《证明》课时7

《5．3．2 命题、定理、证明》课时练一、选择题1．下列命题中，是假命题的为（）A．邻补角的平分线互相垂直B．平行于同一直线的两条直线互相平行C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等D．平行线的一组内错角的平分线互相平行2．下列语句中，不是命题的是（）A．若两角之和为90°，则这两个角互补B．同角的余角相等C．作线段的垂直平分线D．相等的角是对顶角3．有下列命题：三角形的两边之和大于第三边；②相等的角是对顶角；③若a与b互为倒数，则ab=1；④绝对值等于本身的数是正数．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．下列语句中，不属于命题的是（）A．若两角之和为90°，则这两个角互补B．同角的余角相等C．作线段的垂直平分线D．相等的角是对顶角5．下列语句中，不属于命题的个数是（）①延长线段AB；②自然数都是整数；③两个锐角的和一定是直角；④同角的余角相等．A．1B．2C．3D．46．下列命题中，是真命题的是（）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行7．下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点最多可以画6条直线．其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个 D．5个8．下列命题中是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．直线a⊥b，则a与b的夹角为直角C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角D．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c二、填空题9．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）10．把命题“三角形的内角和等于180°”改写成“如果……那么……”的形式：如果，那么．11．如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，这是命题（填“真”或“假”）．12．“如果ab=0，那么a=0”是命题．“如果a=0，那么ab=0” 是命题．13．命题“对顶角相等”的条件是．14．下列命题中：①若∣a∣=∣b∣，则a=b；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．是真命题的是．（填写所有真命题的序号）三、解答题15．试判断命题：“若一条直线上的两点到另一条直线的距离相等，则这两条直线平行”的真假，并说明理由．16．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．（2）两个负数的差一定是负数．17．用语言叙述这个命题：如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＋∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，则EM∥FN．18．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．参考答案1．C．2．C．3．B．4．C．5．A．6．A7．B．8．C9．真．10．如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于180°．11．假．12．假；真；13．两个角是对顶角14．②③④15．解：假命题．图略，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB=CD，但AC与BD相交．16．解：（1）假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．（2）假命题．反例：（－5）－（－8）=＋3．17．解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．18．解：答案不唯一，如：若a∥b，b∥c，则a∥c；若a∥b，a∥c则b∥c；若b∥c，a∥c，则a∥b；若a⊥b，a⊥c，则b∥c；若a⊥b，b∥c，则a⊥c；若b∥c，a⊥c，则a⊥b．。

5.3.2命题、定理、证明 课时练习一、单选题（共15小题）1．下列说法错误．．的是（ ） A ．所有的命题都是定理．B ．定理是真命题．C ．公理是真命题．D ．“画线段AB ＝CD ”不是命题． 答案：A知识点：命题与定理 解析：解答：A ：定理是真命题，但假命题不是定理，所以错误，B 、C 、D 均正确，所以本题选择A ．分析：辨析命题、定理、公理的关系，明确逻辑意义，是做这类选择题的有效途径． 2．下列语句中，不是命题的是（ ）A ．内错角相等B ．如果0=+b a ，那么a 、b 互为相反数C ．已知42=a ，求a 的值D ．玫瑰花是红的 答案：C知识点：命题与定理解析：解答：A 、B 、D 都是判断一件事情的语句，并且由题设和结论构成，C 不是构成一件事情的语句，故选C ．分析：明确判断一件事情的语句，且由题设和结论两部分构成的是命题．3．下列命题中，不正确的是（ ）A ．在同一平面内，过一点有而且只有一条直线与已知直线垂直B ．经过直线外一点，有而且只有一条直线与这条直线平行C ．垂直于同一直线的两条直线垂直D ．平行于同一直线的两条直线平行答案：C知识点：平行公理及推论解析：解答：在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故C 错误；A 、B 、D 正确；故选C ．分析：利用垂线的性质、平行的性质分别判断后即可得到正确的选项．4．下列命题是假命题的是（ ）A. 互补的两个角不能都是锐角B. 两直线平行，同位角相等C. 若a ∥b ，a ∥c ，则b ∥cD. 同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c 答案：D 知识点：平行公理及推论；平行线的性质解析：解答：A ．互补的两个角不能是锐角，正确，是真命题；B ．两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；C ．根据平行线的传递性可以判断该命题为真命题；D ．同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ，故原命题为假命题，故选D ．分析：利用互补的定义、平行线的性质及垂线的性质分别进行判断后即可得到正确的选项．5．下列命题：①同旁内角互补；②若n ＜1，则n2-1＜0；③直角都相等；④相等的角是对顶角． 其中，真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：A知识点：命题与定理解析：解答：①同旁内角互补，错误，是假命题；②若n ＜1，则n 2-1＜0，错误，是假命题；③直角都相等，正确，是真命题；④相等的角是对顶角，错误，是假命题，故选A ．分析：能够运用已学的知识判断命题的真假，是要求学生综合应用数学知识的一个有效方法．6．如图，直线c 与a 、b 相交，且a ∥b ，则下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠1＝∠3；（3）∠2＝∠3。

《5．3．2命题、定理、证明》课时练1．下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同位角相等D．作∠A的平分线2．下列语句中，是命题的是（）①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④一个数能被2整除，则它也能被4整除；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④⑤3．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是．4．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：（1）两点确定一条直线；（2）同角的补角相等；（3）两个锐角互余．5．下列命题中，是真命题的是（）A．若|x|＝2，则x＝2B．平行于同一条直线的两条直线平行C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角D．任何一个角都比它的补角小6．下列命题中，是假命题的是（）A．若|x|＝3，则x＝3B．垂线段最短C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D．两点确定一条直线7．判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D.128．如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.9．如图所示，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由．10．下列说法正确的是（）A．“作线段CD＝AB”是一个命题B．过一点作已知直线的平行线有且只有一条C．命题“若x＝1，则x2＝1”是真命题D．所含字母相同的项是同类项11．下列命题是假命题的是（）A．同角的余角相等B．内错角相等C．两点之间，线段最短D．同旁内角互补，两直线平行12．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．（1）“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．反例：；（2）“如果a2＝b2，那么a＝b”是一个假命题．反例：．13．下列命题中，①若|a|＝b，则a＝b；②若直线l1∥l2，l1∥l3，则l2∥l3；③同角的补角相等；④同位角相等，是真命题的有（填序号）．14．把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．（1）等角的补角相等；（2）不相等的角不是对顶角；（3）相等的角是内错角．15．如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM ∥FN.求证：AB∥CD.16．如图，下列三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.从中任选两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明．17．（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；（2）若把（1）中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由；（3）若把（1）中的“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？参考答案1．D2．A3．两条平行线被第三条直线所截，结论是内错角相等．4．（1）如果在平面上有两个点，那么过这两个点确定一条直线．题设：在平面上有两个点；结论：过这两个点确定一条直线．（2）如果两个角是同角的补角，那么它们相等．题设：两个角是同角的补角；结论：这两个角相等．（3）如果两个角是锐角，那么这两个角互余．题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余．5．B6．A7．A8．证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.又∵∠BCD＝70°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∴CD∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．9．解：假命题，添加BE∥DF.∵BE∥DF，∴∠EBD＝∠FDN（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠EBD－∠1＝∠FDN－∠2.∴∠ABD＝∠CDN.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．10．C11．B12．（1）3×0＝（－2）×0；（2）32＝（－3）2．13．②③．14．解：（1）如果两个角是两个相等的角的补角，那么这两个角相等．是真命题．（2）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．是真命题．（3）如果两个角相等，那么这两个角是内错角．是假命题．15．证明：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN.又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN.∴∠FEB＝∠EFC.∴AB∥CD.16．解：答案不唯一，如：已知：AB∥CD，∠B＝∠C，求证：∠E＝∠F.证明：∵AB∥CD,∴∠B＝∠CDF.又∵∠B＝∠C，∴∠CDF＝∠C.∴EC∥BF.∴∠E＝∠F.17．解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴CD∥FG.∴∠BFG＝∠CDB.∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴∠BFG＝90°.∴FG⊥AB.（2）真命题．理由如下：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG.∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.∴DE∥BC.（3）真命题．理由如下：同（2）可得∠2＝∠3.∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.。

①BC平分∠ABE； ②∠BCE＋∠D＝90°； ③AC∥BE； ④∠DBF＝2∠ABC. 其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若a＝b，则a2＝b2是____真_____命题(选填“真”或“假”)， 其中“a＝b”是_题__设_______，“a2＝b2”是_结__论________．
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1 ＝∠2，则图中互相平行的直线是__E_F_∥__C_D__，__B_C_∥__D_E___________．
8．如图，给出下面的推理，其中正确的是____①__②__④________． ①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF； ②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD； ③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF； ④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.
9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证： ∠ACD＝∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)， ∴∠ACB＝90°(______垂__直__的__定__义________)， ∴∠BCD是∠ACD的余角． ∵∠BCD是∠B的余角(已知)， ∴∠ACD＝∠B(____同__角__的__余__角__相__等______)．
c
2
a
证明的一般步骤： 1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根 据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地 写出证明过程.
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
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