同类项、合并同类项、升(降)幂排列

合并同类项、多项式的加减［教学目标］1. 会识别同类项、理解合并同类项的理论依据是加法交换律、加法结合律、乘法对加法的分配律的运用。

2. 会把一个多项式中的同类项进行合并。

3. 掌握多项式加减的一般步骤，通过练习，使学生能熟练地进行多项式的加减运算。

4. 会按某个字母的指数把多项式进行降（升）幂排列。

二. 重点、难点：1. 重点：合并同类项、多项式的加减。

2. 难点：合并同类项，按某个字母的指数把多项式进行降（升）幂排列。

三. 教学要点：1. 同类项的定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同，这样的项叫同类项。

2. 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项的法则：合并同类项时，只需把同类项的系数相加，所得的结果作系数，含字母的部分不变。

3. 去括号法则：（1）括号前是“＋”号，去括号时去掉括号与括号前的“＋”号，括号里每一项都不改变符号。

（2）括号前是“－”号，去括号时，去掉括号与括号前的“－”号，括号里的每一项都改变符号。

注意：如果利用结合律添括号，括号前是“＋”，添进括号里的项都不改变符号，括号前是“－”号，添进括号里的项都改变符号。

4. 整式的加减：整式的加减的实质是合并同类项。

整式加减的一般步骤：（1）如有括号，则先去括号。

（2）如果有同类项，再合并同类项。

说明：（1）不是同类项的就一定不能合并。

（2）合并同类项时交换某些项时要连同符号一起交换。

（3）合并同类项时要避免重复与遗漏，可先在同类项下面作上相同记号并进行合并。

5. 化简求值问题：已知代数式和代数式中字母的取值，求代数式的值，一般不直接将字母的取值代入代数式，而是先把代数式化简，然后再代入求值。

6. 把多项式按多项式中某字母的指数从大到小（或从小到大）的次序排列，称按这一字母的降幂或升幂排列。

【典型例题】例1. 下列各题中的两个项是不是同类项，为什么？（）与；（）与；（）与；（）与；（）与；（）与121221512333412533605222223323x y x y a b ab abc ab m n n m a - 解：（1）、（4）、（6）是同类项，（1）、（4）中两个项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，（6）中两项是常数项，常数项是同类项。

2.1.3同类项、多项式的升降幂排列一、复习巩固复习单项式和多项式的有关概念二、讲授新课：P64探究1.同类项、合并同类项2．升幂排列与降幂排列：这两种排列有一个共同点，那就是x 的指数是逐渐变小(或变大)的。

我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。

例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1，这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列。

按x 的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3，这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列。

3．例1：根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。

例如：按x 降幂排列：式子：－11x 7y 5－35x 3＋3x 2y 2－7xy 3＋2y例2：把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列。

说明：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。

例3：把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列。

(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列。

观察上面两个排列，从字母b 的角度看，它们又有何特点？(由学生参照例题自己解答。

)例4： 把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列。

例5：把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列。

(1)按字母x 的升幂排列得： ；(2)按字母y的升幂排列得：。

注意：(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。

三、课堂小结：对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。

在排列时我们要注意：①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升(降)幂排列。

合并同类项法则合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。

法则如下：1、合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变。

字母不变，系数相加减。

2、同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

像4y与5y，100ab与14ab这样，所含字母相同，并且相同字母的次项的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。

（常数项也叫数字因数）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

注：（1）两个单项式是同类项的条件有两个：一是含有相同的字母；而是相同字母的指数分别相等；（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关，只与字母及字母的指数有关；（3）所有的常数项都是同类项。

同类项性质:（1）两个单项式是同类项的条件有两个：一是含有相同的字母；而是相同字母的指数分别相等；（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关，只与字母及字母的指数有关；（3）所有的常数项都是同类项。

例如:1. 多项式3a－24ab－5a－7—a+152ab+29+a中3a与－5a是同类项－24ab与152ab是同类项【同类项与字母前的系数大小无关】2. －7和29也是同类项【所有常数项都是同类项。

】3. －a和a也是同类项【a的系数是1 a的系数是1 】4. 2ab和2ba也是同类项【同类项与系数和字母的顺序无关】5.（3+k）与（3—k）是同类项。

◎同类项的知识点拨合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项。

合并同类项步骤：(1)准确的找出同类项。

(2)逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

(3)写出合并后的结果。

在掌握合并同类项时注意：1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.2.不要漏掉不能合并的项。

2.2整式的加减2.2.1同类项知识点一:同类项1.下列各组是同类项的有(B)(1)0.2x2y和0.2xy2;(2)4abc和4ac;(3)-130和15;(4)-5m3n2和4n2m3.A.1组B.2组C.3组D.4组2.在下列各组单项式中,不是同类项的是(C)A.-x2y和-yx2B.-3和100C.-x2yz和-xy2zD.-abc和abc知识点二:合并同类项3.化简下列各式:(1)6a2b+5ab2-4b2a-7a2b;(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;(3)3m2n-mn2-mn+n2m-0.8mn-3n2m;(4)(a+b)3-2(a+b)3-(b+a)3-0.5(a+b)3.原式=(6a2b-7a2b)+(5ab2-4b2a)=-a2b+ab2;(2)原式=(-3x2y+2x2y)+(3xy2-2xy2)=-x2y+xy2;(3)原式=3m2n+(-mn2+n2m-3n2m)+=3m2n-3mn2-2mn;(4)原式=(a+b)3=-(a+b)3.知识点三:升(降)幂排列4.多项式4a2b+3ab2-2b3+a3按a的降幂排列是a3+4a2b+3ab2-2b3,按b的升幂排列第三项是3ab2.拓展点一:利用同类项的概念求字母的值1.若-5x a y与3x2y b-3是同类项,则a+b=6.拓展点二:利用合并同类项求相关字母的值2.已知关于x,y的多项式x2-3kxy-3y2-xy-8中不含xy项,求k的值.2-3kxy-3y2-xy-8=x2+-3y2-8=x2-xy-3y2-8.因为该多项式不含xy项,所以3k+=0.解得k=-.拓展点三:合并同类项的综合运用x=-1时,求-x2+2x+x2-x+1的值.2+2x+x2-x+1=-x2+x2+2x-x+1=(-x2+x2)+(2x-x)+1=x+1.当x=-1时,原式=-1+1=0.拓展点四:根据多项式的特点说明多项式的相关问题4.导学号19054063有一道题,求3a2-4a2b+3ab+4a2b-ab+a2-2ab的值,其中a=-1,b=,小明同学把b=错写成了b=-,但他计算的结果是正确的,请你通过计算说明这是怎么回事.=4a2,当a=-1,b=时,原式=4,与b的值无关.1.(2016·上海中考)下列单项式中,与a2b是同类项的是(A)A.2a2bB.a2b2C.ab2D.3ab2.(2016·广东广州一模)下列各组中的两项是同类项的为(B)A.3m2n2与-m2n3B.xy与2yxC.53与a3D.3x2y2与4x2z23.(2016·湖南常德中考)若-x3y a与x b y是同类项,则a+b的值为(C)A.2B.3C.4D.54.(2015·四川简阳市期中)已知式子ax+bx合并后的结果为0,则下列说法正确的是(D)A.a=b=0B.a=b≠0C.a-b=0D.a+b=05.(2015·广西玉林中考)下列运算中,正确的是(C)A.3a+2b=5abB.2a3+3a2=5a5C.3a2b-3ba2=0D.5a2-4a2=16.(2016·山东潍坊中考)若3x2m y m与x4-n y n-1是同类项,则m+n=3.7.(2015·江苏盐城月考)把(2a+3b)看作一个整体,合并(2a+3b)2-2(2a+3b)2-5(2a+3b)2的结果是-6(2a+3b)2.8.(2015·四川井研县期末)若单项式-2x a y4z2与x3y b z c的差仍是一个单项式,则a=3,b=4,c=2.9.(2015·贵州遵义中考)如果单项式-xy b+1与x a-2y3是同类项,那么(a-b)2 015=1.10.将多项式x3y3-4xy4+x4y+y4-x2y2先按x的降幂排列,再按y的升幂排列,并指出它是几次几项式,常数项和最高次项系数各是多少.3y3-4xy4+x4y+y4-x2y2按x的降幂排列为x4y+x3y3-x2y2-4xy4+y4,按y的升幂排列为x4y-x2y2+x3y3+y4-4xy4,它是六次五项式,常数项为0,最高次项系数为1.11.(2016·江苏连云港期中)合并同类项:(1)7a+3a2+2a-a2+3;(2)3a+2b-5a-b;4ab+8-2b2-9ab-8.原式=2a2+9a+3;(2)原式=-2a+b;(3)原式=-2b2-13ab.广西梧州中考)先化简,再求值:2x+7+3x-2,其中x=2.解原式=5x+5,当x=2时,原式=5×2+5=15.13.导学号19054064华夏中学3名老师带着18名学生去某景点写生,门票有两种购买方法:一种是老师每人a元,学生半价;一种是不论老师学生一律七五折,请你帮他们算一算,按哪种方法购买门票比较省钱.3a+18×a=12a(元),第二种购票方法所需费用为(18+3)×75%a=a(元),因为12a<a,所以第一种购票方法较省钱.。

多项式,整式知识点总结一、整式。

1. 整式的概念。

- 整式为单项式和多项式的统称。

- 整式中的分母不含有字母。

例如，(1)/(x)不是整式，因为分母含有字母x；而3x + 2，5，-(2)/(3)x^2y等都是整式。

2. 整式的分类。

- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，5x，-3，a都是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，在单项式-3x^2y中，系数是-3，次数是2 + 1=3。

- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。

例如，2x^2+3x - 1是多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

如多项式x^3 - 2x^2+5x - 3，它的项分别是x^3、-2x^2、5x、-3，常数项是-3，次数是3。

二、多项式。

1. 多项式的项与次数。

- 项：如前面所述，多项式是由几个单项式相加组成的，其中的每个单项式就是多项式的项。

例如，多项式3x^2 - 2x+1有三项，分别是3x^2、-2x、1。

- 次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。

在多项式4x^3 -2x^2+5中，次数最高的项是4x^3，其次数为3，所以这个多项式的次数是3。

2. 多项式的排列。

- 升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

例如，多项式x^2+3x^3 - 2x + 1按x的升幂排列为1 - 2x+x^2+3x^3。

- 降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

例如，上述多项式按x的降幂排列为3x^3+x^2 -2x+1。

3. 同类项与合并同类项。

- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

整式的加减—同类项及合并同类项同类项及合并同类项专题讲解学员姓名: 辅导科目：数学年级：初一课题同类项与合并同类项重点、难点、考点1.理解同类项的概念.2.根据同类项的概念在多项式中找同类项．学习目标1.理解同类项概念，会判断同类项.2.能根据同类项的意义求相同指数字母的值教学内容同类项1. 观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归类，并说出分类依据-7ab，2x，3，4ab2，6ab， 0.6ab2，-3x，-4.5分类依据： ____________________总结同类项的定义：所含相同，并且相同的字母也相同的项叫做同类项。

（注：几个常数项也是同类项。

）练一练：下列各组中的两个单项式是不是同类项？（1）x与y； (2) a2b与ab2；(3) a2b2与-ab2； (4)-3pq与3qp；（5）-3与6； (6)abc与ac以上是同类项的有（只填序号）：___________________________________________2．你会做吗？（1）3 + 2 = =（）（2）12— 3 = （）（3）100t - 252t =（）t（4）3 x2 + 2x2 = ( ) x2（5）3ab2 - 4ab2 = （）ab2总结合并同类项的定义：把多项式中的合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数 ，且字母部分 .【课堂探究】例1 判断下列各式是不是同类项，如果不是，请说明理由？试把每一组改写后使它们成同类项（1）3ac 与3abc ； （2）22a 与33a - ；（3）20.2x y 与22x y ； （4）125-与2 .例2 请找出下列代数式中的同类项，并用不同的符号把它标出来,并合并同类项.（1）22315126x x x x -+--- （2）24428922x x x x x x -+--+例3 如果y x m 3与n y x 321-是同类项，那么_____,=m .______=n小结： 同类项满足“两同两无关”两 同： ①所含 相同； ②相同字母的 也相同．两无关： ①与 顺序无关； ②与 大小无关．【随堂检测】1.下列是同类项的是（ ）A.ab 与2abB.y x 2-与x y 22C.22b a +与22b a -D.n m 25.0与23nm2. y x 25-和n m x y 4是同类项，则 =m ______， =n _______ 3．请找出下列代数式中的同类项，用不同的符号把它标出来，并合并同类项.（1）y x y x 223+++ （2）2222332b a b a +++4．计算（1）243x x x x ++-= ；（2）2232x x += ；（3）2234ab ab -= ；（4）45ab ab -= .【归纳总结】1．同类项的定义：所含 相同，并且相同的字母 也相同的项叫做同类项.2．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数 ，且字母部分 .【课后作业】1．下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ） A ．22x - B ．xy 2 C ．y x 2- D ．223y x 2．下列各组单项式为同类项的是（ ）A ．xy 3，xyz 3B ．2c ab 2，b a 22C ．22y x -，227x yD ．a 5，ab -3．下列运算正确的是（ ）A ．ab b a 523=+B ．03322=-a b b aC ．532523x x x =+D ． 14522=-y y4．若214y x m -1+-n xy 是同类项，则n m +的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．45．（1）如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并后，结果是_______________.（2）x 的相反数与x 的一半的和是_________________；（3）甲车的速度是80h km /，乙车的速度是65h km /，两车同时从某地出发，沿同一条公路行驶.若两车同方向行驶，则t h 后，它们相距________km ；若两车反方向行驶，则t h 后它们相距__________km .7.如果32b a x 与y b a 43-是同类项，那么=x ，=y .8．合并下列多项式中的同类项：（1）x x 5.45.3+- （2）a a a 3212-+（3）2229108y y y -- （4）333324331b b b +-（5）b a b a 22212+（6）b a b a 222+-（7）b a b a b a 2222132-+ （8）322223b ab b a ab b a a +-+-+※9．若把(x ＋y)、(x －y)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项,并合并同类项2(x+y)＋3(x －y)2－5(x+y)－8(x －y)2＋(x+y)10．请写出一个单项式，使它与x 2yz 时同类项，这个单项式为________ （答案不唯一）合并同类项1复习：你能把下式中的同类项合并吗？=+2223)1(x x ( )2x =-2243)2(ab ab ( )2ab2．合并同类项： 把多项式中的 合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的 的和，且 __ 和_____ ____不变．3．合并同类项法则： 相加减， 不变.4. 升幂与降幂：在合并同类项时，结果往往是一个多项式，通常把这个结果写成按某一个字母的升幂或降幂的形式排列(升幂排列:按照某字母的指数从小到大的顺序排列；降幂排列：按照某字母的指数从大到小的顺序排列)例如，多项式132245-+-+x x x x 是按x 的指数从_____到______的顺序排列；多项式542231x x x x ++-+-是按x 的指数从______到______的顺序排列.练一练：将多项式242132x x x -+-按x 先升幂排列_______________________，再按x 降幂排列 ．【课堂探究】例1 合并下列各式的同类项：22222323)1(xy x y y x y x -++-； 222244234)2(b a ab b a --++．例2 先化简再求值：（1）求多项式23452222--++-x x x x x 的值，其中21=x ．（2）求多项式的值，其中61-=a ，2=b ，3-=c ．【随堂检测】1．判断下列各题计算的结果对不对？ （1）ab b a 523=+ （ ） （2）32522=-y y （ ）（3）022=-ba ab （ ） （4）y x xy y x 222253-=- （ ）2．对于多项式：7252423-+++x x x x 请将上面的多项式降幂排列：请将上面的多项式升幂排列：3．合并同类项①2213++--x x ②by ax ax by 5252--+③xy x x xy 521722-+- ④22432mn mn mn mn +-+-⑤ab a a ab 35.045.1--+-- ⑥222222.15.023ab b a ab b a ab --++- 22c 313a -c 31-3++abc a【归纳总结】1．合并同类项法则： ____ 相加减， 不变.2．在合并同类项时，结果往往是一个多项式，通常把这个结果写成按某一个字母的________形式排列.【课后作业】1．计算223a a -的结果是（ ）A ．22aB ．2-C ．3-D ．22a -2．温度由C t 上升5C 后是 C ．3．某种苹果的售价是每千克x 元（10<x ），用50元买5kg 这种苹果，应找回 元．4．水库中水位第一天连续下降了a 小时，每小时平均下降2㎝；第二天连续上升了a 小时，每小时平均上升0.5㎝，这两天水位的变化为 ㎝．5．长方形绿地的长、宽分别是a m, b m ，如果长增加x m ，新增加的绿地面积是 2m ．6．若单项式y x 25和n m y x142+是同类项，则=m ___ ____,=n _ ______． 7．计算：（1）x x 102-= ； （2）225.010y y -= ；（3）x x 3--= ； （4）y x y x y x 22257-+= ；8．合并下列多项式中的同类项：（1）y y y 9108-- （2）333324331b b b +-（3） b a b a 4523+-- （4）222252235321mn n m mn n m --+9．先化简：再求值：（1）x x x x x 6525345222+----+的值，其中3-=x ;（2）b a ab ab b a 22233123-+-的值，其中2=a ，1-=b10．某商店原有5袋大米，每袋大米为x 千克。

整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．1、单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式，它的指数为，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．【例1】在代数式，0，中，整式共有（）个A、5B、6C、7D、8【难度】★【答案】【解析】【例2】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．，，，，，，，．【难度】★【答案】【解析】【例3】写出下列多项式的次数及最高次项的系数．（1）；（2）．【难度】★【答案】【解析】【例4】解答题（1）把多项式按的降幂排列；（2）把多项式按的升幂排列；（3）求多项式的各项系数之和．【难度】★【答案】【解析】【例5】多项式是几次几项式？【难度】★★【答案】【解析】【例6】多项式是三次三项式，求代数式的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式次数相同，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】设自然数满足，求多项式的次数？【难度】★★【答案】【解析】【例9】请各写出一个符合条件的整式：（1）系数是，次数是3的单项式；（2）系数是3，次数是1的单项式；（3）常数项为的二次三项式．【难度】★★【答案】【解析】【例10】下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？【难度】★★★【答案】【解析】【例11】现有两个多项式，它们同时满足下列条件：（1）多项式中均只含有字母x；（2）每个多项式中各项系数的绝对值均为2；（3）这两个多项式的和是一个5次多项式，这两个多项式的差是一个一次单项式．问：这两个多项式分别是多少？【难度】★★★【答案】【解析】【例12】已知有一组多项式，如下所示：我们用下面的方法给这个多项式的每一项排序：（1）对于多项式的任意两项，先看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面; （2）再看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面；（3）再看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面．请问：（1）将这个多项式按上述法则排序，那么应排在第_______（几）位．（2）请问排在________位．（3）请按照上述排序写出这个多项式．【难度】★★★【答案】【解析】1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．【例13】下列各组单项式中属于同类项的是：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．【难度】★【答案】【解析】【例14】合并下列同类项：（1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】【解析】【例15】单项式与是同类项，求的值．【难度】★【答案】【解析】【例16】合并下列同类项（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】【解析】【例17】单项式与是同类项，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例18】如果是五次多项式，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例19】已知，化简：．．【难度】★★【答案】【解析】【例20】已知：，．求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】多项式中不含项，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知代数式，（1）当=________，=___________时，此代数式的值与字母的取值无关．（2）在（1）的条件下，多项式的值为_______．【难度】★★★【答案】【解析】【例23】一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线（∥）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，若用剪刀在虚线、之间把绳子再剪（－2）次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是多少？（用表示）图（1）图（2）图（3）【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】讲下列代数式分别填入相应的括号内：单项式（）；多项式（）；二项式（）；二次多项式（）；整式（）．【难度】★【答案】【解析】【习题2】下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数：【难度】★【答案】【解析】【习题3】写出下面式子的同类项（写出一个即可）：（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】【解析】【习题4】下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】【解析】【习题5】若与是同类项，求，的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】同时都含有，且系数为的次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【答案】【解析】【习题7】填空：若单项式是关于的三次单项式，则【难度】★★【答案】【解析】【习题8】将多项式按的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】若多项式不含的奇次项，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】多项式是关于的四次二项式，求的值．【答案】【解析】【习题11】去括号，在合并同类项：．【难度】★★【答案】【解析】【习题12】化简：．【难度】★★【答案】【解析】【习题13】设表示正整数，多项式是几次几项式？【难度】★★★【答案】【解析】【习题14】一个多项式按的降幂排列，前几项如下：试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【难度】★★★【解析】【习题15】已知对任意的值都成立，求下列各式的值：（1）；（2）．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？，，，，，，，，【难度】★【答案】【解析】【作业2】指出下列多项式是几次，几项式，并指出系数最小的项：（1）；（2）．【难度】★【答案】【解析】【作业3】合并同类项：（1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】【作业4】将多项式（1）按的降幂排列；（2）按的降幂排列．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】若与是同类项，求，的值．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】若和是同类项，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】合并同类项：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】设和均不为零，和是同类项，则_______________．【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如果与是同类项，且与互为负倒数，求值．【难度】★★★【答案】【解析】。

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泽仕学堂学科教师辅导讲义2．你会做吗？（1)3 + 2 = =（ ）（2)12 - 3 = ( ）(3）100t — 252t =（ )t（4）3 x 2 + 2x 2 = ( ） x 2(5）3ab 2 - 4ab 2 = （ ）ab 2总结合并同类项的定义：把多项式中的 合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数 ，且字母部分 .【课堂探究】例1 判断下列各式是不是同类项,如果不是,请说明理由?试把每一组改写后使它们成同类项（1）3ac 与3abc ; (2）22a 与33a - ；（3）20.2x y 与22x y ； （4）125-与2 .例2 请找出下列代数式中的同类项,并用不同的符号把它标出来，并合并同类项。

(1）22315126x x x x -+--- （2)24428922x x x x x x -+--+例3 如果y x m 3与n y x 321-是同类项,那么_____,=m .______=n小结： 同类项满足“两同两无关”两 同： ①所含 相同； ②相同字母的 也相同．两无关： ①与 顺序无关； ②与 大小无关．【随堂检测】1。

下列是同类项的是( ）A.ab 与2ab B 。

y x 2-与x y 22C.22b a +与22b a - D 。

n m 25.0与23nm2. y x 25-和n m x y 4是同类项，则 =m ______, =n _______3．请找出下列代数式中的同类项，用不同的符号把它标出来，并合并同类项.（1）y x y x 223+++ （2）2222332b a b a +++4．计算（1）243x x x x ++-= ;（2)2232x x += ;（3)2234ab ab -= ；(4）45ab ab -= .【归纳总结】1．同类项的定义:所含 相同,并且相同的字母 也相同的项叫做同类项。

2.2整式的加减（1）—同类项、合并同类项、升(降)幂排列【学习目标】1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。

2. 理解合并同类项的概念，领会合并同类项法则。

3．理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。

【学习重难点】重点：理解同类项的概念；领会合并同类项法则。

难点：根据同类项的概念在多项式中找同类项。

【学习过程】一、创设问题情境：1、⑴、5个人+8个人=⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=2、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。

8x 2y ， －mn 2， 5a ， －x 2y ， 7mn 2，83， 9a ， －32xy ， 0， 0.4mn 2，95，2xy 2.观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?说出各自的分类标准。

和 ， 和 ， 和 ， 和 分别是同一类。

因为： 。

3、运用加法交换律，任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置，可以得到几种不同的排列方式？在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？ 二、自主学习与合作探究： （一）自学提纲：请同学们围绕着“什么叫做同类项？什么叫做合并同类项？合并同类项法则是什么？多项式的升(降)幂排列？”这些问题，自学课文第63页开始到65页“例题1”为止。

并把课文中的空填好。

（二）、自学检测：1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。

(1)3x 与3mx 是同类项。

( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项。

( )(3)3x 2y 与－31yx 2是同类项。

( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项。

( ) (5)23与32是同类项。

( )2. 若2a m b 2m+3n 与a 2n-3b 8可以合并成一项，则m 与 n 的值分别是______3.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列。

【初中数学】中考数学整式的有关概念及运算知识点【—高中入学考试数学整式的有关概念及运算】关于数学中整式的有关概念及运算知识，需要同学们很好的掌握下面的知识。

整数的概念和运算1、概念（1）单项式：像x，7和，数字和字母的乘积被称为单项式。

单个数字或字母也是单项式。

单个项目的次数：单个项目中所有字母的索引称为单个项目的次数。

单项式系数：单项式中的数字因子称为单项式系数。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。

一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

2.手术（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。

整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

（2）整数的乘法和除法：幂算法：其中m和N是正整数乘以基的幂；有基本权力的部门：；力量的力量：产品的力量：。

它们系数的乘积用作乘积的系数。

对于同一个字母，其指数之和用作该字母的索引；对于只包含在单项式中的字母，它是乘积及其指数的一个因子。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式：首先将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后将乘积相加。

如果商包含一个因子，它被一个因子除以，作为幂。

整式的加减 【要点梳理】 知识点1．整式，单项式，单项式的次数，单项式的系数 ；多项式，多项式的项、项数，多项式的次数，多项式的降（升）幂排列. 知识点2．同类项，合并同类项. 知识点3．去括号法则，添括号法则. 知识点4．整式的加减运算，会求代数式的值. 【例题选讲】 1．下列判断：（1）π2xy -不是单项式；（2）3y x -是多项式；（3）0不是单项式；（4）x x +1是整式，其中正确的有 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案：A 2．32281x x x -+-若多项式与多项式323253x mx x +-+的和不含二次项，则m 等于（ ） A 2 B －2 C 4 D －4 答案：C 3.原产量n 吨,增产30%之后的产量( ) A ．（1－30%)n 吨 B ．（1＋30%)n 吨C ． n ＋30%吨D ．30%n 吨 答案：B 4．下列计算正确的是 ( )A ．x x x x -=+-694B ．x x x =-23 C ．02121=-a a D ．xy yx xy 32=- 答案：C 5.已知,2,3=+=-d c b a )()(d a c b --+的值是 ( ) A ．1- B ．1 C ．5- D ．15 答案：A6.－（m － n ）去括号得 （ ） A ．n m - B ．n m --C ．n m +-D ．n m +答案：C 7．下列添括号正确的是( ) A ．323272867(286)x x x x x x --+=--+ B ．()()a b c d a d b c -+-=--+C ．225623(562)3a ab a b a ab a b ---=-+--D ．27(27)a b c a b c -+=--答案：D 8．（2011湖北省天门市一模）如图，边长为（m +3）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( ) A ．2m +3 B ．2m +6 C ．m +3 D ．m+6 答案:A 9.把 ()()()544322354563x x y xy x y x y y --+--++- 去括号后按字母x 的降幂排列____________． 答案： 54322345+4+6653x x y x y x y xy y --- 10．已知m 、x 、y 满足：(1) 0)5(2=+-m x ，(2)12+-y ab 与34ab 是同类项．求代数式， )93()632(2222y xy x m y xy x +--+- 的值． 答案：由题意（1）可知：x －5=0,m =0; 即x =5，m =0 由（2）可知y +1=3，所以y =2 2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+ =2x 2－3xy +6y 2=2×52－3×5×2+6×22=44 11．2222424,363,A x xy y B x xy y =-+=-+且23,16,1,x y x y ==+= 求()()4223A A B A B ---+⎡⎤⎣⎦的值． 答案： ()()4223A A B A B ---+⎡⎤⎣⎦ =4A －（4A －2B －3A －3B ）=4A －4A +2B +3A +3B =3A +5B 当2222424,363A x xy y B x xy y =-+=-+时原式=3(4x 2－2xy +4y 2)+5(3x 2－6xy +3y 2)=12x 2－6xy +12y 2+15x 2－30xy +15y 2 =27x 2－36xy +27y 2 又因为23,16x y == 所以x =±3，y =±4； 又1,x y += 所以x =3，y =－4，或x =－3，y =4 当x =3，y =－4时， 原式=27×9＋36×3×（－4）+27×16 =243－432+432=243当x =－3，y =4时， 原式=27×9＋36×（－3）×4+27×16=2412．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图如所示，试化简｜a ＋c ｜－｜a ＋b ＋c ｜ －2｜b －a ｜＋3｜b ＋c ｜答案： 由题意可知：c <b <0<a ，且|a |<|b |<|c | 所以a +c <0，a +b +c <0,b －a <0,b +c <0原式=－（a +c ）+(a +b +c )+2(b －a )－3(b +c ) =－a －c +a +b +c +2b －2a －3b －3c =－2a －3c 【课堂操练】 1．列式表示：p 的3倍的41是 ；答案：34p2．2x －3是由_______和________两项组成； 答案：2x ；－3 3．当a =－2时，－a 2－2a +1=______； 答案：1 4．化简3x －2（x －3y ）的结果是 ； 答案：x +3y 5．写出325x y -的一个同类项 ； 答案：8x 3y 2 6．（2011年江苏盐都中考模拟）若m 2 －1=5m,则2m 2－10m+2010= . 答案：2012 7．多项式2－152xy －4y x 3是 次 项式，它的项数为 ，次数是 ；答案：四次三项式；－152xy ；－4y x 3，四； 8．已知轮船在静水中前进的速度是m 千米/时，水流的速度是2千米/时，则这轮船在逆水中航行的速度是 千米/时； 答案：m －29.（2011重庆市纂江县赶水镇）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 12 25 310 417 526 … 当输入数据是8时，则输出的数据是 ；当输入数据是n 时，则输出的数据是 ． 答案：16582+n n , 10．商场七月售出一新款书包a 只，每只b 元，营业额c 元，八月采取促销活动，优惠广大学子，售出该款书包3a 只，每只打八折，那么八月该款书包的营业额比七月增加 ( ) A ．1.4c 元 B ．2.4c 元 C ．3.4c 元 D ．4.4c 元 答案：A 11．某市的出租车的起步价为5元（行驶不超过7千米），以后每增加1千米，加价1.5元，现在某人乘出租车行驶P 千米的路程（P ＞7）所需费用是 ( ) A ．5＋1.5P B ．5＋1.5C ．5－1.5PD ．5＋1.5（P －7） 答案：D 12.（2011浙江慈吉 模拟）下列关于代数式“1x -+”所表示的意义的说法中正确的是（ ）A. x 的相反数与1的和B. x 与1的和的相反数C. 负x 加1的和D. x 与1的相反数的和 答案：A 13.（2011.河北廊坊安次区一模）有一列数A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，…，A n ，其中A 1＝5×2＋1，A 2＝5×3＋2，A 3＝5×4＋3，A 4＝5×5＋4，A 5＝5×6＋5，…，当A n ＝2009时，n 的值等于 A ．334B ．401C ．2009D ．2010 答案：A 14．67482323---++-a a a a a a . 答案：原式=3a 2+a －6 15. 2a －[－4ab ＋(ab －2a )]－2ab . 答案：原式=a 2－（―4ab +ab ―a 2）―2ab=a 2+4ab －ab +a 2－2ab=2a 2+ab16. 212a －[21(ab －2a )＋4ab ]－21ab 答案：原式=221111(4)2222a ab a ab ab --+- =221111+42222a ab a ab ab --- =a 2－5ab17. 2221(52)2(34)2a ab a ab b --+- 答案：原式=5a 2－2ab －6a 2－8ab +b 2=－a 2－10ab +b 2 18. ()()()22222234232x y x xy y x xy y ⎡⎤⎡⎤-+-------⎣⎦⎣⎦. 答案： 原式=()()22222234+2+3+2+x y x xy y x xy y -+---=22222234+2++32x y x xy y x xy y ---- =2254x y -19. 化简求()()222234x y xy x y xy x y +---，其中1,1x y ==- 答案： 原式=222223+34x y xy x y xy x y +-- =255x y xy -+ 20．若y x b a 3221与643b a 是同类项，求y x y y x y 33332443+--的值 答案： 由题意可知： 2x =4；3y =6 即x =2，y =2； 原式=332y x y -- 当x =2，y =2时， 原式=―8―32 =－40 21． 已知关于x 的多项式()b x x x a b -+--34为二次三项式，求当x =-2时，这个二次三项式的值． 答案： 由题意可知： a －4=0，b =2 即a =4，b =2， 原多项式为22x x -+- 当x =－2时， 原式=－4－2－2 =－8 【课后盘点】 一、填空题（24分） ⒈多项式a 3b －13a 2+23ab 2－3a +2b －•1•是____次___•项式，最高次项的系数是_____，常数项是_____． 答案：四次六项式；1；－1； ⒉（2011年青岛二中）若3x m +5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m = ．答案：14⒊单项式2πa 2b 的系数是___，次数是______． 答案：2π；3 ⒋多项式()5822--x ，当x =______时，有最小值，且最小值是_______． 答案：8；－5；⒌x 表示一个两位数，y 表示一个三位数，把x 放在y 的右边组成一个五位数，则这个五位数可以表示为___ __． 答案：100y +x⒍填上适当的项使等式成立，a 3－（－a 2+2a －1）=（__ ）+（a 2+1） 答案：a 3－2a⒎已知m －n =－23，则2+m －n =_______， 7－3m +3n =_______． 答案：113；9； ⒏当x =－3时，多项式ax 3+bx 3+cx －5的值是7，那么x =3时，它的值________． 答案：－17 ⒐如图学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人．按照这种规定填写下表中的空格：⒑如右图，一块正方形的铁皮，边长为a 厘米（a >4），如果一边截去宽4•厘米的一条，另一边截去宽3厘米的一条，则剩余部分（阴影）的面积 ．答案：a 2－7a +12 二、选择题（每小题3分，共30分） ⒒下列说法正确的是 （ ） A ．2x x 是整式；B ．单项式28mn 的系数是2，次数是10； C ．多项式2354x -的常数项是－54，二次项的系数是34； D ．多项式3a －abc +4c －5a +2c 按字母a 的降幂排列是5a +3a +2c －abc +4c ． 答案：C ⒓A 是三次多项式，B 是四次多项式，那么 （B －A ）是 （ ） A ．一次多项式 B ．四次单项式 C ．四次单项式或多项式 D ．三次多项式 答案：C ⒔在式12x +yz ，2,323,,0,,,2b y a b x x abc x ab π+--中，下列结论正确的是 （ ） A ．有4个单项式，2个多项式 B ．有5个单项式，3个多项式 C ．有7个整式 D ．有3个单项式，2个多项式 答案：A ⒕下列合并同类项错误的个数是 （ ） ①5x 6+8x 6=13x 12②3a +2b =5ab ③8y 2－3y 2=5 ④6a n b 2n －6a 2n b n =0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：D ⒖下列各式，去括号正确的是 （ ） A ．a +（b －c ）+d =a －b +c －d B ．a －（b －c +d ）=a －b －c +dC ．a －（b －c +d ）=a －b +c －dD ．a －（b －c +d ）=a －b +c +d 答案：C ⒗已知3y 2－2y +6的值是8，那么代数式32y 2－y +1的值是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B ⒘组成多项式2x 2－x －3的单项式是下列几组中的 （ ） A ．2x 2，x ，3 B ．2x 2，－x ，－3 C ．2x 2，x ，－3 D ．2x 2，－x ，3 答案：B ⒙某商品先降价20%，再提价20%后的售价为a 元，则原价是 （ ） A ．0.96a 元 B ．a 元 C ．0.96a 元 D ．以上都不对答案：A ⒚如图，正方形的边长为a ， 以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为 （ ） A ．πa 2－a 2 B ．2πa 2－a 2 C ．12πa 2－a 2 D ．14a 2－πa2 答案：C ⒛若取A =3m 2－5m +2，B =3m 2－4m +2，则A 与B 之间的大小关系是 （ ） A ．A <B B ．A >B C ．A =B D ．以上都不对 答案：D 三、解答题（60分） 21．化简：（每小题4分，计16分） ①32x 2－（－12x 2）+（－2x 2）答案： 原式=32x 2+12x 2－2x 2 =0 ②5a +（4b －3a ）－（－3a +b ） 答案： 原式=5a +4b －3a +3a －b =5a+3b ③ 2a 2b +2ab 2－[2（a 2b －1）+2ab 2+2] 答案： 原式=2a 2b +2ab 2－（2a 2b －2+2ab 2+2） =2a 2b +2ab 2－2a 2b +2－2ab 2－2 =0 22．化简求值：（每小题5分，计10分） ①求－2（10a 2－2ab +3b 2）+3（5a 2－4ab +3b 2）的值，其中a =1，b =－2． 答案： 原式=－20a 2+4ab －6b 2+15a 2－12ab +9b 2 =－5ab －8ab +3b 2 ②2a 2－{－3a +5[4a 2－（3a 2－a －1）－3]－5}，其中a =－112． 答案： 原式=2a 2－[－3a +5(4a 2－3a 2+a+1－3)－5] =2a 2－(－3a +20a 2－15a 2+5a+5－3－5) =2a 2+3a －20a 2+15a 2－5a －5+3+5 =－3a 2－2a +3 当a =－112时，原式=34- 23．（5分）已知3x |2a －1|y 与－2xy |b |是同类项，并且a 与b 互为负倒数，求ab －3（2a －b ）－2a +6的值．答案：由题意得： |2a －1|=1；|b |=1 所以b =±1；a =1或0 又因为ab 互为负倒数 所以a =1，b =－1 ab －3（2a －b ）－2a +63=3622236aab a b ab a b -+-+=-++ 当a =1，b =－1时， 原式=0 24．（5分）已知a +b =7，ab =10，求代数式（5ab +4a +7b ）+（6a －3ab ）－（4ab －3b ）的值． 答案： 原式=5ab +4a +7b+6a －3ab －4ab +3b =－2ab +10a +10b 当a +b =7，ab =10时； 原式=50 25．（5分）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 3│a －b │+│a +b │－│c －a │+2│b －c │．答案： 原式=－3(a －b )－(a +b )－(c －a )－2(b －c )=－3a +3b －a －b －c +a －2b +2c=－3a +c 26．（5分）如图每张小纸带的长为30cm ，宽为10cm ，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头部分的长为3cm ．（1）分别求出用3张和5张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．（2）用n 张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是多少？（3）根据（2）计算用30张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度． 答案： （1）3张时：3×10－2×3=245张时：5×10－4×3=38 （2）n 张时：n ×10－（n －1）×3=7n +3（3）当n =30时， 原式=213； 27．小成背对小胜，让小胜按下列四个步骤操作 ：（1）分发左、中、右三堆牌（每堆张数相同且不少于两张）； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； （3）从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； （4）从左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。