专题四：求动点轨迹方程5种方法(解析版)

解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。

4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．5b ==∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD = ，1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

求动点轨迹系列小专题4：消参法消参法：顾名思义，通过消去参数，得到动点()y x P ,的轨迹方程。

本课时，敢于突破自己，在各式各样的情境下，多参数情况下，也能够找到消参的路径。

其实消参法学习过后，上课时的相关点法的本质也是消参法，消参的路径就是运用主动点的方程进行消参，相关点法实际上是以特殊的消参身份独立出来。

例1：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，己知两点()()60,26A B -，，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中21αβ+=.则点C 的轨迹方程为____________.【答案】65180x y +-=【解析】【分析】设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以6186x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由21αβ+=可得出点C 的轨迹方程.【详解】设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以626x y αββ=-⎧⎨=⎩，所以6186x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,又21αβ+=，所以216186x y y ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即65180x y +-=，故填：65180x y +-=.变式1：在直角坐标系xOy 中，过点(1,0)-的直线与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，弦AB 的中点P 的轨迹记为W ，求W 的方程；【分析】先设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，根据21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，以及题意，得到121021284y y x x y y y -==+-，再由1201201y y y x x x -=-+，两式联立，即可得出结果；【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由题意可得：21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，则()2212128y y x x -=-，从而1212128y y x x y y =-+-，因为点P 为弦AB 的中点，所以1202y y y +=，即121021284y y x x y y y -==+-，又直线AB 过点(1,0)-，所以1201201y y y x x x -=-+，则00041y x y =+，即()20041y x =+，而()00,P x y 必在抛物线2:8C y x =的内部，从而()2000418y x x =+<，即01x >.故W 的方程为24(1)(1)y x x =+>.变式2：过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点的轨迹方程为__________.【答案】22(1)y x =-【解析】由题意知抛物线焦点为(1,0)，当直线的斜率存在时，设为k ，则焦点弦方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程24y x =得2222(24)0k x k x k -++=，由题意知斜率不等于0，方程是一个一元二次方程，由韦达定理：212224k x x k ++=所以中点横坐标：212222x x k x k ++==代入直线方程，则中点纵坐标：2(1)y k x k =-=，即中点为2222(,k k k+消参数k ，得其方程为22(1)y x =-当直线的斜率不存在时，直线的中点是(1,0)，符合题意，故答案为：22(1)y x =-变式3：设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.【答案】2222230x y x +--=【分析】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则12122,2x x x y y y =+=+,由题意,A B均在圆O 上则有222211224,4x y x y +=+=.又由BP AP ⊥，得121212121x x y y x x x +=+-=-，再代入消去参数，得到M 的轨迹方程.【解析】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+.(1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=.(2)又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅= .即BP AP ⋅ =1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++=（3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=-（4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++.即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++（5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-.即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230x y x +--=变式4：双曲线Γ：221143x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，动直线l 垂直Γ的实轴，且交Γ于不同的两点,M N ，直线1A N 与直线2A M 的交点为P ，求点P 的轨迹C 的方程；【解析】因为()()122,0,2,0A A -，设(),,P x y ()00,,M x y 则()00,,N x y -且2200143x y -=①，因为动直线l 交双曲线于不同的两点,M N ，所以02x ≠±且2x ≠±，因为直线2A M 的方程为()0022y y x x =--②，直线1A N 的方程为()0022y y x x -=++③，②⨯③得()22202044y y x x -=--，把①代入上式得()22344y x =--，化简得22143x y +=，所以点P 的轨迹C 的方程为()221243x y x +=≠±.变式5：已知椭圆C ：221189x y +=的短轴端点为1B ，2B ，点M 是椭圆C 上的动点，且不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.求动点N 的轨迹方程；【答案】（Ⅰ）()2210992y x x +=≠；【解析】设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，11,MB NB ⊥Q 22MB NB ⊥∴直线010:33x NB y x y +=-+①直线020:33x NB y x y -=--②⨯①②得22202099x y x y -=-又22001189x y +=Q ，2022221819929o y y x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-==--，整理得点N 的轨迹方程为()2210992y x x +=≠。

第36讲 轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程 一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。

二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。

三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式。

【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A ，B 的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-.（1）求P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M ､N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积. 【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ， 由题意知(23333AP BP k k x x x ⋅==-≠+-，化简得P 的轨迹方程为(221332x y x +=≠（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//,//AP OM BP ON ， 则直线,AP BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅.因为//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k =-设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y +=，得()222324260m y mty t +++-=....①，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m -+=-=++ 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+又1212△MONS t y y =-=，所以△MON S =，即MON △例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P 到定点()0,1F 的距离与到定直线4y =的距离之比为定值12.（1）求动点P 的轨迹方程：（2）若直线l 与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，且线段MN 被直线210x +=平分，求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】（1）设点()P x y ，12=两边平方，整理得22134x y += 所以动点P 的轨迹方程为22134x y +=；（2）联立22210134x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设点()11M x y ，，()22N x y ，，MN 的中点为012Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0y <<1212012x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 又因为点()11M x y ，，()22N x y ，都在椭圆22134x y+=上，则22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将上述两个等式作差得22221212034x x y y --+=.则2212221243y y x x -=-- 则()()()()1212121243y y y y x x x x -+⋅=--+，即()()120122413y y y x x -⋅=---所以()0423k y ⋅-=-，即02233333k y ⎛⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以直线l 的斜率的取值范围是23333⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C ：()22116x y ++=，点1,0A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点()0,1B -作直线MN 交点Q 的轨迹于M ､N 两点，设线段MN 的中点为H ，判断线段AH 与HM 的大小，并证明你的结论. 【解析】（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =. 又4CP CQ QP =+=，∴42CQ QA CA +=>=.∴点Q 的轨迹是以坐标原点为中心，()1,0C -和1,0A 为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2a =，221a b -=∴23b =，∴点Q 的轨迹方程为22143x y +=.（2）结论是：AH HM ≤.①当直线MN 的斜率不存在时，1AH =，HM AH HM <； ②当直线MN 的斜率k 存在时，设MN ：1y kx =-代入到22143x y +=，化简得()2243880k x kx +--=，设()11,M x y ，()22,N x y 则122843k x x k +=+，122843x x k -=+， 此时()111,AM x y =-，()221,AN x y =-，∴()()()()()()12121212111111AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+=--+--()()()()2212122281811(1)224343k k k k x x k x x k k -⋅+⋅+=+-+++=-+++ 222218882204343k k k k k ⎛⎫-+ ⎪---⎝⎭==≤++. ∴90MAN ∠≥︒，点A 在以MN 为直径的圆上或圆的内部，所以AH HM ≤. 综上所述，AH HM ≤.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B 是椭圆22221x y a b+=上的动点，(2,0)A a 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为（x ，y ），设B 点坐标为（x 0，y 0）， 则由M 为线段AB 中点，可得00002222202x ax x x a y y y y+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，即点B 坐标可表示为（2x －2a ，2y ）， 因为点B （x 0，y 0）在椭圆22221x y a b+=上，2200221x y a b∴+=， 从而有2222(22)(2)1x a y a b-+=， 整理得动点M 的轨迹方程为22224()41x a y a b-+=.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 【详解】设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2）(1)(2)-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y yy y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， 联立22412340x y x x y ⎧+=⎪∴=±⎨⎪+=⎩故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：4440()33x y x +=-≤≤例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(A且与圆(22:12B x y +=相内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程D .（2）直线l 过原点，且与轨迹D 有两个交点,M N .轨迹D 上是否存在一点Q ，使△QMN 为正三角形，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则由条件知：||,||PB r PA r ==，故||||PA PB +=因此，P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为.故圆心P 的轨迹方程D 为：2213x y +=.（2）解法一：若直线l 的斜率存在且不为零. 故可设:l y kx =.直线OQ 方程为：1=-y x k由222233313x y x MN k y kx ⎧+=⇒=⇒=⎨+=⎩||MN =同理，得||OQ ==因22|||3913OQ MN k k =⇔=⇔+=+，此时无解. 若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出(Q .故Q的坐标为(0) 解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设1122(cos ,sin ),(cos(),sin())22M r r Q r r ππθθθθ++，代入椭圆方程，得222221112cos 3sin 1312sin r r r θθθ+=⇒=+ 同理222312cos r θ=+，由|||OQ OM =得cos 0θ=，故存在这样的点Q，其坐标为(0).例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程.【详解】由已知得()()22,0,22,0A B -， ∵2sin sin 2sin A C B +=，∴由正弦定理得:22BC AB AC +=， ∴1222AC BC AB AB -==<， ∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹以,A B 为焦点，以22为实轴长的双曲线的右支（除去与x 轴的交点）， ∴2,22,6a c b ===，∴顶点C 的轨迹方程为()221226x y x -=>.故答案为：()221226x y x -=>.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点．(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【解析】（1）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =. 由220019x y +=得220019x y =-，从而 22222200000199(1)()9924x x y x x =-=--+当2092x =，2012y =时，max 6S =.从而t ABCD 的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由00(,)A x y ，00(,)B x y -，1(3,0)A -，2(3,0)A 知直线1AA 的方程为0(3)3yy x x =++① 直线2A B 的方程为00(3)3y y x x -=--② 由①②得22020(9)9y y x x -=--③ 又点00(,)A x y 在椭圆C 上，故220019x y =-④将④代入③得2219x y -=(3,0)x y <-<因此点M 的轨迹方程为2219x y -=(3,0)x y <-<.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P ，求椭圆的标准方程；（2）ABC 两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程. 【答案】（1）2219x y +=或221819y x+=，（2）2213616x y +=（6x ≠±），【分析】（1）由题意可得3a b =，然后分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况设出椭圆的方程，再将(3,0)P 代入方程中可求出,a b 的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点C 的坐标，再由,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以3a b =，若焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9x y b b b+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得1b =，所以椭圆的方程为2219x y +=，若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9y x b bb+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得3b =， 所以椭圆的方程为221819y x +=，所以椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=，（2）设点C 的坐标为(,)x y （0y ≠）， 因为边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，所以4669y y x x ⋅=-+-，化简得2249144x y +=，即2213616x y +=（6x ≠±）， 所以顶点C 的轨迹方程2213616x y +=（6x ≠±）， 2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．求动点M 的轨迹方程. 【答案】22(0)y x x =≥和0(0)y x =< 【分析】设出点M 的坐标，根据题意列出,x y 所满足的方程，化简方程可求得M 的轨迹方程. 【详解】设(,)M x y 1||2x =+两边平方可得：211||44x y x -++=+当0x ≥时，化简可得22(0)y x x =≥， 当0x <时，0y =，所以曲线M 的轨迹方程为22(0)y x x =≥和0(0)y x =<.3．（2021·全国·高三专题练习）过点()1,0A -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于P 、Q 两点.求线段PQ 的中点B 的轨迹方程.【答案】()2221y x x =+>【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ 的中点B 的轨迹方程. 【详解】解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y代入得()()()211121212222444y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩， 化简得()224211yy y x x ⋅=⇒=++， 又224122y xx y x ⎧=⇒=⎨=+⎩， 所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为()2221y x x =+>.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2.（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程； （2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y r x -＋22y rx -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆A ：22(2)1x y ++=与点0(2)B ，，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．（1）PAB △的周长为10；（2）圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；（3）圆P 与圆A 外切，且与直线1x =相切(P 为动圆圆心)．【答案】（1）()221095x y y +=≠；（2）224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；（3）28y x =-【分析】（1）由题意可得到64PA PB AB >=+=，再根据椭圆的定义即可求解； （2）由题意可得到14P A B B A P -=<=，再根据双曲线的定义即可求解； （3）根据抛物线的定义即可求解.【详解】解：（1）由题意知：10PA PB AB ++=， 又4AB =，64PA PB AB ∴+=>=，故P 点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且26a =，24c =， 即3a =，2c =，5b =∴动点P 的轨迹方程为：()221095x y y +=≠； （2）设圆P 的半径为r ，则1PA r =+，PB r =，114r r A B AB P P ∴-=+-=<=，由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支， 且21a =，24c =， 即115,2,2a c b ===，∴动点P 的轨迹方程为：224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， （3）由题意知：动点P 到定点A 的距离等于到定直线2x =的距离， 故其轨迹为抛物线，且开口向左，4p =， ∴动点P 的轨迹方程为：28y x =-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知1(0)2A -，，B 是圆：221()42x y -+=(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 【答案】22413y x +=.【分析】先根据题意可知PF PB +正好为圆的半径，而PA PB =，进而可知2PF PA +=．根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，根据A 、F 求得a ，c ，进而求得b ，答案可得． 【详解】作图，则PA PB =，2PF PB +=， ∴2PF PA +=且大于1AF =，即动点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，1a =，12c =，234b =，所以动点P 的轨迹方程为22413y x +=.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】x 2-28y =1(x ≤-1) 【分析】设动圆的半径为R ,根据圆外切的条件得到|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3,消去R ,得到|MC 2|-|MC 1|=2,根据双曲线的定义得到M 的轨迹，并由定义得到,a c 的值，进而得到方程. 【详解】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2<|C 1C 2|,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且1,3a c ==, 所以2228b c a =-=.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1). 【点睛】本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是利用圆相外切的条件，转化为动点到两定点的距离之差等于定值，另外要准确全面掌握双曲线的定义，这里表示的是双曲线的一支. 8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】2213627x y +=；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设圆22650x y x +++=和圆226910x y x +--=的圆心分别为1O 、2O ， 将圆的方程分别配方得：圆()221:34O x y ++=，圆()222:3100O x y -+= 当动圆M 与圆1O 相外切时，有12O M R =+ …① 当动圆M 与圆2O 相内切时，有210O M R =-…②将①②两式相加，得121212O M O M OO +=>，∴动圆圆心(,)M x y 到点10()3,O -和2()3,0O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点10()3,O -、2()3,0O ，长轴长等于12的椭圆． 设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ； ∴26,212c a ==， ∴3,6c a == ∴236927b =-=∴动圆圆心轨迹方程为2213627x y +=，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．9．（2020·全国·高三（理））已知点M 与两个定点00O (，)，(30)A ，的距离的之比为12. （1）求点M 的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】（1）点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆；（2）max 2d =，min 2d =【分析】（1）设(),M x y ，利用点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，建立方程，化简可得结果；（2）先求出圆心到直线2130x y +-=的距离d ，最大值为d r +，最小值为d r -. 【详解】（1）设(),M x y ，∵点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，12=，化简可得()2214x y ++=， 即点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.（2）圆心(1,0)-到直线2130x y +-=距离为d ==点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值为2d r +=，最小值为2d r -=. 【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且该双曲线过点(2,2). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1､F 2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）221312x y -=.（2）223x y += 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点P 满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程. 【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y =±2x ， 则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2=λ，(λ≠0)， 点(2,2)代入得：λ=12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2=12， 即22312x y -=1. （2）∵F 1,F 2是双曲线22312x y -=1的左右焦点， 过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ， 并且交AF 1于Q ，连接OP ， 如下图所示：则11,2OP FQ OP =//1F Q ， 显然2AQP AF P ∆≅∆ 故|AQ |=|AF 2|，∴|F 1Q |=|AF 1|﹣|AQ |=|AF 1|﹣|AF 2|=2a ， ∴|OP |=a 3=由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 3 所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的长轴长为220，1）的直线l 与M 交于A ，B 两点，且AP PB =． （1）求M 的方程；（2）求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）x 2+2y 2＝2y ．【分析】（1）根据题意2a ＝222c a =，解方程组即可求解. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k 即可求出轨迹方程. 【详解】（1）由题意可知，长轴长2a ＝a =e c a ==， 则c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以椭圆M 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ）， 联立方程组22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得（1+2k 2）x 2+4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 22412k k -=+，y 1＝1，y 2221212k k -=+，由题意可知，P 为AB 的中点，所以22212112k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k ，整理得x 2+2y 2＝2y ，当斜率不存在时，A （0，1），B （0，﹣1）， 则P （0，0），满足x 2+2y 2＝2y ， 所以点P 的轨迹方程x 2+2y 2＝2y ． 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及求曲线的轨迹方程，属于中档题.12．（2020·全国·高三专题练习）设(1,0)F ，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且2MN MP =，PM PF ⊥，P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程；【答案】24(0)y x x =≠ 【分析】根据且2MN MP =，可得P 为MN 的中点，利用PM PF ⊥，可得0PM PF =，从而可得点N 的轨迹C 的方程； 【详解】解：设(,)N x y ，则由2MN MP =，得P 为MN 的中点， 又因为点M 在x 轴上，点P 在y 轴上， 所以(,0)M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭,2x PM y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,2PF y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又PM PF ⊥，∴0PM PF = 022y y x ⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24(0)y x x ∴=≠；【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用0∆>求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x 由12DM DP =知：(),2P x y点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C是以()，)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640k k k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k +=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭又(),OE x y = ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-= 215k < ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭ ∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点(2,0)E -，(2,0)F ，(,)P x y ，是平面内一动点，P 可以与点,E F 重合.当P 不与,E F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为14-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）[8,10].【分析】（1）当P 与点,E F 不重合时，根据直线PE 与PF 的斜率之积为14-，直接可求出动点P 的轨迹方程；当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P ，最后写出动点P 的轨迹方程； （2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1d =同理：2241n k +=，矩形的另一边长为2d =12S d d =⋅=(]48,10=，综上：[]8,10S ∈. 【详解】解：（1）当P 与点,E F 不重合时， 14PE PFk k ⋅=-，得1224y y x x ⋅=-+-，即()22104x y y +=≠，当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P . 综上，动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1221m d k =+，同理：2241n k+=，矩形的另一边长为22211nd k =+， 122222111m n S d d k k =⋅=⋅=++()()()222224144411kk mnk k k ++=⋅++()()42222224174944411k k k k k ++=⋅=⋅+++(]229448,1012k k=⋅+∈++， 综上：[]8,10S ∈. 【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x 的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC 表示成0x 的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：， 同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号， 所以面积的最小值为8.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【答案】221(0)43x y y +=≠. 【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求. 试题解析：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠． 考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．【答案】250x y -+=． 【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思想进行探求. 试题解析：由题意知，M 为PQ 中点，设(,)Q x y ，则P 为(2,4)x y ---，代入230x y -+=， 得250x y -+=．考点：代点消元法求轨迹方程的运用．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程． 【答案】22240x y x y --+= 【分析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P 的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可． 【详解】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)， 将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+= 【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题． 19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点． （1）求ABF ∆的重心G 的轨迹方程； （2）如果2,m ABF =-∆求的外接圆的方程． 【答案】解：①设，，，重心，∴△＞0＜1且（因为A 、B 、F 不共线）故∴重心G 的轨迹方程为（6分）②，则，设中点为∴∴那么AB 的中垂线方程为令△ABF 外接圆圆心为又，C 到AB 的距离为∴∴∴∴所求的圆的方程为（7分）【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，重心G (x ，y )，24{0y x x y m ＝，－＋＝⇒y 2－4y ＋4m ＝0， ∴Δ>0⇒m <1且m ≠－1(A ，B ，F 不共线)， 故12121212152333{433x x y y m mx y y y ＋＋＋－＋－＝＝＝，＋＝＝∴重心G 的轨迹方程为y ＝47133x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且.(2)若m ＝－2，则y 2－4y －8＝0，设AB 中点为(x 0，y 0，) ∴y 0＝122y y ＋＝2，∴x 0＝y 0－m ＝2－m ＝4， 那么AB 的中垂线方程为x ＋y －6＝0， 令△ABF 的外接圆圆心为C (a,6－a )， 又|AB |211k+y 1－y 2|＝6C 到AB 的距离为d 282a －|CA |＝|CF |⇒6)2＋22＝(a －1)2＋(6－a )2⇒a ＝192， ∴C 点的坐标为197,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴|CF |2＝172⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋72⎛⎫⎪⎝⎭2＝1692，∴所求的圆的方程为192x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋72y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＝1692. 20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹方程. 【答案】2240x y x +-= 【分析】先设(,)P x y 2222(2)2(1)x y x y ++-+.【详解】 设(,)P x y ，因为(2,0)A -、(1,0)B ，且2PA PB =，= 整理得2240x y x +-=.即点P 的轨迹方程为2240x y x +-=. 【点睛】本题主要考查轨迹方程，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于基础题型.21．（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221259x y +=（0y ≠）． 【分析】根据题意可得10BC AC AB +=>，则点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点，求得,,a b c 即可得出答案. 【详解】解：∵ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，周长为18， ∴8AB =，10BC AC +=， ∵108BC AC +=>，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值，且定值大于A ，B 两点间距离， ∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点， ∵210a =，28c =，∴3b =，∴顶点C 的轨迹方程是221259x y +=（0y ≠）．22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程E ；（2）若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）221(2)43x y x +=≠（2）存在，137t = 【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，根据题意得动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，再根据圆1C 与圆2C 内切于点()2,0，进而得方程221(2)43x y x +=≠； （2）设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，进而根据M ，A ，N 三点共线和221x my =+得121221()N my y x y y =+*+，再联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并结合韦达定理得4N x =，再结合面积得1=M x ，进而得1M x =-，310AM k =，再求解得存在唯一137t =满足题意.（1）解：221:(1)9C x y ++=，222:(1)1C x y -+=设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切所以1231PC r PC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，12124PC PC C C ∴+=>，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，又因为圆221:28C x y x ++=与圆222:20C x y x +-=内切于点()2,0，所以动圆圆心P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠ （2）解：设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，则11(,)A x y -∵M ，A ，N 三点共线AM AN k k ∴=，即211211N y y y x x x x +=--，整理得121112()N y x x x x y y -=++ 又221x my =+代入，121221()N my y x y y =+*+ 联立22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122634my y m -∴+=+，122934y y m -=+ 代入()*可得4N x =， 又229342MC NSy =⇒=，21x =， 因为1t ≠，所以21x ≠-，故21x =-，11310AM N y k x x ∴==±-，由对称性，不妨取310AM k = 3:(4)10ANl y x ∴=-代入椭圆22143x y +=，得276130x x --=1137M x x ∴⋅=-，1137x ∴=， ∴存在唯一137t =满足题意。

轨迹方程问题的解决办法
方法一直接法
使用情景：可以直接列出等量关系式。

解题步骤：
第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。

）
第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

方法二定义法
使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义。

解题步骤：
第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）
第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程
方法三相关点法（代入法）
使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动。

解题步骤：
第一步判断动点P（x，y）随着已知曲线上的一个动点Q（x ,y）的运动而运动
第二步求出关系式X=f(x,y),y=g(x,y)
第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程。

方法四参数法
使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时。

解题步骤：
第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y; 第二步消去参数，得到关于x,y的方程，即为轨迹方程。

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！ 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133y x =-，2233y x =， 则12213()3y y x x +=-，21123()3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：lxyCGFOPM2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k 的取值范围是113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

动点轨迹求法一考点分析解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．二命题趋势解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．三知识网络四考点对接1 直接法：用直接法求轨迹方程的步骤：（1）恰当地建立直角坐标系（如已经建立，此步可以省略）；（2）设动点P(x，y)为轨迹上任意一点；（3）用动点坐标P（x，y）表示问题中的几何关系，列出等式关系；（4）化简并整理得轨迹方程。

注意：如果含有参数，则必须进行讨论。

一、求轨迹的一般方法1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

注意事项1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

一、直接法根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例：（06全国Ⅰ）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。

求：点M的轨迹方程；解: 椭圆方程可写为: y2a2 + x2b2 =1 式中a>b>0 , 且a2－b2 =33a =32 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ y24 =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (0<x<1) y '=－2x1－x2 设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=21－x02 , y '|x=x0= －4x0y0 ,得切线AB的方程为:y=－4x0y0 (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=1x0 , y= 4y0 .由OM→=OA→ +OB→得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:1x2 + 4y2 =1 (x>1,y>2)二、代入法（相关点法）有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。

这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。

例二（03全国）如图，从双曲线上一点Q引直线的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

分析：从题意看动点P的相关点是Q，Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。

解：设动点P的坐标为（x,y），点Q的坐标为（x1,y1），则N点的坐标为（2x—x1,2y—y1）∵N在直线x+y=1上,∴2x—x1+2y—y1=2 ①又∵PQ垂直于直线x+y=2∴即x—y + y1—x1=0 ②联立①②解得③又点Q在双曲线上，∴④③代入④，得动点P的轨迹方程是三、定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

求轨迹方程的常见方法由运动轨迹求方程是解析几何的一类重要问题，下面谈谈求轨迹方程的几种常用方法。

一、直接法建立适当的座标系后，设动点为，根据几何条件寻求之间的关係式。

例1 已知动点m到椭圆的右焦点的距离与到直线x=6的距离相等，求点m的轨迹方程。

变式：已知点m与椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为，求点m的轨迹方程。

变式2：在三角形abc中，b（-6，0）, c（-6，0）,直线ab,ac斜率乘积为，求顶点a的轨迹。

说明：求轨迹需要说明是什幺曲线并指出曲线的位置与大小，求轨迹方程怎不必说明。

二、定义法由题设所给动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程。

例2 已知圆的圆心为m1，圆的圆心为m2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心p的轨迹方程。

解：设动圆的半径为r，由两圆外切的条件可得：，。

∴动圆圆心p的轨迹是以m1、m2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为。

三、待定係数法由题意可知曲线型别，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定係数，进而求得轨迹方程。

例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为f（，0），直线y=x－1与其相交于m、n两点，mn中点的横座标为，求此双曲线方程。

解：设双曲线方程为。

将y=x－1代入方程整理得。

由韦达定理得。

又有，联立方程组，解得。

∴此双曲线的方程为。

四、引数法选取适当的引数，分别用参数列示动点座标，得到动点轨迹的引数方程，再消去引数，从而得到动点轨迹的普通方程。

例4 过原点作直线l和抛物线交于a、b两点，求线段ab的中点m的轨迹方程。

解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。

把它代入抛物线方程，得。

因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。

设a（），b（），m（x，y），由韦达定理得。

由消去k得。

又，所以。

学科：奥数教学内容：动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN，即 λ=-MQON MO 22， λ=+--+2222)2(1yx y x ． 整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，13122-+λλ为半径的圆．二、代入法若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2 （1986年全国）已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．解：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ， ∴ .2121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-=y y x x . 又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),31(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3 （1986年广东）若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A ）012122=+-x y（B ）012122=-+x y（C ）082=+x y（D ）082=-x y解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．例4 （1993年全国）一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为（A ）抛物线 （B ）圆（C ）双曲线的一支 （D ）椭圆解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选（C ）．四、参数法若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例5 （1994年上海）设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（A ）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQ OP，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a bx a y =+ 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x由12-=t t OQ OP 和1x xOQ OP=得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ． 其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分． 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6 （1985年全国）已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线P A 和QB 交点M 的轨迹方程．解：P A 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ，则P A ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x当t =－2，或t =－1时，P A 与QB 的交点坐标也满足上式，所以点M 的轨迹方程是 .0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．。

求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法（相关点法）：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。

常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。

若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。

【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点(A，B ，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，点M 的轨迹是（）A ．()22109x y y -=≠B ．()22109y x y -=≠C ．()22103x y y -=≠D ．()22103y x y -=≠【详解】解：设动点(),M x y，则x ≠，则MA k =MB k =，(x ≠，直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，13=，化简可得，()22103x y y -=≠，故点M 的轨迹方程为()22103x y y -=≠.故选：C.例1：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是（）A.22132x y +=B.22132x y -= C.()224136x y --= D.22123x y +=解：设(),P x y33P ld PA-∴=33x ∴-=()()222331x x y ⇒-=-+2221626x x y ⇒--=-()()22224246136x y x y -⇒--=⇒-=答案：C 【变式演练】1.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【详解】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点(,)Mx y=22(4)4x y -+=，于是得点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，所以M 点的轨迹围成区域的面积为4π.2.已知点(0,1)F ，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP PQ ⋅=⋅，则动点P 的轨迹C 的方程为（）A ．24x y=B ．23y x=C ．22x y=D ．24y x=【答案】A 【详解】设点(,)P x y ，则(,1)Q x -，因为(0,1)F 且QP QF FP PQ ⋅=⋅，所以(0,1)(,2)(,1)(,2)y x x y x +⋅-=-⋅-，即22(1)2(1)y x y +=--，整理得24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程为24x y =.故选：A 3.已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；解(1)设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 23＝1.【题型二】相关点代入法【典例分析】已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．【解析】解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴．③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．例3：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是（）A.212x y =-B.21216x y =-C.222x y =- D.221x y =-思路：依题意可得()0,1F ，(),M x y ，()00,P x y ，则有0000221212x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，因为()00,P x y 自身有轨迹方程，为：204x y =，将00221x xy y =⎧⎨=-⎩代入可得关于,x y 的方程，即M 的轨迹方程：()()22242121x y x y =-⇒=-答案：D例4：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________解：由抛物线24y x =可得：()1,0F 设()()00,,,M x y P x y ()()001,,1,FP x y FM x y ∴=-=-2FP FM = ()00002112122x x x x y y y y =--=-⎧⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩①P 在24y x =上2004y x ∴=，将①代入可得：()()22421y x =-，即221y x =-【变式演练】1.已知抛物线24C y x =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =- 得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A Ax x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.2.已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =+相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M满足()22OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；【答案】（1）试题解析：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为3.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．【解析】解设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，－x 0＝－2x 0＝2y 0，0＝－x 0＝12y.∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【题型三】定义法【典例分析】已知动圆M 过定点(4,0)P -，且与圆2280C x y x +-=：相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】依题意，4MC MP -=，说明点M 到定点C P 、的距离的差为定值，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支，∵24a =，∴2a =．∵4c =，∴22212b c a =-=∴动圆圆心M 的轨迹方程是221(2)412x y x -=≤-．例6：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()22:34C x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________思路：定圆的圆心为()3,0C ，观察到恰好与()3,0A -关于原点对称，所以考虑P 点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，由两圆外切可得2PC r =+，所以2PC PA -=，即距离差为定值，所以判断出P 的轨迹为双曲线的左支，则1,3a c ==，解得2228b c a =-=，所以轨迹方程为()22118y x x -=≤-【变式演练】已知两个定圆O1:(x+2)2＋y 2＝1：和O 2(x-2)2＋y 2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，【解析】解由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M 的半径为r，则由动圆M 与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M 与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M 的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x≤－32)．2、已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,41F ，直线41:-=x l ，点B 是直线l 上动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（）A 、双曲线B 、抛物线C 、椭圆D 、圆【答案】B【解析】由题意知MF MB =，点M 的轨迹为抛物线。

怎样求动点到定点和直线轨迹方程求动点到定点和直线轨迹方程是解析几何的基础知识之一，通过这种方法我们可以找到两点之间的最短距离，并且可以描述直线上的任意一点的位置关系。

下面将详细介绍求动点到定点和直线轨迹方程的步骤和方法。

一、求动点到定点的距离动点到定点的距离是指空间中两个点之间的最短距离，可以用欧氏距离公式来求解。

设定两点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则点A 到点B的距离公式如下：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]其中，d表示两点之间的距离，√表示开方运算。

通过这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离。

二、求直线轨迹方程直线轨迹方程是指在平面或空间中满足某种规律的直线的集合，通常用解析几何的方法表示。

在平面直角坐标系中，一条直线的方程通常可以用一般式、斜截式、点斜式等形式来表示。

1.一般式方程一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，通常要求A和B不同时为0。

通过这种形式的方程，我们可以描述一条直线在平面上的位置关系。

2.斜截式方程斜截式方程的形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为y轴上的截距。

通过斜截式方程，我们可以直观地了解直线的斜率和截距，从而推导出直线的位置关系。

3.点斜式方程点斜式方程的形式为y - y1 = k(x - x1)，其中k为斜率，(x1, y1)为直线上的已知点。

通过点斜式方程，我们可以根据已知点和斜率求解直线的方程，进而描述直线的位置关系。

通过以上方法，我们可以求解动点到定点和直线轨迹的方程，从而描述空间中的位置关系。

在解析几何中，这些方法是非常重要的，可以帮助我们准确地描述和分析空间中的几何关系。

总结起来，求解动点到定点和直线轨迹方程是解析几何的基础知识，通过这种方法我们可以找到两点之间的最短距离，并描述直线上的任意一点的位置关系。

根据欧氏距离公式和直线方程的不同形式，我们可以灵活地求解出动点到定点和直线轨迹的方程，从而深入理解几何关系。

求与圆有关的轨迹方程[概念与规律]求轨迹方程的基本方法.（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法,在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是:设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0）,求出用x，y表示x0,y0的关系式，将(x0，y0）代入已知曲线方程,化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法:这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

(4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x,y)中x，y之间的关系,后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程.［讲解设计］重点和难点例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2:1，求点P的轨迹方程。

例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.方法一:（直接法)设P（x，y),连接OP，则OP⊥BC，当x≠0时,k OP·k AP＝－1，即即x2＋y2－4x＝0。

①当x＝0时,P点坐标(0,0)是方程①的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内的部分）．方法二：（定义法）由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2，0）,|PM|＝|OA|＝2,由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4（在已知圆内的部分)．例3 已知直角坐标平面上的点Q(2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P=｛M｜|MN|=｜MQ|}∵圆的半径｜ON|=1，∴｜MN|2=｜MO|2-|ON｜2=｜MO｜2-1，设点M的坐标为（x，y)，则整理得（x-4）2+y2=7．∴动点M的轨迹方程是（x—4)2+y2=7．它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0）,半径为例4 如图，已知两条直线l1：2x—3y+2=0,l2:3x—2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l1，l2都相交，并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。

轨迹方程求解方法例题讲解王先生一、【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。

这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。

因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。

方法一直接法万能模板内容使用场景可以直接列出等量关系式解题模板第一步根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。

)第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

1.在平面直角坐标系xOy 中，动点P x ,y 与两点A -1,0 ,B 1,0 的连线PA ,PB 的斜率之积为1y，则点P 的轨迹方程为()A.x 2-y 3=1y ≠0B.x 2+y 3=1x 2≠1C.x 2-y 3=1D.x 2+y 3=12.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP =2PA ，且OQ ·AB =1，则点P 的轨迹方程是()A.32x 2+3y 2=1(x >0，y >0)B.32x 2-3y 2=1(x >0，y >0)C.3x 2-32y 2=1(x >0，y >0) D.3x 2+32y 2=1(x >0，y >0)方法二定义法万能模板内容使用场景轨迹符合某一基本轨迹的定义解题模板第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。

3.已知两圆C1:x-42+y2=169,C2:x+42+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264-y248=1 B.x248+y264=1 C.x264+y248=1 D.x248-y264=1方法三相关点法(代入法)万能模板内容使用场景动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题模板第一步判断动点P x,y随着已知曲线上的一个动点Q x ,y的运动而运动第二步求出关系式x =f x,y,y =g x,y第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程4.已知AB =3,A ,B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP =13OA +23OB ,点P 的轨迹方程为().A.x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C.x 29+y 2=1D.x 2+y 29=15.如图，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点，|AB |=423,|CD |=2-423,AC ⊥BD ,M 为CD 的中点．(Ⅰ)求点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数λ0，使MP =λ0PN ，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；方法四参数法万能模板内容使用场景动点的运动受另一个变量的制约时解题模板第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y；第二步消去参数，得到关于x,y的方程，即为所求轨迹方程。