2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试卷 解析版

江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期第一次月考 高一数学试题 命题人:杨英杰 2015.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1.若集合{}{}|13,|24A x x B x x =-<<=<<，则集合_____________A B = .2.已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数=m .3.函数0y =定义域 .(区间表示) 4.若2)1(x x f =-，则)1(f =____________. 5.若集合}{3,2,1=A ,{}4,3,1=B ,则B A 的真子集个数为 .6.函数1()(1)f x x x =-的单调增区间为 . 7.给定映射:(,)(2,2),f x y x y x y →+- 则映射f 下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为 .8.若函数1)1(21)(2+-=x x f 的定义域和值域都是[]b ,1,则b 的值为___________. 9.若集合{}0442=++=x kx x A 中只有一个元素，则实数k 的值为 . 10.函数x x f 211)(--=的最大值是________．11.若函数3412++=ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 .12.函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数,且它为单调增函数,若0)1()1(2>-+-a f a f ,则a 的取值范围是 .13.函数)(x f 是偶函数，当[]2,0∈x 时，1)(-=x x f ，则不等式0)(>x f 在[]2,2-上的 解集为 . (用区间表示)14.对于实数a 和b ,定义运算*:22()*()a ab a b a b b ab a b ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，设()(21)*(1)f x x x =--， 若直线y m =与函数()y f x =恰有三个不同的交点，则m 的取值范围 .二、解答题（本大题6小题，共90分。

江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分﹒请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．﹒ 1. “为真且q p ”是“为真或q p ”的 ▲ ．条件。

（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要） 答案：充分不必要2.命题“2lg ,-=∈∃x x R x ”的否定是 ▲ ． 答案：2lg ,-≠∈∀x x R x3.已知),1,1(t t t a --=, ),,3(t t b =，则||b a-的最小值 ▲ ． 答案：54.若椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ▲ ． 答案：)1,1(-5. 双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e +=▲ ．答案：16. 抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ ． 答案：)1,0(-7.已知)2,1,2(-=a ，)3,3,1(--=b ，),6,13(λ=c ，若向量c b a,,共面，则λ= ▲ ．答案：38.下列命题：① 01,2>+∈∀x R x ； ② 1,2≥∈∀x N x ； ③ 1,3<∈∃x Z x ；④ 3,2=∈∃x Q x ； ⑤ 023,2=+-∈∀x x R x ⑥01,2=+∈∃x R x .其中所有真命题的序号是 ▲ ． 答案：①③9.椭圆125922=+y x 上的一点p 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是 ▲ ．答案：)0,3(或)0,3-(10.在长方体1111D C B A ABCD -中，2,4==BC AB ,61=DD ,则AC 与1BD 所成角的余弦值为 ▲ ． 答案：70703 11. 已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是 ▲ ． 答案：(0,)c 12.下列说法：①函数63ln )(-+=x x x f 的零点只有1个且属于区间)2,1(； ②若关于x的不等式0122>++ax ax 恒成立，则)1,0(∈a ； ③函数x y =的图象与函数x y sin =的图象有3个不同的交点； ④已知函数xxa x f +-=1log )(2为奇函数，则实数a的值为1． 正确的有 ▲ ．（请将你认为正确的说法的序号都写上） 答案：①④13.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ ． 答案：21-14.直线02243=+-y x 与抛物线y x 222=和圆21)22(22=-+y x ，从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则CDAB的值为 ▲ ． 答案：161 二、解答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题．．卡的指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15.（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足)0(012722><+-a a am m ，命题q ：实数m 满足方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：由)0(012722><+-a a am m ，则a m a 43<< 即命题p ：a m a 43<<由12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上椭圆可得：012>->-m m ，--------------4分 ∴231<<m 即命题q ：231<<m -------------------------------------------------------------------------------8分 由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件从而有： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥23413a a ----------------------------------------------------------------------------------12分 ∴8331≤≤a -------------------------------------------------------------------------------------------14分 16.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知(3,0)A -，B(3,0)，动点(,)C x y ，若直线,AC BC 的斜率,AC BCk k 满足条件49AC BC k k ⋅=-。

2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式≤0的解集为__________．2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为__________．3．在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为﹣2的直线的一般式方程为__________．4．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a=__________．5．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．6．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=__________．7．（1﹣2n）=__________．8．圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是__________．9．如果实数x，y满足条件，那么3x（）y的最大值为__________．10．若x＜0，则函数的最小值是__________．11．设集合P={（x，y）|（x+a）2+（y+2a）2}=4，Q={（x，y）|x2+y2=1}，若P∩Q=∅，则实数a的取值范围是__________．12．数列{a n}满足a1=3，a n﹣a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2015=__________．13．等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，若log3[a n（S4m+1）]=2，则+的最小值是__________．14．在直角坐标系xoy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16，点M（1，0），动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MP⊥MQ，则线段PQ的取值范围是__________．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．设函数f（x）=﹣4x+a，不等式|f（x）|＜6的解集为（﹣1，2）（1）求a的值；（2）解不等式＞0（m∈R）．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．17．设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．19．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．20．已知实数q≠0，数列{a n}的前n项和S n，a1≠0，对于任意正整数m，n且n＞m，S n﹣S m=q m S n﹣m恒成立．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，S i，S j，S k按一定顺序排列成等差数列，求q的值．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式≤0的解集为（﹣4，3]．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式等价于，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤0等价于，求得﹣4＜x≤3，故答案为：（﹣4，3]．点评：本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．考点：三点共线．专题：计算题．分析：由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由=，求得m 的值．解答：解：由题意可得K AB=K AC，∴=，∴m=，故答案为．点评：本题考查三点共线的性质，当A、B、C三点共线时，AB和AC的斜率相等．3．在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为﹣2的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：先求出直线的截距式方程，然后转化为一般方程即可．解答：解：在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为﹣2的直线的截距式方程为，即一般式方程为：2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．点评：本题主要考查直线方程的求解，利用直线截距式方程和一般式方程的关系是解决本题的关键．word专业资料-可复制编辑-欢迎下载4．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a的值．解答：解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，∴≠，解得a=﹣1，故答案为﹣1．点评：本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．5．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是0≤a≤1．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用被开方数非负的特点列出关于a的不等式，转化成x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立，然后建立关于a的不等式，求出所求的取值范围即可．解答：解：函数的定义域为R，∴﹣1≥0在R上恒成立即x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立该不等式等价于△=4a2﹣4a≤0，解出0≤a≤1．故实数a的取值范围为0≤a≤1故答案为：0≤a≤1点评：本题考查对定义域的理解和认识，考查二次不等式恒成立问题的转化方法，注意数形结合思想的运用，属于基础题．6．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．解答：解：依题意可得，d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．7．（1﹣2n）=﹣399．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：可得数列为首项为1，公差为﹣2的等差数列，代入求和公式可得．解答：解：（1﹣2n）=1+（﹣1）+（﹣3）+…+（﹣39）==﹣399．故答案为：﹣399点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．8．圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是x2+（y+1）2=13．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程．解答：解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键．9．如果实数x，y满足条件，那么3x（）y的最大值为9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，结合指数幂的运算法则，利用数形结合进行求解即可．解答：解：3x（）y=3x﹣2y，设z=x﹣2y，解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（0，﹣1）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2，∴函数z=x﹣2y的最大值是2．则3x（）y的最大值为32=9，故答案为：9．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．10．若x＜0，则函数的最小值是4．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先利用基本不等式确定变量的范围，再利用配方法求二次函数的最值．解答：解：设，∵x＜0，∴t≤﹣2，函数可化为，由于对称轴为，∴t=﹣2时，函数有最小值4，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的运用，考查二次函数的最值，关键是配方，应注意函数的定义域对函数最值的影响．11．设集合P={（x，y）|（x+a）2+（y+2a）2}=4，Q={（x，y）|x2+y2=1}，若P∩Q=∅，则实数a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合P表示圆心为（﹣a，﹣2a），半径为2的圆上的点集，集合Q表示圆心为（0，0），半径为1的圆上的点集，根据P与Q交集为空集得到两圆相离或内含，确定出a的范围即可．解答：解：∵P={（x，y）|（x+a）2+（y+2a）2}=4，Q={（x，y）|x2+y2=1}，且P∩Q=∅，∴圆心为（﹣a，﹣2a），半径为2的圆与圆心为（0，0），半径为1的圆相离或内含，∴（﹣a）2+（﹣2a）2＞32，即a2＞或（﹣a）2+（﹣2a）2＜1，即a2＜，解得：a＜﹣或a＞；a＜﹣或a＞，则实数a的范围为{a|a＜﹣或a＞}，故答案为：{a|a＜﹣或a＞}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12．数列{a n}满足a1=3，a n﹣a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2015=﹣2．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先通过题意进行计算，确定数列{a n}是以3为周期的数列，求出a1a2a3=﹣1，再利用周期性求出A2013的值．解答：解：由题意得，a1=3，a n﹣a n a n+1=1，∴a n+1=1﹣，则a2=，a3=，a4=3，…，∴数列{a n}是以3为周期的数列，且a1•a2•a3=3×=﹣1，∵2015=671×3+2，∴A2015=（a1•a2•a3）671•a1•a2=（﹣1）671•3×=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查数列递推式的化简，以及数列的周期性，确定数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1是解题的关键．13．等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，若log3[a n（S4m+1）]=2，则+的最小值是2.5．考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，可得a n=2•3n﹣1；S n=3n﹣1，由log3[a n•（S4m+1）]=2，可得n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．解答：解：∵等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，∴a n=2•3n﹣1；S n=3n﹣1，∵log3[a n•（S4m+1）]=2，∴（n﹣1）+4m=9，∴n+4m=10，∴+=（n+4m）（+）=（17+）≥（17+8）=2.5当且仅当m=n=2时取等号，∴+的最小值是2.5．故答案为：2.5．点评：本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题．14．在直角坐标系xoy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16，点M（1，0），动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MP⊥MQ，则线段PQ的取值范围是[﹣1，+1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），有条件可得|PQ|2 =22﹣2（x1+x2）．设PQ中点为N（x0，y0），则|PQ|2=22﹣4x0 ，利用线段的中点公式求得（x0﹣）2+y02=，再由x0 的范围，求得|PQ|的范围．解答：解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则|PQ|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=20﹣2（x1x2+y1y2）．∵﹣2≤x1≤2，MP⊥MQ，∴（x1﹣1，y1）．（x2﹣1，y2）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即x1x2+y1y2=x1+x2﹣1，∴|PQ|2=20﹣2（x1+x2﹣1）=22﹣2（x1+x2）．设PQ中点为N（x0，y0），则|PQ|2=22﹣4x0 ，∵，∴①2+②2得4（x02+y02）=20+2（x1x2+y1y2）=20+2（x1+x2﹣1）=18+4x0，即（x0﹣）2+y02=，∴点N（x0，y0）的轨迹是以（，0）为圆心、半径等于的圆，∴x0的取值范围是[，]，故22﹣2≤|PQ|2≤20+2，故|PQ|的范围为[﹣1，+1]，故答案为：[﹣1，+1]．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．设函数f（x）=﹣4x+a，不等式|f（x）|＜6的解集为（﹣1，2）（1）求a的值；（2）解不等式＞0（m∈R）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）不等式|f（x）|＜6，化为结合不等式﹣6＜f（x）＜6的解集为{x|﹣1＜x＜2}．我们可以构造关于a的方程组，解方程组即可得到a的值；（2）由于不等式中含有参数m，故我们要对参数m进行分类讨论，分m=﹣2，m＞﹣2，m＜﹣2三种情况进行讨论，最后综合讨论结果即可得到答案解答：解：（1）∵|f（x）|＜6的解集为（﹣1，2）∴，解得a=2（2）由式=＞0得（x﹣）（x+）＜0，①当﹣＞，即m＜﹣2时，＜x＜②当﹣=，即m=﹣2时，无解③当﹣＜，即m＞﹣2时，＜x＜，∴当m＜﹣2时，解集为（，）当m=﹣2时，解集为空集当m＞﹣2时，解集为（，）．点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，一元二次不等式的应用，在（2）中关键是对参数m 分m=﹣2，m＞﹣2，m＜﹣2三种情况进行讨论．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）求过两直线m，n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l：x+2y﹣1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）由，解得，即两直线m，n交点坐标为（2，1），设与直线l：x+2y﹣1=0平行的直线方程方程为x+2y+c=0，则2+2×1+c=0，解得c=﹣4，则对应的直线方程为x+2y﹣4=0；（2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0），则对应的直线方程为y﹣1=k（x﹣2），令x=0，y=1﹣2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1﹣2k）令y=0，则x=2﹣=，即与x轴的交点坐标为B（，0），则△AOB的面积S=×|||1﹣2k|=4，即（2k﹣1）2=8|k|，即4k2﹣4k﹣8|k|+1=0，若k＞0，则方程等价为4k2﹣12k+1=0，解得k=或k=，若k＜0，则方程等价为4k2+4k+1=0，解得k=，综上直线的方程为y﹣1=（x﹣2），或y﹣1=（x﹣2），或y﹣1=（x﹣2），即y=x+2，或y=x﹣2﹣2，或y=x+2﹣2．点评：本题考查两条直线的交点坐标，直线的方程的求法，考查计算能力，运算量较大．17．设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．专题：计算题；综合题．分析：（I）由已知利用递推公式可得a n，代入分别可求数列b n的首项b1，公比q，从而可求b n（II）由（I）可得c n=（2n﹣1）•4n﹣1，利用乘“公比”错位相减求和．解答：解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴T n=[（6n﹣5）4n+5]点评：（I）当已知条件中含有s n时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：①所给的s n=f（n），则利用此结论可直接求得n＞1时数列{a n}的通项，但要注意检验n=1是否适合②所给的s n是含有a n的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于a n的递推关系，再用求通项的方法进行求解．（II）求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点．18．已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：（1）将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径，再求得圆心C到直线l的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得：L=2最后由二次函数法求解．（2）由直线l与圆C相切，建立m与a的关系，|m﹣2a|=2，再由点C在直线l的上方，去掉绝对值，将m转化为关于a二次函数求解．解答：解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）2+（y﹣a）2=4a（0＜a≤4），则圆心C的坐标是（﹣a，a），半径为2．直线l的方程化为：x﹣y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=|2﹣a|．设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2．（2）因为直线l与圆C相切，则有，即|m﹣2a|=2．又点C在直线l的上方，∴a＞﹣a+m，即2a＞m．∴2a﹣m=2，∴m=﹣1．∵0＜a≤4，∴0＜≤2．∴m∈[﹣1，8﹣4]．点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相切构建了函数模型，求参数的范围，以及直线与圆相交，由圆心距，半径和圆的弦长构成的直角三角形．19．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2﹣y1；把a、t代入，整理即得所求；（2）求出知识留存量函数y=+﹣（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．解答：解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意，第一次复习后的存留量是，不复习的存留量为；∴；当a=﹣1，t=5时，=≤=，当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．（2）知识留存量函数=≤，当且仅当时取等号，由题意，所以﹣4＜a＜0．点评：本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．20．已知实数q≠0，数列{a n}的前n项和S n，a1≠0，对于任意正整数m，n且n＞m，S n﹣S m=q m S n﹣m恒成立．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，S i，S j，S k按一定顺序排列成等差数列，求q的值．考点：等差数列的性质；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=m+1，则由题意可得S m+1﹣S m=q m•S1，即a m+1=a1•q m，可得=q，故有=q（常数），可得数列{a n}是等比数列．（2）不妨设i，i+3，i+6，分S i，S i+3，S i+6成等差数列、S i+3，S i，S i+6成等差数列、S i+3，S i+6，S i成等差数列这三种情况，分别求出公比q的值．解答：解：（1）令n=m+1，则由题意可得S m+1﹣S m=q m•S1，即a m+1=a1•q m，故有a m=a1•q m﹣1，∴=q，∴=q（常数），所以数列{a n}是等比数列，（2）不妨设公差为3的等差数列为i，i+3，i+6，若S i，S i+3，S i+6成等差数列，则a i+1+a i+2+a i+3=a i+4+a i+5+a i+6=（a i+1+a i+2+a i+3）q3，即1=q3，解得q=1．若S i+3，S i，S i+6成等差数列，则﹣（a i+1+a i+2+a i+3）=（a i+1+a i+2+a i+3+a i+4+a i+5+a i+6），∴2（a i+1+a i+2+a i+3）+（a i+1+a i+2+a i+3）q3=0，即2+q3=0，解得．若S i+3，S i+6，S i成等差数列，则有（a i+4+a i+5+a i+6）=﹣（a i+1+a i+2+a i+3+a i+4+a i+5+a i+6），∴2（a i+1+a i+2+a i+3）q3+（a i+1+a i+2+a i+3）=0，∴2q3+1=0，解得．综上可得，q的值等于1，或等于，或等于．点评：本题主要考查等比关系的确定，等差数列的定义和性质，根据数列的递推关系求通项，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= ．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．3．函数y=定义域．（区间表示）4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= ．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为．10．函数f（x）=1﹣的最大值是．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为．（用区间表示）14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= {x|2＜x＜3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= 4 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：先由B⊆A知，集合B是集合A的子集，然后利用集合子集的定义得集合A必定含有4求出m即可．解答：解：已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，即集合B是集合A的子集．则实数m=4．故填：4．点评：本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．3．函数y=定义域（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．（区间表示）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣2且x≠﹣1，即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= 0 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式，进行转化即可．解答：解：∵f（1﹣x）=x2，∴f（1）=f（1﹣0）=02=0，故答案为：0点评：本题主要考查函数值的计算，比较基础．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为15 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可．解答：解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，则A∪B的真子集个数为24﹣1=15．故答案为：15点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为（﹣∞，] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=﹣+，可得函数的增区间．解答：解：由于函数f（x）=x（1﹣x）=﹣+，故函数的增区间为（﹣∞，]，故答案为：（﹣∞，]．点评：本题主要考查二次函数的单调性，属于基础题．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为（1，1）．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论．解答：解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），映射f下的对应元素为（3，1），∴，∴．∴（3，1）原来的元素为（1，1）．点评：本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为 3 ．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：先根据f（x）在[1，b]上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b ﹣1）2+1=b，可得然后把b代入即可得出答案．解答：解：∵函数的定义域和值域都是[1，b]，且f（x）在[1，b]上为增函数，∴当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b﹣1）2+1=b，解得：b=3或b=1（舍去），∴b的值为3，故答案为：3．点评：本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法，属于基础题，关键是根据f（x）在[1，b]上的单调性求解．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为0或1 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：集合A表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．解答：解：当k=0时，A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意当k≠0时，要集合A仅含一个元素需满足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值为0；1故答案为：0或1点评：本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．10．函数f（x）=1﹣的最大值是 1 ．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由观察法可直接得到函数的最大值．解答：解：∵≥0，∴1﹣≤1，即函数f（x）=1﹣的最大值是1．故答案为：1．点评：本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围[0，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．点评：本题考查了二次函数，二次根式的性质，是一道基础题．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论．解答：解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0可化为f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）在定义域（﹣1，1）上递增，∴，即，解得0＜a＜1．∴a的取值范围为：0＜a＜1．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力．综合考查函数的性质．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2] ．（用区间表示）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出当x∈[0，2]时，解集为（1，2]，再由函数的奇偶性求出当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，即可求出不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集．解答：解：当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1＞0，即有x＞1，解集为（1，2]，函数f（x）是偶函数，所以图象是对称的，当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，综上所述，不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2]，故答案为：解集为（1，2]．点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，属于基础题．14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意确定函数的解析式为f（x）=，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．解答：解：由 2x﹣1≤x﹣1 可得 x≤0，由 2x﹣1＞x﹣1 可得 x＞0．∴根据题意得f（x）=．即 f（x）=，画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．再根据函数的极大值为f（）=，可得m的取值范围是（0，），故答案为（0，）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；分类讨论．分析：已知B⊆A，分两种情况：①B=∅，②B≠∅，然后再根据子集的定义进行求解；解答：解：显然集合A={﹣1，1}，对于集合B={x|ax=1}，当a=0时，集合B=∅，满足B⊆A，即a=0；当a≠0时，集合，而B⊆A，则，或，得a=﹣1，或a=1，综上得：实数a的值为﹣1，0，或1．点评：此题主要考查子集的定义及其性质，此题还用到分类讨论的思想，注意B=∅，这种情况不能漏掉；16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接利用定义把条件转化为f（﹣1）=﹣1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；（2）根据奇函数的定义进行证明．解答：解：（1）有题意可得：解得：；（2）由（1）知，，故f（x）=，定义域是R，设任意x，则，f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）先设月产量为x台，写出总成本进而得出利润函数的解析式；（2）分两段求出函数的最大值：当0≤x≤400时，和当x＞400时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可．解答：解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润（2）当0≤x≤400时，f（x）=，所以当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．所以当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．点评：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：先求出集合A与集合B，从而求出A∩B，讨论a的正负，根据条件C⊆A∩B建立不等关系，解之即可．解答：解：依题意得：A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞1或x＜﹣3，}∴A∩B={x|1＜x＜4}（1）当a=0时，C=Φ，符合C⊆A∩B；（2）当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆A∩B，则，解得：1≤a≤2；（3）当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，∵a＜0，C∩（A∩B）=Φ，∴a＜0不符合题设．∴综合上述得：1≤a≤2或a=0．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值．解答：解：（1）二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8二次函数的开口方向向上，对称轴方程：x=2①当t=1时，x∈[t，t+2]距离对称轴的距离相等，所以②当0＜t＜1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以③当1＜t＜2时，x=t离对称轴的距离必x=t+2的距离远，所以④当t＜0时，函数为单调递减函数，所以⑤当t＞2时，函数是单调递增函数，所以（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，函数为单调递减函数，所以③当t＞2时，函数为单调递增函数，所以故答案为：①当t=1时，②当0＜t＜1时，③当1＜t＜2时，④当t＜0时，⑤当t＞2时，（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，③当t＞2时，点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由单调性易求f（x）max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组．解答：解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=．据已知＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）f（x）＜f（x2），由函数单调性性质知，x＜x2，而﹣1≤x≤1，﹣1≤x2≤1故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜0}．（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由f（x）在[﹣1，1]上的单调递增知，f（x）max=f（1）=2，所以2≤2m2﹣2am+3，即0≤2m2﹣2am+1，又对a∈[0，]恒成立，则有，解得m≤或m≥1，故实数m的取值范围为m≤或m≥1．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．。