苏教版高中数学选修4-6：一次同余方程

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2009年第3期 牡丹江教育学院学报 No 13,2009(总第115期)　J OU RNAL OF MUDANJ IAN G COLL EGE OF EDUCA TION Serial No 1115[收稿日期]2008-12-22[作者简介]原新生(1967-),男,河南林州人,安阳师范学院副教授,主要从事初等数论、高等数学的教学与研究.。

一次同余方程的几种解法原　新　生(安阳师范学院,河南安阳455002) [摘　要]　介绍一次同余方程的几种解法,并比较它们的优劣,探讨不同情况下所应采用的不同方法,对解一次同余方程具有一定的指导作用。

[关键词]　一次同余方程;解法;完全剩余系[中图分类号]O151 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2009)03-0115-01 定义1:设a ,b 为整数,m 是一个正整数且a ≠0(modm ),则称ax ≡b (mod m )为模m 的一次同余方程。

定义2:若x 0是使ax ≡b (mod m )成立的一个整数,则x ≡x 0(mod m )称为一次同余方程ax ≡b (mod m )的一个解。

定理:一次同余方程ax ≡b (mod m ),a ≠0(mod m )有解的充要条件(a ,m )|b,且有解时解数为(a ,m ).一次同余方程的理论各初等数论教材都作了详细的论述(见[1]、[2]、[3]),但对它的具体解法介绍的较少。

笔者在初等数论教学实践中,针对该方程总结了几种解法,并通过各种解法优劣的比较,探讨了在不同情况下所应采用的不同方法,这对学生学习初等数论,特别是解一次同余方程具有一定的指导作用。

方法一:验根法由定义2可以看出,求一次同余方程ax ≡b (mod m )有几个解,有哪些解,只需取模m 的一个完全剩余系(如0,1,2,…,m -1)中的每一个数,将其代入同余方程中逐一验证,即可求出其全部解。

人教版高中选修4-6一同余教学设计一、教学目标1.了解同余的基本概念与性质。

2.掌握同余方程的解法及其应用。

3.能够灵活运用同余数的概念、性质、运算法则解决实际问题。

4.提升学生的综合素养，培养学生的逻辑思维和创新能力。

二、课程内容1.同余的基本概念与性质–同余的定义、基本性质。

–同余算术运算及其性质。

–同余类的概念及其性质。

2.同余方程的解法及应用–同余方程的定义、解法及应用。

–应用同余方程解决简单的实际问题。

3.实际应用–中国剩余定理。

–同余数在密码学中的应用。

三、教学方法1.讲授法：通过PPT讲解、案例分析、示范演练等方式，向学生传授理论知识。

2.组织小组讨论：安排小组讨论环节，组织学生以小组为单位，提出问题并进行讨论，激发思维，培养学生学习能力和团队精神。

3.课堂练习：设置课堂习题，让学生在课堂上进行练习，加强所学知识的巩固与应用能力的提高。

4.独立思考：布置课后作业，要求学生自主思考并解决相关问题，促进学生的独立思考和学习能力。

四、教学重点难点1.教学重点：同余的基本概念、同余算术运算原理、同余方程及其应用。

2.教学难点：同余方程的解法及其应用，中国剩余定理的应用。

五、教学课时安排本教学设计共安排4课时，具体如下：课时授课内容学时安排第一课时基本概念与性质1学时第二课时同余方程的解法及应用 1.5学时第三课时实际应用 1.5学时第四课时综合练习与总结1学时六、教学评价1.采用课堂表现、作业、考试等多种方式进行综合评价。

2.通过学生的表现，分析教学是否达到了预期目标，是否有需要进行调整改进之处。

3.在评价中着重考核学生应用同余数解决实际问题的能力，培养学生的运用能力和创新思维。

人教版高中选修4-6四一次同余方程教学设计教学目标
1.理解同余关系的含义和性质；
2.掌握求解一元四次同余方程的方法；
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力；
4.培养学生的合作意识和实际操作能力。

教学重点
1.同余关系的定义和性质；
2.一元四次同余方程的求解方法。

教学难点
1.一元四次同余方程的求解方法；
2.实际问题的转化为数学问题。

教学过程
第一步：导入
1.引入同余关系概念；
2.通过例题引导学生理解同余关系；
3.引入一元四次同余方程的概念和定义。

第二步：讲解
1.讲解同余方程的一般性质；
2.讲解一元四次同余方程的求解方法；
3.讲解同余方程实际问题的转化方法。

第三步：例题演练
1.给出一些例题，让学生进行操作练习；
2.引导学生探究问题的解决方法；
3.解决学生在操作中遇到的问题。

第四步：小组合作演练
1.学生自由组成4-5人小组；
2.教师发放实际问题，并让学生进行小组合作讨论；
3.学生进行实际问题的转化和求解；
4.每个小组选派一名代表介绍小组的解决方法和结果。

第五步：课堂总结
1.课堂测验检测学生学习成果；
2.教师进行复盘和总结，为下一步教学铺垫。

教学评价
1.课堂表现：包括出席情况和参与教学活动的积极性；
2.作业完成情况：包括例题的练习和实际问题的解决；
3.考试成绩：对学生掌握情况进行量化评价。

高中数学选修4-6：初等数论初步数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。

在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。

本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。

一、内容与要求1．通过实例（如星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。

体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。

2．理解整除、因数和素数的概念，因数和素数的概念，了解确定素数的方法了解确定素数的方法了解确定素数的方法（筛（筛法），知道素数有无穷多。

3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。

会检查整数加法，乘法运算错误的一种方法。

4．通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a 能整除bc ，且a ，b 互素，则a 能整除c 。

探索公因数和公倍数的性质。

了解算术基本定理。

5．通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。

并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。

6．通过实例（如：韩信点兵），理解一次同余方程组模型。

7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。

8．理解费尔马小定理（当m是素数时，am-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m) ≡1(mod m),其中φ(m)是1,2,…,m-1与m互质的数的个数）及其证明。

9．了解数论在密码中的应用--公开密钥。

10．完成一个学习总结报告。

报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。

对本专题整体结构和内容的理解，对正整数基本性质及其研究方法的认识。

人教版高中选修(B版)4-63.2一次同余方程教学设计一、教学目标1.掌握一次同余方程的概念及解法。

2.能够熟练运用一次同余方程解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和逻辑思维能力。

二、教学内容一次同余方程的概念及解法。

三、教学重点和难点•重点：熟练掌握一次同余方程的解法。

•难点：将一次同余方程应用到实际问题中。

四、课前准备1.教师准备课件和教学材料。

2.学生预习一次同余方程的基本知识和相关概念。

五、教学过程1.导入：教师简单介绍一下本节课要学习的内容，并且通过引导学生解决一个实际问题，引出本节课的主要内容。

例如：小明爸爸想买两个相同的项链送给他的孪生姐妹，但是他只能去一次商店，他需要知道商店铺面上的项链数量是不是1、3、5、…100中的一个数字。

请问商店总共有多少条项链？2.新知：介绍一次同余方程的相关概念和解法，并通过一些例题让学生熟练掌握解题方法。

例如：（1）求x满足同余方程$7x\\equiv 5 \\pmod{18}$.解：因为$\\gcd(7, 18) = 1$，所以可以直接使用扩展欧几里得算法求解：$$\\begin{aligned} 7x + 18y &= 1 \\\\ 7 \\times 5 - 18 & = 1 \\end{aligned}$$所以$x\\equiv 5\\times 7^{-1}\\pmod{18}$，其中$7^{-1}\\equiv 13\\pmod{18}$，所以$x\\equiv 65\\equiv 11\\pmod{18}$.3.实践：让学生通过实际问题解决一次同余方程。

例如：某社会团体欲向所有会员发放纪念章，发放数量应该是最少的，同时还需要跟会费缴纳额挂钩。

设会费是5元、9元、15元中的一个，规定三个钱数循环进行。

试求发放纪念章的数量。

解：设发放纪念章的数量为x，则有如下同余方程：$$\\begin{aligned} x &\\equiv 0\\pmod{5}\\\\ x &\\equiv0\\pmod{9} \\\\ x &\\equiv 0\\pmod{15} \\end{aligned}$$ 化简可得：$x\\equiv 0\\pmod{45}$，所以发放纪念章的数量应该是45.4.总结：让学生回顾今天所学知识点，并进行总结。

人教版高中选修(B版)4-6第三章同余方程课程设计1. 选题意义同余方程是高中数学中一个重要而又基础的概念，旨在帮助学生掌握同余关系和同余方程的基本概念、性质以及应用。

本次课程设计旨在通过深化同余方程的学习来提高学生的数学素养，提升其对数学的兴趣和热爱，并能够将所学知识应用于实际问题中，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

2. 适用对象本次课程设计适用于高中数学选修(B版)4-6第三章同余方程的教学内容中。

适合高中学生，尤其是对数学感兴趣且较为踏实的学生。

3. 教学目标•理解和掌握同余关系和同余方程的概念、性质和应用。

•培养学生的数学思维能力，掌握解决同余方程的基本方法和技巧。

•能够计算小范围的同余方程，同时能够将所学知识应用于实际问题中，提高学生的解决问题的能力。

4. 教学内容和方法教学内容本次课程设计主要分为以下4个部分：•同余关系•同余方程的概念和基本性质•同余方程的解法•同余方程的应用教学方法本次课程将采用课堂讲授、课堂讨论和实例演练等多种教学方法，力求深化学生理解和掌握同余方程的概念和方法，并能够灵活运用。

5. 教学步骤第一步：同余关系讲解同余关系的定义和概念，理解同余关系的基本性质。

第二步：同余方程的概念和基本性质在同余关系理解的基础上，讲解同余方程的概念和基本性质，深入理解同余方程的解法。

第三步：同余方程的解法介绍同余方程的解法，包括试除法、欧几里得算法和扩展欧几里得算法等。

第四步：同余方程的应用通过示例演练的方式，介绍同余方程的应用，如中国剩余定理、同余方程的模重心等。

6. 教学评估本次课程设计将采用笔试、说明和实例解决问题的方式进行考评。

笔试重点考察学生对相关概念的理解程度和计算能力。

说明题型则重点考察学生对重点问题的理解和思考能力。

实例解决问题题型则重点考察学生将所学知识应用到实际问题中的能力。

7. 总结同余方程是高中数学中的一个重要概念，本次课程设计旨在帮助学生更好地理解和掌握同余方程的概念和方法，以此提高学生的数学素养和对数学的兴趣和热爱。

一次同余方程-人教A版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1、学习同余方程的定义并理解同余方程的性质；2、掌握求解一次同余方程的方法和技巧；3、了解一次同余方程在密码学中的应用。

二、教学重点1、同余方程的定义和性质；2、确定一次同余方程的解的方法。

三、教学难点1、一次同余方程求解时的技巧和方法；2、同余方程在密码学中的应用。

四、教学内容及方法1、同余方程的定义和性质同余方程的定义：如果a、b、n都是整数且n>0，则称a与b对于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。

同余方程的性质：•同余方程若成立，则其左右两边都可以加上或减去n的任意倍而仍成立；•同余方程若成立，则其左右两边都可以同乘或同除一个不等于0的整数m，而仍成立。

2、确定一次同余方程的解的方法求解一次同余方程ax≡b(mod n)的步骤如下：1、求出a关于模n的逆元a’；2、解出方程xa’b≡b’a(mod n)的解x0；3、得到原方程的最小非负整数解x。

步骤1：求出a关于模n的逆元a’。

如果a与n互质，则a’可以用扩展欧几里得算法求出。

如果a与n不互质，则方程ax≡b(mod n)可能无解，或者有解但无法通过常规方法求解。

步骤2：解出方程xa’b≡b’a(mod n)的解x0。

这个步骤可以用扩展欧几里得算法来实现。

步骤3：得到原方程的最小非负整数解x。

设x0是方程xa’b≡b’a(mod n)的一个解，则原方程的解可以表示为x ≡ x0(mod n/d)，其中d=gcd(a,n)，即a和n的最大公约数。

3、同余方程在密码学中的应用同余方程在密码学中的应用非常广泛，如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥交换算法等。

RSA加密算法利用了同余方程的一个重要特性：能够方便地求出解的模运算。

具体而言，假设p、q是两个不同的质数，n=pq，则RSA加密算法的公钥为(n,e)，私钥为(n,d)，其中e和d满足下列条件：•ed≡1(mod φ(n))，其中φ(n)=(p-1)(q-1)；•e和φ(n)互质。

人教版高中选修(B版)4-6第二章同余教学设计一、教学目标1.能够理解同余的定义，掌握同余的运算性质。

2.能够应用同余的理论解决实际问题，如密码学等。

3.培养学生抽象思维和逻辑推理能力。

二、教学内容人教版高中选修(B版)4-6第二章同余1.同余的定义和运算性质2.同余方程的解法3.同余类的计数4.应用同余解决实际问题三、教学过程第一节：同余的定义和运算性质•教学目标：1.学习同余的定义和性质。

2.培养学生抽象思维和逻辑推理能力。

•教学内容：1.同余的定义和性质2.同余的示例•教学方法：1.讲授2.案例分析1.讲解同余的定义和性质。

2.通过案例分析，帮助学生掌握同余的应用。

3.作业：完成教材上的练习题。

第二节：同余方程的解法•教学目标：1.学习同余方程的解法。

2.培养学生抽象思维和逻辑推理能力。

•教学内容：1.同余方程的解法2.同余方程的应用•教学方法：1.讲授2.案例分析•教学步骤：1.讲解同余方程的解法。

2.通过案例分析，帮助学生掌握同余方程的应用。

3.作业：完成教材上的练习题。

第三节：同余类的计数•教学目标：1.学习同余类的计数方法。

2.培养学生抽象思维和逻辑推理能力。

•教学内容：1.同余类的计数2.应用同余类解决实际问题1.讲授2.案例分析•教学步骤：1.讲解同余类的计数方法。

2.通过案例分析，帮助学生掌握同余类解决问题的应用。

3.作业：完成教材上的练习题。

第四节：应用同余解决实际问题•教学目标：1.学习如何使用同余解决实际问题。

2.培养学生抽象思维和逻辑推理能力。

•教学内容：1.应用同余解决实际问题2.密码学的应用•教学方法：1.讲授2.案例分析•教学步骤：1.讲解如何使用同余解决实际问题。

2.通过案例分析，帮助学生掌握同余在密码学中的应用。

3.作业：完成教材上的练习题。

四、教学资源1.电脑2.投影仪3.智能白板五、教学评价1.完成教材上的练习题，达到合格水平。

2.能够熟练掌握同余理论，并应用到实际问题中。