江苏省扬州市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题

2019学年江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 命题“ ” 的否定是 ________2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2 ∶ 3 ∶ 5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A 型号产品有 15件，那么样本容量n 为．3. 在区间上任取一个实数，则的概率是．4. 根据如图所示的伪代码，如果输入的值为0，则输出结果y为．5. 若，则6. 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7. 如图，该程序运行后输出的 y值为．8. 一个圆锥筒的底面半径为，其母线长为，则这个圆锥筒的体积为____________________ .9. 若双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则．10. 设，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若∥ ，，则②若∥ ，，，则∥③若，，则∥④若∥ ，，则其中真命题的序号有______________ ． ( 写出所有正确命题的序号 )二、解答题11. 已知抛物线的准线恰好是双曲线的左准线，则双曲线的渐近线方程为．三、填空题12. 已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．13. 若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为，则该椭圆被直线截得的弦长为14. 若，且函数在处取得极值，则的最大值等于____四、解答题15. 某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在之间）（1）求频率分布直方图中的值；（2）估算该班级的平均分；（3 ）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16. 如图，在四面体中，，．，，分别为棱，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17. 已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题（1）若“ 且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．18. 已知函数 .（ 1 ）当时，求在处的切线方程；（ 2 ）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．19. 椭圆经过点，且离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点．(1) 求椭圆的方程；(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点 ,直线的斜率为，直线的斜率为 ,求证：；(3) 设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高 二 数 学2018．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1”的否定是 ▲ ． 2轴上的截距为 ▲ ． 3的焦点坐标为 ▲ ．5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方10▲ ．7值为 ▲ ．8的取值范围为 ▲ ．11R的解集为▲ ．离心率为▲ ．14．已知函值域则实最小值为▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）R上恒成立”．（1（2）16．（本题满分14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）学校为了宣传班级的学习经验，的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（本题满分14分）3（1（218．（本题满分16分）（1（2．．319．（本题满分16分）（1）求椭圆的方程；（220．（本题满分16分）（1（2设（3其中常足条试判断在点扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高二数学参考答案2018．11．．45 78．4 1014…………5分15．解：（1（2R上恒成立……………………11分∴实数a (14)分16．解：（1）①22；②14；③0.28；……………………3分（2 (8)分（3为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6甲丙、甲丁，共3……………………13分分17．解：（13……………………5分……………………7分（2……………………9分……14分18．解：（1分列表得： (6)分分（2根据（1增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 (16)分19．解：（1分（2分，设直程它交于点分……………………16分………………8分………………10分 (14)分 (16)分20．解：（1表得：……………………3分（20，成立，且不恒为0增．……………………7分（311分方法（一）上恒成立∴在上单调增∴，即 (16)分……………14分 (16)分。

2020-2021学年度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1. 命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定是（ ） A. 0x ∃≤，210x x ++> B. 0x ∃≤，210x x ++< C. 0x ∀≤，210x x ++< D. 0x ∀>，210x x ++>【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定为特称命题：∀→∃，并否定原结论即可.【详解】命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定为“0x ∃≤，210x x ++<”， 故选：B2. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解， 【详解】根据双曲线的对称性可设顶点()2,0A ，其中一条渐近线方程是1202y x x y =⇔-=，那么顶点到渐近线的距离d ==故选：A3. 若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =--，并且//αβ，则x 的值为（ ）A. 10B. 10-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据两个法向量共线可得x 的值. 【详解】因为//αβ，,a b 共线，故12124x --==-，故12x =， 故选：C.4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A.113尺 B.10529尺 C.6529尺 D.73尺 【答案】B 【解析】 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列， 且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--， 故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭， 故选：B. 5. 不等式121x ≥-的解集为（ ） A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (]3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法转化为231xx-≤-，解不等式.【详解】1122011x x≥⇔-≥--，即231xx-≤-，即()()231010x xx⎧--≤⎨-≠⎩，解得：312x<≤，所以不等式的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A6. 已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，则点A到平面11A B CD的距离为（）A.23B. 2C. 2D. 22【答案】B 【解析】【分析】由垂直关系可知1AD⊥平面11A B CD，根据边长关系直接求点到平面的距离. 【详解】连结1AD，与1A D交于点M，11A D AD⊥，且11A B⊥平面11ADD A111A B AD∴⊥，且1111A D A B A=，1AD∴⊥平面11A B CD，∴点A到平面11A B CD的距离为1122AM AD==. 故选：B7. 在数列{}n p中，如果对任意()*2n n N≥∈，都有11nnn np pkp p+--=(k为常数)，则称数列{}n p为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（）A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B. 等差数列一定不是比等差数列C. 若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D. 若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质()*2n n N ≥∈有11nn n n p p k p p +--=，判断各项描述是否正确即可. 【详解】A ：若{}n a 为等比数列,公比0q ≠，1n n a q a +=，1n n a q a -=，所以1101n n n n a ak a a +--==≠，A 错误.B ：若1,{}n n b b =为等差数列,故有110n nn n b b b b +--=，为比等差数列，B 错误. C ：令0,1n n a b ==，则0n n a b =，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，C 错误. D ：由题设知：342,3a a ==，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，不是比等差数列，正确. 故选：D8. 已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A. 9-B. 8-C. 7-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b +=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立. 22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪， 即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分)9. （多选题）已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b< B. 22ac bc >C.b a a b> D. 22a ab b >>【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项. 【详解】A.1y x =在()0,∞+上单调递减，所以当0a b >>时，11a b<，故A 正确； B.当0c时，22ac bc >不成立，故B 不正确；C.当0a b >>时，22a b >，两边同时除以ab 得，a bb a>，故C 不正确； D. 当0a b >>时，两边同时乘以a 得，2a ab >，或两边同时乘以b 得，2ab b >，所以22a ab b >>，故D 正确. 故选：AD10. 下列命题正确的是（ ）A. 已知u ，v 是两个不共线的向量.若a u v =+，32b u v =-，23c u v =+则a ，b ，c 共面B. 若向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若()1,0,0A ，()0,1,0B ，则与向量AB共线的单位向最为2,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭D. 在三棱锥O ABC -中，若侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，则底面ABC 是锐角三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理可判断A ；由构成空间向量的基底不能共面可判断B ；根据单位向量的计算公式AB AB可判断C ；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A ，u ，v 是两个不共线的向量，不妨假设a ，b ，c 共面 则c ma nb =+，即()()3223c m n u m n v u v =++-=+， 可得131,55m n ==-，存在一对实数,m n ，使得c ma nb =+，即假设成立，故A 正确； 对于B ，向量//a b ，则a ，b 与任何向量都共面，所以a ，b 与任何向量都不能构成空间一个基底，故B 正确；对于C ，()1,1,0AB =-，所以ABAB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ， OA ，OB ，OC 两两垂直，()()20AB AC OB OA OC OA OA ∴⋅=-⋅-=>，所以AB 与AC 的夹角为锐角，即BAC ∠为锐角，同理ABC ∠，BCA ∠为锐角，ABC ∴是锐角三角形，故D 正确. 故选：ABCD11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A. 614a =B. 数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C. 对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D. 1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.12. 在平面直角坐标系xOy 中，(),P x y 为曲线22:4224C x y x y +=++上一点，则（ ）A. 曲线C 关于原点对称B. 1x ⎡∈-+⎣C. 曲线C 围成的区域面积小于18D. P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】当0x >，0y >时，曲线C 为()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，根据点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，可得曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【详解】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x yx y +=++即()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中0y =可得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个可得纵坐标最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确； 对于选项D ：令()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭中0x =，可得132y =±，所以到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3故选项D 正确， 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C 在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线C 的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)13. 若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断0∆=>，计算即得结果.【详解】二次函数2()f x x ax a =-+是开口向上的抛物线，故要使2()0f x x ax a =-+<有解，则需240a a ∆=->，即()40a a ->，解得0a <或4a >.故实数a 的取值范围为()(),04,-∞+∞.故答案为：()(),04,-∞+∞.14. 已知数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =，则5a =___________. 【答案】8± 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，即可求解. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =， 则252841664a a a =⋅=⨯=，所以58a =±. 故答案为：8±15. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ､右准线为l ，若l 上存在点P ，使得线段PF 的中点恰好在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率的最小值为_____________.1 【解析】 【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点2(,2)a P y c，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得2y ，又20y ≥，解不等式即可得离心率的最小值.【详解】由()2222:10x y C a b a b+=>>，得(,0)F c -，2a l x c =：，设点2(,2)a P y c ，故中点为22(,)2a c y c-，又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得2222222()14a c y a c b-+=， 整理得2222222()[1]04a c y b a c -=⋅-≥，故22222()104a c a c --≥，又(0,1)ce a=∈，整理得2(3)8e -≤，233e -≤≤+，即2231)e ≥-=，1e ≥，故答案为：21-.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16. 已知函数()()()()244422f x a x a x a a R =-++++∈，则该函数()f x 的图象恒过定点________；若满足()0f x <的所有整数解的和为6-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (1). 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭(2). 108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()()()21221f x a x a x =-++⋅+⎡⎤⎣⎦，即可求得函数()f x 的图象所过定点的坐标； 【详解】()()()()()4442221221f x a x a x a a x a x =-++++=-++⋅+⎡⎤⎣⎦，当10a -=时，令()0f x =，得12x =-；当10a -≠时，令()0f x =，得()221a x a +=-或12x =-.综上所述，函数()f x 的图象必过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分以下三种情况讨论：①当10a -=时，即当1a =时，由()()3210f x x =+<，可得12x <-，不合乎题意； ②当10a ->时，即1a >时，()()213021221a a a +⎛⎫--=< ⎪--⎝⎭，则()21212a a +<--， 解不等式()0f x <，可得()21212a x a +<<--，由于不等式()0f x <所有的整数解的和为6-，则不等式()0f x <的所有整数解有3-、2-、1-，所以，()24321a a +-≤<--，解得10875a ≤<；③当10a -<时，即1a <时，()()213021221a a a +⎛⎫--=> ⎪--⎝⎭，可得()21212a a +>--. 解不等式()0f x <，可得12x <-或()221a x a +>-，不等式()0f x <的解中有无数个整数，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17. 命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15m <<；（2）512a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m满足方程221 15x ym m+=--表示双曲线，则()()150m m--<，解得15m<<，（2）实数m满足不等式()223200m am a a-+<>，解得2<<a m a，若p是q的充分不必要条件，则{}|2a a m a<<是{}|15m m<<的真子集，所以125aaa≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a≤≤，所以若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围是512a≤≤.【点睛】易错点睛：若p是q的充分不必要条件则{}|2a a m a<<是{}|26m m<<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a<<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a>，很明显{}|2a a m a<<≠∅.18. 如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3PA PB PC AB AC=====，26BC=.（1）求二面角P BC A--的大小；（2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值.【答案】（1）23π；（2）36【解析】【分析】（1）连接PM，则可证得PMA∠就是二面角P BC A--的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；（2）取PC中点N，连接,MN AN，则AMN∠就是异面直线AM与PB所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM ，因为M 为BC 的中点，3PB PC AB AC ====， 所以,PM BC AM BC ⊥⊥，所以PMA ∠就是二面角P BC A --的平面角. 在直角PMC △中，3,6PC MC ==，则3PM =,同理可得3AM =，在PMA △中，由余弦定理得1cos 2233PMA ∠==-⨯⨯，所以23PMA π∠=，即二面角P BC A --的大小为23π（2）取PC 中点N ，连接,MN AN ，则//MN PB ，故AMN ∠或其补角就是异面直线AM 与PB 所成的角， 因为等边PAC △中，PC 中点为N ，所以333AN == 又13,22MN PB ==3AM =所以在AMN 中9273344cos 3232AMN +-∠==，因为异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以直线AM 与PB 3【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，其满足112a b ==，453S a b =+，328a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若_______，求数列{}n c 的前n 项和n T . 在①11n n n n c b a a +=+，②n n n c a b =，③112n n n n n a c a a b +++=这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）1n a n =+，2nn b =；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项. （2）根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求n T .【详解】（1）设等差数列的公差为d，公比为q，则2434224222228d d qd q⨯⎧⨯+⨯=++⎪⎨⎪++=⎩，解得21qd=⎧⎨=⎩或36qd=-⎧⎨=⎩（舍），故()2111na n n=+-⨯=+，1222n nnb-=⨯=.（2）若选①，()()111221212n nncn n n n=+=-+++++，故()121211111111222334121222nnnTn n n+-=-+-++-+=-+-++-+，若选②，则()12nnc n=+，故()2322324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()234+1222324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()23114222122n n nnT n n++-=++++-+=-⋅即12nnT n+=⋅.若选③，则()()()()113111221222n n n nncn n n n+++==-++++，故()()()12231111111111223232********* n n n nTn n n++ =-+-++-=-⨯⨯⨯⨯+++.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，12AA AB AC===，AB AC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为537，求线段BP 的长度. 【答案】（1）4π；（2）423. 【解析】 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度.【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMH AA PH θ===，[0,]2πθ∈， ∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)0ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：253737||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长.21. 设抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于M ，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5. （1）求抛物线的方程；（2）自M 引直线交抛物线于,P Q 两个不同的点，设MP MQ λ=.若47PQ ⎛∈ ⎝⎦，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得452p+=化简即可； （2）设:1PQ y kx =-，联立直线与抛物线方程设1122(,),(,)P x y Q x y ，用弦长公式表示PQ ，由MP MQ λ=及韦达定理将k 用λ表示出来，此时PQ 用λ表示，结合470,3PQ ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦解不等式.【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5， 又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离， 所以4522pp +=⇒=，故抛物线的方程为24x y =.（2）由题意直线PQ 斜率存在，设:1PQ y kx =-，由2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩，22161601k k ∆=->⇒>， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x kx x +=⎧⎨=⎩，① 所以22222121116164444PQ k x k k k k =+-=+-=+-因为MP MQ λ=，所以112212(,1)(,1)x y x y x x λλ+=+⇒=代入①化简得()2214k λλ+=令()2214t k λλ+==，则24416PQ t t t +-=-因为470,3 PQ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以21129PQ<≤，即2211225616016499316tt t<≤⇒<⇒<≤-≤，所以()22211210164133310303λλλλλλλλ≠⎧+⎧-+>⎪<≤⇒⇒⎨⎨≤≤-+≤⎩⎪⎩即(]1,11,33λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以实数λ的取值范围(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22. 已知直线:l y kx m=+与椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为22，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA，OB的斜率分别为1k，2k，2k=12k k为定值；（3）已知点(2N，当AOB的面积S最大时，求OM ON⋅的最大值.【答案】（1）22142x y+=；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得椭圆的方程.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简1212y y x x 可得所求的定值. （3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求面积，结合基本不等式可求AOB 何时取最大值，再用,k m 表示OM ON ⋅，利用基本不等式可求()2OM ON ⋅的最大值，从而得到OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）因为长轴长为4，故2a =，又离心率为2，故c =b = 故椭圆方程为：22142x y +=. （2）直线:2l y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得22242x x m ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得2220x m +-=，故2820m ∆=->即22m -<<.又()211121212121212122x m x m x x m y k y x x x x x k x ⎫++⎪++⎝⎭⎝⎭===+，而12x x +=，2122x x m =-，故()2122112222k m m k ⨯+=+=-即12k k 为定值. （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124240k x kmx m +++-=， 又()()2222221641224163280k m k m k m ∆=-+-=+->，故2224k m +>，又12AB x =-=故12OABS AB==因为222224122k m mk+-+≤=+，故OABSm=时等号成立，此时2224k m+>成立.而12222,21212M Mx x km mx yk k+-===++，故(2222212122=1m kkmk k kOM ON--+=++⋅+，所以2=kOM ON=⋅，2221211212kk k+-==-++，因为212k+≥-，故2112k-≤+2≤≤当且仅当k=时等号成立.所以OM ON⋅的最大值为2，故OM ON⋅的最大值为2，当且仅当k=，m=时取最大值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系中的最值、定值问题，一般需联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。

2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：1．（5分）已知集合{1A =，2}k -，{2B =，4}，且{2}A B =I ，则实数k 的值为 ．2．（5分）设2(13)i a bi +=+，则a b += ．3．（5分）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本．在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人．4．（5分）如图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 ．5．（5分）已知a R ∈，则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 条件． 6．（5分）若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 ．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 ．8．（5分）已知{(,)|4x y x y Ω=+<，0x >，0}y >，{(,)|2A x y x =<，0y >，0}x y ->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 ． 9．（5分）等差数列{}n a 的公差不为零，11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．10．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f x f -->的解集为 ．11．（5分）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 2cm．12．（5分）已知函数13,1()22,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…，若存在实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为 ．13．（5分）在ABC ∆中，若sin cos 2B B +=，则sin 2tan tan AB C+的最大值为14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆22:(1)1C x y -+=上两点，且2AB =，点P 的坐标为(2,1)，则|2|PA PB -u u u r u u u r的取值范围为 ．二、解答题：15．（14分）已知2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-g ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若(0,)6πθ∈，3()2f x =，求sin 2θ的值．16．（14分）如图，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，DA ，EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，M 是BC 的中点，N 是ED 的中点．求证： （1）AM ⊥平面EBC ； （2）//MN 平面DAC ．17．（14分）如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，23AOB π∠=．原有观光道路OC ，且OC OB ⊥．为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ ，PA ，其中P 在原道路OC （不含端点O ，)C 上，Q 在景点边界OB 上，且OP OQ =，同时维修原道路OP 段．因地形原因，新建PQ 段、PA 2a 万元，6a 元，维修OP 段的每千米费用是a 万元．（1）设APC θ∠=，求所需总费用()f θ，并给出θ的取值范围； （2）当P 距离O 处多远时，总费用最小．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过(T t ，0)()t a >作斜率为(0)k k <的直线l 交椭圆C 与M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//F M F N ．设直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k g 的值． 19．（16分）已知函数()(1)f x x lnx =-，()(g x ax b a =+，)b R ∈． （1）若1a =时，直线()y g x =是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； （2）若be a=-，且()()f x g x …在[x e ∈，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）令()()()x f x g x ϕ=-，且()x ϕ在区间[e ，2]e 上有零点，求24a b +的最小值． 20．（16分）对于项数为(*,1)m m N m ∈>的有穷正整数数列{}n a ，记1{k b min a =，2a ，⋯，}(1k a k =，2，⋯，)m ，即k b 为1a ，2a ，⋯，k a 中的最小值，设由1b ，2b ，⋯，m b 组成数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”．（1）若数列{}n a 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{}n a 的“新型数列” {}n b 的所有项；（2）若数列{}n a 满足101(),6,222,7,n n n a n n -⎧⎪=⎨⎪-⎩„…且其对应的“新型数列” {}n b 的项数[21m ∈，30]，求{}n b 的所有项的和；（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列” {}n b ． 三、附加题21．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r ，求3M αr ．22．在极坐标系中，已知点M ，N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，直线l 的方程为3πθ=． （1）求以线段MN 为直径的圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 被（1）中的圆C 所截得的弦长．23．甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束．甲每场比赛获胜的概率均为23．设比赛局数为X ． （1）求3X =得概率；（2）求X 的分布列和数学期望． 24．已知数列{}n a 满足*112()n n a n N a ++=∈，且112a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：当2n …时，21145n n S S n --->-．2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（5分）已知集合{1A =，2}k -，{2B =，4}，且{2}A B =I ，则实数k 的值为 4 ． 【解答】解：{2}A B =Q I ，2A ∴∈，22k ∴-=，4k ∴=．故答案为：4．2．（5分）设2(13)i a bi +=+，则a b += 2- ． 【解答】解：由2(13)16986i i i a bi +=+-=-+=+， 得86a b =-⎧⎨=⎩， 2a b ∴+=-．故答案为：2-．3．（5分）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本．在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 1800 人．【解答】解：用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本， 在高一抽40人，高二抽30人，固在高三抽取90403020--=（人)． 设全校共有x 人，则9020400x =，求得1800x = （人) 故答案为：1800．4．（5分）如图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 35 ．【解答】解：1x =，0S =，011S =+=；3x =，1910S =+=；5x =，102535S =+=，跳出循环，故答案为35．5．（5分）已知a R ∈，则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 充要 条件． 【解答】解：由()2(sin )f x x a x =+为偶函数()()0f x f x ⇒--= 2(sin )2(sin )0400x a x x a x ax a ⇒---+=⇒-=⇒=；反之，由0a =，得()2sin f x x x =g ，定义域为R ，且()()f x f x -=，函数为偶函数．∴ “0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的充要条件．故答案为：充要．6．（5分）若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 2 ．【解答】解：数据21，19，x ，20，18的平均数为1(21192018)205x ⨯++++=， 解得22x =；所以该组样本数据的方差为2222221[(2122)(1920)(2220)(2020)(1820)]25s =⨯-+-+-+-+-=．故答案为：2．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 22y x =-．【解答】解：由双曲线2213y x -=的右准线为12x =，设顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程为22(0)y px p =->，则122p =， 所以抛物线方程是22y x =-． 故答案为：22y x =-．8．（5分）已知{(,)|4x y x y Ω=+<，0x >，0}y >，{(,)|2A x y x =<，0y >，0}x y ->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 14． 【解答】解：如图所示，区域A 为阴影部分，(2,2)D ．向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率1221214442P ⨯⨯==⨯⨯． 故答案为：14．9．（5分）等差数列{}n a 的公差不为零，11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++97． 【解答】解：等差数列{}n a 的公差d 不为零，11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，可得2215a a a =，即2(1)14d d +=+， 解得2(0d =舍去），可得12(1)21n a n n =+-=-， 则159********37117a a a a a a ++++==++++，故答案为：97． 10．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f x f -->的解集为 {|14}x x << ．【解答】解：令()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+<， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减， 则(1)(1)(3)3x f x f -->可化为(1)(1)3x f x f -->（3）， 即(1)g x g ->（3）， 所以，013x <-<， 解可得，14x <<， 故答案为{|14}x x <<．11．（5分）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于2． 【解答】解：设圆台的下底面半径为R ，上底面半径为r ； 由232R r ππ=g ，得3R r=；由圆台的高为h =，母线与轴的夹角为30︒，如图所示； 则tan30R rh-=︒=， 解得1r =，所以33R r ==；所以圆台的轴截面的面积为())21262S cm =⨯+⨯轴截面．故答案为：12．（5分）已知函数13,1()22,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩„，若存在实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为 (5，221]e - ．【解答】解：由函数13,1()22,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩„，知()f x 在(-∞，1]和(1,)+∞上单调递增， (3)0f ∴-=，f （1）2=，当()2ln x =时，2x e =，在直角坐标系中画出()f x 图象，如下：Q 存在实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，∴由图象，可知31m -<„，21n e <„， ∴由()()f m f n =，得1322m lnn +=， 23m lnn ∴=-，2223n m n lnn ∴-=-+，令2()223(1)g x x lnx x e =-+<„，则22()0x g x x-'=>， ()g x ∴在(1，2]e 上单调递增，()(5g x ∴∈，221]e -． 2(5n m ∴-∈，221]e -．故答案为：(5，221]e -．13．（5分）在ABC ∆中，若sin cos 2B B +sin 2tan tan AB C+的最大值为21- 【解答】解：sin cos 2B B +=Q 2)24B π+=，sin()14B π∴+=，(0,)B π∈Q ，(44B ππ+∈，5)4π，42B ππ∴+=， ∴可得4B π=，34C A π=-， ∴22222tan sin 1sin 2sin 2tan 111cos 2211cos sin cos cos sin 2)31tan sin tan tan 122421tan()1()141tan cos A AA A A A tan A A A A A A A A ABC tan A A A Aππ--++=====-=-----+++-++-， 3(0,)4A π∈Q ，可得2(44A ππ-∈-，5)4π，可得2sin(2)(42A π-∈，1]， ∴sin 221)(1tan tan 42A A B C π=--∈-+21-， ∴sin 2tan tan AB C+21-．21-． 14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆22:(1)1C x y -+=上两点，且2AB =点P 的坐标为(2,1)，则|2|PA PB -u u u r u u u r的取值范围为 [52，52] ．【解答】解：设2PA PB PE -=u u u r u u u r u u u r ，则有，1()2PA PB PE =+u u u r u u u r u u u r所以A 为BE 的中点，2AE AB ==， 过O 作OF AB ⊥，垂足为F ， 因为2AB =，所以22AF BF ==，2221()2OF =-=，2322EF AE AF =+=+=， 2222232()()522OE OF EF =+=+=， 所以点E 的轨迹方程为：22(1)5x y -+=， 所以2OP =，所以|2|PA PB -u u u r u u u r的取值范围为：[52-，52]+，故答案为：[52-，52]+．二、解答题：15．（14分）已知2()23cos 2cos 1f x x x x =+-g ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若(0,)6πθ∈，3()2f x =，求sin 2θ的值．【解答】解：（1）2()23sin cos 2cos 13sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+-+=+Q g ，令222262k x k πππππ-++剟，求得36k x k ππππ-+剟，可得函数()f x 的增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈， （2）若(0,)6πθ∈，3()2sin(2)62f x πθ=+=，3sin(2)64πθ∴+=，27cos(2)1sin (2)66ππθθ∴+=-+=， 3371337sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 66666642ππππππθθθθ-∴=+-=+-+=-=g g ． 16．（14分）如图，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，DA ，EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，M 是BC 的中点，N 是ED 的中点．求证： （1）AM ⊥平面EBC ； （2）//MN 平面DAC ．【解答】证明：（1）ABC ∆Q 是以BC 为底边的等腰三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，EB ⊥Q 平面ABC ，AM 在平面ABC 内， EB AM ∴⊥，又BC 、EB 在平面EBC 内，且BC EB B =I ，AM ∴⊥平面EBC ；（2）取AB 的中点H ，连接MH 、NH ，在ABC ∆中，因为M 、H 分别为BC 、BA 的中点，所以//MH AC ， 又MH 不在平面ACD 内，AC 在平面ACD 内，//MH ∴平面ACD ；又DA ，EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，//DA EB ∴，则四边形ABED 为以BE 、AD 为底边的梯形，又H ，N 分别为AB ，ED 的中点，//NH AD ∴，又NH 不在平面ACD 内，AD 在平面ACD 内，//NH ∴平面ACD ；又MH NH H =I ，且都在平面MNH 内，∴平面//MNH 平面DAC ，又MN 在平面MNH 内，//MN ∴平面DAC ．17．（14分）如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，23AOB π∠=．原有观光道路OC ，且OC OB ⊥．为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ ，PA ，其中P 在原道路OC （不含端点O ，)C 上，Q 在景点边界OB 上，且OP OQ =，同时维修原道路OP 段．因地形原因，新建PQ 段、PA 段的每千米费用分别是2a 万元，6a 元，维修OP 段的每千米费用是a 万元．（1）设APC θ∠=，求所需总费用()f θ，并给出θ的取值范围； （2）当P 距离O 处多远时，总费用最小．【解答】解：（1）Q 23AOB π∠=，OC OB ⊥，∴6AOC π∠=， AOP ∆中，sin sin sin AP AO OPAOP APO OAP==∠∠∠， sin 1sin 2sin AO AOP AP APO θ∠∴==∠g ，sin()sin 3sin cos 6sin sin AO OAP OP APO πθθθθ-∠-===∠g ，3sin cos 3sin cos 6()222sin af a a θθθθθθ--∴=++g g g 3sin cos 6332cos 332sin 2a a a a sin θθθθθ--=+=+gg，7612ππθ<<． （2）332cos ()32a f a sin θθθ-=+Q g，7612ππθ<<． ∴222cos (2cos )12cos ()3322sin f a a sin sin θθθθθθθ---'==g g ， 由()0f θ'=，得1cos 2θ=，又7612ππθ<<，3πθ∴=，当63ππθ<<时，()0f θ'<，()f θ在(,)63ππ上单调递减，当7312ππθ<<时，()0f θ'>，()f θ在7(,)312ππ上单调递增，∴当3πθ=时，()f θ取最小值，此时3OP =． ∴当P 距离O 处3千米时，总费用最小． 18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过(T t ，0)()t a >作斜率为(0)k k <的直线l 交椭圆C 与M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//F M F N ．设直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k g 的值．【解答】解：（1）由题意知12c a =，24a c =，222b a c =-，解得：24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）设(,)M x y ，(,)N x y ''，因为过(,0)T t ，设直线l 的方程为：()y k x t =-，联立直线l 与椭圆的方程整理得：22222(34)84120k x k tx k t +-+-=，22834k t x x k '+=+，22241234k t xx k -'=+，因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1(1,)F M x y =+u u u u r ，2(1,)F N x y ''=-u u u u r，且12//F M F N ，所以(1)(1)x y x y ''+=-，即(1)()(1)()k x x t k x x t ''+-=--， 整理得：()2t x x x x t ''-++=，所以22286223434x x k x x t k k '+'-=-=-=++， 又22()()4x x x x xx '''+--=，即2222222286412()()4343434k t k t k k k--=+++g ，整理得：224(4)9k t -=， 因为直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且(2,0)A -，(2,0)B ， 所以22222222222221222222222241289[]3()()[()](312)3(4)934344412622(2)(2)2()4416124(4)129124243434k t k t k t t y y k x t k x t k xx t x x t k t k t k k k k k t x x x x xx x x k t k k t k k--+⨯''''---++--++========-''''-+-+-+-------+-++g g g g ．所以12k k g 的值为94-．19．（16分）已知函数()(1)f x x lnx =-，()(g x ax b a =+，)b R ∈． （1）若1a =时，直线()y g x =是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； （2）若be a=-，且()()f x g x …在[x e ∈，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）令()()()x f x g x ϕ=-，且()x ϕ在区间[e ，2]e 上有零点，求24a b +的最小值． 【解答】解：（1）当1a =时，()g x x b =+，()f x lnx '=，设切点0(x ，0())f x ， 因为()g x x b =+是()y f x =的一条切线， 所以01lnx =即0x e =， 所以f （e ）0=，又切点(,)A e o 在切线y x b =+上，所以b e =-，（2）当be a=-时，令()()()(1)()h x f x g x x lnx a x e =-=---， 则()h x lnx a '=-，若1a „，则当x e …时，()0h x '…，()h x 单调递增，()h x h …（e ）0=，即()()f x g x …符合题意， 若1a >，则由()0h x '=可得a x e e =>，当a e x e <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，()h x h „（e ）0=，与已知()h x 在[e ，)+∞上恒大于等于0矛盾，舍去， 又0a ≠，综上可得，a 的取值范围(-∞，0)(0⋃，1]，（3）()(1)x x lnx ax b ϕ=---，设()x ϕ在[e ，2]e 上的一个零点0x ， 则0000()(1)0x x lnx ax b ϕ=---=可得000(1)b x lnx ax =--，所以，2222000000044[(1)](2)4(1)4a b a x lnx ax a x x lnx x +=+--=-+--，20004(1)4x lnx x --…，当且仅当02a x =时等号成立，令2()4(1)4t x x lnx x =--，2e x e 剟，则()48t x lnx x '=-，因为2e x e 剟，则12lnx 剟，480lnx x -„， 所以()t x 在[e ，2]e 上单调递减， 所以()t x 的最小值224()44t e e e =-， 故24a b +的最小值2444e e -，20．（16分）对于项数为(*,1)m m N m ∈>的有穷正整数数列{}n a ，记1{k b min a =，2a ，⋯，}(1k a k =，2，⋯，)m ，即k b 为1a ，2a ，⋯，k a 中的最小值，设由1b ，2b ，⋯，m b 组成数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”．（1）若数列{}n a 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{}n a 的“新型数列” {}n b 的所有项；（2）若数列{}n a 满足101(),6,222,7,n n n a n n -⎧⎪=⎨⎪-⎩„…且其对应的“新型数列” {}n b 的项数[21m ∈，30]，求{}n b 的所有项的和；（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列” {}n b ．【解答】解：（1）数列{}n b 为2019，2019，2019，2018，2017； （2）由已知得：当6n „时，{}n a 关于n 递减； 当6n …时，{}n a 关于n 递减；又67a a >，所以*n N ∈时，{}n a 关于n 递减；因为0n a >，所以21m „又[21m ∈，30]，所以21m =， 所以{}n b 共21项且各项分别与{}n a 中各项相同，其和为26211111024()1024()1024()15141222T =++⋯++++⋯+611(1)15(151)22102411281212-+=+=-． （3）先不妨设数列{}n a 单调递增．当2m =时，1a ，*2a N ∈，121222a a a a a +=<， 所以12a <，11a =，此时无解，不满足题意，当3m =时，由123123a a a a a a ++=，得12312333a a a a a a a ++=<， 所以123a a <，又12a a <，所以11a =，22a =，代入原式得33a =，当4m …时，由123123m m m a a a a a a a a ma +++⋯+=⋯<， 而123(1)!m m m a a a a m a ma ⋯->…，矛盾! 所以不存在满足题意的数列{}n a ，综上满足题意的数列{}:1n a ，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1． 所以对应的“新型数列” {}n b 分别为：1，1，1；1，1，1；2，1，1；2，2，1；3，1，1；3，2，1． 三、附加题21．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r ，求3M αr ．【解答】解：矩阵M 的特征多项式为21()(2)(1)01f λλλλλ--==---，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2．当1λ=时由二元一次方程组0000x y x y --=⎧⎨+=⎩得0x y +=，令1x =，则1y =-，∴特征值1λ=对应的特征向量111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r； 当2λ=时由二元一次方程组0000x y x y -=⎧⎨+=⎩得0y =，令1x =，∴特征值2λ=对应的特征向量210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）Q 1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r r ，∴33312M M M ααα=+u u r u u rr33312119122101αα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u r u u r ．22．在极坐标系中，已知点M ，N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，直线l 的方程为3πθ=． （1）求以线段MN 为直径的圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 被（1）中的圆C 所截得的弦长．【解答】解：（1）已知点M ，N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，转换为直角坐标为(0,2)M ，(2,2)N -所以：以MN 为直径的圆心坐标为(1,0)． 圆的方程为：22(1)5x y -+=．转换为极坐标方程为：22cos 40ρρθ--=． （2）直线l 的方程为3πθ=．转换为直角坐标方程为：y =．由（1）得：圆心(1,0)0y -=的距离d =，所截得的弦长为：l = 23．甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束．甲每场比赛获胜的概率均为23．设比赛局数为X ． （1）求3X =得概率；（2）求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）3X =Q 即甲连胜三局或乙连胜三局，3X ∴=的概率33211(3)()()333P X ==+=．（2）由题意得X 的可能取值为3，4，5，33211(3)()()333P X ===+=，131333122110(4)()()()()333327P X C C ==+=， 2232234412218(5)()()()()333327P X C C ==+=， X ∴的分布列为：9108107()34527272727E X =⨯+⨯+⨯=． 24．已知数列{}n a 满足*112()n n a n N a ++=∈，且112a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：当2n …时，21145n n S S n --->-．【解答】证明：（1）数列{}n a 满足*112()n n a n N a ++=∈， 所以1111n n a a +-=-， 整理得1111n n n a a a ++-=-， 所以11111n n n a a a ++=--，转换为111111n na a +-=--（常数）， 所以数列1{}1na -且是以2为首项1位公差的等差数列．所以111nn a =+-， 故1n na n =+． （2）由于2111221121122n n n n n n n n n S S a a a a n n n--++-+--=+++⋯+=++⋯+++， 所以121111111111()122122122n n n n n n n n n n n n n +-++⋯+=-+-+⋯+-=-++⋯+++++++， 要证12141225n n n n n n n +-++⋯+>-++， 只需证明1114(2)1225n n n n ++⋯+<++… 设111111111111111111(1)12()12221222342242S n n n n n n n n n n=++⋯+=++⋯+++⋯+-++⋯+=++++⋯++⋯+-++⋯++++，111111234212n n=-+-+⋯+--， 当2n =时，114345S =+<恒成立．当3n …时， 11111111111114741()()1234567222122345605S n n n =-+-++-++⋯+-+-<-+-+=<--， 故：当2n …时，21145n n S S n --->-．。

2019—2020学年高二第一学期期末检测试题参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线28y x =的准线方程是（）A．2x =-B．4x =-C．2y =-D．4y =-2.如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是（）A．22a b<B．22ab a b<<D．||||a b >3.已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则p 是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.已知2a =+，2b =-a b ,的等比中项为（）A.B.1C.1- D.1±5.不等式102xx -≤+的解集为（）A．(]2,1-B．[]2,1-C．()[).21,-∞-⋃+∞D．(][),21,-∞-⋃+∞6.已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（）A．－4B．－6C．－8D．－107.空间向量(1,0,1)AB =- ，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（）A．6πB．3πC．6π或56πD．3π或23π8.如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（）A．(1,2)- B.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞ D.(2,1)-9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则（）A．46S S >B．45S S =C．65S S <D．65S S =10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ，则AOB ∆的面积为（）A．22C．322D．11.已知0x >，0y >，228++=x y xy，则的最小值是（）B．2C．2D．412.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为（）A．1012+B．C．512二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是．14.已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为．15.已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为．16.若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O = ，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1A C BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点．（1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小；（2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤ ，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)．（1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，两条准线之间的距离为3，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题1、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B12、A13、x R ∀∈, 14、101115、+1316.41]3（，17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min 1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分 因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分 所以2a ≤；…………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+，…………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分 所以22m +≤，即0m ≤。

江苏省扬州市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用反证法证明“如果a ＜b ，那么33a b ＜”，假设的内容应是（ ） A ．33a b =B ．33a b ＜C ．33a b =且33a b ＜D ．33a b =或33a b ＞【答案】D 【解析】解：因为用反证法证明“如果a>b ，那么3a >3b ”假设的内容应是3a ＝3b 或3a <3b ，选D 2．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理3．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于（ ） A ．16B ．29C ．1318D ．13【答案】C 【解析】 试题分析：如图，1,,60AB AC AB AC ==〈〉=D ，E 是边BC 的两个三等分点，221121122521333333399918AD AE AB BC AC CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C.考点：平面向量数量积的运算4．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n nb a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}na b 的前n 项和为（ ）．A ．()14413n -- B ．()4413n- C ．()11413n -- D ．()1413n- 【答案】D 【解析】 【分析】由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】 因为112n n n nb a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列， 因此()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=，数列{}n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++02422222n =++++()14141143n n -==--. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.5．已知数列{}n a 满足112a =，11n n a a +=+，*n N ∈，设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则19S =（ ） A ．3232-B ．3242-C ．3232D ．3612【答案】A 【解析】 【分析】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，然后利用等差数列求和公式代入计算即可． 【详解】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，所以19119181191832319192222S a d ⨯⨯=+=⨯-=- 故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题．6．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( ) A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -【答案】D 【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值. 详解：由题得()1,xf x e =-'令10,0.xe x -=∴=因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 7．已知函数()()ln af x x a R x=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得()2'x af x x-=，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即10a e<<，又()10f a =>，则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210ea a <<<，那么()212ln f a a a =+，构造新函数()12ln g a a a =+1(0)a e<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x af x x-=. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意；②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e<<. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<，所以210ea a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln g a a a =+，当10a e <<时，()2212210'a a a a g a -=-+=<，所以()()2112ln 20f a g a a g e e a ⎛⎫==+>=-> ⎪⎝⎭. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()2,a a 上不间断，所以函数()f x 在()0,a 上有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得10a e<<，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性．8．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβmαn β，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D 【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.9．已知椭圆2221(5)25x y a a +=> 的两个焦点为12,F F ,且128F F =,弦AB 过点1F ,则2ABF ∆的周长为( ) A ．10 B ．20C ．241D ．441【答案】D 【解析】 【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，计算即可得到所求值． 【详解】由题意可得椭圆22x a +225y =1的b=5，c=4，a=22b c +=41，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ， 即有△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=441． 故选D ． 【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题． 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥∴三棱锥体积为：1115 2.448332V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.11．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,322a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.12．已知()2a cosx dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638B ．212- C ．6316D ．638- 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】()20a cosx dx π=-⎰=20 |sinx π-=﹣1，则二项式912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为T r+1=﹣9r C •921•2rrx -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令9﹣2r=3，求得r=3， ∴展开式中x 3项的系数为﹣39C •18=﹣212-，故选B 【点睛】本题考查集合的混合运算. 二、填空题：本题共4小题13．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4，则实数α的值是_______. 【答案】34- 【解析】 【分析】由幂函数的定义，把代入可求解. 【详解】点(4,4在幂函数y x α=的图象上， ∴ 244，32222，332,24故答案为： 34- 【点睛】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质: (1)幂函数在(0)+∞，上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当0α>时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0)+∞，上单调递增； (4)当0α<时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0)+∞，上单调递减； (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．14．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=-> 由零点存在定理可知：()03,4x ∈，则3a = 本题正确结果：3 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.15．62()x x-的二项展开式中2x 项的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，662166(2)(2)---+=-=-r r r r r r rr T C x x C x ，令622r -=，进而可求出结果.【详解】因为62()x x-的二项展开式的通项为：662166(2)(2)---+=-=-r r r r r r r r T C x x C x ，令622r -=，则2r ，所以2x 项的系数为226(2)60-=C .故答案为：60 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 16．定义在(,)22ππ-上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f =．当0x >时，()()tan f x f x x '<⋅,则不等式()0f x <的解为__________． 【答案】(,1)(0,1)2π--【解析】 【分析】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <可得()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()sin f x g x x =在()0,∞+上递增，根据奇偶性可得()g x 在(),0-∞上递减，()0f x <，等价于()sin 0xg x <，结合()g x 的单调性与()()()11011f g g sin ===-，分类讨论解不等式即可.【详解】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <()()'sin cos 0f x x f x x ->，可得()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()sin f x g x x=在()0,∞+上递增， ()g x 为偶函数， ()g x ∴在(),0-∞上递减，()()()11011f g g sin ===-，()0f x <，等价于()sin 0xg x <， ()()01sin 0g x g x ⎧>=-⎨<⎩或()()01sin 0g x g x ⎧<=⎨>⎩可得12x π-<<-或01x <<，()0f x <的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，故答案为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数()()cos g x f x x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

扬州市2019-2020学年度第一学期期末调研测试试题高二数学2019.01 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.【详解】因为“”的否定是“”，“，”的否定是“，”，故答案为，.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.2.已知直线过点,则直线的斜率为________．【答案】-1【解析】【分析】直接根据直线的斜率公式计算斜率的值即可.【详解】因为直线过点,所以直线的斜率为，故答案为.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.3.一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为________ ．【答案】6【解析】【分析】先求质点的运动方程为的导函数，再求得秒时的导函数值,即可得到所求的瞬时速度.【详解】质点的运动方程为，所以该质点在秒的瞬时速度为，故答案为6.【点睛】本题主要考查了导数的物理意义，属于基础题，导数在物理的应用,是近几年高考的热点，利用数学知识解决物理问题，在高考试卷中的份量在逐年加重，对此类题解题规律应好好把握.4.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为, 若用分层抽样的方法抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为________个. 【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】【分析】直接利用抛物线的标准方程求得,再利用准线为可得结果.【详解】抛物线的开口向右，,所以抛物线的准线方程，即，故答案为.【点睛】本题考查抛物线的方程与准线方程,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.6.执行如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值是________．【答案】3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值，根据输出的值为10 ,分别求出当时和当时的值即可.【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，，解得(或 ,不合題意舍去)；当时，,解得 ,舍去，综上，的值为3，故答案为3 .【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.若,则“”是“直线：与：垂直”的________条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个）【答案】充分不必要【解析】【分析】两直线垂直等价于 ,即或 ,再根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】“直线与垂直” 等价于,即或,又易知：“”与“或”的充分不必要条件，即“”是直线与垂直的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题考查了两直线垂直的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.函数的单调递减区间为________．【答案】（写成，，也算对）【解析】【分析】由,知,由能求出的单调递减区间.【详解】,,由，得,的单调递减区间为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.利用导数求函数的单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间；求得的范围，可得函数的减区间.9.已知椭圆左焦点为，左准线为，若过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是________．【答案】【解析】【分析】先求出过且垂直于轴的弦长和点到的距离,由过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，建立方程，再利用的关系求出的值.【详解】过且垂直于轴的弦长等于，点到的距离,因为过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，所以，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．10.有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程．【详解】∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1=9，∴m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．12.已知可导函数的定义域为，，其导函数满足,则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】先构造函数，根据可得函数在上单调递增函数，结合不等式,变形得到,根据单调性解之即可.【详解】不等式，令，因为，所以则,函数在上单调递增函数，，即,根据函数在上单调递增函数可知，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13.已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时，恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，在以为圆心，以2为半径的圆上，把在圆上运动恒为锐角转化为以为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆外离求解.【详解】圆的半径为为弦的中点，，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，设中点为，，且当在圆上运动时，恒为锐角，则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，则，即，解得或，线段中点的横坐标取值范围为，故答案为.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为圆与圆的位置关系是解题的关键.14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】分段去绝对值，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式组，求解后再取并集得结果.【详解】，当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即；当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即，综上，实数的取值范囿是，故答案为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0 ,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.（2）若命题为真命题，则，解得.即.∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确.若真假，则，解得；若假真，则，解得或.所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.16.某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭.在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额.为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求的值；（2）求余额不低于元的客户大约为多少人？（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．【答案】（1）（2）300人（3）765元【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出的值；(2) 由直方图的性质求得余额在之间的频率为，由此能估计余额不低于900元的客户数量；（3）利用频率分布直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，能求出客户人均损失的估计值.【详解】（1）由，解得.（2）余额在之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为（人）.（3）客户人均损失的估计值为：（元）.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.17.在平面直角坐标系中，直线，.(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.【答案】（1）过定点，定点坐标为；（2）或.【解析】【分析】(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）假设直线过定点，则，即关于恒成立，∴，∴，所以直线过定点，定点坐标为（2）已知点,，设点，则，，∵,∴,∴所以点的轨迹方程为圆，又点在直线：上，所以直线：与圆有公共点，设圆心到直线的距离为，则，解得实数的范围为或.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.18.2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设.当时,求喷泉的面积;(2)求为何值时，可使喷泉的面积最大?.【答案】（1）平方米（2）【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质求出,即可求出喷泉的面积； (2)要构造矩形的面积关于角的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积,然后利用导数求函数的最值，在求解时要注意角的取值范围.【详解】（1）在直角中，，，则,所以(平方米)答：矩形的面积为平方米.（2）在直角中，，，则，所以矩形的面积，令，，则，令，得.设，且列表如下：所以当时，最大，即最大.此时答：当为时，喷泉的面积最大【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及利用导数求最值，属于中档题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.19.已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.①设直线、的斜率分别为，证明为定值;②求直线斜率取最小值时，直线的方程.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】(1) 利用长轴长为，离心率为分别求出的值，再求出的值，即可求出椭圆方程；(2)①设出的坐标，表示出直线的斜率，作比即可；②设出的坐标，分别求出的方程，联立方程组，求出直线的斜率的解析式，根据不等式的性质计算出的最小值，再求出的值即可.【详解】（1）由题意得：，所以，，故椭圆方程为.（2）①设，（，），由，可得，所以直线的斜率，直线的斜率此时，所以为定值.②设，，直线的方程为，直线的方程为.联立，整理得，由，可得，同理，.所以，，，所以，由，，可知，所以，当且仅当时取得等号.由，，在椭圆：上得，此时，即，由得，，所以时，符合题意.所以直线的斜率最小时，直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，椭圆的定值问题、最值问题，以及直线圆椭圆的位置关系，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20.已知函数，.(1)求在处的切线方程；(2)当时，求在上的最大值；(3)求证：的极大值小于1.【答案】（1）；（2）故当时，；当时，；当时，；（3）详见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率再由点斜式可得结果；(2)求出的解析式，求出，分别令可得函数增区间，令可得函数的减区间，分类讨论，根据函数的单调性可求出的最大值；(3)求出函数的导数，两次求导可判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值，判断即可.【详解】（1）∵，∴，∴在处的切线方程为，即，（2），（），令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故当时，在上递减，.当时，先增后减，故.当时，在上递增，此时.（3），令，，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，当时，当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题高二数学2020．1（全卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线28y x =的准线方程是（）A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =-2．如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是（）A ．22a b<B ．22ab a b<C ．a b -<D ．||||a b >3．已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知23a =+，23b =-，则a b ,的等比中项为（）A ．2B ．1C ．1-D ．1±5．不等式102xx -≤+的解集为（）A ．(]2,1-B ．[]2,1-C ．()[).21,-∞-⋃+∞D ．(][),21,-∞-⋃+∞6．已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于()A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107．空间向量(1,0,1)AB =- ，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π8．如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（）A ．(1,2)-B ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞D ．(2,1)-9．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则（）A ．46S S >B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =10．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ，则AOB ∆的面积为（）A ．22B ．2C ．322D ．2211．已知0x >，0y >，228++=x y xy ，则2+x y 的最小值是（）A ．3B ．2C ．322D ．412．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为（）A ．1012+B ．10C ．512+D ．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是．14．已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为．15．已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为．16．若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．19．（本小题满分12分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O = ，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1A C BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点．（1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小；（2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤ ，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)．（1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，两条准线之间的距离为833，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题高二数学 参考答案 2020．11、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B 12、A 13、x R ∀∈, 14、1011 15、+1316. 41]3（， 17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min 1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分 因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分 所以2a ≤； …………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+， …………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分 所以22m +≤，即0m ≤。

2019—2020学年度第一学期期末检测试题高 二 数 学2020．1（全卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线28y x =的准线方程是 （ ） A ．2x =- B ．4x =- C ．2y =- D ．4y =-2.如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C <．||||a b >3.已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±， 则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4. 已知2a =+2b =a b ,的等比中项为 （ ）B. 1C. 1-D. 1± 5.不等式102xx -≤+的解集为 （ ） A ．(]2,1- B ．[]2,1- C ．()[).21,-∞-⋃+∞ D ．(][),21,-∞-⋃+∞ 6.已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于 ( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107.空间向量(1,0,1)AB =-，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π 8.如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的 解集为 （ ） A ．(1,2)- B. (,1)(2,)-∞-⋃+∞ C. (,2)(1,)-∞-⋃+∞ D. (2,1)-9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则 （ ）A ．46S S >B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ， 则AOB ∆的面积为 （ ）A．2BC．2D．11.已知0x >，0y >，228++=x y xy（ ）AB ．2C ．2D ．412. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是 ． 14.已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为 ． 15.已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为 ．16.若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．19.（本小题满分12分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O =，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1AC BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点． （1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小； （2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)． （1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，两条准线之间的距离为3，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题高二数学 参考答案 2020．11、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B 12、A 13、x R ∀∈,2x ≤ 14、1011 15、+1316. 41]3（，17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分 因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分 所以2a ≤； …………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+， …………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分 所以22m +≤，即0m ≤。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0B ．1C ．2D ．32．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．715B ．730C ．115D ．1303．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．5．设集合{|12}A x x =-<， []{|2,0,2}xB y y x ==∈，则A B =A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,46．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表： x 9 9.5 10 10.5 11 y1110865其回归直线方程是4ˆ0ˆybx =+，则相对应于点（11，5）的残差为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．﹣0.1D ．﹣0.27．执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >8．在二项式()91x +的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（ ） A ．512B ．215C ．13D ．8159．用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设x 0是函数f （x ）＝lnx+x ﹣4的零点，则x 0所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）11．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④12．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题13．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 14．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．15．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点,且满足32NF MN =,则NMF ∠ =_____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020-2021学年扬州市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知A(2,3)，F 为抛物线y 2=6x 焦点，P 为抛物线上动点，则|PF|+|PA|的最小值为( )A. 5B. 4.5C. 3.5D. 不能确定2.不等式1≤|x −2|≤7的解集为( )A. {x|x ≤1或x ≥3}B. {x|1≤x ≤3}C. {x|−5≤x ≤1或3≤x ≤9}D. {x|−5≤x ≤9}3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1+a 3<2a 2”是“S 2n−1<0”的( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n 使得√a m a n =4a 1，则1m +4n 的最小值为( )A. 9B. 43C. 53D. 325.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}6.已知数列{a n }是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S 13=132，则1a 5+4a 9的最小值为 ( )A. 8B. 9C. 12D. 167.已知两平面的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，n ⃗ =(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 90°8.一元二次不等式x 2−x −2>0的解集是( )A.B. C. D. (−2,1)9.等差数列{a n }中，a 1=1，a n+1−a n =2，则a 50的值为( )A. 99B. 100C. 101D. 10210. (理)抛物线x 2=16y 的准线与双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)一条渐近线交点的横坐标为−8，双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为( ) A. √2B. √3C. 2D. √511. 当−π2≤x ≤π2时，函数f(x)=sin(2π+x)+√3cos(2π−x)−sin(2013π+π6)的最大值和最小值分别是( )A. 52，−12B. 52，32C. 32，−12D. 32，−3212. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于√22√1+b ，则b =( )A. 3B. 13C. √3D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为其中，所有正确结论的序号是________．14. 各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 对任意n ∈N ∗，m n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−a n , 2a n+1)都是直线y =kx 的法向量．若n →∞limS n 存在，则实数k 的取值范围是______．15. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，过点P(0,−1)斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，若M 是直线l 上的一个动点，E(3,0)，则||MF|−|ME||的最大值为______．16. 已知一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为(1,2)，则不等式bx 2−cx +a ≥0的解集为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a 、b 、c 都是正数，(1)求证：bca +cab+abc≥a+b+c，(2)若a+b+c=1，求证：1−aa +1−bb+1−cc≥6．18.已知在等差数列{a n}中，a2=4，a5+a6=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−2+n，求b1+b2+⋯+b10．19.已知等腰梯形ABCD中(如图1)，AB=4，BC=CD=DA=2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE=EM=1，现将四边形AEFD沿EF折起(如图2)．(Ⅰ)求证：AM||平面BCD；(Ⅱ)在图2中，若BD=√6，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成的角为(O°<<90°)，点B1在底面上的射影D落在BC上(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB1⊥BC1，且点D为BC中点，求角；(3)若cos=，且当AC=BC=AA1时，求二面角C1−AB−C的大小。

江苏省扬州中学2019~2020学年度第一学期期末测试卷3高二数学一、选择题．（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．在数列{}n a 中，1112,1(2)n n a a n a -==+≥，则3a = （ ） A ．32 B ．23 C ．53 D ．522．命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定可以写成 （ ）A ．2,10x R x ∃∉+< B ．2,10x R x ∃∉+≥ C ．2,10x R x ∃∈+< D ．2,10x R x ∃∈+≥3．抛物线22y x =的准线方程为 （ ）A ．12x =-B ．12x =C ．12y =-D ．12y = 4．已知2(1,0,2),(6,21,)a b λμλ=+=-，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为 （ ）A ．11,52 B ．11,52-- C ．5,2 D ．5,2-- 5．不等式211x ≥+的解集为 （ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)[1,)-∞⋃+∞C ．[1,1]-D ．(1,1]-6．圆锥曲线22189x y m +=+的离心率2e =，则实数m 的值为 （ ） A ．5- B ．35- C ．19 D ．11-7．当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．已知双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15，则点P 到点(5,0)-的距离为 （ ） A ．7 B ．23 C ．1119或 D ．723或9．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚二十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为,A B ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线 AP PB ，分别交直线4x =于,M N 两点，则MN 的最小值为 （ ）A ．2 B． C ．4 D．二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共计10分，每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）11．当3(,)44ππα∈时，方程22sin cos 1x y αα+=表示的轨迹可以是 （ ）A ．两条直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 12．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且167671,12a a a a a >+>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中正确的选项是 （ ）A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．双曲线22134x y -=的渐近线方程是 . 14．设(1,2,),(6,4,3)t μν=-=-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则实数t 的值为 . 15．若正数,x y 满足，20x y xy +-=，则32x y+的最大值为 .16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n22111178=,2n n n nn SS S S a a +++⋅++=，则n a = .四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知2,260x R x mx m ∀∈+-+>恒成立，即实数m 的取值范围为集合.M（1）求集合M ；（2）已知集合{}()(1)0N x x a x a =---<，若“x N ∈”是“x M ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是抛物线24y x =上一点.（1）若P 到抛物线焦点F 的距离为10，求点P 的坐标；（2）若(1,2)P ，过P 的直线l 交抛物线与另一点Q ，当OP OQ ⊥时，求直线l 的方程.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T21．如图，AD ∥BC 且2,,AD BC AD CD EG =⊥∥AD 且,EG AD CD =∥FG ,且2CD FG =,DG ⊥平面, 2.ABCD DA DC DG ===（1）求二面角E BC F --的余弦值；（2）若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面BCF 所成角的正弦值为3010，求线段DP 的值.21．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元/2m ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为210元/2m ；再在四个空角（图中四个三角形，如DQH ∆）上铺草坪，造价为80元/2.m （1）设总造价为S （单位：元），AD 长为x （单位：m ），试求出S 关于x 的函数关系式，并求出定义域；（2）当AD 长x 取何值时，总造价S 最小，并求出这个最小值.22．如图，A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一个动点，弦,AB AC 分别过椭圆的左焦点1F 和右焦点2F ，当AC 垂直于x 轴时，恰好有12:3:1.AF AF =（1）求椭圆的离心率e ；（2）设111222,,AF F B AF F C λλ==试判断12λλ+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.参考答案13. 2y x =± ； 14．143； 15. 13； 16．12,(1)2,(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩； 三、解答题17．已知2,260x R x mx m ∀∈+-+>恒成立，即实数m 的取值范围为集合.M（1）求集合M ；（2）已知集合{}()(1)0N x x a x a =---<，若“x N ∈”是“x M ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解：（1）2,260x R x mx m ∀∈+-+>恒成立，22(2)4(6)06032m m m m m ∴∆=--+<⇒+-<⇒-<<{}32M m m ∴=-<<（2）{}1N x a x a =<<+，因为“x N ∈”是“x M ∈”的充分不必要条件 所以M N ∴⊂33112a a a ≥-⎧∴⇒-≤≤⎨+≤⎩为所求的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是抛物线24y x =上一点.（1）若P 到抛物线焦点F 的距离为10，求点P 的坐标；（2）若(1,2)P ，过P 的直线l 交抛物线与另一点Q ，当OP OQ ⊥时，求直线l 的方程. 解：（1）设(,),PF 110,9,6P x y x x y =+=∴==±，所以点P 的坐标为(9,6)±；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ,:(1)2l y k x =-+与24y x =联立并消x 得：2212121224844(2)4(84k)0,,,k k ky y y y y y x x k k k---+-=∴+=⋅=⋅=2121212212844(2),1,0OP OQy y k k OP OQ k k x x y y x x k k⋅--⊥∴⋅==-∴⋅+⋅=+=⋅ 2k ∴=，∴直线l 的方程为2.y x =19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴= （2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n nT n n ∴=+++=-+-+-++-=++ 20．如图，AD ∥BC 且2,,AD BC AD CD EG =⊥∥AD 且,EG AD CD =∥FG ,且2CD FG =,DG ⊥平面, 2.ABCD DA DC DG ===（1）求二面角E BC F --的余弦值；（2）若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面BCF 所成角的正弦值为3010，求线段DP 的值. 解：,AD CD ⊥DG ⊥平面,ABCD所以分别以,,DA DC DG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,2,2),(1,0,0)BE BC =-=-， 设平面BCE 的法向量为1(,,)n x y z =由1(,,)(1,2,2)220n BE x y z x y z ⋅=-=-+=，由1(,,)(1,0,0)0n BC x y z x ⋅=-==，取10,1,(0,1,1)x y z n ====，(0,1,2)CF =-，设平面BCF 的法向量为2(,,)n x y z =由2(,,)(0,1,2)020n CF x y z y z ⋅=-=-+=，由2(,,)(1,0,0)0n BC x y z x ⋅=-==，取20,2,1,(0,2,1)x y z n ====1221310cos ,1025n n +∴<>==⋅；（3）设(0,0,2)(0,0,2),(01),(1,2,2)DP DC BP BD DP λλλλλ===<<∴=+=--，22242301cos ,432170,102554BP n λλλλλ-+∴<>==⇒+-=∴=⋅+， 11.2DP DC ∴==21．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元/2m ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为210元/2m ；再在四个空角（图中四个三角形，如DQH ∆）上铺草坪，造价为80元/2.m （1）设总造价为S （单位：元），AD 长为x （单位：m ），试求出S 关于x 的函数关系式，并求出定义域；（2）当AD 长x 取何值时，总造价S 最小，并求出这个最小值.解：（1）设,DQ y AD x ==，则222004200,4x x xy y x-+=∴=，222214000004200210480438004000(0102)2S x xy y x x x∴=+⨯+⨯⨯=++<<； （2）28240000038004000380021610118000S x x=++≥+⨯=，当且仅当224000004000x x=，即10x =时，min 118000S =（元） 答：当AD 10x =时，总造价S 最小.22．如图，A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一个动点，弦,AB AC 分别过椭圆的左焦点1F 和右焦点2F ，当AC 垂直于x 轴时，恰好有12:3:1.AF AF =（1）求椭圆的离心率e ；（2）设111222,,AF F B AF F C λλ==试判断12λλ+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（1）当AC 垂直于x 轴时，12:3:1AF AF =，由122AF AF a +=， 得123,22a aAF AF ==在12Rt AF F ∆中， 22212(2)AF AF c =+，解得22e =； （2）由22e =，则22221,.2b a c e b c a a -==-== 焦点坐标为12(,0),(,0)F b F b -,则椭圆方程为222212x y b b+=，化简有22222.x y b +=设001122(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，①若直线AC x ⊥轴，0211232,1,5,6b bx b bλλλλ+====∴+=； ②若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为00()y y x b x b=--代入椭圆方程有 22220000(32)2()0b bx y by x b y b y -+--=，由韦达定理得：222000222200,3232b y b y y y y b bx b bx =-∴=---所以20022232AF y b x F C y bλ-===-，同理可得0132b x b λ+=，故1266bb λλ+==， 综上所述：126λλ+=为定值.。

江苏省扬州市2020年数学高二上学期文数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若不等式，对恒成立,则关于t的不等式的解集为（）A .B .C .D .2. （2分）下列命题是真命题的为（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则3. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·河南月考) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·茂名模拟) 在中，内角的对边分别为，若，且，则（）A . 1B .C .D . 47. （2分）在等比数列中，，则（）A . 28B . 32C . 35D . 498. （2分） (2015高二上·海林期末) 若点O（0，0）和点分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [﹣1，+∞）B . （0，+∞）C . [﹣2，+∞）D . [0，+∞）9. （2分）(2018·张家口期中) 已知数列的前n项和，则的通项公式为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·惠来期中) 已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为（）A . 10 kmB . kmC . kmD . km11. （2分）已知为等差数列，为等比数列，其公比且,若，则（）A .B .C .D . 或12. （2分） (2016高一上·莆田期中) 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A . y=3﹣xB . y=x2+1C . y=D . y=﹣x2+1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·东台月考) 已知x＞﹣1，则的最小值为________．14. （1分） (2018高二上·南京月考) 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为________.15. （1分） (2017高三上·赣州期中) 已知定义在R上的函数，若函数g（x）=f（x）﹣a（x+1）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．16. （1分）(2020·丹阳模拟) 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2019高三上·新洲月考) 已知是圆（为坐标原点）的内接三角形，其中，角所对的边分别是 .（1）若点的坐标是，求的值；（2）若点在优弧上运动，求周长的取值范围.18. （10分） (2017高三上·东莞期末) 设Sn为各项不相等的等差数列an的前n 项和，已知a3a8=3a11 ，S3=9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn= ，数列{bn}的前n 项和为Tn ，求的最小值．19. （10分）一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产A、B两种奶制品，如用甲类设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电8千瓦时，可得4千克B制品．根据市场需求，生产的A、B两种奶制品能全部售出，每千克A获利a元，每千克B获利b元．现在加工厂每天最多能得到50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千克A制品，乙类设备的加工能力没有限制．其生产方案是：每天用x桶牛奶生产A制品，用y桶牛奶生产B制品（为了使问题研究简化，x，y可以不为整数）．（Ⅰ）若a=24，b=16，试为工厂制定一个最佳生产方案（记此最佳生产方案为F0），即x，y分别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；（Ⅱ）随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波动．若a=24（1+4λ），b=16（1+5λ﹣5λ2）（这里0＜λ＜1），其它条件不变，试求λ的取值范围，使工厂当且仅当采取（Ⅰ）中的生产方案F0时当天获利才能最大．20. （10分） (2016高二上·茂名期中) 设{an}是各项都为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn ，求数列{Sn•bn}的前n项和Tn ．21. （5分） (2019高三上·抚州月考) 已知函数 .（1）讨论的单调性.（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.22. （10分） (2018高二上·南阳月考) 已知椭圆，，设为第三象限内一点且在椭圆上，椭圆于轴正半轴交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。