微积分向量的乘法运算

向量空间是高等数学中的一个重要概念，它在线性代数和多元微积分等学科中扮演着重要的角色。

向量空间是一种数学结构，它可以描述向量的代数运算和线性组合，是一类满足特定条件的向量的集合。

首先，我们来解析向量空间的定义。

一个向量空间是一个非空集合 V，其中定义了两种运算：向量的加法和数乘。

对于任意两个向量 u 和 v 属于向量空间V，则 u+v 也属于 V，称之为向量的加法；对于任意一个标量 k，向量 k*u 也属于 V，称之为向量的数乘。

这两种运算满足以下几个条件：1.加法运算满足结合律，即对于任意三个向量 u、v 和 w 属于 V，有(u+v)+w = u+(v+w)。

2.加法运算满足交换律，即对于任意两个向量 u 和 v 属于 V，有 u+v =v+u。

3.存在一个零向量 0，对于任意一个向量 v 属于 V，有 v+0 = v。

4.对于任意一个向量 v 属于 V，存在一个负向量 -v，使得 v+(-v) = 0。

5.数乘运算满足分配律，即对于任意一个标量 k 和任意两个向量 u 和 v属于 V，有 k*(u+v) = k u+k v。

6.数乘运算满足结合律，即对于任意两个标量 k 和 l 和任意一个向量 v属于 V，有 (kl)v = k(l*v)。

7.数乘运算满足单位元律，即对于任意一个向量 v 属于 V，有 1*v = v。

接下来，我们来看几个例子来更好地理解向量空间的概念。

首先，二维平面上的所有向量组成一个向量空间，记作 R^2。

这个向量空间中的向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 是实数。

任意两个向量在向量加法和数乘下仍然是属于 R^2 的，满足向量空间的定义。

其次，n 维实数空间 R^n 也是一个向量空间。

它包含所有由 n 个实数组成的向量。

同样地，对于任意两个向量和一个任意的标量，它们在向量加法和数乘下仍然属于 R^n，也满足向量空间的定义。

再次，由于向量空间的定义，我们也可以得出结论，零向量 0 在所有向量空间中都是存在且唯一的。

第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。

向量乘法分配律三个向量组成的空间内有几种可能性？向量乘法分配律，就是给出这种特殊情况下向量之间的运算规则。

比如我们所熟知的几何定理中，两条线段之间的垂直关系，实际上也是一种向量的相关关系。

有趣的是，向量乘法分配律是大数学家欧拉发现的，它的起源至今已有300多年了。

看来人类对于简单事物的认识总是很晚才深入，而大数学家们早就注意到了其中的问题，并且通过自己的研究给予了解答。

把点放在坐标原点，在平面上作一条向量，就形成了一个坐标轴，我们用这个坐标轴与x轴、 y轴和z轴一起构成了平面内的直角坐标系，称之为第一坐标系。

如果向量a的起点位于原点，向量b的起点在原点以东10度，向量c的起点在原点以西10度，那么我们用向量a(b)和向量c(b)表示向量a和向量c的大小关系。

如果在坐标系内作垂直于某条坐标轴的向量a和向量b，就构成了一个平行于坐标轴的向量组，记为a(b)，这样的向量组在坐标系中表示为(a)(b)。

对于平面内的向量，有几种不同的乘法规则，比如三维向量的加法规则：(a)b+c=a(b+c); (b)a+c=a(b+c)。

在第一坐标系中，任意两个向量的积=向量a(b)，这里的a和c都是正数。

当平面内的向量组成一个二维空间时，乘法规则还是沿用三维空间的加法规则。

但是要注意，两个向量的加法满足的公式是三维空间加法规则的特例。

比如两个向量a和b的积= a(b+c)。

正交变换，就是平面内坐标系的变换。

这个变换将向量转化为向量组，叫做向量的正交化。

也就是说，将向量的起点移动一个单位长度，即将一个向量分解成了向量组，把每一个向量都化为了一个向量组。

在这种变换下，如果两个向量分别在两个平面内，则它们可以转化成一个平面内的向量。

这是因为两个向量与一个向量之间的夹角可以互补，所以可以把它们转化成一个平面内的向量。

正交变换，不仅存在于平面内，也存在于三维空间，甚至更高的维度。

正交变换在现代物理学和数学中扮演着重要角色。

在微积分中，正交变换起着承前启后的作用。

向量微积分的基本概念和定义在数学中，向量微积分是研究向量值函数关于时间或空间的变化率和积分的一种分支。

向量是一种具有方向和大小的量，它可以表示为一组有序的实数。

向量微积分在现代数学、物理、工程及计算机科学中都有广泛的应用，掌握向量微积分的基本概念和定义对于理解这些学科非常重要。

1. 向量的定义和运算向量是指具有大小和方向的物理量，如力、速度等。

一般地，向量用加粗的小写字母表示，例如a。

向量的大小又称向量的模，用竖线表示，如|a|。

向量的方向可以用一个有向线段表示，其中箭头表示向量的方向。

向量的几何运算包括加法和数乘。

向量的加法和数乘可以分别表示为：a +b = (a1+b1, a2+b2, …, an+bn)k · a = (ka1, ka2, …, kan)其中a，b均为n维向量，k是实数。

向量还有重要的运算符，如点积和叉积。

点积是一个二元运算，用符号“·”表示，它的定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn其中a，b均为n维向量。

叉积也是一个二元运算，用符号“×”表示，它的定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中a，b均为三维向量。

2. 导数和微分向量值函数是指将实数域中的一个区间映射到向量空间中的函数。

向量值函数的导数被称为导向量或者微分，用符号“dF/dt”表示。

导向量的定义为：dF/dt = lim(h→0) [F(t+h) - F(t)]/h其中F(t)表示向量值函数，h为无穷小量。

微分可以反映向量值函数的局部变化率，它的物理意义非常重要。

3. 曲线积分和曲面积分曲线积分是指沿曲线路径对向量值函数进行积分的过程。

它的定义为：∫c F·ds = ∫c F·drt其中F为向量值函数，C为曲线，rt为其参数方程。

曲线积分可以表示向量场在曲线上的流量，也可用于计算环路积分和势力场等物理量。

向量值函数的链式法则链式法则是微积分中一条重要的求导法则，它用于计算复合函数的导数。

在向量值函数的情况下，链式法则的应用与标量值函数类似，只是需要对向量进行求导运算。

假设有两个向量值函数：向量函数f的自变量为t，因变量为向量y；向量函数g的自变量为x，因变量为向量u。

那么复合函数的形式为h(t)=g(f(t))。

为了使用链式法则，我们需要求解h(t)对于t的导数。

记f(t)的导数为f'(t)，g(u)的导数为g'(u)，则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=(g(f(t)))'=g'(f(t))⋅f'(t)这里的"⋅"表示向量的点乘运算。

推导链式法则的核心思想是假设对于t的微小变化Δt，f(t)发生了微小变化Δy，g(u)发生了相应的微小变化Δu。

则有以下近似关系：Δh≈h'(t)⋅ΔtΔh=g'(u)⋅ΔuΔu=f'(t)⋅Δt将上述三个式子联立起来，可以得到：h'(t)⋅Δt≈g'(u)⋅f'(t)⋅Δt通过令Δt无限接近于零，可以得到：h'(t)=g'(u)⋅f'(t)这就是向量值函数的链式法则。

举例说明链式法则在向量值函数中的应用。

假设有一个自变量为时间t的向量函数f(t)=[x(t),y(t),z(t)]，其中x(t)、y(t)和z(t)分别是t的函数。

同时，有一个自变量为位置向量x的向量函数g(x)=[u(x),v(x),w(x)]，其中u(x)、v(x)和w(x)分别是x 的函数。

现在我们想要计算复合函数h(t)=g(f(t))的导数。

根据链式法则，我们先计算f(t)和g(x)的导数。

f(t)的导数为：f'(t)=[x'(t),y'(t),z'(t)]g(x)的导数为：g'(x)=[u'(x),v'(x),w'(x)]则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=g'(f(t))⋅f'(t)即：h'(t)=[u'(f(t)),v'(f(t)),w'(f(t))]⋅[x'(t),y'(t),z'(t)]将上述式子展开，可以得到：h'(t)=[u'(f(t))⋅x'(t),v'(f(t))⋅y'(t),w'(f(t))⋅z'(t)]这样就得到了复合函数h(t)的导数。

微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。

向量微积分的矩阵微积分和线性代数向量微积分是数学中重要的分支之一，涉及到多元函数、矢量、曲线、曲面等概念。

它是应用数学领域中最常用的数学分支之一，与物理学、工程学、计算机科学等领域密切相关。

本文将讨论向量微积分的一种扩展——矩阵微积分，以及与其相关的线性代数概念。

一、向量微积分简介向量微积分主要研究多维度的函数、曲线、曲面等的微积分问题。

对于一维函数，微积分的方法已经相当成熟，包括求导、积分等。

而对于多维函数，就需要引入向量概念来描述。

在向量空间中，函数被看作向量，导数、积分等运算也相应地定义为向量运算，这就是向量微积分。

它不仅在自然科学中得到广泛应用，也在经济学、社会学等社会科学领域有着重要的应用。

二、矩阵微积分简介矩阵微积分是将向量微积分的概念扩展到了矩阵的情形。

矩阵在计算机组成、图形处理等领域应用十分广泛。

因此，矩阵微积分具有非常实用的意义。

矩阵微积分涉及到矩阵求导、矩阵积分等问题。

具体来说，给定一个矩阵值函数F(x)，我们可以定义其导数F(x)的导数为：$\frac{dF}{dx} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{11}}{\partial x} & \frac{\partial F_{12}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partialF_{1n}}{\partial x} \\ \frac{\partial F_{21}}{\partial x} &\frac{\partial F_{22}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partialF_{2n}}{\partial x} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial F_{m1}}{\partial x} & \frac{\partial F_{m2}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial F_{mn}}{\partial x} \end{bmatrix}$其中，F矩阵的每个元素都是函数F(x)的一个分量，它们的导数构成了矩阵的导数。