则()()()22222222222214111k c k c a a c k k -+=-++，53e = 即()()()2222222154519411k k k k -⨯+⨯=++则24251k k =+,则4241740k k -+=，()()224140k k --=，2k =±或12k =±.故答案为：112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A ：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B ：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．（1）若此人选择在一家公司连续工作n 年，第n 年的月工资是分别为多少？（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（101.05 1.6≈）．【答案】（1）公司A ：3002700n +（元）；公司B ：13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈（2）从公司B 得到的报酬较多【解析】【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司A 、B 第n 年的月工资；（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.【小问1详解】选择在公司A 连续工作n 年，第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元,则他第n 年的月工资是：3000(1)3003002700n n +-⨯=+（元）()N*n ∈；选择在公司B 连续工作n 年，第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．则他第n 年的月工资13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈．【小问2详解】若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A 、公司B 得到的报酬分别为：公司A ：()()1230003000130030009300⎡⎤⨯++⨯+++⨯⎣⎦()19912300010123005220002+⨯=⨯⨯+⨯⨯=（元）．公司B ：()101291.0511237201 1.05 1.05 1.051237205356801.051-⨯⨯+++⋯+=⨯⨯≈-（元），因为535680522000>，故从公司B 得到的报酬较多.18.如图，已知圆柱下底面圆的直径6AB =，点C 是下底面圆周上异于,A B 的动点，圆柱的两条母线3CD BE ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCDE ；（2）求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）18【解析】【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用棱锥体积公式结合基本不等式求出最大值即可.【小问1详解】DC 为圆柱的母线，DC ∴⊥平面ABC ，又AC ⊆平面,ABC DC AC ∴⊥．①AB 是下底面圆的直径，AC BC ∴⊥．②①②及,BC DC C DC =⊂ 平面BCDE ,BC ⊂平面BCDE ，AC ∴⊥平面BCDE ，又AC ⊆平面,ACD ∴平面ACD ⊥平面BCDE ．【小问2详解】在Rt ABC △中，设,AC x BC y ==，则2236x y +=，()22111318332V y CD x xy xy x y =⋅⋅=⋅⋅=≤+=．当且仅当32x y ==时，不等式取“=”号．故A BCDE V -的最大值为18．19.已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:2130l x y +-=相切，过点()2,3B 斜率为k 的直线2l 与圆A相交于,M N两点，（1）求圆A 的方程；（2）当MN =2l 的方程．【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=（2）3y =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程；（2）设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，利用勾股定理求得AQ 的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可.【小问1详解】设圆A 的半径为r ，圆A 与直线1:2130l x y +-=相切，r ∴==所以圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=．【小问2详解】设直线2l 的方程为()23y k x =-+，即320kx y k -+-=，设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，MN AM ==则1AQ ===,又由1AQ ===，得2860k k -=，解得0k =或34k =所以直线2l 的方程为3y =或3460x y -+=．20.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，2,60AB BAD =∠=︒，对角线,AC BD 交于点,O PO ⊥平面ABCD ，平面α是过直线AB 的一个平面，与棱,PC PD 交于点,E F ，且14PE PC =．（1）求证：//EF CD ；（2）若平面α交PO 于点T ，求PTPO的值；（3）若二面角E AB C --的大小为45︒，求PO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25PT PO =；（3）536PO =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）利用平面的基本事实证得,,A T E 三点共线，作EG PO ⊥于G ，利用平行关系推理计算即得.（3）作出二面角E AB C --的平面角，结合（2）的信息计算即得.【小问1详解】四棱锥P ABCD -的底面是菱形，//AB CD ，又AB ⊂平面α，CD⊄平面α，则//CD 平面α，而平面α 平面PCD EF =，CD ⊂平面PCD ，所以//EF CD .【小问2详解】由,E A ∈平面α，,E A ∈平面PAC ，得平面α 平面PAC AE =，而T PO ∈，PO ⊂平面PAC ，于是T ∈平面PAC ，又T ∈平面α，则T AE ∈，即,,A T E 三点共线，由PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PO AC ⊥，如图，在PAC △中，过点E 作PO 的垂线，垂足为G ，于是//GE AC ，设PO t =，由14PE PC =，得13,44PG t GO t ==，14GE GE AO CO ==，14GT GE TO AO ==，从而113355420GT GO t t ==⋅=，所以1324205PT PG GT t t t =+=+=，即25PT PO =．【小问3详解】过点O 作ON AB ⊥于点N ，连接TN ，由PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则TO AB ⊥，而,,TO ON O TO ON =⊂ 平面TON ，则AB ⊥平面TON ，而TN ⊂平面TON ，于是TN AB ⊥，则有TNO ∠为二面角E AB C --的平面角，即45TNO ∠=︒，在菱形ABCD 中，由2,60AB BAD =∠=︒，得2NO =，则2TO =，由（2）得3352TO PO ==，所以536PO =.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设142n n nn n a b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：121113n c c c ++⋯+>-【答案】（1）2n a n =（2）()111212n n +-+⋅（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由2n S n n =+，利用数列的通项和前n 项和关系求解；（2）()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅，利用裂项相消法求解.（3）由111n n nc c c +-=-，利用分组求和法求解.【小问1详解】当2n ≥时，2n S n n =+ ．①，()21(1)1n S n n -∴=-+-②，①-②得：2112n a n n =-+=，当1n =时，12a =也符合上式，所以2n a n =；【小问2详解】()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅ ，12n n T b b b ∴=+++ ，()()22311111111112222232122212n n n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111212n n +=-+⋅．【小问3详解】()11111211222n n n c c a n n ++=+=⋅++=+ ，③11n n c n c -∴=+，④③-④得：()111111,n n n n n nc c c c c c +-+--=∴=-，112221nn nn n i i i i c c c +-====-∑∑∑，()()341112321n n n n n c c c c c c c c c c -+--=+++++-+++++ ，11214n n n n c c c c c c ++=+--=+-，44>-=．故121111143n c c c c ++⋯+>+-=-.22.已知F 为拋物线2:2(0)E y px p =>的焦点，O 为坐标原点，M 为E 的准线l 上一点，直线MF 的斜率为1,OFM - 的面积为116．已知()()3,1,2,1P Q ，设过点P 的动直线与抛物线E 交于A B 、两点，直线,AQ BQ 与E 的另一交点分别为,C D．（1）求拋物线E 的方程；（2）当直线AB 与CD 的斜率均存在时，讨论直线CD 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2y x =（2）直线CD 过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得MN MF p ==，2p OF =，结合OFM △的面积为116列方程即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，():31AB x t y -=-，联立抛物线方程得1212,3y y t y y t ⋅+==-，设()()3344,,,C x y D x y ，则()3434y y y x y y +=+，结合(),2,1,A Q C 三点共线得13121y y y -=-，同理24221y y y -=-，得出3434,y y y y +关于t 的表达式即可求解.【小问1详解】设准线l 与x 轴的交点为N ，直线MF 的斜率为1,MN MF p -∴==，又2pOF =，1111,222162OFM p S OF MN p p ∴=⋅⋅=⋅⋅=∴= ．故抛物线E 的方程为：2y x =．【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，过点()3,1P 的直线方程为：()31x t y -=-．则联立()231y x x t y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得：230y ty t -+-=，由韦达定理可得：()()221212Δ43280,,3t t t y y t y y t =--=-+>+=⋅=-．又设()()3344,,,C x y D x y ，所以直线CD 斜率为3434223434341y y y y k x x y y y y --===--+，直线CD 方程为()233341y y x y y y -=-+，即CD 的直线方程为：()3434y y y x y y +=+，由,,A Q C 三点共线可得：31131122y y x x --=--，即()()()()13311212y x y x --=--，所以()()()()2213311212y y y y --=--，所以22223131131322y y y y y y y y --=--，因为13y y ≠，所以化简可得：13121y y y -=-，同理，由,,B Q D 三点共线可得：24221y y y -=-，可得()()()()121221342112124324323222111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+---++=+===---++-+-，()()()()1212213421121242423221111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+----⋅=⋅===---++-+-，综上可得CD 的直线方程为：2122t t y x +-=+，变形可得：()1122t y x y -=--，所以直线CD 过定点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

2019-2020学年浙江省金华十校高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()2,4,3a =-，()1,2,b x =-，若a b ⊥，则x =（ ）． A ．32-B ．103C ．2-D ．2【答案】B【解析】根据空间向量垂直的坐标表示得出关于x 的方程，解出即可. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即2830x --+=，解得103x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.2．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立. 故选：A ． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.3．已知直线a 、b 和平面α，则下列命题正确的是（ ）C ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥D ．若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂【答案】C【解析】逐一分析各选项的正误，即可得出结论. 【详解】对于A 选项，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，A 选项错误；对于B 选项，若a b ⊥，//b α，则//a α或a α⊂或a 与α相交，B 选项错误； 对于C 选项，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，C 选项正确； 对于D 选项，若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂或//a α，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.4．已知1m <且0m ≠，则二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【答案】D【解析】分01m <<和0m <两种情况讨论，确定二次方程2211x y m m-=-所表示的曲线的形状，并求出焦点坐标，从而得出结论. 【详解】若01m <<，则011m <-<，此时，二次方程2211x y m m -=-所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线，焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，而椭圆22143x y +=的焦点坐标为()1,0±，此时两曲线的焦点重合；若0m <，则10m m ->->，二次曲线2211x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，且焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，此时，两曲线的焦点重合.综上所述，二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有相同的焦点.【点睛】本题考查根据椭圆、双曲线的标准方程求焦点的坐标，解题时要对参数的取值进行分类讨论，并结合标准方程确定焦点的位置，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点()cos130,sin130A ，()cos70,sin 70B 的直线距离为（ ）A ．12B．2CD ．1【答案】C【解析】求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出原点到直线AB 的距离. 【详解】2sin 70sin130cos 20cos 40cos 202cos 2011cos 20cos 70cos130sin 20sin 40sin 202sin 20cos 20sin 20ABk -===--+--+=+⋅sin10cos10=，根据诱导公式可知：()sin 20,cos 20B ，所以经过A 、B 两点的直线方程为：()sin10cos 20sin 20cos10y x -=-，即sin10cos10cos10cos 20sin10sin 200x y -+-=， 即()sin10cos10cos 10200x y -++=，即3sin10cos1002x y -+=， 所以原点O 到直线的距离为22210cos 10d ==+， 故选：C ． 【点睛】本题考查点到直线距离的计算，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式的应用，解题的关键就是求出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.6．若()()()2311f x x f x '=-+，则()()22f f '-=（ ）【解析】对函数()()()2311f x x f x '=-+求导，代入1x =，可求出()1f '的值，进而可求出函数()y f x =的解析式，可计算出()2f 和()2f '的值，进而得出()()22f f '-的值.【详解】求导()()312f x f x ''=+，令1x =，则()()1312f f ''=+．解得()11f '=-， 因此()()231f x x x =--+，()23f x x '=-，所以()2341f =-+=．21f，因此，()()220f f '-=， 故选：B ． 【点睛】本题考查导数值的计算，考查运算求解能力，属于基础题.7．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．35 B ．16C 26D ．15【答案】A【解析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，满足()()0f x f x '->，则（ ） A ．()()xG x e f x =是增函数，()()20202019ef f >B ．()()xG x e f x =是减函数，()()20202019ef f <C ．()()xf x F x e=是增函数，()()20202019f ef > D ．()()xf x F x e=是减函数，()()20202019f ef < 【答案】C【解析】利用导数判断函数()y G x =和函数()y F x =的单调性，再利用函数的单调性可判断出各选项中不等式的正误.构造函数()()xG x e f x =，则()()()xG x e f x f x ''=⋅+⎡⎤⎣⎦，()()f x f x '+的符号无法确定，所以，函数()y G x =的单调性不能确定，A 、B 选项错误； 构造函数()()x f x F x e =，则()()()0x f x f x F x e '-'=>，所以()()xf x F x e=单调递增，所以()()20202019F F >，即()()2020201920202019f f e e>，即()()20202019f ef >， 故选：C ． 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，并利用函数的单调性来判断不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点1F 、2F ，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1221e e +的取值范围是（ ） A ．()4,+∞ B ．()4,7C ．()2,4D．()4【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得24c <<，然后利用 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，由椭圆和双曲线的定义可得12822822c a c a +=⎧⎨-=⎩，解得12440a c a c =+⎧⎨=->⎩，又因为2121PF F F PF +>，即48c >，解得2>c ，即24c <<， 所以()12122218241214,7a a c c e e c c c+++-+===+∈， 故选：B ．本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 、N 分别为边AB 、BC 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A 与A 不重合），若M 、K 分别为线段1A D 、1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中（ ）A ．DE 可以与1A C 垂直B ．不能同时做到//MN 平面1A BE 且//BK 平面1A DEC ．当1MN AD ⊥时，MN ⊥平面1A DED ．直线1AE 、BK 与平面BCDE 所成角分别为1θ、2θ，1θ、2θ能够同时取得最大值 【答案】D【解析】逐一分析各选项的正误，从而可得出结论. 【详解】对于A ，连接EC ，假设1DE A C ⊥，45AED BEC ∠=∠=，90DEC ∠=，DE EC ∴⊥，1AC EC C =，DE ∴⊥平面1A EC ，1A E ⊂平面1A EC ，1DE A E ∴⊥，而145A ED ∠=，∴A 错误；对于B ，取DE 、DC 中点G 、F ，连接GM 、GN 、FK 、FB ，//BE CD ，12BE CD =，则四边形BEDC 为梯形，且BE 、CD 为底，又G 、N 分别为DE 、BC 的中点，//GN BE ∴，GN ⊄平面1A BE ，BE ⊂平面1A BE ，//GN ∴平面1A BE ， MG GN G ⋂=，∴平面//MGN 平面1A BE ，MN ⊂平面MGN ，//MN ∴平面1A BE ，同理可得//BK 平面1A DE ，B 选项错误； 对于C ，连接ME 、EN ，当1MN A D ⊥时，22222224MN DN DM CD CN DM CD =-=+-==， 而2254ME EN ==，222ME EN MN ∴+≠， MN ∴与ME 不垂直，即MN 不垂直平面1A DE ，C 选项错误；对于D ，1A 在以DE 为直径球面上，球心为G ，1A ∴的轨迹为1A AF ∆外接圆（1A 与F 不重合，F 为CD 的中点），连接EC ，取EC 中点T ，连接TK 、TB ，则1//TK A E ，//BT DE ， 且1180KTB A ED ∠+∠=，118018045135KTB A ED ∴∠=-∠=-=， 在KTB ∆中，11122KT A E ==，122BT CE ==， 由余弦定理得22252cos1354BK BT KT BT KT =+-⋅=，5BK ∴=.当直线BK 与平面BCDE 所成角取得最大值时，点K 到平面BCDE 的距离最大， 由于点K 为1A C 的中点，此时，点1A 到平面BCDE 的距离最大，由于11A E =，当1A E 与平面BCDE 所成角最大时，点1A 到平面BCDE 的距离最大. 所以，直线1A E 、BK 与平面BCDE 所成角能同时取到最大值. 故选：D ． 【点睛】本题考查空间翻折几何体的应用，考查线线、线面位置关系的判断，考查线面角的求解，考查推理能力、空间想象能力以及运算求解能力，属于难题.二、填空题11．设两直线()11:34m x l y -+=与()2:251l x m y +-=，若12l l //，则m =______；若12l l ⊥，则m =______． 【答案】7133【解析】根据两直线平行和垂直的等价条件列出关于实数m 的方程，解出即可. 【详解】12//l l ，则()()35832m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即28701m m m ⎧-+=⎨≠⎩，解得7m =；13故答案为：7；133. 【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()21xf x xe =-，则函数()f x 的极小值为______，零点有______个．【答案】112e-- 1 【解析】求出函数()y f x =的导数，求出极值点，分析该函数的单调性，可求得该函数的极小值，令()0f x =，可得出21xe x=，作出函数2xy e =与函数1y x =的图象，观察两个函数图象的交点个数，可得出函数()y f x =的零点个数. 【详解】()21x f x xe =-，()()222212x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，如下表所示：所以，函数()y f x =的极小值为11122f e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ()210x f x e x=⇒=，则函数()y f x =的零点个数等于函数2xy e =与函数1y x =的图象的交点个数，如下图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数()y f x =只有一个零点. 故答案为：112e--；1． 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了函数零点个数的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为______；外接球的体积为_________.【答案】323+823【解析】把几何体放入长方体中，根据三视图的数据可计算出该三棱锥的表面积，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外接球的半径，利用球体体积公式可求出球的体积. 【详解】把该几何体放入长方体中，如图所示三棱锥A BCD -就是该几何体，其中长方体的长和宽都为2，高为2， 所以该三棱锥的表面积为()2111122222263232222⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++. 又因为该长方体的体对角线长为()2222222+⨯=，故其外接球的半径为2，所以外接球的体积为()3482233ππ⨯=． 故答案为：323++；823π.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的表面积，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，解题的关键就是利用三视图将几何体还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 14．已知抛物线2y ax =的准线方程为1x =-，则a =______，若过点()4,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则124y y +的最小值为______． 【答案】4 16【解析】根据抛物线的标准方程得出准线方程，可求出实数a 的值，设直线AB 的方程为4x my =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出124y y +的最小值. 【详解】抛物线2y ax =的准线方程为4a x =-，所以，14a-=-，解得4a =，设直线AB 的方程为4x my =+，代入抛物线方程24y x =可得，24160y my --=，所以1216y y =-，即2116y y =，所以12111164644216y y y y y y +=+≥⋅=， 故当18y =，即18y =±时取到最小值，最小值为16.故答案为：4；16. 【点睛】本题考查由抛物线准线的方程求参数，同时也考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 15．已知函数()2143ln 2f x x x x =-+在区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上是单调函数，则实数t 的取值范围______． 【答案】[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】利用导数求出函数()2143ln 2f x x x x =-+的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3，由题意可知，区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为这三个区间的子集，从而可列出关于实数t 的不等式组，解出即可. 【详解】函数()2143ln 2f x x x x =-+的定义域为()0,∞+，()23434x x f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '>，可得01x <<或3x >；令()0f x '<，可得13x <<.所以，函数()y f x =的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3. 由于函数()y f x =在3,2t t ⎛⎫+⎪⎝⎭上单调，则3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为以上三个区间的子集.①若()3,0,12t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得0312t t t ≥⎧⎪⇒∈∅⎨+≤⎪⎩； ②若()3,1,32t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得1332t t ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312t ≤≤；③若()3,3,2t t ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，则3t ≥.因此，实数t 的取值范围是[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为所涉及的区间为单调区间的子集是解题的关键，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16．如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，60DAB ∠=，AC 和BD 交于点O ，AB AF =，点P 为线段CE 上任意一点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围______．【答案】27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】证明出平面FBD ⊥平面ACEF ，可得出FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，然后找到角α取最大值和最小值时对应的点P 的位置，求出相应的sin α值，即可求出sin α的取值范围. 【详解】四边形ABCD 是菱形，可得AC BD ⊥， 又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD平面ACEF AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面ACEF ，BD ⊂平面FBD ，∴平面FBD ⊥平面ACEF ，故点P 在平面FBD 上的射影落在FO 上，即FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，如图所示，当点P 在点H 位置，所成角为2π，即sin α最大为1； P 向两边移动，线面角变小，故只需比较FOE ∠和FOA ∠的大小就行，23tan 33AFFOA AOAB∠===<3FOA π∴∠<， 故23FOE FOA ππ∠=-∠>，所以，当点P 与点C 重合时，角α最小，且2tan 27sin sin 7tan 1FOA FOA FOA α∠=∠==∠+. 因此，sin α的取值范围是27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面角正弦值取值范围的计算，解题的关键就是找出点的临界位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．已知抛物线212y x =的焦点为F ，F 是抛物线上两点，且AF BF n +=，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为()0,4C ，则n =______．【答案】7【解析】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，求出线段AB 的垂直平分线方程，由该直线过点C ，得出22123t t +=，然后利用抛物线的定义可求出n 的值.【详解】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，则12AB k t t =+，线段AB 的中点()221212,M t t t t ++，从而AB 的中垂线方程为()221212121y x t t t t t t =---+++， 该直线过点()0,4，从而221214t t ++=，从而22123t t +=，从而222212121122221231722n AF BF t t t t +=+++=++=+=⨯=. 故答案为：7. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知点()1,2P ，圆22:60C x y y +-=．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程； （2）设A 是圆C 上的动点，求OA OP ⋅（O 为坐标原点）的取值范围．【答案】（1）20x y -=和10x y -+=；（2）6⎡-+⎣.【解析】（1）分两种情况讨论，①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =；②当两截距均不为零时，设直线l 的方程为1x ya a+=-.将点P 的坐标代入上述直线l 的方程，求出参数值，综合可得出直线l 的方程；（2）设点()3cos ,33sin A θθ+，利用平面向量数量积的坐标运算得出OA OP ⋅，结合辅助角公式和正弦型函数的值域可求出OA OP ⋅的取值范围. 【详解】（1）当截距均为0即直线过原点时，设直线l 的方程为y kx =． 代入()1,2P ，解得2k =，直线l 的方程为20x y -=； 当截距均不为0时，设直线l 的方程为1x y a a+=-，代入()1,2P ，解得1a =-， 直线方程为10x y -+=.综上所述，所求直线l 的方程为20x y -=和10x y -+=；（2）将圆C 方程整理为()2239x y +-=，则有3cos 33sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，所以可设()3cos ,33sin A θθ+，()()3cos 233sin 6sin 3cos 66OA OP θθθθθϕ⋅=++=++=++，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，由于R θ∈，所以6OA OP ⎡⋅∈-+⎣． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，同时也考查了平面向量数量积取值范围的计算，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，CA CB =，160BAA ∠=．（1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）若M 、N 、Q 分别是线段11A B 、1CB 、CB 的中点，求证：直线11//C A 平面MNQ ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明AB ⊥平面1CGA ，然后利用面面垂直的判定定理可证明出平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）连接1A C ，由中位线的性质可得出1//MN AC ，利用线面平行的判定定理可证明出直线//MN 平面11AAC C ，同理可得出//QN 平面11AAC C ，由面面平行的判定定理得出平面//MNQ 平面11AAC C ，由此可得出直线11//C A 平面MNQ . 【详解】（1）连接1A B ，在ABC ∆中，CA CB =，G 为AB 中点，所以AB CG ⊥，由于侧面11ABB A 是菱形，则1AB AA =，160BAA ∠=，所以，1ABA ∆为等边三角形，G 为AB 的中点，1A G AB ∴⊥，而1CG AG G =，所以AB ⊥平面1CGA ， 而AB平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）如下图所示，连接1A C ，在11A B C ∆中，M 、N 分别为11A B 、1B C 的中点，所以1//MN AC ， 而MN ⊄平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，所以//MN 平面11AAC C ．同理，1//QN BB ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，1//QN AA ∴， 而QN ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//QN 平面11AAC C ． 而MNQN N =，MN 、QN ⊂平面MNQ ，所以平面11//AAC C 平面MNQ ．又11C A ⊂平面11AAC C ，所以直线11//C A 平面MNQ ． 【点睛】本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查推理论证能力，属于中等题. 20．已知四棱锥P ABCD -，12BC CD DA ==，//BC AD ，90ADC ∠=，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，2PC =．（1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若1BC =，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求二面角B PC D --的大小．【答案】（1）证明见解析（21053）23π 【解析】（1）连接OC ，由题意可得出PO ⊥平面ABCD ，可得出PO BD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想可得出PO BD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，先由2PC =求出点P 的坐标，然后利用空间向量法可求出直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，利用基本不等式求出三棱锥P ABCD -体积的最大值，求出a 的值，以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角B PC D --的大小． 【详解】（1）连接OC ，因为PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥， 又因为BC CD =，且O 为BD 的中点，故OC BD ⊥． 又POOC O =，所以BD ⊥平面POC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立直角坐标系如图所示， 则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0D ，11,,22P m ⎛⎫⎪⎝⎭，于是211244PC m =++=6=m ．即116,22P ⎛ ⎝⎭． 所以1,0,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，116,22M ⎛ ⎝⎭，160,2NM ⎛= ⎝⎭设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，()1,0,0CD =，116,,222CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则0011660222n CD x x y z n CP x y z ⎧⋅===⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⋅=++=⎩⎪⎩，令1z =-，得()0,6,1n =-， 所以66024105sin cos ,351661416n NM n NM n NMθ+-⋅=<>===⋅+⋅+． 故直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为10535； （3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，所以()24212422222232P ABCD a aV a a a a -+=⨯⨯⨯-=-32222246239a a a ⎛⎫++-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2222a a =-即2633a ==时取等号，此时26BC CD ==33BD =， 以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0C ，263D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，260,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，666333P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．设平面PBC 的法向量为()1111,,n x y z =，260,,03CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，666,333CP ⎛= ⎝⎭， 则)111111112603603n CB y y x z n CP x y z ⎧⋅==⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪⋅=++=⎪⎩，令11z =-，得()11,0,1n =-，同理，可得平面PCD 的一个法向量为的()20,1,1n =-， 所以1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 又因为二面角B PC D --为钝二面角，所以二面角B PC D --的大小为23π． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了线面角和二面角的计算，建立空间直角坐标系是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当32a <时，若对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln 2f x a≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后对a 分类讨论，分析导数符号的变化，可得出该函数的单调增区间和减区间； （2）由题意知0a >，由()1ln2f x a≥可得出()min 1ln 2f x a ≥，可得出122ln 20a a -+≥，令()3122ln 202h a a a a ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，利用导数分析函数()y h a =的单调性，结合102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln 1f x ax x =-+的定义域为()1,-+∞，且()121f x a x '=-+． ①当0a ≤时，对任意的1x >-，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()1,-+∞上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，得1112x a -<<-；令()0f x '>，得112x a>-. 所以，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．（2）由于对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln2f x a≥，则0a >且()min 1ln 2f x a ≥，由（1）可知，当0a >时，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()min 11112ln 2ln ln 222f x f a a a a a ⎛⎫∴=-=-+≥=- ⎪⎝⎭， 即3122ln 2002a a a ⎛⎫-+≥<<⎪⎝⎭． 令()122ln 2h a a a =-+，则()()2122a h a a a-'=-+=， ∴函数()y h a =在区间()0,1上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 且32ln 3202h ⎛⎫=->⎪⎝⎭，1112ln102h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，为使()0h a ≥， 则实数a 的取值范围为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.22．已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F AF ∆的面积为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得OEB OED ∠=∠，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段12F F 上一点，若1PQF ∆与2PQF ∆的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）存在，()0,3E ，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据12F AF ∆的面积计算出1c =，可设椭圆C 的标准方程为222211x y a a +=-，再将点A 的坐标代入椭圆C 的标准方程，求出2a 的值由此可求出椭圆C 的方程；（2）设点()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，由OEB OED ∠=∠，可得出0BE DE k k +=，将直线BD 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，代入0BE DE k k +=，求出实数m 的值，即可求出定点E 的坐标；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，由题意得出()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得出()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，可求出正数t 的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，因为12F AF ∆2，所以1A c y c ⋅=⇒=，设椭圆C 的方程为222211x y a a +=-，将A ⎝代入方程得42212242131340431a a a a a +=⇒-+=⇒=-，2213a =，易知1a c >=，所以2a =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）存在这样的点E 为()0,3，下面证明：设()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，所以要使得OEB OED ∠=∠， 即1212121211000BE DE y m y m kx m kx mk k x x x x --+-+-+=⇒+=⇒+= ()1212210x x k m x x +⇒+-⋅=①； 联立()2222134880143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理得122834k x x k -+=+，122834x x k -=+， 代入可将①化简为()210k m k +-=，要使得式子关于k 恒成立，即此时3m =， 所以点()0,3E ；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的2倍除以周长，所以()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得1211PF tn n PF t++=-+， 故11nn+=-，因为220334x y =-，代入得0021214222x t x n n x n t t +++=⇒=-+-++．而()222220000033424x x t x n y x t ⎛⎫=-+=-+- ⎪+⎝⎭，()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，而()220420t x +-≠，所以t =，即线段PQ【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题.。

浙江省金华市2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题 1．函数()3213f x x x =-在[]1,3上的最小值为（ ） A.-2B.0C.23-D.43-2． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（ ）A ．这10天中有3天空气质量为一级B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -4．若“()p q ⌝∧”为真命题，则（ ） A.p 、q 均为真命题B.p 、q 均为假命题C.p 、q 中至少有一个为真命题D.p 、q 中至多有一个为真命题5．命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是（ ） A.x R ∀∈，3210x x -+≤ B.0x R ∃∈，3210x x -+< C.0x R ∃∈，3210x x -+≤ D.不存在x ∈R ，3210x x -+>6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度7．已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )6C ．7D ．88．表面积为4π的球O 放置在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -上，且与上表面1111D C B A 相切，球心在正方体上表面的射影恰为该表面的中心，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为（ ） A ．103B ．3310C ．236D ．41129．已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.2216448x y -= B.2214864x x += C.2214864x y -= D.2216448x y += 10．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．46801010100C C C B ．64801010100C C C C ．46802010100C C CD ．64802010100C C C 11．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-12．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=ð（） A.{}2,5 B.{}3,6C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,8二、填空题13．三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，BC ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，2PA =，1AB =，BC =O 的表面积为___．14．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ___ 15．()()01tan231tan22++=__________．16．设随机变量X 的分布列1()2kP X k a ⎛⎫== ⎪⎝⎭（其中123k =，，），则a =___．三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，且底面与侧面垂直，，分别为线段的中点，，，，且.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.18．设，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （Ⅰ）求满足的关系；（Ⅱ）求证:.19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的人进行问卷调查，得到了如下的列联表：）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽人，其中男性抽多少人？（2）在上述抽取的人中选人，求恰好有名女性的概率；（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：参考公式：，其中.20．已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.21．已知，使不等式成立.（1）求满足条件的实数t的集合T；（2），使不等式成立，求的最大值.22．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球3次均未命中的概率为，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．814．415．216．8 7三、解答题17．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理以及线面平行的判定定理可得与平面平面平行，从而可得平面平面，进而根据面面平行的性质可得平面；（2）因为底面与侧面垂直，且，所以底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求出的方向向量，再根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）证明：因为分别为线段的中点，，所以，，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设是平面的法向量，则，即，故可取.设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.18．(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)求导，得，由题意可得，即可得到答案；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得函数，求得，分类讨论得出函数的单调性，即可证得结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.即(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得，即.所以，.当时，得当时，，此时，函数在上单调递增，这与题意不符.当时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.因为函数在区间上点掉递增，在区间上单调递减，所以时符合题意.综上，.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中熟记导函数与原函数的关系，准确运算是解答此类问题的关键，同时注意转化思想方法和数形结合思想的应用.19．（1）4人；（2）；（3）有把握认为心肺疾病与性别有关【解析】【分析】（Ⅰ）根据分层抽样定义，每个个体被抽中的概率相等，即可求得抽到男性人数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算，列出所有可能，即可求得恰有1个女生的概率；（Ⅲ）根据独立性检验的公式求，求得后与表中临界值比较，即可判断是否有把握【详解】（Ⅰ）在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人；（Ⅱ）设4男分为：A、B、C、D；2女分为：M、N，则6人中抽出2人的所有抽法：AB、AC、AD、AM、AN、BC、BD、BM、BN、CD、CM、CN、DM、DN、MN共15种抽法，其中恰好有1个女生的抽法有8种所以恰好有1个女生的概率为 .（Ⅲ）由列联表得，查临界值表知：有把握认为心肺疾病与性别有关. 【点睛】本题考查了简单抽样方法，古典概率的求法及独立性检验方法的应用，属于基础题。