第五章 测量误差概述

第五章测量误差的基本知识第一节概述一、测量误差测量工作的实践表明，在任何测量工作中，无论是测角、测高差或量距，当对同一量进行多次观测时，不论测量仪器多么精密，观测进行得多么仔细，测量结果总是存在着差异，彼此不相等。

例如，反复观测某一角度，每次观测结果都不会一致，这是测量工作中普遍存在的现象，其实质是每次测量所得的观测值与该量客观存在的真值之间的差值，这种差值称为测量误差。

即测量误差=观测值-真值用∆表示测量误差，X表示真值，l表示观测值，则测量误差可用下式（5-1）表示：∆=l－X（5-1）二、测量误差的来源产生测量误差的因素是多方面的，概括起来有以下三个因素：1、仪器精度的有限性，测量中使用的仪器和工具不可能十分完善，致使测量结果产生误差。

例如:用普通水准尺进行水准测量时，最小分划为5mm，就难以保证毫米数的完全正确性。

经纬仪、水准仪检校不完善产生的残余误差影响，例如：水准仪视准轴部平行于水准管轴，水准尺的分划误差等。

这些都会使观测结果含有误差。

2、观测者感觉器官鉴别能力的局限性；会对测量结果产生一定的影响，例如对中误差、观测者估读小数误差、瞄准目标误差等。

3、观测过程中，外界条件的不定性，如温度、阳光、风等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响,例如:温度变化使钢尺产生伸缩，阳光照射会使仪器发生微小变化，较阴的天气会使目标不清楚等。

通常把以上三种因素综合起来称为观测条件，可想而知观测条件好，观测中产生的误差就会小，反之，观测条件差，观测中产生的误差就会大。

但是不管观测条件如何，受上述因素的影响，测量中存在误差是不可避免的。

应该指出，误差与粗差是不同的，粗差是指观测结果中出现的错误，如测错、读错、记错等，不允许存在，为杜绝粗差，除了加强作业人员的责任心，提高操作技术外，还应采取必要的检校措施。

二、测量误差的分类测量误差按其性质不同可分为系统误差和偶然误差。

1、系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值大小或符号上保持不变或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

例如用名义长度为30米，而实际长度为30.004米的钢尺量距，每量一尺就有0.004米的系统误差，它就是一个常数。

又如水准测量中，视准轴与水准管轴不能严格平行，存在一个微小夹角i ，i 角一定时在尺上的读数随视线长度成比例变化，但大小和符号总是保持一致性。

系统误差具有累计性,对测量结果影响甚大,但它的大小和符号有一定的规律,可通过计算或观测方法加以消除,或者最大限度地减小其影响,如尺长误差可通过尺长改正加以消除,水准测量中的i 角误差,可以通过前后视线等长，消除其对高差的影响。

2、偶然误差在相同的观测条件下,对某量进行一系列观测,如出现的误差在数值大小和符号上均不一致,且从表面看没有任何规律性,这种误差称为偶然误差。

如水准标尺上毫米数的估读，有时偏大，有时偏小。

由于大气的能见度和人眼的分辨能力等因素使照准目标有时偏左，有时偏右。

偶然误差亦称随机误差,其符号和大小在表面上无规律可循，找不到予以完全消除的方法，因此须对其进行研究。

因为在表面上是偶然性在起作用，实际上却始终是受其内部隐蔽着的规律所支配，问题是如何把这种隐蔽的规律揭示出来.第二节 偶然误差的特性大量的实践证明,在相同的观测条件下对某量进行一系列观测所出现的偶然误差呈现出一定的规律性。

观测次数愈多，这种规律愈明显。

例如，在相同的观测条件下，观测了96个三角形的内角，因观测存在误差，每一个三角形内角之和i l 都不等于真值180°，其差值∆称为三角形内角和的真误差.即：︒-=180i i l △ （5-2）,将96个三角形内角和的真误差的大小和正负按一定的区间统计误差个数，列表于5-1中。

由表5-1可以看出： （1）小误差的个数比大误差个数多；（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；（3）最大误差不超过3.0‡。

人们反复实践和认识，总结出偶然误差具有如下的特性：1、有限性：在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2、集中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3、对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等；4、抵偿性：偶然误差的算术平均值,随着观测次数的无限增加而趋向于零，即：]0=∞→nlimn ∆ （5-3）式中： n 为观测次数；[]321＋△△△△+=………n △。

以上四个特性中，第一个特性说明误差的范围；第二个特性说明误差绝对值大小的规律；第三个特性说明误差符号出现的规律；第四个特性说明了偶然误差具有互相抵消的性能，因此采用增加观测次数，取其算术平均值，可以大大减弱偶然误差的影响。

这四个特性是误差理论的基础。

由于偶然误差本身的特性，不能用改变观测方法或计算改正的办法加以消除，只能根据偶然误差的理论加以处理，以减小它对测量成果的影响，求出最可靠的结果。

第三节 评定精度的标准一、评定精度的标准为了对测量成果的精确程度作出评定,有必要建立一种评定精度的标准,通常用中误差,相对误差和容许误差来表示。

(一) 中误差设在相同观测条件下，对真值为X 的一个未知量l 进行n 次观测,观测值结果为n l l l 、、21，每个观测值相应的真误差(真值与观测值之差)为△1、△2、……,△n 。

则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准,用m 表示,称为观测值中误差。

[]nm △△=（5-4）式中： -n 观测次数m —称为观测值中误差(又称均方误差)[]n n ∆∆∆∆∆∆∆∆+++= 2211为各个真误差△的平方的总和。

上式表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值，当一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。

【例题5-1】甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了7次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：甲组： +2〞、-2〞、+3〞、+5〞、-5〞、-8〞、+9〞 乙组： -3〞、+4〞、0〞、-9〞、-4〞、+1〞、+13〞 则甲、乙两组观测值中误差为："±=+-+-+++-+±=5.579)8()5(53)2(22222222甲m"±=++-+-++-±=3.67131)4()9(4)3(222222乙m由此可知，乙组观测精度低于甲组,这是因为乙组的观测值中有较大误差出现，因中误差能明显反映出较大误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为被广泛采用的一种评定精度的标准。

(二)相对误差测量工作中对于精度的评定，在很多情况下用中误差这个标准是不能完全描述对某量观测的精确度的。

例如，用钢卷尺丈量了100m 和1000m 两段距离，其观测值中误差均为±0.1m ，若以中误差来评定精度，显然就要得出错误结论，因为量距误差与其长度有关，为此需要采取另一种评定精度的标准，即相对误差。

相对误差是指绝对误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分子为1，分母为整数形式表示。

T1==观测值误差的绝对值相对误差 （5-5）绝对误差指中误差、真误差、容许误差、闭合差和较差等，它们具有与观测值相同的单位。

上例前者相对中误差为1000110010=.，后者为10000110001.0=很明显，后者的精度高于前者。

相对误差常用于距离丈量的精度评定，而不能用于角度测量和水准测量的精度评定，这时因为后两者的误差大小与观测量角度、高差的大小无关。

(三) 极限误差由偶然误差第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

根据误差理论和大量的实践证明，大于两倍中误差的偶然误差，出现的机会仅有5℅，大于三倍中误差偶然误差的出现机会仅为3‟。

即大约在300次观测中，才可能出现一个大于三倍中误差的偶然误差，因此,在观测次数不多的情况下，可认为大于三倍中误差的偶然误差实际上是不可能出现的。

故常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，称为极限误差，用限△表示：m 3=限△ （5-6）在实际工作中，一般常以两倍中误差作为极限值。

m 2=限△ （5-7）如观测值中出现了超过2m 的误差，可以认为该观测值不可靠，应舍去不用.第二节 算术平均值一、算术平均值在相同的观测条件下，对某一量进行n 次观测，通常取其算术平均值作为未知量最可靠值。

例如，对某段距离丈量了6次，观测值分别为654321l l l l l l 、、、、、，则算术平均值x 为：6654321l l l l l l x +++++=（5-8）若观测 n 次，则[]n l x /=。

下面简要论证为什么算术平均值是最可靠值。

设某未知量的真值为X ，观测值为)321(n i l i 、、=其真误差为i △则一组观测值的真误差为：X l -=11△Xl -=22△X l n n -=△以上各式左右取和并除n 得：[][]X nl n-=∆将式（5-8）代入上式并移项得：[]X nx +=∆式中：[]n /△为n 各观测值真误差的平均值。

根据偶然误差的第四特性，当∞→n 时，[]n /△趋于0，则有：X x n =∞→lim由上式可看出，当观测次数n 趋于无限多时，观测值的算术平均值就是该未知量的真值。

但实际工作中，通常观测次数总是有限的，因而有限次观测情况下，算术平均值与各个观测值比较，最接近于真值，故称为该量的最可靠值或最或然值。

当然，其可靠程度不是绝对的，它随着观测值的精度和观测次数而变化。

二、观测值的改正数设某量在相同的观测条件下，观测值为n l l l 、、21，观测值的算术平均值为x ，则算术平均值与观测值之差称为观测值改正数，用ν表示，则有：11l x v -=22l x v -=n n l x v -= （5-9）将等式两端分别取和得：[][]l nx -=ν 将[]nl x =代入上式得：[]0=ν （5-10）式5-10 说明在相同观测条件下，一组观测值改正数之和恒等于零，此式可以作为计算工作的校核。

三、用改正数求观测值的中误差前述中误差的定义式是在已知真误差的条件下，计算观测值的中误差，而实际工作中观测值的真值往往是不知道的，故真误差也无法求得，例如未知量高差，距离等。

因此可用算术平均值代替真值，用观测值的改正数求观测值中误差，即：[]1-±=n vv m (5-11)式中： []n n v v v v v v vv 2211+=n —观测次数m —观测值中误差（代表每一次观测值的精度）观测值的最可靠值是算术平均值，算术平均值的中误差用“M ”表示，按下式计算：[])1(-±==n n nm M νν (5-12)式（5-12）表明算术平均值的中误差等于观测值中误差的n1倍，所以增加观测次数可以提高算术平均值的精度。