第5章测量误差基本知识讲课教案
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测量误差基本知识(测)课件
03
随机误差
定义与特点
定义
随机误差是指在多次测量中，由于随 机因素的影响而引起的测量值之间的 差异。
特点
随机误差具有随机性、独立性和不可 预测性，每次测量的结果都是独立的 ，无法通过一次测量结果来预测下一 次的测量结果。
产生原因与消除方法
产生原因
随机误差的产生主要是由于测量过程中一些随机因素的影响 ，如测量环境的温度、湿度、气压等微小波动，测量仪器的 微小震动、测量操作者的微小疲劳等。
误差的表示与处理
表示
绝对误差、相对误差、引用误差。
处理
通过校准、修正、统计方法来减小误差，提高测量精度。
02
系统误差
定义与特点
系统误差是由于测量系统中一些固定因素的影响而导致的误差，具有可预测性和 重复性。
系统误差是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次测量时，误差的大小和符 号保持不变或按照一定的规律变化。这种误差不是偶然的，而是由于测量系统中 某些固定因素引起的。
04
过失误差
定义与特点
定义
过失误差是由于测量过程中人为的、 可以避免的原因造成的误差。
特点
具有可预测性和可控制性，通常会导 致测量结果系统性偏高或偏低。
产生原因与预防措施
产生原因
测量人员操作不规范、读数错误、设备 使用不当等。
VS
预防措施
加强测量人员培训，确保掌握正确的操作 方法和流程；实施定期校准和维护测量设 备；建立严格的测量质量控制体系。
消除方法
无法完全消除随机误差，但可以通过增加测量次数取平均值 的方法减小随机误差的影响。同时，保持测量环境的稳定、 选择高精度的测量仪器、提高测量操作者的技能水平等也可 以减小随机误差。
工程测量5章测量误差教案
当误差数n→∞ ，误差区间dΔ→0 ，
小长条矩形顶边折线变成光滑曲线——正态分布密度曲线，
函数式——
y f ()
1
2
e 2 2
2
正态分布概率密度函数，
德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现。
y f ()
1
2
e 2 2
2
衡量观测值精度的标准
(1) 标准差与中误差
对真值 进行了n次等精度独立观测， 观测值——l1， l2 ，…， ln
已知：mx1,mx2,……mxn 求：my=?
一.观测值的函数
例：高差
h a b
和或差函数
平均距离
S平均
1 n
(s1
s2
sn
)
线性函数
实地距离 D M • d
倍数函数
三角边 a b sin sin
一般函数
坐标增量 x D • cos
……
一般函数
（一）线性函数
z k x k x k x
(1)列出函数式；
(2)对函数式线性化(全微分)；
(3)套用误差传播定律，写出中误差式。
例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02cm，
求矩形的面积中误差mp。
P ab
dP bda adb
m b2m2 a2m2
p
a
b
(400 0.02)2 (500 0.02)2
a
偶然误差的特性
~
定义—— i li l
大部分情况下，真值
~l
未知，求不出Δ。
某些情形中，观测量函数的真值已知，
案例，三角形内角和闭合差ω定义为
测量学教案第五章 测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。
设某观测量的真值为X表示。
若以li（i=1,2,…,n）表示对某量的n次观测值，并以△表示真误差，则真误差可定义为观测值与真值之差，即若用x i 表示X的估值，v i表示改正数，则xi =li+ vivi = xi -li观测误差来源：来源于以下三个方面：观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
l 观测条件观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为～。
观测条件与观测成果精度的关系：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为观测精度相同。
等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测研究误差理论的目的由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。
l 研究误差理论所解决的问题：（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。
测量误差产生的原因：1、仪器的原因；2、观测者的原因；3、外界环境的原因。
测量误差的分类:测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：系统误差和偶然误差。
5.1 系统误差5.1.1 定义在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
5.1.2 特点具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
工程测量第五篇(测量误差的基本知识)课件
重复性
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
2023 WORK SUMMARY
工程测量第五篇(测量 误差的基本知识)课件
REPORTING
CATALOGUE
• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
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• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。
测量误差的基本知识课件
测量仪器突然出现故 障或受到外界干扰造 成的误差。
粗大误差判别与处理方法
判别方法
常用的判别方法有拉依达准则、肖维勒准则和格拉布斯准则等。这些方法都是 基于统计原理进行判断的，当某个测量值的残差超过一定界限时，就认为该测 量值含有粗大误差。
处理方法
当确认某个测量值含有粗大误差时，应该将其剔除并重新进行测量。如果粗大 误差是由于测量仪器或测量方法的问题引起的，则应该对仪器或方法进行检修 或改进。
方法误差
由于测量方法本身不完善或选 用不当而引起的误差。
人员误差
由于测量人员主观因素、技能 水平等引起的误差。
测量不确定度评定方法
A类评定
通过多次重复测量，利用统计方法计算实验标准 偏差，从而得到测量不确定度。
B类评定
基于经验、资料或其他信息来源，对测量不确定 度进行估计和评定。
合成不确定度
将A类评定和B类评定得到的不确定度进行合成， 得到总的测量不确定度。
提高操作人员技能水平，规范操作过程
加强培训和实践
对操作人员进行专业培训和实践，使其熟练掌握测量原理、操作方法和数据处理 技能，提高测量的准确性和可靠性。
规范操作过程
制定详细的操作规程和注意事项，确保操作人员严格按照规定进行操作，避免人 为误差的产生。
加强数据处理和分析能力，提高结果可靠性
数据处理技能
测量人员生理特点等因素所造成的误差。
随机误差处理方法
增加测量次数 通过增加测量次数，可以减小随机误差的影响。因为随机 误差具有抵偿性，多次测量的平均值会逐渐趋近于真值。
改进测量方法 通过改进测量方法，可以减小随机误差的影响。例如，采 用更精确的仪器、更合理的观测顺序等。
利用统计方法处理数据 通过利用统计方法处理数据，可以估计随机误差的大小， 从而判断测量结果的可靠性。例如，可以利用正态分布的 性质来计算置信区间和置信度等。
第5章-测量误差的基本知识学习教案
第18页/共51页
第十九页，共52页。
二、误差传播(chuánbō)定律的应用 •要正确(zhèngquè)列出函
数式 例：用长30m的钢尺(ɡ ānɡ chǐ )丈量了10尺段，若每尺段的中误差ml=±5mm，求全长L及其中误差。
L 10l 10 30 300m mL 10ml 50mm （错误） L l1 l2 l10 mL2 ml2 ml2 ml2 10ml2 mL 10ml 16mm （正确）
观测者的自身条件：由于观测者感官鉴别能力所限以及技 术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产 生误差。
在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在 观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细 作业外，还必须(bìxū)采取必要的检核措施。
第2页/共51页
第三页，共52页。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件 不同的各次观测，称为不等精度观测。
第1页/共51页
第二页，共52页。
外界条件：主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清 晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结 果中带有误差。
仪器条件：仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪 器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量 带来误差。
测 绘 工 作 中 称必须 的那几 次观测 为必要 观测， 增 多 的 几 次 观测 为多余 观测。
如 ， 为 了 得 到(dédào)一 个 三 角形的 三个内 角的值 ，实测 中观测 其中两 个角， 第三个 角可通 过计算 得到(dédào)， 为 了 避免错 误和提 高精度 对三个 角全部 观测， 第三个 角的观 测就是 多余观 测，有 了多余 观测就 可以求 角度改 正数， 求出其 最或然 值。
长度的测量误差教学教案
长度的测量误差教学教案第一章：测量误差的概念与分类1.1 教学目标让学生了解测量误差的概念让学生掌握测量误差的分类1.2 教学内容测量误差的概念系统误差与偶然误差的区别测量误差的应用场景1.3 教学方法讲授法案例分析法1.4 教学步骤1. 引入话题：讨论日常生活中遇到的测量问题2. 讲解测量误差的概念3. 通过案例分析，讲解系统误差与偶然误差的区别4. 总结测量误差的应用场景第二章：测量误差的来源与减小方法2.1 教学目标让学生了解测量误差的来源让学生掌握减小测量误差的方法2.2 教学内容测量误差的来源减小测量误差的方法2.3 教学方法讲授法实践操作法2.4 教学步骤1. 讲解测量误差的来源2. 演示减小测量误差的方法3. 让学生进行实践操作，加深理解第三章：测量仪器的精度与选用3.1 教学目标让学生了解测量仪器的精度让学生掌握测量仪器的选用方法3.2 教学内容测量仪器的精度测量仪器的选用方法3.3 教学方法讲授法案例分析法3.4 教学步骤1. 讲解测量仪器的精度2. 通过案例分析，讲解测量仪器的选用方法3. 总结测量仪器的选用原则第四章：测量数据的处理与分析4.1 教学目标让学生了解测量数据的处理方法让学生掌握测量数据的分析方法4.2 教学内容测量数据的处理方法测量数据的分析方法4.3 教学方法讲授法实践操作法4.4 教学步骤1. 讲解测量数据的处理方法2. 讲解测量数据的分析方法3. 让学生进行实践操作，加深理解第五章：测量误差的应用与控制5.1 教学目标让学生了解测量误差的应用让学生掌握测量误差的控制方法5.2 教学内容测量误差的应用测量误差的控制方法5.3 教学方法讲授法案例分析法5.4 教学步骤1. 讲解测量误差的应用2. 通过案例分析，讲解测量误差的控制方法3. 总结测量误差控制的原则和方法第六章：实际测量操作中的误差控制6.1 教学目标让学生掌握实际测量操作中的误差控制技巧培养学生进行精确测量的能力6.2 教学内容实际测量操作中的常见误差误差控制的基本原则具体误差控制技巧的实践操作6.3 教学方法实践操作法小组讨论法6.4 教学步骤1. 演示实际测量操作中的常见误差2. 讲解误差控制的基本原则3. 分组进行实践操作，让学生应用误差控制技巧4. 小组讨论，分享操作心得和误差控制经验第七章：测量数据的可靠性评估7.1 教学目标让学生理解测量数据可靠性评估的重要性让学生掌握评估测量数据可靠性的方法7.2 教学内容测量数据可靠性评估的指标测量数据可靠性评估的流程评估结果的应用7.3 教学方法讲授法案例分析法7.4 教学步骤1. 讲解测量数据可靠性评估的指标2. 介绍测量数据可靠性评估的流程3. 通过案例分析，展示评估过程和结果的应用第八章：现代测量技术在误差控制中的应用8.1 教学目标让学生了解现代测量技术的发展让学生掌握现代测量技术在误差控制中的应用8.2 教学内容现代测量技术的概述常用现代测量技术在误差控制中的应用案例8.3 教学方法讲授法视频演示法8.4 教学步骤1. 概述现代测量技术的发展趋势2. 通过视频演示，介绍现代测量技术在误差控制中的应用3. 讨论现代测量技术对误差控制带来的影响和优势第九章：测量误差在工程中的应用与案例分析9.1 教学目标让学生了解测量误差在工程中的实际应用培养学生解决工程中测量误差问题的能力9.2 教学内容测量误差在工程中的典型应用场景工程案例分析9.3 教学方法案例分析法小组讨论法9.4 教学步骤1. 介绍测量误差在工程中的典型应用场景2. 分析具体的工程案例，让学生识别和解决测量误差问题3. 分组讨论，分享案例分析和解决方案第十章：总结与展望10.1 教学目标让学生回顾测量误差学习的主要内容让学生展望测量误差未来发展趋势10.2 教学内容测量误差教学总结测量误差未来发展趋势10.3 教学方法讲授法头脑风暴法10.4 教学步骤1. 总结本课程的主要内容和学习成果2. 引导学生思考测量误差的未来发展趋势3. 组织头脑风暴，鼓励学生提出创新性观点和研究方向重点和难点解析本文主要介绍了长度的测量误差相关知识，包括测量误差的概念、分类、来源、减小方法、仪器的精度与选用、数据的处理与分析、应用与控制等内容，并通过实际操作、案例分析和现代测量技术等教学方法，帮助学生深入理解和掌握测量误差的相关知识和技能。
工程测量——测量误差的基本知识5(教案).docx
第五章测量谋羌的基木知识内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标(中谋差、相对误差、容许误差)的概念；了解误差传播定律的应用。
重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。
难点：屮谋并、相对谋羌、容许谋并的概念；谋羌传播定律的应用。
§5.1测最谋羌的概念测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
一、系统误差(system error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如谋差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的彩响人，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
一、偶然误差(accident eiroi*)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种谋差称为偶然谋差。
但具有一定的统计规律。
2、特点：(1)具有一定的范围。
(2)绝対值小的误差出现概率大。
(3)绝对值相等的正、负谋差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即:谋并概率分布曲线呈正态分布，偶然误寿要通过的一定的数学方法（测輦平并）来处理。
此外，在测量工作中述耍注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
偶然误差分布频率直方图§ 5.2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一、中误差方差:某量的真谋差，[]——求和符号。
规律：标准寿二估值（屮课差m ）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有:1＞用真误差（true error ）来确定中误差------ 适用于观测量真值已知时。
真误差△——观测值与其真值Z差，冇：A, = 2|"Z标准差咋段中误差（标准差估值）…收，n为观测值个数。
［例题］：对10个三角形的内角进行了观测，根据观测值屮的偶然谋差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。
第五章测量误差PPT课件
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
第2页/共34页
2、测量误差的种类及处理方法
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
§5.1 测量误差概述
◆测量与观测值 ◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
第1页/共34页
§5.1 测量误差概述
1、 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X ● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
Z K X
ZZ K 2 XX
除以n 倍函数误差
ZZ K 2 XX
n
n
mZ K mx
例:在1:1000地形图上量得图上距离d=123.456mm, 其误差m d=±0.1mm，则其实地距离D及其误差m D:
D=123.456m 第26页m/共3D4=页±0.1m
三、线性函数
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第5章测量误差基本知识
一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。
19
区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
f (x)dx 1 则函数 f ( x) 是连续型随 机变量X的分布密度函数
5
如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
6
三.偶然误差的特性
1.偶然误差的定义：
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，
得n个观测值 l1,l2, ,ln，则产生了n个真误 差 1,2,,n：
i Xli
(5-1-1)
2.4
14
概率
如果函数 f ( x)是连续型 随机变量X的分布密度函数
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
பைடு நூலகம்
f (x)dx 1
15
正态分布
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
2
x
0
若 0, 1
则 f (x)
1
(x)2
e 2
2
16
两组观测值中误差图形的比较：
k/d
抵偿
性：当观
测次数无 限增大时， 偶然误差 的平均数
趋近于零。
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 1X0 =
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测 中，偶然误差应小于限 值。
渐降性：误差小的出现 的概率大
对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等
变量在这个区间内取值的概率
18
当X
~
N
(
,
2
)时
随机变量 X服从参数
为 , 2的正态分布
f (x) 1
f ( x) P ( X ) 0.6826
2
f ( x) P ( 2 X 2 ) 0.9545 2
3
f ( x) P ( 3 X 3 ) 0.9973 3
真真观
误值测
差
值
7
例如：
对358个三角形在相同的
观测条件下观测了全部内
角，三角形内角和的误差
i为
i= 180 –(i +i+
I)
其结果如表6-1，图6-
1,
分析三角形内角和的误 差I的规律。
8
误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12
12~15 15~18 18~21 21~24 24以上
结论：观测误差不可避免(粗差除外)
2
二、测量误差的分类与对策
（一）分类
系统误差——在相同的观测条件下，误差
出现在符号和数值相同，或按一定的规律
变化。
例：
误差
处理方法
钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt
水准仪视准轴误差i
计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
…… 3
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 偶然误差——在相同的观测条件下，误 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性，但大量的误差 有“统计规律”
例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
粗差——特别大的误差（错误）
4
（二）处理原则
系统误差——找出规律，加以改正 偶然误差——多余观测，制定限差 粗差——细心，多余观测
+8
64
8
179° 59ˊ 57" +3
9
180° 00ˊ 00"
0
0
9
179° 59ˊ 58" +2
4
179° 59ˊ 57"
+3
9
10
180° 00ˊ 03"
-3
9
180° 00ˊ 01"
-1
1
Σ ||
24
72
24
130
中误差 m1
2 2 . 7 n
m2
2 3 . 6 n
1
2
n
1
3
179° 59ˊ 58" +2
4
180° 00ˊ 07"
-7
49
4
179° 59ˊ 56" +4
16
180° 00ˊ 02"
-2
4
5
180° 00ˊ 01" -1
1
180° 00ˊ 01"
-1
1
6
180° 00ˊ 00" 0
0
179° 59ˊ 59"
+1
1
7
180° 00ˊ 04" -4
16
179° 59ˊ 52"
抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。
f (x)
1
(x)2
e 2
2
11
§5 -2评定精度的标准
一、方差和标准差（中误差）
方差： 2 D ( )
2 f ( )d
n
离散型 2
p 2, ii
i 1
n
当 p
1 , 2
2
中误差
i
i 1
, 叫标准差
in
n
式中： 是观测值 l 的偶然误差
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
17
正态分布的特征
正态分布密度以 x为对称轴,并在 x 处
达到最大。 当 x 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴
为渐近线。
用求导方法可知，在 x 处f(x)有两
个拐点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机
Σ
表6-1
负误差
K
K/n
45 0.126
40 0.112
33 0.092
23 0.064
17 0.047
13 0.036
6 0.017
4 0.011
0
0
181 0.505
偶然误差的统计
正误差 K K/n 46 0.128
误差绝对值
K
K/n
91 0.254
41 0.115 81 0.226
33 0.092 66 0.184
i
i
12
§5 -2评定精度的标准
一、中误差
m [] n
平均误差
n
二、相对中误差
l 13
按观测值的真误差计算中误差
次序
第一组观测
第二组观测
观测值 l
Δ
Δ2
观测值 l
Δ
Δ2
1
180° 00ˊ 03" -3
9
180° 00ˊ 00"
0
0
2
180° 00ˊ 02" -2
4
159° 59ˊ 59"
+1
21 0.059 44 0.123
16 0.045 33 0.092
13 0.036 26 0.073
5 0.014 11 0.031
2 0.006 6 0.017
00
0
0
177 0.495 358 1.000
9
有限性：
偶然误差应
小于限值。
渐降性：
误差小的出 现的概率大
对称性：
绝对值相等 的正负误差 概率相等
一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。
19
区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
f (x)dx 1 则函数 f ( x) 是连续型随 机变量X的分布密度函数
5
如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
6
三.偶然误差的特性
1.偶然误差的定义：
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，
得n个观测值 l1,l2, ,ln，则产生了n个真误 差 1,2,,n：
i Xli
(5-1-1)
2.4
14
概率
如果函数 f ( x)是连续型 随机变量X的分布密度函数
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
பைடு நூலகம்
f (x)dx 1
15
正态分布
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
2
x
0
若 0, 1
则 f (x)
1
(x)2
e 2
2
16
两组观测值中误差图形的比较：
k/d
抵偿
性：当观
测次数无 限增大时， 偶然误差 的平均数
趋近于零。
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 1X0 =
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测 中，偶然误差应小于限 值。
渐降性：误差小的出现 的概率大
对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等
变量在这个区间内取值的概率
18
当X
~
N
(
,
2
)时
随机变量 X服从参数
为 , 2的正态分布
f (x) 1
f ( x) P ( X ) 0.6826
2
f ( x) P ( 2 X 2 ) 0.9545 2
3
f ( x) P ( 3 X 3 ) 0.9973 3
真真观
误值测
差
值
7
例如：
对358个三角形在相同的
观测条件下观测了全部内
角，三角形内角和的误差
i为
i= 180 –(i +i+
I)
其结果如表6-1，图6-
1,
分析三角形内角和的误 差I的规律。
8
误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12
12~15 15~18 18~21 21~24 24以上
结论：观测误差不可避免(粗差除外)
2
二、测量误差的分类与对策
（一）分类
系统误差——在相同的观测条件下，误差
出现在符号和数值相同，或按一定的规律
变化。
例：
误差
处理方法
钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt
水准仪视准轴误差i
计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
…… 3
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 偶然误差——在相同的观测条件下，误 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性，但大量的误差 有“统计规律”
例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
粗差——特别大的误差（错误）
4
（二）处理原则
系统误差——找出规律，加以改正 偶然误差——多余观测，制定限差 粗差——细心，多余观测
+8
64
8
179° 59ˊ 57" +3
9
180° 00ˊ 00"
0
0
9
179° 59ˊ 58" +2
4
179° 59ˊ 57"
+3
9
10
180° 00ˊ 03"
-3
9
180° 00ˊ 01"
-1
1
Σ ||
24
72
24
130
中误差 m1
2 2 . 7 n
m2
2 3 . 6 n
1
2
n
1
3
179° 59ˊ 58" +2
4
180° 00ˊ 07"
-7
49
4
179° 59ˊ 56" +4
16
180° 00ˊ 02"
-2
4
5
180° 00ˊ 01" -1
1
180° 00ˊ 01"
-1
1
6
180° 00ˊ 00" 0
0
179° 59ˊ 59"
+1
1
7
180° 00ˊ 04" -4
16
179° 59ˊ 52"
抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。
f (x)
1
(x)2
e 2
2
11
§5 -2评定精度的标准
一、方差和标准差（中误差）
方差： 2 D ( )
2 f ( )d
n
离散型 2
p 2, ii
i 1
n
当 p
1 , 2
2
中误差
i
i 1
, 叫标准差
in
n
式中： 是观测值 l 的偶然误差
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
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正态分布的特征
正态分布密度以 x为对称轴,并在 x 处
达到最大。 当 x 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴
为渐近线。
用求导方法可知，在 x 处f(x)有两
个拐点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机
Σ
表6-1
负误差
K
K/n
45 0.126
40 0.112
33 0.092
23 0.064
17 0.047
13 0.036
6 0.017
4 0.011
0
0
181 0.505
偶然误差的统计
正误差 K K/n 46 0.128
误差绝对值
K
K/n
91 0.254
41 0.115 81 0.226
33 0.092 66 0.184
i
i
12
§5 -2评定精度的标准
一、中误差
m [] n
平均误差
n
二、相对中误差
l 13
按观测值的真误差计算中误差
次序
第一组观测
第二组观测
观测值 l
Δ
Δ2
观测值 l
Δ
Δ2
1
180° 00ˊ 03" -3
9
180° 00ˊ 00"
0
0
2
180° 00ˊ 02" -2
4
159° 59ˊ 59"
+1
21 0.059 44 0.123
16 0.045 33 0.092
13 0.036 26 0.073
5 0.014 11 0.031
2 0.006 6 0.017
00
0
0
177 0.495 358 1.000
9
有限性：
偶然误差应
小于限值。
渐降性：
误差小的出 现的概率大
对称性：
绝对值相等 的正负误差 概率相等