求坐标系中三角形的面积 ppt课件

例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。

坐标系中如何求三角形的面积
问题描述
在平面直角坐标系中，给定三角形的三个顶点坐标 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3)，如何通过坐标计算出这个三角形的面积呢？
基本原理
要计算三角形的面积，我们可以利用向量的知识来求解。

设向量AB为向量a，向量AC为向量b。

则向量a的坐标为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量b的坐标为 (x3 - x1,
y3 - y1)。

具体步骤
1.计算向量a和向量b的叉乘，即 a × b = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 -
x2y1 - x3y2。

2.三角形的面积等于叉乘结果的绝对值的一半，即 area = |a × b| / 2。

3.最终得出的结果即为这个三角形的面积。

例子
例子：
假设三角形ABC的三个顶点坐标为A(1, 2), B(4, 5), C(3, 7)。

计算过程如下：
向量a = AB = (4 - 1, 5 - 2) = (3, 3)
向量b = AC = (3 - 1, 7 - 2) = (2, 5)
叉乘结果为 a × b = 15 + 42 + 33 - 17 - 45 - 32 = 5 + 8 + 9 - 7 - 20 - 6 = -1
三角形的面积为 area = |-1| / 2 = 0.5
所以，三角形ABC的面积为0.5。

结论
通过向量的方法，我们可以方便地在坐标系中计算三角形的面积。

这种方法简
单直观，可以很好地应用于实际问题中。

已知三角形三点坐标,求三角形的面积先介绍一下三维中的两点之间距离之式，和二维的几乎一样：d=sqrt((x0-x1)^2+ (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2)再介绍叉乘，中心内容！叉乘在定义上有：两个向量进行叉乘得到的是一个向量，方向垂直于这两个向量构成的平面，大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。

在直角座标系[O;i,j,k]中，i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量。

设P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。

因为是从原点出发，所以向量P0P1可简记为P1，向量P0P2可简记为P2。

依定义有：|i j k |P1×P2 = |x1 y1 z1||x2 y2 z2|展开，得到：上式= iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2= (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k按规定，有：单位向量的模为1。

可得叉积的模为：|P1×P2| = y1z2- y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1= (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1)开始正式内容。

我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，C(x2,y2,z2)。

我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。

然后，我们以A为原点，进行坐标平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。

①在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模为：|B×C| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))| 1 1 1 |= |x1-x0 y1-y0 z1-z0||x2-x0 y2-y0 z2-z0|它的一半即为所要求的三角形面积S。

坐标系中求三角形面积的方法大家好，今天我们要聊聊如何在坐标系中算出三角形的面积。

这个话题听起来可能有点复杂，但其实并没有我们想象的那么难。

咱们一步一步来，搞定它！1. 了解坐标系1.1 坐标系是什么？坐标系就是一个用来定位和描述点的位置的系统。

想象一下，你在纸上画了一个大十字架，横的叫x轴，竖的叫y轴。

这个交点叫做原点，每个点的位置都可以用(x, y)这样的形式来表示。

1.2 为什么要用坐标系？用坐标系来处理问题，简单明了，能够精确地描述任何点的位置。

这在数学和工程里特别有用，让我们能更加准确地处理各种几何问题。

2. 计算三角形面积的基本方法2.1 三角形的基本定义三角形是由三条线段围成的形状。

要计算三角形的面积，我们首先得知道这三条边连成的形状在坐标系中的位置。

别担心，计算起来没那么复杂。

2.2 坐标系中的面积计算公式在坐标系中，我们可以用一个公式来计算三角形的面积，这个公式是：。

[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。

这里的 ( (x_1, y_1) )、( (x_2, y_2) ) 和 ( (x_3, y_3) ) 是三角形三个顶点的坐标。

这个公式看起来很吓人，但实际上只要代入数据计算就行了。

3. 实际操作3.1 找出三角形顶点的坐标首先，你得知道三角形的三个顶点在坐标系中的位置。

例如，假如顶点A的坐标是(2, 3)，顶点B的坐标是(4, 7)，顶点C的坐标是(6, 5)。

3.2 代入公式进行计算把这些坐标代入公式里：[ text{面积} = frac{1}{2} left| 2(7 5) + 4(5 3) + 6(3 7) right| ]。

[ text{面积} = frac{1}{2} left| 2 times 2 + 4 times 2 + 6 times (4) right| ]。

面积问题直角坐标系中求三角形面积的方法：1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点；(1)求△AOB的面积；(2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积；(3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积；2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．。

坐标系三点坐标求三角形面积好嘞，今天咱们聊聊三角形的面积，没错，就是那个简单又有趣的几何问题，尤其是当你有三点坐标的时候，真的是可以轻松搞定。

想象一下，咱们在平面上随意找了三点，像是三个小朋友在草地上玩耍，哈哈。

它们的坐标分别是A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。

大家别以为这就是个无聊的数学题，咱们可以把它当成一场游戏，看看这三点能组成多大的三角形，哎呀，真是让人兴奋。

先说说如何计算三角形的面积，大家可以记住一个公式，简直简单得不能再简单。

就是把这三点的坐标代入一个神奇的公式，叫做“绝对值法”。

听起来高大上，其实就是这样的：面积=1/2×|x1(y2y3)+x2(y3y1)+x3(y1y2)|。

哎呀，我这说得可真快，你别着急，咱们慢慢来。

这个公式看起来有点复杂，其实也就那么回事。

就是把每个点的坐标代进去，算算算，最后得出一个数字，咱们就知道了三角形的大小。

想象一下，如果这三点在你面前，像小精灵一样欢快地跳跃，咱们要做的就是把它们的位置放到这个公式里，然后看它们能组合成一个什么样的图形。

这个过程就像是拼图游戏，每个点都是拼图的一部分，只有把它们组合好，才能看到完整的三角形。

哦，对了，面积的单位就跟你用的坐标单位是一样的，比如说用厘米的话，面积就是平方厘米，别搞混了哦。

三点可能会组成一个“瘦长”的三角形，或者说是一个“扁平”的三角形，看起来好像快要消失了。

可别小看这小家伙，它也有自己的面积，尽管不大。

三角形的面积就像咱们的生活，有大有小，各种各样，但都是独一无二的。

就算面积是零，那也是一种特殊的存在，嘿嘿，可能就意味着这三点恰好在一条直线上，成了一条线段。

再说了，如果有一天，你在外面看到一片草地，草地上有三块石头，哦，那就是三个点。

你可以算算它们之间的面积，简直就是一场数学冒险。

用公式算出结果，然后跟朋友炫耀，谁说数学没意思？数学就在生活的每个角落，关键看你怎么去发现，怎么去玩。

《坐标系中三角形面积求法》
在数学中，求坐标系中三角形的面积有多种方法。

一种方法是利用三角形的底和高来求面积。

如果三角形的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，可以先求出三角形的底边长和高。

比如，以线段AB 为底，那么底边长可以通过两点间距离公式求出。

高可以通过点 C 到直线AB 的距离来求。

然后根据三角形面积公式S = 1/2×底×高，即可求出三角形的面积。

另一种方法是利用向量的叉积来求面积。

设向量AB=(x2 - x1,y2 - y1)，向量AC=(x3 - x1,y3 - y1)，则三角形ABC 的面积S = 1/2×|AB×AC|，其中向量叉积的模可以通过计算得到。

例如，在一个坐标系中，有一个三角形的三个顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)。

我们可以用第一种方法来求面积。

先求出线段AB 的长度，根据两点间距离公式可得AB = √[(3 - 1)²+(4 - 2)²]=2√2。

然后求点 C 到直线AB 的距离。

直线AB 的方程可以通过两点式求出，设直线AB 的方程为y = kx + b，将A、B 两点坐标代入可得k = 1，b = 1，即直线AB 的方程为y = x + 1。

点C 到直线AB 的距离可以根据点到直线的距离公式求出，d = |5 - 6 + 1|/√(1²+(-1)²)=√2。

最后根据三角形面积公式可得S = 1/2×2√2×√2 = 2。

三角形面积公式坐标系一、三角形面积公式在平面直角坐标系中的相关知识。

1. 已知三角形三个顶点坐标求面积。

- 设三角形三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。

- 三角形面积公式为S = (1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。

- 推导过程：- 我们可以通过向量的叉积来推导这个公式。

向量→AB=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)，向量→AC=(x_3 - x_1,y_3 - y_1)。

- 两个向量叉积的模|→AB×→AC|=|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1)-(x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|。

- 而三角形面积S=(1)/(2)|→AB×→AC|，经过展开化简就可以得到S =(1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。

2. 特殊情况。

- 当三角形有一边平行于坐标轴时：- 例如，若AB边平行于x轴（即y_1 = y_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| y_3 - y_1|，其中| AB|=| x_2 - x_1|。

- 若AB边平行于y轴（即x_1 = x_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| x_3 - x_1|，其中| AB|=| y_2 - y_1|。

3. 应用示例。

- 例：已知三角形三个顶点A(1,2)，B(3,4)，C(5,1)，求三角形面积。

- 解：根据公式S=(1)/(2)<=ft|1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)right|- 先计算式子内部的值：1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)=1×3+3×(- 1)+5×(-2)=3 - 3 - 10=-10。