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向量代数与空间解析几何-向量的乘法运算

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第二节向量的乘法运算

第二节向量的乘法运算
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cosθ , 得
2 2 2 bx +by +bz
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cosθ =
a b
=
axbx + ayby + azbz
2 2 ax + a2 + az y
例2. 已知三点 M(1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求 ∠ AMB .
( 行列式计算见 P339～P342 )
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例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 , 7), 求三 角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示, 1 S∆ABC = AB AC sinθ θ 2 A 1 = AB× AC 2 i j k 1 1 = 2 2 2 = ( 4, − 6, 2 ) 2 2
( ax i + ay j + az k ) × (bx i +by j +bz k )
= axbx ( i ×i )
+ ayby ( j × j )
+ azbz ( k ×k )
= (aybz − azby ) i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx ) k
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a⋅ b = axbx + ayby + azbz
i j k a×b = ax ay az
bx by bz
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ax ay az 混合积: [ a b c ]= ( a×b ) ⋅ c = bx by bz cx cy cz 2. 向量关系: bx by bz = = a×b = 0 ax ay az axbx + ayby + azbz = 0

向量相乘运算公式

向量相乘运算公式

向量相乘运算公式
向量相乘是在向量运算中常用的一种操作，有两种形式：点积和叉积。

1.点积（又称为内积、数量积）：点积是指两个向量按照相同位置的元素分别相乘，并将得到的乘积相加的运算。

点积的计算公式如下：
对于两个n维向量A和B：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn
其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示两个向量A和B在对应位置的元素。

点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。

2.叉积（又称为外积、向量积）：叉积是指根据右手法则，通过两个向量的模和夹角计算出一个与这两个向量同时垂直的新向量的运算。

叉积的计算公式如下：
对于三维空间中的向量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)：A×B=(A2B3A3B2,A3B1A1B3,A1B2A2B1)
叉积的结果是一个新的向量，它的模表示两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，并符合右手法则。

需要注意的是，点积和叉积只适用于特定维度的向量运算，分别是点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。

此外，点积和叉积具有不同的性质和应用领域，在物理、数学等领域都有广泛的应用。

向量数乘运算及其几何意义(公开课课件)

向量数乘运算及其几何意义(公开课课件)
在计算机图形学中的应用
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
THANK YOU
感谢聆听
向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。

向量数乘运算及几何意义

向量数乘运算及几何意义
向量数乘在几何上表示对向量进行缩放和旋转。 当标量为正时，向量的长度和方向都会按照标量 的大小进行放大；当标量为负时，向量的长度和 方向都会按照标量的大小进行缩小。
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘

《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数

《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数

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结束
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p


4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )


(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,

空间解析几何和线性代数资料

空间解析几何和线性代数资料

（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a

b



(a ybz
azby )i

(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k

a

b

i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2

a
2 y

az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a

b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b

有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点

空间解析几何.pdf

第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。

模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。

向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。

（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。

向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。

利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。

向量代数与空间解析几何(11)


21,
cos
1 2
,
cos
22;
2
3
,
3
,
3
4
27
例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.
解: AB = {3, 1, 2} |AB| 32 12 (2)2 14
a AB { 3 , 1 , 2 } | AB | 14 14 14
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
37
数量积的坐标表达式
a
b
|
a
||
b
|
cos
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
38
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算 方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的件。
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.

空间解析几何与向量代数


，其方向向量
s
A1
,
B1
,
C1
A2
,
B2
,
C2
注：直线与平面垂直：直线的方向向量即为平面的法向量；
平面的法向量即为直线的方向向量。
直线与直线平行：两直线的方向行：两平面的法向量平行（也可说相同）。
求直线方程关键是求点、方向向量或两个点
例 1、过点（1，2，3）且平行于直线 x 2 y 1 z 的直线方程为
cos(a,
b)
a
b
，
ab
Prja
b
b
cos(a,
b)
（
b
向量在 a
向量上的投影）
例：已知向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角是 ，则它在 u 轴上的投影是 3
a
b
a
b
0
例 1、设
a
5,
b
2,
(a,b) π ,
求
2a
3b
3
提示： 2a 3b 2 (2a 3b).(2a 3b)
例 2、若 a (1,0, 2), b (0,1,3) ，求（1）与 a,b 都垂直的单位向量；（2）以 a,b 为邻边的
平行四边形的面积
例 3、若 A(1, 2,3), B1, 2,5,C(0, 2,1) ，求三角形 ABC 的面积
二、平面方程
（1）点法式： A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
例 2、若 a (1, 1, m), b (2, 2,6) ，且 a // b ，则 m= , ，若 a 垂直 b ，则 m= 。
例 3、若 a 1,0, 2 b 3,0,1 ，求 a,b 的夹角。
向量积：

高等数学向量代数与空间解析几何总结


{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
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A
C B = a , C A = b , AB = c
则
c
c
B
b
θ
a
c =ab
2
C
= ( a b ) ( a b ) = a a + b b 2a b = a + b
2 2
2 a b cosθ
a= a ,b= b ,c= c c 2 = a 2 + b 2 2ab cosθ
例2 已知三点 M ( 1 , 1 , 1 ) , A( 2 , 2 , 1 ), B( 2 , 1 , 2 ) , 求 ∠ AMB . 解 MA = (1, 1, 0 ) , MB = ( 1, 0 , 1 ) 则
b
θ
a
2. 性质
(1) a a = a
2
( 2) a , b 为两个非零向量, 则有
ab = 0
a⊥b
3. 运算律 (1) 交换律 a b = b a (2) 结合律 (λ , μ 为实数 )
(λ a ) b = a (λ b) = λ ( a b ) (λ a ) ( μ b ) = λ ( a ( μ b ) ) = λ μ ( a b )
r r r r 即 | a × b |表示以 a 和 b 为邻边
的平行四边形的面积.
r a
★ (三) 向量的混合积
1. 定义
已知三向量 a , b , c , 称数量
记作
( a × b ) c 为 ]
a×b
2. 几何意义 以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其 a
by
az
ax , bz bx
( 行列式计算见书 p.401～p.404 )
r r r r 注 (1) a × b ≠ b × a . r r r r r r ( 2) ( a × b ) × c ≠ a × ( b × c ). r v r r r r r r r r r r 如： ( i × i ) × j = 0 × j = 0, i × ( i × j ) = i × k = j r r r r r r r r (i × i ) × j = 0 ≠ i × (i × j ) = j r r r r r (3) (a b ) × (a b ) = 0 r r r r r r ≠ a × a 2(a × b ) + b × b r r r r r r r r (4) 设 a ≠ 0， a × b = a × c b = c / r r r r r r r r r r r 事实上， a × b = a × c a × (b c ) = 0 a // (b c )
6. 几何意义 r r a × b 的模： r r rr a × b = a b sin θ r = a h
=S
= 2 SΔABC
r b
θ h
A r b h
r B a r a
C r h = b sin θ
θ
r h = b sin(π θ ) r = b sinθ r r r c = a×b r b
a b cosθ
记作
→
M2
a b
r W = F s
为a 与b 的 数量积 (点积或内积) .
r r r r 当a ≠ 0时, b 在 a 上的投影为 ： r r 记作 r b cosθ Pr ja b r r r r r 故 a b = a P r ja b r r r r r r r 同理 , 当 b ≠ 0 时, a b = b Pr jb a
底面积 A = a × b , 高 h = c cosα
αc
b
故平行六面体体积为 V = A h = a × b c cos α = ( a × b ) c = [a b c ]
3. 混合积的坐标表示
设 a = (a x , a y , a z ) , b = (bx , b y , bz ) , c = (c x , c y , cz )
= OP F sin θ 其方向符合右手规则：
O
θ P
Q
θ
L
OP F M
M ⊥ OP， M ⊥ F
F
o
M
P OQ = OP sin θ
1. 定义7.3 r r 设 a , b 的夹角为θ，定义
向量 c 方向 : c ⊥ a , c ⊥ b 且符合右手规则 模 : c = a b sin θ
称 c 为向量 a 与 b 的 向量积 , 记作
cos ∠ AMB = MA MB MA MB 1 1+0+0 = = 2 2 2
A B M
故
∠ AMB =
π
3
.
r r r r r r ra 、 ra Pr j j 例3 a = a x i + a y j + a z k , 求 Pr ji r ra . 及 Pr jk r r r 解 Q i = (1, 0, 0)， j = (0, 1, 0)， k = (0, 0, 1) r 设 α、β 、γ 分别为向量 a的三个方向角，则有 r r r r Pr jir a = a cos α = a i = a x r r r r Pr j r a = a cos β = a j = a y j r r r r r Pr jk a = a cos γ = a k = a z
r r 这表明： 向量 a的坐标 a x , a y , a z，正是向量 a 分别在 x, y, z 轴上的投影.
r r r r r r r r 例4 设 m = 3 i + 5 j + 8 k , n = 2 i 4 j 7 k , r r r r r r r r p = 5 i + j 4 k , 求向量 a = 4 m + 3 n p
i j k a x az a x a y a y az a × b = a x a y az = , , bx bz bx b y b y bz b x b y bz ax a y a x az a y az cz c y+ c x [ a b c ]= ( a×b )c = bx b y bx bz b y bz a x a y az
第七章
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 两向量的数量积 引例 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 θ 的直线移动, 位移为 s = M1 M 2 ， 则力F 所作 r F 的功为 W = F cosθ s r θ = F s cosθ M1 s 1. 定义7.2 设向量 a , b 的夹角为θ , 称
a × b = ( a x ri + a y j + a z k ) × ( bx i + b y j + bz k ) k r r 0 k i× = a x bx ( i × i ) + a x b y ( i × j ) + a x bz ( ( jk) ) j r i r r 0 + a y bx (( k ) ) + a y b y ( j × j ) + a y bz (i j × k ) j×i r r r 0 j (× j + a z bx ( k × i ) + a z b y ( k i ) ) + a z bz ( k × k ) r r r r r r r r r Q i × i = j × j = rk × k = 0, =r( a y bz az b y ri +r( az bx a x bzr) j + ( a x b y a y bx ) k ) r r r r r i × j = k， j × k = i , k × i = j , r r r r r r r r r j × i = k , k × j = i , i × k = j .
3. 运算律
(1) a × b = b × a
(2) 分配律 ( a + b ) × c = a × c + b × c (3) 结合律 ( λ a ) × b = a × (λ b ) = λ ( a × b )
(证明略)
4. 向量积的坐标表示式
设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k , 则
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量. r r r r 解 因 a = 4m + 3n p r r r r r r r r r = 4(3i + 5 j + 8k ) + 3(2i 4 j 7 k ) (5i + j 4k ) r r r = 13i + 7 j + 15k
a x = 13 r r 在 y 轴上的分向量为 a y j = 7 j
故在 x 轴上的投影为
r r r r r r r 例5 证明向量 c 与向量(a c )b ( b c )a 垂直. r r r r r r r 证 [(a c )b (b c )a ] c
r r r r r r r r = [(a c )(b c ) ( b c )(a c )] r r r r r r = (b c )[a c a c ] = 0
(3) 分配律
(a + b ) c = a c + b c
4. 数量积的坐标表示
r r (1) a b = a x bx + a y b y + az bz
(2) 两向量的夹角公式
当 a, b 为非零向量时, 由于 a b = a b cosθ , 得
cosθ = a b a b
设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k , 则