江苏省启东中学高一实验班自主招生数学试题及答案

江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2． 已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44． 如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25． 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6． 二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8． 市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<． （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ； （4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ． （1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标； （3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分 （4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米， 设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ． 在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分 （2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分 （2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之 间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分 （2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分 在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点． 解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分 综合得点M 的坐标为： （2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分 （2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分 （3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9， 所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=． 因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。

2024年江苏省启东中学创新人才培养实验班自主招生考试数学模拟试题一、单选题1．设12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，……，22111(1)n a n n =+++．其中n）A ．201920202020B ．202020202021C ．202020212021D ．2021202120222．点I 为ABC V 的内心，连AI 交ABC V 的外接圆于点D ，若2AI CD =，点E 为弦AC 的中点，连接,EI IC ，若6,5IC ID ==，则IE 的长为（ ）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.53．如图，一次函数y x =x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30︒交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）AB ．C ．2D 4．如图，点A 在反比例函数()20y x x=>的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中∠OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．45．如图，四边形ABCD 为正方形，将EDC △绕点C 逆时针旋转90︒至HBC V ，点D ，B ，H在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，2HB =，3HG =．以下结论：①135EDC ∠=︒；②2EC CD CF =⋅；③HG EF =；④sin CED ∠=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量），当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a二、填空题7．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ．8．如图，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足a +b =10，ab =20，则阴影部分的面积为．9．如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D的值为．10．如图，E 是线段AB 上一点，ADE V 和BCE V 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点．若4AB =，则PA PB +的最小值为．11．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()()()1,3,2,6,0,0A B C --等都是“三倍点”．在31x -<<的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是．120.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++=L ．三、解答题13．若a 、b 、c 为正有理数，证明：(1)(2)14．若直角三角形的边长,x y 都是质数，且使得代数式21x y -及23y x+的值都是正整数，求此直角三角形的三边长．15．如图，以AB 为直径的O e 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O e 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O e 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在线段AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长．16．如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE AB =，延长BE 交CD 于点F ．(1)求证：135BED ∠=o ；(2)连接CE ．①当CE BF ⊥时，求BP PC的值； ②如果CEF △是以CE 为腰的等腰三角形，求FBC ∠的正切值．17．以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（1）在Rt ABC V 中，90,C AB ∠=︒=集到，组数据如下表：（单位：厘米）（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析；①设BC x AC BC y =+=,，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点； ②连线；观察思考（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当x =时，y 最大；（4）进一步C 猜想：若Rt MBC V 中，90C ∠=︒，斜边(2AB a a =为常数，0a >），则BC =时，AC BC +最大．推理证明（5）对（4）中的猜想进行证明．问题1．在图①中完善()2的描点过程，并依次连线；问题2．补全观察思考中的两个猜想：()3 _______ ()4 _______问题3．证明上述()5中的猜想：问题4．图②中折线B E F G A ----是一个感光元件的截面设计草图，其中点,A B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米，90,E F G ∠=∠=∠=o 平行光线从AB 区域射入，60,BNE ∠=o线段FM FN 、为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．18．若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”． (1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； (3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。

江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（创新班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，7AC =，2BC =，60B =o ，则BC 边上的中线AD 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．72．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A ．定B ．有C ．收D ．获3．直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是（ ）A ．π[6，π5π][26U ，π)B ．[0，π5π][66U ，π)C ．[0，5π]6D ．π[6，5π]64．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．1D O ∥平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为25．已知直线2y x =是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为（ ）A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水 柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在 B 点测得水柱顶端的仰角为30︒，则水柱的高度是（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m7．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线8．如图，2π3BAC ∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD y AE x y =+∈R u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ） A ．[1，423]+ B ．[423-，423]+ C ．[1，23]+D ．[23-，23]+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β．若αβ∥，a α⊂，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．α与β内所有直线平行B ．α与β内的无数条直线平行C ．α与β内的任意直线都不垂直D ．α与β没有公共点10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形D ．若222+a b c >，则ABC ∆一定是锐角三角形11．下列说法正确的是（ ） A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B ．点(0， 2)关于直线1y x =+的对称点为(1，1) C ．过1(x ，1)y 、2(x ，2)y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=12．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k -+-=∈N ．下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程为 ． 14．已知圆1C ：229x y +=，圆2C ：224x y +=，定点(1M ，0)，动点A 、B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=，则线段AB 的取值范围 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. (本题第一空2分，第二空3分)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，2π3B =，3c =． ⑴求角C ；⑵若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，求BE 的长．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． ⑴求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；⑵若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．19． (本小题满分12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．⑴证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；⑵当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．20．(本小题满分12分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB BC a==(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M CD∈）方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．⑴求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a；⑵若兔子要想不被狼吃掉，求θ(DACθ=∠的取值范围．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．⑴求圆O1的标准方程；⑵求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；⑶已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若dd1＝2，求证：直线l过定点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，4)，圆O ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ⑴若直线l 与y 轴交于D ，且DP →·DQ →＝16，求直线l 的方程； ⑵设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；⑶设AB 的中点为M ，点N （43，0），若MN ＝133OM ，求△QAB 的面积．江苏省启东中学高一创新班数学答案（2020.4.8）一：单项选择题：1：D ，2:B ．，3:B.，4:D ， 5:C ，6:A ，7:C.，8：B . 二：多项选择题：9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三：填空题：13:3x －4y －41＝0.14:[132,132+-]15: （1）π3 (2) 716:2－3 四：解答题：本题共6小题，共70分。

江苏省南通巿启东中学2025届高三第一次高考模拟考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．224．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 6．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C 10D 10 8．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<9．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]10．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1 B ．2C 2D ．2211．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．)+∞B ．[)2,+∞C．(D ．(]1,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市启东中学创新班2025届高一上数学期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若偶函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，且(3)0f =，则不等式()0f x >的解集是（ ） A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(,3)(0,1)-∞-⋃ C.(,3)(1,3)-∞-D.()3,3-2．设函数()24,12,1x x x x f x a x ⎧-+>=⎨+≤⎩，则下列说法错误的是（）A.当1a =时，()f x 的值域为(],4∞- B.()f x 的单调递减区间为[)2,+∞C.当13a ≤≤时，函数()()3g x f x =-有2个零点D.当3a =时，关于x 的方程()72f x =有3个实数解 3．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为（） A.1800 B.2700 C.7290 D.81004．设30.9a =，12log 5b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a >>5．下列函数中，在R 上为增函数的是（） A.B. C.D.6．如图，质点M 在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为013(,2M ，角速度为2，则点M 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A. B.C. D.7．如图是正方体或四面体，P Q R S ，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）A. B.C. D.8．已知函数()()()21,01,(0)x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，若函数()()F x f x x m =++有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A.()1,-+∞B.()0,∞+C.()1,0-D.[)0,19．若 2.52=a ,12log 2.5b =,2.512⎛⎫= ⎪⎝⎭c ,则a ,b ,c 之间的大小关系是( )A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c10．设函数 1 (1)(){ln (1)x e x f x x x -≤=>，则(ln 2)f 的值是A.0B.ln(ln 2)C.1D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

启东中学2018级高一年级期初考试数学试题考试时间：120分钟 分值：160分一、填空题（每题5分，共70分） 1. 因式分解：33b a -=_____________.2. 若|1|-+y x 与|3|+-y x 互为相反数，则=+2018)y x（______________.3.＝ ．4.因式分解：3522--x x =________________.5.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，则2111x x +的是 ． 6.若0＜a ＜1，则不等式0)1)(<--ax a x （的解是 ． 7.解方程组338 xy x xy y +=⎧⎨+=⎩，的解为 ．8.已知{}2,1,0=A ，则集合A 的真子集有 个．9.已知集合{}Z k k x x A ∈+==,12|， {}50|<<=x x B ，则=B A ________. 10.根据函数的图象，若1121<<<-x x ，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系是 ．11.函数)(x f y =与直线a x =的交点个数可能是 个．12.已知函数23212---=x x x y 的定义域为13. 已知xx f x f 3)()(2=-+，则)(x f ＝ ． (第10题） 14.若函数)(x f 是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且)2()(f a f ≤， 则实数a 的取值范围为____________． 二、解答题（共90分） 15.若11=--aa ，求下列各式的值:3313322)4(;)3(;)2(;1----++-+a a a a a a a a ）（16. 解下列不等式：01212<++-x x ）（; x x 35322≤+）（;02313>++x x ）（17.已知集合{}30|<<=x x A ，{}8|+<<=a x a x B 的取值范围；求实数）若（a B B A ,1= .2的取值范围，求实数）若（a B A φ=18. 解下列各题：（1）已知函数)(x f 的定义域是[]2,1，求函数)1(+x f 的定义域． （2）已知函数)1(+x f 的定义域是[]2,1，求函数)(x f 的定义域．19. 已知函数xx f 32)(-=试判断)(x f 在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．20. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的R y x ∈,，都有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，且0)0(≠f .（1）求证：1)0(=f （2）判断函数)(x f 的奇偶性高一年级期初考试数学答案 一、填空题1. ()()22bab a b a ++-; 2. 1 ; 3.334; 4.()()312-+x x ;5.35 ; 6.⎪⎭⎫⎝⎛a a 1, ; 7.⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==4121y x y x 或 ; 8. 7 ; 9.{}3,1 ; 10.()()21x f x f <; 11.0或1 ； 12.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≤211|x x x 且；13.x3； 14.{}22|-≤≥a a a 或. 二、解答题15.(1) 3; (2) 4; (3) 5± ; (4)52±.16.(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>211|x x x 或; (2) φ; (3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->132|x x x 或.17.(1)[-5，0]; (2){}83|-≤≥a a a 或.18.(1)[]1,0; (2)[]3,2.19.(1)单调增函数; (2)略 20.(1)令)0(20()0(0f f f y x=+⇒==）)0(2)0(22f f =∴，又0)0(≠f 1)0(=∴f ；(2) 令0=x ，则)(2)()0(2)()(y f y f f y f y f ==-+),()(y f y f =-∴即)()(x f x f =-又)(x f 的定义域为R ，)(x f ∴为偶函数。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知等比数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该公比为 ▲ . 2. 不等式的解集是 ▲ . 3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ▲ . 4. 已知为等比数列的第1,3,5项，则的值是 ▲ . 5. 过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程是 。

6. 正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧棱与底面所成的角是 . 7. 已知直线与平行，则的值是 。

▲ 部分。

9. 等差数列的前项和为若为一确定常数，则是 ▲ 时可以使也为确定常数 设、、为三个不同的平面，给出下列条件：①为异面直线，；②内有三个不共线的点到的距离相等；③；④。

则其中能使的条件是 。

不等式恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ． 在等差数列中，是其前项的和，且，，则数列 的前项的和是 。

已知且，则的最大值是 ．的圆锥中，体积的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 如图，在正三棱柱中，，是的中点，是的中点。

求证：（1）平面; （2）平面; 16.已知直线与，则当为何值时，直线：(1)平行？（2）垂直？（3）相交且交点在轴上方? 17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1?600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1?000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．?270元. (每平方米平均综合费用＝)．的前项和，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：不论取何正整数，不等式恒成立 。

19. 已知三角形的顶点是A（－5，0）、B（3，－3）、C（0，2），求： AB边上的中线CD的长及CD所在的直线方程； △ABC的面积。

江苏省启东一中2018年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷注意事项1.本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟。

2.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.把x2y-2xy2+y3分解因式正确的是( )A.y(x2-2xy+y2)B.y(x-y)2C.y(x-2y)2D.y(x+y)22.已知a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,那么a2+a-b的值为( )A.-7B.0C.7D.113.如图,在R△ABC中,∠C=900,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是（）A.r≥1B.1≤r≤5C.1≤r≤10D.1≤r≤44.如图,等边△ABC中，AC=4,点D,E,F分别在三边AB，BC，AC上,且AF=1,FD⊥DE,且∠DFE=600,则AD长为( )A.0.5B.1C.1.5D.25.如图,△ABC中,AB=BC=4cm,∠ABC=1200,点P是射线AB上的一个动点,∠MPN=∠ACP,点Q是射线PM上的一个动点.则CQ长的最小值为( )A.3B.2C.23D.46.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件:当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为( )A.8B.-10C.-42D.-24写在答题卡相应位置上）7.计算-82015×(-0.125)2016= ．8.市政府为了解决老百姓看病贵的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ．9.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A(3，0)，B(8，0)，若点P 在y 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 10.关于x 的方程0112=--+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是 ． 11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为8的正方形，M(8，s)，N(t ，8)分别是边AB,BC 上的两个动点,且OM ⊥MN,当ON 最小时，s ＋t= ．12.如图,△ABC 在第一象限,其面积为5.点P 从点A 出发,沿△ABC 的边从A —B —C —A 运动一周,作点P 关于原点O 的对称点Q,再以PQ 为边作等边三角形PQM,点M 在第二象限,点M 随点P 的运动而运动,则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.(本小题满分15分)阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1,在平面直角坐标系xOy 中,直线y 1=ax+b 与双曲线xky =2交于A （1,3）和B （-3,-1）两点.观察图象可知：①当x=-3或1时,y 1=y 2 ；②当-3<x<0或x>1时,y 1>y 2.即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b>xk 的解集．问题：求不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集．小聪同学通过以上的阅读材料，对上述问题进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）,（3）,（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当x ＝0时,原不等式不成立；当x ＞0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1>x4; 当x ＜0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1<x4. （2）构造函数，画出图象:设y 3=x 2+4x -1,y 4=x 4,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y 4=x4如图2所示，请在此坐标系中,画出抛物线y 3=x 2+4x-1.（不用列表）（3）确定两个函数图象:公共点的横坐标,观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知满足y 3=y 4 的所有x 的值为 ；（4）借助图象，写出解集:结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集为 ．14.(本小题满分12分)如图,“元旦”期间,学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅,小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面.小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为300,测得条幅端点B 的俯角为450;小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为450,测得条幅端点B 的俯角为300.若楼层高度CD 为3米,请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长.（结果保留根号）15.（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC=2BC ，BE=5，求⊙O 的半径．16.(本小题满分15分)惠民超市试销一种进价为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于进价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数y=kx＋b,且当x=70时,y=50；x=80时,y=40．（1）求一次函数y=kx＋b的解析式；（2）设该超市获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围．17.（本小题满分16分）如图,已知抛物线y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（2）点M在抛物线上,且△BMC的面积与△BCD的面积相等，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，点Q在y轴上，以P，Q，B，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．18.（本小题满分18分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA=8，OB=6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P,点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．。

2024-2025学年江苏省南通市启东一中等校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ={x|0<x <4}，N ={x|13≤x ≤5}，则M ∩N =( )A. {x|0<x ≤13}B. {x|13≤x <4}C. {x|4≤x <5}D. {x|0<x ≤5}2.命题“∀m ∈R ，都有m 2−2m +3>0”的否定是 ( )A. ∀m ∈R ，都有m 2−2m +3≤0B. ∃m ∈R ，使得m 2−2m +3≤0C. ∃m ∈R ，使得m 2−2m +3<0D. ∃m ∈R ，使得m 2−2m +3>03.如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是( )A. M ∩(N ∩P )B. M ∪(N ∩P )C. (∁U M )∩(N ∩P )D. (∁U M )∪(N ∩P )4.给出下列关系：①12∈R ；②2∈Z ；③|−3|∉N ∗；④|− 3|∈Q ，其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若a,b 是正数，则“ac >bc ”是“a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a <0，−1<b <0，则有( )A. ab >ab 2>aB. ab 2>ab >aC. ab >a >ab 2D. a >ab >ab 27.已知集合U ={x ∈N ∗|x ≤6}，若A ⊆U ，且同时满足：若x ∈A ，则2x ∉A ；②若x ∈∁U A ，则2x ∉∁UA .则集合A 的个数为( )A. 4B. 8C. 16D. 208.定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A ={8,23,81,153,254,370}，B ={x ∈A|x 是自恋数}，则B 的真子集个数为( )A. 7B. 15C. 31D. 63二、多选题：本题共3小题，共18分。

高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}04M x x =≤<，则153Nx x =≤≤ ，则M N ∩等于（ ） A. 103x x<≤B. 143xx≤<C. {}45x x ≤< D. {}05x x <≤【答案】B 【解析】【分析】在数轴上表示出集合,M N ，再结合交集的定义即可得解. 【详解】集合,M N 在数轴上表示如图所示：由图可得143M N x x∩=≤<.故选：B.2. 命题“R m ∀∈，都有2230m m −+>”的否定是（ ） A. R m ∀∈，都有2230m m −+≤ B. R m ∃∈，使得2230m m −+≤ C. R m ∃∈，使得2230m m −+< D. R m ∃∈，使得2230m m −+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“R m ∀∈，都有2230m m −+>”的否定是“R m ∃∈，使得2230m m −+≤”. 故选：B.3. 如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 子集，则阴影部分表示的集合是（ ）的A. ()M N P ∩∩B. ()M N P ∪∩C. ()()U M N P ∩∩D. ()()U M N P ∪∩【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分， 即()()U M N P ∩∩ . 故选：C.4. 给出下列关系：①1R 2；②2Z ∈；③*3N −∉Q 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，12为实数，而R 表示实数集，所以1R 2∈，即①正确；对于②，2为整数，而Z 表示整数集合，所以2Z ∈，即②正确；对于③，33−=为正自然数，而*N 表示正自然数集，所以*3−∈N ，所以③错误；为无理数，Q Q ，即④错误. 故选：B.5. 若a ，b 是正数，则“ac bc >”是“a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的基本性质可得“ac bc >” “a b >”、“a b >” “ac bc >”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】由题意知，0,0a b >>， 当0c <时，由ac bc >，得a b <， 则“ac bc >” “a b >”；当0c ≤时，由a b >，得ac bc ≤， 则“a b >” “ac bc >”，所以“ac bc >”是“a b >”的既不充分也不必要条件. 故选：D.6. 已知0a <，10b −<<，则（ ） A. 2a ab ab >> B. 2ab ab a >> C. 2ab a ab >> D. 2ab ab a >>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】0a < ，10b −<<，0ab ∴>，201b <<，20ab a ∴>>， 2ab ab a ∴>>.故选：D.7. 已知集合{}N |6U x x ∗=∈≤，若A U ⊆，且同时满足：①若x A ∈，则2x A ∉；②若U x A ∈ ，则2U x A ∉ .则集合A 的个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】B 【解析】【分析】由题意得若1A ∈则2A ∉且4A ∈，若1A ∉则2A ∈且4A ∉，若3A ∈则6A ∉，若3A ∉则6A ∈，而元素5没有限制，进而即可求出集合A 的可能结果.【详解】由题得{}{}N |61,2,3,4,5,6U x x ∗=∈≤=，A U ⊆，由题意可知若1A ∈则2A ∉且4A ∈，若1A ∉则2A ∈且4A ∉， 若3A ∈则6A ∉，若3A ∉则6A ∈，而元素5没有限制可5A ∈或5A ∉.综上，集合A 可为：{}1,4,3，{}1,4,6，{}1,4,3,5，{}1,4,6,5，{}2,3，{}2,6，{}2,3,5，{}2,6,5. 所以集合A 的个数共8个. 故选：B.8. 定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合{}8,23,81,153,254,370A =，{|Bx A x =∈是自恋数}，则B 的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15C. 31D. 63【答案】A 【解析】【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B ，进而即得. 【详解】188=，所以8是自恋数；22231323+=≠，所以23不是自恋数； 22816581+=≠，所以81不是自恋数；333153153++=，所以153是自恋数；333254197254++=≠，所以254不是自恋数；333370370++=，所以370是自恋数.所以集合{}8,153,370B =. 所以真子集个数：3217−=个. 故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. (多选)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的有（ ） A. 若x ，y 是偶数，则x ＋y 是偶数B. 若a ＜2，则方程x 2－2x ＋a ＝0有实根C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D. 若ab ＝0，则a ＝0 【答案】BCD 【解析】【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A ：x ＋y 是偶数不一定能推出x ，y 是偶数，因为x ，y 可以是奇数，不符合题意； B ：当方程x 2－2x ＋a ＝0有实根时，则有2(2)401a a −−≥⇒≤，显然能推出a ＜2，符合题意； C ：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D ：显然由a ＝0推出ab ＝0，所以符合题意， 故选：BCD10. 若2:60p x x +−=是:10q ax +=的必要不充分条件，则实数a 的值可以为（ ） A. 2 B. 12−C.13D. 3【答案】BC 【解析】【分析】解方程260x x +−=，根据题意可得出关于实数a 的等式，即可解得实数a 的值. 【详解】由260x x +−=，可得2x =或3x =−.对于方程10ax +=，当0a =时，方程10ax +=无解，符合题意； 当0a ≠时，解方程10ax +=，可得1x a=−. 由题意知p q ⇒/，q p ⇒， 此时应有12a −=或13a −=−，解得12a =−或13a =. 综上可得，1,02a a =−=或13a =. 故选：BC.11. 已知,a b 为正实数，且216ab a b ++=，则（ ） A. ab 的最大值为8 B. 2a b +的最小值为8 C.1112+++a bD. 19b a +−【答案】ABD 【解析】【分析】对条件进行变形，利用不等式基本性质对选项一一分析即可【详解】解：因为162ab a b ab ++≥+，当且仅当2a b =时取等号，0>，解不等式得0<≤，即8ab ≤，故ab 的最大值为8，A 正确；的由162ab a b =++得16218211a b a a −==−++，所以()18182222144811a b a a a a ++−++−≥++， 当且仅当()18211a a +=+即2a =时取等号，此时取得最小值8，B 正确；1112a b +≥++当且仅当12+=+a b 时取等号，此时1112+++a b ，C 错误； 11129991818192111010b a a a a a a a  +=++−  −−−= + +− −++()()()1891111011091010a a a a −++−≥−=+−，当且仅当()()()1811019109a a a a −=+−+即a =时取等号，此时19b a +−，D 正确； 故选：ABD三、填空题：本题共35分，共15分.12. 已知集合{}{}24,2,4,A m B m =−=，且A B =，则m 的值为_________.【答案】0 【解析】【分析】根据集合相等，列出关于m 的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案. 【详解】因为A B =，所以22m m =−，解得0m =或2−， 当2m =−时，224m m =−=，而集合的元素具有互异性，故2m ≠−，所以0m =， 故答案为：013. 已知关于x 的不等式2243x x a a −+≥−在R 上有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]1,4− 【解析】【分析】求出24y x x =−+的最大值，然后可得234a a −≤，解出即可. 【详解】因为关于x 的不等式2243x x a a −+≥−在R 上有解，()22424y x x x =−+=−−+的最大值为4所以234a a −≤，解得14a −≤≤ 故答案为：[]1,4−14. 已知0,0,0a b c >>>，22950a ab b c −+−=，则c ab 的最小值是______.当cab取最小值时，2133m m a b c −≥+−恒成立，则m 的取值范围是_______.【答案】 ①. 1 ②. (][),14,−∞−+∞ 【解析】【分析】由22950a ab b c −+−=可得221919155c a ab b a b ab ab b a−+ ==+− ，然后利用基本不等式可得cab的最小值及此时,,a b c 的关系，然后可解出m 的取值范围. 【详解】因为22950a ab b c −+−=所以2219191111555c a ab b b ab ab a−+ ==+−≥−=， 当且仅当9a bb a=即3a b =时等号成立， 当3a b =时23c b =，2143a b c b b +−=−+，所以当2b =时13a b c +−取得最大值4 所以由2133m m a b c −≥+−恒成立可得234m m −≥，解得(][),14,m ∈−∞−+∞故答案为：1；(][),14,m ∈−∞−+∞四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求(1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【答案】（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}．【解析】【详解】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )． 试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{67,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 16. 已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据2a b ab +=，可得2ab a b =+≥1≥，进而求得1≥ab ，注意等号成立的条件，得到结果.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +−+=−+=−≥， ∴()2232a b b a b +≥+（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.17. 已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =−≤≤． （1）若3a =，求()P Q ∩R ；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|24x x −≤<,.（2）{|02}a a ≤≤ 【解析】【分析】（1）将3a =代入集合求解，利用集合间的关系可求()P Q ∩R ； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数a 的取值范围． 【小问1详解】已知集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =−≤≤． 当3a =时，{|47}Px x =≤≤，{4P x =<R 或7}x > 又{|25}Q x x =−≤≤，(){|24}P Q x x ∩=−≤<R ；【小问2详解】因为“x P ∈”是“x ∈Q ”充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集， 又{|25}Q x x =−≤≤，P ≠∅，所以012215a a a ≥+≥− +≤，所以02a ≤≤；当0a =时，{1}P =是Q 的真子集；当2a =时，{|35}Px x =≤≤也满足是Q 的真子集， 综上所述：{|02}a a ≤≤．18. 某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =−+．每吨的平均处理成本=月处理成本月处理量．（1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】（1）400吨（2）该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损 【解析】【分析】（1）设每吨的平均处理成本为w （元），得到()1800002004006002y w x x x x==+−≤≤，结合基本不等式求解即可；（2）设该单位每月获利s （元），得到函数表达式，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】设每吨的平均处理成本为w （元）， 则()1800002004006002y w x x x x==+−≤≤，则1800002002002002w x x =+−≥=， 当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立， 所以该单位每月处理为400吨时，才能使每吨平均处理成本最低 【小问2详解】设该单位每月获利s （元）， 则()21100300800004006002s x y x x x =−=−+−≤≤， 函数图像开口向下，对称轴300300122x=−×−， 所以函数在[]400,600单调递减，所以2max 140030040080000400002s =−×+×−=−， 所以该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损 19. 已知集合{}22,,A x x m n m n ==−∈∈Z Z ． （1）判断8，9，10是否属于集合A ：（2）已知集合{}21,B x x k k ==+∈Z ，证明：“x A ∈”的充分非必要条件是“x B ∈”； （3）写出所有满足集合A 的偶数．【答案】（1）8A ∈，9A ∈，10A ∉ （2）证明见详解的第11页/共11页 （3）()4k k ∈Z【解析】【分析】（1）根据集合A 中元素的特征一一判断即可； （2）由()22211k k k ++−，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论m 和n 同为奇数和偶数及m 和n 一奇一偶时，满足集合A 的偶数即可得出答案.【小问1详解】22831=− ，22954=−， 8A ∴∈，9A ∈， 假设2210m n =−，m ∈Z ，Z n ∈， 则2210m n −=，即()()10m n m n +−=， 且0m n m n +>−>，()Z m n +∈，()Z m n −∈， 101m n m n += ∴ −= 或52m n m n += −= ，显然均无整数解， 10A ∴∉.综上，8A ∈，9A ∈，10A ∉.【小问2详解】()22211k k k ++− ，Z k ∈， 21k A ∴+∈，即所有奇数都属于集合A ，则x B ∈，必有x A ∈， 又8A ∈，而8B ∉，即x A ∈，推不出x B ∈， 所以x A ∈的充分非必要条件是x B ∈.【小问3详解】 由()()22m n m n m n −=+−，m ∈Z ，Z n ∈， 当m 和n 同为奇数和偶数时，,m n m n +−均为偶数， 所以()()+−m n m n 为4的倍数； 当m 和n 一奇一偶时，,m n m n +−均为奇数， 所以()()+−m n m n 为奇数. 综上，所有满足集合A 的偶数为4k ()k ∈Z .。