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道是无圆却有圆（阿波罗尼斯圆）概念篇
道是无圆却有圆
阿波罗尼斯圆（概念篇）
轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤：
建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）。
1 Apollonius 圆 （阿波罗尼斯 圆，简称 “阿氏圆”）
例. 已知，两点坐标()()3,0,3,0A B -,若平面上一点P 满足
2PA PB
=,求P 点轨迹. 解：设P (),x y ，由题意
2= 化简得 ()22516x y ++=
一般地：若平面上P 和定点A 、B 满足PA PB
λ=，当0λ>且1λ≠时，P 的轨迹是一个圆
“阿氏圆”性质：
（1）等比：2PA MA A PB MB NB
N ===；（正弦定理推论） （2）平分：PM 平分APB ∠，
PN 平分APB ∠的外角
（3）性质逆用
（2011苏州市 一模）
18.已知椭圆E ：22221x y a
b +=()0a b >>
的离心率为2，且过点(P ，设椭圆E 的右准线l 与x
轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长（1）求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
（2）若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意
一点N ，有
MN NQ 为定值；且当
M 在直线l 运动时，点Q 在一个定圆上.
（第18题图）。
一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分 ()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=。
阿波罗尼斯圆的轨迹与周期性阿波罗尼斯圆是一种特殊的曲线，其轨迹和周期性引起了众多数学家和物理学家的关注。
它有着许多有趣的性质和应用，本文将对阿波罗尼斯圆的轨迹与周期性进行探讨和阐述。
一、阿波罗尼斯圆的定义及性质阿波罗尼斯圆是以两个定点F1和F2以及一个固定长度d为条件而定义的。
在平面上，对于任意一点P到两个定点F1和F2的距离之差等于d。
换句话说，它满足PF2 - PF1 = d的条件。
阿波罗尼斯圆的轨迹是所有满足这个条件的点P的集合。
通过分析可以得出，当d的取值不同时，阿波罗尼斯圆会呈现出不同的形状。
具体而言，当d大于两个定点之间的距离时，阿波罗尼斯圆是一个封闭的椭圆。
当d等于这一距离时，阿波罗尼斯圆会变成一个抛物线。
当d小于这一距离时，阿波罗尼斯圆则是一个开放的双曲线。
二、阿波罗尼斯圆的周期性除了其特殊的轨迹，阿波罗尼斯圆还具有周期性的性质。
对于任意一点P处的角度θ，通过F1P和F2P可以确定一个界定角度ω。
当点P 绕阿波罗尼斯圆进行旋转时，角度θ和界定角度ω之间的关系始终保持不变。
这种周期性的性质可以通过数学的分析来证明。
首先，我们可以得出F1P + F2P = 2a，其中a表示椭圆的长轴长度。
然后，可以得出F1P - F2P = d。
通过将这两个等式相除，我们可以得到tan(θ/2) = d / 2a。
由此可见，角度θ和点P相对于阿波罗尼斯圆的位置有着确定的关系，从而证明了其周期性。
三、阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆作为一种特殊的曲线，具有广泛的应用价值。
首先，它在天文学领域中有着重要的地位。
阿波罗尼斯圆可以描述行星和卫星的轨道运动，帮助人们理解和预测天体的运动规律。
此外，阿波罗尼斯圆还可以应用于电磁波的研究。
在无线通信中，信号的传播路径可以通过阿波罗尼斯圆来模拟，从而可以优化信号传输的效果，提高通信质量。
在工程领域，阿波罗尼斯圆也有着一定的应用价值。
例如，在建筑设计中，可以通过阿波罗尼斯圆的轨迹来确定建筑物中的自然采光方案，实现光线的最佳分布。
!关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究"江苏省通州高级中学!李欣荣阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见!其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律!探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义!可有效解决相关圆类问题!下面对其加以探究!供读者参考!!问题引出!.!习题回顾在苏教版必修!的教材中有如下一道习题%已知点D)&!%*与两个定点0)"!"*!(),!"*的距离之比为#!!那么点D的坐标应满足什么关系+画出满足条件的点D形成的曲线!解析 对于上述问题!可由题意得&!*%槡!)&",*!*%槡!$#!!化简整理得)&*#*!*%!$&!显然满足条件的点D所形成的曲线是以点)"#!"*为圆心$!为半径的圆!)图略*!."问题一般化将本题进行一般化!思考如下问题%动点D到两定点(和'的距离的比值为一定值!即D($"D'!那么点D的轨迹曲线还是圆吗+基于对上述实例的猜想!显然可知点D的轨迹还是圆!具体证明可采用如下代数几何方法%设('$!B)B&"*!D($"D'!以('的中点为坐标原点!('所在直线为&轴建立平面直角坐标系!则可推知点()"B!"*!')B!"*!再设点D)&!%*!由D($"D'!可得)&*B*!*%槡!$")&"B*!*%槡!!整理可得)"!"#*&!"!B)"!*#*&*)"!"#*%!$B!)#""!*!当"$#时!&$"!此时点D的轨迹为线段('的垂直平分线&当"$#时!有&""!*#"!"#B)*!*%!$&"!B!)"!"#*!!则其轨迹可视为是以点"!*#"!"#B!")*为圆心!以!"B"!"#长为半径的圆!"深入探索".!定义认识实际上!在高中数学中我们将上述所探究的轨迹称之为阿波罗尼斯圆!也称阿氏圆!其是古希腊数学家阿波罗尼斯在著作"圆锥曲线论#中提出的一个著名问题%在平面内给定两点(和'!设点+在同一平面内且满足+(+'$")"&"!"$#*!则点+的轨迹是一个圆!对于上述定义!需要关注阿波罗尼斯圆条件与结论的三个要素%一是两定点&二是线段长之间的定比&三是轨迹为圆的条件!"&"!"$#!对上述证明过程进一步推导!我们可以发现以下几点%)#*阿波罗尼斯圆上的任意一点均满足+(+'$"!)"&"!"$#*&)!*设点)为阿波罗尼斯圆的圆心!则点)始终在直线('上!且半径长为!"B"!"#$""!"#('&),*圆心)虽然在('所在直线上!但不一定位于两点之间!且)(0)'等于半径的平方!"."性质总结阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何模型!该圆的一些性质在高中数学解题中十分常用!合理利用可提高解题效率!下面总结三条常用的性质!性质! 设('$7!(+#+#'$(+!+!'$"!则(+#$"7#*"!+#'$7#*"!(+!$"7""#!'+!$7""#!则所作得的阿波罗尼斯圆的直径为+#+!$!7""!"#$!7""#"!圆的面积可表示为'!7""!"#)*!!性质" 当"&#时!点'位于圆0内!点(位于&$备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!圆0外&当"%"%#时!点(位于圆0内!点'位于圆0外!性质# "$0(N $N 0'!"!$0(00'!"越大!则圆越小!上述总结了阿波罗尼斯圆的三条重要性质!其中性质#是关于圆常规属性的描述!可结合问题条件直接构建圆的方程&性质!则是对定义中定点(和'与圆位置关系的描述!显然与线段比值"密切相关!利用该性质可直接确定点(!'与圆轨迹的位置!利于图形绘制&性质,则直接构建了圆半径与线段0(和0'的关系!并基于圆半径7""#"分析了圆大小与"的关系!有利于解析动态圆的大小变化!在实际解题时要充分理解阿波罗尼斯圆的三条性质要点!合理利用性质转化问题条件!构建解题思路!#应用探究阿波罗尼斯圆的性质条件在高中圆锥曲线考题中应用十分广泛!可正向引用圆的性质!也可逆向使用阿波罗尼斯圆的定义!下面结合不同类型考题开展应用探索!例题!如图#所示!在2(')中!已知')$&!@56)$!@56'!则当2(')的面积取得最大值时!')边上的高为!图#图!解析 以')中点为坐标原点0!线段')所在直线为&轴建立平面直角坐标系!如图!所示!由题意可推知点')"!!"*!))!!"*!已知@56)$!@56'!则('$!()!可设点()&!%*!则)&*!*!*%槡!$!)&"!*!*%槡!!整理可得&"#",)*!*%!$+&%!则点(的轨迹是以点>#",!")*为圆心!-,为半径的圆!分析可知!当2(')的面积取得最大值时!高最大!则点(到&轴的距离最远!故点(的坐标为#",!L -,)*!则')边上的高为-,!评析#上述探究三角形取得最大值时')上的高!解析过程分两步进行!第一步!构建坐标系求点(的轨迹方程$第二步!探究2(')面积最大值时点(的坐标!若能把握其中的阿波罗尼斯圆!则可以结合对应公式直接确定圆的方程!本题目中7$&!"$!!则圆的半径为N $7""#"$!!"#!$-,!圆心为"!*#"!"#B !")*!则圆心>的坐标为#",!")*!则圆的方程为&"#",)*!*%!$+&%!$反思总结阿波罗尼斯圆的性质特点在高中数学中十分重要!也是高考的考查重点!掌握阿氏圆的性质特点!对于动点问题的转化求解极为有利!教学中要强化定义!整理性质!引导学生探索问题求解的方向!及阿氏圆知识的利用思路!下面提出两点建议!$.!关注模型题源拓展衍生应用课本并没有将阿波罗尼斯圆作为核心内容进行讲解!但其隐含在教材的习题中!其解析方法和知识背景也是高考模型问题的根本!具有极高的研究价值!教学中要引导学生关注模型题源!深刻理解模型定义!挖掘模型性质!阿氏圆的定义及性质有正向和逆向两种使用思路!教学中笔者建议采用知识拓展的模式!引导学生全面了解其应用思路!提升学生解题的灵活性!$."合理多解探究强化模型认识从上述例题的探究中可发现!对于与阿氏圆相关的圆锥曲线问题!一般有常规和模型两种突破思路!其中常规法的推理过程较为繁复!在推导动点轨迹时计算量大!而利用阿氏圆的定义及性质则可直接求解轨迹方程!有效降低了思维难度!教学中笔者建议对阿波罗尼斯圆相关问题开展一题多解!引导学生采用多种方法解析问题!帮助学生积累简算经验!提升解题能力!同时在多解探究中!可强化学生对模型的认识!培养学生的模型意识!参考文献%#&施德仪!关于+阿氏圆,模型的探究与思考%B &!数学教学通讯!!"!"(!,)!%!&顾旭东!王金忠!探+源,觅+圆,!才能+方圆,***对一道课本习题的再认识%B &!中学数学(上)!!"!"(##)!%,&李慧华!张艳宗!巧用阿氏圆解距离和差的最值问题%B &!高学数学教与学!!"!"(#+)!-'$!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
阿波罗尼斯圆的证明阿波罗尼斯圆：一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
这个定理的证明方法很多。
下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB＝m∶n ，M 是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB∶AC＝BM∶MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB∶AD＝BM∶MC∵AB∶AC＝BM∶MC，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM 平分∠BA C。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN∶CN＝AB∶AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN∶CN＝AB∶AD，∵BN∶CN ＝AB∶AC，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC 有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点，PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n，∴PN平分∠BPE，∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90o，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆本文为头条号作者发布，不代表今日头条立场。
阿波罗尼斯圆中的数学压轴题
到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆．到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线．那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？没错就是阿氏圆．阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．【分析】令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k （为实数，且不为±1）得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0，当k不为±1时,它的图形是圆．当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线．【典型例题】问题提出：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CD/CP ＝CP/CB＝1/2，又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP．∴PD/BP＝1/2，∴PD＝1/2BP，∴AP＋1/2BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答
案：AP＋1/2BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1/3AP＋BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，求2PA＋PB的最小值．【解题过程】我爱压轴题中考数学压轴题全解析￥37.4 京东购买。
阿波罗尼斯圆的奥妙问题1：已知某平面上有两个定点（记为）A,B,它们之间的距离AB=2d,(d>0),设该平面上有一个动点（记为）P ，它到A,B 的距离之比（PA/PB ）为定值 λ，（λ≠1），求动点P 的轨迹解析法：以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立直角坐标系，A(-d,0),B(d,0)设动点P （x,y ）,由222,PA PBλ=可得，222222222222()2,()2x d y x y dx d x d y x y dx d λλ+++++==-++-+也即， 可得动点P 的轨迹方程为2222221211d x d y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以动点P 的轨迹为：圆心为点222,,120111C r d AB d λλλλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭+---=的圆。
半径为 此圆称为阿波罗尼斯圆，并且可以发现2CA CB r ⨯=.（2008年江苏高考题13题）2,,AB AC ABC ==若则面积的最大值_____ 分析：本题最易想的就是结合正余弦定理及面积公式来解,此方法留给读者，笔者从另外一个角度来分析一下,不难发现，A,B 定时，C 点的轨迹就是一个阿氏圆。
如图：易得圆半径2=11r AB λλ=-1 .2ABC AB r =则面积的最大值设A ，B 是平面上两个定点,则满足∣PA ∣=λ∣PB ∣(λ>0, λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆,通常称之为阿波罗尼斯圆,其中λ为比例常数,此圆的圆心在直线AB 上.问题2：对于任意一个圆和常数λ(λ≠1),如何寻找两定点A,B,使圆上任意一点P 满足阿氏圆的定义∣PA ∣=λ∣PB ∣(λ>0, λ≠1)?先引进一个概念—圆的反演点:已知圆O 的半径为r ,从圆心O 出发任作一射线,在射线上任取两点A,B, 若|OA.OB|=r 2,则称A,B 是关于圆O 的反演点。
圆的反演点也可由以下几何方法获得若A 在圆内,则连接OA,过点A 作OA 的垂线与圆交点处的两切线的交点即为A 的反演点B. 若A 在圆外,过A 作圆的两条切线,两切点的连线与OA 的交点就是A 的反演点B;如图定理：设A,B 为圆O 的两个反演点，M,N 为圆O 与直线AB 的交点，则圆O 上任意一点P 满足①PA PB ==定值， ②PN,PM 分别为∠APB 的内角平分线和外角平分线证明：①不妨设圆的方程为222,(0),(,0),(,0)(0,0)x y r r A a B b a b +=>>>，()()2222222222222,(,),222()=222()x a y PA a b ab r P x y PB x b y ax a r ax a ab ax a a b a bx b r bx b ab bx b a b b-+==-+-++-++-++===-++-++-++满足，设则PA PB ===即定值 ②由于PA NA PB NB=,结合平面角平分线定理易证。
一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究：2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PAPA PB a PA PB a a PB-===引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是 P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1. ——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程 PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或．)31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MPMQλλλ=>≠且）S ()S f λ=断函数的单调性．引例：（2011，北京）曲线C 是平面内与两个定点和的距离的积等于常 1(1,0)F -2(1,0)F 数的点的轨迹.给出下列三个结论： )1(2>a a ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③ 若点P 在曲线C 上，则的面积不大于 12F PF ∆212a 其中正确命题的序号为_____________背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval ），乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。
他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。
为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。
卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的。
探究：设两定点为，且，动点满足,取12,F F 122F F =P 212(0)PF PF a a =≥且为定值直线作为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，则12F F x 12F F y (,)P x y2a =整理得：222222()2()1x y x y a +--=-解得：（）22(1)y x =--211a x a -≤≤+于是曲线的方程可化为（） C 22(1)y x =--211a x a -≤≤+对于常数,可讨论如下六种情况：0a ≥（1）当时，图像变为两个点；0a =12(1,0),(1,0)F F -（2）当时，图像分为两支封闭曲线，随着的减小而分别向点收缩； 01a <<a 12,F F （3）当时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线； 1a =（4）当时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；1a <<（5）当时，与前种情况一样，但曲线中部变平； a（6）当a >北京高考题的背景即为本研究的4—6里研究的结论； 学有余力的同学可作进一步思考：思考1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么？ 思考2：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？ 思考3：到定点的距离与到定直线的距离的倍之和为定值的定点轨迹是什么？ k 思考4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么？ 思考5：到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1.（2009湖南）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3,0）的距离的4倍与它到直线 x=2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P 的轨迹C ；（Ⅱ）设过点F 的直线I 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。
解（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），则3︳x-2︳ d =+由题设 当x>2 16,2x =-化简得221.3627x y +=当时 2x ≤3,x =+化简得212y x =故点P 的轨迹C 是椭圆在直线x=2的右侧221:13627x y C +=部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括22:12C y x =它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A （2，），B （2，，直1C 2C -线AF ，BF 的斜率分别为==. AF k -BF k 当点P 在上时，由②知. ④ 1C 162PF x =-当点P 在上时，由③知⑤2C 3PF x =+若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为 (3)y k x =-（i ）当k ≤，或k ≥，即k ≤-2时，直线I 与轨迹C 的两个交点M （，），AF k BF k 1x 1yN （，）都在C 上，此时由④知 2x 2y 1∣MF ∣= 6 -∣NF ∣= 6 -121x 122x 从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= （6 -）+ （6 - ）=12 - ( +) 121x 122x 121x 2x 由 得 则，是这个方程的两根，22(3)13627y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)24361080k x k x k +-+-=1x 1y 所以+=*∣MN ∣=12 - （+）=12 - 1x 2x 222434k k+121x2x 221234k k +因为当2,24,k k ≤≥≥或k当且仅当时，等号成立。
22212121001212.134114k MN k k=-=-=++k =±（2）当时，直线L 与轨迹C 的两个交点,AE AN k k k k <<-<< 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，1122(,),(,)M x y N x y 12,C C M 1C 2C1216,32MF x NF x =-=+设直线AF 与椭圆的另一交点为E1C 00012(,),, 2.x y x x x <<则1021166,33222MF x x EF NF x AF =-<-==+<+= 所以。
而点A ，E 都在上，且MN MF NF EF AFAE =+<+=1C 有（1）知AE k =-100100,1111AE MN =<所以若直线的斜率不存在，则==3，此时 ι1x 2x 12110012()9211MN x x =-+=<综上所述，线段MN 长度的最大值为100112. （2011, 湖南文科高考试题）已知平面内一动点到点的距离与点到轴的P (1,0)F P y距离的差等于1．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；P C （Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与F 12,l l 1l C ,A B 2l 轨迹相交于点，求的最小值.C ,DE ,AD EB21．解析：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ，|| 1.x = 化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.（II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-． 设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+= 故12123434()1()1x x x x x x x x =+++++++当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙ 取最小值16．。
