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初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)初中数学竞赛中，平面几何是一个重要的考点。
以下是一些重要的定理、公式和结论。
三角形面积公式（包括海伦公式）：三角形的面积S可以用以下公式计算：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，$a$，$b$，$c$分别为三角形的三条边长。
另外，三角形的面积也可以用以下公式计算：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，其中$a$，$b$为两边，$C$为两边之间的夹角。
还有一个海伦公式：$S=\frac{1}{2}ah_a$，其中$h_a$为三角形顶点$A$到边$BC$的垂线长度，$a$为边$BC$的长度。
XXX定理：对于三角形$\triangle ABC$及其底边上的一点$D$，有$AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD-AD^2\cdotBC=BC\cdot DC\cdot BD$。
XXX定理：对于一个内接四边形，其对角线之积等于两组对边乘积之和，即$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$。
逆命题也成立。
同时还有广义托勒密定理：$AB\cdotCD+AD\cdot BC\geq AC\cdot BD$。
蝴蝶定理：如果$AB$是圆$O$的弦，$M$是$AB$的中点，弦$CD$，$EF$经过点$M$，$CF$，$DE$交$AB$于$P$，$Q$，则$MP=QM$。
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：对于一个直角三角形，锐角对边的平方等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍；钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍。
同时还有广义勾股定理。
中线定理（巴布斯定理）：对于一个三角形$\triangleABC$，如果$BC$的中点为$P$，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$。
同时，中线的长度可以用以下公式计算：$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$。
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
3.分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)…………(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
向量中关于三角形面积比的一个重要结论及其应用
三角形面积比(SAS即Side-Angle-Side)是求出三角形的面积的重要方法之一。
按照定义，
三角形面积比定义为两边分别与连结它们的角形成的比率，即b/a:c/a，其中a,b,c为三角形的三边。
应用三角形面积比，可以判断一个三角形和另一个三角形之间的相似性，还可以
求出三角形的面积。
关于三角形面积比，有一个重要的结论：若两个三角形的三边比例相等，则它们具有相同的面积比。
该结论十分重要，可以提供很多有用的信息。
首先，若我们准确地知道两个三角形的三边
长度，可以用该结论求出其面积比，从而计算出三角形的面积；其次，若我们只能换算出
两个三角形的面积比，我们也可以用这一结论，推知它们的三边比率是相等的。
此外，三角形面积比还可以应用在符号計算过程中。
如果三角形的两个内角同时不变，则
不管三边长度会发生多大的变化，总可以用三角形面积比来改变三角形的面积比，反映出
三边的变化对三角形的影响。
综上所述，三角形面积比是几何学研究中的一个重要维度，它提供了一个简单有效的方法，用于求出三角形的面积，以及分析三角形的相似性、获取三角形内部关系以及符号计算过
程中求解三角形等问题。
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知下列命题：①等弧所对的圆心角相等；②90°的圆周角所对的弦是直径；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个不相等的实数根，则ac< 0；④若二次函数y= 223ax ax -+的图象上有两点（－1，y 1）、（2，y 2），则1y >2y ；其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知二次函数2(2)3y x a x =-+-+，当2x >时y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程2133a x x x-=---的解是自然数，则符合条件的整数a 的和是（ ） A ．3B ．4C ．6D ．83．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AC ＝2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ）A ．15B ．10C ．7.5D ．54．若一元二次方程ax 2+bx +c=0的一个根为﹣1，则（ ） A ．a +b +c=0 B ．a ﹣b +c=0 C ．﹣a ﹣b +c=0 D ．﹣a +b +c=05．在三角形纸片ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．小明买彩票中奖B ．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数C ．等腰三角形的两个底角相等D ．a 是实数，0a <7．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ） A ．c ＝0B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣18．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l 和l 外一点A ，用直尺和圆规作图作直线AB ，使AB ⊥l 于点A ．下列四个作图中，作法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，二次函数2y ax bx c =++(0a >)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为1-和1．下列结论：①20a b -=；②0a b c ++<；③0abc <；④当12a =时，ABD ∆是等腰直角三角形．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．1个C ．2个D ．1个10．某次数学纠错比赛共有10道题目，每道题都答对得10分，答错或不答得0分，全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示： 成绩（分） 50 60 70 80 90100 人数25131073则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A ．75，70B ．80，80C ．70，70D ．75，8011．已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，若AD ＝10，A 'D '＝6，则△ABC 与△A 'B 'C '的周长比是（ ） A ．3：5B ．9：25C ．5：3D ．25：912．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ．438（1+x ）2=389 B ．389（1+x ）2=438 C ．389（1+2x ）=438D ．438（1+2x ）=389二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN=3，那么BC=____________．14．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA . 如果8AB =，2CD =，那么⊙O 的半径为_________．15．已知弧长等于3π，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是____________. 16．比较三角函数值的大小：sin30°_____cos30°(填入“＞”或“＜”)． 17．如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图的一部分．现从其余空白小正方形中任取一个涂上阴影，则图中六个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是______ ．18．如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得70ABO ∠=︒，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得50CDO ∠=︒，那么AC 的长度约为______米．（sin700.94︒≈，sin500.77︒≈，cos700.34︒≈，cos500.64︒≈）三、解答题（共78分）19．（8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？(2)设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加____件，每件商品，盈利______元(用含x 的代数式表示)； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？20．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价2元，每天可多销售16件,那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少? 21．（8分）将矩形AOCB 如图放置在平面直角坐标系中，E 为边OC 上的一个动点，过点E 作ED AE ⊥交BC 边于点D ，且OA ，OC 的长是方程220960x x -+=的两个实数根，且OC OA >．（1）设OE x =，CD y =，求y 与x 的函数关系(不求x 的取值范围)； （2）当D 为BC 的中点时，求直线AE 的解析式；（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点F ，使得以A ，D ，B ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为()2,4．矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD =2，AB =1．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒(03)t ≤≤，直线AB 与该抛物线的交点为N (如图2所示)． ①当52t =，判断点P 是否在直线MB 上，并说明理由； ②设P 、N 、C 、D 以为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．23．（10分）计算：318×36÷26 24．（10分）已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的函数值y 与自变量x 之间的对应数据如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y…1052125…（1）求b 、c 的值；（2）当x 取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？25．（12分）如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角30α=︒，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角60β=︒，求树高AB (结果保留根号).26．如图，正方形ABCD的过长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE．（1）求证：AQ⊥DP；（2）求证：AO2＝OD•OP；（3）当BP＝1时，求QO的长度．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】利用圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性分别判断正误后即可得到正确的选项．【详解】解：①等弧所对的圆心角也相等，正确，是真命题；②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，是真命题；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2－ac＞0，但不能够说明ac< 0，所以原命题错误，是假命题；④若二次函数223-+的图象上有两点（－1，y1）（2，y2），则y1＞y2，不确定，因为a 的正负性不确定，所以ax ax原命题错误，是假命题；其中真命题的个数是2，故选：B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性，难度不大．2、A【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．【详解】解：∵y=-x2+（a-2）x+3，∴抛物线对称轴为x=22a-，开口向下，∵当x＞2时y随着x的增大而减小，∴22a-≤2，解得a≤6，解关于x的分式方程2133a xx x-=---可得x=12a+，且x≠3，则a≠5，∵分式方程的解是自然数，∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，∴符合条件的整数a为：-1、1、3，∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，故选：A．【点睛】此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．3、D【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD 的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC＝2AD，∴214 BADBCAS ADS AC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭，∴13BADACDSS∆∆=，∵△ACD的面积为15，∴△ABD的面积＝13×15＝5，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.4、B【解析】直接把x＝−1代入方程就可以确定a，b，c的关系．【详解】∵x＝−1是方程的解，∴把x＝−1代入方程有：a−b＋c＝1．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，就可以确定a，b，c的值．5、D【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=1．A．44182AB==，对应边631842ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．338AB=，对应边633848ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．22163AC==，对应边631843ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D．22142BC==，对应边411822BCAB===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选D．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．6、C【分析】由题意根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可判断选项．【详解】解：A. 小明买彩票中奖，是随机事件；B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件；C. 等腰三角形的两个底角相等，是必然事件；D. a是实数，0a<，是不可能事件；故选C.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7、C【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，(﹣2)2﹣4×1×c ＝0，得c ＝1；当二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时， 则c ＝0，y ＝x 2﹣2x ＝x (x ﹣2)，与x 轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)； 由上可得，c 的值是1或0， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键． 8、C【分析】根据垂线的作法即可判断． 【详解】观察作图过程可知： A ．作法正确，不符合题意； B ．作法正确，不符合题意； C ．作法错误，符号题意； D ．作法正确，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法． 9、C【分析】①x ＝1＝−2ba，即b ＝−2a ，即可求解； ②当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，即可求解； ③分别判断出a,b,c 的取值，即可求解； ④12a =时，函数的表达式为：y ＝12（x ＋1）（x−1）=()21122x --，则点A 、B 、D 的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），即可求解．【详解】其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为−1和1，则函数的对称轴为：x ＝1， ①x ＝1＝−2ba，即b ＝−2a ，故不符合题意； ②当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，符合题意； ③由图可得开口向上，a ＞0， 对称轴x=1, ∴a,b 异号，b ＜0，图像与y 轴交于负半轴，c ＜0∴abc＞0，不符合题意；④12a=时，函数的表达式为：y＝12（x＋1）（x−1）=()21122x--，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），AB2＝（-1-1）2+02=16，AD2＝（-1-1）2+（0-2）2＝8，BD2＝（1-1）2+（0-2）2＝8，故△ABD是等腰直角三角形符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10、A【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；则中位数是75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A．【点睛】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．11、C【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【详解】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：1．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．12、B【详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) 元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x) ＝389(1＋x)2元．据此，由题设今年上半年发放了1元，列出方程：389（1+x）2=1．故选B．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据垂径定理得出AN=CN ，AM=BM ，根据三角形的中位线性质得出BC=2MN ，即可得出答案．【详解】解：∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OM 过O ，ON 过O ，∴AN=CN ，AM=BM ，∴BC=2MN ，∵∴，故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理和三角形的中位线性质，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦． 14、5 【分析】由垂径定理可知12AC AB =，在Rt AOC 中利用勾股定理即可求出半径. 【详解】设⊙O 的半径为r∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ， ∴118422AC AB ==⨯= 在Rt AOC 中∵222AO AC OC =+∴2224(2)r r =+-∴=5r故答案为5【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理的内容是解题的关键.15、90°【分析】把弧长公式l=180n r π进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵l=180n r π，∴n=180l r π=18036ππ⨯⨯=90°． 故答案为：90°．【点睛】本题考查的是弧长的计算，正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关键．16、＜【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入比较得出答案．【详解】解：∵sin30°＝12，cos30°＝2． ∴sin30°＜cos30°．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题关键.17、47【分析】首先确定所求的阴影小正方形可能的位置总数目，除以剩余空白部分的正方形的面积个数即为所求的概率．【详解】解：从阴影下边的四个小正方形中任选一个，就可以构成正方体的表面展开图， ∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是47． 故答案为：47． 【点睛】 本题将概率的求解设置于正方体的表面展开图中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；“一，四，一”组合类型的6个正方形能组成正方体．18、1.02【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO ，CO 的长，进而得出答案．【详解】由题意可得：∵70ABO ∠=︒，6AB m =，sin 700.946AO AO AB ∴︒==≈， 解得： 5.6()4AO m =，∵50CDO ∠=︒，6DC m =，sin 500.776CO ∴︒=≈，解得： 4.6()2CO m =，则 5.64 4.62 1.02()AC m =-=，答：AC 的长度约为1.02米．故答案为1.02．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO ，CO 的长是解题关键．三、解答题（共78分）19、（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；（2）2x ；50﹣x ．（3）每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元．【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x 元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再根据尽快减少库存即可确定x 的值．【详解】（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品，盈利（50-x ）元．故答案为2x ；50-x ．（3）根据题意，得：（50-x ）×（30+2x ）=2000， 整理，得：x 2-35x+10=0，解得：x 1=10，x 2=1，∵商城要尽快减少库存，∴x=1．答：每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．20、（1）该商品连续两次下降的百分率为10%；（2）售价为43元时，可获最大利润1352元【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，2(1)x -为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；（2）设每天要想获得S 元的利润，则每件商品应降价m 元，由销售问题的数量关系建立函数解析式，由二次函数性质求出其解即可．【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x ．250140.5x ⨯-=（）120.1, 1.9x x ==（不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下降的百分率为10%；（2）设降价m 元，利润为S 元. 则503048162m S m =--⎛⎫⨯ ⎪⎝+⎭（） 28112960m m =-++()2871352m =--+ 7m ∴=，即售价为43元时，可获最大利润1352元【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解（1）关键是根据题意找到等量关系，解（2）的关键是解决销量与价格变化关系，列出函数解析式，解答即可．21、（1）21382y x x =-+；（2）28y x =-+或8y x =-+；（3）存在．()10,12F ，()224,4F ，()30,4F ． 【分析】（1）利用因式分解法解出一元二次方程，得到OA 、OB 的长，证明△AOE ∽△ECD ，根据相似三角形的性质列出比例式，整理得到y 与x 的函数关系；（2）列方程求出OE ，利用待定系数法求出直线AE 的解析式；（3）根据平行四边形的性质、坐标与图形性质解答．【详解】（1）220960x x -+=，()()1280x x --=，∴解得112x =，28x =．∵OC OA >，∴8OA =，12OC =．∵ED AE ⊥，∴∠AEO ＋∠DEC ＝90︒，又∵∠AEO ＋∠OAE ＝90︒，∴∠OAE ＝∠CED ，又∠AOE ＝∠ECD ＝90︒，∴AOEECD ∆∆， ∴AO OE EC CD=， ∴812x x y=-， ∴21382y x x =-+． （2）当D 为BC 的中点时，4y =． ∵213+82y x x =-， ∴213+482x x -=． 解得14x =，28x =．当4x =时，设直线AE 的解析式为y kx b =+，把A （0，8），E （4，0）代入得40,8.k b b +=⎧⎨=⎩解得2,8.k b =-⎧⎨=⎩， ∴28y x =-+；当8x =时，设直线AE 的解析式为11y k x b =+，把A （0，8），E （8，0）代入得11180,8.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得111,8.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AE 的解析式为28y x =-+或8y x =-+．（3）当点F 在线段OA 上时，FA ＝BD ＝4，∴OF ＝4，即点F 的坐标为（0，4），当点F 在线段OA 的延长线上时，FA ＝BD ＝4，∴OF ＝12，即点F 的坐标为（0，12），当点F 在线段BC 右侧、AB ∥DF 时，DF ＝AB ＝12，∴点F 的坐标为（24，4），综上所述，以A ，D ，B ，F 为顶点的四边形为平行四边形时，点F 的坐标为（0，4）或（0，12）或（24，4）．【点睛】本题考查的是一次函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22、（1）y =-x 2+4x ；（2）点P 不在直线MB 上，理由见解析；②当t =32时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为214． 【分析】（1）设抛物线解析式为2(2)4y a x =-+，将(0,0)代入求出a 即可解决问题；（2）①由（1）中抛物线的解析式可以求出E 点的坐标，从而可以求出ME 的解析式，再将P 点的坐标代入直线的解析式就可以判断P 点是否在直线ME 上．②设出点(N t ，2(2)4)t --+，可以表示出PN 的值，根据梯形的面积公式可以表示出S 与t 的函数关系式，从而可以求出结论．【详解】解：（1）设抛物线解析式为2(2)4y a x =-+，把(0,0)代入解析式得2(02)40a -+=，解得，1a =-，∴函数解析式为2(2)4y x =--+，即24y x x =-+．（2）①2(2)4y x =--+，∴当0y =时，2(2)40x --+=，10x ∴=，24x =，)0(4,E ∴，设直线ME 的解析式为：y kx b =+，则4204k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：28k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线ME 的解析式为：28y x =-+，∴当52t =时，5(2P ，5)2，∴当52x =时，55832=-+=≠y ， ∴当52t =时，点P 不在直线ME 上． ②S 存在最大值．理由如下：点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上，OA AP t ∴==．∴点P ，N 的坐标分别为(,)t t 、2(,4)t t t -+，24(03)AN t t t ∴=-+，22(4)3(3)0AN AP t t t t t t t ∴-=-+-=-+=-，23PN t t ∴=-+，I.当0PN =，即0t =或3t =时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ， ∴1123322S CD AD ==⨯⨯=，II.当0PN ≠时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形，//PN CD ，AD CD ⊥， ∴1()2S CD PN AD =+，221[3(3)]2332t t t t =+-+⨯=-++， 2321()24t =--+， 03t <<， 32t ∴=时，S 有最大值为214， 综合以上可得，当32t =时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为214． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．根据几何关系巧妙设点，把面积用t 表示出来，转化为函数最值问题是解题的关键． 23、34ab ab =a≥0，b≥0）和除法法则=a≥0，b ＞0）进行计算即可．【详解】解：原式＝1(32)6⨯÷=34= 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键.24、（1）b=-4,c=5；（2）当x ＝2时，二次函数有最小值为1【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案．【详解】（1）把（0，5），（1，2）代入y =x 2+bx +c 得：512c b c =⎧⎨++=⎩， 解得：45b c =-⎧⎨=⎩， ∴4b =-，5c =；（2）由表格中数据可得：∵1x =、3x =时的函数值相等，都是2， ∴此函数图象的对称轴为直线3122x +==， ∴当x =2时，二次函数有最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25、【分析】如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设AB 长为x ，则易得AF=x-4，在Rt △ACF 中利用∠α的正切函数可由AF 把CF 表达出来，在Rt △ABE 中，利用∠β的正切函数可由AB 把BE 表达出来，这样结合BD=CF ，DE=BD-BE 即可列出关于x 的方程，解方程求得x 的值即可得到AB 的长.【详解】解：如图，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，设AB =x ，则AF =x -4，∵在Rt △ACF 中，tan∠α=AF CF ， ∴CF =4tan30x -︒=BD ， 同理，Rt △ABE 中，BE =tan60x ︒， ∵BD -BE =DE ， ∴4tan30x -︒-tan60x ︒=3， 解得x 332答：树高AB 为（332 . 【点睛】作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF 和BE 分别用含x 的式子表达出来是解答本题的关键.26、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）QO ＝135． 【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，得到AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P ＝∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ．（2）根据相似三角形的性质得到AO 2＝OD •OP（3根据相似三角形的性质得到BE ＝34，求得QE ＝134，由△QOE ∽△PAD ，可得QO QE PA PD =，解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，∵BP ＝CQ ，∴AP ＝BQ ，在△DAP 与△ABQ 中，AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△DAP ≌△ABQ ，∴∠P ＝∠Q ，∵∠Q +∠QAB ＝90°，∴∠P +∠QAB ＝90°，∴∠AOP ＝90°，∴AQ ⊥DP ；（2）证明：∵∠DOA ＝∠AOP ＝90°，∠ADO +∠P ＝∠ADO +∠DAO ＝90°，∴∠DAO ＝∠P ，∴△DAO ∽△APO ， ∴AO OP OD OA=， ∴AO 2＝OD •OP ．（3）解：∵BP ＝1，AB ＝3，∴AP ＝4，∵△PBE ∽△PAD ， ∴43PB PA EB DA ==， ∴BE ＝34，∴QE ＝134， ∵△QOE ∽△PAD ， ∴QO QE PA PD ==1345∴QO ＝135． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键．。
勾股定理典例分析窗体顶端 历史上，勾股定理的证明异彩纷呈，近年来中考中对勾股定理的考查打破了以往直接给出结论要求学生证明的方式，而是通过观察、操作、实验探究证明勾股定理，注重考生的动手实践和自主探索，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；而数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用体现了勾股定理丰富的文化内涵，有些中考题中呈现出勾股定理的历史便于我们深入的了解，证明、运用勾股定理解决一些实际问题是近几年中考的热点题型．典型例题剖析：例1如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形证明勾股定理．(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）分析：本题第（1）问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔德首先提出的．此题是对学生的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再证明结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有意义，考生在拼拼、画画、证明结论的过程中，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了学生通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第（3）问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考生的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导学生学会学习．解：（1）图形要规范、正确．如图，写出是直角梯形．（2）∵ S 梯形 =()2)(21)(21b a b a b a +=++， S 梯形 =222121221c ab c ab +=+⨯ ∴2221)(21c ab b a +=+. 整理，得 222c b a =+.（3）拼出能证明勾股定理的图形即可．下面举出三种拼图方法：例2（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm 、宽为2cm 的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形.（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）分析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5① 由勾股定理，得a 2+b 2=13②. ①2 – ②，得 2ab=12.∴(a-b)2 = a 2+b 2-2ab=13 –12 =1③. 即 所求的中间小正方形的面积为1. （2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm 2)，所以，可按照图甲制作. 由③，得a-b=1.由①、③组成方程组解得 a=3，b=2.结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm 的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-12×3×2×4=13-12=1(cm 2)，恰好等于中间的小正方形面积.于是，得到以下分割拼合方法：小结：例1拼合、例2分割相得益彰．例3据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且从3起就没有间断过.计算)19(21-、)19(21+与)125(21-、)125(21+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式； ⑵根据⑴的规律，用n (n 为奇数且．．．n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，图甲图乙3cm 3cm 0.5cm 13cm 1cm1cm0.5cm 3cm 2cm 13cm 2cm合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；⑶继续观察4，3，5； 6，8，10； 8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m (m 为偶数且．．．m ＞4)的代数式来表示他们的股．和弦．. 分析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明. 由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识．解：(1)∵4)19(21=-，5)19(21=+；12)125(21=-，13)125(21=+； ∴7，24，25的股的算式为()1721)149(212-=-弦的算式为()1721)149(212+=+(2)当n 为奇数且n ≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n ， ()1212-n ，()1212+n .例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：222弦股勾=+ 证明关系式①：弦－股＝()()()()[]111211211212222=--+=--+n n n n 或证明关系式②：()()2222422222141412141121弦股勾=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+n n n n n∴猜想得证．(3)例如探索得，当m 为偶数且m ＞4时，股、弦的代数式分别为：122-⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，122+⎪⎭⎫⎝⎛m 例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股. 即上一组为：n ，()1212-n ，()1212+n (n 为奇数且n ≥3)， 分别记为：A 1、B 1、C 1，下一组为：2+n ，()[]12212-+n ，()[]12212++n (n 为奇数且n ≥3)， 分别记为：A 2、B 2、C 2， 则：A 1+B 1+ A 2＝n +()1212-n +(2+n )＝()34212++n n ＝()[]12212-+n ＝ B 2. 或B 1+ C 2＝ B 2+ C 1(证略)等等.例4如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2 .(1) S 1=S 2+S 3 .(2) S 1=S 2+S 3 . 证明如下：显然，S 1=23c ，S 2=23a ， S 3=23b ，∴S 2+S 3=22233()a b c +==S 1 .(也可用三角形相似证明)(3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：∵ 所作三个三角形相似， ∴22322211,.S S a b S c S c == 2223123211,S S a b S S S S c ++∴==∴=+.(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1＝S 2＋S 3下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用 例5阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．OA 1 OA 2OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072 例62002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169分析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C. 说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a 2+b 2=c 2.他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”即2ab+（b-a ）2=c 2 化简便得出：a 2+b 2=c 2这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.【每周一练】 一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68CA BD3、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为.6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160 m，则A、B两点之间的距离为m（结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c2＝＋．化简后即为c2＝．8米2米8米第6题图6012140B6AC第5题图bc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为．10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ． 11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________. 13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ， ， ）． 三、解答题1、n 2 3 4 5 … a 22-1 32-1 42-1 52-1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1） 分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a 2+b 2=c 2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．（3） 用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空：寻求某些勾股数的规律：B B'OA A'⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ． ⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=；若勾股数为5，12，13，则有131252+=；若勾股数为7，24，25，则有 ；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ， ，则有=2m ，用m 来表示n ＝ ； 当17=m 时，则n ＝ ，此时勾股数为 ． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB C D '''的位置，连结CC '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形BCC D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EFGH 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；D 'A B 'D C 'A B C bc 第4题图ABCDEFGH1……S 1A 2S 2A 3S 3S 4S 5A 6A 5A 4A 1O 11111（2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．【参考答案】 一、选择题1、C2、D3、B4、B5、C 二、填空题1、3；2、6.5；3、判断一个三角形是直角三角形分类讨论8；4、6；5、100mm ；6、10；7、803；8、ab 214⨯，b 2 – a 2，a 2+b 2 ； 9、4，6；10、13；11、122（或4096）12、③；13、212-k ，212+k三、解答题1、解：（1）n 2-1 2 n n 2+1（2）答：以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形证明：∵a 2+ b 2=(n 2-1)2+4 n 2= n 4-2 n 2+1+4 n 2= n 4+2 n 2+1=( n 2+1)2=c 2 ∴以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形2、分析：由题中给出的五组商高数的构成形式，便可掌握商高数的构成规律，从而得到商高数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程． 解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数． （2）（40，42，58，），（119，120，169） （3）a = 2mn ， b = m 2 – n 2， c = m 2 + n 2 证明：a 2 +b 2 = (2 m n)2+ ( m 2 – n 2)2= 4m 2n 2 +m 4 -2m 2n 2n +4= m 4 +2m 2n 2+n 4 = (m 2+n 2 )2 ∴ a 2+b 2 = c 23、⑴222554433=+ 222)5()4()3(n n n =+⑵252472+= 1+n 12+n 212-m 144 （17，144，145）⑶)810(28106222+=-=)1517(215178222+=-= )2426(2242610222+=-= )3537(2353712222+=-=)1(4)22(2)2(222+=+=-+=n n n n m442-=m n当24=m 时，14344242=-=n ，1452=+n 当偶数为24的勾股数：（24，143，145） 4、证明：四边形BCC D ''为直角梯形，21()()22BCC D a b S BC C D BD ''+'''∴=+⋅=梯形 Rt ABC △≌ Rt AB C ''△，BAC BAC '∴∠=∠.90CAC CAB B AC CAB BAC '''''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒.（或：矩形ABCD 绕点A 旋转90︒，AC 旋转到AC '的位置，则90CAC '∠=︒）ABC CAC D AC BCC D S S S S '''''∴=+△△△梯形+2211122222c ab ab c ab +=++=. 22222()2.22a b c aba b c ++∴=∴+=.5、分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角. ∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.在Rt △ABF 与△DAE 中，∠BAF=∠ADE ，AB=AD ∴△ABF ≌△DAE(AAS). 6、解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+ （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA 10＝10（3）455)210()23()22()21(2222210232221=+++=++++ S S S S。
2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（下）第一次月考数学试卷1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2. 如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.3. 三角形三边长为a，b，c满足，则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 直角三角形4. 下列计算正确的是( )A. B.C. D.5. 如图，在中，，，，则AB等于( )A. 2B. 3C.D. 46. 下列说法正确的是( )A. 矩形对角线相互垂直平分B. 对角线相等的菱形是正方形C. 一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线相等的平行四边形是菱形7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知，则的大小是( )A. B. C. D.8. 由下列条件不能判定为直角三角形的是( )A. B. a：b：：1：2C. D.9. 如图，数轴上点C所表示的数是( )A. B. C. D.10. 如图，在平行四边形ABCD中，，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是( )A. B. 1 C. D.11. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为( )A.B.C.D.12. 如图，四边形ABCD中，，，且，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，，则的值为( )A. 22B. 24C. 44D. 4813.如图，在中，，，D是AB的中点，则______ .14. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为______ .15. 如图，，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______ .16. 比较大小：______填“>”，“=”，“<”号17. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形较短直角边长为b，若拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为______ .18. 如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若，，则EF的长为______ .19. 计算：；；；20. 先化简，再求值：，其中21.如图，已知中，，D是AC上一点，且，求证：是直角三角形；求AB的长.22. 如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且求证：四边形AECF是平行四边形；在中，若，，，求BC边上的高23. 如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米.求该河的宽度AB；两岸可近似看作平行设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间.24. 如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点F，使得，连接求证：四边形BCFE是菱形；若，，求菱形BCFE的面积.25. 如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动，设点Q的运动的时间为t秒.的长为______ .求PC的长用含t的代数式表示当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.直接写出是以CD为腰的等腰三角形时t的值.26. 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；如图2，对角线AC与BD交于点，AC分别与AE，BF交于点G，点①求证：；②连接OP，若，，求AB的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，因此不是最简二次根式，故A不符合题意；B.，因此不是最简二次根式，故B不符合题意；C.是最简二次根式，故C符合题意；D.，因此不是最简二次根式，故D不符合题意．故选：根据最简二次根式的定义进行判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.【答案】B【解析】解：由题意得：，，故选：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．3.【答案】D【解析】解：，，，，，，，，，，这个三角形是直角三角形，故选：根据已知条件可得，，，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．本题考查了直角三角形的判定，涉及非负数的性质，勾股定理的逆定理等，求出三角形的三边长是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不合题意；D.，故此选项不合题意；故选：直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】A【解析】解：在中，，，故选：由的度数及AC的长，结合可求出AB的长，此题得解．本题考查了含30度角的直角三角形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AB的长是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：矩形的对角线相等且互相平分，故A原说法错误，不符合题意；B.对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C原说法错误，不符合题意；D.对角线相等的平行四边形是矩形，故D原说法错误，不符合题意；故选：根据矩形的性质可得A错误；正方形的判定方法可得B正确；根据菱形的判定可得C错误；根据对角线的关系判定矩形，从而得D错误．本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，菱形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解．7.【答案】C【解析】解：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，，，，故选：由矩形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：A、，，，是直角三角形，不符合题意；B、设，，，，不是直角三角形，符合题意；C、，，，是直角三角形，不符合题意；D、，是直角三角形，不符合题意；故选：根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于9.【答案】D【解析】解：，，，，，故D正确．故选：根据勾股定理求出OB的长，得出，即可得出数轴上点C所表示的数是本题主要考查勾股定理与无理数，掌握定理内容准确计算并利用数形结合思想是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据题意得，CE是的角平分线，，平行四边形ABCD，，，如图所示，设AD与CE交于点F，，，，是等腰三角形，即，，同理，，且，，是等腰三角形，即，故选：根据题意可求出是等腰三角形，即，是等腰三角形，即，由此即可求解．本题主要考查平行四边形，等腰三角形的综合，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折断处离地面的高度为x尺，竹梢到折断处的长度为尺．依题意得：故选：由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：，，，，过A作交BC于E，则，，四边形AECD是平行四边形，，，，，，，，，，故选：根据已知条件得到，，过A作交BC于E，则，根据平行四边形的性质得到，，由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】12【解析】解：在中，，D是AB的中点，故答案为：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14.【答案】15【解析】解：在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，斜边长为：故答案为：根据勾股定理直接求出斜边的长即可．本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么15.【答案】10【解析】解：连接BD，，，的面积为5，的面积为5，四边形ABED为平行四边形，平行四边形ABED的面积故答案为：连接BD，由平行线的性质得出，由平行四边形的性质可得出答案．本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．16.【答案】>【解析】解：，，，，故答案为：先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．本题考查了实数的大小比较法则和二次根式的性质，能选择适当的方法比较大小是解此题的关键．17.【答案】2【解析】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为2ab，大正方形面积为，小正方形面积为，，，大正方形的面积为16，，小正方形的面积为，故答案为：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为16，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理解大正方形面积为是解题关键．18.【答案】【解析】解：过点E作于点四边形ABCD是菱形，，，，为等边三角形，，，，≌，，，，是等边三角形，，，，，，，，故答案为：利用全等三角形的性质证明是等边三角形，再利用勾股定理求出EC，可得结论．本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．19.【答案】解：；；；【解析】根据二次根式乘法运算法则进行计算即可；根据二次根式除法运算法则进行计算即可；先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则计算即可；先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式混合运算法则计算即可．本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则，准确计算．20.【答案】解：原式，当时，原式【解析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．21.【答案】证明：，，，，，故是直角三角形；解：设，则，，，，解得，故【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；设，则，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，且，，，，四边形AECF是平行四边形；解：，，，，，【解析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．利用平行四边形的性质得出，再得出，即可证明四边形AECF是平行四边形；根据勾股定理求出AB的长，然后根据等积法求出BC边上的高AG即可．23.【答案】解：设米，则米，在中，根据勾股定理得：，解得：，答：河宽240米．秒，秒，秒，答：航行总时间为秒．【解析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边AB的距离；根据时间=路程速度，求出行驶的时间即可．本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．24.【答案】证明：、E分别是AB、AC的中点，，且又，，，四边形BCFE是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形又，四边形BCFE是菱形邻边相等的平行四边形是菱形解：在菱形BCFE中，，，是等边三角形．过点E作于点【解析】根据点D和E分别是AB和AC的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到，且，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形BCFE是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；根据的大小，可判定是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作于点G，运用勾股定理，即可得到EG的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．25.【答案】5【解析】解：如图，过点D作于E，，，，，，四边形ABED是矩形，，，，，故答案为：5；，，；四边形ACPQ是平行四边形，，，即，，，或，①当时，，解得，或；②当时，则DE垂直平分PC，，即，，综上，是以CD为腰的等腰三角形时t的值为或或过点D作于E，根据题意推出四边形ABED是矩形，根据勾股定理求解即可；根据线段的和差结合绝对值性质求解即可；当四边形ACPQ为平行四边形时，，即，可将t求出；①当时，，据此求解即可；②当时，则DE垂直平分PC，则，即，据此求解即可．本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．26.【答案】解：理由如下：四边形ABCD是正方形，，，在和中，，≌，，，，，；①证明：四边形ABCD是正方形，，，，已证，，即，在和中，，≌，；②解：如图2，过点O作于M，作于N，≌已证，，在和中，，≌，，四边形OMPN是正方形，，，，，在中，，正方形ABCD的边长【解析】根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再求出，然后根据垂直的定义解答即可；①根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；②过点O作于M，作于N，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形OMPN是正方形，根据正方形的性质求出，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根据正方形的性质求出AB即可．本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，②难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以OP为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．。
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其，设为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
3.分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD…………S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………由式和式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知二次函数y=a(x+1)2+b(a ≠0)有最大值1，则a 、b 的大小关系为（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．不能确定2．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直3．如图，在ABC ∆中，点D 为AC 边上一点，,6,3DBC A BC AC ∠=∠==则CD 的长为（ ）A ．1B ．12 C ．2 D ．324．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°5．在Rt △ABC 中，∠90C =︒，如果4AC =，3BC =，那么cos A 的值为（ ）A ．45 B ．35C ．43 D ．346．反比例函数ky x =在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．87．如果将抛物线y ＝x 2向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（ ）A ．y ＝x 2+1B ．y ＝x 2﹣1C ．y ＝（x +1）2D ．y ＝（x ﹣1）2 8．如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120，那么圆心O 到弦AB 的距离等于（ ）A ．1B ．3C ．2D ．239．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝24，AB ＝25，CD 是斜边AB 上的高，则cos ∠BCD 的值为( )A ．725B ．2425C ．724D ．24710．如图，某物体由上下两个圆锥组成，其轴截面ABCD 中，60A ∠=，90ABC ∠=.若下部圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（ ）A 2B ．32C 3D ．2二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，已知等边OAB ∆的边长为23+，顶点B 在y 轴正半轴上，将OAB ∆折叠，使点A 落在y 轴上的点'A 处，折痕为EF .当'OA E ∆是直角三角形时，点'A 的坐标为__________．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC ＝3，AB ＝5，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为_____．13．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：其中正确结论有_____．①abc ＞0；②16a +4b +c ＜0；③4ac ﹣b 2＜8a ；④13＜a 23<；⑤b ＜c ．14．若式子12x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________． 15．如图，ABCD 的对角线交于O ，点E 为DC 中点，AC=10cm ，△OCE 的周长为18cm ，则ABCD 的周长为____________．16．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____．17．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，且CD AB ⊥，垂足为D ，4CD =，3OD =，则BD =__________．18．如图，这是二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x 的取值范围为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在ABC 中，,120AC BC ACB =∠=︒， 点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △.()1如图1，若45,6CDB AB ∠=︒=求等边CDE △的边长;()2如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G .①求证:CF DF ；②如图3，将CFD △沿CF 翻折得'CFD ，连接'BD ，直接写出'BD AB 的最小值.20．（6分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？21．（6分）我市某旅行社为吸引我市市民组团去长白山风景区旅游，推出了如下的收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为800元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于650元，某单位组织员工去长白山风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用21000元，请问该单位这次共有多少员工去长白山风景区旅游？22．（8分）在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；（2）己知tan A＝24，AB＝2AC、BC的长．23．（8分）女本柔弱，为母则刚，说的是母亲对子女无私的爱，母爱伟大，值此母亲节来临之际，某花店推出一款康乃馨花束，经过近几年的市场调研发现，该花束在母亲节的销售量y（束）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，已知该花束的成本是每束100元．（1）求出y关于x的函数关系式（不要求写x的取值范围）；（2）设该花束在母亲节盈利为w元，写出w关于x的函数关系式：并求出当售价定为多少元时，利润最大？最大值是多少？（3）花店开拓新的进货渠道，以降低成本．预计在今后的销售中，母亲节期间该花束的销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为200元，且销售利润不低于9900元的销售目标，该花束每束的成本应不超过多少元．24．（8分）如图，在△ABC 中，点O 在边AC 上，⊙O 与△ABC 的边BC ，AB 分别相切于C ，D 两点，与边AC 交于E 点，弦CF 与AB 平行，与DO 的延长线交于M 点．（1）求证：点M 是CF 的中点；（2）若E 是DF 的中点，BC ＝a ，①求DF 的弧长； ②求AE OE的值．25．（10分）定义：已知点O 是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O 叫做该三角形的等距点．（1）如图1：ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，O 在斜边AB 上，且点O 是ABC ∆的等距点，试求BO 的长；（2）如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=，点P 在边AB 上，2AP BP =，D 为AC 中点，且90CPD ∠=． ①求证：CPD ∆的外接圆圆心是ABC ∆的等距点；②求tan PDC ∠的值．26．（10分）为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】根据二次函数的性质得到a＜0，b=1，然后对各选项进行判断．【详解】∵二次函数y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值1，∴a＜0，b=1．∴a<b，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值2、B【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，【点睛】考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．3、C【解析】根据∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边的比相等得到636CD=，代入求值即可.【详解】∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴CD BC BC AC=，∴636CD=，∴CD=2.故选:C.【点睛】主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.4、D【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，则OA＝OB＝3，∵AB＝2，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，【点睛】此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.5、A【分析】先利用勾股定理求出AB 的长度，从而cos AC A AB =可求. 【详解】∵∠90C =︒，4AC =，3BC =∴5AB == ∴4cos 5AC A AB == 故选A【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.6、B【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方， ∴3k <2，即k<6， ∴3<k<6，故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.7、A【分析】根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2向上平移1个单位后的顶点坐标为（0，1），∴所得抛物线对应的函数关系式是y ＝x 2+1．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的平移，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.8、C【分析】过O 作OD ⊥AB 于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.【详解】解：过O 作OD ⊥AB ，垂足为D,∵OA=OB,∴∠BOD=12∠AOB=12×120°=60°, ∴∠B=30°,∴OD=12OB=12×4=2. 即圆心O 到弦AB 的距离等于2.故选：C.【点睛】本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.9、B【分析】根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题. 【详解】解：在Rt ABC 中，∵24AC =，25AB =,CD 是斜边AB 上的高，∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,∴cos BCD ∠=cos A ∠=AC AB = 2425, 故选B.【点睛】本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A 是解题关键.10、C【分析】先证明△ABD 为等边三角形，得到AB=AD=BD ，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，由90ABC ∠=求出∠CBD=∠CDB=30°，从而求出BC 和BD 的比值，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，从而得到上部圆锥的侧面积．【详解】解：∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，∵∠ABC=90°，∴∠CBD=30°，而CB=CD，∴△CBD为底角为30°的等腰三角形，过点C作CE⊥BD于点E，易得BD=2BE，∵∠CBD=30°，∴BE：BC=3：2，∴BD：BC=23：2=3：1，即AB：BC=3：1，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积=313⨯=．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．二、填空题(每小题3分,共24分)+11、(0,1)，(0,13)【解析】当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E＝AE，且A′E＋OE＝OA＝2，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长,据此可求出A′的坐标；当∠A’EO=90°时，△A′EO是直角三角形，设OE=x,则AE=A’E=2+-x,根据三角函数的关系列出方程即可求解x,从而求出A’的坐标.【详解】当A′E∥x轴时，△OA′E是直角三角形，故∠A′OE＝60°，A′E＝AE，设A′的坐标为（0，b），∴AE＝A′E＝b，OE＝2b，＋2b＝2，∴b＝1，A′的坐标是（0，1）；当∠A’EO=90°时，△A′EO是直角三角形，设OE=x,则AE=A’E=2-x,∵∠AOB=60°，∴A’E=OEtan60°2+-x解得x=1 2∴1∴A’（01）综上，A’的坐标为(0,1)，(0,1+.【点睛】此题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟知等边三角形的性质、三角函数的应用.12、1【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC4，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，而OB＝OA，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ＝12AC ＝12×4＝1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论及垂径定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”，及垂径定理是关键．13、①③④．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】抛物线开口向上，因此a ＞0，对称轴为x =1＞0，a 、b 异号，故b ＜0，与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c ＜﹣1，所以abc ＞0，故①正确；抛物线x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为x =1，因此与x 轴的另一个交点为（3，0），当x =4时，y =16a +4b +c ＞0，所以②不正确；由对称轴为x =1，与y 轴交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即244ac b a-＜﹣1，也就是4ac ﹣b 2＜﹣4a ，又a ＞0，所以4ac ﹣b 2＜8a 是正确的，故③是正确的；由题意可得，方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1=﹣1，x 2=3，又x 1•x 2=c a ，即c =﹣3a ，而﹣2＜c ＜﹣1，也就是﹣2＜﹣3a ＜﹣1，因此13＜a ＜23，故④正确； 抛物线过（﹣1，0）点，所以a ﹣b +c =0，即a =b ﹣c ，又a ＞0，即b ﹣c ＞0，得b ＞c ，所以⑤不正确，综上所述，正确的结论有三个：①③④，故答案为：①③④．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．14、1≥x 且2x ≠【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可.【详解】由题意得x-1≥0且x-2≠0，解得1≥x 且2x ≠故答案为：1≥x 且2x ≠【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．15、52cm【分析】先利用平行四边形的性质得AO=OC,再利用三角形中位线定理得出BC=2OE，然后根据AC=10cm，△OCE 的周长为18cm，可求得BC+CD，即可求得ABCD的周长．【详解】∵ABCD的对角线交于O，点E为DC中点，∴EO是△DBC的中位线，AO=CO，CD=2CE，∴BC=2OE，∵AC=10cm，∴CO=5cm，∵△OCE的周长为18cm，∴EO+CE=18−5=13(cm)，∴BC+CD=26cm，∴▱ABCD的周长是52cm.故答案为：52cm.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解答本题的关键．16、3 5【解析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案. 【详解】画树状图为：共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，∴恰好选中一男一女的概率是123 205，故答案为：35．【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率.17、2【分析】先连接OC ，在Rt △ODC 中，根据勾股定理得出OC 的长，即可求得答案．【详解】连接OC ，如图，∵CD=4，OD=3，CD AB ⊥，在Rt △ODC 中， ∴2222345OC OD CD =+=+=，∵OC OB =，∴532BD OB OD =-=-=．故答案为：2．【点睛】此题考查了圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18、﹣1＜x ＜1．【分析】根据图象直接可以得出答案 【详解】如图，从二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣1的图象中可以看出函数值小于0时x 的取值范围为：﹣1＜x ＜1【点睛】此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键三、解答题(共66分)19、（16；（2）证明见解析；（3）最小值为36【分析】(1)过C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF 的长，再用正弦函数即可求解；(2) 如图（2）1：延长BC 到G 使CG=BC ，易得△CGE ≌△CAD ，可得CF ∥GE ，得∠CFA=90°，CF=12GE 再证DG=12AD ，得CF=DG ，可得四边形DGFC 是矩形即可； （3）如图（2）2：设ED 与AC 相交于G ，连接FG ,先证△EDF ≌△F D'B 得BD'=DE ，当DE 最大时BD AB'最小，然后求解即可；【详解】解：（1）如图：过C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，∵,120AC BC ACB =∠=︒，6AB =∴∠A=∠B=30°，BF=3∵tan ∠B=333CF CF BF == ∴CF=3又∵sin ∠CDB= sin45°=322CF DC DC == ∴DC=6∴等边CDE △的边长为6；()2①如图（2）1：延长BC 到G 使CG=BC∵∠ACB=120°∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°又∵∠ACB=60°∴∠GCE=∠ ACD又∵CE=CD∴△CGE ≌△CAD （SAS ）∴∠G=∠ A=30°，GE=AD又∵EF=FB∴GE ∥FC, GE=12FC, ∴∠BCF=∠G=30°∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°∴CF ∥DG∵∠ A=30°∴GD=12AD, ∴CF=DG∴四边形DGFC 是平行四边形，又∵∠ACF=90°∴四边形DGFC 是矩形，∴CF DF②）如图（2）2：设ED 与AC 相交于G ，连接FG由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB 'FD FD∴△EDF ≌△F D'B∴BD'=DE∴BD'=CD∴当BD'取最小值时，BD AB'有最小值 当CD ⊥AB 时，BD'min =12AC,设CDmin=a ，则AC=BC=2a ，BDAB '6=； 【点睛】本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.20、（1）甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.（2）乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.【解析】分析: （1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方，根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a 万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.详解:（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方.根据题意，得 ()15015012040110103.2x y y x y +=⎧⎨++=⎩解之，得0.420.38x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.（2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高z 万立方.根据题意，得40（0.38+z ）+110(0.38+z+0.42≥120，解之，得z≥0.112，答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于a 的一元一次不等式.21、共有30名员工去旅游．【分析】利用总价＝单价×数量求出人数时25时的总费用，由该费用小于21000可得出去旅游的人数多于25人，设该单位去旅游人数为x 人，则人均费用为800﹣20(x ﹣25)元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再代入人均费用中去验证，取使人均费用大于650的值即可得出结论．【详解】解：∵800×25＝20000＜21000， ∴人数超过25人．设共有x 名员工去旅游，则人均费用为800﹣20(x ﹣25)元，依题意，得：x[800﹣20(x ﹣25)]＝21000，解得：x 1＝35，x 2＝30，∵当x ＝30时，800﹣20×(30﹣25)＝700＞650， 当x ＝35时，800﹣20×(35﹣25)＝600＜650， ∴x ＝35不符合题意，舍去．答：共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22、（1）AB ＝4，AC ＝（2）BC ＝，AC ＝1．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝2BC ＝4，AC ＝；（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ，AB ＝，∴BC AC ＝4，∴设BC k ，AC ＝4k ，∴AB k ＝，∴k ＝2，∴BC k ＝，AC ＝4k ＝1．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．23、（1）11902y x =-+；（2）21(240)98002w x =--+，240，9800；（3）1．【分析】（1）根据题目中所给的图象，确定一次函数图象经过点(180,100)，(220,80)，再利用待定系数法求出y 关于x 的函数关系式即可；（2）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出W 与x 的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解得该花束每束的成本．【详解】解：（1）设一次函数关系式为y kx b =+，由题图知该函数图象过点(180,100)，(220,80)，则180********k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得12190k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y 关于x 的函数关系式为11902y x =-+ （2）由题知22111(100)19024019000(240)9800222w x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭， ∴当240x =时，w 有最大值，最大值为9800元；（3）设该花束每束的成本为m 元， 由题意知1(200)20019099002m ⎛⎫--⨯+ ⎪⎝⎭， 解得90m ．答：该花束每束的成本应不超过1元．【点睛】本题考查二次函数的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意,找出所求问题 需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答．24、（1）见解析；（2；②AE OE＝1． 【分析】（1）由切线的性质可得∠ACB ＝∠ODB ＝90°，由平行线的性质可得OM ⊥CF ，由垂径定理可得结论； （2）①由题意可证△BCD 是等边三角形，可得∠B ＝60°，由直角三角形的性质可得AB ＝2a ，AC，AD ＝a ，通过证明△ADO ∽△ACB ，可得DO AD BC AC=，可求DO 的长，由弧长公式可求解； ②由直角三角形的性质可求AOa ，可得AE 的长，即可求解．【详解】证明：（1）∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，∴∠ACB＝∠ODB＝90°，∵CF∥AB，∴∠OMF＝∠ODB＝90°，∴OM⊥CF，且OM过圆心O，∴点M是CF的中点；（2）①连接CD，DF，OF，∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，∴BD＝BC，∵E是DF的中点，∴ED EF，∴∠DCE＝∠FCE，∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，且BD＝BC，∴BD＝BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°＝∠ECF＝∠ACD，∴∠DCF＝60°，∴∠DOF＝120°，∵BC ＝a ，∠A ＝30°，∴AB ＝2a ，ACa ，∴AD ＝a ，∵∠A ＝∠A ，∠ADO ＝∠ACB ＝90°，∴△ADO ∽△ACB ， ∴DO AD BC AC=，∴DO a = ∴DO＝3a ， ∴DF的弧长＝1203180π︒⨯︒； ②∵∠A ＝30°，OD ⊥AB ，∴AO ＝2DOa ， ∴AE ＝AO ﹣OE＝3﹣3a＝3a ， ∴AE OE＝1． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．25、（1）258或 209； （2）①证明见解析,． 【分析】（1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE 或OA=OF ，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；（2）①由△CPD 为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP ∥OB ，进而证明△CBO ≌△PBO ，最后推出OP 为点O 到AB 的距离，从而证明点O 是△ABC 的等距点；（2）求tan PDC ∠相当于求tan BOC ∠，由①可得△APO 为直角三角，通过勾股定理计算出BC 的长度，从而求出tan PDC ∠．【详解】解：（1）如图所示，作OF ⊥BC 于点F ，作OE ⊥AC 于点E ，则△OBF ∽△ABC ， ∴OB OF BF AB AC BC == ∵3AC =，4BC =，由勾股定理可得AB=5，设OB=x ，则534x OF BF == ∴35OF x =，45BF x = ∵点O 是ABC ∆的等距点，若OB=OE ，445OE x =- ∴445x x =-解得：209x = 若OA=OF ，OA=5-x∴355x x -=，解得258x = 故OB 的值为258或 209（2） ①证明：∵△CDP 是直角三角形，所以取CD 中点O ，作出△CDP 的外接圆，连接OP ，OB设圆O 的半径为r ，则DC=2r ，∵D 是AC 中点，∴OA=3r∴23AD AO =， 又∵PA=2PB ，∴AB=3PB∴23PA AB = ∴//DP OB∴∠ODP=∠COB ，∠OPD=∠POB又∵∠ODP=∠OPD ，∴∠COB=∠POB ，在△CBO 与△PBO 中，OC OP COB POB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBO ≌△PBO （SAS ）∴∠OCB=∠OPB=90°，∴OP ⊥AB ，即OP 为点O 到AB 的距离，又∵OP=OC ，∴△CPD 的外接圆圆心O 是△ABC 的等距点②由①可知，△OPA 为直角三角形，且∠PDC=∠BOC ，OC=OP=r∵在Rt △OPA 中，OA=3r, ∴22(3)22AP r r r =-=，∴32AB r =∴在Rt △ABC 中，AC=4r ，32AB r =，∴222BC AB AC r =-=，∴2tan tan 2BC r PDC BOC OC r ∠=∠===【点睛】本题考查了几何中的新定义问题，涉及了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质及三角函数的内容，范围较大，综合性较强，解题的关键是明确题中的新定义，并灵活根据几何知识作出解答．26、（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B 、D 、E 、G 、H 同学；（2）25．【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A同学”的结果数，进而求出概率．【详解】解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学，（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果数，其中抽到A的有8种，因此，抽到学生A的概率为82 205．【点睛】本题考查的知识点是概率，理解题意，利用列表法求解比较简单．。
中考数学解题技巧如何利用三角函数解决平面几何中的三角形面积比问题解决平面几何中的三角形面积比问题是中考数学的一个重要的考点，也是考察学生对三角函数的应用能力的一个方面。
在解决这类问题时，我们可以利用三角函数的性质和相关公式来简化计算，提高解题效率。
本文将介绍几种常见的使用三角函数解决三角形面积比的技巧。
一、利用正弦定理和海伦公式求解正弦定理和海伦公式是解决三角形面积比问题时常用的重要工具。
1. 步骤一：给出题目中的三角形ABC，分别记作边长a、b、c，对应的角为A、B、C。
2. 步骤二：利用正弦定理得到三角形ABC的面积公式：S(ABC) = 0.5 * a * b * sin(C)其中，sin(C)为已知，可以通过查表或使用计算器求得。
这样我们就可以计算出三角形ABC的面积S(ABC)。
3. 步骤三：类似地，我们可以求出其他两个三角形的面积。
4. 步骤四：根据题目中给出的面积比关系，设两个三角形面积之比为n:m，则可以列出以下等式：S(DEF) = n / m * S(ABC)这样，我们就可以根据以上等式解方程，求得所要求的面积比。
二、利用余弦定理和正弦定理求解余弦定理和正弦定理是解决三角形面积比问题中的常用方法。
1. 步骤一：给出题目中的三角形ABC，分别记作边长a、b、c，对应的角为A、B、C。
2. 步骤二：利用余弦定理计算三角形ABC的面积：S(ABC) = 0.5 * a * b * sin(C)这样我们就可以计算出三角形ABC的面积S(ABC)。
3. 步骤三：类似地，我们可以求出其他两个三角形的面积。
4. 步骤四：根据题目中给出的面积比关系，设两个三角形面积之比为n:m，则可以列出以下等式：S(DEF) = n / m * S(ABC)这样，我们就可以根据以上等式解方程，求得所要求的面积比。
三、利用角平分线和相似三角形的特性求解当题目中给出三角形的角平分线的长度比时，我们可以利用相似三角形的特性来解决三角形面积比问题。
华师大版初中数学考点总结数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际运用为目标。
虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发觉合适的运用。
就纵度而言，在数学各自领域上的探索亦更加深入。
今天作者在这给大家整理了一些华师大版初中数学考点总结，我们一起来看看吧!华师大版初中数学考点总结一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、类似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、类似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做类似三角形。
2.性质：(1)类似三角形的对应角相等;(2)类似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)类似三角形的周长比等于类似比，面积比等于类似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。
3.判定定理：(1)两角对应相等，两三角形类似;(2)两边对应成比例，且夹角相等，两三角形类似;(3)三边对应成比例，两三角形类似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形类似。
初中数学考点总结一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及运算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相干元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组运算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的运算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相干运算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、重要辅助线1.作半径2.见弦常常作弦心距3.见直径常常作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦初中数学考点知识点1.概念把形状相同的图形叫做类似图形。
