高三数学统练四

北京市房山区2024届高三上学期入学统练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
三、双空题
五、解答题
17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的单调递增区间．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：(0)2f =-.
参考答案：
【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力10．B
【分析】取11B C 的中点E ，证明平面//AMN 平面1A EF 【详解】取11B C 的中点E ，
∵点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111//,AA BB AA BB ∴=，1//BB EM 11//,AA EM AA EM ∴=，∴四边形1//A E AM ∴，而在平面11B BCC 中，易证A E ⊄
（II ）解：如图，建立空间直角坐标系，
则C 1（0，0，0），B （0，3，2），
C （0，3，0），A （2，3，0）
D （1，3， (
)10,3,2C B = ，()11,3,0C D = ， 设()111,,n x y z = 是面BDC 1的一个法向量，则
4
【点睛】解答圆锥曲线的定点问题的常用策略：
（1）参数法：参数法解决定点问题的关键思路在于以下两个环节①引进动点的坐标或动直线中的参数（如引入动直线的斜率
标t等等）表示变化量，即确定题目中核心参数；
②利用条件找到参数与过定点的曲线
再研究曲线不受参数影响时的定点坐标。

石景山区2023年高三统一练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）C （3）B （4）D （5）A （6）B（7）A（8）D（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）12（12）(0,1)3 （13）3（只要是3正整数倍即可）（14）2(,2)-∞ （15）①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以1cos cos 3ADC ADB ∠=-∠=-在ADC △中，因为(0,)ADC ∠∈π， 所以222sin 1cos ADC ADC ∠=-∠． 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AD ACC ADC=∠． 所以142sin 232sin 23AC CAD ADC⋅===∠．（Ⅱ）ABD △的面积为221sin 222DB DA ADB ⋅∠=，因为ADB ADC ∠+∠=π，所以22sin sin ADC ADB ∠=∠= 又因为3AD =，所以2BD =． 在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠ 2213223292=+-⨯⨯⨯=．所以3AB =．（17）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设事件A 为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7,10]厘米．所以()P A 估计为201402= （Ⅱ）设事件B 为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，设事件C 为“从第3组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，()P B 估计为162405=，()P C 估计为1234010= 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且 (0)()()()()P X P ABC P A P B P C ===， (1)()P X P ABC ABC ABC ==++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++ (3)()P X P ABC ==()()()P A P B P C =(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=．所以，(0)P X =估计为21100；(1)P X =估计为1125； (3)P X =估计为350；(2)P X =估计为29100． 所以X 的分布列为 X 01 2 3P21100 112529100350所以EX 估计为012310025100505⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）132D D D ξξξ<<．（18）(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC又因为平面ADF 与PB 交于点E . AD ⊂平面ADFE ，平面PBC平面,ADFE EF =所以 //EF AD .（Ⅱ）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠= 即2PA AD ==，PA AD ⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE −−→−−→−−→=-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)x y z =n ，则020AE x z AD y −−→−−→⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，令1x =，可得(1,0,1)=-n（方法2：因为PAB 为等腰三角形，则,,PB AE PB AD AE AD A ⊥⊥=PB ⊥平面ADFE ，则(2,0,2)PB −−→=-平面ADFE 的法向量）设平面PCD 的法向量为：(,,)a b c =n ，则2202220PD y z PC x y z −−→−−→⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+-=⎩n n ， 令1y =，可得(0,1,1)=n 所以||1|cos ,|2||||PB PB PB −−→−−→−−→⋅<>==n n n 则两平面所成的锐二面角为3π z yFEPDABC选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥ ,AD AB PA AB A ⊥=，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.又因为,,PB FD ADFD D ⊥=则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB △为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点 又因为2AE PAB △为等腰直角三角形， 下面同①② 选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=， 即2,PA AD PA AD ==⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥. 又因为,,PB FD AD FD D ⊥=则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB △为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点. 下面同①②（19）(本小题满分15分)解：（Ⅰ）因为椭圆过点(03)，，故3b = 12c e a ==，222a b c =+，则2a =， 故椭圆的标准方程为：22143x y +=.（Ⅱ）当直线1l 斜率不存在 12:1,:1l x l y =-=分别代入椭圆方程得：332626(1,),(1,),((22M N S T ---所以：3135||1,||1,2222PM PN =-==+= 2626||1,||1,PS PT =-=+ 可得：||||3||||4PM PN PS PT =，当直线2l 斜率不存在时，同理可得，||||4||||3PM PN PS PT =当12,l l 斜率均存在且不为0时，设直线1l 斜率为k ，则直线2l 斜率为1k-设直线1l 的方程为：1(1)y k x -=+，1122(,),(,)M x y N x y 由221(1)143y k x x y -=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)(88)4880k x k k x k k +++++-= 212221220883448834k k x x k k k x x k ⎧⎪∆>⎪+⎪+=-⎨+⎪⎪+-⋅=⎪+⎩， 222111||(1)(1)11|PM x y k x =++-=++， 222222||(1)(1)11|PN x y k x =++-=++，同理可知：设直线2l 的方程为：11(1)y x k-=-+，3344(,),(,)S x y T x y342288883434k k x x k k --+=-=++， 234248834k k x x k --⋅=+， 2233321||(1)(1)1|1|PS x y k =++-++， 2244421||(1)(1)11|PT x y x k =++-++，则212212123434342(1)11|1|||||1|||||1|(1)11k x x x x x x PM PN k PS PT x x x x x x k ++++++==⋅++++++ 22222222537(43)34343444(,)434343534k k k k k k k k -++++=⋅==∈++-+ 综上所述：||||||||PM PN PS PT 的取值范围是34[,]43（20）(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当1m =时，()e cos x f x x '=-,（ⅰ） (0)0f '=，又(0)0f =，所以切线l 方程为0y =． （ⅱ）()e 1sin x f x x =--解法一：()e cos x f x x '=-，因为π(0,)2x ∈，所以e 1x >，cos 1x ->-,所以e cos 0x x ->，所以()e cos 0x f x x '=-> 所以()f x 在π(0,)2单调递增，所以()(0)0f x f >=解法二：令()e 1x g x x =--，π(0,)2x ∈，则()e 10x g x '=->所以，函数()e 1x g x x =--在π(0,)2单调递增．所以()(0)0g x g >=，即e 10x x -->．令()sin h x x x =-，π(0,)2x ∈，则()1cos 0h x x '=->．所以，函数()sin h x x x =-在π(0,)2单调递增．所以()(0)0h x h >=，即sin 0x x ->． 所以()e 1sin 0x f x x =-->．（Ⅱ）()e 1sin x f x m x =--， ()e cos x f x m x '=-， 当1m ≤时，所以cos cos m x x --≥， ()e cos e cos x x f x m x x '=--≥，由（Ⅰ）知，()0f x '>， 所以()f x 在π[0,]2上单调递增．所以当1m ≤时，()e 1sin x f x m x =--没有极值点． 当1m >时，()e cos x f x m x '=-，因为e x y =与cos y m x =-在π[0,]2单调递增．所以()f x '在π[0,]2单调递增．所以(0)10f m '=-<，π2π()e 02f '=>．所以0π(0,)2x ∃∈使得0()0f x '=．所以当00x x <<时，()0f x '<，因此()f x 在区间0(0,)x 上单调递减． 当0π2x x <<时，()0f x '>，因此()f x 在区间0π(,)2x 上单调递增．故函数()f x 在π(0,)2上恰有一个极小值点，m 的取值范围是(1,+)∞.（21）(本小题满分15分)解：（Ⅰ）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+. 因为20a <，由条件①知21a =-.所以τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7-. （Ⅱ）若20a >，τ数列是等差数列.由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+. 因为20a >，所以25a =.假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-. 由条件①知，121,,,i a a a -单调递增，即均为正数，且125i a a -=≥.所以15i i a a -=--≤.由条件②知，则存在{1,2,,1}k i ∈-，使得14k i a a =+-≤.此时与121,,,i a a a -均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，即14n n a a -=+.所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （Ⅲ）由2021m a =-及条件②，可得1-，5-，9-，…，2017-，2021-必为数列{}n a 中的项， 记该数列为{}n b ，有43(1506)n b n n =-+≤≤.不妨令j n b a =，由条件①，143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+， 均不为141n b n +=--；此时j 243a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为14 1.n b n +=-- 上述情况中，当143j a n +=-，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=， 结合11a =，则有31.n n a b -=由5062021b =-，得350611517m =⨯-=即为所求．（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。

天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C. D.{}0,1,2{}1,2{}1{}22. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA.B.3()2f x x x =-+2()1xf x x =+C. D.()cos 4f x x x=||()e x x f x =4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b <<b c a<<5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A .3B. 2C. 1D. 06. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 1927. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A .B. C. D.4816+32+8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1 B. 2C. 3D. 49.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211m m f x m m x+-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00011. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +15. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N 求实数的取值范围.m天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C.D.{}0,1,2{}1,2{}1{}2【正确答案】D【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为，，{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N 所以.{2}A B = 故选：D.2. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.20x x ->【详解】由，解得或，20x x ->1x >0x <故“”是“”的充分不必要条件.0x <20x x ->故选：A.3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA. B.3()2f x x x=-+2()1x f x x =+C. D.()cos 4f x x x =||()e x x f x =【正确答案】C【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.【详解】由图象可知，故BD 不成立；()10f <对于A 选项：，当时，，'2()61f x x =-+'()0f x>x ⎛∈ ⎝当时，，'()0f x<,x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调()fx ,⎛-∞ ⎝⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭递增，不符合图象，故A 不成立；故选：C4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b<<b c a<<【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，()3log 4a f =()0.82c f -=-3log 423log 2的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.0.82--【详解】奇函数在上是减函数，则，()f x R ()()f x f x -=-所以，()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()0.80.822c f f --=-=-因为，，3331log 3log 4log 92=<<=122233332log 2log log 123-⎛⎫<==- ⎪⎝⎭又，所以，0.800221-<<=0.8120--<-<所以，则，0.82334log 22log -<-<()()0.8233log 22log 4f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭故.b c a >>故选：B 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【正确答案】A【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，1n +21n n n a a a +++=n 321n n n a a a +++=-再利用周期性运算得解.【详解】由题意得，用替换式子中的，得，21n n n a a a ++=-1n +n 321n n n a a a +++=-两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.3n n a a +=-63n n n a a a ++=-={a n }又，，.12a =21a =34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=所以数列的前2024项和.{a n }()2024126123373S a a a a a =+++++= 故选：A.6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 192【正确答案】B【分析】依题意写出前几项即可发现规律.【详解】设，1n n n a a b +-=由，，21312a a -=-=32633a a -=-=，…，431064a a -=-=可知为等差数列，首项为2，公差为1，{}n b 故，()211n b n n =+-=+故，11n n a a n +-=+则，，，212a a -=323a a -=434a a -=…，，()12n n a a n n --=≥累加得，()()1122n n n a a -+-=即，显然该式对于也成立，()()1212n n n a -+=+1n =故．212301231a =+=故选：B7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A. B. C. D. 4816+32+【正确答案】D【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，AD BC G H GH FH过点作的垂线，垂足为，F AB FI I因为，,所以，所以，3FB FC ==4BC =FH BC ⊥FH =根据对称性易得，FBC EAD △≌△所以，11422FBC S BC FH =⨯=⨯=△在中，，所以，Rt FBI △8422BI -==FI ==，1()2FEAB S EF AB FI =+⨯梯形1(48)2=⨯+=又，32ABCD S AB BC =⨯=矩形所以FE ABCD S -22FBC ABCD FEAB S S S =++△矩形梯形32=+故选：D ．8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】C【详解】3cos cos 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,cos sin 255πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以 原式sin sin cos cos sin 555sin cos cos sinsin 555πππαααπππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，tan tan 3tan 553tan tantan55ππαππα+===-故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式.9.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+【正确答案】D【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质ωϕ一一判断即可.【详解】函数的最小正周期是，()3sin()10,2πf x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭π所以，则，2π2πω==()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线对称，()()3sin 21f x x ϕ=++π3x =所以，解得，ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈ππ,Z 6k k ϕ=-+∈因为，所以当时，，则，ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0k =π6ϕ=-()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，，故A 错误；0x =()3103sin11622πf =-+=-+=-由，所以，2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦206π6,x 7π⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦因为在上不单调，所以在上不单调，故B 错误；sin y x =70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，7π7π3sin 213sin π11012126πf ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是的一个对称中心，故C 错误；7π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 因为，将的图象向左平移个单位长度得到：1π212ϕ=()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π12，所以能得到的图象，故D 正确.π3sin 213sin 2126π1y x x ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 21y x =+故选：D.10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211mm f x m m x +-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00【正确答案】C【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，(0,+∞)2m =单调递增，故，得到答案.()()()f a f b f b >-=-【详解】函数是幂函数，则，解得或()()2211mm f x m m x +-=--211m m --=2m =.1m =-当时，，在上为减函数，排除；1m =-()1f x x-=(0,+∞)当时，，在上为增函数，满足；2m =()5f x x =(0,+∞)，函数为奇函数，故在上单调递增.()5f x x =R ，故，，故.0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选.C本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-【正确答案】C【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值k 即可．【详解】函数，可得，2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，，(,2)x ∈-∞-(0,+∞)()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减．()f x (,2)-∞-(0,+∞)(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点，(k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或，k 3k =-1k =-故选：．C 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题．12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312【正确答案】C【分析】函数图象结合单调性可解.【详解】,函数在上单调递增，()()0f a f b a b=⇒<<()e 1x f x =-[]0,2b 所以,(2)()()f b f b f a >=所以在区间上的最大值为，解得[],2a b 2(2)e 1e 1b f b =-=-12b =故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =【正确答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,()()()()()52i 2i 534i 105i34i 5584i 2i 2i 2i 5z ----=+-=+=+=-++-,z ==故14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +【正确答案】5【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得.315y x +=13143(43)(5x y x y y x +=++【详解】正数，满足，，x y 35x y xy +=315y x +=1311123143(43)((13)(135555x y x y x y y x y x ∴+=++=++≥+=当且仅当即且时取等号，123x y yx =12x =1y =故的最小值为5.43x y +故515. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x 【正确答案】①③④【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.【详解】①当时所以成立，正确0x =0y =()00f =②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R ，故错误()y f x =x ③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确()y f x =④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确()y f x =⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可()y f x =12y x=能有三个交点，错误.故①③④．16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -【正确答案】4π【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为2BC m =11BB m =，所以其比表面积的最小值为.1R =≥4S π=考点：几何体的外接球，基本不等式.17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.【正确答案】或7382a <<54a =-【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，()()h x xf x =当时，，；2x ≤()11f x x =--()22,12,12x x h x x x x ⎧-≤=⎨-<≤⎩当时，，，(]2,4x ∈(]20,2x -∈()()()1123122f x f x x =--=---；()()()2212,23214,342x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩当时，，，(]4,6x ∈(]40,2x -∈()()()1145144f x f x x =-=--；()()()2214,45416,564x x x h x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩当时，，，(]6,8x ∈(]60,2x -∈()()()1167188f x f x x =--=---；()()()2216,67818,788x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩……作出函数的部分图象如下，()h x因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共()()g x x f x a =⋅-()()h x xf x =y a =点个数为2，由图可知，或.7382a <<54a =-故或7382a <<54a =-18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅【正确答案】13-【分析】由题意可得，，进一步化为，2AB DC =()()AE BF AB BC BC CF λ⋅=+⋅+ 4613λλ+-再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．【详解】由题意，，，2BC =4AB =60ABC ∠=︒所以，，2cos60422CD AB BC =-⋅︒=-=∴2AB DC =又动点和分别在线段和上，且，，所以E F BC DC BE BC λ= 12DF DCλ=，解得，011012λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩112λ≤≤∴()()()()AE BF AB BC BC CF AB BC BC FC λλ⋅=+⋅+=+⋅- 1()[()]()()2AB BC BC DC DF AB BC BC DC DC λλλ=+⋅--=+⋅+- 112()()()()2224AB AB AB BC BC AB BC BC AB λλλλλ-=+⋅+⋅-=+⋅+⋅221212(1)44AB AB BC BCλλλλ--=⋅++⋅+，1212416(1)42cos1204613131344λλλλλλ--=⨯++⨯⨯⨯︒+=+-≥=-当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，46λλ=λ=AE BF ⋅13故．13三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2（3）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.【小问1详解】，由正弦定理，得cos cos 2cos b C c B a A += ，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=()sin sin 2sin cos B C A A A+==，，，()0,πA ∈ sin 0A ≠1cos 2A ∴=π3A =【小问2详解】，21cos 2cos 123C C =-= 22cos 23C =，，()0,πC ∈ π0,22C ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 22C C ∴===πππcos cos cos cos sin sin 2232323C C C C A ⎛⎫⎛⎫∴+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12=-=【小问3详解】中，由余弦定理，得，ABD △22212cos 222b c BD A b c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⋅，224228b c bc ∴+-=中，由余弦定理，得，ABC V 2221cos 22c b a A c b +-==⋅，2228b c bc ∴+-=联立，得，，2222422828b c bc b c bc ⎧+-=⎨+-=⎩23c bc =3b c =代入，解得，224228b c bc +-=6b =2c =的面积.ABC ∴11π1sin 26sin 262232S bc A ==⨯⨯⨯=⨯⨯=20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N求实数的取值范围.m 【正确答案】（1）2nn a =（2）93m -<<【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数n 122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩{}n a 列，得出，即可得出答案；122a q =⎧⎨=⎩（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d 1n n b a d =+，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减1nn n b a d +=-n 11232n n nn n b n b b -=+⋅+ 法得出，则，令，则数列为递减数列，即可n T 33232n n n T n -⋅-⨯+=332nn c =-+⨯{}n c 结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设的公比为，{}n a q 由，得：，1310a a +=314S =21121111014a a q a a q a q ⎧+=⎨++=⎩解得或，122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩因为是递增数列，{}n a 所以，则，1q >122a q =⎧⎨=⎩所以.1222n nn a -=⨯=【小问2详解】在和之间插入个数、、…、，n a 1n a +n 1n b 2n b nn b 使、、、…、、成等差数列，设其公差为，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d此数列首项为，末项为，2n n a =112n n a ++=则，，1n n b a d =+1nn n b a d +=-则11112()(22)3222n n n n n n n n n b a b b n d a d n n +-+-+++++===⋅ 又,()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ 则,101332262n n T n -+⋅=⨯+⨯+ 122326322nn n T =⨯+⨯+⋅+ 则，()012132232322n n n T n -=-⨯-+++⋅ ()()12133333123222n n n n n --=--⨯+⋅=-+-则，33232n n n T n -⋅-⨯+=令，则数列为递减数列，332n n c =-+⨯{}n c 由对恒成立，()321n n n T n m -⋅<-⋅*n ∈N 则当为偶数时，对恒成立，则；n 332n m ->+⨯*n ∈N 29m c >=-当为奇数时，对恒成立，则，即，n 332n m ⨯->-+*n ∈N 13m c ->=-3m <综上实数的取值范围为.m 93m -<<。

2024-2025学年北师大二附中高三数学上学期9月统练试卷全卷满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共10小题，共40分．1．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{Z |2}A x x =∈<，则U C A =（）A ．{}1,0,1-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,2--D ．{}2,0,3-2．若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（）A ．a b<B ．11a b>C ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln a b>4．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．235．“空气质量指数（AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数y 随时间t 变化的趋势由函数10290,01224,1224t t y t -+≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）A ．5小时B ．6小时C ．7小时D ．8小时6．已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.18．有12个砝码，总质量为45g ，它们的质量从大到小依次构成等差数列，且最重的3个砝码质量之和是最轻的3个砝码质量之和的4倍．用这些砝码称一个质量为30g 的物体，则需要的砝码个数至少为（）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知函数2()3log 2(1)f x x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,4)B ．(,1)(4,)-∞+∞C ．(0,1)(4,)∞⋃+D ．(0,4)10．设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分．11．函数1()21x f x =-的定义域是．12．在等差数列{}n a 中，公差d 不为0，19a =，且145,,a a a 成等比数列，则d =；当n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值．13．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是.14．设函数2,(),x x a f x x x x a-≥⎧=⎨-+<⎩，当2a =时，()f x 的单调递增区间为，若x ∃∈R 且0x ≠，使得12f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，则实数a 的取值范围为.15．对于非空实数集合A ，记*{|,}A y x A y x =∀∈≤，设非空实数集合P 满足条件“若<1，则x P ∉”且M P ⊆，给出下列命题：①若全集为实数集，对于任意非空实数集合A ，必有*R A A =ð；②对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有**P M ⊆；③存在符合题设条件的集合M ，P ，使得*M P ⋂=∅；④存在符合题设条件的集合M ，P ，使得*M P ⋂≠∅．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：本题共2小题，共30分．16．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值；(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用()P k 表示这20名学生中恰有k 名学生周平均阅读时间在(]8,12内的概率，其中0,1,2,,20k =⋅⋅⋅．当()P k 最大时，写出k 的值．17．已知函数()ln sin f x x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在区间[1,e]上的最小值；(3)证明函数()f x 只有一个零点．1．B【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：{}{Z |2}1,0,1A x x =∈<=-，{}2,2,3U C A ∴=-，故选：B ．2．D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D3．D【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，再根据指数函数的性质判断C ，根据对数函数的性质判断D ；【详解】解：因为0a b >>，所以0a b >>，故A 错误；因为0a b >>，所以11a b<，故B 错误；因为0a b >>，且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为0a b >>，且ln y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以ln ln a b >，故D 正确；故选：D4．C【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62155=.[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为122305=.故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；5．C 【分析】当AQI 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即200y ≤时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.【详解】解:由题知,当AQI 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即当AQI 小于等于200时,适宜开展户外活动,即200y ≤,因为10290,01224,1224t t y t -+≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,所以当012t ≤≤时,只需10290200t -+≤,解得:912t ≤≤,当1224t <≤时,只需24200≤,解得:1216t <≤,综上:适宜开展户外活动的时间段为916t ≤≤,共计7个小时.故选:C 6．C【详解】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．A【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件A ，某人爱好滑雪为事件B ，由古典概型公式求出()P A 和()P AB ，进而由条件概率公式计算可得答案．【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件A ，选出的同学爱好滑雪为事件B ，由于中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，则()0.5P B =,而同时爱好两个项目的占50%60%70%40%+-=，即()0.4P AB =，则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为()0.4(|)0.8()0.5P AB P A B P B ===．故选：A ．8．C【分析】设12个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，公差为d ，<0，112n ≤≤，*N n ∈，由题意得到基本量的方程求解，然后由等差数列的前n 项和公式得到不等式求解即可.【详解】设12个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，公差为d ，<0，112n ≤≤，*N n ∈，由题意可得()1231011124a a a a a a ++=++，12310111245a a a a a a ++++++= ，即()11334330a d a d +=⨯+，1126645a d +=，解得1132a =，12d =-，则()()211113127··22224n n n n n n n S na d n ---+⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，令227304n n nS -+=≥，又112n ≤≤，*N n ∈，解得612n ≤≤，*N n ∈，故需要的砝码个数至少为6．故选：C 9．A【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.【详解】依题意()2()3log 210f x x x =-->，()22log 13x x >-，由()2log 213y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1110x y =⎧⎨=⎩或2242x y =⎧⎨=⎩画出()22log ,13y x y x ==-的图象如下图所示，由图可知，不等式()0f x >的解集是(1,4).故选：A10．A【解析】若数列{}为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.【详解】若数列{}为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+=选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=，1210∆=-=-<，故此时{}不为常数列，222112(22n n n n a a a +=+=+ ，且2211122a a =+≥，792(2)42a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =，即当12a =时，数列{}为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误；选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为1172x ±=，同理可知，此时的常数列{}也不能使1010a >，则选项D 错误.故选：A.【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.11．{1x x ≥-且}0x ≠【分析】根据题意得到21010x x ⎧-≠⎨+≥⎩求解即可.【详解】由题知：210110x x x ⎧-≠⇒≥-⎨+≥⎩且0x ≠.故答案为：{1x x ≥-且}0x ≠.12．2-5【分析】根据等比数列得到2415a a a =，解得2d =-，再计算510a =>，610a =-<，得到答案.【详解】145,,a a a 成等比数列，故2415a a a =，即()()293994d d +=⨯+，解得2d =-或0d =（舍）.()921112n a n n =--=-，190a =>,510a =>，610a =-<，故5n =时，n S 有最大值.故答案为：2-；513．②③【解析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.14．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦(1,)-+∞【分析】当2a =时，作出函数()f x 的图象，利用图象求出函数()f x 的递增区间；由12f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭得()f x 关于12x =对称，结合二次函数的对称性及方程有解判断范围.【详解】当2a =时，2,2(),2x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，其图象如下图：由图知，函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；()2f x x x =-+，其图象关于12x =对称，显然当12a >时，由二次函数对称知x ∃∈R 且0x ≠，使得12f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，符合题意；则12a ≤时，当x a <时，y x =-关于12x =对称的曲线为1y x =-，联立21y x y x x =-⎧⎨=-+⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩（舍去），所以当112a -<≤时，满足()()122f f -==-，即13312222f f ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合题意；当1a ≤-时，曲线2y x x =-+，x a <与曲线1y x =-无公共点，不符合题意；综上，实数a 的取值范围为(1,)-+∞.故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(1,)-+∞15．②③④【分析】根据新定义运算、补集、子集、交集和空集等知识对命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于非空实数集A ，记*{|,}A y x A y x =∀∈≤，则*A 中元素为不大于A 中所有值的数，即不大于A 中最小元素的数组成的集合．①当A 集合下边界趋向负无穷大时，如(]()*R ,2,2,,A A A =-∞=+∞=∅ð，故①错误；②由于M P ⊆，假设M 中最小值为m ，P 最小值为p ，那么.m p ≥因此*M 表示不大于m 所有数组成的集合，*P 表示所有不大于p 的数组成的集合，则**P M ⊆，故②正确；③令3{|1}2M P x x ==<<，则*{|1}M x x =≤，故*M P ⋂=∅，故③正确；④令{|23}M P x x ==≤<，则*{|2}P x x =≤，故*{|2}M P x x ⋂==≠∅，故④正确；故答案为：②③④【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.16．(1)0.1a =(2)分布列见解析；数学期望()65E X =(3)10k =【分析】（1）根据频率和为1，可构造方程求得a 的值；（2）根据分层抽样原则可确定10人中，周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18的人数，则可确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在(]8,12内的概率，利用二项分布概率公式可表示出()P k ，由此可确定结果.【详解】（1）()0.020.030.050.050.150.050.040.0121a ++++++++⨯= ，0.1a ∴=.（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组的频率之比为0.05:0.04:0.015:4:1=，10∴人中，周平均阅读时间在(]12,14的人数为510510⨯=人；在(]14,16的人数为410410⨯=人；在(]16,18的人数为110110⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()36310C 2010C 1206P X ∴====；()2164310C C 6011C 1202P X ====；()1264310C C 3632C 12010P X ====；()34310C 413C 12030P X ====；X ∴的分布列为：X123P1612310130∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(]8,12内的概率()10.150.120.52p =+⨯==；则()()202020202020C 11C 1C 222k kk kk k k P k p p --=-=⨯⨯=，若()P k 最大，则20C k最大，∴当10k =时，()P k 取得最大值.17．(1)()1cos11sin1cos10x y +--+-=(2)()1sin1f =(3)见解析【分析】（1）对()f x 求导，求出()()1sin1,11cos1f f =+'=，由点斜式方程即可求出答案；（2）令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-，得出()g x 在[1,e]的单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减，再比较()()1,e f f 的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论01x <≤，1x π<≤和x π>时，()f x 的正负，即可得出证明.【详解】（1）()ln sin f x x x =+的定义域为()0,∞+，故1()cos f x x x'=+，()()1sin1,11cos1f f =+'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()()sin11cos11y x -=+-，化简得：()1cos11sin1cos10x y +--+-=（2）令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x -'=-，当[]1,e x ∈时，()21sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>，()11211e cos e<cos 0e e 3e 2g π=++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的α，使()()0g f αα'==又当()1,x α∈时，()()0g x f x '=>；当(),e x α∈时，()()0g x f x ='<；所以()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减，又因为()()()1ln1sin1sin1,e ln e sin e 1sin e 1,f f f =+==+=+>所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()1sin1f =.11（3）()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞，若01x <≤，1()cos 0f x x x+'=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()1sin10f =>，111sin 0e e f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点，若1x π<≤，则ln 0,sin 0x x >≥，则()0f x >，若x π>，因为ln ln 1sin x x π>>≥-，所以()0f x >，综上，函数()f x 在()0,∞+有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.。

2021年高三数学上学期统练试题（四）理新人教A版一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）1. 已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知两条直线和互相垂直，则等于（）A. -1B.0C.1D.23．若f(x)=－12x2 + b ln (x+2) 在 (－1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是( )A .[－1, +∞)B .(－ l,+∞ )C .(－∞ , － 1)D .(－∞ , －1]4．命题p：若•＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（－∞，0]和（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（－∞，+∞）上是减函数，下列说法中正确的是（）A．“p且q”是真命题B．￢p为假命题C．“p或q”是假命题D．￢q为假命题5．设变量x，y满足约束条件：的最大值为（）A． 10 B． 8 C． 6 D．46．一个几何体的三视图如图，（）A．B．C．D．7.在等比数列中,对任意的则为（）A. B. C. D.8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β能推导出m∥β的是11411,24333,,4816( )A. ①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤9.已知H 是球O 的直径AB 上的一点，AH:HB=1:2,AH ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为，那么的值是 （ ）A. B. C. D.11. 若，则向量与的夹角为 （ ） A ． B. C. D.12.已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上） 13.右图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则= .14.一辆汽车在行驶中由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：m/s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 ． 15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球 面上，则球的表面积是_____．16．给出下列四个命题： ①中，是成立的充要条件； ②当时，有；③已知是等差数列的前n 项和，若，则；④若函数为上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称． 其中所有正确命题的序号为 ．三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、推演步骤） 17.（本小题满分10分）(1).在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.求; (2). 已知等差数列{bn}的前n 项和为Sn ，b5=5，S5=15，求数列{}的前100项和。

2023-2024学年福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集，能表示集合和关系的Venn图是()A. B. C. D.2.等差数列的前n项和为，，，则()A.9B.C.12D.3.平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，⟨，，则()A. B.1 C. D.24.如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形ABCDEF各边的三等分点，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由，，…构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形ABCDEF的面积的比值趋近于()A. B. C. D.5.已知，则()A.0B.C.D.6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，5人名次的不同排列情况共有()A.72种B.78种C.96种D.102种7.函数，定义域均为R，且，若为偶函数，，则()A.10B.13C.14D.398.一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则()A.曲线关于y轴对称B.曲线关于原点对称C.在上单调递减D.在上单调递增10.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则()附：，A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多B.从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为C.依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过11.在四面体ABCD中，，，，同时平行于AD，BC的平面分别与棱AB，BD，CD，CA交于E，F，G，H四点，则()A. B.C.四边形EFGH的周长为定值D.四边形EFGH的面积最大值是312.抛物线：：，P是上的点，直线l：与交于A，B两点，过的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则()A.的最小值为1B.的最小值为1C.为钝角D.若，直线PF与l的斜率之积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年北京市海淀区高三上学期统练数学检测试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（ ）{|13}A x x =-<<{|04}B x x =<≤A B = A. B. C. D. (0,3)(1,4)-(0,4](1,4]-2. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则（ ）z (1,1)-z z ⋅=A. B.D. 22i-2i 3. 设a ，，且，则（）b ∈R 0a b <<A.B. C.D.11a b <b a a b >2a b+>2b a a b+>4. 如图，在中，是的中点.若，，则（）ABC V D BCAB a =AD b =AC = A. B. C. D.32a b- 2a b- 2a b-+ 1122a b + 5. 已知函数，则函数（ ）||||()x x f x e e -=-()f x A. 是偶函数，且在上单调递增(0,+∞)B. 是奇函数，且在上单调递减(0,+∞)C. 是奇函数，且在上单调递增(0,+∞)D. 是偶函数，且在上单调递减(0,+∞)6. 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设()f x R (,0]-∞(1)1f =-，则满足的的取值范围是2()log (3)g x x =+()()f x g x ≥xA. B. C. D. (,1]-∞-[1,)-+∞(3,1]--(3,1]-7. 在△中，“”是“”的（ ）ABC sin cos A B =π2C =A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 记为等比数列的前n 项和.已知，，则数列（ ）n S {}n a 18a =41a =-{}n S A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项9. 声音的等级（单位：dB ）与声音强度（单位：W/m 2）满足()f x x .喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB ；一般说话时，声音的()1210lg110xf x -=⨯⨯等级约为60 dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A .106倍B. 108倍C. 1010倍D. 1012倍10. 已知函数，是函数的一个零点，且()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭π4x =-是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（ ）π4x =()f x ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭ωA. 18B. 17C. 14D. 13二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分.11. ，，三个数中最大数的是．32-1232log 512. 已知，且有，则___________.(0,)απ∈12sin 2cos2αα-=cos α=13. 已知正方形边长为2，为的中点，是正方形及其内部的点构成的ABCD E BC S ABCD 集合，设集合，则表示的曲线的长度为______.{}2T P S AP AE =∈⋅=T 14. 若实数，且，满足方程组，则______，[],π,παβ∈-αβ12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪=α=______.（写出一组值即可）β=15. 设是由实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列A n n (),1,2,3,,ij a i j n = i j 的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记{}1,1ij a ∈-(),S n n (),A S n n ∈为的第行各数之积，为的第列各数之积，令()i r A A i ()j c A A j .给出以下四个结论：()()()11nni j i j l A r A c A ===+∑∑①存在，使得；()4,4A S ∈()0l A =②存在，使得；()9,9A S ∈()0l A =③若，则的取值范围是；()6,6A S ∈()l A {}12,8,4,0,4,8,12---④若，则满足的数表共有个.(),A S n n ∈()2l A n=-A !n 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题 共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 等差数列的前项和，其中为常数.{}n a n 2231n S n n a =+++a （1）求的通项公式及的值；{}n a a （2）设，求数列的前项和.()331,2,3,n a n n b a n =+= {}n b n nT17. 已知函数.再从条件①、条件②、条件f (x )=cos 2ωx +3sinωxcosωx +m (ω>0,m ∈R )③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知.()f x 条件①：函数的图象经过点；()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭条件②：函数的最大值为；()f x 32条件③：函数的最小正周期为.()f x π（1）求的解析式；()f x （2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围.()f x [0,t ](t >0)t 18. 在中，.ABC V 222b c a bc +-=（1）求；A ∠（2）若，.求的面积.11cos 14B =12c =ABC V 19. 已知函数（其中为常数）.2()x x mf x e -=m （1）若且直线与曲线相切，求实数的值；0m =y kx =()y f x =k （2）若在上的最大值为，求的值.()y f x =[]1,222e m 20. 设函数，直线是曲线在点处的()()()ln 10f x x k x k =++≠l ()y f x =()()(),0t f t t >切线.（1）求的单调区间；()f x （2）求证：不经过点；l ()0,0（3）当时，设点，，，为与轴的交点，1k =()()(),0A t f t t >()()0,C f t ()0,0O B l y 与分别表示与面积.是否存在点使得成立？ACO S ABO S ACO △ABO A 6ACOABOS S=△△若存在，这样的点有几个？（参考数据：，）A 0.69ln20.70<< 1.09ln3 1.10<<21. 设整数集合，，且满足：对于任意{}121000,,A a a a =⋅⋅⋅⋅12100012025a a a ≤<<⋅⋅⋅<≤，若，则.{},1,2,,1000i j ∈⋅⋅⋅i j A +∈i j a a A+∈（1）判断下列两个集合是否满足题设条件，若不满足，请说明理由；，()11,2,3,,1000A =⋅⋅⋅()21,2,3,,996,997,1000,2023,2024A =⋅⋅⋅（2）求证：，都有；{}1001,1002,,2000x ∀∈⋅⋅⋅x A ∉（3）若，求满足条件的集合的个数.10002025a =A。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递增，则下列结论正确的是（）A. f(0) < f(1) < f(2)B. f(0) > f(1) > f(2)C. f(0) < f(1) > f(2)D. f(0) > f(1) < f(2)答案：A解析：因为f'(x) = 3x^2 - 3，当x∈[0, 2]时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间[0, 2]上单调递增，所以f(0) < f(1) < f(2)。

2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. (3^n - 1)^2 / 4B. (3^n + 1)^2 / 4C. (3^n - 1)^2 / 2D. (3^n + 1)^2 / 2答案：A解析：由题意得，a_1 = 3^1 - 2^1 = 1，S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = (3^1 - 2^1) + (3^2 - 2^2) + ... + (3^n - 2^n) = (3^1 + 3^2 + ... + 3^n) -(2^1 + 2^2 + ... + 2^n)。

由等比数列求和公式得，S_n = (3^n - 1) / (3 - 1) - (2^n - 1) / (2 - 1) = (3^n - 1)^2 / 4。

3. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x=2处取得极小值，则下列结论正确的是（）A. f(1) > f(2)B. f(3) > f(2)C. f(0) > f(2)D. f(4) > f(2)答案：A解析：因为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，令f'(x) = 0，解得x=1或x=3。

2024北京清华附中高三（上）统练四数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{}139xA x =<≤，{}1B x Z x =∈≥，则A B =（ ）A ．(]1,2B ．{1，2}C ．[1，2]D ．{1}2．已知复数12i2iz +=−，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12−B ．2i +C ．-iD ．i3．已知a b <，则（ ） A ．22a b <B ．ee ab −−<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b <4．已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min4πx x −=，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在△ABC 中，点D ，E 满足）2BC BD =，3CA CE =．若DE xAB y AC =+（x ，y ∈R ），则x y +=（ ）A ．12−B ．13−C ．12D ．136．若α是第二象限角，且()1tan π2α−=，则cos π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C D ．7．已知数列{}n a 为无穷项等比数列，n S 为其前n 项和，10a >，则“{}n S 存在最小项”是“20S ≥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若过点（a ，b ）可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ） A ．e ba <B ．e ab <C ．0e ba <<D ．0e ab <<9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是（ ）A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10．数列{}n a 满足431n a −=−，411n a −=，2n n a a =，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误．．的是（ ） A ．311a =B ．20241a =−C ．∃非零常数T ，*n ∀∈N ，使得n T n a a +=D ．*n ∀∈N ，都有22n S =−二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．11．若()2log 10x +≤，则实数x 的取值范围是______．12．已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点A （1，a ）在角θ的终边上，其中a 为整数，且3OA ≤，则tan θ的一个取值是______．13．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，且点E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，则()AE AF AC +⋅=______．14．已知函数()co 2πs f x x x=．数列{}n a 满足()()1n a f n f n =++（n =1，2，3，…），则数列{}n a 的前100项和是______．15．已知平面内点集A ={P 1，P 2，…，P n }（n >1）．A 中任意两个不同点之间的距离都不相等． 设集合{}(){},0,1,2,1,2,,,i j i j i m PP m m i P i n P B P P n =≤∀∈≠<={},1,2,,i i j M PP P B i n =∈=．给出以下四个结论：①若n =2，则A =M ： ②若n 为奇数，则A ≠M ： ③若n 为偶数，则A =M ：④若{}12,,,k j j i i j i P P P P P B P ⊆．则k ≤5．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6道小题，共85分。

天津市南开中学2020-2021学年高三（上）统练数学试题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设U =R ，{|21}x A x =>，2{|log 0}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <D ．{|01}x x <2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ） A ．1BC ．2D．3．设函数f (x )＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )>f (1)的解集是（ ）A ．(－3，1)∪(3，＋∞)B ．(－3，1)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，3)4．下列四个函数：①3y x =-；②()120x y x -=>；③2210y x x =+-；④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C ．(0,2) D ．13[,2)86．已知函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1，则a 的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．(0,1)C ．1(0,]2D ．(1,)+∞7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，，C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，，D ．(10)(01)-⋃，， 8．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[2,2]m ∈-，2(3)()0f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．()3,3-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有(6)()+(3)f x f x f +=成立，且(6)2f -=-，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-.则给出下列命题：①(2016)2f =-；②6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在(9,6)--上为减函数；④方程()0f x =在[9,9]-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题10．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2(1f x f x=，则()f x =_______ 11．已知函数()f x 的定义域为R ，直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，且()01f =，则()()410f f +=________.12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 13．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________.三、解答题16．设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π=--.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()6f x π-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角PAB C 的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*11·()3n n n n S S a n N n++=+∈，且11a =. （1）证明：数列{}na n是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．已知函数()()21ln 3f x t x tx t =+++，t ∈R .（1）若0t =，求证:当0x ≥时，()2112x f x x -≥+； （2）若()4f x x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求t 的取值范围.20．已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln 2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】利用对数函数的性质，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，利用指数函数的性质确定出集合A ，由全集U =R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合 【详解】易知{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则{|01}U A C B x x ⋂=<， 故选：C . 【点睛】本题属于以考查不等式的解法为平台，考查了交､并､补集的混合运算，是高考中常考的基本题型. 2．B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 3．A 【分析】先求出(1)f ，再分0x ≥和0x <代入解析式解不等式，求出解集. 【详解】解：f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)． 【点睛】本题考查了对分段函数的理解与应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．B 【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同. 【详解】①3y x =-的定义域与值域均为R ， ②()120x y x -=>的定义域为()0,∞+，值域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， ③2210y x x =+-的定义域为R ，值域为[]11,-+∞，④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单. 5．B 【分析】根据题意，由单调性的定义可得22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，求出a 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，必有22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，解可得138a ，即13(,]8a ∈-∞； 故选：B. 【点睛】该题考查函数单调性的性质，注意分段函数的单调性的分析方法，属于基础题目. 6．A【分析】对x 进行分类讨论，当2x ≤时，()1f x x 和当2x >时，2log 1a x +≤.由最大值为1得到a 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，()1f x x ，()()21max f x f ∴==,函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1 ∴当2x >时，2log 1a x +≤.∴0121a a log <<⎧⎨≤-⎩，解得1[2a ∈，1)故选：A 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数的范围，涉及对数函数求值域，属于中档题. 7．D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．A 【解析】()()f x f x -=-, 且()2cos 30f x x =-<' ，所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a-+>222(3)()()3f ma f a f a ma a⇒->-=-⇒-<-即223123111323a a a a a a a-<<⎧-<-⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--<-⎩⎩ ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内 9．D 【分析】①首先判断出函数()y f x =是以6为周期的周期函数，可得(2016)(0)f f =，即可得到答案;②根据函数的周期性可以直接得到结论; ③利用单调性的定义可以得到答案;④根据(3)(3)0f f =-=，以及函数的周期性，得出答案. 【详解】对于①，令3x =-，由(6)()+(3)f x f x f +=得(3)0f -=，又函数()y f x =是R 上的偶函数，∴(3)(3)0f f =-=，∴(6)()f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数，∴(2016)(3366)(0)f f f =⨯=；又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-，即①正确；对于②，函数关于y 轴对称，周期为6，∴函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故②正确； 对于③，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-设12x x <，则12()()f x f x <，故函数()y f x =在[0,3]上是增函数，根据对称性，易知函数()y f x =在[3,0]-上是减函数，根据周期性，函数()y f x =在(9,6)--上为减函数，故③正确；对于④，因为(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性可知在[9,9]-，有且仅有(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程()0f x =在[9,9]-上有4个根，故④正确.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的周期性和单调性，做题时要认真审题，属于中档题，1013【分析】根据1()2(1f x f x =，考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x ，用1x代替x 代入 1()2(1f x f x=-，解关于()f x 与1()f x 的方程组，即可求得()f x ．【详解】考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x，故可考虑利用换元法进行求解．在1()2(1f x f x =，用1x代替x ，得1()2(1f f xx=-，将1()1f x =-代入1()2(1f x f x=中，可求得1()3f x =．13+. 【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法． 11．2 【分析】（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，从而可推出()()2f x f x =+，进而可得出答案．（性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2，从而可求出答案． 【详解】解：（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，则()()222f x f x +=++⎡⎤⎣⎦，所以()()2f x f x =+，则()()()()410002f f f f +=+=. （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2. 又()01f =，则()()()()410002f f f f +=+=. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题． 12．8 【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．82 【解析】试题分析：由()3sin 2f x x x =++知当时，()()1222f x f x +=⨯.1120-+=⨯，1919202020-+=⨯，⋅⋅⋅，(1)(1)22f f ∴-+=⨯，1919()()222020f f -+=⨯，⋅⋅⋅，则()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin 2f x x x =++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题. 14．8- 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x ，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(4)()f x f x -=-，所以()()(4)8f x f x f x =--=-，8是函数()f x 的一个周期，所以()(4)()4f x f x f x -=-=+，所以2x =-是函数的一条对称轴，函数的对称轴是()42x k k Z =-∈，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，12344,12x x x x +=+=-，所以12348x x x x +++=-， 故答案为：8- 【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.15．33,4⎛--⎤⎥⎝⎦【分析】根据新定义可得31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()11111f f f x m --==+--，∴31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，∴()311x m x -=-，21m x x =---，()1,1x ∈-.∵2213124y x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在()1,1-的值域为33,4⎛--⎤ ⎥⎝⎦， 所以方程有解实数m 的取值范围是33,4⎛--⎤⎥⎝⎦， 故答案为：33,4⎛--⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．16．（1）最小正周期π；（2）最大值是12，最小值是【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x ，利用周期公式即可求最小正周期. （2）求()6f x π-解析式，1()sin(2)632f x x ππ-=--，然后根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出其值域后，，即可得到最大最小值. 【详解】 （1）21()sin cos sin ()sin 242f x x x x x π=--=-，∴函数()f x 的最小正周期T π=；（2）由（1）得1()sin(2)632f x x ππ-=--， [0x ∈，]2π，22333x πππ∴--，sin(2)[3x π∴-∈1]，1()[62f x π∴-∈-，1]2，()6f x π∴-在[0，]2π上的最大值是12，最小值是. 【点睛】本题考查三角函数的周期性和三角函数的值域，以及三角函数平移变换和三角恒等变换，属于中档题.17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）7-;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB 找一线与之平行即可，显然分析//DB AC 即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠，所以PC 与AB 不垂直，故不存在试题解析：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =，所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=， 又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB ⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.以,,DB DA DP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B，()A ，()0,0,1P，()C .平面ABC 的法向量()n 0,0,1=，设()m ,,x y z =为平面PAB 的一个法向量，则 由m 0,{m 0BA BP ⋅=⋅=可得令1y =，则x z ==，所以平面PAB的一个法向量(m 3,1,=，所以m n 3cos m,n 7m n⋅===所以二面角PAB C 的余弦值为7-. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得()1,AB =，()1PC =-， 因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18．（1）证明见解析；（2）99314423nn n S ⎛⎫ ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭⎭⎪⎝.【分析】（1）利用11n n n S S a ++-=化简，证明n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）可得113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，再利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）证明：根据题意可得，11·3n n n n S S a n++-=， 11·3n n n a a n ++∴=， ∴11·13n n a an n +=+， 11a =，∴数列{}n a n是以1为首项，以13为公比的等比数列，（2）由（1）可得11()3n n a n -=，11·()3n n a n -∴=，012111111()2()3()()3333n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，∴123111111()2()3()()33333n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅， ∴123111************()()()()()()()()1333333322313n n n n n n S n n n --=++++⋯+-⋅=-⋅=-+⋅-， 9931()()4423n n n S ∴=-+⋅.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）[)1,+∞． 【分析】（1）将0t =代入解析式得()ln f x x =，从而有()()1ln 1f x x +=+，令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论； （2）由题意得()21ln 340t x tx t x +++-≥，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，先根据()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，从而可推出函数()x ϕ在[)1,+∞递增，从而得出结论． 【详解】（1）证：当0t =时，()ln f x x =，()()1ln 1f x x +=+，即证()21ln 12x x x -≥+； 令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，则()201xg x x '=>+，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ≥=， 即()2112x f x x -≥+； （2）解：由()()241ln 340f x x t x tx t x ≥⇒++-≥+， 令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，首先由()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，因为1t ≥所以()16810t t ∆=-+≤， 所以()0h x ≥恒成立，即()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)1,+∞递增， 故()()1440x t ϕϕ≥=-≥， 综上：t 的取值范围[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题． 20．（1）()f x 在0,单调递减；（2）(],0-∞.【解析】 试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 . 试题解析：（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=- 即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-， ∴()()22212110x f x x xx--=--=≤'函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠，原不等式2211lnx m x x>--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，设()()22111211g x lnx x f x x x x⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，当01x <<时，()()0,0f x g x >>；当1x >时，()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，假设存在正数b ，使得()0g x b >>，若01b <≤，当1x b >时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； 若1b >，当11x b <<时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； ∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(],0-∞.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．。