高等数学第四节极限运算法则
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5
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解 lim( x2 3x 5) 22 3 2 5 3 0, x2
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
lim(x3 1)
x2
lim ( x 2
3x
5)
22
23 1 3 2
5
x2
7.
结论
3
设
f
(x)
P(x) Q(x)
,
P(x)、Q(x)均为多项式函数且Q(x0 )
0,
则有
lim
x x0
对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值， 值得我们单独给出定义
1.定义 如果函数f (x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那 么函数f (x)叫做x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简 称无穷小。
简单地说 极限为零的变量称为无穷小.
记作： lim f (x) 0 或 lim f (x) 0
g(x) lim g(x) B
注 ①此定理对于数列同样成立
②(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
③ (2)有两个重要的推论
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f (x)存在,而n是实数,则 lim[ f (x)]n [lim f (x)]n.
3.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 lim f (x) A f (x) A 其中 lim 0
例如 lim(x 1) 2 x 1 2 (x 1), 其中lim(x 1) 0
x1
x1
3.无穷小的运算性质:
（1）有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小. （3）常数与无穷小的乘积是无穷小.
（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
问题 1、无穷多个无穷小的代数和是无穷小吗？
2、两个无穷小量的商是无穷小吗？
例
求 lim sin x
x x
解
x , 1 是无穷小，sin x是有界函数
x
依据性质（4），1 sin x是无穷小 x
即lim sin x 0 x x
二、无穷大
定义 如果当x→x0（或x→∞）时，|f (x)|无限增大，则 称f (x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷 大。
x2
x2
x2 x2
结论
2(lim x)2 2 7 2 22 2 7 13 x2
设 f (x) a0xn a1xn1 a（n n为正整数）
为多项式函数, 则有
lim f (x) a0 x0n a1 x0n1 an f ( x0 ).
x x0
例
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
xx0
x
例如,
lim(x 2) 0, 函数x 2是当x 2时的无穷小. x2
lim 1 0, 函数y 1 是当x 时的无穷小。
x x
x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意
1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；
2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
记作 lim f (x) 或 lim f (x)
xx0
x
简单的说 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
（1)当x 0时，1 无限增大， 所以lim 1
x
x0 x
（2）当x 时, x3 无限增大, 所以lim x3 x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
若当x→ x0 （或x→∞）时，f (x)取正值无限增大， 称f (x)为正无穷大。 若当x→x0（或x→∞）时，f (x)取负值而|f (x)| 无限增大，称f (x)为负无穷大。
极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
一、无穷小
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。
案例 [洗涤效果]
在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上 残留的污质就越少。当量称无穷小量。
例如：当x 3时，x 3为无穷小，而 1 为无穷大 x3
当x 时，ex为无穷大， lim ex 0 x
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四、极限运算法则
定理
设 lim f (x) A, lim g(x) B,则 (1) lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B; (2) lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B; (3) lim f (x) lim f (x) A , 其中lim g(x) 0.
⑤定理的条件： lim f ( x),lim g( x) 存在 商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
五、求极限方法举例
1、直接应用法则
例 求 lim(2x2 x 7)
解
x2
lim(2x2 x 7) lim(2x2) lim x lim 7
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
结论
若lim f (x) A（A 0）， lim g(x) 0,则
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
记为：lim f (x) (或 lim f (x) )
xx0 ( x)
xx0 ( x)
例如 lim x2 lim ln x
x
x0
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x) 认为极限存在. x x0
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在自变量同一变化过程中,无穷大的倒 数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 .
f
( x)
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
例：求
lim[(3
x
1)(4 x
5 x2
)]
解
lim[(3
x
1 )(4 x
5 x2
)]
lim(3 1) lim(4 5 )
x
x x
x2
3 4 12
2、" A" 型（A 0） 0
例
求
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x 1
