2014年杭州师范大学考研试题720数学分析

浙江师范大学2005年研究生一（每小题8分，共48分）计算题1、求极限 )11(sin lim3220x x x x x x --+-→.解 原式3000sin sin limlim lim 11x x x x x x x xx x x x→→→+-=+-- 3分 211lim3cos 1lim202xx x x x x -++-=→→ 5分316sin lim20==→xx x 8分 2、求级数∑∞=12n n x n 的和.解 作()=x f ∑∞=-112n n x n ，则()d xf t t =⎰∑∞=1n n nx 2分 作()=x g∑∞=-11n n nx ，则()d xg t t =⎰∑∞=1n n x xx-=1 因此()=x g2)1(1x - 5分()d xf t t =⎰2)1(x x-()=x f 223d 12d (1)(1)(1)x xx x x x =+---3)1(1x x -+=于是 ，原式()x xf=32)1(x x x -+=8分3、求级数 ()()111211k k k k k ∞=⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭∑的和.解 因()111111+-=+∑=n k k nk ，故()∑∞==+1111k k k 2分 为了求()1121kk k ∞=-+∑，作()=x f ()211121kk k x k +∞=-+∑， 4分则()='x f ()2222111111kkk x x x x ∞=--==-++∑ 5分 ()=x f 2011d [arctan ]01xx t t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪+⎝⎭⎰arctan x x =-+ 6分 π(1)14f =-+因此，原式π(1)14f =+=8分 4、求211d e d x y y x ⎰⎰的值.解 原式21d e d xx x y =⎰⎰4分21e d xx x =⎰21e e 122x ⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8分 5、求极限 ()lim lim cos !πnm n m x →∞→∞解 因cos !πm x 的周期为!2m ， 2分故当x为有理数时，存在正整数p 和整数q使得pq x =，这时当p m ≥时，cos !π1m x =，()lim cos !π1nn m x →∞=， 4分而当x 为无理数时，cos !π1m x <，()lim cos !π0nn m x →∞= 6分因此，原式1,0x x ⎧=⎨⎩当为有理数时，当为无理数时8分6、求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim解 原式n nk n k n 111lim1∑=∞→+=4分 1d 1xx =+⎰()[]2ln 011ln =+=x 8分二（14分）已知实数列}{n a 收敛于a ，且na a a S nn +++=21，用定义证明}{n S 也收敛于a .证记i i b a a =-，12k K b b b =+++，则0>∀ε，k 正整数∃，使得2ε<-a a n )(k n >, 3分因01→n ，故1k 正整数∃，使得2ε<n K ， 8分 令},max{12k k k =，则当2k n >时，有1212k k nnb b b a a a K a nn n+++++++-≤+εε<-+≤2n k n n K 14分 三（20分）设()t ϕ和()t ψ为二次可微函数，()()()y x y y x x y x u +++=ψϕ,证明0222222=∂∂+∂∂∂-∂∂y u y x u xu证ψϕϕ'+'+=y x u x ，ψψϕ'++'=y x u y 5分 ψϕϕ''+''+'=y x u xx 2 ，ψψϕϕ''+'+''+'=y x u xyψψϕ''+'+''=y x u yy 2 15分因此，左)(22ψψϕϕψϕϕ''+'+''+'-''+''+'=y x y x==''+'+''+02ψψϕy x 右 20分四（20分）设()x f 在[]0,π上连续，证明⑴()()πππsin d sin d 2xf x x f x x =⎰⎰⑵若()0≥x f ，[]0,πx ∈，且()π0d 0f x x =⎰，则()0≡x f ，[]0,πx ∈，证 记()πsin d I xf x x =⎰(1) 令πx t =-，则()πsin d I xf x x =⎰()π(π)sin d t f t t =-⎰()ππsin d f t t I =-⎰因此，左()ππsin d 2I f t t ===⎰右 10分（2）（用反证法）若不然，则[]00,πx ∃∈使得()00>x f ，由极限的保号性，存在开区间),(b a 使得[][]0,0,πx a b ∈⊂，且当),(b a x ∈时，有2)()(0x f x f >， 16分这与()πd 0f x x =⎰矛盾. 20分五（16分）若不定积分()22d 1ax bx cx x x ++-⎰为有理式，则c b a ,,应满足什么条件？解 因()2221(1)ax bx c c ax b c x x x x x ++++=-+--，故 当且仅当⎩⎨⎧=+=00c b a 时，不定积分()22d 1ax bx cx x x ++-⎰为有理式. 16分六（16分）若()x f 在()+∞,0上可微，0)(lim =∞→xx f x ，求证()+∞,0内存在一个数列}{n ξ，使得}{n ξ单调，+∞=∞→n n ξlim ，且0)(lim ='∞→n n f ξ.证法1 因()x f 在()+∞,0上可微，故n +∀∈Z ，()x f 在12,2n n-⎡⎤⎣⎦上连续，在()12,2n n -内可导，从而由拉格朗日中值定理知，n ξ∃∈ ()12,2n n -使11(2)(2)()22n n n n n f f f ξ---'=-，即1111(2)(2)(2)(2)()2222n n n n n n n n f f f f f ξ-----'==- 9分 因0)(lim =∞→xx f x ，lim 2nn →∞=+∞，故由海涅归结原则知，(2)lim 02n n n f →∞=，从而0)(lim ='∞→n n f ξ. 16分证法2 由0)(lim=∞→xx f x 知，0>∀ε，0K ∃>，使得当K x ≥时， ε<xx f )( 2分 01>∃K ，使当1K x ≥时，1)(<xx f ，122K K >∃，使当2K x ≥时，21)(<x x f ，12->∃n n K K ，使得当n K x ≥时，nx x f 1)(< 6分 用数学归纳法，得到一个数列}{n K ，在闭区间]2,[n n K K 上应用拉格朗日中值定理，()n n n K K 2,∈∃ξ，使得nn n n n K K K f K f f --='2)()2()(ξ 10分由12n n n K ξξ+<<知，数列}{n ξ单调增，由数列}{n K 满足11122n n n K K K -->>和10K >知+∞=∞→n n ξlim 13分由(2)()(2)()213()2n n n n n n n n n f K f K f K f K f K K K K n n nξ-'=≤+<+=-知0)(lim ='∞→n n f ξ 16分七（16分）设kn n k k n x x x u --=-=∑)1()(11，证明)(x u n 在[]1,0上一致收敛. 证法1106ε∀<<，当[]0,x ε∈时，11()211n n kn k x x u x x x εεε-=-≤=≤<--∑ 当[]1,1x ε∈-时，由对称性知 11()(1)2n kn k u x x ε-=≤-<∑ 当[],1x εε∈-时，1111()(1)(1)(1)n n k n kk n k n k k u x x x εε----===-≤--∑∑(1)(1)n n ε=-- 6分因lim(1)(1)0nn n ε→∞--=，故对上述的ε，∃正整数K 使得当n K >时，(1)(1)2n n εε--< 14分综上，当n K >时，kn n k k n x x x u --=-=∑)1()(112ε<，对[]1,0中的一切x 成立，这表明)(x u n 在[]1,0上一致收敛. 16分证法2当12x ≠时 220()(1)(1)n k n k n k u x x x x x ---==--∑()11(1)112n n x x x x x ---⎡⎤=--⎣⎦- 3分 由Dini 定理，要证)(x u n 在[]1,0上一致收敛.只需证明)(x u n 在[0,1]上下面分102x <<，112x <<，0x =，1x =这四种情形来证明 0)(lim =∞→x u n n即知极限函数一定连续. 7分 而当1(0,)2x ∈时，)()(1x u x u n n +-()[]0121)1(2222≥----=--n n x x xx x 当1(,1)2x ∈时，)()(1x u x u n n +-()[]0121)1(2222≥----=--n n x x xx x 当0x =或1x =时，()0n u x =，而当12x =时， 111111()2222n n k n k n k n u --=-==∑1111112()()022222n n n n n n n n u u +++---=-=> 10分于是，[0,1]x ∀∈，有)()(1x u x u n n +≥， 即)(x u n 关于n 单调， 16分。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。

本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。

（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。

2014年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0+时，若ln2(1+2x)，(1-cosx)1/a均是比x高阶的无穷小，则a的取值范围是A．(2，+∞)．B．(1，2)．C．(1/2，1)．D．(0，1/2)．正确答案：B解析：a＞0时，lna(1+2x)～(2x)a(x→0+)，它们均是比x高阶的无穷小，即因此a∈(1，2)，选B．2．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1/x)D．y=x2+sin(1/x)正确答案：C解析：显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线．对于C．故有斜渐近线y=x．选C．3．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：【分析一】y=f(x)在[0，1]上是凹函数(设f(x)在[0，1]二阶可导，不妨f’’(x)＞0)，y=g(x)是连接(0，f(0))与(1，f(1))的线段．由几何意义知f(x)≤g(x)(x ∈[0，1])．选D．【分析二】令ω(x)：f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0，ω(1)=f(1)-f(1)=0 在[0，1]上，当f’’(x)≥0时，ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0，即f(x)≤g(x)．选D．4．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：用参数求导法先求出5．设函数f(x)=arctanx．若f(x)=xf’(ξ)，则A．1．B．2/3．C．1/2．D．1/3．正确答案：D解析：6．设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足A．u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．B．u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．C．u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得．D．u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得．正确答案：A解析：【分析一】若u(x，y)在D内部某点M0(x0，y0)取最小值，则因此u(x，y)不能在D内部取到最小值．同理u(x，y)不能在D内部取最大值．因此u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界取得．选A．【分析二】用特殊选取法．但u(x，y)在D内或无驻点或有唯一驻点M0(-1，-1)．在M0处AC-B2=-1＜0，M0不是u(x，y)的极值点．因此u(x，y)在D的最大值与最小值都不能在D内部取得，只能在D的边界取得．对此u(x，y)(A)正确，(B)、(C)、(D)均不正确．因此选A．7．行列式A．(ad-bc)2．B．-(ad-bc)2．C．a2d2-b2c2．D．b2c2-a2d2．正确答案：B解析：计算出这个行列式．比较好的方法为先交换第2，3两行，再把第1列和第2，3列邻换：(此题也可用排除法：4个选项中都有a2d2和b2c2，但是前面的符号不同，A都是+，B都是-，C+，-，D-，+．观察完全展开式中它们的系数都是一，可排除A、C、D．8．设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k，ι，向量组a1+ka3，a2+ιa3。

2014年杭州师范大学考研教育硕士（Ed.M）教育综合真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 名词解释题 2. 简答题 3. 论述题1．“产婆术”正确答案：苏格拉底法，又称“问答法”“产婆术”。

苏格拉底在哲学研究和讲学中，形成了由讥讽、助产术、归纳和定义四个步骤组成的独特的方法，称为苏格拉底法。

讥讽是就对方的发言不断提出追问，迫使对方自陷矛盾，无言以对，最终承认自己的无知。

助产术即帮助对方让他自己得到问题的答案。

归纳即从各种具体事物中找到事物的共性、本质，通过对具体事物的比较寻求“一般”。

定义是把个别事物归入一般的概念，得到关于事物的普遍概念。

该方法最大的优点是不将现成的结论影响灌输或强加给对方。

但也有局限，如受教育者必须有追求真理的愿望和热情；受教育者必须积累了一定的知识；此外，这种方法不能机械地搬用于幼年儿童。

2．课程标准正确答案：课程标准是依照课程计划的要求，每门学科以纲要的形式编定的、有关学科教学内容的指导性文件。

它规定某门学科的性质与地位，是教材编写、教学、评估与考试命题的依据，是国家管理与评价课程的基础。

编写课程标准是课程开发的重要步骤。

课程标准的结构：说明部分、课程目标部分、内容标准部分、课程实施建议。

3．教育目的正确答案：教育目的的概念有广义与狭义之分。

广义的教育目的是指人们对受教育者的期望，即人们希望受教育者通过教育在身心诸方面发生什么样的变化，或者产生怎样的结果。

狭义的教育目的是指国家或社会对教育所要造就的人才的总要求。

我国的教育目的是培养德、智、体等方面发展的社会主义事业的建设者和接班人。

教育目的的内容、结构包含“为谁培养人”和“培养什么样”的人。

教育目的的层次结构是国家的教育总目的，是各类学校的培养目标、课程目标和教学目标。

4．教育机智正确答案：教育机智是指教师在教育教学活动中对新的、意外的情况正确而迅速地做出判断并巧妙地加以解决的能力。

这其中也就体现了教师劳动的灵活性。

2014数二考研真题答案2014年数学二考研真题答案一、选择题1. 题目：解方程组 $\begin{cases}2x + 3y - z = 5 \\x + 2y + z = 9 \\3x + 4y + \mu z = 1\end{cases}$ 有解，则 $\mu$ 的取值范围是（）答案：D. $(-\infty, 5]$2. 题目：设函数$f(x,y)=x^2+y^2-4x+2$，则曲线$f(x,y)=k$ 表示（）答案：B. 半径为 $\sqrt{k+2}$，圆心为 $(2,0)$ 的圆3. 题目：已知函数 $f(x)=e^x+e^{-x}$，则 $f'(x)=$答案：C. $e^x-e^{-x}$4. 题目：若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则函数 $F(x)= \begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} & \text{当} x \neq x_0 \\ f'(x_0) & \text{当} x =x_0 \end{cases}$ 在 $x=x_0$ 处（）答案：B. 连续5. 题目：已知数列 $\{a_n \}$ 的通项公式为 $a_n = 2n+1$，则$\sum_{n=1}^{10}a_n=$答案：C. 1106. 题目：求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n^2}$ 的收敛域。

答案：A. 收敛于 $x \in (-1,1]$，发散于 $x \geq 1$7. 题目：设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，且 $AA^T=E$，则 $A^T A=$答案：B. $E$8. 题目：设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，且 $f'(0)=1, f''(0)=2$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f(e^x)-f(\cos x)}{x^2}=$答案：A. 59. 题目：设 $z = \ln (x^2 +y^2)$，则 $\frac{z^2}{x^2+y^2}$ 等于（）答案：C. 110. 题目：设函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(x)|_{x=0}=0,f'(x)|_{x=0}=1, f''(x)|_{x=0}=-1$，则当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的指数阶为（）答案：D. $\frac{1}{2}$二、填空题11. 题目：方程 $x^3-y^3-3xy(x-y)=0$ 的一组解为 $x-y=$ \underline{3}，则其对应的黎曼矩阵为 $\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$。

⎩2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. 1(1) 当 x → 0+时，若ln α(1 + 2 x ) ，(1- cos x )α均是比 x 高阶的无穷小，则α的取值范围是()(A) (2, +∞) (B) (1, 2) (C) 1 ( ,1) 2 (D) 1(0, )2(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A)(C)y = x + sin x y = x + sin 1x(B)(D)y = x 2+ sinx y = x 2+ sin 1 x(3) 设函数 f (x ) 具有 2 阶导数，g (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上（）(A ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≥ g (x ) (C ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≥ g (x )⎧⎪x = t 2+ 7(B ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≤ g (x ) (D ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≤ g (x )(4) 曲线 ⎨⎪ y = t 2+ 4t + 1上对应于t = 1的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100' (C) 10ξ2(D) 5 (5) 设函数 f (x ) = arctan x ，若 f (x ) = xf2 (A) 1 (B)3 (ξ) ，则lim = x →0 x 21(C)21 (D)3（）∂2u (6) 设函数u (x , y ) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足∂x ∂y≠ 0∂2u 及 ∂x 2∂2u + = 0 ，则（）∂y 2(A) u (x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得(B)u (x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得10 10 10 10(C) u (x , y ) 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得(D)u (x , y ) 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得(7) 行列式= （ ）(A) (ad - bc )2(B) -(ad - bc )2(C) a 2d 2- b 2c2(D) b 2c 2- a 2d2(8) 设α1 ,α2 ,α3 均为 3 维向量，则对任意常数 k , l ，向量组α1 + k α3 ,α2 + l α3 线性无关是向量组α1 ,α2 ,α3 线性无关的（）(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上. 11((9)⎰-∞ x 2+ 2x + 5dx =.(10) 设 f (x ) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f '(x ) = 2(x -1), x ∈[0, 2] ，则 f (7) = .(11) 设 z = z (x , y ) 是由方程 e 2 yz + x + y 2 + z = 7确定的函数，则 dz4π π1 1=.( , ) 2 2(12) 曲线 r = r (θ) 的极坐标方程是 r =θ，则 L 在点(r ,θ) = ( , ) 处的切线的直角坐标方程是2 2.(13) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间[0,1] 上,若其线密度ρ( x ) = -x 2+ 2x + 1,则该细棒的质心坐标 x = .(14) 设二次型 f (x , x , x ) = x 2 - x 2 + 2ax x + 4x x 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围为 123121 32 3.三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)0 a b0 a 0 0 b 0 c c 0 d 0 0 dx⎰ ⎰⎰ nx⎡ ⎛ 1⎫ ⎤ ⎰ ⎢t 2 e t-1⎪ - t ⎥ dt 1 ⎢⎣ ⎝⎭ ⎥⎦求极限 lim. x →+∞x 2 ln ⎛1 + 1 ⎫x ⎪ ⎝ ⎭(16)(本题满分 10 分)已知函数 y = y ( x ) 满足微分方程 x 2+ y 2y ' = 1- y ' ，且 y (2) = 0 ，求 y ( x ) 的极大值与极小值.(17)(本题满分 10 分)设平面区域 D ={( x , y ) 1 ≤ x 2+ y 2≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}, 计算⎰⎰x s in (dxdy .(18)(本题满分 10 分)Dx∂2 z∂2 z x + yx 2x设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， z = f (e cosy) 满足 ∂x 2 + = (4z + e cos y ) e ，若 ∂y 2f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式.(19)(本题满分 10 分)设函数 f (x ), g (x ) 的区间[a, b] 上连续，且 f (x ) 单调增加， 0 ≤ g ( x ) ≤ 1 .证明：(I) 0 ≤⎰ag (t )dt ≤ x - a , x ∈[a , b ] ,b(II)a + ag (t )dt f (x ) d x ≤ bf (x ) g(x )dx .aa (20)(本题满分 11 分)设函数 f (x) =x, x ∈[0,1] ，定义函数列 f (x ) = f (x ), f (x ) = f ( f (x )), , 1+ x1 2 1f n (x ) = f ( f n -1(x )), ，记 S n 是由曲线 y = f n (x ) ，直线 x = 1 及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim nS . n →∞(21)(本题满分 11 分)已知函数 f (x , y ) 满足 ∂f ∂y= 2( y +1) ，且 f ( y , y ) = ( y +1)2 - (2 - y ) ln y , 求曲线 f (x , y ) = 0所围成的图形绕直线 y = -1旋转所成的旋转体的体积.( ,1) (22)(本题满分 11 分)⎛1 - 2 3 - 4 ⎫ 设矩阵 A =0 1 -1 1 ⎪ ， E 为三阶单位矩阵.⎪ 1 2 0 - 3⎪ ⎝ ⎭(I) 求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； (II) 求满足 AB = E 的所有矩阵.(23)(本题满分 11 分)⎛1 1 1 1 1⎫ 1⎪ ⎛ 0 0 0 1 ⎫ 0 2 ⎪证明 n 阶矩阵 ⎪ 与 ⎪ 相似. ⎪ ⎪ 1 1 1⎪ 0 0 n ⎪⎝ ⎭ ⎝⎭2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. 1(1) 当 x → 0+时，若ln α(1 + 2 x ) ，(1- cos x )α 均是比 x 高阶的无穷小，则α的取值范围是()(A) (2, +∞) 【答案】B(B) (1, 2)(C) 121(D) (0, )2ln α(1 + 2 x ) (2 x )α α α-1【解析】由定义 limx →0 x = lim x →0 x= lim 2 x = 0 x →0 所以α-1 > 0 ，故α> 1 .2⎩当 x → 0+故选 B1时， (1- cos x )α ~2α1 是比 x 的高阶无穷小，所以α-1 > 0 ，即α< 2 .2α(2) 下列曲线中有渐近线的是()(A)(C)y = x + sin x y = x + sin 1x(B)(D)y = x 2+ sinx y = x 2+ sin 1 x【答案】Cx + sin 1 sin 1【解析】关于 C 选项： limx = lim1 + lim x =1 + 0 =1 . x →∞x x →∞ x →∞ xlim[ x + sin 1 - x ] = lim sin 1 = 0 ，所以 y = x + sin 1存在斜渐近线 y = x . x →∞x 故选 Cx →∞ x x(3) 设函数 f (x ) 具有 2 阶导数，g (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上（ ）(A ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≥ g (x ) (C ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≥ g (x ) 【答案】D(B ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≤ g (x ) (D ) 当 f '(x ) ≥ 0 时， f (x ) ≤ g (x )【解析】令 F (x ) = g (x ) - f (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x - f (x ) ，则F (0) = F (1) = 0 ,F '(x ) = - f (0) + f (1) - f '(x ) , F '(x ) = - f '(x ) .若 f '(x ) ≥ 0 ，则 F '(x ) ≤ 0 ， F (x ) 在[0,1] 上为凸的.又 F (0) = F (1) = 0 ，所以当 x ∈[0,1] 时， F (x ) ≥ 0 ，从而 g (x ) ≥ f (x ) .故选 D.⎧⎪x = t 2+ 7(4) 曲线 ⎨⎪ y = t 2+ 4t + 1上对应于t = 1的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C) 10 (D) 5 【答案】C10 10 10 10x2t + 4 2t dy 'dx t22t 3 3 k + = ξ 【解析】t =1= = 3 t =1- 2= = = -1t =1 t =1t =1k =(1+ y '2 )2=1,∴ R = 1= 10 (1+ q )2故选 C(5) 设函数 f (x ) = arctan x ，若 f (x ) = xf2 '(ξ) ，则lim = （ ）(A)1 (B) 23【答案】Dx →0 x21 (C)21 (D)3【解析】因为f (x ) = x f ' (ξ) = 1 1+ξ2 ，所以ξ2= x - f (x ) f (x )ξ2 1- 1 lim = lim x - f (x ) = lim x - arctan x = lim 1+ x = 1 x →0 x 2故选 D.x →0 x 2 f (x ) x →0 x 2 arctan x x →0 3x 2 3 ∂2u(6) 设函数u (x , y ) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足∂x ∂y≠ 0∂2u 及 ∂x 2∂2u∂y 20 ，则 （）(A) u (x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得(B) u (x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得(C) u (x , y ) 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得(D) u (x , y ) 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得2dy dx d 2y dx 2y ''10k l k l 【答案】A【解析】记 A =∂2u ∂x 2, B =∂2u ∂x ∂y,C =∂2u∂y 2, B ≠ 0, A ,C 相反数 则∆=AC-B 2< 0 ,所以u (x, y) 在 D 内无极值，则极值在边界处取得.故选 A(7) 行列式= ( )(A) (ad - bc )2 【答案】B(B) -(ad - bc )2(C) a 2d 2 - b 2c 2(D) b 2c 2 - a 2d 2【解析】由行列式的展开定理展开第一列a b 0 a b 0= -a c d 0 - c 0 0 b0 0 d c d 0= -ad (ad - bc ) + bc (ad - bc )= -(ad - bc )2 .(8) 设 a 1 , a 2 , a 3 均为三维向量，则对任意常数 k , l ,向量组 a 1 + ka 3 , a 2 + la 3 线性无关是向量组a 1 , a 2 , a 3 线性无关的()(A) 必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】A ⎛ 1 0 ⎫ 【解析】(α + k αα + l α ) = (α αα )0 1 ⎪ . 1323123 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 0 ⎫ ⇐) 记 A = (α + k αα + l α ) ，B = (α αα ) ，C =0 1 ⎪ . 若α,α ,α 线性无1323123 ⎪1 2 3 ⎪ ⎝ ⎭0 a b 0a 0 0 b0 c d 0 c 0 0 d0 a b 0a 0 0 b0 c d 0c 0 0 dx +1 2 关，则 r ( A ) = r (BC ) = r (C ) = 2 ，故α1 + k α3 ,α2 + l α3 线性无关.⇒) 举反例. 令α3 = 0 ，则α1 ,α2 线性无关，但此时α1 ,α2 ,α3 却线性相关.综上所述，对任意常数 k , l ，向量α1 + k α3 ,α2 + l α3 线性无关是向量α1 ,α2 ,α3 线性无关的必 要非充分条件.故选 A二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上. 11(9)⎰-∞ x 2+ 2x + 5 dx =.3 【答案】 π8【解析】11dx 11dx = 1arctan1⎰-∞ x 2+ 2x + 5⎰-∞ ( x +1)2 + 4 2-∞= 1 ⎡π- ⎛- π⎫⎤ = 3 π2 ⎢ 4 2 ⎪⎥ 8 ⎣ ⎝ ⎭⎦(10) 设 f (x ) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f '(x ) = 2(x -1), x ∈[0, 2] ，则 f (7) = .【答案】1【解析】 f '( x ) = 2 (x -1)，x ∈[0, 2]且为偶函数则 f '( x ) = 2 (-x -1)，x ∈[-2, 0]又 f ( x ) = -x 2- 2x + c 且为奇函数，故c =0∴ f ( x ) = -x 2 - 2x ，x ∈ [-2, 0]又 f ( x ) 的周期为 4，∴ f (7) = f (-1) = 1(11) 设 z = z (x , y ) 是由方程 e 2 yz + x + y 2 + z = 7确定的函数，则 dz411 1 =.( , ) 2 2【答案】 - (dx + dy )2【解析】对e2 yz+ x + y 2 + z = 7方程两边同时对 x , y 求偏导4=∂z ∂x 1 12 2⎩ ⎛ ⎫, ⎧e 2 yz⋅ 2 y ⋅ ∂z +1+ ∂z = 0⎪∂x ∂x ⎨ ⎪e 2 yz (2z + 2 y ) + 2 y + ∂z = 0⎪⎩当 x = ∂y ∂y 1 , y = 1 时, z = 0 2 2故 1 1 ( , ) 2 2 = - 1 , 21 1 ( , )2 2= - 1 2故 dz = - 1 dx + (- 1 )dy = - 1 (dx + dy ) ( , ) 2 2 2(12) 曲线lim nS n →∞.π π的极坐标方程是 r =θ，则 L 在点(r ,θ) = ( , ) 处的切线的直角坐标方程是2 22 π【答案】 y = - πx + 2【解析】由直角坐标和极坐标的关系⎧x = r cos θ= θcos θ⎨y = r sin θ=θsin θ ，⎛π π⎫ ⎛ π⎫于是(r ,θ) = , ⎪, 对应于( x , y ) = 0, ⎪,⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ dy切线斜率 dy = d θ = θcos θ+ sin θ= - 2dx dx cos θ-θsin θ0 π π 2 ⎪ ⎝⎭d θπ 2所以切线方程为 y - = - 2π(x - 0)2 π 即 y = - πx + 2(13) 一根长为1 的细棒位于 x 轴的区间[0,1] 上,若其线密度ρ( x ) = -x 2+ 2x + 1,则该细棒的质心坐标 x = . 11 【答案】20∂z ∂y ∴ dy dx ∂z n11 3 )【解析】质心横坐标 x =⎰0 x ρ( x ) d x⎰0ρ( x ) d xρ 12⎛ x 3 2⎫ 1 5 ⎰0 ( x ) d x =⎰0(-x + 2x +1)dx = - + x + x ⎪ 0 = 3 ⎝ ⎭ 1 1 2⎛ x 4 2 3 x 2⎫ 1 11 ⎰0 x ρ( x ) d x =⎰0 x (-x + 2x +1 dx = - + x 4 3 + 2 ⎪ 0 =12⎝ ⎭11∴ x = 12 = 115 20 3(13) 设二次型 f ( x , x , x ) = x 2 - x 2+ 2ax x + 4x x 的负惯性指数是 1 ， 则 a 的取值范围.【答案】[-2, 2]1 2 3 1 2 1 3 2 3【解析】配方法： f ( x , x , x ) = (x + ax )2 - a 2x 2 - (x - 2x )2+ 4x 2123133233由于二次型负惯性指数为 1，所以 4 - a 2≥ 0 ，故-2 ≤ a ≤ 2 .三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)x⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎤⎰ ⎢t 2 e t -1⎪ - t ⎥ dt 1 ⎢⎣ ⎝⎭ ⎥⎦求极限 lim. x →+∞x 2 ln ⎛1 + 1 ⎫x ⎪ ⎝ ⎭x ⎡ 1 ⎤x ⎡ 1 ⎤【解析】 lim x →+∞ ⎰1 ⎢⎣t 2 (e t -1) - t ⎥⎦d t x 2 ln(1 + 1) = lim x →+∞ ⎰1 ⎢⎣t 2 (e t -1) - t ⎥⎦d t x 2 ⋅ 1x x1= lim [ x 2(e x-1) - x ]x →+∞1 =t ttx= lim -1- t = lim e-1 = lim t = 1 .(16)(本题满分 10 分)t →0+ t 2 t →0+ 2t t →0+ 2t 21e2 已知函数 y = y ( x ) 满足微分方程 x 2+ y 2y ' = 1- y ' ，且 y (2) = 0 ，求 y ( x ) 的极大值与极小值.【解析】 由 x 2+ y 2y ' = 1- y ' ，得( y 2 +1) y ' = 1- x 2 ............................................................................................................ ①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为1y 3 + y = x - 1x 3 + c 3 3由 y (2) = 0 得c = 23' 1- x 2又由①可得 y (x ) = y 2 +1当 y '(x ) = 0 时， x = ±1 ，且有： x < -1, y '(x ) < 0 -1 < x < 1, y '(x ) > 0 x > 1, y '(x ) < 0所以 y (x ) 在 x = -1 处取得极小值，在 x = 1 处取得极大值y (-1) = 0, y (1) = 1即： y (x ) 的极大值为 1，极小值为 0.(17)(本题满分 10 分)设平面区域 D ={( x , y ) 1 ≤ x 2+ y 2≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}, 计算⎰⎰x s in (dxdy .【解析】D 关于 y = x 对称，满足轮换对称性，则：Dx + y⎰⎰= ⎰⎰D D∴ I = = 1 ⎰⎰ dxdy D x + y 2 D ⎢⎣⎥⎦ = 1⎰⎰ sin(D()1 2π=1⎰ 2d θ⎰sin πr ⋅ rdr21= π(- 1 )⎰2rd cos πr 4 π 1= - 1⎡cos πr ⋅ r |2 -2 cos πrdr ⎤4 ⎢⎣1 ⎰1 ⎥⎦= - 1 ⎡2 + 1- 1 sin πr |2 ⎤4 ⎢⎣ π= - 341 ⎥⎦ (18)(本题满分 10 分)x∂2z∂2 zx 2x设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， z = f (e cosy) 满足 ∂x 2 + = (4z + e cos y ) e ，若 ∂y 2f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式.【解析】由 z = f e xcos y ,∂z= ∂xf '(e x cos y ) ⋅ e x cos y , ∂z= ∂yf '(e x cos y ) ⋅ (-e x sin y )∂2 z = ∂x 2f '(e x cos y ) ⋅ e x cos y ⋅ e x cos y + f '(e x cos y ) ⋅ e xcos y ，∂2 z =' x x x ' xx ∂y 2∂2 z ∂2 z f (e cos y ) ⋅ (-e sin y )⋅ (-ex 2x sin y )+ f (e cos y ) ⋅ (-e cos y )由 ∂x 2 + ∂y 2= (4 z + e cos y )e ，代入得，f '(e x cos y )⋅e 2x = [4 f (e x cos y )+ e x cos y ]e 2x即f '(e x cos y ) - 4 f (e x cos y ) = e x cos y ，令e xcos y =t , 得 f '(t ) - 4 f (t ) = t特征方程 λ2- 4 = 0,λ= ±2得齐次方程通解 y = c e 2t + c e -2t22014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二x⎰ ⎰⎰xxx xaauaa设特解 y * = at + b ，代入方程得 a = - 1,b = 0 ，特解 y *= - 1 t4 4 则原方程通解为 y =f (t ) = c e 2t + c e -2t - 1t1 24 由 f (0) = 0, f '(0 ) = 0 ，得c = 1 , c = - 1 , 则1 16 216y =f (u ) = 1 e 2u - 1 e -2u - 1u .(19)(本题满分 10 分)16 16 4 设函数 f (x ), g (x ) 在区间[a , b ] 上连续，且 f (x ) 单调增加，0 ≤ g ( x ) ≤ 1 ，证明：（I ）0 ≤ ⎰a g (t )dt ≤ x - a , x ∈[a , b ] ,b（II）a + ag (t )dt f (x ) d x ≤ bf (x ) g(x )dx .aa【解析】（I ）由积分中值定理 ⎰ag (t ) d t = g (ξ)(x - a ),ξ∈[a , x ]0 ≤ g ( x ) ≤ 1 ，∴0 ≤ g (ξ)( x - a ) ≤ (x - a )∴0 ≤ ⎰a g (t ) dt ≤ (x - a )（II ）直接由0 ≤ g ( x ) ≤ 1 ，得到0 ≤ ⎰a g (t ) d t ≤ ⎰a 1dt = (x - a )（II ）令 F (u ) =⎰u f (x ) g (x )dx - ⎰a +⎰a g (t )dtf F ' (u ) = f (u )g (u ) - f (a + ⎰ug (t )dt )⋅ g (u ) = g (u ) ⎡ f (u ) - f (a + ⎰ug (t )dt )⎤(x )dx⎢⎣a⎥⎦uu由（I ）知0 ≤⎰a g (t ) d t ≤ (u - a )∴ a ≤ a + ⎰a g (t )dt ≤ u又由于 f ( x ) 单增，所以 f (u ) - f (a +⎰u g (t )dt )≥ 0∴ F ' (u ) ≥ 0，∴ F (u ) 单调不减，∴ F (u ) ≥ F (a ) = 0取u = b ，得 F (b ) ≥ 0 ，即（II ）成立.2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二nx x x x 1 (20)(本题满分 11 分)设函数 f (x) =1+ x, x ∈[0,1] ，定义函数列 f 1 (x ) = f (x ), f 2 (x ) = f ( f 1 (x )), , f n (x ) = f ( f n -1 (x )), ，记 S n 是由曲线 y = f n (x ) ，直线 x = 1及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim nS . n →∞【解析】 f 1 (x ) =1+ x , f 2 (x ) = 1+ 2x , f 3 (x ) = 1+ 3x , , f n(x ) = 1+ nx,x + 1 - 1 ∴ S = f (x )dx = xdx = 1n n dx n⎰0 n1 1 1 1⎰1+ nx⎰1 111+ nx1n ⎰01dx - n⎰01+ nxdx = - ln(1+ nx ) 0 = 1 - 1ln(1+ n ) n n 2∴lim nS = 1- lim ln(1 + n ) = 1- lim ln(1 + x ) = 1- lim 1 = 1- 0 = 1n →∞ nn →∞ nx →∞x x →∞ 1+ x (21)(本题满分 11 分)已 知 函 数f (x , y ) 满 足∂f= 2( y +1) ， 且 ∂yf ( y , y ) = ( y +1)2- (2 - y ) ln y ,求 曲 线f (x , y ) = 0 所围成的图形绕直线 y = -1旋转所成的旋转体的体积.∂f 【解析】因为∂y= 2( y +1) ,所以 f (x , y ) = y 2 + 2 y +ϕ(x ), 其中ϕ(x ) 为待定函数.又因为 f ( y , y ) = ( y +1)2- (2 - y )ln y , 则ϕ( y ) = 1 - (2 - y )ln y ，从而f (x , y ) = y 2 + 2 y +1 - (2 - x )ln x = ( y +1)2 - (2 - x )ln x .令 f (x , y ) = 0, 可得( y +1)2= (2 - x )ln x ，当 y = -1时， x = 1 或 x = 2 ，从而所求的体积为222V = π⎰1 ( y + 1) dx = π⎰1 (2 - x )ln xdx= π ⎛ x2⎫⎰1 ln xd 2x - 2 ⎪ ⎝⎭ =xn n 2 212014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二⎝ ⎭3 3 3 3 3 ⎡ x 2 ⎤ 22 ⎛ x ⎫ = π⎢ln x (2x - 2 )⎥ -π⎰1 2 - 2⎪dx⎣ ⎦1 ⎝ ⎭ = π x 2 25 ⎛5 ⎫(22)(本题满分 11 分)2 l n 2 -π(2 x - 4 ) 1 = π2 ln 2 -π⋅ 4 = π 2 ln 2 - 4 ⎪.⎛1 - 2 3 - 4 ⎫ 设矩阵 A =0 1 -1 1 ⎪ ， E 为三阶单位矩阵.⎪ 1 2 0 - 3⎪ ⎝ ⎭(I) 求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； (II) 求满足 AB = E 的所有矩阵 B .【解析】⎛1 -2 3 -4 1 0 0 ⎫ ⎛ 1 -2 3 -4 1 0 0 ⎫ ( A E ) =0 1 -1 1 0 1 0 ⎪ → 0 1 -1 1 0 1 0 ⎪⎪ ⎪ 1 2 0 -3 0 0 1 ⎪ 0 4 -3 1 -1 0 1 ⎪⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎛1 -2 3 -4 1 0 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 1 2 6 -1⎫→0 1 -1 1 0 1 0 ⎪ →0 1 0 -2 -1 -3 1 ⎪ ,⎪ ⎪ 0 0 1 -3 -1 -4 1 ⎪ 0 0 1 -3 -1 -4 1 ⎪⎝⎭ ⎝ ⎭(I) Ax = 0 的基础解系为ξ= (-1, 2, 3,1)T(II) e = (1, 0, 0)T, e = (0,1, 0 )T, e = (0, 0,1)T123Ax = e 的通解为 x = k ξ+ (2, -1, -1, 0)T = (2 - k , -1+ 2k , -1+ 3k , k )T11111 1Ax = e 的通解为 x = k ξ+ (6, -3, -4, 0)T = (6 - k , -3 + 2k , -4 + 3k , k )T222222Ax = e 3 的通解为 x = k ξ+ (-1,1,1, 0)T = (-1- k ,1+ 2k ,1+ 3k , k )T⎛ 2 - k 1 -1+ 2k 6 - k 2 - 3 + 2k -1- k 3 ⎫ 1+ 2k ⎪∴ B = 1 2 3 ⎪（ k , k , k 为任意常数）-1+ 3k - 4 + 3k 1+ 3k ⎪1231 2 3⎪⎝ k 1k 2 (23)(本题满分 11 分)k 3 ⎭ ⎛1 1 1 1 1⎫ 1⎪ ⎛ 0 00 1 ⎫0 2 ⎪证明 n 阶矩阵 ⎪ 与 ⎪ 相似. ⎪ ⎪ 1 1 1⎪ 0 0 n ⎪⎝ ⎭ ⎝⎭2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二1 ⎪ n ⎪ ⎛1⎫ ⎪【解析】已知 A = ⎪ (1⎪ ⎝ ⎭⎛1 ⎫2 ⎪1) ， B = ⎪ (0 0 ⎪ ⎝⎭1) ，则 A 的特征值为 n ， 0 ( n -1重).A 属于λ= n 的特征向量为(1,1, ,1)T ； r ( A ) = 1，故 Ax = 0 基础解系有 n -1个线性无关的解向量， 即 A 属于 λ= 0 有 n -1 个线性无关的特征向量； 故 A 相似于对角阵⎛ n ⎫0 ⎪ Λ = ⎪ . ⎪0⎪ ⎝⎭ B 的特征值为 n ， 0 ( n -1重)，同理 B 属于λ= 0 有 n -1个线性无关的特征向量，故 B相似于对角阵Λ .由相似关系的传递性， A 相似于 B .。