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大学经典课件之高等数学——7-3向量的乘法运算

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《向量数乘运算》课件

《向量数乘运算》课件

几何意义
要点一
总结词
向量数乘运算的几何意义是标量$k$与向量$mathbf{a}$的 模长相乘，再根据$k$的正负确定几何意义可以理解为标量$k$与向量 $mathbf{a}$的模长相乘，即新的向量的长度是原向量长 度乘以标量$k$。同时，根据标量$k$的正负来确定新向量 的方向。当$k > 0$时，新向量的方向与原向量方向相同 ；当$k < 0$时，新向量的方向与原向量方向相反；当$k = 0$时，新向量为零向量。这种几何意义有助于直观理解 向量数乘运算的过程和结果。
实数与向量的数乘的几何意义
实数与向量的数乘的几何表示
实数λ与向量a的数乘在几何上表示将向量a的长度扩大或缩小λ倍，并改变其方 向。
实数与向量的数乘在几何上的应用
在物理、工程和科学实验中，实数与向量的数乘常用于描述力的合成与分解、 速度和加速度等物理量。
实数与向量的数乘的性质
1 2 3
实数与向量的数乘的模的性质
02
向量数乘运算的性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性组合的特性。
详细描述
向量数乘运算具有线性性质，即对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k_1, k_2$，有$(k_1 k_2)mathbf{a} = k_1(k_2mathbf{a}) = (k_2mathbf{a})k_1 = k_2(k_1mathbf{a})$。线性性质在向 量运算中非常重要，它使得向量数乘运算可以像标量运算一样进行简化。
乘运算来计算其合加速度。
实例三：向量的投影
向量的投影是向量数乘运算的一个重要应用
在物理和工程领域中，向量的投影是一个常见的概念 。通过向量数乘运算，可以方便地计算一个向量在另 一个向量上的投影。这有助于描述力的作用效果、速 度的方向变化等。例如，在机械工程中，当一个力作 用在物体上时，可以通过向量的投影来计算该力对物 体产生的旋转效应。在建筑学中，向量的投影可以用 来描述建筑结构在不同方向上的变形。

教学课件：第三节-向量的乘法运算

教学课件：第三节-向量的乘法运算

在物理中，向量乘法可以用来描述旋转运动 和力矩。例如，角速度和角加速度是向量与 时间的函数，它们的计算涉及到向量的外积 运算。力矩也是一个向量，它的计算涉及到 向量的外积运算。
在解析几何中的应用
总结词
向量在解析几何中用于表示点、线、面等几 何对象。
详细描述
在解析几何中，向量可以表示点、线、面等 几何对象，并且通过向量的运算来研究这些 对象之间的关系。例如，向量的模长表示点 到原点的距离，向量的夹角表示两直线之间
应用场景
在机器人控制、动画制作等领域中，向量的乘法运算有着广 泛的应用。
向量乘法与数量积的区别
数量积
数量积是向量的点乘，结果是一个标量而不是向量。计算公式为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和向量b的模长，θ是两向量的夹角。
区别
数量积和向量乘法的结果不同，前者是标量，后者是向量；另外，它们的几何 意义也不同，数量积表示两向量的夹角，而向量乘法表示一个旋转。
教学课件：第三节-向量 的乘法运算
• 向量的乘法运算概述 • 向量乘法的性质 • 向量乘法的运算规则 • 向量乘法的应用 • 练习与巩固
01
向量的乘法运算概述
向量乘法的定义
定义
向量a和向量b的乘积是一个向量，记 作a×b，其长度等于以a和b为邻边的 平行四边形的面积，方向垂直于a和b 所在的平面。
叉积是向量运算中的一种，表示两个三维向量之间的垂直关系。其结果是一个向量，垂直于作为运算输入的两个 向量。
运算规则
叉积满足反交换律，即A×B=-B×A，并且不满足结合律。
向量与实数之间的乘法
标量乘法（Scalar Multiplication）
标量乘法是指一个实数与一个向量相乘，结果是一个同方向的向量，其长度是原向量长 度的|k|倍，方向与原向量相同（当k>0）或相反（当k<0）。

《向量数乘运算》课件

《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来

向量的数乘运算PPT优秀课件

向量的数乘运算PPT优秀课件

( a b ) = a b
1 2 1 2
例1 课堂练习 (1) (2) 小结回顾 (3)
计算： -12a (-3)×4a 5b 3(a+b) –2(a-b)-a (2a+3b-c) –(3a-2b+c-a+ ) 5b-2c
复 习
引入练习 新课讲解
共线向量的条件： 对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ
E
新课讲解 例2
如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
例题讲解 试判断AC与AE是否共线。
定理讲解 课堂练习 小结回顾
A B C
D
小结回顾
一、①λ
a 的定义及运算律
②向量共线定理
b=λa
(a≠0)
向量a与b共线
A,B,C三点共线
B=λBC 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
作业：P102，12.13
复 习
引入练习 新课讲解
作业布 课本 : 置： P 第 9题（3）（4）
101
例题讲解
定理讲解 课堂练习 小结回顾
P102 第 4题
复 习
引入练习
新课讲解 三点共线。
1 N在线段BD上，且有BN= 3
提示：设AB = a 则MN=
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
a
a
b o
作法:在平面中任取一点o,
过O作OA= a
b a+b
B 过O作OB= b
以OA,OB为边作 平行四边形
则对角线 OC= a+b

《向量的乘法》课件

《向量的乘法》课件
矩阵乘法是向量乘法的推广，用于表示线性变换和解线性方程组。
2 张量乘法
张量乘法是向量乘法的更高维推广，用于处理多维数据和复杂计算。
五、课堂练习
1
练习题解析
通过解析一些典型的练习题，巩固和应用向量乘法的知识。
2
小结
总结本节课的重点内容，强化对向量乘法的理解和应用能力。
六、参考文献
序号 1 2 3
参考文献 《线性代数》（第三版），清华大学出版社 《高等数学》（第七版），高等教育出版社 《数学物理方法》（第二版），高等教育 出版社
2
性质
点乘具有交换律、分配律和结合律等基本性质。
3
应用
点乘可以用于计算向量夹角和向量之间的投影。
二、向量的叉乘
定义
向量的叉乘是两个向量 的矢量积，表示为 \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)。
性质
叉乘具有反交换律、分 配律和结合律等基本性 质。
应用
叉乘可以用于计算平面 的法向量和计算行列式。
《向量的乘法》PPT课件
欢迎来到《向量的乘法》PPT课件！本课程将介绍向量的点乘、叉乘和混合积， 以及向量乘法的推广。通过生动的示例和实践练习，让您轻松理解和应用向 量的乘法。
，表示为\( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \)。
三、向量的混合积
定义
向量的混合积是三个向量的 数量积，表示为\( \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \)。
性质
混合积具有分配律和结合律 等基本性质。
应用
混合积可以用于计算平行六 面体的体积和判断向量组是 否共面。
四、向量乘法的推广
1 矩阵乘法

《向量的乘法运算》PPT课件

《向量的乘法运算》PPT课件

a
b
|b|
3.
例2. 直径所对的圆周角是直角。 8
二、两向量的向量积
定义
向量a
与b
的向量积为
c
a
b
c
|
c
||
a
||
b
|
sin
的方向既垂直于a
(其中
为a
与b
的夹角)
，又垂直于b ，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
补充说明
|
a
b
|表示以a
和b为邻边c Nhomakorabeaa
b
0.
0
向量积符合下列运算规律：
（1）
a b b
（2）分配律：(a
a. b)
c
a
c
b
c.
（3）若
为数：
(a)
b
a
(b )
(a
b ).
10
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图 ：
按
PCBA
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a b
,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx 2 by2 bz 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab
a x bx
ayby
azbz
0
7
例 （21）a已与知b a的 夹(1角,1,；4（)，3）b a

高等数学《向量的乘法运算》课件

2. 数量积符合下列运算规律：
b

a
2 (1) a a | a | . (2) 交换律：a b b a; (3) 分配律： (a b ) c a c b c ;
(4) 若l为数： ( la ) b a ( lb ) l ( a b ), 若l、m为数：( la ) ( mb ) lm( a b ).
邻边的平行四边形的面积.
a
c ab
b
S | a b |
又平行于 的平面相 2) a b与一切既平行于 a b 垂直.
例 5 求与 a 3i 2 j 4k ， i j 2k 都垂 b
直的单位向量.
向量积的分解表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i a b ax bx
由上式可推出
j ay by
k az bz
a x a y az a // b bx b y bz
( 三阶行列式计算见课本 P316～P317 )
5. 向量积的几何意义
表示以 和 为 1) | a b | a b
例 7 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4，| n | 2，| p | 3 ，计算( m n) p .
解 | m n || m || n | sin(m , n)
即 a b | a || b | cos .
a 注意： b 中的“.”不能省.
若 a 0 , b 在 a 上的投影为 Prja b | b | cos , a b | a | Prja b 若 b 0 , a b | b | Prjba .

向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)


速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的向量，向量数乘运算有助于理解它们的几何意义。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的向量。通过向量数乘运算，可以方便地表示出速度 和加速度在不同方向上的分量，以及它们之间的变化关系。例如，在匀变速直线运动中，加速度的大 小和方向可以通过向量数乘运算来表示。
题目二
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$，$overset{longrightarrow}{b} = (3,0, - 1)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的模。
04
向量数乘运算的实例
力的合成与分解实例
总结词
力的合成与分解是向量数乘运算在实际问题中的重要应用。
详细描述
在物理学中，力的合成与分解是常见的操作。通过向量数乘运算，可以方便地表示出合力与分力之间的关系，以 及它们在不同方向上的分量。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，可以通过向量数乘运算来计算它们的合 成效果。
THANK YOU
感谢聆听
也是通过向量数乘运算来建立的。
05
向量数乘运算的练习题及答案
向量数乘运算的练习题
题目一
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4, - 6)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的坐标。

向量的数乘运算ppt课件

A.A,B,C 三点共线
B.A,B,D 三点共线
C.A,C,D 三点共线
D.B,C,D 三点共线
→
→
→
→
→
)
→
→
解析:因为+=a+4b,即+=,所以=,即存在λ=1 使
→
→
→
→
=λ,所以,共线.
又因为两向量有公共点 B,所以 A,B,D 三点共线.
故选 B.
①λ<0,λa与a的方向一定相反;
②λ>0,λa与a的方向一定相同;
③λ≠0时,λa与a是共线向量;
④λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2
B.3
C.4
D.5
)
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;
对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,
的过程,达成数学抽象、直观想象、
逻辑推理及数学运算的核心素养
2.通过向量共线定理的学习与应
用,培养逻辑推理与数学运算的核
心素养
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知导学·素养启迪
1.向量的数乘运算
(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记
作λa.它的长度和方向规定如下:
答案:(2)①②③
探究点二
向量的线性运算
[例2] 化简下列各式:

(1)3(6a+b)-9(a+b);
解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.




《向量的数乘课时》课件

实例
若$vec{A} = (2, 3, 4)$，$k = 2$，则$k cdot vec{A} = (4, 6, 8)$。
标量与向量的叉乘
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
标量与向量的叉乘是指 一个标量与一个向量的 外积，结果仍为向量。
详细描述
标量与向量的叉乘运算 规则是，将标量与向量 的每个分量分别相乘， 得到的结果仍为一个向 量。叉乘的结果是一个 向量，表示向量在标量
致性，避免出现单位不一致的情况。
在进行向量数乘运算时，应注意向量的 单位转换问题。如果需要将不同单位的 向量进行数乘运算，需要先进行单位转
换，确保运算结果的准确性。
THANK YOU
标量k可以是实数或复数，但通常在物理和工程领域中，我们只考虑实数 的数乘。
数乘运算满足交换律和结合律，即对任意向量a、b和标量k、l，有k * (l * a) = (k * l) * a和(k + l) * a = k * a + l * a。
几何意义
当k > 0时，数乘表示将向量a 按比例放大或缩小。
的。
02
向量的数乘性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性规则，即数乘向量与标量相乘满足线性组 合的性质。
详细描述
对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$(kvec{a}) + (kvec{b}) = k(vec{a} + vec{b})$，其中$vec{b}$是任意向量。这意味着数乘运算满足线性规则，即数 乘向量与标量相乘满足线性组合的性质。
04
向量的数乘应用
向量在物理中的应用
力的合成与分解
力的矩
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C
1 25 2 2 2 = 15 + 12 + 16 = , 2 2 1 | AC | = 42 + ( −3)2 = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 ∴| BD |= 5. = ⋅ 5⋅ | BD | 2 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
r r r 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规 r r r 则，且| m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算 r r r ( m × n) ⋅ p .
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r r a⋅b r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = r r , | a || b |
cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
——两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 r r r r a ⊥ b ⇐⇒ a ⋅ b = 0
( 2) cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 =− , 2
r r r r r ( 3 ) a ⋅ b =| b | ( a ) b
3π . ∴θ = 4 r r r r a⋅b ∴ (a )b = r = −3. |b |
2
2 2
b a r a
r b
C
r r = a + b − 2ab cos(a , b )
机动
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结束
例3
r r r r r r r 证明向量 c 与向量 ( a ⋅ c )b − ( b ⋅ c )a 垂直.
证
r r r r r r r [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⋅ c
r b
θ
r a
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这个向量的投影的 乘积.
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数量积符合下列运算规律：
r r r r （1）交换律： a ⋅ b = b ⋅ a; r r r r r r （2）结合律： ( λa ) ⋅ b = a ⋅ ( λb ) = λ ( a ⋅ b ),
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例 2 设三角形三边长分别为 a, b, c ， 求证余 r r 2 2 2 弦定理： c = a + b − 2ab cos( a , b )。
r r r 证明：如图 c = a − b
A
r c c
B
r r c = c ⋅c r r r r = (a − b ) ⋅ (a − b ) r 2 r r r 2 =| a | + | b | −2a ⋅ b
az r a x j + bx bz
ay r k by
ay r k by
ay = by
az r ax i − bz bx
为方便记忆，将上式形式的记为 r r r i j k r r a × b = a x a y az bx b y bz
机动 r r 例 4 求与 a = 3i − 2 j + 4k ， b = i + j − 2k 都垂直
⇐⇒ a x bx + a y b y + a z bz = 0
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r r 例 1 已知 a = (1,1,−4) ， b = (1,−2,2) ，求（1） r r r r r r a ⋅ b ；（2） a 与 b 的夹角；（3） a 在 b 上的投影
r r 解 (1) a ⋅ b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 2 = −9.
解
r r r r r r | m × n |=| m || n | sin m , n
= 4 × 2 × 1 = 8,
r r r 依题意知 m × n 与 p 同向，
r r r ∴ θ = m × n, p = 0
r r r r r r ( m × n ) ⋅ p =| m × n | ⋅ | p | cosθ
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
机动
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结束
r r 定义：向量 a 与 b 的数量积是一个实数，记为 r r a ⋅ b 。定义 r r r r r r a ⋅ b =| a || b | cos a , b
r r r r （1）若 a , b 中有一个向量为 0 ，则规定 a ⋅ b = 0 。
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结束
二、两向量的向量积
r r 定义:向量 a 与 b 的向量积为一个向量，记作 r r r c = a ×b。 r b r r r r h 模为：| c |=| a || b | sinθ (其中θ 为 a r θ 与 b 的夹角)，数值上等于 r a r r
以 a,b 为 边 的 平 行 四 边 形 的面积。
r r r r r r r c × (a + b ) = c × a + c × b .
机动
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3. 证明向量积的分配律:
引理
(a+b)×c=(a × c)+(b × c)
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
a × c 0 = a2
证明 两向方向: 一致； 引入θ π |a2|= |a1| =| a | ⋅ cos( − θ ) 2 0
= 8 ⋅ 3 = 24.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、向量的混合积
r r r r r r 定义：设已知三个向量 a 、 b 、 c ，则 ( a × b ) ⋅ c 称
说明：
r r r r ( 2) a ⋅ b = 0 ⇐⇒ a⊥b .
r r r 2 ( 3) a ⋅ a =| a | . r r r r （4）向量 a 与 b 的数量积也称为 a 与 b 的点乘积或
内积。
机动
目录
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结束
数量积在几何上的一个解释： 由数量积的定义 r r r r r r a ⋅ b =| a || b | cos a , b r r r r = | a | Prja b =| b | Prjb a r r r r = | a | ( b )a = | b | ( a )b
由向量和的平行四边形法则，
(a+b)×c=(a × c)+(b × c)
将平行四边形一投一转
c
b c0 a
b1
a+b
(a+b)×c=(a × c)+(b × c)
得证
a × c0
b1
a×c
(a + b ) × c 0
b × c0
a1
a1
a 1 + b1
a 1 + b1
.
b×c
(a+b)×c
.
机动
目录
第三节 向量的乘法运算
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 二、向量的混合积
机动 目录
第七章
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返回
结束
一、两向量的数量积
r 例：设一物体在常力 F 作用 下沿直线从点 M 1 移动到点 r M 2 ，则力 F 所作的功为 r W =| F || M 1 M 2 | cosθ
F
θ
M1 M2
r (其中θ 为 F 与 M 1 M 2 的夹角)
r r r r r r r r = (a ⋅ c )b ⋅ c − (b ⋅ c )a ⋅ c r r r r r r r r = (a ⋅ c )(b ⋅ c ) − (b ⋅ c )(a ⋅ c )
=0
r r r r r r r ∴ [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⊥ c
机动
目录
的单位向量.
解
r i r r r c = a × b = ax bx
Q
r j ay by
r r r r k i j k r r a z = 3 − 2 4 = 10 j + 5k , bz 1 1 − 2
r 2 2 | c |= 10 + 5 = 5 5 ,
∴
r c ⎛ 2 r 1 r⎞ 0 j+ k ⎟. c = ± r = ±⎜ 5 ⎠ |c | ⎝ 5
——向量积的坐标表达式
机动
目录
上页
下页
返回
结束
向量积的行列式表示 r r r r r a × b = (a y bz − a z b y )i + (a z bx − a x bz ) j + (a x b y − a y bx )k
= ay by az r az i + bz bz
ax r ax j + bx bx
r r r r r ( 2) a // b ⇐⇒ a × b = 0.
(3) 向量积也称为“叉积”、“外积”.
机动
目录
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结束
向量积符合下列运算规律：
r r r r （1）反交换律： a × b = − b × a . r r r r r r （2）结合律： ( λa ) × b = a × ( λb ) = λ ( a × b ). r r r r r r r （3）分配律： (a + b ) × c = a × c + b × c .