5-2向量的乘法运算

向量相乘运算公式
向量相乘是在向量运算中常用的一种操作，有两种形式：点积和叉积。

1.点积（又称为内积、数量积）：点积是指两个向量按照相同位置的元素分别相乘，并将得到的乘积相加的运算。

点积的计算公式如下：
对于两个n维向量A和B：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn
其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示两个向量A和B在对应位置的元素。

点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。

2.叉积（又称为外积、向量积）：叉积是指根据右手法则，通过两个向量的模和夹角计算出一个与这两个向量同时垂直的新向量的运算。

叉积的计算公式如下：
对于三维空间中的向量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)：A×B=(A2B3A3B2,A3B1A1B3,A1B2A2B1)
叉积的结果是一个新的向量，它的模表示两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，并符合右手法则。

需要注意的是，点积和叉积只适用于特定维度的向量运算，分别是点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。

此外，点积和叉积具有不同的性质和应用领域，在物理、数学等领域都有广泛的应用。

第五章 向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道,在n 元向量集和n m ⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1 向量空间的概念定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．α∀、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为α+β.2) F 到V 有一个数量乘法．k ∀∈F ,∀α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk .3) 加法与数量乘法满足以下算律： ∀α、β、γ∈V ,∀k 、l ∈F 1 α+β=β+α；2 (α+β)+γ=α+(β+γ)；3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α；4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0；5 βαβαk k k +=+)(；6 αααl k l k +=+)(；7 )()(ααl k kl =；8 αα=1,那么称V 是数域F 上的一个向量空间.向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.例 1 nF 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF 是F 上的一个向量空间.例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=.2. V 中每一向量的负向量是唯一的.事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中, (Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii )式成立.由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α. 事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k k k α.又αααα===1)1()(1k kk k ,故.0=α此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有W k W ∈∈+αβα,, (1)那么称W 是V 的一个子空间.由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8在V 中成立,在W 中当然成立.例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.例7. nF 中一切形如),0,,,,(121-n a a a F a i ∈的向量构成的集是nF 的一个子空间.定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βαW l k ∈+βα. （2） 反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间.事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.在向量空间V 中,我们可以依照3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα是V 的一个子空间.事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l +=s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ),s ααα,,,21 称为生成向量.下面我们看一个例子.m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.若n F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包含于生成子空间),,,(21r n L -ηηη .即 T ⊆),,,(21r n L -ηηη . 反之,任取∈β),,,(21r n L -ηηη ,令F k k k k i r n r n ∈+++=--,2211ηηηβ 为常数,r n i -=,,2,1 ,那么,0)(2211=+++=--r n r n k k k A A ηηηβ ,即β∈T .因而),,,(21r n L -ηηη ⊆T . 故 ),,,(21r n L T -=ηηη .n F 的子空间),,,(21r n L -ηηη 称为齐次线性方程组0=AX 的解空间.最后，我们给出子空间的和的概念。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。

这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。

通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。

但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。

2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。

2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。

2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。

3.分组学生，进行小组合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。

2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。

3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。

2．2.3向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． (2)λa 的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .[小试身手]1．化简：2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝_________. ★答案★：14a －9b2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________.★答案★：b －a3．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ＝________. ★答案★：－Rr4．在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.★答案★：23向量数乘的基本运算[典例] (1)(－5)×4a ；(2)5(a ＋b )－4(a －b )－3a ； (3)(3a －5b ＋2c )－4(2a －b ＋3c )． [解] (1)原式＝(－5×4)a ＝－20a .(2)原式＝5a ＋5b －4a ＋4b －3a ＝－2a ＋9b .(3)原式＝3a －5b ＋2c －8a ＋4b －12c ＝－5a －b －10c .向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .用已知向量表示未知向量[典例] 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .[解] AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b ； AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b .用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：连结CN ，因为N 是AB 的中点，AB ＝2CD ，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，所以BC＝－NB－CN＝－12a＋b；MN ＝MC＋CN＝14a－b.向量共线的判定及应用1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝12BA－BC＝12a－b.又因为N在BD上且BN＝13BD，所以BN＝13BD＝13(BC＋CD)＝13(a＋b)，所以CN＝BN－BC＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝23⎝⎛⎭⎫12a－b，所以CN＝23CM，又因为CN与CM的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.★答案★：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形． 证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一 学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______.解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________．解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23.★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ，DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .★答案★：23a ＋13b8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________. 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD .★答案★：AD 9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ， 即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45.层级二 应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________.解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λb5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ， 即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：37．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )， 所以OP －OB ＝m (OA －OB )， 即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线， (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ， 所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB . 故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ， 即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m2(CA ＋CB )＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m2a ＋(1－m )b ， 所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，所以AG ＝13a ＋13b .。