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人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D -3+3为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7； （2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0）， （2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ， 由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。
直角坐标系中的几何问题（国庆拓展）1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接P A，PB，使S△P AB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．2．如图，点A（a，b）在第二象限，其中a，b满足等式+|a+b+n|＝0，点B在第一象限内，射线BC∥OA，与y轴交于点C（0，5）．（1）当n＝1时，求A点的坐标；（2）点P在y轴上从（0，﹣3）出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动（到达C点后停止运动），求当时间为t秒时（不考虑点P与点O，C重合的情况），∠AOP，∠OPB，∠PBC的大小关系；（3）如图，若∠AOF＝30°，点D是射线BC上一动点，∠FOD，∠ODC的平分线交于点E．∠E的大小是否随点D的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E的度数；若改变，说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：P A⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标；（2）若点P坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△P AB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形APOB的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC的面积是四边形APOB的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD的面积为37，求x，y的值．10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN的面积与四边形ABOM的面积相等．（直接写出答案）12．如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．13．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y轴对称（1）求A、B的坐标；（2）动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，P点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，并写出t的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M的坐标，并求出当S△AQM＝15时，三角形OPQ的面积．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P在y轴上且S△P AD＝S△poc，求点P的坐标；（2）若点P在梯形内且S△P AD＝S△POC，S△P AO＝S△PCD，求点P的坐标．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x 轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM的面积＝△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标为．19．如图，在长方形OABC中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立平面直角坐标系．动点P从点A出发，沿A→O→C→B路线运动到点B停止，速度为4个单位长度/秒；动点Q从点O出发，沿O→C→B路线运动到点B停止，速度为2个单位长度/秒；当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C三个点的坐标；（2）当点P恰好追上点Q时，求此时点P的坐标；（3）当点P运动到线段BC上时，连接AP、AQ，若△APQ的面积为3，求t的值．20．已知：如图三角形ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P（0，m）在y轴上，试用含m的代数式表示三角形ABP的面积；（3）若点P在y轴上什么位置时，三角形ABP的面积等于三角形ABC的一半？21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且||+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴上的负半轴上存在一点M，使△COM的面积＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM的面积＝△ABC的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a的值．直角坐标系中的几何问题答案（国庆拓展）1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A （a ，0），B （b ，0），且a 、b 满足a ＝+﹣1，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ．（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接P A ，PB ，使S △P AB ＝S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）的值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，3﹣b ≥0且b ﹣3≥0，解得b ≤3且b ≥3， ∴b ＝3， a ＝﹣1，∴A （﹣1，0），B （3，0），∵点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴点C （0，2），D （4，2）； ∵AB ＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4， ∴S 四边形ABDC ＝4×2＝8；（2）∵S △P AB ＝S 四边形ABDC ， ∴×4•OP ＝8，解得OP ＝4，∴点P 的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）＝1，比值不变．理由如下：由平移的性质可得AB ∥CD ，如图，过点P 作PE ∥AB ，则PE ∥CD ， ∴∠DCP ＝∠CPE ，∠BOP ＝∠OPE ，∴∠CPO ＝∠CPE +∠OPE ＝∠DCP +∠BOP ， ∴＝1，比值不变．2．如图，点A （a ，b ）在第二象限，其中a ，b 满足等式+|a +b +n |＝0，点B 在第一象限内，射线BC ∥OA ，与y 轴交于点C （0，5）． （1）当n ＝1时，求A 点的坐标；（2）点P 在y 轴上从（0，﹣3）出发以每秒1个单位长度的速度向点C 运动（到达C 点后停止运动），求当时间为t 秒时（不考虑点P 与点O ，C 重合的情况），∠AOP ，∠OPB ，∠PBC 的大小关系；（3）如图，若∠AOF ＝30°，点D 是射线BC 上一动点，∠FOD ，∠ODC 的平分线交于点E ．∠E 的【解答】解：（1）∵a，b满足等式+|a+b+n|＝0，n＝1，∴解得：a＝﹣3，b，＝2，∴A（﹣3，2）答：当n＝1时，A点的坐标为（﹣3，2）．（2）①当0＜t＜3时，即点P在y轴的负半轴移动时，如图2﹣1，此时∠AOP＝∠OPB+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠OCQ，又∵∠OCQ＝∠OPB+∠PBC，∴∠AOP＝∠OPB+∠PBC，②当3＜t＜8时，即点P在OC上移动时，如图2﹣2，此时∠OPB＝∠AOP+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠PCB，又∵∠OPB═∠PBC+∠BCP，∴∠OPB＝∠AOP+∠PBC．（3）∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变，∠E＝75°，作∠AOD的平分线交DE于点F，如图3所示∵OE平分∠FOD，OF平分∠AOD，DE平分∠ODC，∵∠AOE＝∠EOD＝∠FOD，∠AOF＝∠FOD ＝∠AOD，∠ODE＝∠EDC＝∠ODC，∵OA∥BC，∴∠AOD+∠ODC＝180°，∴∠ODE+∠FOD＝90°，即∠OFD＝90°，∴∠EOF＝∠FOD﹣∠AOD＝∠FOA＝15°，∴∠E＝90°﹣15°＝75°，即∠E的大小不变，∠E＝75°．答：∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变，∠E＝75°．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：P A⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝4，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+OF＝OB+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+OB＝6．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S△ABM＝AB•MN＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（3）当m＝﹣时，M（﹣2，﹣）∴S△ABM＝﹣2×（﹣）＝3，点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）S△BMP＝5×（+k）﹣×2×（+k）﹣×5×﹣×3×k＝k+，∵S△BMP＝S△ABM，∴k+＝3，解得：k＝0.3，∴点P坐标为（0，0.3）；②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），S△BMP＝﹣5n﹣×2×（﹣n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）＝﹣n﹣，∵S△BMP＝S△ABM，∴﹣n﹣＝3，解得：n＝﹣2.1∴点P坐标为（0，﹣2.1），故点P的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标；（2）若点P坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△P AB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵S△ABO＝•OA•OB，∵OA＝OB，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝12﹣4＝8，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）；（2）作PH⊥x轴于H，如图1，S△P AB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S梯形AOHP＝×（4+1）×6﹣8﹣×（4+6）×1＝15﹣8﹣5＝2．（3）S△ABC＝•4•12＝24，当点P在第一象限，即a＞0，作PH⊥x轴于H，如图2，S△P AB＝S△AOB+S梯形AOHP﹣S△PBH＝8+•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；则2a﹣4＝24，解得a＝14．此时P点坐标为（14，6）；当点P在第二象限，即a＜0，作PH⊥y轴于H，如图3，S△P AB＝S梯形OHPB﹣S△P AH﹣S△OAB＝•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；则4﹣2a＝24，解得a＝﹣10．此时P点坐标为（﹣10，6）．综上所述，点P的坐标为（﹣10，6）或（14，6）．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3．故a的值是2，b的值是3；（2）过点M作MN丄y轴于点N．四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB＝MN•OA+OA•OB＝×（﹣m）×2+×2×3＝﹣m+3；（3）当m＝﹣时，四边形ABOM的面积＝4.5．∴S△ABN＝4.5，①当N在x轴负半轴上时，设N（x，0），则S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，解得x＝﹣1.5；②当N在y轴负半轴上时，设N（0，y），则S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，解得y＝﹣1．∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），过A点作BC边上的高，交BC于点H，则三角形ABC的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，∵P在第二象限，∴m＜0，S APOB＝S△AOB+S APO＝+×（﹣m）×2＝3﹣m．故四边形ABOP的面积为3﹣m；（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，此时P点坐标为：（﹣3，），存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形APOB的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC的面积是四边形APOB的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0可得：a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，解得：a＝2，b＝3，c＝5；（2）∵a＝2，b＝3，c＝5，∴A（0，2），B（3，0），C（3，5），∴OA＝2，OB＝3，∵S△ABO＝×2×3＝3，S△APO＝×2×（﹣m）＝﹣m，∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m（3）存在，∵S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC＝3+＝10.5，若S四边形AOBC＝2S四边形APOB＝2（3﹣m）＝10.5，则m＝﹣，∴存在点P（﹣，），使四边形AOBC的面积是四边形APOB的面积的2倍．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD的面积为37，求x，y的值．【解答】解：如图，作DE⊥y轴于点E，延长BC交DE于点F，则BF⊥DE，由A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D的坐标（x，y），∴AB＝6、DF＝﹣x﹣1、BF＝y﹣1，CF＝y﹣5，由四边形ABCD的面积为37知×（6﹣x﹣1）（y﹣1）﹣×（﹣x﹣1）（y﹣5）＝37，整理，得：2x﹣3y＝﹣42，由2x+5y＝22可得，解得：．10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；（2）当点P在线段BA上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P在线段AC上时，∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t值，当点P在线段BA上时∵S△APD＝AP•AC S ABOC＝AB•AC∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P在线段AC上时，∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S ABOC，11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN的面积与四边形ABOM的面积相等．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝2，b＝3，故答案为：2，3；（2）∵在第二象限内有一点M（m，1），∴S△AMO＝×AO×（﹣m）＝﹣m，S△AOB＝×AO×OB＝3，∴四边形ABOM的面积为：3﹣m；（3）∵当m＝﹣时，△ABN的面积与四边形ABOM的面积相等，当N在x轴的负半轴时，设N点坐标为：（c，0），则×2（3﹣c）＝3﹣（﹣），解得：c＝﹣1.5，故N（﹣1.5，0），当N在y轴的负半轴时，设N点坐标为：（0，d），则×3（2﹣d）＝3﹣（﹣），解得：d＝﹣1，故N（0，﹣1），综上所述：N点坐标为：（﹣1.5，0），（0，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．【解答】解：（1）如图，∵CD⊥CA，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCB＝∠OAC，又∵∠CBD＝90°，∴∠DCB+∠CDB＝90°，∴∠CAO+∠CDB＝90°；（2）如图2，延长AP交MN于点E，∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，∴∠1＝∠CAO、∠2＝∠CDB，∵∠CAO+∠CDB＝90°，∴∠1+∠2＝45°，∵MN∥OA，∴∠1＝∠3，∴∠APD＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝45°；（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，∴∠P AC＝∠OAC、∠QAC＝∠CAx，∵∠OAC+∠CAx＝180°，∴∠P AQ＝∠P AC+∠CAQ＝（∠OAC+∠CAx）＝90°，同理得∠PDQ＝90°，∴∠APD+∠AQD＝360°﹣（∠P AQ+∠PDQ）＝180°；（4）∠APD的大小不变，为45°；设∠CAQ＝2α，∠CQA＝2β，∵∠ACD＝90°，∴∠CAQ+∠CQA＝90°，即2α+2β＝90，α+β＝45，∵AO∥MN，∴∠CQA＝∠CDB＝2β，∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，∴∠QDP＝∠CDB＝β，∠CAQ＝α，则∠CQA＝90°﹣∠CAQ＝90°﹣α，∴∠APD＝∠CQA﹣∠CDB＝90°﹣α﹣β＝13．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是E、F；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2．根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．即k的值是1或2．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y轴对称（1）求A、B的坐标；（2）动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，P点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，并写出t的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M的坐标，并求出当S△AQM＝15时，三角形OPQ的面积．【解答】解：（1）∵A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B两点关于y轴对称，∴2a﹣1＝3，3b+1＝4．解得a＝2，b＝1．∴点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（﹣3，4）．（2）∵AP＝2t，BQ＝4t，AB＝6，∴当0＜t＜3时，PQ＝6+2t﹣4t＝6﹣2t；当t＞3时，PQ＝4t﹣6﹣2t＝2t﹣6．∴当0＜t＜3时，S＝PQ•4＝×（6﹣2t）×4＝12﹣4t；当t＞3时，S＝．即．（3）设点M的坐标为（x，x）．当0＜t＜3时，∵S△PQM：S△OPQ＝3：2，＝（3﹣t）×|4﹣x|，S△OPQ＝12﹣4t．∴．解得，x＝﹣2或x＝10∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）当t＞3时，∵S△PQM：S△OPQ＝3：2，＝（t﹣3）×|4﹣x|，S△OPQ＝4t﹣12∴解得，x＝﹣2或x＝10．∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）．∵S△AQM＝15，（0＜t＜3）或（t＞3），∴t＝或t＝，∴当t＝时，，当t＝时，S△OPQ＝12﹣4×＝1；由上可得，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10），当S△AQM＝15时，三角形OPQ的面积是11或1．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．【解答】解：（1）∵x＝3，y＝2，∴x+2y＝7，2x﹣y＝4，由f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），得到f（3，2）＝（7，4）；同理把x＝3，y＝2，代入g（x，y）＝（y，﹣x+4）中，可得g（3，2）＝（2，1）．故答案为（7，4），（2，1）．（2）∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（1，﹣1）＝（﹣1，3）．当f（x，y）＝g（1，﹣1）＝（﹣1，3）时，根据f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），可得解得x＝1，y＝1；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立，理由如下：∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴f[g（x，y）]＝f（y，﹣x+4）．又∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），所以f（y，﹣x+4）＝（3y，3x﹣4）．∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），∴g[f（x，y）]＝g（x+2y，2x﹣y）．又∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（x+2y，2x﹣y）＝（3y，3x﹣4）．所以f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]＝（3y，3x﹣4）．所以对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P在y轴上且S△P AD＝S△poc，求点P的坐标；（2）若点P在梯形内且S△P AD＝S△POC，S△P AO＝S△PCD，求点P的坐标．【解答】解：（1）①点P在AO上时，S△P AD＝AD•P A，S△POC＝OC•PO，∵S△P AD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8﹣PO）＝5PO，解得PO＝3，此时点P的坐标为（0，3），②点P在AO的延长线上时，S△P AD＝AD•P A，S△POC＝OC•PO，∵S△P AD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8+PO）＝5PO，解得PO＝12，此时点P的坐标为（0，﹣12），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，﹣12）；（2）如图，过点P作PE⊥y轴于E，S梯形AOCD＝（3+5）×8＝32，∵S△P AD＝S△POC，∴AD•AE＝OC•OE，∴3AE＝5OE，即3（8﹣OE）＝5OE，解得OE＝3，∴S△P AO＝S△PCD＝（32﹣2××5×3）＝，∴AO•PE＝，即×8•PE＝，解得PE＝，∴点P的坐标是（，3）．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x 轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．【解答】解：（1）∵b2＝16，∴b＝±4，∵B（0，b）是y轴负半轴上一点，∴B（0，﹣4），∵AB⊥y轴，S△AOB＝12．∴AB•BO＝12，即AB×4＝12，解得AB＝6，∴A的坐标为（6，﹣4），（2）如图1，过点N作NM∥x轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON是∠EOD的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，∴∠MNF＝∠NF A，∵FN是∠AFD的角平分线，∴∠MNF＝∠NF A＝∠AFD，∵AB∥x轴，∴∠OED＝∠AFD，∵ED⊥OA，∴∠EOD+∠AFD＝90°，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF＝（∠EOD+∠AFD）＝×90°＝45°．（3）如图2，过点N作NM∥x轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON是∠EOD的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，又∵MN∥AB∴∠MNF＝∠NF A，∵FN是∠AFD的角平分线，∴∠MNF＝∠NF A＝∠AFD，∵AB∥x轴，∴∠OED＝∠AFD，∵∠ODF＝∠EOD+∠AFD＝α，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF＝（∠EOD+∠AFD）＝α．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM的面积＝△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标为．【解答】解（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0，又∵|2a+b+1|和（a+2b﹣4）2都是非负数，所以得，解方程组得，，∴a＝﹣2，b＝3．（2）①由（1）得A，B点的坐标为A（﹣2，0），B（3，0），|AB|＝5．∵C（﹣1，2），∴△ABC的AB边上的高是2，∴．要使△COM的面积是△ABC面积的，而C点不变，即三角形的高不变，M点在x轴的正半轴上，只需使．此时．∴M点的坐标为②由①中的对称点得，当M在y轴上时，△COM的高为1，∵△COM的面积＝△ABC的面积，∴|OM|×1＝∴OM＝±5（负值舍去），∴M2（0，5），M3（0，﹣5）．故答案为：（﹣，0），（0，5），（0，﹣5）．19．如图，在长方形OABC中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立平面直角坐标系．动点P从点A出发，沿A→O→C→B路线运动到点B停止，速度为4个单位长度/秒；动点Q从点O出发，沿O→C→B路线运动到点B停止，速度为2个单位长度/秒；当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C三个点的坐标；（2）当点P恰好追上点Q时，求此时点P的坐标；（3）当点P运动到线段BC上时，连接AP、AQ，若△APQ的面积为3，求t的值．【解答】解：（1）点A（10，0），B（10，6），C（0，6）；（2）设时间为t，由题意得，4t﹣2t＝10，解得t＝5，此时，点P运动的路程为4×5＝20，所以，点P在BC上，CP＝20﹣10﹣6＝4，所以，点P的坐标为（4，6）；（3）点Q在点P的前面时，PQ＝2t﹣（4t﹣10）＝10﹣2t，△APQ的面积＝（10﹣2t）×6＝3，解得t＝4.5，点P在点Q的前面时，PQ＝（4t﹣10）﹣2t＝2t﹣10，△APQ的面积＝（2t﹣10）×6＝3，解得t＝5.5，综上所述，△APQ的面积为3时，t＝4.5秒或5.5秒．20．已知：如图三角形ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P（0，m）在y轴上，试用含m的代数式表示三角形ABP的面积；（3）若点P在y轴上什么位置时，三角形ABP的面积等于三角形ABC的一半？【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5），∴AB＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，点C到AB的距离为5，∴△ABC的面积＝×5×5＝12.5；（2）点P在y轴正半轴时，m＞0，面积＝×5•m＝m，点P在y轴负半轴时，m＜0，面积＝×5•（﹣m）＝﹣m；（3）设点P到x轴的距离为h，则×5h＝×12.5，解得h＝，所以，点P坐标为（0，）或（0，﹣）．21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且||+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴上的负半轴上存在一点M，使△COM的面积＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM的面积＝△ABC的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵||+（4a﹣b+11）2＝0，∴解得∴a的值是﹣2，b的值是3．（2）如图1，过点C作CG⊥x轴，CH⊥y轴，垂足分别为G、H，∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，∵点C的坐标是（﹣1，3），∴CG＝3，CH＝1，∴，∴，即，∴OM＝，∴点M的坐标是（0，﹣7.5）．（3）∵点M的坐标是（0，﹣7.5）时，△COM 的面积＝△ABC的面积，∴点M的坐标是（0，7.5）时，△COM的面积＝△ABC的面积；∵三角形的高一定时，面积和底成正比，∴点M的坐标是（2.5，0）或（﹣2.5，0）时，△COM的面积＝△ABC的面积．综上，可得在坐标轴的其它位置存在点M，使结论“△COM 的面积＝△ABC的面积”仍然成立，符合条件的点M的坐标有3个：（0，7.5）、（2.5，0）或（﹣2.5，0）．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．【解答】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠CFE+∠CBF＝90°，∵直线MN⊥直线PQ，∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，∵BF是∠CBA的平分线，∴∠CBF＝∠OBE，∵∠CEF＝∠OBE，∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，∴∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC＝∠P AD，∵∠ADC＝∠DAC∴∠CAP＝2∠DAC，∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，∵∠H+∠HCA＝∠DAC，∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA ∵CH是，∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠HCA，∴∠ABC＝2∠H，∴＝．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a的值．【解答】解：如图1，过P点作PD⊥x轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP＝××1+×（1+a）×3﹣×（+3）×a＝，由2S△ABP＝S△ABC，得＝，∴a＝．如图2，过P点作PD⊥x轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△ADP﹣S△AOB﹣S梯形BODP ＝×（+3）×a﹣××1﹣×（1+a）×3＝，由2S△ABP＝S△ABC，得a﹣﹣3＝，∴a＝2+．故a的值是或2+．。
试卷第1页，总14页………外…………○…………订…………○……学：___________考号：___________………内…………○…………订…………○……三角形面积最值问题30题含详细答案1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．3．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．试卷第2页，总14页……订…………○……※※内※※答※※题※※……订…………○……①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第3页，总14页…○…………外………………订…………………线…………○……___________考号：______…○…………内………………订…………………线…………○……5．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．6．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标： （3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （0，3）、B （﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x试卷第4页，总14页装…………○……………○…………线※要※※在※※装※※订※答※※题※※装…………○……………○…………线轴的另一交点为E ,点P 为直线AE 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）当t 为何值时，△PAE 的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．8．如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB 、BA （或它们的延长线）于点E 、F ，∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF ．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系；（3）连EF ，若△DEF 的面积为y ，CE=x ，求y 与x 的关系式，并指出当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）试卷第5页，总14页…………○………………○………………○…………………○……学校:____：___________班级：____：___________…………○………………○………………○…………………○……（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．试卷第6页，总14页…○…………外………订…………○………………○……※内※※答※※题※※…○…………内………订…………○………………○……10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)m y x x =>的图像经过点34,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m =________，点C 的坐标为________；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ，求ODE 面积的最大值．11．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？12．（问题提出）试卷第7页，总14页……○…………外装…………○……姓名：___________班级：____……○…………内装…………○……（1）如图①，在等腰Rt ABC 中，斜边4AC =，点D 为AC 上一点，连接BD ，则BD 的最小值为 ．（问题探究）（2）如图2，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点M 是BC 上一点，且4BM =，点P 是边AB 上一动点，连接PM ，将BPM △沿PM 翻折得到DPM △，点D 与点B 对应，连接AD ，求AD 的最小值．（问题解决）（3）如图③，四边形ABCD 是规划中的休闲广场示意图，其中135BAD ADC ∠=∠=︒，30DCB ∠=︒，AD =，3AB km =，点M 是BC 上一点，4MC km =．现计划在四边形ABCD 内选取一点P ，把DCP 建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP 、MP ，从实用和美观的角度，要求满足PMB ABP ∠=∠，且景观绿化区面积足够大，即DCP 区域面积尽可能小．则在四边形ABCD 内是否存在这样的点P ？若存在，请求出DCP 面积的最小值；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，点O 是原点，四边形AOBC 是矩形，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O B C ，，的对应点分别为D E F ，，.（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .求点H 的坐标； （3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.试卷第8页，总14页……外…………○……………订…………○…※※请※※线※※内※※答※※题※※……内…………○……………订…………○…14．（1）如图1，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 为DC 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，求证：ABF ABCD S S ∆=四边形．（S 表示面积）（2）如图2，在ABC ∆中，过AC 边的中点P 任意作直线EF ，交BC 边于点F ，交BA 的延长线于点E ，试比较EBF ∆与ABC ∆的面积，并说明理由．（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知一次函数y kx b =+的图像过点()2,4P 且分别于x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点A 、B ，请问AOB ∆的面积是否存在最小值?若存在，求出此时一次函数关系式；若不存在，请说明理由．15．△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点． （1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN ．在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积．16．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．试卷第9页，总14页…外…………○………………○…………订………○……学校:_____名：___________班级：___________考号…内…………○………………○…………订………○……（1）求x 的取值范围； （2）求ABC 面积的最大值．17．在平面直角坐标系中，抛物线265y x mx =-+与y 轴的交点为A ，与x 轴的正半轴分别交于点B （b ，0），C （c ，0）.（1）当b =1时，求抛物线相应的函数表达式；（2）当b =1时，如图，E （t ，0）是线段BC 上的一动点,过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线的交点为P ．求△APC 面积的最大值；（3）当c =b + n .时，且n 为正整数.线段BC （包括端点）上有且只有五个点的横坐标是整数，求b 的值.18．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P试卷第10页，总14页…外…………○…※…内…………○…的坐标；若不存在，请说明理由． 19．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动，如图1，三角板ABC 和三角板CDE 都是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，点M ，P ，N 分别为DE ，AD ，AB 的中点．试判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系．探究展示：勤奋小组发现，PM PN =，PM PN ⊥．并展示了如下的证明方法：∵点P ，N 分别是AD ，AB 的中点，∴PNBD ，12PN BD =． ∵点P ，M 分别是AD ，DE 的中点，∴PM AE ∥，12PM AE =．（依据1）∵CA CB =，CD CE =，∴BD AE =，∴PM PN =． ∵PNBD ，∴DPN ADC ∠=∠．∵PM AE ∥，∴DPM DAC ∠=∠．∵90BCA ∠=︒，∴90ADC CAD ∠+∠=︒．（依据2）∴90MPN DPM DPN CAD ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．∴PM PN ⊥． 反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图1中，MN 与AB 的位置关系，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把CDE △绕点C 逆时针方向旋转到如图2的位置，发现PMN 是等腰直角三角形，请你给出证明；（3）缜密小组的同学继续探究，把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，当4CD =，10CB =时，求PMN 面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与 菱形 OABC 的两边分别交与点 M 、N （点 M 在点 N 的上方）．○…………外…………订………………○……级：___________考号：__○…………内…………订………………○……（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）设 OMN 的面积为 S ，直线 l 运动时间为 t 秒（0 ≤t ≤6 ），试求 S 与 t 的函数表达 式；（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少．21．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），C （0，3），抛物线的顶点在直线1x =上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； 22．综合与探究如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、()20B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点坐标为点1924D ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，当PA PC +最小时，求点P 坐标；（3）在第一象限的抛物线上有一点M ，当BCM ∆面积最大时，求点M 坐标； （4）在x 轴下方抛物线上有一点H ，ABH ∆面积为6，请直接写出点H 的坐标．○…………装………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………○…………线…………23．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．二、填空题24．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上，则△ABP 面积的最小值为__________．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．………○…………装………………订……………线…………○……学校:___________姓名：_级：___________考号：………○…………装………………订……………线…………○……26．如图，30AOB ∠=，C 是BO 上的一点，4CO =，点P 为AO 上的一动点，点D 为CO 上的一动点，则PC PD +的最小值为 ________，当PC PD +的值取最小值时，则OPC ∆的面积为________.27．如图，已知直线433y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA ，PB ，当PAB ∆的面积最大时，点P 的坐标为__________．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．…………装…………○…订…………○……线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订内※※答※※题※※…………装…………○…订…………○……线…………○……29．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上的动点，连接CD ，将△BCD 绕点C 沿顺时针旋转至△ACE ，连接DE ，则△ADE 面积的最大值＝_____．30．如图，∠AOB=45°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN=7，△OMN 的面积为14，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP 1P 2的面积最小值为_____参考答案1．(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解； （2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解． 【详解】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =， 故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+， ()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =AC = 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，∴CH 则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =故点Q -或(； ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：x =故点13,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；综上，点Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或13,22⎛-+ ⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）抛物线的解析式为223y x x =--，直线AB 的解析式为3y x =-，（2）(2,1)-或33(22+-+．（3）当32m =时，PAB∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【解析】 【分析】（1）将(0,3)A -、(3,0)B 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则2CE =，分两种情况讨论：①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，可由12PAB S PG OB ∆=，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可． 【详解】解：（1）∵抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，∴13a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--， ∵直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-， ∵//CE y 轴， ∴(1,2)E -， ∴2CE =，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =， 设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴223(23)3MN a a a a a =----=-+， ∴232a a -+=，解得：2a =，1a =（舍去）， ∴(2,1)M -，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴2223(3)3MN a a a a a =----=-， ∴232a a -=，解得：a =，a =（舍去），∴M ，综合可得M 点的坐标为(2,1)-或33(22+-+． （3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -， ∴223(23)3PG m m m m m =----=-+， ∴22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆=+==⨯-+⨯=-+=--+， ∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．3．①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为；③点N 的横坐标为：4或52+或52．【解析】 【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-； ②先求出点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，于是211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC的距离d =N 作x轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得152m +=，252m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得152m =（舍去），252m =．【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B（﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩， ∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-；②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=，∴点P 到BC 的高h 为sin 45)2BP t ︒=-，∴211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，∴点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ PQ ==∴4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，∴265(5)4m m m -+---=解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=，∴()25654m m m ---+-=解得152m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴m =，Ⅲ．4NH HP -=，∴()265[(5)]4m m m --+----=，解得1m =，2m = ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴52m =，综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或52或52-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．4．（1）224233y x x =-++，对称轴1x =；（2）11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）面积有最大值是4948，755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）2+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD=BD ，即可求y 的值； （3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE 是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，-103）或M （-2，-103）； 【详解】 解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++， 可得24,33a b =-=， 224233y x x ∴=-++； ∴对称轴1x =；（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，设点()1,D y ，()()0,2,3,0C B ，∴在Rt CGD ∆中，()222221CD CG GD y =+=-+，∴在Rt BHD ∆中，22224BD BH HD y =+=+，在BCD ∆中，DCB CBD ∠=∠CD BD ∴=，22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+14y ∴=， 11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=，∴四边形QRPE 是矩形，CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--矩形，()()(),,0,2,1,1E x y C F ，111•222CEF SEQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅- ()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯--- 224233y x x =-++， 21736CEF S x x ∆∴=-+ ∴当74x =时，面积有最大值是4948， 此时755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，设()()1,,,N n M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x += 2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x += 2x ∴=，()2,2M ∴；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=， 4x ∴=，104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．6．（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a 的值即可；（2）设点C 的坐标为（x 0，y 0），其中y 0＝（x 0﹣1）2，作CF ⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得BO DF DO CF=，即1＝00x 1y -＝()01x 1-，据此求得x 0的值即可得； （3）过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则DG ＝4，根据S △PDQ ＝12DG•MN 列出关于k 的等式求解可得．【详解】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a ＝4，解得：a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2；（2）由（1）知点D 坐标为（1，0），设点C 的坐标为（x 0，y 0），（x 0＞1、y 0＞0），则y 0＝（x 0﹣1）2，如图1，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠BOD ＝∠DFC ＝90°，∠DCF+∠CDF ＝90°，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDO+∠CDF ＝90°，∴∠BDO ＝∠DCF ，∴△BDO ∽△DCF ， ∴BO DF DO CF=， ∴1＝00x 1y -＝()01x 1-，解得：x 0＝2，此时y 0＝1，∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0）， 如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0．∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ．∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝|2﹣k|．则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），所以DG＝1，∴S△PDQ＝12DG•MN＝12×1×|x1﹣x2|＝12|2﹣k|，∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．7．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278；（3）t的值为1．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EA的解析式，作PM∥y轴，交直线AE于点M，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PAE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值即可；（3）由题意可知有∠PAE＝90°或∠APE＝90°两种情况，当∠PAE＝90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE＝90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】解：（1）由题意得：0 4233a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴12PAE PMA PMES S S PM OE=+=⋅＝()21332t t⨯⨯-+＝23327228t⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t ＝﹣t 2+2t+3﹣3，即﹣t 2+t ＝0，解得t ＝1或t ＝0（舍去）， ②当∠APE ＝90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，则PK ＝﹣t 2+2t+3，AQ ＝t ，KE ＝3﹣t ，PQ ＝﹣t 2+2t+3﹣3＝﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE ＝∠APQ+∠PAQ ＝90°， ∴∠PAQ ＝∠KPE ，且∠PKE ＝∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ， ∴PK KEAQ PQ=， ∴222332t t t t t t-++-=-+，即t 2﹣t ﹣1＝0，解得：t 或t 0（舍去），综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或12+． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何面积最值问题以及二次函数与特殊三角形的问题，解题的关键是灵活运用二次函数的性质及几何知识．8．(1)成立，证明见解析；（2）DF=DE ．（3）当x=0时，y 最小值 【分析】（1）如图1，连接BD ．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ，然后证明△ADF ≌△BDE （ASA ），得DF=DE ；（2）如图2，连接BD ．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ，然后证明△ADF ≌△BDE（ASA ），得DF=DE ；（3）根据（2）中的△ADF ≌△BDE 得到：S △ADF =S △BDE ，AF=BE ．所以△DEF 的面积转化为：y=S △BEF +S △ABD ．据此列出y 关于x 的二次函数，通过求二次函数的最值来求y 的最小值． 【详解】（1）DF=DE ．理由如下： 如图1，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ． 又∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=BD ，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE ． ∵在△ADF 与△BDE 中，ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDE （ASA ）， ∴DF=DE ；（2）DF=DE ．理由如下： 如图2，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ． 又∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=BD ，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE ． ∵在△ADF 与△BDE 中，ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDE （ASA ）， ∴DF=DE ；（3）由（2）知，△ADF ≌△BDE ．则S △ADF =S △BDE ，AF=BE=x ． 依题意得：y=S △BEF +S △ABD =12（2+x ）xsin60°+12×2×2sin60°x+1）2．即x+1）20， ∴该抛物线的开口方向向上， ∴当x=0即点E 、B 重合时，y 最小值=29．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可． 【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB ECAB AC=， ∵AB=AC ， ∴DB=EC ， 故答案为：=， （2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ， ∵∠BOD=∠AOC ， ∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°， ∴∠AEC=135°， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ， ∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高， ∴AM=EM=MD ， ∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ； 【拓展提升】 （5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变， △ADE 与△ADC 面积的和达到最大， ∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变， ∴要△ADC 面积最大， ∴点D 到AC 的距离最大， ∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7， 故答案为7． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．10．（1）m=6，()2,0；（2）当a=1时，ODE 面积的最大值为278【分析】（1）将点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数解析式求出m ，根据坐标中点公式求出点C 的横坐标即可；（2）由AC 两点坐标求出直线AB 的解析式为3342y x =-，设D 坐标为33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，则6,E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到2327(1)88ODESa =--+，即可解答【详解】解：（1）把点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数(0)m y x x=>，得：324m =，解得：m=6，∵A 点横坐标为：4，B 点横坐标为0，故C 点横坐标为：4022+=， 故答案为：6，(2,0)；（2）设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+．将34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)C 代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-． 因为点D 在线段AB 上，可设33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭， 因为//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ．所以6,E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 所以当a =1时，ODE 面积的最大值为278． 【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．11．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是3秒． 【分析】（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;。
专题04 面积问题求解平面直角坐标系中由动点生成的图形的面积问题，是初中数学一种重要的题型，它主要结合函数图形的相关知识点，在平面直角坐标中的框架中构建图形求面积，求图形面积常常转化为三角形、特殊的四边形，求面积常用的方法有以下几种：方法1：直接法，求出三角形底边和底边上的高，进而求出其面积；方法2：补形法，将三角形面积转化为若干个特殊的四边形和三角形的和或差；方法3：分割法，选择一种恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算的面积的三角形。
一、填空题1．在平面直角坐标系中，，，若的面积为，且点在坐标轴上，则符合条件的点的坐标为__________．【答案】或或或【解析】解：①如图所示，若点C在x轴上，且在点A的左侧时，∵∴OB=3∴S△ABC=AC·OB=6 解得：AC=4∵，∴此时点C的坐标为：；②如图所示，若点C在x轴上，且在点A的右侧时，同理可得：AC=4 ∴此时点C的坐标为：；图①图②③如图所示，若点C在y轴上，且在点B的下方时，∵∴AO=2 ∴S△ABC=BC·AO=6 解得：BC=6∵∴此时点C的坐标为：；④如图所示，若点C在y轴上，且在点B的上方时，同理可得：BC=6 ∴此时点C的坐标为：. 故答案为：或或或.图③图④【点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标，根据C点的位置分类讨论是解决此题的关键.2．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，则的面积是________.【答案】9.【解析】如图，.【点拨】利用网格特点，将所求的的面积转化为规则图形面积的差即可.本题考查了坐标系中三角形面积的计算，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.二、解答题3．如图，在平面直角坐标系中，、．求的面积．【答案】【解析】如图，过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值，然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD．解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．∵A（3，4），B（5，1），∴OC=3，AC=4，OD=5，BD=1.∴S△AOC=×OC•AC=×3×4=6，S△BOD=OD•BD=×5×1=，S梯形ACDB=( BD+AC)•CD=×(1+4)×2=5，∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-=.【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质．通常采用“割补法”解答此类题目．4．在平面直角坐标系中描出点A（﹣2，0）、B（3，1）、C（2，3），将各点用线段依次连接起来，并解答如下问题：（1）在平面直角坐标系中画出△ A′B′C′，使它与△ ABC 关于x 轴对称，并直接写出△ A′B′C′三个顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】(1)作图见解析；A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；（2）5.5【解析】（1）在坐标系内画出△ABC，再作出各点关于x轴的对称点，顺次连接各点即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）如图所示，由图可知A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；2）由图可知，S△ABC=5×3-×5×1-×3×4-×2×1，=15--6-1=5.5．【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）B（2，0）C（4，3），（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标。
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
重点强化专题：知坐标，求面积重点强化1有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的三角形的面积1．已知：在图中，已知点A、B、C的坐标，分别求三角形ABC的面积．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（4，﹣3）；（2）A（2，0），B（0，1），C（0，4）．重点强化2三条边均不在坐标轴上（且不平行于坐标轴）的三角形的面积2．已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．现给出三点坐标A（﹣1，4），B（2，2），C（4，﹣1），请你选择一种方法计算△ABC的面积，你的答案是S＝．3．△ABC中，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1），求△ABC的面积．4．已知点A（1，4）、B（3，﹣1），C（﹣4，﹣2），求以A、B、C三点为顶点的三角形的面积．5．如图，在直角坐标系中，描出四个点A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（﹣2，1），D（3，1），连接AB，DC，CA．（1）观察图形，线段AB和线段CD有什么数量关系和位置关系？（2）在线段AB上任意取一点P，则线段CP的最小值是多少？（3）求四边形ABCD的面积．6．如图，请在平面直角坐标系中描出下列各点：A（1，3），B（3，1），C（﹣3，1），D（﹣1，﹣1）．（1）连接AB，CD，两线段有怎样的位置关系？（2）线段CD可由线段AB经过怎样的变化得到？（3）连接AC，BD，求四边形ABDC的面积．7．在图中A（2，﹣4）、B（4，﹣3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．8．已知：四边形ABCD各顶点坐标为A（﹣4，﹣2），B（4，﹣2），C（3，1），D（0，3）．（1）在平面直角坐标系中画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积．（3）如果把原来的四边形ABCD各个顶点横坐标减2，纵坐标加3，所得图形的面积是多少？9．如图，每个小正方形的边长为单位长度1．（1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标；（2）点C与E的坐标什么关系？（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？难点突破知面积，求坐标10．已知点A（1，0）、B（0，2），点P在x轴负半轴上，且三角形PAB的面积为5，求点P的坐标．11．已知点A（1，0），B（0，2），若点P在y轴负半轴上，且△PAB的面积为5，求点P的坐标．12．如图所示，点A的坐标为A（0，a），将点A向右平移b个单位得到点B，其中a，b满足：（3a﹣6）2+|a+b﹣5|＝0．；（1）求点B的坐标并求△AOB的面积S△AOB＝2S△AOD？若存在，求出D点的坐标；（2）在x轴上是否存在一点D，使得S△AOB若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，已知S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）求△ABC三个顶点的坐标；（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积；（3）是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出点P的坐标．。
专题01 平面直角坐标系的有关概念和性质（专题强化-基础）一、单选题(共40分)1．（2020·广东省）若点(,4)P a a -在x 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(0,4) B ．(4,0)C ．(4,0)-D ．(0,4)-【答案】B【解析】根据点P 在x 轴上，得出a 40-=，求出a ，即可得到答案. 【详解】解：∵点(,4)P a a -在x 轴上， ∴a 40-=， ∴a 4=，∴点P 坐标是(4,0). 故选择：B.【点睛】本题考查了坐标轴上点的特点，解题的关键是熟记x 轴上的点，y=0.2．（2020·北京清华附中）如图是小数在4×4的小正方形组成的网格中画的一张脸的示意图，如果用(0，4)和(2，4)表示眼睛，那么嘴的位置可以表示成（ ）A ．(2，1)B ．(1，1)C ．(1，﹣2)D ．(1，2)【答案】D【解析】根据左右的眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图，嘴的坐标为（1，2）．故选：D．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．5,6-在第几象限()3．（2018·浙江省）点()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．【详解】∵点A的横坐标为正数、纵坐标为负数，∴点A（5，−6）在第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．4．（2019·重庆南开中学）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（）A．（-1，2）B．（-1，-2）C．（2，-1）D．（1，2）【答案】A【解析】根据坐标系知识直接写出坐标即可.【详解】由图知P点坐标为（-1,2），故选A.【点睛】本题是对坐标系知识的考查，熟练掌握坐标系知识是解决本题的关键，难度较小.5．（2019·吉林省）在平面直角坐标系中，点（－1，m2＋1）一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．解：因为点（-1，m 2+1）横坐标＜0，纵坐标m 2+1一定＞0，所以满足点在第二象限的条件． 故选B ．6．（2020·北京）如图是某动物园的平面示意图，若以大门为原点，向右的方向为x 轴正方向，向上的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则驼峰所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先以大门为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后再根据驼峰的位置确定象限. 【详解】解：如图所示，熊猫馆、猴山、百草园都在第一象限，横、纵坐标都为正数； 驼峰在第四象限，横坐标为正数，纵坐标为负数， 故选D ．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系，掌握四个象限内点的坐标符号. 7．（2020·a a =3b b =，点A 的坐标为（a ，b ），则点A 的坐标不可能是（ ）A ．（0，1）B ．（1，﹣1）C ．（0，0）D ．（﹣1，0）【答案】D 【解析】a a =可以得到0a =或1a = 3b b =得到0b =或1b =±，依次判断A 点的坐标即可；【详解】a a =，3b b =，∴0a =或1a =，0b =或1b =±∴点,A a b （）的坐标不可能是()1,0-故选：D ．【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根的性质，熟练根据算术平方根和立方根的性质得到a 和b 的取值是解决本题的关键.8．（2020·湖北省）已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x 轴的距离为2，则点P 的坐标为( ) A ．(4，-2) B ．(-4，2)C ．(-2，4)D ．(2，-4)【答案】A【解析】【详解】解：由点P 在第四象限，且到x 轴的距离为2，则点P 的纵坐标为-2， 即12a -=-解得1a =-54a ∴+=则点P 的坐标为（4，-2）． 故选A ．【点睛】本题考查点的坐标．9．（2020·武钢实验学校）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形'''OA B C 与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形'''OA B C 的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点'B 的坐标是( )A ．(3,2)B ．(2,3)--C ．(2,3)或(2,3)--D ．(3,2)或(3,2)--【答案】D【解析】根据面积比等于相似比的平方得到位似比为12，由图形得到点B 的坐标，根据注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于±k 解答即可． 【详解】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似,矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14， ∴矩形OA′B′C′与矩形OABC 的位似比是12， ∵点B 的坐标是(6,4)，∴点B′的坐标是(3,2)或(−3,−2)， 故选：D.【点睛】此题考查位似变换，坐标与图形性质，解题关键在于得到位似比为12.10．（2019·鄱阳县第二中学）如图所示，A1（1，3），A2（32，3），A3（2，3），A4（3，0）．作折线A1A2A3A4关于点A4的中心对称图形，再做出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线一每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当t＝2020时，点P的坐标为（）A．（10103B．（20203C．（2016，0）D．（10103【答案】A【解析】把点P从O运动到A8作为一个循环，寻找规律解决问题即可．【详解】由题意OA1＝A3A4＝A4A5＝A7A8＝2，A1A2＝A2A3＝A5A6＝A6A7＝1，∴点P从O运动到A8的路程＝2+1+1+2+2+1+1+2＝12，∴t＝12，把点P从O运动到A8作为一个循环，∵2020÷12＝168余数为4，∴把点A3向右平移168×3个单位，可得t＝2020时，点P的坐标，∵A3（23），168×6＝1008，1008+2＝1010，∴t＝2020时，点P的坐标（10103，故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变化，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．二、填空题(共20分)11．（2020·浙江省）若P（x，y）的坐标满足xy＞0，且x+y<0,则点P在第________象限 .【答案】三【解析】先根据xy＞0，且x＋y＜0,判断出x和y的取值范围，然后根据平面直角坐标系中点的符号特征判断点P所在的象限.【详解】∵xy ＞0，且x ＋y ＜0, ∴x <0,y <0, ∴点P 在第三象限. 故答案为三.【点睛】题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.12．(本题5分)（2020·广东省中山中学）若点()31,3m --在第三象限，则m 的取值范围是_________． 【答案】13m ＜【解析】根据第三象限内点的横纵坐标是负数，列不等式求解即可．【详解】∵点（3m-1，-3）在第三象限，310m -＜ ,解得13m ＜．故答案是：13m ＜． 【点睛】本题考查一元一次不等式和象限，解题的关键是知道点在各个象限的特征． 13．（2017·山东省）若点P （2x +6，33x -）在y 轴上，则点P 的坐标为___________. 【答案】(0,-12) 【解析】分析：根据y 轴上的点的横坐标为0得出2x +6=0，求出x 的值即可得出点P 的坐标． 详解：∵点P （2x +6，3x -3）在y 轴上， ∴2x +6=0， 解得：x =-3，∴点P 的坐标为（0，-12）． 故答案为：（0，-12）．点睛：本题考查了坐标轴上点的坐标特征：x 轴上点的纵坐标为0，y 轴上点的横坐标为0．14．（2018·河南省）如图，以正六边形ABCDEF 的中心O 为原点建立平面直角坐标系，过点A 作AP 1⊥OB 于点P 1，再过P 1作P 1P 2⊥OC 于点P 2，再过P 2作P 2P 3⊥OD 于点P 3，依次进行……若正六边形的边长为1，则点P 2019的横坐标为_____．【答案】【解析】由题意得出，推出OP n＝，得出OP2019＝，推出OP2019在第三象限，由点P2019的横坐标的长为：OP2019即可得出结果．【详解】解：∵正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，AP1⊥OB，P1P2⊥OC，P2P3⊥OD，∴△OAB为等边三角形，∠OAP1＝30°，∴OP1＝，同理：∠P2P1O＝30°，∴OP2＝，∠P3P2O＝30°，∴OP3＝，即OP n＝，∴OP2019＝，∵2019÷6＝336…3，∴OP2019在第三象限，点P2019的横坐标的长为：＝，∴点P2019的横坐标为﹣；故答案为：﹣．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及规律型；熟练掌握正六边形的性质，找出规律是解题的关键．三、解答题(共90分)15．如图所示，在平面直角坐标系中，已知()2,2A 、20()3)( 1B C --，、，．（1）在平面直角坐标系中画出ABC ； （2）ABC 的面积为 ．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC 即可；（2）直接利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）所作△ABC 如图所示 （2）△ABC 的面积是：111434231315222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积求法，利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积是常用的方法．16．(本题8分)（2019·辽宁省）如图所示，在平面真角坐标系中，点A ．B 的坐标分别为A （a ，0），B （b ，0），且a ，b 满足|a+1|+5-b ＝0，点C 的坐标为（0，3）． （1）求a ，b 的值及S △ABC ； （2）若点M 在x 轴上，且S △ACM ＝13S △ABC ，试求点M 的坐标．【答案】（1）a ＝﹣1，b ＝5，S △ABC ＝9；（2）M 的坐标为（1，0）或（﹣3，0）【解析】（1）由5-b ＝0结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a 、b 的值，再结合三角形的面积公式即可求出S △ABC 的值；（2）设出点M 的坐标，找出线段AM 的长度，根据三角形的面积公式结合S △ACM ＝13S △ABC ，即可得出点M 的坐标．【详解】解：（1）由5-b 0，|a+1|≥05-b 0 ∴a+1＝0，b ﹣5＝0， ∴a ＝﹣1，b ＝5，∴点A （﹣1，0），点B （5，0）． 又∵点C （0，3），∴AB ＝|﹣1﹣5|＝6，CO ＝3， ∴S △ABC ＝12AB •CO ＝12×6×3＝9． （2）设点M 的坐标为（x ，0），则AM ＝|x ﹣（﹣1）|＝|x+1|，又∵S △ACM ＝13S △ABC ， ∴12AM •OC ＝13×9， ∴12|x+1|×3＝3， ∴|x+1|＝2， 即x+1＝±2， 解得：x ＝1或﹣3，故点M 的坐标为（1，0）或（﹣3，0）．【点睛】此题考查的是非负性的应用、求点的坐标和根据点的坐标求面积，掌握绝对值和算术平方根的非负性和点的坐标与各线段长的关系是解决此题的关键．17．（2020·广东省铁一中学）如图，()23A -，，()43B ，，()13C --，.（1）点C 到x 轴的距离为：______；（2）ABC ∆的三边长为：AB =______，AC =______，BC =______； （3）当点P 在y 轴上，且ABP ∆的面积为6时，点P 的坐标为：______. 【答案】（1）3；（2）63761；（3）0,1，0,5 【解析】（1）点C 的纵坐标的绝对值就是点C 到x 轴的距离解答； （2）利用A ，C ，B 的坐标分别得出各边长即可；（3）设点P 的坐标为（0，y ），根据△ABP 的面积为6，A （−2，3）、B （4，3），所以12×6×|x−3|＝6，即|x−3|＝2，所以x ＝5或x ＝1，即可解答． 【详解】（1）∵C （−1，−3）， ∴|−3|＝3，∴点C 到x 轴的距离为3；（2）∵A （−2，3）、B （4，3）、C （−1，−3）， ∴AB ＝4−（−2）＝6，AC 221637+BC 225661+ （3）（3）设点P 的坐标为（0，y ），∵△ABP 的面积为6，A （−2，3）、B （4，3）， ∴12。
专题21 与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．(1)求点C 的坐标；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点C 坐标为()7,4 (2)()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩(3)存在点P ()4,4或9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP 是等腰三角形 【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA =，4OB =，再由4tan 3DAB ∠=，可得4OD =，然后根据四边形ABCD 是平行四边形，可得CD =7，90ODC AOD ∠=∠=︒，即可求解； （2）分两种情况讨论：当07t <时，当712t <时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，即可求解； （3）分三种情况讨论：当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ；当52PC CM ==时；当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，即可求解．(1)解：27120x x -+=，解得13x =，24x =，∵OA OB <，∴3OA =，4OB =， ∵4tan 3DAB ∠=， ∴43OD OA =， ∴4OD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴347DC AB ==+=，DC AB ∥，∴点C 坐标为()7,4；(2)解：当07t <时，()117414222S CP OD t t =⋅=-⋅=-， 当712t <时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，如图，5AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴5BC AD ==，∵BC AF AB OD ⋅=⋅，∴574AF ⋅=⨯， ∴285AF =， ∴()11281498722555S CP AF t t =⋅=-⋅=-， ∴()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩；(3)解：存在点P ，使CMP 是等腰三角形，理由如下：根据题意得：当点P 在CD 上运动时，CMP 可能是等腰三角形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C =∠BAD ，BC =AD =5， ∴4tan tan 3C DAB =∠=， ∵点M 为BC 的中点，∴52CM =， 当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ，∴3,22CF FM ==， 设PC =PM =a ，则PD =7-a ，32PF a =-， ∵PF 2+FM 2=PM 2， ∴222322a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：2512a =， ∴59712DP PC =-=， ∴此时点P 59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当52PC CM ==时，∴972PD PC =-=， ∴此时点P 9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，则32CG =，∴23PC CG ==，∴PD =7-PC =4，∴此时点P ()4,4；综上所述，存在点P ()4,4或9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP 是等腰三角形 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，ABC 和BDE 都是等边三角形，点A 在DE 上．求证：以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC ，根据已知条件，可以证明DC AE =，120ADC =∠︒，从而得出ADC 为钝角三角形，故以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，点A 在EG 上．①试猜想：以AE 、AG 、AC 为边的三角形的形状，并说明理由．②若2210AE AG +=，试求出正方形ABCD 的面积．【答案】(1)钝角三角形；证明见详解(2)①直角三角形；证明见详解；②S 四边形ABCD =5【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，再证△EBA ≌△DBC （SAS ）∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，求出∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，可得△ADC 为钝角三角形即可； （2）①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形，连结CG ，根据正方形性质，得出∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∠BEA =∠BGE =45°，再证△EBA ≌△GBC （SAS ）得出AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，可证△AGC 为直角三角形即可；②连结BD ，根据勾股定理求出AC面积公式求解即可．(1)证明：∵△ABC 与△EBD 均为等边三角形，∴BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，∴∠EBA +∠ABD =∠ABD +∠DBC ，∴∠EBA =∠DBC ，在△EBA 和△DBC 中，EB DB EBA DBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△DBC （SAS ），∴∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，∴△ADC 为钝角三角形，∴以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(2)证明：①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形．连结CG ，∵四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，∴∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∵EG 为正方形的对角线，∴∠BEA =∠BGE =45°，∴∠EBA +∠ABG =∠ABG +∠GBC =90°，∴∠EBA =∠GBC ，在△EBA 和△GBC 中，G EB B EBA GBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△GBC （SAS ），∴AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，∴∠AGC =∠AGB +∠BGC =45°+45°=90°，∴△AGC 为直角三角形，∴以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形；②连结BD ，∵△AGC 为直角三角形，2210AE AG +=，∴AC∴四边形ABCD 为正方形，∴AC =BD∴S 四边形ABCD =211522AC BD AC ⋅==．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．3．（2022·海南）如图1，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点P 在边BC 上，且不与点B 、C 重合，直线AP 与DC 的延长线交于点E ．(1)当点P 是BC 的中点时，求证：ABP ECP △≌△；(2)将APB △沿直线AP 折叠得到APB '，点B '落在矩形ABCD 的内部，延长PB '交直线AD 于点F ． ①证明FA FP =，并求出在（1）条件下AF 的值；②连接B C '，求PCB '△周长的最小值；③如图2，BB '交AE 于点H ，点G 是AE 的中点，当2EAB AEB ∠=∠''时，请判断AB 与HG 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①见解析；132AF =；②12,；③2AB HG =，见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到AB DE ∥，再结合P 是BC 的中点证明ABP ECP △≌△；（2）①设FA x =，在Rt AB F '中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可； ②当点B '恰好位于对角线AC 上时，CB AB '+'最小，利用勾股定理计算即可；③过点B '作B M DE '∥，交AE 于点M ，证明B M EM AB AB ===''，再由11()22HG AG AH AE AM EM =-=-=即可得到12HG AB =． (1)解：如图9-1，在矩形ABCD 中，AB DC ，即AB DE ∥，∴1,2E B ∠=∠∠=∠．∵点P 是BC 的中点，∴BP CP =．∴(AAS)ABP ECP △≌△．(2)①证明：如图9-2，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，∴3FAP ∠=∠．由折叠可知34∠=∠，∴4FAP ∠=∠．∴FA FP =．在矩形ABCD 中，8BC AD ==，∵点P 是BC 的中点， ∴118422BP BC ==⨯=． 由折叠可知6,4AB AB PB PB ==='='，90B AB P AB F ∠=∠=∠=''︒．设FA x =，则FP x =．∴4FB x '=-．在Rt AB F '中，由勾股定理得222AF B A B F '+'=，∴2226(4)x x =+-，∴132x =， 即132AF =． ②解：如图9-3，由折叠可知6A B B A '==，B P BP '=．∴8PCB C CP PB CB CB CB CB '''=+'+=+=+'△．由两点之间线段最短可知，当点B '恰好位于对角线AC 上时，CB AB '+'最小．连接AC ，在Rt ADC 中，90D ∠=︒，∴10AC ==，∴1064CB AC AB =-'='-=最小值， ∴88412PCB C CB '=+'=+=最小值．③解：AB 与HG 的数量关系是2AB HG =．理由是：如图9-4，由折叠可知16,,AB AB BB AE ∠=∠=⊥''．过点B '作B M DE '∥，交AE 于点M ，∵AB DE ∥，∴AB DE B M '∥∥，∴165AED ∠=∠=∠=∠．∴AB B M AB ''==，∴点H 是AM 中点．∵2EAB AEB ∠=∠''，即628∠=∠，∴528∠=∠．∵578∠=∠+∠，∴78∠=∠．∴B M EM '=．∴B M EM AB AB ===''．∵点G 为AE 中点，点H 是AM 中点， ∴11,22AG AE AH AM ==． ∴11()22HG AG AH AE AM EM =-=-=． ∴12HG AB =． ∴2AB HG =．【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．4．（2022·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6cm =AB ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动．以PA 为一边作120APQ ∠=︒，另一边PQ 与折线AC CB -相交于点Q ，以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在线段PB 上．设点P 的运动时间为(s)x ，菱形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为2()cm y ．(1)当点Q 在边AC 上时，PQ 的长为 cm ；（用含x 的代数式表示）(2)当点M 落在边BC 上时，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)2x(2)1(3)22201312332x y x x ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩＜ 【分析】（1）先证明∠A =∠AQP =30°，即AP =PQ ，根据题意有AP =2x ，即PQ =2x ；（2）当M 点在BC 上，Q 点在AC 上，在（1）中已求得AP =PQ =2x ，再证明△MNB 是等边三角形，即有BN =MN ，根据AB =6x =6cm ，即有x =1（s ）；（3）分类讨论：当01x ≤＜时，此时菱形PQMN 在△ABC 的内部，此时菱形PQMN 与△ABC 重叠的面积即是菱形PQMN 的面积，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，求出菱形的面积即可；当x ＞1，且Q 点在线段AC 上时，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，设QM 交BC 于F 点，MN 交BC 于E 点，过M 点作NH ⊥EF 于H 点，先证明△ENB 是等边三角形、△MEF 是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN 的面积减去等边△MEF 的面积，求出菱形PQMN 的面积和等边△MEF 的面积即可，此时需要求出当Q 点在C 点时的临界条件；当332x ≤＜时，此时Q 点在线段BC 上，此时N 点始终与B 点重合，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，重叠部分的面积就是△PBQ 的面积，求出等边△PBQ 的面积即可．(1)当Q 点在AC 上时，∵∠A =30°，∠APQ =120°，∴∠AQP =30°，∴∠A =∠AQP ，∴AP =PQ ，∵运动速度为每秒2cm ，运动时间为x 秒，∴AP =2x ，∴PQ =2x ；(2)当M 点在BC 上，Q 点在AC 上，如图，在（1）中已求得AP =PQ =2x ，∵四边形QPMN 是菱形，∴PQ =PN =MN =2x ，PQ MN ∥，∵∠APQ =120°，∴∠QPB =60°，∵PQ MN ∥，∴∠MNB =∠QPB =60°，∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴∠B =60°，∴△MNB 是等边三角形，∴BN =MN ，∴AB =AP +PN +BN =2x ×3=6x =6cm ，∴x =1（s ）；(3)当P 点运动到B 点时，用时6÷2=3（s ），即x 的取值范围为：03x ≤≤，当M 点刚好在BC 上时，在（2）中已求得此时x =1，分情况讨论，即当01x ≤＜时，此时菱形PQMN 在△ABC 的内部，∴此时菱形PQMN 与△ABC 重叠的面积即是菱形PQMN 的面积，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，如图，∵∠APQ =120°，∴∠QPN =60°，即菱形PQMN 的内角∠QPN =∠QMN =60°，∴QG =PQ ×sin ∠QPN =2x ，∴重叠的面积等于菱形PQMN 的面积为，即为：22y PN QG x =⨯==；当x ＞1，且Q 点在线段AC 上时，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，设QM 交BC 于F 点，MN 交BC 于E 点，过M 点作NH ⊥EF 于H 点，如图，∵PQ MN ∥，∴∠MNB =∠QPN =60，∵∠B =60°，∴△ENB 是等边三角形，同理可证明△MEF 是等边三角形∴BN =NE ，∠MEF =60°，ME =EF ，∵AP =PQ =PN =MN =2x ，AB =6，∴BN =6-AN =6-4x ，∴ME =MN -NE =2x -BN =6x -6，∵MH ⊥EF ，∴MH =ME ×sin ∠MEH =(6x -6)×sin60°=(3x -∴△MEF 的面积为：2(3311(66)1)22MEF S EF MH x x x =⨯⨯=-⨯-⨯=-△，QG =PQ ×sin ∠QPN =2x ，∵菱形PQMN 的面积为22PN QG x ⨯==，∴重叠部分的面积为2221)MEF PQMN y S S x =-=--=-+-△菱形当Q 点与C 点重合时，可知此时N 点与B 点重合，如图，∵∠CPB =∠CBA =60°，∴△PBC 是等边三角形，∴PC =PB ，∵AP =PQ =2x ，∴AP =PB =2x ，∴AB =AP +PB =4x =6，则x =32，即此时重合部分的面积为：2y =-+-312x ≤＜； 当332x ≤＜时，此时Q 点在线段BC 上，此时N 点始终与B 点重合，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，如图，∵AP =2x ，∴PB =AB -AP =6-2x ，∵∠QPB =∠ABC =60°，∴△PQB 是等边三角形，∴PQ =PB ，同时印证菱形PQMN 的顶点N 始终与B 点重合，∴QG =PQ ×sin ∠QPN =(6-2x )x -，∴211(62))22PBQ S x PB QG x =⨯⨯=⨯---=+△∴此时重叠部分的面积2PBQ y S ==-+△综上所述：22201312332x y x x ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩＜． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q 点的位置以及菱形PQMN 的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60ABC ∠=︒，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ．(1)如图1，当点G 在BC 边上时，写出PG 与PC 的数量关系 ．（不必证明）(2)如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．【答案】(1)PG =(2)PG =，证明见解析(3)PG =【分析】（1）延长GP 交DC 于点E ，利用()PED PGF SAS △≌△，得出PE PG =，DE FG =，得到CE CG =，CP 是EG 的中垂线，在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，利用正切函数即可求解；（2）延长GP 交DA 于点E ，连接EC ，GC ，先证明()DPE FPG ASA △≌△，再证明()CDE CBG SAS △≌△，利用在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，即可求解；（3）延长GP 到H ，使PH PG =，连接CH ，CG ，DH ，作FE ∥DC ，先证GFP HDP △≌△，再证HDC GBC ≌△△，利用在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，即可求解．(1)解：如图1，延长GP 交DC 于点E ，∵P 是DF 的中点，∴PD=PF ，∵BGF 是正三角形，∴60BGF ∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴BGF ABC ∠=∠，∴AB GF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ，∴CD GF ∥，∴CDP PFG ∠=∠，在PED 和PGF 中，DPE FPG DP PFCDP PFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()PED PGF SAS △≌△，∴PE PG =，DE FG =，∵BGF 是正三角形，∴FG BG =，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，CE CG ∴=，CP ∴是EG 的中垂线，在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，tan tan 60PG PCG PC PC ∴=∠⋅=︒⋅= ．(2)解：PG =，理由如下：如图2，延长GP 交DA 于点E ，连接EC ，GC ，60ABC ∠=︒，BGF 正三角形，∴GF BC AD ，EDP GFP ∴∠=∠，在DPE 和FPG 中，EDP GFP DP FPDPE FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DPE FPG ASA ∴△≌△PE PG ∴=，DE FG BG ==，60CDE CBG ∠=∠=︒，CD CB =，在CDE △和CBG 中，60CD CB CDE CBG CD CB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDE CBG SAS ∴△≌△CE CG ∴=，DCE BCG ∠=∠，120ECG DCB ∴∠=∠=︒，PE PG =，CP PG ∴⊥，1602PCG ECG ∠=∠=︒(3)解：猜想：PG = ．证明：如图3，延长GP 到H ，使PH PG =，连接CH ，CG ，DH ，作FE DC ，P 是线段DF 的中点，FP DP ∴=，GPF HPD ∠=∠，GFP HDP ∴△≌△，GF HD ∴=，GFP HDP ∠=∠，120GFP PFE ∠+∠=︒，PFE PDC ∠=∠，120CDH HDP PDC ∴∠=∠+∠=︒，四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，60ADC ABC ∠=∠=︒，点A 、B 、G 又在一条直线上，120GBC ∴∠=︒，四边形BEFG 是菱形，GF GB ∴=，HD GB ∴=，HDC GBC ∴△≌△，CH CG ∴=，DCH BCG ∠=∠，120DCH HCB BCG HCB ∴∠+∠=∠+∠=︒，即120HCG ∠=︒CH CG =，PH PG =，PG PC ∴⊥，60GCP HCP ∠=∠=︒，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形． 6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证AE EF =．（提示：取AB 的中点G ，连接EG ．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；(2)如图1，若点E 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），其他条件不变．求证：AE EF =；(3)在（2）的条件下，连接AC ，过点E 作EP ⊥AC ，垂足为P ．设=BE k BC，当k 为何值时，四边形ECFP 是平行四边形，并给予证明．【答案】(1)AG=CE (2)过程见解析(3)13，证明过程见解析 【分析】对于（1），根据点E 是BC 的中点，可得答案；对于（2），取AG=EC ，连接EG ，说明△BGE 是等腰直角三角形，再证明△GAE ≌△CEF ，可得答案；对于（3），设BC=x ，则BE =kx ，则GE =，(1)EC k x =-，再利用等腰直角三角形的性质表示EP 的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC ，即可解决问题．(1)解：∵E 是BC 的中点，∴BE=CE ．∵点G 是AB 的中点，∴BG=AG ，∴AG=CE ．故答案为：AG=CE ；(2)取AG=EC ，连接EG ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，∠B =90°．∵AG=CE ，∴BG=BE ，∴△BGE 是等腰直角三角形， ∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE =135°．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°．∵CF 是正方形ABCD 外角的平分线， ∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°． ∵AE ⊥EF ，∴∠AEB +∠FEC =90°．∵∠BAE +∠AEB =90°，∴∠BAE=∠CEF ，∴△GAE ≌△CEF ，∴AE=EF ；(3)当13k =时，四边形PECF 是平行四边形． 如图．由（2）得，△GAE ≌△CEF ， ∴CF=EG ．设BC=x ，则BE =kx ，∴GE =，(1)EC k x =-． ∵EP ⊥AC ，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴∠PEC=45°，∴∠PEC+∠ECF =180°，)PE k x =-． ∴PE CF ∥，当PE=CF 时，四边形PECF 是平行四边形，)k x -=，解得13k =． 【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识．7．（2022·福建）已知ABC DEC ≌△△，AB ＝AC ，AB ＞BC ．(1)如图1，CB 平分∠ACD ，求证：四边形ABDC 是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC ），BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC ），若BAD BCD ∠=∠，求∠ADB 的度数．【答案】(1)见解析(2)180ACE EFC ∠+∠=︒，见解析(3)30°【分析】（1）先证明四边形ABDC 是平行四边形，再根据AB ＝AC 得出结论；（2）先证出ACF CEF ∠=∠，再根据三角形内角和180CEF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，得到180ACF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，等量代换即可得到结论；（3）在AD 上取一点M ，使得AM ＝CB ，连接BM ，证得ABM CDB △△≌，得到MBA BDC ∠=∠，设BCD BAD α∠=∠=，BDC β∠=，则ADB αβ∠=+，得到α+β的关系即可．(1)∵ABC DEC ≌△△，∴AC ＝DC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝DC ，∵CB 平分∠ACD ，∴ACB DCB ∠=∠，∴ABC DCB ∠=∠，∴AB CD ∥，∴四边形ABDC 是平行四边形，又∵AB ＝AC ，∴四边形ABDC 是菱形；(2)结论：180ACE EFC ∠+∠=︒．证明：∵ABC DEC ≌△△，∴ABC DEC ∠=∠，∵AB ＝AC ，∴A ABC CB =∠∠，∴ACB DEC ∠=∠，∵180ACB ACF DEC CEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACF CEF ∠=∠，∵180CEF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，∴180ACF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，∴180ACE EFC ∠+∠=︒；(3)在AD 上取一点M ，使得AM ＝CB ，连接BM ，∵AB ＝CD ，BAD BCD ∠=∠，∴ABM CDB △△≌，∴BM ＝BD ，MBA BDC ∠=∠，∴ADB BMD ∠=∠，∵BMD BAD MBA ∠=∠+∠，∴ADB BCD BDC ∠=∠+∠，设BCD BAD α∠=∠=，BDC β∠=，则ADB αβ∠=+，∵CA ＝CD ，∴2CAD CDA αβ∠=∠=+，∴2BAC CAD BAD β∠=∠-∠=， ∴()1180902ACB BAC β∠=︒-∠=︒-， ∴()90ACD βα∠=︒-+，∵180ACD CAD CDA ∠+∠+∠=︒，∴()()9022180βααβ︒-+++=︒，∴30αβ+=︒，即∠ADB ＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．(1)当点M 与点B 重合时，求t 的值；(2)当t 为何值时，APQ 与BMF 全等；(3)求S 与t 的函数关系式；(4)以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长．【答案】(1)2t = (2)4t =或43t =(3)())220224t S t ≤≤=⎨⎪+-<≤⎪⎩【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可；（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；（3）利用面积公式计算即可，需要根据M 在B 点左边和右边分类讨论；（4）先确定E 点的运动轨迹是一条直线，再根据24t ≤≤求点E 运动路径的长．(1)M 与B 重合时，∵60A ∠=︒， ∴122PA AB ==， ∴2t =.(2)①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴42t t =-， ∴43t =. ②当24t <≤，∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =.∴4t =或43t =.(3)①当02t ≤≤时，PQ =， ∴32MQ t =，∴2PQM S S ==△. ②当24t <≤时，∵2BF t =-，)2MF t -，∴22)BFM S t =-△，∴2PQM BFM S S S =-=+-△△∴22,0224t S t ≤≤=⎨⎪+-<≤⎪⎩. (4)连接AE .∵PQE 为正三角形，∴PE =，在Rt △APE 中，2tan PE PAE PA t ∠=== ∴PAE ∠为定值.∴E 的运动轨迹为直线，AE =，当2t =时AE =当4t =时=AE∴E 的运动路径长为=【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．9．（2022·浙江金华）如图，在菱形ABCD 中，310,sin 5AB B ==，点E 从点B 出发沿折线B C D --向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图1，点G 在AC 上．求证：FA FG =．(2)若EF FG =，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知8FG =，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与BEF 相似（包括全等）？【答案】(1)见解析(2)7AG=或5(3)1s=或3225s=或327s=或1012s≤≤【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；（2）记AC中点为点O．分点E在BC上和点E在CD上两种情况进行求解即可；（3）过点A作AM BC⊥于点M，作AN CD⊥于点N．分点E在线段BM上时，点E在线段MC上时，点E 在线段CN上，点E在线段ND上，共四钟情况分别求解即可．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴BA BC=，∴BAC BCA∠=∠．∵FG BC，∴FGA BCA∠=∠，∴BAC FGA∠=∠，∴△AFG是等腰三角形，∴FA FG=．(2)解：记AC中点为点O．①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM BC⊥于点M，∵在Rt ABM 中，365AM AB ==，∴8BM ==．∴6,2FG EF AM CM BC BM ====-=，∵,OA OC OE AM =∥， ∴112122CE ME CM ===⨯=， ∴1AF ME ==，∴167AG AF FG =+=+=．②当点E 在CD 上时，如图3，过点A 作AN CD ⊥于点N ．同理，6,2FG EF AN CN ====，112AF NE CN ===， ∴615AG FG AF =-=-=．∴7AG =或5．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，作AN CD ⊥于点N ．①当点E 在线段BM 上时，08s <≤．设3EF x =，则4,3BE x GH EF x ===，ⅰ）若点H 在点C 的左侧，810s +≤，即02s <≤，如图4，10(48)24CH BC BH x x =-=-+=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴33244x x =-， 解得14x =， 经检验，14x =是方程的根， ∴41s x ==．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34243x x =-， 解得825x =， 经检验，825x =是方程的根， ∴32425s x ==． ⅰ）若点H 在点C 的右侧，810s +>，即28s <≤，如图5，(48)1042CH BH BC x x =-=+-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴33424x x =-， 此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34423x x =-， 解得87x =， 经检验，87x =是方程的根， ∴3247s x ==． ②当点E 在线段MC 上时，810s <≤，如图6，6,8,EF EH BE s ===．∴8,2BH BE EH s CH BH BC s =+=+=-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴662s s=-， 此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴626s s =-，解得1s =经检验，1s =∵810s <≤，∴1s =±③当点E 在线段CN 上时，1012s ≤≤，如图7，过点C 作⊥CJ AB 于点J ，在Rt BJC △中，10,6,8BC CJ BJ ===．8,EH BJ JF CE ===，∴BJ JF EH CE +=+，∴CH BF =，∵,90GH EF GHC EFB =∠=∠=︒，∴GHC EFB △≌△，符合题意，此时，1012s ≤≤．④当点E 在线段ND 上时，1220s <<，∵90EFB ∠>︒，∴GHC 与BEF 不相似．综上所述，s 满足的条件为：1s =或3225s =或327s =或1012s ≤≤． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．10．（2022·四川南充）如图，在矩形ABCD 中，点O 是AB 的中点，点M 是射线DC 上动点，点P 在线段AM 上（不与点A 重合），12OP AB =．(1)判断ABP △的形状，并说明理由．(2)当点M 为边DC 中点时，连接CP 并延长交AD 于点N ．求证：PN AN =．(3)点Q 在边AD 上，85,4,5AB AD DQ ===，当90CPQ ∠=︒时，求DM 的长． 【答案】(1)ABP △为直角三角形，理由见解析(2)见解析 (3)43或12 【分析】（1）由点O 是AB 的中点，12OP AB =可知OP OA OB ==，由等边对等角可以推出90APB APO BPO ∠=∠+∠=︒；（2）延长AM ，BC 交于点E ，先证EC BC =，结合（1）的结论得出PC 是直角BPE 斜边的中线，推出12PC BE CE ==，进而得到34∠=∠，再通过等量代换推出21∠=∠，即可证明PN AN =； （3）过点P 作AB 的平行线，交AD 于点F ，交BC 于点G ，得到两个K 型，证明BPG FAP ∆∆，CPG PQF ∆∆，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF ，FP ，再通过AFP ADM ∆∆即可求出DM ．(1)解：ABP △为直角三角形，理由如下：∵点O 是AB 的中点，12OP AB =， ∴OP OA OB ==，∴APO PAO ∠=∠，BPO PBO ∠=∠，∵ 180APO PAO BPO PBO ∠+∠+∠+∠=︒， ∴1180=902APO BPO ∠+∠=⨯︒︒， ∴90APB ∠=︒，∴ABP △为直角三角形；(2)证明：如图，延长AM ，BC 交于点E ，由矩形的性质知：//AD BE ，90ADM ECM ∠=∠=︒，∴14∠=∠，∵ 点M 为边DC 中点，∴DM CM =，在ADM △和ECM 中，14ADM ECM DM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADM ECM ≅△△，∴EC AD =，∵BC AD =，∴EC BC =，即C 点为BE 的中点，由（1）知90APB ∠=︒，∴90BPE ∠=︒，即BPE 为直角三角形， ∴12PC BE CE ==， ∴34∠=∠，又∵23∠∠=，14∠=∠，∴21∠=∠，∴PN AN =；(3)解：如图，过点P 作AB 的平行线，交AD 于点F ，交BC 于点G ，由已知条件85,4,5AB AD DQ ===，设QF a =，FP x =， 则8124455GB AF DQ QF a a ==--=--=-，5PG x =-，85CG a =+． ∵AB AD ⊥，AB BC ⊥，//FG AB ，∴FG AD ⊥，FG BC ⊥，∴90AFP PGB ∠=∠=︒，∴90FAP FPA ∠+∠=︒，∵90APB ∠=︒，∴90BPG FPA ∠+∠=︒，∴BPG FAP ∠=∠，∴BPG FAP ∆∆， ∴GB PG FP AF =，即1255125a x x a --=-， ∴212(5)()5x x a -=-． 同理，∵ 90QFP ∠=︒，∴90FQP FPQ ∠+∠=︒，∵90CPQ ∠=︒，∴90CPG FPQ ∠+∠=︒，∴CPG FQP ∠=∠，∴CPG PQF ∆∆， ∴CG PG FP QF =，即855a x x a+-=， ∴8(5)()5x x a a -=+． ∴2128()()55a a a -=+， 解得910a =， ∴12352AF a =-=， 将910a =代入8(5)()5x x a a -=+得989(5)()10510x x -=⨯+， 整理得242090x x -+=， 解得12x =或92x =． ∵FAP DAM ∠=∠，AFP ADM ∠=∠，∴AFP ADM ∆∆， ∴FP AF DM AD =，即324x DM =， ∴83DM x =， ∴当12x =时，814323DM =⨯=，当92x =时，891232DM =⨯=，此时点M 在DC 的延长线上， 综上，DM 的长为43或12． 【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K 字模型．11．（2022·湖北武汉）已知CD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，AD m =，BD n =，ADE 与BDF 的面积之和为S ．(1)填空：当90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥时，①如图1，若45B ∠=︒，m =n =_____________，S =_____________；②如图2，若60B ∠=︒，m =n =_____________，S =_____________；(2)如图3，当90ACB EDF ∠=∠=︒时，探究S 与m 、n 的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当60ACB ∠=︒，120EDF ∠=︒，6m =，4n =时，请直接写出S 的大小．【答案】(1)①25；②4；(2)S =12mn(3)S =【分析】（1）①先证四边形DECF 为正方形，再证△ABC 为等腰直角三角形，根据CD 平分∠ACB ，得出CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,然后利用三角函数求出BF=BD cos45°=5，DF =BD sin45°=5，AE =AD cos45°=5即可；②先证四边形DECF 为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A =90°-∠B =30°，利用30°直角三角形先证求出DE =1122AD =⨯=AE =ADcos 30°=6，DF =DE =BF =DF tan30°=2，BD =DF ÷sin60°=4即可；（2）过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，先证四边形DGCH 为正方形，再证△DFG ≌△DEH （ASA ）与△DBG ≌△DIH （SAS ），然后证明∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°即可； （3）过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ，先证明△DQF ≌△DPE ，△DBQ ≌△DRP ，再证△DBF ≌△DRE ，求出∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°即可．(1)解：①∵90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥，CD 是ABC 的角平分线，∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，∵45B ∠=︒，∴∠A =90°-∠B =45°=∠B ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∵CD 平分∠ACB ，∴CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,∵m =∴BD =n =∴BF =BDcos 45°=5，DF =BDsin 45°=5，AE =ADcos 45°=5，ED =DF =5，∴S = 1155552522ADE BDF S S ∆+=⨯⨯+⨯⨯=；故答案为25；②∵90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥，CD 是ABC 的角平分线，∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，∵60B ∠=︒，∴∠A =90°-∠B =30°，∴DE =1122AD =⨯AE =AD cos30°=6，DF =DE = ∵∠BDF =90°-∠B =30°，∴BF =DF tan30°=2，∴BD =DF ÷sin60°=4，∴BD =n =4，∴S=116222ADE BDF S S ∆+=⨯+⨯⨯ 故答案为：4；(2)解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，∴∠DHC =∠DGC =∠GCH =90°，∴四边形DGCH 为矩形，∵CD 是ABC 的角平分线，DH ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴DG =DH ，∴四边形DGCH 为正方形，∴∠GDH =90°，∵90EDF ∠=︒，∴∠FDG +∠GDE =∠GDE +∠EDH =90°，∴∠FDG =∠EDH ，在△DFG 和△DEH 中，FDG EDH DG DHDGF DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DFG ≌△DEH （ASA ）∴FG =EH ，在△DBG 和△DIH 中，DG DH DGB DHI BG IH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBG ≌△DIH （SAS ），∴∠B =∠DIH ，DB =DI =n ，∵∠DIH +∠A =∠B +∠A =90°，∴∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°，∴S △ADI =1122AD DI mn ⋅=， ∴S =12ADE BDF ADE HDI ADI S S SS S mn ∆∆∆+=+==；(3)过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ， ∵CD 是ABC 的角平分线，DP ⊥AC ，DQ ⊥BC ，∴DP =DQ ，∵∠ACB=60°∴∠QDP =120°，∵120EDF ∠=︒，∴∠FDQ +∠FDP =∠FDP +∠EDP =120°，∴∠FDQ =∠EDP ，在△DFQ 和△DEP 中，FDQ EDP DQ DPDQF DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DFQ ≌△DEP （ASA ）∴DF =DE ，∠QDF =∠PDE ，在△DBQ 和△DRP 中，DQ DP DQB DPR BQ RP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBQ ≌△DRP （SAS ），∴∠BDQ =∠RDP ，DB =DR ，∴∠BDF =∠BDQ +∠FDQ =∠RDP +∠EDP =∠RDE ，∵DB =DE ，DB =DR ，∴△DBF ≌△DRE ，∴∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°，∴S =S △ADR=111sin 6064222AS DR AD DR ⋅=︒⨯=⨯=． 【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键． 12．（2022·山东临沂）已知ABC 是等边三角形，点B ，D 关于直线AC 对称，连接AD ，CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)在线段AC 上任取一点Р（端点除外），连接PD ．将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处．请探究：当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ 与CP 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)DPQ ∠大小不变，理由见解析(3)CP AQ =，证明见解析【分析】（1）连接BD ，由等边三角形的性质可得AC 垂直平分BD ，继而得出AB BC CD AD ===，便可证明；（2）连接PB ，过点P 作PE CB ∥交AB 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，可证明APE 是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明APF EPF ∠=∠，QPF BPF ∠=∠，即可求解；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE ，QF = BF ，即可证明．(1)连接BD ， ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，点B ，D 关于直线AC 对称，∴AC 垂直平分BD ，,DC BC AD AB ∴==，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形；(2)当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下： 将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处，PQ PD ∴=， ABC 是等边三角形，,60AB BC AC BAC ABC ACB ∴==∠=∠=∠=︒，连接PB ，过点P 作PE CB ∥交AB 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，则60,60APE ACB AEP ABC ∠=∠=︒∠=∠=︒，60APE BAC AEP ∴∠=∠=︒=∠，APE ∴是等边三角形，AP EP AE ∴==，PF AB ⊥，APF EPF ∴∠=∠，点B ，D 关于直线AC 对称，点P 在线段AC 上，∴PB = PD ，∠DP A =∠BP A ，∴PQ = PD ，PF AB ⊥，QPF BPF ∴∠=∠，∴∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF ，即∠QP A = ∠BPE ，∴∠DPQ =∠DP A - ∠QP A =∠BP A -∠BPE = ∠APE = 60°；(3)AQ = CP ，证明如下：AC = AB ，AP = AE ，∴AC - AP = AB – AE ，即CP = BE ，AP = EP ，PF ⊥AB ，∴AF = FE ，PQ = PD ，PF ⊥AB ，∴QF = BF ，∴ QF - AF = BF – EF ，即AQ = BE ，∴AQ = CP ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，重叠部分的面积为__________；当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________；(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，,OE OP 分别与正方形的边相交于点M ，N ． ①如图2，当BM CN =时，试判断重叠部分OMN 的形状，并说明理由；②如图3，当CM CN =时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=），将GOH ∠绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S ，请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），（参考数据：sin15tan152︒=︒=︒= 【答案】(1)1,1，114S S =(2)①OMN 1 (3)tan ,1tan 4522αα⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S．利用全等三角形的性质证明即可；（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14 S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD，∴S1=14 S．故答案为：1，1，S1=14 S．(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．。
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
坐标系中的不规则图形的面积求法及三角形面积万能公式关于规则图形与不规则图形，没有明确定义。
求图形面积的时候，三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形我们可以认为是规则的，因为它们都有面积公式，直接可以求出面积。
在平面直角坐标系中，(1)、如果计算这些图形面积所需要的边与坐标轴平行（或垂直），且已知顶点的坐标，都可以直接求出这些图形的面积。
（2）如果计算这些图形面积所需要的边不与坐标轴平行（或垂直），我们可以认为它不规则，因为面积不好求，所以考虑借助平面直角坐标系的性质，通过向坐标轴作垂线（或平行）进行转化，将图形进行割补成一些边与坐标轴平行（或垂直），且顶点坐标已知的规则图形，通过规则图形面积的和差来计算这个不规则图形的面积。
割补法：割法就是同样把图形割成几个规则图形，补法就是把图形补成一个规则图形.北师大版八上教材有这样一道题目，在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD 各个定点的坐标分别是A （0,0），B （3，6）C （14，8），D （16，0），确定这个四边形的面积.尽管顶点坐标已知，但是此四边形没有公式可以直接计算出面积，所以考虑使用割补法.割法：过B,C 分别作x 轴的垂线交x 轴于E 、F,如图，根据点的坐标易求得，AE=3，BE=6，EF=11，DF=2，CF=8.所以，四边形面积就是两个三角形面积和一个梯形面积和。
只往x 轴作垂线？可以向y 轴作垂线进行分割吗？当然可以如此分割，如右图，过B 作BE 垂直于y 轴交CD 于点E很容易求出△BCE 的面积和梯形ABED 的面积，之和即是。
所以，在进行平面直角坐标系中的分割的时候，并无一定向x轴或者y 轴作垂线的要求，都可以考虑，关键是分割之后的图形面积计算所需的线段长是否易得。
也就是新得的点的坐标是否易求。
补法：借助平面直角坐标系的性质，过C 和D 分别向y 轴，x 轴作垂线，交y 轴于点E,两垂线交于点F,此时，四边形AEFD 是矩形，四边形ABCE 是不规则四边形，可以进行分割。
类型之一 利用点的坐标求三角形的面积如图1，△ABC 的顶点坐标分别是A (－1，2)，B (－3，0)，C (2，0)，求△ABC 的面积．图1解：△ABC 的面积＝12×(2＋3)×2＝5.如图2，在平面直角坐标系中，已知A (－6，5)，B (－4，0)，C (0，3)，画出△ABC ，并计算其面积．图2 变形1答图解：如答图所示．设AD ⊥x 轴于点D ，AE ⊥y 轴于点E . ∵A (－6，5)，B (－4，0)，C (0，3)， ∴S △ABC ＝S 矩形ADOE －S △ADB －S △BOC －S △ACE ＝5×6－12×5×2－12×4×3－12×6×2＝30－5－6－6 ＝13.[2018春·东阿县期末]在如图3所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点．(1)写出图中所示△ABC 各顶点的坐标； (2)求出此三角形的面积．图3变形2答图解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)． (2)如答图所示：S △ABC ＝S 矩形DECF －S △BEC －S △ADB －S △AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352. 类型之二 利用点的坐标求四边形的面积[2018春·北流市期末]如图4，平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (1，0)，B (5，0)，C (3，3)，D (2，4)，求四边形ABCD 的面积．图4例2答图解：如答图，作CE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥x 轴于点F ，则S △ADF ＝12×(2－1)×4＝2，S 梯形DCEF ＝12×(3＋4)×(3－2)＝3.5，S △BCE ＝12×(5－3)×3＝3，∴S 四边形ABCD ＝2＋3.5＋3＝8.5.[2017春·赵县期末]如图5，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A (0，1)，B (5，1)，C (7，3)，D (2，5)．(1)四边形ABCD 内(边界点除外)一共有__13__个整点(即横坐标和纵坐标都是整数的点)； (2)求四边形ABCD 的面积．图5变形1答图解：如答图所示： S 四边形ABCD ＝S △ADE ＋S △DFC ＋S长方形BEFG ＋S △BCG＝12×2×4＋12×2×5＋2×3＋12×2×2＝17.[2016·潮南月考]已知△ABC 两个顶点的坐标为A (－4，0)，B (2，0)，且过这两个点的边上的高为4，点C 的横坐标为－1，求顶点C 的坐标及三角形的面积．解：如答图．变形2答图∵AB 边上的高为4，∴点C 的纵坐标为4或－4. ∵点C 的横坐标为－1，∴点C 的坐标为(－1，4)或(－1，－4)． ∵A (－4，0)，B (2，0)， ∴AB ＝2－(－4)＝2＋4＝6， ∴△ABC 的面积＝12×6×4＝12.类型之三 利用面积求点的坐标在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，点C 在x 轴上，如果△ABC 的面积为6，求点C 的坐标．解：设C 点的坐标是(x ，0)． 由题意，得12×[2－(－2)]×|x |＝6，得|x |＝3，即x ＝±3，所以点C 的坐标为(3，0)或(－3，0)．在平面直角坐标系中，A (1，4)，点P 在坐标轴上，△P AO 的面积等于4，求点P 的坐标．解：当点P 在x 轴上时，设P (x ，0)． ∵S △P AO ＝4，A (1，4)， ∴12×|x |×4＝4，解得x ＝±2， ∴P (－2，0)或(2，0)．当点P 在y 轴上时，设P (0，y )，∵S△P AO＝4，A(1，4)，∴12×|y|×1＝4，解得y＝±8，∴P(0，－8)或(0，8)．综上所述，点P的坐标为(－2，0)或(2，0)或(0，－8)或(0，8)．[2017·阜阳一模]在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah.例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(－3，1)，C(2，－2)，则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20.根据所给定义解决下列问题：(1)若已知点D(1，2)，E(－2，1)，F(0，6)，则这3点的“矩面积”＝__15__；(2)若D(1，2)，E(－2，1)，F(0，t)三点的“矩面积”为18，求点F的坐标．【解析】(1)由题意可得，∵点D(1，2)，E(－2，1)，F(0，6)，∴a＝1－(－2)＝3，h＝6－1＝5，∴S＝ah＝3×5＝15.解：(2)由题意可得，“水平底”a＝1－(－2)＝3.①当t＞2时，h＝t－1，则3(t－1)＝18，解得t＝7.故点F的坐标为(0，7)．②当1≤t≤2时，h＝2－1＝1，S＝ah＝3×1＝3≠18，故此种情况不符合题意；③当t＜1时，h＝2－t，则3(2－t)＝18，解得t＝－4，故点F的坐标为(0，－4)．综上所述，点F的坐标为(0，7)或(0，－4)．[2018春·庆云县期末]已知在平面直角坐标系中有三点A(－2，1)，B(3，1)、C(2，3)．请回答下列问题：(1)在坐标系内描出点A，B，C的位置；(2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图6变形3答图解：(1)描点如答图所示．(2)依题意，得AB∥x轴，且AB＝3－(－2)＝5，∴S△ABC＝12×5×2＝5.(3)存在．∵AB＝5，S△ABP＝10，∴点P到AB的距离为4.又∵点P在y轴上，∴点P的坐标为(0，5)或(0，－3)．[2018春·黄石期末]如图7，在平面直角坐标系中，已知A(0，2)，B(3，0)，C(3，4)三点．(1)求△ABC 的面积；(2)如果在第二象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图7变形4答图解：(1)已知点A (0，2)，B (3，0)，C (3，4)， 过点A 作BC 边上的高，交BC 于点H ， 则△ABC 的面积为12BC ·AH ＝12×4×3＝6.(2)∵点P 在第二象限，∴m ＜0，∴S 四边形ABOP ＝S △AOB ＋S APO ＝12×2×3＋12×(－m )×2＝3－m .(3)当四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等时，即3－m ＝6，解得m ＝－3， 此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12， 故存在P 点，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等．1．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b ﹣4）2＝0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积＝△ABC的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积＝△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知点B（a，b），线段BA⊥x轴于A点，线段BC⊥y轴于C点，且（a﹣b+2）2+|2a﹣b﹣2|＝0．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点D是AB的中点，点E是OD的中点，求△AEC的面积；（3）在（2）的条件下，若已知点P（2，a），且S△AEP＝S△AEC，求a的值．3．在平面直角坐标系中，有一点B（a，b）的横纵坐标满足条件：|2a﹣24|+（a﹣b﹣7）2＝0．（1）求点B的坐标．（2）如图1，过点B作BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，P为CB延长线上一点，OP交BA于E，若S△OAE﹣S△BPE＝18，求P、E两点坐标．（3）M为（2）中BC上一点，如图2，且OM⊥AM，Q为CM上一动点，F为OQ上一动点，∠F AO＝∠COQ，ON、AN分别平分∠QOM与∠F AM，当Q点运动时，∠N变化吗？若不变，求其值；若变化，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S△P AC＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG＝3CG，在线段OB上取一点F，使OF＝2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．5．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a﹣b+8|+（a+b ﹣2）2＝0．（1）求a、b的值；（2）如图1，点G在y轴上，三角形COG的面积是三角形ABC的面积的，求出点G 的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一个动点，连接OP、AC、DB，OE平分∠AOP，OF⊥CE，若∠OPD+k∠DOF＝k（∠FOP+∠AOE），现将四边形ABDC向下平移k个单位得到四边形A1B1D1C1，已知AM+BN＝k，求图中阴影部分的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b ﹣4）2＝0（1）求A、B两点的坐标；（2）在x轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝S△ABC，求出点M的坐标；（3）动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，连接CP，设运动时间为ts，作△PCB中，CP边上的高BQ，当BQ＝2，求t的值，并直接写出Q的坐标．类型之一平面直角坐标系的概念1．[2018春·潮阳区期末]下列各点中，在第二象限的点是(A)A．(－3，2) B．(－3，－2) C．(3，2) D．(3，－2)2．已知点P(a＋5，a－1)在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为(A) A．(4，－2) B．(－4，2) C．(－2，4) D．(2，－4)3．[2018春·遂宁期末]已知点P(a，1)不在第一象限，则点Q(0，－a)在(C)A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴或原点上D．y轴负半轴上类型之二平面直角坐标系内点的坐标特征4．已知点A(4，3)，AB∥y轴，且AB＝3，则点B的坐标为__(4，0)或(4，6)__．【解析】∵A(4，3)，AB∥y轴，∴点B的横坐标为4.∵AB＝3，∴点B的纵坐标为3＋3＝6或3－3＝0，∴点B的坐标为(4，0)或(4，6)．5．已知A(a－3，a2－4)，求a及点A的坐标：(1)当点A在x轴上；(2)当点A在y轴上．解：(1)∵点A在x轴上，∴a2－4＝0，即a＝±2，∴点A的坐标为(－1，0)或(－5，0)．(2)∵点A在y轴上，∴a－3＝0，解得a＝3，∴点A的坐标为(0，5)．类型之三建立坐标系，求已知图形中点的坐标6．[2018·金华]小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1 mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是(C)图1A．(5，30) B．(8，10)C．(9，10) D．(10，10)7．如图2，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(－1，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为__(3，5)__．图2【解析】∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(－1，1)，∴点C的横坐标为4－1＝3，点C的纵坐标为4＋1＝5，∴点C的坐标为(3，5)．8．如图3，已知A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．(1)求点C到x轴的距离；(2)求△ABC的面积；(3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．图3解：(1)∵C(－1，－3)，|－3|＝3，∴点C到x轴的距离为3.(2)∵A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)，∴AB＝4－(－2)＝6，点C到边AB的距离为3－(－3)＝6，∴△ABC的面积为6×6×12＝18.(3)设点P的坐标为(0，y)．∵△ABP的面积为6，A(－2，3)，B(4，3)，∴12×6×|y－3|＝6，∴|y－3|＝2，∴y＝1或y＝5，∴点P的坐标为(0，1)或(0，5)．9．如图4，正方形ABCD的边长为4.如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标．图4解：AB与x轴平行，BC与x轴垂直．A，B，C，D各点的坐标分别为A(0，2)，B(4，2)，C(4，－2)，D(0，－2)．类型之四坐标系中的平移10．[2018春·宁晋县期末]已知△ABC的三个顶点坐标分别是(－2，1)，(2，3)，(－3，－1)，把△ABC运动到一个确定位置，下列各点坐标中可由平移得到的是(D)A．(0，3)，(0，1)，(－1，－1)B．(－3，2)，(3，2)，(－4，0)C．(1，－2)，(3，2)，(－1，－3)D．(－1，3)，(3，5)，(－2，1)11．[2016·青岛]如图5，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(A)图5A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3)C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3)【解析】由图可得线段AB向左平移了2个单位长度，向上平移了3个单位长度，则P′(a －2，b＋3)．12．[2018·宿迁]在平面直角坐标系中，将点(3，－2)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是__(5，1)__．13．[2018春·潮阳区期末]已知A (0，1)，B (2，0)，C (4，3)． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC ； (2)求△ABC 的面积；(3)设点P 在坐标轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点P 的坐标．图6解：(1)如答图所示：第13题答图(2)过点C 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为D ，E . ∴四边形DOEC 的面积＝3×4＝12， △BCD 的面积＝12×2×3＝3，△ACE 的面积＝12×2×4＝4，△AOB 的面积＝12×2×1＝1.∴△ABC 的面积＝四边形DOEC 的面积－△ACE 的面积－△BCD 的面积－△AOB 的面积＝12－4－3－1＝4.(3)当点P 在x 轴上时，△ABP 的面积＝12AO ·BP ＝4，即12×1×BP ＝4，解得BP ＝8， 所点P 的坐标为(10，0)或(－6，0)．当点P在y轴上时，△ABP的面积＝12×BO×AP＝4，即12×2×AP＝4，解得AP＝4.所以点P的坐标为(0，5)或(0，－3)．综上所述，点P的坐标为(0，5)或(0，－3)或(10，0)或(－6，0)．类型之五坐标系中点的规律探究14．[2018·新罗区期末]如图7，在直角坐标系中，A(1，3)，B(2，0)，第一次将△AOB变换成△OA1B1，A1(2，3)，B1(4，0)；第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，A2(4，3)，B2(8，0)，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…，则B2 018的横坐标为(D)图7A．22 016B．22 017C．22 018D．22 019。
直角坐标系中的三角形专项练习1．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG 与△OQF全等？2．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x上，且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，当A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为；（2）如图2，若BO平分∠ABC，交AC于D，过A作AE⊥y轴，垂足为E，则AE与BD之间的数量关系是（3）如图3，当点C在x正半轴上运动，点A在y正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD ⊥y于点D，试判断①与②中是定值（只填序号），并求出这个定值．3．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0）交y轴于点B（0，b），且a、b满足＝0，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若AB＝6，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N 从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．4．（2020秋•黄陂区期中）已知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA ＝OB．（1）直接写出m＝，A（，），B（，）；（2）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）．①如图1，若AB＝OB，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值；②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求∠CFD度数；若变化，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b ﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°．（1）求点A、点B的坐标．（2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝P A，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标．（3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x 轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t＝（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、、12秒时，△OPE与△OQF全等2．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OD，∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝OA，BD＝OC，∴点B坐标为（3，﹣1）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作BE⊥OC，则BD＝OE，∵∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCE＝90°，∴∠CAO＝∠BCE，在△ACO和△BCE中，，∴△ACO≌△BCE（AAS），∴CE＝OA，∴OA+DB＝OC．∴＝1．3．【解答】解：（1）∵a、b满足＝0，∴b＝6＝a∴点A（6，0），点B（0，6）∴AO＝BO＝6∵P A＝AO＝6∵BP＝AB﹣AP∴BP＝6﹣6（2）如图：连接OP∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°∵点是AB中点∴OP＝AP＝BP，∠BOP＝∠AOP＝45°＝∠BAO∵点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AM＝ON，且ON＝AM，∠BOP＝∠BAO∴△PNO≌△PMA（SAS）∴S△OPN＝S△APM∵S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM∴S四边形PNOM＝S△AOP＝S△AOB＝××6×6＝9（3）相等如图：过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M∵BD⊥OP，∠AOB＝90°∴∠DBO+∠BOF＝90°，∠BOF+∠AOM＝90°∴∠DBO＝∠AOM且AO＝BO，∠BOD＝∠MAO＝90°∴△BOD≌△OAM（ASA）∴∠BDO＝∠AMO，OD＝AM∵AM⊥OA，∠BAO＝45°∴∠BAM＝∠BAO＝45°∵∠BDO＝∠AEP，∠BDO＝∠AMO∴∠AEP＝∠AMO，且∠BAM＝∠BAO＝45°，AP＝AP∴△APM≌△APE（AAS）∴AM＝AE，且AM＝OD∴AE＝OD【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【解答】解：（1）∵OA＝OB，又∵点A（4m﹣6，0），B（0，m+3），∴4m﹣6＝m+3，∴m＝3，∴点A（6，0），点B（0，6），故答案为3，6，0，0，6；（2）如图，连接OP，∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∵AB＝OB，∴AB＝6，∵将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，∴BE＝BO＝6，OP＝PE，∵△PEA的周长＝PE+EA+P A＝OP+EA+AP，∴当点P与点D重合时，△PEA的周长最短，∴△PEA周长的最小值＝EA+OP+P A＝EA+OA＝AB＝6；（3）∠CFD的大小不发生改变，理由如下：如图2，连接OF，在BO上截取OH＝AD，连接HF，∵OA＝OB，点F是AB的中点，∠AOB＝90°，∴OF⊥AB，OF＝AF＝BF，∠BAO＝∠BOF＝45°，又∵OH＝AD，∴△ADF≌△OHF（SAS），∴HF＝DF，∠AFD＝∠OFH，∵∠AFD+∠DFC+∠OFC＝90°，∴∠DFC+∠OFC+∠HFO＝90°，∴∠HFD＝90°，∵AD+OC＝CD，OH+OC＝HC，∴HC＝CD，又∵CF＝CF，HF＝FD，∴△CFD≌△CFH（SSS），∴∠DFC＝∠HFC＝45°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）如图所示，过M作MC⊥y轴于C，则∠PCM＝∠AOP＝90°，∵PM⊥AP，∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CPM＝∠OAP，在△CPM和△OAP中，，∴△CPM≌△OAP（AAS），∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4，∴CB＝OP＝t，∴CO＝CP+OP＝4+t，∴M（t，4+t）；（3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，∵CB＝CM＝t，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠CBM＝∠OPQ＝45°，∴△BOQ是等腰直角三角形，∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0），又∵A（4，0），∴AQ＝8，又∵M（t，4+t），∴S△MQA ＝×8×（4+t）＝28，∴t＝3，∴OP＝3，∵BR∥PM，∴∠OBR＝∠CPM，又∵∠CPM＝∠OAP，∴∠OBR＝∠OAP，在△OBR和△OAP中，，∴△OBR≌△OAP（ASA），∴OR＝OP＝3，∴R（﹣3，0）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．11。
坐标系中三角形（或四边形）面积问题
一、三角形的一边在坐标轴上
例如图1 ,三角形ABC的三个顶点的坐标分别是
A（4,0）,B（-2,0）,C（2,4）,求三角形ABC 的面积.
二、三角形有一边与坐标轴平行
例如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4, 1），
B（4, 5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.
三、坐标平面内任意三角形的面积
例如图3，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点均在网格
点上.其中A点坐标为（2, -1），则三角形ABC的面积为________
平方单位•
3.如图3，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-2，2），
B（-3，-3），C（3，3），D（2，1），求四边形ABCD 的面积.-4-
—
A3
11D
/
4 -3 2 -1-1O12\ 3
，
\
-2
o
B E F C
X
5、如图A (-4 , 0), B (6, 0) , C (2, 4), D (-3 , 2).
(1)求四边形ABCD勺面积；
(2)在y轴上找一点卩，使厶APB的面积等于四边形的一半•求P点坐标.
&如图，在下面直角坐标系中，已知 A (0，a)，B (b，0)，C (b，c)三点, 其中a、b、c满足关系式|a 2 (b 3)20, (c 4)20
(1) 求a、b、c的值；
(2) 如果在第二象限内有一点P (m -)，请用含m的式子表示四边形ABOP勺
2
面积；
(3) 在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形ABOP勺面积与△ ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
X。
