江苏省江阴市四校2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。

）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。

2018-2019学年高二期中考试数学学科试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1. 命题“1sin ,≤∈∃*x N x ”的否定是 ▲ ．2. 直线10x ++=的倾斜角的大小是 ▲ ．3. “1>x ”是“12>x ”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”“既不充分也不必要”之一）.4. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程 ▲ . 5. 若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的标准方程为_____▲ ____.6. 点P 是直线02=-+y x 上的动点，点Q 是圆122=+y x 上的动点，则线段PQ 长的最小值为 ▲ .7. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ▲ ．8. 若将一圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥体积为__▲ ． 9. 椭圆1163622=+y x 焦点为21,F F ,P 为椭圆上一点，且21PF PF ⊥,则21F PF ∆的面积为 ▲ ．10. 已知βα,是不同的平面，l m ,是不同的直线，给出下列4个命题： ①若,,//αα⊂m l 则;//m l ②若,,//,m l l =⊂βαβα 则;//m l ③若α⊂m m l ,//则α//l ；④若,//,ααm l ⊥则.m l ⊥ 则其中真命题为 ▲ .11. 若命题“R x ∈∃，使01)1()1(2≤+---x a x a ”是假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ .12. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax+y ﹣2=0与圆心为C 的圆（x ﹣1）2+（y ﹣a ）2=相交于A ，B 两点，且△ABC 为正三角形，则实数a 的值是 ▲ ．13. 在平面直角坐标系中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q,满足3OP OQ =,则实数k 的取值范围是___▲ _.FEPA DCB14. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F 、、B 三点的圆的圆心为C .若AD 为圆C 的切线，则椭圆的离心率 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 已知命题P ：“方程221y x m+=表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题Q ：“方程2222(26)14260x y x m y m m +-+-+-+=表示圆心在第一象限的圆”．若P ∧Q 假，P ∨Q 为真，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在三棱锥P 错误！未找到引用源。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省无锡市江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.关于x的不等式的解集是()A. {x|x≥5或 x≤−1}B. {x|x>5或x<−1}C. D. {x|−1≤x≤5 }2.已知a=1,b=16,则a与b的等比中项为( )A. ±4B. 4C. ±14D. 143.椭圆x216+y2m=1的焦距为2√7，则m的值为()A. 9B. 23C. 9或23D. 16−√7或16+√74.“直线l1：(5−a)x−y=2与直线l2：3x+(a−3)y=8−3a平行”是“a=6”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.等比数列{a n}中，a1=2，a2=1，则S100等于()A. 4−2100B. 4+2100C. 4−2−98D. 4−2−1006.设F1，F2是椭圆x225+y29=1的两焦点，P为椭圆上一点，则三角形PF1F2的周长为()A. 16B. 18C. 20D. 不确定7.已知正数a，b满足a+b=3，则1a +4b+1的最小值为()A. 94B. 3415C. 73D. 928.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为()A. 一尺五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸9.若关于x的不等式x2−4x−2−a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−2)B. (−2,+∞)C. (−6,+∞)D. (−∞,−6)10.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当运费与仓储费之和最小时，工厂和仓库之间的距离和总花费的最小值分别是多少()A. 4千米，30万元B. 2千米，20万元C. 3千米，40万元D. 3千米，20万元11.等比数列2，4，8，16，…的前n项和为()A. 2n+1−1B. 2n −2C. 2nD. 2n+1−212. 已知数列{a n }满足递推关系：a n+1=ana n +1，a 1=12，则a 2017=( )A. 12016B. 12017C. 12018D. 12019二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为______ ．14. 在等比数列{a n }中，a 5a 8=6，a 3+a 10=5，则a20a 13= ______ ．15. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为__________．16. 已知x <54，则函数y =4x −2+14x−5的最大值为____． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知f(x)=(x −a)(x −2)．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)>0的解集； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x)<0．18. 已知等差数列{a n }满足a 5=3a 2=18．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{4an a n+1}的前n 项和S n ．19.已知函数f(x)=x2+(a−6)x+8−2a，(1)求关于x的不等式f(x)>0的解集；(2)若a∈[−1,1]时，不等式f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围．20.如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区，已知∠A=120∘，AB、AC的长度均大于200米，设AP=x，AQ=y，且AP、AQ总长度为200米.(1)当x、y为何值时，游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积？(2)当x、y为何值时，线段PQ最小，并求最小值？21.已知数列{an}满足递推式a n=2a n−1+1(n≥2)，其中a4=15(1)求a1,a2,a3；(2)求证：数列{a n+1}为等比数列．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了一元二次不等式的解，熟练掌握解不等式的方法是解决此类问题的关键．【解答】解：由题意可知，，即(x−5)(x+1)>0，∴x<−1或x>5，故不等式的解集为或，故选B．2.答案：A解析：【分析】本题考查等比数列，属基础题．由等比中项的定义可得等比中项c满足c2=ab，代值计算可得．【解答】解：∵a=1，b=16，∴a，b的等比中项c满足c2=ab，即c2=16，解得c=±4故选A．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了椭圆的简单性质，要求学生对椭圆中长轴和短轴及焦距的关系要熟练掌握，属于基础题．根据椭圆的性质解题即可．【解答】解：由椭圆x216+y2m=1的焦距为2√7，即2c=2√7得c=√7，依题意得16−m =7或m −16=7， 解得m =9或m =23， ∴m 的值为9或23， 故选C ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查充要条件的判断，直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 通过直线平行求出a 的值，然后利用充要条件的判断方法判断即可． 【解答】解：若直线l 1：(5−a)x −y =2与直线l 2：3x +(a −3)y =8−3a 平行， 则有{(5−a )(a −3)−(−3)=0(8−3a )+2(a −3)≠0⇒{a =2或6a ≠2, 所以a =6．所以“直线l 1：(5−a)x −y =2与直线l 2：3x +(a −3)y =8−3a 平行”是“a =6”的充要条件． 故选C ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查等比数列的前n 和，利用前n 项公式可解题． 【解答】解：∵等比数列{a n }中，a 1=2，a 2=1∴q =a 2a 1=12∴S 100=2×(1−(12)100)1−12=4−2−98 故答案为C ．6.答案：B解析：解：由椭圆x 225+y 29=1的方程可得a =5，b =3，c =4∵F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两焦点，P 为椭圆上一点，∴三角形PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1+F 2|=2(a +c)=18 故选B由已知中椭圆的标准方程，可又求出椭圆的a =5，b =3，c =4，进而根据三角形PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1+F 2|=2(a +c)，可得答案．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据椭圆上一点到两焦点的距离和为2a ，将三角形PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1+F 2|转化为2(a +c)，是解答的关键．7.答案：A解析： 【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 正数a ，b 满足a +b =3，则a +b +1=4.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正数a ，b 满足a +b =3，则a +b +1=4． 则1a +4b+1=14[a +(b +1)](1a +4b+1)=14(1+b +1a +4ab +1+4) =14(5+b +1a +4a b +1) ≥14(5+2√b +1a ·4a b +1) =14(5+4)=94，当且仅当b+1a=4a b+1即a =43，b =53时原式有最小值．故选：A ．8.答案：D解析：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }， 则{a 1+a 2+a 3=31.59a 1+36d =85.5， 解可得，d =−13，a 1=496，根据题意即求a 12=496+11×(−13)=4.5故选：D ．由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础试题．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式以及恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，属于基础题．函数与不等式进行等价转化，分离参数，求函数最大值，求出实数a的取值范围．【解答】解：令g(x)=x2−4x−2，x∈(1,4)，则不等式x2−4x−2−a>0在区间(1,4)内有解等价于a<g(x)max，又g(x)max=g(4)=−2，所以a<−2．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1=k1x，y2=k2x，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1=5，k2=20，∴运费与仓储费之和为(5x+20x)万元，∵5x+20x ≥2√5x·20x=20，当且仅当5x=20x，即x=2时，运费与仓储费之和最小为20万元．故选B．11.答案：D解析：解：由题意可得：等比数列的首项a 1=2，公比q =2， 所以根据等比数列的前n 和的公式可得：Sn =a 1(1−q n )1−q=2n+1−2．故选D ．等比数列的首项a 1=2，公比q =2，所以根据等比数列的前n 和的公式可得答案． 本题考查等比数列求和的公式，考查学生求数列求和的方法，是简单题．12.答案：C解析： 【分析】本题考查等差数列的通项公式及递推关系式，属于基础题．由a n+1=a n1+a n 变形得1an+1−1a n=1，新数列首项为1a 1=2，公差为1，再利用通项公式求得1a 2017，再利用倒数可得结果． 【解答】解：由题意，a n+1=a n1+a n 变形得1an+1−1a n=1，则数列{1a n}是首项为1a 1=2，公差为1的等差数列，所以1a2017=1a 1+2016×1=2+2016=2018，则a 2017=12018． 故选C ．13.答案：∃x 0∈N ，x 02≤1解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为∃x 0∈N ，x 02≤1 故答案为：∃x 0∈N ，x 02≤1直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14.答案：32或23解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 由等比数列的性质可得a 3a 10=a 5a 8=6，结合a 3+a 10=5可得a 3和a 10为方程x 2−5x +6=0的两实根， 解方程可得a 3=2，a 10=3或a 3=3，a 10=2， ∴q 7=a 10a 3=32或q 7=23，∴a20a 13=q 7=32或23，故答案为：32或23由题意和等比数列的性质以及韦达定理可得a 3和a 10为方程x 2−5x +6=0的两实根，解方程可得q 7，即a 20a 13的值．本题考查等比数列的通项公式，求出数列的公比q 满足的式子是解决问题的关键，属基础题．15.答案：x 24+y 23=1解析： 【分析】本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．先由离心率将a 、b 用c 表示，由点P 的坐标为(c,b 2a )，再由四边形APBQ 的面积得出b 的值，即可得出椭圆方程． 【解答】解：当x =c 时，y =±b 2a ，则|PQ |=2b 2a,所以四边形APBQ 的面积为12|AB |·|PQ |=12·2a ·2b 2a=2b 2=6，所以b 2=3，所以e =ca =12，a =2c ，a 2=b 2+c 2， 所以a 2=4， 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，故答案为x 24+y 23=1．16.答案：1解析： 【分析】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题，化简函数解析式为−y =( 5−4x)+15−4x −3，利用基本不等式求出−y 的最小值，即可求得y 的最大值． 【解答】解：∵已知x <54，∴4x −5<0，5−4x >0， 由于y =4x −2+15−4x =( 4x −5)+15−4x +3， ∴−y =( 5−4x)+15−4x −3≥2−3=−1，当且仅当5−4x =15−4x 时，即x =1时，等号成立，故−y ≥−1，∴y ≤1，∴y =4x −2+15−4x 的最大值为1．故答案为1． 17.答案：解：(Ⅰ)a =1时，不等式f(x)>0化为(x −1)(x −2)>0，解得x <1或x >2，∴不等式的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)；(Ⅱ)关于x 的不等式f(x)<0，即(x −a)(x −2)<0；当a =2时，不等式化为(x −2)2<0，不等式无解；当a >2时，解不等式(x −a)(x −2)<0，得2<x <a ；当a <2时，解不等式(x −a)(x −2)<0，得a <x <2，综上所述，a =2时，不等式无解，a >2时，不等式的解集为(2,a)，a <2时，不等式的解集为(a,2)．解析：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．(Ⅰ)a =1时求出对应不等式的解集即可；(Ⅱ)讨论a =2，a >2和a <2时，求出不等式的解集即可．18.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件得{a 1+4d =18a 1+d =6，解得{a 1=2d =4， ∴数列{a n }的通项公式为a n =4n −2．(2)设数列{4an a n+1}的前n 项和为S n ， ∵4a n a n+1=4(4n−2)(4n+2)=14n−2−14n+2，∴S n =(12−16)+(16−110)+(110−114)+⋯+(14n −2−14n +2) =12−14n +2=n 2n +1∴S n ==n 2n +1解析：本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法.考查运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列通项公式，解方程可得公差d ，进而得到所求通项；(2)求数列{4a n a n+1}的前n 项和为S n ，由裂项相消法求和，化简可得所求和．19.答案：解：(1)f(x)=(x +a −4)(x −2)=0， x 1=2，x 2=4−a ，∴当4−a =2，即a =2时，f(x)>0的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)；当4−a <2，即a >2时，f(x)>0的解集为(−∞,4−a)∪(2,+∞)；当4−a >2，即a <2时，f(x)>0的解集为(−∞,2)∪(4−a,+∞)．(2)y =x 2+(a −6)x +8−2a =(x −2)a +x 2−6x +8，设g(a)=(x −2)a +x 2−6x +8(x ≠2)是关于a 的一次函数，当x =2时，g(a)=0，∵当a ∈[−1,1]时，f(x)>0恒成立等价于g(a)>0恒成立，∴{g (−1)=x 2−7x +10>0g (1)=x 2−5x +6>0, ∴{x <2或x >5x <2或x >3,∴x <2或x >5，即x 的取值范围是(−∞,2)∪(5,+∞)．解析：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与二次不等式问题，是中档题，(1)将二次不等式因式分解，结合二次函数的图象和两根关系得到解集；(2)f(x)>0恒成立可化为g(a)=(x −2)a +x 2−6x +8>0恒成立，即可求解．20.答案：解：1)由题意可知，x +y =200，且x >0，y >0．的面积为=12xy ×√32=√34xy ． 由基本不等式得=√34×1002=2500√3(m 2)，当且仅当{x +y =200x =y时，即当x =y =100时，等号成立， 因此，当x =y =100时，游客体验活动区APQ 的面积取得最大值2500√3m 2；(2)由余弦定理得=√x 2+y 2−2xy ⋅(−12)=√x 2+y 2+xy =√(x +y)2−xy =√40000−xy ，由基本不等式得PQ =√40000−xy ⩾√40000−(x+y 2)2 =√40000−1002=100√3 (m)． 当且仅当{x +y =200x =y时，即当x =y =100时，等号成立， 因此，当x =y =100时，PQ 取得最小值100√3m ．解析：本题主要考查了三角形面积公式，基本不等式，余弦定理，二次函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．(1)由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解；(2)利用已知及余弦定理可得PQ =√AP 2+AQ 2−2AP ⋅AP ⋅cos∠A =√x 2+y 2−2xy ⋅(−12)=√40000−xy ，由基本不等式得PQ =√40000−xy ≥√40000−(x+y 2)2=√40000−1002=100√3 (m )，即可解得线段|PQ|最小值．21.答案：(1)解：由a n =2a n−1+1(n ≥2)，及a 4=15，知a 4=2a 3+1得a 3=7，同理得a 2=3，a 1=1;(2)证明：由a n =2a n−1+1(n ≥2)得a n +1=2(a n−1+1)所以，数列{a n +1}是首项为a 1+1=2，公比为2的等比数列所以，a n +1=(a 1+1)×2n−1，所以，数列{a n }的通项公式为a n =2n −1．解析：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)由a n =2a n−1+1(n ≥2)，a 4=15，代入计算，可求a 1，a 2，a 3；(2)由a n =2a n−1+1(n ≥2)得a n +1=2(a n−1+1)，即可得到数列{a n +1}是等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式．22.答案：解：(1)椭圆的一个焦点F 1(−√3,0)，则另一个焦点为F 2(√3,0)，由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2，又b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1;(2)证明：设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则直线A1Q的方程为y=t3(x+2)，与x24+y2=1联立，解得M(−8t2+184t2+9,12t4t2+9)，同理N(8t2−24t2+1,4t4t2+1)，所以直线MN的斜率为12t4t2+9−4t4t2+1−8t2+18 4t2+9−8t2−24t2+1=−2t4t+3，所以直线MN的方程为y−12t4t2+9=−2t4t2+3(x−−8t2+184t2+9)，则y=−2t4t2+3(x−4)，所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0)．解析：(1)由由椭圆的定义知：PF1+PF2=2a，代入计算得a=2，b2=a2−c2求得b的值，求得椭圆方程；(2)设Q(1,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，分别求出M，N的坐标，根据斜率公式和求出直线方程，则可得y=−2t4t2+3(x−4)，即可求出定点坐标．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属于中档题．。

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“x∈R，x≤1或x>4”的否定为．2.若直线x+ay−a=0与直线ax−(2a−3)y−1=0垂直，则a的值为3.设条件p：|2x+3|<1；条件q：x2−(2a+2)x+a(a+2)≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．4.圆x2+y2−4x−4y−10=0的圆心坐标为______ ．5.已知直线a，b，c，d，给出以下四个命题：①若a//b，a⊥c，则b⊥c；②若a⊥c，b⊥c，则a//b；③若a，b分别和异面直线c，d都相交，则a，b是异面直线；④已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则∠ABC是异面直线a，b所成的角，则以上命题中正确命题的序号是______ ．6.已知直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2<θ<0)，则直线l的倾斜角为______．7.圆锥的侧面展开图是面积为2π的扇形，若圆锥的母线长是2，则圆锥的体积是______．8.直线y=x+2被圆M：所截得的弦长为9.设椭圆C2：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为e=12，抛物线C1：y2=−4mx(m>0)的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为______．10.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是______．11.若不等式的解集为区间［a，b］，且b−a=2，则k=______________．12.已知圆C1：x2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−4x−1=0相交于两点A，B，则直线AB的方程为______．13.已知圆O：x2+y2=1，圆N：(x−a)2+(y−a−1)2=1(a>0)，若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB=60°，则a的取值范围是______．14.已知倾斜角为α的直线l与直线2x+y−3=0垂直，则cos(2019π+2α)=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知圆C的方程为，过点斜率为的直线与圆交于另一点，且(1)求直线的方程；(2)时，求过点且与圆C相切的直线的方程．16. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PA=PB，PC=2．(Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)H为PA的中点，求二面角D−CH−B的余弦值．17. 设命题p：方程x22+k −y23k+1=1表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点P(−2,1),且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点．若p，q都是真命题，求k的取值范围．18. 如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，G是边AD的中点．平面ADE⊥平面ABCD，AB=2DE，∠ADE=90°.线段BE上的点M满足BM=2ME．(1)证明：DE//平面GMC；(2)求直线BG与平面GMC所成角的正弦值．19. 如图，直线PA为⊙O的切线，切点为A，PO交⊙O于E，F两点，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．(1)若PA=4，PE=2，求⊙O直径的长度．(2)证明：PA=PD．20. 已知椭圆C1的方程为x24+y22=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2√2，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：． 解析：由题意得，， 故答案为：．2.答案：0或2．解析：当时，两直线分别为与，显然垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上的值为0或2．3.答案：[−3,−2]解析：解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，且q ⇏p ．记p ：A ={x||2x +3|<1}={x|−2<x <−1}，q ：B ={x|x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0}={x|a ≤x ≤a +2}，则A 是B 的真子集．从而{a ≤−2a +2≥−1且两个等号不同时成立， 解得−3≤a ≤−2．故实数a 的取值范围是[−3,−2]求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键．4.答案：(2,2)解析：解：由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，∴圆心坐标为(2,2)．故答案为：(2,2)由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，即可得到圆心的坐标．本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．5.答案：①解析：解：对于①，若a//b，a⊥c，由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，可得b⊥c，故①对；对于②，空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故②错；对于③，比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，故③错；对于④，已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b 所成的角，故④错．故答案为：①．由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，即可判断①；空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，即可判断②；比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，即可判断③；已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b所成的角，即可判断④．本题考查空间两直线的位置关系：平行和相交或异面，考查异面直线所成的角的概念，是一道易错题，也是基础题．6.答案：π+θ解析：解：设直线的倾斜角为α<θ<0)，直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2，则直线y=tanθx+2cosθ则直线的斜率k=tanθ=tanα，则α=π+θ，故答案为：π+θ设直线的倾斜角为α，0≤α<π，即可求出答案．本题考查了直线的倾斜角的问题，关键掌握倾斜角的范围，属于基础题．7.答案：√3π3。

江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”否定是_____________.2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ．3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________.5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.6. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.11. 已知实数x y ，满足方程y yx取值范围是_______.12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+的的的相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；的（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2nx n ∃∈≤N 故答案为2,2nx n ∃∈≤N2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0 【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0． 考点：两条直线的位置关系 3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件． （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 【答案】充分不必要 【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y += 【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=.故答案为221x y +=5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______. 【答案】π4【解析】【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________. 的32【解析】 【分析】 ，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值. 【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以lr ， 即S 2＝12l ×2πr2＝π，所以12S S32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2- 【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),10)a a ><或,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆则2a =-.故答案为-29. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C方程为____.【答案】22143x y +=【解析】【分析】 由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程. 【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______. 【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误; 由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11. 已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______. 【答案】0⎡⎣【解析】 【分析】方程y ()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令yk x=,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k,所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为⎡⎣【详解】12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【解析】 【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切，∴|C 1C 2a b =+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭．故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )≥4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a km a k b -+所以0y =2222b ma k b+,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b +=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12. 故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【解析】 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得． （2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠ 将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形,的∴FG ∥ED . 又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED. (2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF , 又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x y C m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<,解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点, 则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（13；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】【分析】 （1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意24BCD S a =△，2311·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则AC AD ==， 如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴4CF a =，又12CG a =，∴CF CD CG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥， 取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心， 23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[2-+.【解析】【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM +的最小值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）【解析】【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =结合条件//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 的所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M 点的横坐标为x = 由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==≥，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.的。

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式的解集是()A. B.C. D.2.已知{a n}是以q为公比的等比数列，a n>0且q≠1，则()A. a1+a6>a3+a4B. a1+a6≥a3+a4C. a1+a6=a3+a4D. a1+a6与a3+a4的大小不确定3.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(−，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()．A. B. C. D.4.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的()A. 充分且必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=15，a3=5，则公比q的值为()A. −12B. 1 C. −12或1 D. 12或16.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.已知f(x)=log2(x−2)，若实数m，n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为()A. 5B. 7C. 8D. 98.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=−1，则a4等于()A. 2B. 0C. −1D. −29.√x(8−x)的最大值是()A. 4B. 2√2C. 4√2D. 1610. 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E +D =1B ，则A ×B =( )A. 6EB. 72C. 5FD. B 011. 下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n 项和的是( )A. S n =3n −1B. S n =3nC. S n =3n +1D. S n =3n +212. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n =S n +14，则a n =( )A. 2n−1 B. (12)n+1 C. 2n−3D. (14)n二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 给出下列命题：①函数y =sinx 在第一象限是增函数； ②函数y =cos(ωx +φ)的最小正周期T =2πω；③函数y =sin(23x +72π)是偶函数；④函数y =cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到y =sin(2x +π4)的图象． 其中正确的命题是______ ．14. 在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q = ______ ．15. 在△ABC 中，BC =2，sinB +sinC =3sinA ，则中线AD 的取值范围是______． 16. 设，若恒成立，则实数的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a >0且满足不等式22a+1>25a−2． (1)求实数a 的取值范围．(2)求不等式log a (2x −1)<log a (7−5x)．(3)若函数y =log a (2x −1)在区间[1,3]有最小值为−2，求实数a 值．18. 已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n −2,b n =n 2(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n 4,n 为偶数，令T n 为的前n 项和{c n }，求T 2n ．19. 已知关于x 的不等式ax 2+bx −1≥0． (1)若此不等式的解集为[3,4]，求a +b 的值； (2)若a =−1，解此不等式．20. 在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。

绝密★启用前江苏省江阴市四校2019～2020学年高二年级上学期期中联考测试数学试题（本试卷满分150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，请将答案写在答题卡相应位置上.1. 不等式0652<+-x x 的解集是（） A .}61|{-<>x x x 或 B .}16|{-<>x x x 或C . }23|{<>x x x 或D . }32|{<<x x2. 13-与13+的等比中项是（ ）A .2B . 2-C . 2±D . 22±3. 已知椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上,焦距为4,则m 的值为（ A .8 B .4C .8或4D . 以上答案都不对4. “2-=a ”是“直线03:1=+-y ax l 与04)1(2:2=++-y a x l 互相平行”的（） 条件.A .充分不必要B .必要不充分C .充要D . 既不充分也不必要5. 已知数列}{n a 是递增的等比数列,17,45124=+=a a a a ,则201920192a S -的值为（ A . 1 B . －1C .202021-D . 201921-6. 若椭圆12222=+b y a x （其中)0>>b a 的离心率为53,两焦点分别为M F F ,,21为椭圆上一点,且M F F 21∆的周长为16,则椭圆C 的方程为 （ A . 1251622=+y x B . 192522=+y x C . 125922=+y x D . 1162522=+y x7. 若正数b a 、满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是（A .),9[+∞B .),9[]1,(+∞⋃-∞C . ),9[]1,0(+∞⋃D . ]9,1[8. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差（即等差）降之,上三人,得金四斤,持出；下四人后入得三斤,持出；中间三人未到者,亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（）A .394 B .787 C . 767 D . 8159. 若关于x 的不等式042>+-mx x 在]3,1[∈x 上有解,则实数m 的取值范围为（A .)5,(-∞B . ]5,(-∞C .)4,(-∞D .),4()4,(+∞⋃--∞10. 某公司租地建仓库,每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费2y与到车站的距离成正比,如果在距离车站10km 处建仓库,这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站（ 处.A .4B .5C .6D . 711 设7275322222)(++++++=n n f （Z n ∈）,则)(n f 等于（ ）。