【数学】黑龙江省大庆市2018届高三第二次教学质量检测数学(理)试题 含答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集为R，集合A={x|x≥1}，那么集合∁R A等于（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜1} D．{x|x＜﹣1}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣B．1 C．D．3．如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量﹣可表示为（）A．2﹣B．3﹣2C．2﹣ D．﹣24．已知a＜0，0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2D．ab＞ab25．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，5名学生学分的标准差，则（）1212C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定6．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12πB．6πC．4πD．2π7．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]8．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）9．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．410．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．12．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为______．14．已知数列{a n}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=______．15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为______．16．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1），均有f（x）＜，则实数a取值范围是______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x，求f（A）的取值范围．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）岁年龄段中的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+（a≥0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣e）x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集为R ，集合A={x |x ≥1}，那么集合∁R A 等于（ ） A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ＞﹣1} C ．{x |x ＜1} D ．{x |x ＜﹣1} 【考点】补集及其运算．【分析】根据全集R 及A ，求出A 的补集即可． 【解答】解：∵全集为R ，集合A={x |x ≥1}， ∴∁R A={x |x ＜1}． 故选：C ．2．复数﹣的实部与虚部的和为（ ）A ．﹣B ．1C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D ．3．如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量﹣可表示为（ ）A ．2﹣B ．3﹣2C ．2﹣D ．﹣2【考点】向量的三角形法则．【分析】以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，求出向量的终点坐标以及的终点坐标，可得向量﹣的坐标，从而得到答案．【解答】解：以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为（3，﹣1），的终点坐标为（2，1），故向量﹣可表示为：（3，﹣1）﹣（2，1）=（1，﹣2）=﹣2，故选D．4．已知a＜0，0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2D．ab＞ab2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＜0，0＜b＜1，∴a＜ab，故A错误；b2＜1，a＜ab2，故B错误；ab＜0，ab＜ab2，故C正确，D错误；故选：C5．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，5名学生学分的标准差，则（）1212C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据表中数据，计算甲、乙两班的平均数、方差与标准差，即可得出结论．【解答】解：根据表中数据，计算甲班的平均数为=×（8+11+14+15+22）=14，乙班的平均数为=×（6+7+10+23+24）=14；甲班的方差为=×[（8﹣14）2+（11﹣14）2+（14﹣14）2+（15﹣14）2+（22﹣14）2]=，乙班的方差为=×[（6﹣14）2+（7﹣14）2+（10﹣14）2+（23﹣14）2+（24﹣14）2]=，∴＜，标准差为s1＜s2．故选：B．6．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12πB．6πC．4πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱，根据三视图判断半圆柱的高与底面半径，把数据代入半圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为半圆柱，且半圆柱的高为3，底面半径为2，∴几何体的体积V=×π×22×3=6π．故选：B．7．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），由题意f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围．【解答】解：f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x﹣a，由题意f′（x）≤0在R上恒成立，∴△≤0，即4﹣4×3a≤0，解得：a≥，∴实数a的取值范围为[，+∞），故答案选：C．8．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．9．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足执行循环的条件，故a=，n=2，当n=2时，满足执行循环的条件，故a=5，n=3，当n=3时，满足执行循环的条件，故a=，n=4，当n=4时，满足执行循环的条件，故a=，n=5，…当n=2018时，满足执行循环的条件，故a=5，n=2018，当n=2018时，满足执行循环的条件，故a=，n=2018当n=2018时，不满足执行循环的条件，故输出的a值为，故选：C．10．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．12．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设=λ，则cos∠MNQ=，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=λ，则，∴cos∠MNQ=．∴cos∠MFO=．∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣．∵tan∠PFx=，∴cos∠PFx=，∴1﹣=，解得λ2=10．即．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，进而可知a和b的关系，利用c=进而求得a 和c的关系式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴=，即b=∴c== a∴e==故答案为：；14．已知数列{a n}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知，利用等比数列的性质列式求得首项，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，d=3，且a1，a2，a5成等比数列，∴，即，解得：．∴．故答案为：．15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，因为AE=2，所以侧棱长PA==2，PF=2R，所以20=2R×4，所以R=，所以S=4πR2=25π故答案为：25π．16．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1），均有f（x）＜，则实数a取值范围是[，1）∪（1，2]．【考点】函数恒成立问题．【分析】化简不等式f（x）＜为x2﹣＜a x，构造函数h（x）=x2﹣，g（x）=a x，根据图象建立不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣a x，∴f（x）＜可化为x2﹣a x＜，即x2﹣＜a x，令h（x）=x2﹣，g（x）=a x，则如图，当x∈（﹣1，1），不等式f（x）＜等价于h（x）=x2﹣恒在g（x）=a x下方，即g（﹣1）≥h（﹣1），且g（1）≥h（1）．∴．解得，又a＞0且a≠1，即实数a取值范围是[，1）∪（1，2]．故答案为：[，1）∪（1，2]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由等差数列及正弦定理，得到B（Ⅱ）化简f（x），由B的值，得到A的取值范围，由此得到f（A）的范围．【解答】解：（I）∵ccosA，bcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB=ccosA+acosC．在△ABC中，由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，R为△ABC外接圆的半径，可得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sin（A+C），又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB=sin（π﹣B）=sinB，∵，∴sinB≠0，∴，∴．（II）=．∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴，故f（A）的取值范围为．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）岁年龄段中的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）先求出年龄在[35，40）之间的频率，从而求出n，进而得到第二组的频率及矩形高，由此能作出频率分布直方图．（II）由已知得[30，35）之间的人数为12，[35，40）之间的人数为8，从而采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）内有3人，[35，40）内有2人，由此利用列举法能求出选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．【解答】解：（I）年龄在[35，40）之间的频率为0.18×5=0.2，∵，∴．…∵第二组的频率为：1﹣（0.18+0.18+0.18+0.18+0.01）×5=0.3，∴矩形高为．…所以频率分布直方图如右图所示．…（II）由（I）知，[30，35）之间的人数为0.18×5×40=12，又[35，40）之间的人数为8，因为[30，35）之间的人数与[35，40）之间的人数的比值为12：8=3：2，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）内有3人，[35，40）内有2人．…记年龄在[30，35）岁的3人分别为a1，a2，a3，记年龄在[35，40）岁的2人为b1，b2．选取2名领队的情况有10种：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）；其中至少有1人的年龄在[35，40）内的情况有7种：（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．…∴选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率为．…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D 内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD ∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P （x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，△＞0，即4k2﹣m2+1＞0．由直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得•=k2．解得k．利用弦长公式与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，解得，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且，，故．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴．即，又m≠0，∴，即，又∵4k2﹣m2+1＞0，∴0＜m2＜2，由于直线OP，OQ的斜率存在，∴m2≠1．故=．令t=m2，则0＜t＜2，且t≠1，记f（t）=t（2﹣t）=﹣t2+2t，∴f（t）的值域为（0，1）．故△OPQ面积的取值范围为（0，1）．21．已知函数f（x）=lnx+（a≥0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣e）x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数求导，f'（1）=3﹣a﹣e，由题意得3﹣a﹣e=1﹣e，即可求a的值；（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，…f'（1）=3﹣a﹣e，由题意得3﹣a﹣e=1﹣e，…解得a=2．…（2）不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0对于x＞0的一切值恒成立．记g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax（x＞0），则g'（x）=lnx+1﹣a．…g'x=0x=e a﹣1x g'（x），g（x）的变化情况如下表：e a﹣1．…记h（a）=a+e﹣2﹣e a﹣1（a≥0），则h'（a）=1﹣e a﹣1，令h'（a）=0，得a=1．a h'a h a，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＞0，满足题意．…当1≤a≤2时，函数h（a）在[1，2]上为减函数，h（a）≥h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）≥0，满足题意．当a＞2时，函数h（a）在（2，+∞）上为减函数，h（a）＜h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＜0，不满足题意．综上，所求实数a的取值范围为[0，2]．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，则可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AC•AB=AD•AE；（Ⅱ）证明△AFC∽△CFB，即可求AC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE，又AB=BC…故AC•BC=AD•AE…（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切线，∴FC2=FA•FB…又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5…∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…∴…∴…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x﹣2y+3=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）联立，消去ρ可得：可得，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得极坐标．进而得出△MON的面积S．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x﹣1=2（y﹣2），即x﹣2y+3=0，可得极坐标方程：ρcosθ﹣2ρsinθ+3=0．圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+4sinθ．（2）联立，消去ρ可得：2（cos2θ﹣4sin2θ）+3=0，可得，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得：，或．∴点M，N的极坐标分别为：，．∴∠MON=，∴△MON的面积S==3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1，由此求得x的范围．（Ⅱ）把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得不等式的解集，再根据不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|+5x≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1．求得x≤2，或x≥3，故原不等式的解集为{x|x≤2，或x≥3}．（Ⅱ）∵a＞0，不等式f（x）≤0，即①，或②．解①可得≤x＜，故①无解；解②可得x≤，故原不等式的解集为{x|x≤}．再根据已知原不等式的解集为{x|x≤﹣1}，可得=﹣1，∴a=﹣3．2018年9月19日。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(浙江版)201８年高考数学一轮复习专题６.2 等差数列及其前n项和（测）编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（（浙江版)２０18年高考数学一轮复习专题６.２等差数列及其前n项和（测))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第0２节 等差数列及其前ｎ项和一、选择题(本大题共1２小题,每小题５分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.）１．【２017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ,若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=,24272n a a a ++⋅⋅⋅+=,且1233n a a -=，则该数列的公差是( )Ａ。

3 B 。

-3 C.-２ D 。

—1 【答案】B.２．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中，564a a +=,则10122log (222)a a a ⋅= ( )Ａ。

10 B.20 Ｃ。

４0 D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B 。

3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于( )A ．212B ．2１C ．42 Ｄ.84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=,所以数列{}n a 前2１ 项的和为1212121()212a a S +==,故答案为Ｂ．4．【云南省玉溪第一中学２0１8届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =,对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =( )A 。

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数 学（理科）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2320A x x x =-+=，集合{}log 42x B x ==，则A B ⋃= （A ）{}2,1,2- （B ）{}1,2 （C ）{}2,2- （D ）{}2（2）11i-的共轭复数为 （A ）1i +（B ）1i -（C ）1122i +（D ）1122i -（3）已知tan 2α=，则2sin 2cos αα的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D 6（4）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为 （A ）324π+ （B ）244π+ （C ）4123π+ （D ）4243π+（5）执行如图所示的程序框图，输出的T =（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）62（6）下列说法不正确的是（A ）命题”若00x y >>且，则0x y +>” 的否命题是假命题（B ）命题“0x R ∃∈，20010x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥” （C ）“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件（D ）0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减（7）已知某线性规划问题的约束条件是34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值是（A ）2z x y =- （B ）2z x y =+ （C ）12z x y =-- （D ）2z x y =-+（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（A ）29 （B ）31 （C ）33 （D ）36 （9）函数cos 622x xxy -=-的图像大致为（10）已知函数()x f x a =，若11162a <<，则()f x 零点所在区间为（A ）1(0,)4（B ）11(,)164（C ）11(,)42（D ）1(,1)2（11）如图，已知椭圆C 的中心为原点O ,(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||||4OP OF PF ==且，则椭圆的方程为（A ）221255x y += （B ）2213616x y +=（C ）2213010x y += （D ）2214525x y +=（12）设函数223()cos 4sin 3(),| t |1,2x f x x t t t x R =++-∈≤其中将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 的单调递增区间为（A ）1(,]3-∞-和[1,)+∞ （B ）1[1,]3-- （C ）1[,)3+∞ （D ）1[,1]3-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分） （13）10(2)x e x dx +=⎰_______． （14设两个非零向量a 与b ，满足||||2||a b a b a +=-=，，则向量a b+ 与a b -的夹角等于_______．（15）函数log (2)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，则22m n +的最小值为_______． （16）若实数,x y 满足方程112x y x y x e e +--+=+（e 是自然对数的底），则xy e =_______．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足777S =，且1a ，3a ，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．（1）求角C 的值；（2）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围． （19）如图，平面ABEF ABC ⊥平面,四边形ABEF 底面为矩形，AC BC= ，O 为AB的中点，OF EC ⊥．（1）求证：OE FC ⊥； （2）若2,AB AC ==F CE B --的余弦值（20）抛物线2:2(0)M y px p =>准线过椭圆:N 22415x y +=的左焦点，以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与抛物线M 在第一象限的图像以及y 轴的正半轴相交于点A B 和，直线AB 与x 轴相交于点C(1)求抛物线M 的方程(2)设点A 的横坐标为a ，点C 的横坐标为c ，抛物线M 上点D 的横坐标为2a +，求直线CD 的斜率 （21）已知函数2()ln(1),f x x ax x a R =++-∈． （1）当14a = 时，求函数()y f x =的极值（2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆为圆的内接三角形，AB AC =，BD 为圆的弦，且//BD AC ，过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若6AE =，5BD =，求线段CF 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++．（1）若关于x 的不等式()0g x ≥的解集为[5,1]--，求实数m 的值； （2）若()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13．e 14．120︒ 15．2 16．1三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =. ② ……………………2分联立①②解得12,3a d ==. ……………………4分所以31n a n =-. ……………………6分 （Ⅱ）因为2na nb =，所以311282n n n b -==⋅， ……………………8分所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， ……………………10分由等比数列前n 项和公式得，324(18)24187n n n T +--==-. (12)分18.（本小题满分12分） 解：（I ）因为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,所以abc C 4cos 2=， (1)分又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=， ……………………2分所以21424cos 2===ab ab ab c C ，……………………4分 因为(0,)C π∈，……………………5分 所以3π=C . ……………………6分 （Ⅱ）3()sin()cos cos )623f x x x x x x ππωωωωω=--=-=-， ……………………8分由已知2,2==ωπωπ，……………………9分 则()),3f A A π=-因为2sin 2sin sin C A B =，3π=C ，所以232sin sin()34A A π⋅-=，整理得1sin(2)64A π-=. 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，所以cos(2)6A π-= (10)分()))366f A A A πππ=-=--1)cos(2)]662A A ππ=--⋅① 113()3()42428f A -=⋅-⋅=② 113()3()42428f A +=⋅+=， 故()f A 的取值范围是33{}88-+. ……………………12分19（本小题满分12分）（I ）证明：连接OC ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF .因为OF ⊂面ABEF ，于是OC OF ⊥. ……………………2分又OF EC ⊥，OC EC C ⋂=，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥. ……………………4分又因为OC OE ⊥，OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ……………………5分 所以OE FC ⊥. ……………………6分（Ⅱ）由（I ）得，2AB AF =，不妨设1,2AF AB ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。