江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020-2021学年度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1. 命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定是（ ） A. 0x ∃≤，210x x ++> B. 0x ∃≤，210x x ++< C. 0x ∀≤，210x x ++< D. 0x ∀>，210x x ++>【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定为特称命题：∀→∃，并否定原结论即可.【详解】命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定为“0x ∃≤，210x x ++<”， 故选：B2. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解， 【详解】根据双曲线的对称性可设顶点()2,0A ，其中一条渐近线方程是1202y x x y =⇔-=，那么顶点到渐近线的距离d ==故选：A3. 若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =--，并且//αβ，则x 的值为（ ）A. 10B. 10-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据两个法向量共线可得x 的值. 【详解】因为//αβ，,a b 共线，故12124x --==-，故12x =， 故选：C.4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A.113尺 B.10529尺 C.6529尺 D.73尺 【答案】B 【解析】 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列， 且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--， 故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭， 故选：B. 5. 不等式121x ≥-的解集为（ ） A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (]3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法转化为231xx-≤-，解不等式.【详解】1122011x x≥⇔-≥--，即231xx-≤-，即()()231010x xx⎧--≤⎨-≠⎩，解得：312x<≤，所以不等式的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A6. 已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，则点A到平面11A B CD的距离为（）A.23B. 2C. 2D. 22【答案】B 【解析】【分析】由垂直关系可知1AD⊥平面11A B CD，根据边长关系直接求点到平面的距离. 【详解】连结1AD，与1A D交于点M，11A D AD⊥，且11A B⊥平面11ADD A111A B AD∴⊥，且1111A D A B A=，1AD∴⊥平面11A B CD，∴点A到平面11A B CD的距离为1122AM AD==. 故选：B7. 在数列{}n p中，如果对任意()*2n n N≥∈，都有11nnn np pkp p+--=(k为常数)，则称数列{}n p为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（）A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B. 等差数列一定不是比等差数列C. 若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D. 若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质()*2n n N ≥∈有11nn n n p p k p p +--=，判断各项描述是否正确即可. 【详解】A ：若{}n a 为等比数列,公比0q ≠，1n n a q a +=，1n n a q a -=，所以1101n n n n a ak a a +--==≠，A 错误.B ：若1,{}n n b b =为等差数列,故有110n nn n b b b b +--=，为比等差数列，B 错误. C ：令0,1n n a b ==，则0n n a b =，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，C 错误. D ：由题设知：342,3a a ==，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，不是比等差数列，正确. 故选：D8. 已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A. 9-B. 8-C. 7-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b +=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立. 22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪， 即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分)9. （多选题）已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b< B. 22ac bc >C.b a a b> D. 22a ab b >>【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项. 【详解】A.1y x =在()0,∞+上单调递减，所以当0a b >>时，11a b<，故A 正确； B.当0c时，22ac bc >不成立，故B 不正确；C.当0a b >>时，22a b >，两边同时除以ab 得，a bb a>，故C 不正确； D. 当0a b >>时，两边同时乘以a 得，2a ab >，或两边同时乘以b 得，2ab b >，所以22a ab b >>，故D 正确. 故选：AD10. 下列命题正确的是（ ）A. 已知u ，v 是两个不共线的向量.若a u v =+，32b u v =-，23c u v =+则a ，b ，c 共面B. 若向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若()1,0,0A ，()0,1,0B ，则与向量AB共线的单位向最为2,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭D. 在三棱锥O ABC -中，若侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，则底面ABC 是锐角三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理可判断A ；由构成空间向量的基底不能共面可判断B ；根据单位向量的计算公式AB AB可判断C ；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A ，u ，v 是两个不共线的向量，不妨假设a ，b ，c 共面 则c ma nb =+，即()()3223c m n u m n v u v =++-=+， 可得131,55m n ==-，存在一对实数,m n ，使得c ma nb =+，即假设成立，故A 正确； 对于B ，向量//a b ，则a ，b 与任何向量都共面，所以a ，b 与任何向量都不能构成空间一个基底，故B 正确；对于C ，()1,1,0AB =-，所以ABAB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ， OA ，OB ，OC 两两垂直，()()20AB AC OB OA OC OA OA ∴⋅=-⋅-=>，所以AB 与AC 的夹角为锐角，即BAC ∠为锐角，同理ABC ∠，BCA ∠为锐角，ABC ∴是锐角三角形，故D 正确. 故选：ABCD11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A. 614a =B. 数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C. 对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D. 1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.12. 在平面直角坐标系xOy 中，(),P x y 为曲线22:4224C x y x y +=++上一点，则（ ）A. 曲线C 关于原点对称B. 1x ⎡∈-+⎣C. 曲线C 围成的区域面积小于18D. P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】当0x >，0y >时，曲线C 为()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，根据点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，可得曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【详解】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x yx y +=++即()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中0y =可得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个可得纵坐标最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确； 对于选项D ：令()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭中0x =，可得132y =±，所以到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3故选项D 正确， 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C 在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线C 的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)13. 若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断0∆=>，计算即得结果.【详解】二次函数2()f x x ax a =-+是开口向上的抛物线，故要使2()0f x x ax a =-+<有解，则需240a a ∆=->，即()40a a ->，解得0a <或4a >.故实数a 的取值范围为()(),04,-∞+∞.故答案为：()(),04,-∞+∞.14. 已知数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =，则5a =___________. 【答案】8± 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，即可求解. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =， 则252841664a a a =⋅=⨯=，所以58a =±. 故答案为：8±15. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ､右准线为l ，若l 上存在点P ，使得线段PF 的中点恰好在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率的最小值为_____________.1 【解析】 【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点2(,2)a P y c，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得2y ，又20y ≥，解不等式即可得离心率的最小值.【详解】由()2222:10x y C a b a b+=>>，得(,0)F c -，2a l x c =：，设点2(,2)a P y c ，故中点为22(,)2a c y c-，又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得2222222()14a c y a c b-+=， 整理得2222222()[1]04a c y b a c -=⋅-≥，故22222()104a c a c --≥，又(0,1)ce a=∈，整理得2(3)8e -≤，233e -≤≤+，即2231)e ≥-=，1e ≥，故答案为：21-.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16. 已知函数()()()()244422f x a x a x a a R =-++++∈，则该函数()f x 的图象恒过定点________；若满足()0f x <的所有整数解的和为6-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (1). 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭(2). 108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()()()21221f x a x a x =-++⋅+⎡⎤⎣⎦，即可求得函数()f x 的图象所过定点的坐标； 【详解】()()()()()4442221221f x a x a x a a x a x =-++++=-++⋅+⎡⎤⎣⎦，当10a -=时，令()0f x =，得12x =-；当10a -≠时，令()0f x =，得()221a x a +=-或12x =-.综上所述，函数()f x 的图象必过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分以下三种情况讨论：①当10a -=时，即当1a =时，由()()3210f x x =+<，可得12x <-，不合乎题意； ②当10a ->时，即1a >时，()()213021221a a a +⎛⎫--=< ⎪--⎝⎭，则()21212a a +<--， 解不等式()0f x <，可得()21212a x a +<<--，由于不等式()0f x <所有的整数解的和为6-，则不等式()0f x <的所有整数解有3-、2-、1-，所以，()24321a a +-≤<--，解得10875a ≤<；③当10a -<时，即1a <时，()()213021221a a a +⎛⎫--=> ⎪--⎝⎭，可得()21212a a +>--. 解不等式()0f x <，可得12x <-或()221a x a +>-，不等式()0f x <的解中有无数个整数，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17. 命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15m <<；（2）512a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m满足方程221 15x ym m+=--表示双曲线，则()()150m m--<，解得15m<<，（2）实数m满足不等式()223200m am a a-+<>，解得2<<a m a，若p是q的充分不必要条件，则{}|2a a m a<<是{}|15m m<<的真子集，所以125aaa≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a≤≤，所以若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围是512a≤≤.【点睛】易错点睛：若p是q的充分不必要条件则{}|2a a m a<<是{}|26m m<<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a<<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a>，很明显{}|2a a m a<<≠∅.18. 如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3PA PB PC AB AC=====，26BC=.（1）求二面角P BC A--的大小；（2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值.【答案】（1）23π；（2）36【解析】【分析】（1）连接PM，则可证得PMA∠就是二面角P BC A--的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；（2）取PC中点N，连接,MN AN，则AMN∠就是异面直线AM与PB所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM ，因为M 为BC 的中点，3PB PC AB AC ====， 所以,PM BC AM BC ⊥⊥，所以PMA ∠就是二面角P BC A --的平面角. 在直角PMC △中，3,6PC MC ==，则3PM =,同理可得3AM =，在PMA △中，由余弦定理得1cos 2233PMA ∠==-⨯⨯，所以23PMA π∠=，即二面角P BC A --的大小为23π（2）取PC 中点N ，连接,MN AN ，则//MN PB ，故AMN ∠或其补角就是异面直线AM 与PB 所成的角， 因为等边PAC △中，PC 中点为N ，所以333AN == 又13,22MN PB ==3AM =所以在AMN 中9273344cos 3232AMN +-∠==，因为异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以直线AM 与PB 3【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，其满足112a b ==，453S a b =+，328a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若_______，求数列{}n c 的前n 项和n T . 在①11n n n n c b a a +=+，②n n n c a b =，③112n n n n n a c a a b +++=这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）1n a n =+，2nn b =；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项. （2）根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求n T .【详解】（1）设等差数列的公差为d，公比为q，则2434224222228d d qd q⨯⎧⨯+⨯=++⎪⎨⎪++=⎩，解得21qd=⎧⎨=⎩或36qd=-⎧⎨=⎩（舍），故()2111na n n=+-⨯=+，1222n nnb-=⨯=.（2）若选①，()()111221212n nncn n n n=+=-+++++，故()121211111111222334121222nnnTn n n+-=-+-++-+=-+-++-+，若选②，则()12nnc n=+，故()2322324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()234+1222324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()23114222122n n nnT n n++-=++++-+=-⋅即12nnT n+=⋅.若选③，则()()()()113111221222n n n nncn n n n+++==-++++，故()()()12231111111111223232********* n n n nTn n n++ =-+-++-=-⨯⨯⨯⨯+++.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，12AA AB AC===，AB AC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为537，求线段BP 的长度. 【答案】（1）4π；（2）423. 【解析】 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度.【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMH AA PH θ===，[0,]2πθ∈， ∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)0ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：253737||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长.21. 设抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于M ，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5. （1）求抛物线的方程；（2）自M 引直线交抛物线于,P Q 两个不同的点，设MP MQ λ=.若47PQ ⎛∈ ⎝⎦，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得452p+=化简即可； （2）设:1PQ y kx =-，联立直线与抛物线方程设1122(,),(,)P x y Q x y ，用弦长公式表示PQ ，由MP MQ λ=及韦达定理将k 用λ表示出来，此时PQ 用λ表示，结合470,3PQ ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦解不等式.【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5， 又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离， 所以4522pp +=⇒=，故抛物线的方程为24x y =.（2）由题意直线PQ 斜率存在，设:1PQ y kx =-，由2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩，22161601k k ∆=->⇒>， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x kx x +=⎧⎨=⎩，① 所以22222121116164444PQ k x k k k k =+-=+-=+-因为MP MQ λ=，所以112212(,1)(,1)x y x y x x λλ+=+⇒=代入①化简得()2214k λλ+=令()2214t k λλ+==，则24416PQ t t t +-=-因为470,3 PQ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以21129PQ<≤，即2211225616016499316tt t<≤⇒<⇒<≤-≤，所以()22211210164133310303λλλλλλλλ≠⎧+⎧-+>⎪<≤⇒⇒⎨⎨≤≤-+≤⎩⎪⎩即(]1,11,33λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以实数λ的取值范围(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22. 已知直线:l y kx m=+与椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为22，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA，OB的斜率分别为1k，2k，2k=12k k为定值；（3）已知点(2N，当AOB的面积S最大时，求OM ON⋅的最大值.【答案】（1）22142x y+=；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得椭圆的方程.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简1212y y x x 可得所求的定值. （3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求面积，结合基本不等式可求AOB 何时取最大值，再用,k m 表示OM ON ⋅，利用基本不等式可求()2OM ON ⋅的最大值，从而得到OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）因为长轴长为4，故2a =，又离心率为2，故c =b = 故椭圆方程为：22142x y +=. （2）直线:2l y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得22242x x m ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得2220x m +-=，故2820m ∆=->即22m -<<.又()211121212121212122x m x m x x m y k y x x x x x k x ⎫++⎪++⎝⎭⎝⎭===+，而12x x +=，2122x x m =-，故()2122112222k m m k ⨯+=+=-即12k k 为定值. （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124240k x kmx m +++-=， 又()()2222221641224163280k m k m k m ∆=-+-=+->，故2224k m +>，又12AB x =-=故12OABS AB==因为222224122k m mk+-+≤=+，故OABSm=时等号成立，此时2224k m+>成立.而12222,21212M Mx x km mx yk k+-===++，故(2222212122=1m kkmk k kOM ON--+=++⋅+，所以2=kOM ON=⋅，2221211212kk k+-==-++，因为212k+≥-，故2112k-≤+2≤≤当且仅当k=时等号成立.所以OM ON⋅的最大值为2，故OM ON⋅的最大值为2，当且仅当k=，m=时取最大值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系中的最值、定值问题，一般需联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。

2022-2023学年江苏省连云港市海州高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知点，则直线AB 的斜率为（）(1,0),(2,A B AB ．CD．【答案】B【分析】过两点的直线斜率公式为，代入数据可得答案.1212y y k x x -=-【详解】点，根据斜率公式，(1,0),(2,AB 1212y y k x x -=-代入数据得：k ==故选：B2．已知点，则线段AB 的中点坐标为（ ）(8,10),(4,4)A B -A ．B ．C ．D ．(2,7)(4,14)(2,14)(4,7)【答案】A【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.【详解】由题意得：线段AB 的中点坐标为，即.84104,22-+⎛⎫⎪⎝⎭()2,7故选：A.3．双曲线的渐近线方程为（ ）2219y x -=A ．B．C ．D ．13y x=±3y x =±y =y =【答案】B【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，1a =3b =b y x a =±所以双曲线渐近线为.3y x =±故选：B4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）{}n a A ．145项B ．146项C ．144项D ．147项【答案】A【分析】由已知可得能被除余且被除余的数即为能被除余，进而得通项及项数.2171141【详解】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，1n a -21n a -14所以，，()1141n a n -=-N n *∈即，1413n a n =-故，即，解得，故共项，12022n a ≤≤114132022n ≤-≤5114514n ≤≤145故选：A.5．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）{}n a {}n b 11a b =222a b ==48a ={}n b A ．2B ．C ．4D ．2-4-【答案】B【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.111a b ==-【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，{}n a d {}n b q 则，242822a a d d +=+==所以，3d =∴，，22123b a a ===+111a b ==-所以.212b q b ==-故选：B.6．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）30()ax y a a ---=∈RA ．B ．222660x y x y +-++=222660x y x y ++-+=C ．D ．226260x y x y ++-+=226260x y x y +-++=【答案】A【分析】先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.【详解】解：因为直线方程为，即，所以直线过定30()ax y a a ---=∈R ()()130a x y a ---=∈R 点，()1,3-所以圆方程为，即，22(1)(3)4x y -++=222660x y x y +-++=故选：A.7．记为等比数列的前n 项和．若，则的值为（ ）n S {}n a 243,12S S ==6S A ．24B ．48C ．39D ．36【答案】C【分析】根据等比数列的性质可知，，是等成比数列，由此列式计算即可.2S 42S S -64S S -【详解】∵为等比数列的前n 项和，∴，，等成比数列，n S {}n a 2S42S S -64S S -∴，，∴，∴．23S =421239S S -=-=6499273S S -=⨯=6427271239S S =+=+=故选：C8．已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C (,)(0,0)P m n m n >>C且的内心为，若的面积为，则的值为（ ）12PF F △(,2)I s 12PF F △nA ．B ．3C D ．6【答案】D【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式即可求的值.n 【详解】由题意得，的内心到轴的距离12PF F △(,2)I s x 等于内切圆的半径，即为的纵坐标，即为，12PF F △(,2)I s 2因为为上的一点，P C所以,1212121||||||22,(22)2222PF F PF PF F F a c S a c a c ++=+=+⨯=+=△即，a c +=又因为，所以，ce a=(1)b e =+，2222222,(1)a b c e a e a ⎤=+∴++=⎥⎦整理得，解得（舍）或，2210e e +-=1e =-12e =所以，1,2c a b ==所以，12121||2PF F S F F n cn == 所以，即，解得.22a c cn +=112()22a a an+=6n =故选：D.二、多选题9．已知等比数列 ，=1， ，则（ ）.{}n a 1a 2q =A ．数列 是等比数列1{}n a B ．数列 是递增数列1{}n a C ．数列 是等差数列2{log }n a D ．数列是递增数列2{log }n a 【答案】ACD【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性1{}n a 2{log }n a 决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小.【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A 正1a 2q =12n n a -=1112n n a -=1{}n a 确B 不正确；，数列 是递增的等差数列，故C ，D 正确.2log 1n a n =-2{log }n a 故选：ACD.10．下列说法错误的是（ ）A ．直线在y 轴上的截距为353y x =-B ．经过定点的直线都可以用方程表示(0,2)A 2y kx =+C ．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是13490x y ++=6240x my ++=D ．点关于直线的对称点是(2,3)C 1x y -=(4,1)【答案】ABC【分析】对A ，截距是直线与轴的交点纵坐标；对B ，当直线与轴垂直时，不能用斜截式表示；y x 对C ，先根据平行求出参数，再用平行线间的距离公式求出距离可判断；对D ，两点关于一条直m 线对称，说明这条直线是这两点连线的中垂线.【详解】A ：直线在y 轴上的截距：令，A 错误；53y x =-0,3x y =∴=-B ：与轴垂直的直线没有斜率，表示不了B 错误；x 2y kx ∴=+0,x =C ：直线与直线平行，则，则可化为3490x y ++=6240x my ++=8m =6240x my ++=，，C 错误；34120x y ++=35d ∴D ：过点的直线斜率为，又得斜率为，斜率之积为，故(2,3),C '(4,1)C l 31124k -==--':1l x y -=11-两直线垂直；又点的中点为，中点在上，故是点(2,3),C '(4,1)C ()3,2':1l x y -=1x y -=(2,3),C 的对称轴，D 对.'(4,1)C 故选：ABC11．以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（ ）A ．双曲线与椭圆有相同的焦点221169x y -=2214924x y +=B ．在平面内，设、为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点A B P PA PB k+=k 的轨迹为椭圆P C ．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率22310x x -+=D ．过双曲线的右焦点F 作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有2212y x -=l A B AB 4=l 且仅有3条【答案】AD【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标，即可判断A ，由椭圆的定义可分析B 选项，根据椭圆和离心率的取值范围可分析C 选项，考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，从而可分析D 选项.l 【详解】解：对于A ：双曲线与椭圆的焦点均为，故A 正确；221169x y -=2214924x y +=()5,0±对于B ：根据椭圆的定义，在平面内，设、为两个定点，为动点，A B P 当时，动点的轨迹为椭圆，PA PB k AB +=>P 当时，动点的轨迹为线段，PA PB k AB +==P AB 当时，动点的轨迹不存在，故B 错误；PA PB k AB+=<P 对于C ：方程的两根为，，不能为椭圆和双曲线的离心率，故C 错误；22310x x -+=11x =212x =1对于D ：双曲线的右焦点为，，，2212y x -=)F()11,A x y ()22,B x y当直线的斜率不存在时，中，可得，所以；l x =2212y x -=2y =AB 4=当直线的斜率存在时，设其直线方程为，联立，l (y k x =2212y x -=可得，显然，()()22222230k xx k -+-+=22k ≠所以，()()422212422316160k k k k∆=+-+=+>所以，12x x +=2122232k x x k +=--所以，()2224142k AB x k +=-===-解得，故D 正确.k =故选：AD.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值的点(1)λλ≠的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P 满xOy (0,0),(3,0)O A 足，设点P 的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）||2||PA PO =C A ．圆C 的方程是22(1)4x y ++=B ．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π3C ．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为D ．在直线上存在两点D ，E ，使得=1x -||2||PD PE =【答案】ABD【分析】利用求轨迹方程的方法确定圆的方程可判断选项A ，，再根据边与角的关系求出C 即可确定两条切线的夹角判断选项B ，根据圆心到直线的距离可求出斜率判断选项C ，π6CAM ∠=利用轨迹方程的办法判断选项D.【详解】设，由，(,)P x y ||2||PA PO =2=整理得，故A 正确；22(1)4x y ++=过点A 向圆引切线，设其中一个切点为，C M 圆的半径为，且,4,AC =C 2MC r ==MC AM ⊥所以，所以，1sin ,2MC CAM AC ∠==π0,2CAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π6CAM ∠=所以两条切线的夹角为，故B 正确；π23CAM ∠=设点A 作直线，:(3)l y k x =-因为圆上恰有三个点到直线距离为1，圆的半径为，C C 2r =所以圆心到直线的距离等于1，C (3)y k x =-，解得C 错误；1=k =假设存在，使得，(1,),(1,)D m E n --||2||PD PE =，2=化简得，222228421033m n n m x y x y --+++++=因为的轨迹为，P 22230x y x ++-=所以，解得或，2228034133m nn m -⎧=⎪⎪⎨-⎪+=-⎪⎩41m n =⎧⎨=⎩41m n =-⎧⎨=-⎩故直线上存在两点或,=1x -()()1,1,1,4D E --()()1,1,1,4D E ----使得成立，故D 正确；||2||PD PE =故选：ABD.三、填空题13．经过点，斜率为3的直线方程为___________．(4,1)【答案】3110.x y --=【分析】知道直线过的点和直线的斜率，直接代入点斜式方程可得答案.【详解】经过点，斜率为3的直线方程为(4,1)()134,y x -=-化简得：3110.x y --=故答案为：3110.x y --=14．圆与圆的位置关系是___________．2260x y x +-=224x y +=【答案】相交【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据可确定两圆关系.2112r r d r r -<<+【详解】圆可化为，圆心为，半径；2260x y x +-=()2239x y -+=()3,013r =圆，圆心为，半径；224x y +=()0,022r =圆心距，，，∴3d =125r r +=211r r -=易得，两圆相交.2112r r d r r -<<+∴故答案为：相交.15．在数列{an }中，，若 的前n 项和为，则项数n ＝________.1(1)n a n n =+{}n a 20222023【答案】2022【分析】利用裂项求和法求得的前n 项和的表达式，由题意列出方程，求得答案.{}n a 【详解】由题意得，111(1)1n a n n n n ==-++1111112231n S n n ∴=-+-++-+ ＝＝，11n 1=-+1nn +20222023∴n ＝2022,故答案为：202216．已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则{}n a 76n a n =-{}n a ()27,7m m m b ___________．2b =【答案】336【分析】由题意可得求落在区间内项的个数，再根据通项公式列不等式求解即可.{}n a ()247,7【详解】由题意，即求满足的正整数的个数，即，247767n <-<n 2476776n +<<+，故，共个.3667777n +<<+()*8343,N n n ≤≤∈34381336-+=故答案为：336四、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线上．240x y --=(1)求该抛物线的方程；(2)若该抛物线上点A 的横坐标为2，求点A 到该抛物线焦点的距离．【答案】(1)216y x=(2)6【分析】（1）求出焦点坐标，设出抛物线方程，从而得到，求出及抛物线方程；22y px =42p =8p =（2）由焦半径公式进行求解.【详解】（1）中，令得：，240x y --=0y =4x =则焦点坐标为，故设抛物线方程为，()4,022y px =故，解得：，42p=8p =故抛物线方程为；216y x =（2）设点A 到该抛物线焦点的距离为，h 由抛物线的定义可知：.2462A ph x =+=+=18．已知在等差数列中，．{}n a 591,7a a ==-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和，则当n 为何值时取得最大，并求出此最大值．{}n a n S n S 【答案】(1)112n a n=-(2)当时，取得最大值，最大值为25.5n =n S 【分析】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式；（2）令，解不等式，求出当时，取得最大值，并用等差数列求和公式求出最0,0n n a a ><5n =n S 大值.【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 则，解得：，957414a d d a +=+==-2d =-则的通项公式为；{}n a ()()55125112n a a n d n n =+-=--=-（2）因为，N n *∈令得：，令得：，1120n a n =->15n ≤≤1120n a n =-<6n >故当时，取得最大值，5n =n S 其中，故最大值为.159,1a a ==()()155********a a S +⨯+===19．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.ABC ()5,1B AB 250x y --=(1)求直线的方程；AB (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．BC 250x y --=AC【答案】(1)2110x y +-=(2)6590x y --=【分析】（1）根据边上高所在直线与的位置关系可确定直线的斜率，又已知点，AB AB AB ()5,1B 所以可得直线的方程；AB （2）由（1）中的方程及边上的中线所在的直线过点，可求点的坐标，又设点，AB BC A A (),C a b 根据的中点在直线上及点在上列方程组可求解的BC 51,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭250x y --=C 250x y --=,a b 值，得点的坐标，从而可求直线的方程.C AC 【详解】（1）解：由边上的高在上可知，垂直于直线AB 250x y --=AB 250x y --=所以2AB k =-又，所以直线的方程为：，()5,1B AB 12(5)y x -=-即的方程为．AB 2110x y +-=（2）解：因为是边上的中线所在的直线，又的方程为250x y --=BC AB 2110x y +-=则联立，解得，故点坐标为．2+11=025=0x y x y ---⎧⎨⎩=4=3x y ⎧⎨⎩A ()4,3设点，则的中点在直线上，(),C a b BC 51,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭250x y --=所以，即①，5125022a b ++⨯--=210a b --=又点在上，则有②，C 250x y --=250a b --=联立①②解得，．1a =-3b =-即，所以，所以直线的方程为：(1,3)C --336145AC k --==--AC 63(4)5y x -=-即直线的方程为：．AC 6590x y --=20．已知圆，点在圆C 上．22:()3(R)C x y b b +-=∈(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆C 相切，且直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】(1)22(5)3x y +-=(2)或y x =5y x =-+【分析】（1）将代入圆的方程求解即可；（2）分直线l 过原点与不过原点两种情况设直线的方程，再结合直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列式求解即可.【详解】（1）因为在圆C 上，故，解得，故圆C的方程为23(5)3b +-=5b =.22(5)3x y +-=（2）当直线l 在x 轴、y 轴上的截距均为0时，此时圆C 圆心在y 轴上，故直线存在斜率.()0,5l 设直线l 的方程为，则到的距离，即，解得y kx =()0,50kx y -=d ()22531k =+的方程为.k=l y =当直线l 在x 轴、y 轴上的截距不为0时，设直线l 的方程为，即，则1x y a a +=0x y a +-=，即的方程为.5a -=5a =l 5y x =-+综上，直线l 的方程为或y =5y x =-+±21．已知数列中，，且对任意，都有．{}n a 12a =*n ∈N 121n n a a +=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前n 项和．()21n n b n a =⋅-{}n b n S 【答案】(1)121n n a -=+(2)1(1)22+=-⋅+n n S n 【分析】(1)构造等比数列求通项；(2)利用错位相减法求和.【详解】（1）由得，，121n n a a +=-()1121n n a a +-=-111a -=所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，{}1n a -所以，所以.111122n n n a ---=⨯=121n n a -=+（2）由（1）得，1222n n n b n n -=⋅=⋅因为，12n n S b b b =+++ 所以，1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ，231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ 以上两式相减得，121112(12)22222(1)2212n n n n n n n n n S +++-=+++-⋅=--⋅=-⋅-- 所以.1(1)22+=-⋅+n n S n 22．已知焦点在x 轴上，短轴长为C ，经过点．(2,1)A (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点M 、N 在椭圆C 上，且以MN 为直径的圆经过点A ，求点A 到直线MN 距离的最大值．【答案】(1)22163xy +=【分析】（1）利用待定系数法可求椭圆的标准方程.（2）可证直线过定点，从而可求点A 到直线MN 距离的最大值．MN 【详解】（1）设椭圆标准方程为，则且，22221(0)x y a b a b +=>>b =24113a +=故，故椭圆标准方程为：.26a =22163x y +=（2）若直线的斜率与直线的斜率均存在且非零，AM AN 故可设，.():21AM y k x =-+()1:21AN y x k =--+由可得，()2216321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩()()222124(12)21260k x k k x k ++-+--=故，故，()222126212M k x k --⨯=+()22221234421212M k k k x k k ----==++故.2224112M k k y k --+=+同理，，.222442N k k x k -++=+22422N k k y k +-=+故()()()()()222222222241(12)(42)2442(12)244MNk k k k k k k k k k k k k +--+-++-=+---+-++，42242213(1)312(1)3(1)232k k k k k k k k k k --+--+==--+--故直线的方程为：，MN 222222241314421223212k k k k k k y x k k k k ⎛⎫--+--+---=- ⎪+--+⎝⎭整理得到：，2222222231314422412322321212k k k k k k k k y x k k k k k k --+--+----+=-⨯+----++整理得到：，()()()()()()22222222314422412323123223212k k k k k k k k k k y x k k k k k ---+--+--+----+=+----+222313232232k k k x k k k k --+=+----222231231123232323k k k k x k k k k --+--+=-⨯-----，22312123233k k x k k --+⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭故直线过定点.MN 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭若直线的斜率与直线的斜率一个不存在，另一个则为零，AM AN 此时或，()()2,1,2,1M N --()()2,1,2,1M N --此时的方程为：，也过，MN 2x y =-21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线过定点.MN 21,33Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以为A MN =当且仅当即时取最大值.AQ MN ⊥11MN AQ k k =-=-。

连云港市第一学期高二期未考试数学试题（选修历史）（时间120分钟，满分160分)注意： 1．本试题满分160分，考试时间120分钟．2．答题前请将试卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题．参考公式：线性回归方程a bx y+=ˆ系数公式 x b y a xn xy x n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要 写出解答过程，请把正确答案填写在该题相应的横线上．1．写出命题：“013},101{>+-∈∃x x ，，”的否定为 . 2．曲线xe y x=在1=x 处的切线斜率为 .3．已知某市第一批免费接种甲型H1N1流感疫苗的大学生2000人，中学生4500人，小学生3500人.“疾控中心”要了解大中小学生接种疫苗的不良反应信息，从接种该疫苗的学生中，用分层抽样的方法抽取500人. 则中学生抽取 人.4．抛物线x y 42-=上某点到焦点的距离为5，则该点的坐标为 .5. 半径为2的圆内有一个封闭区域M ，经计算机模拟试验得知：向圆内随机撒豆子100粒，落在区域M 内的为60粒.以此估计区域M 的面积约为.6.某赛季甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，右图为其得分的茎叶图，则两名篮球运动员甲与乙得分的平均数之差为 .7．函数2)(x x f =在区间]5.2,2[上的平均变化率为 . 8．下列语句表示y 是x 的函数： Read xIf 0≥x Then y ←xElsey ← -x End If Print y题号 一 15 16 17 18 19 20 总分 得分则这个函数的解析式为 .9．与椭圆1154022=+x y 有相同焦点，离心率为35的双曲线方程为 . 10．右图为一个问题的算法流程图，其输出结果S = .11. 已知21,F F 为椭圆13422=+y x 的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于B A ,，则△1ABF 的周长为 . 12．某种设备的使用年限x （年）和所需维修费用y （万元）之间的n 组对应数据确定n 个点),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ；设0P 坐标为),(y x .下列命题中正确的是▲ .（将正确命题的序号都填上）①回归直线必定经过点0P ),(y x ；②回归直线至少经过),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P 中的一个点；③当b a ,使2222211)()()(n n y a bx y a bx y a bx Q -+++-++-+= 取最小值时，方程a bx y+=ˆ是拟合这组数据的线性回归方程. 13．函数 ) ]2,[(cos 2ππ2-∈-=x x x y 的单调增区间为 .14．已知“m x ≤≤1”是“0652≤+-x x ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 .小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知k 为实常数.命题p ：方程111222=-+-k y k x 表示椭圆；命题q ：方程13422=-+k y x 表示双曲线. （1）若命题p 为真命题，求k 的取值范围；（2）若命题p 、q 中恰有一个为真命题，求k 的取值范围.16．（本题满分14分）袋中有大小、形状都相同的红、黄、白球各一个，现依次有放回地摸取两次，每次摸一个球. （1）试列出两次摸球的所有可能情况；（2）设摸到一次红、黄、白球分别记2分、1分、0分，求两次摸球总分不少于3分的概率.17．（本题满分14分）Array质检部门对某工厂一批产品进行了抽检.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],（1）求样本中产品净重小于100克的频率；（2）已知样本中产品净重小于100克的件数是72，求样本中净重（单位：克）在[100，104)范围内的件数；（3）若这批产品共有10000件，试估计其中净重（单位：克）在[104，106] 范围内的件数.18．（本题满分16分）经试验证实，某型号的汽车每小时的耗油量y （升）与速度x （千米/小时）的关系式为2)0890(333+-=xx y .已知甲乙两地相距180千米，限速120千米/小时.（1）若车速为45千米/小时，求汽车从甲地到乙地的耗油量；（2）当车速为x （千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为)(x f （升），求函数)(x f 的解析式； （3）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少.19．（本题满分16分）)0,(m ，左、右准线分别为1:,1:21+=--=m x l m x l ，且21,l l 分别与直线x y =相交于B A ,两点.（1）若离心率为22，求椭圆的方程； （2）当7<⋅时，求椭圆离心率的取值范围.20．（本题满分16分）已知函数b ax x x f +++=23)(，)1(f 是其一个极值. （1）求实数a 的值；（2）求函数)(x f 的图象与x 轴公共点的个数；（3）]e ,1[∈∃x ，使x x x x f ln 83)(2+->成立，求实数b 的取值范围.（参考数据： 718.2=e ，952.218.2,683.197.233==）连云港市2009--2010学年度第一学期高二期未考试数学试题（选修历史）参考答案一、填空题1.∀013},101{≤+-∈x x ，，； 2．0； 3．225； 4. )4,4±-（；5. 7.5；6. 6.0；7. 5.4；8. ||x y =；9.116922=-x y ； 10. 2550； 11.8； 12.①③； 13. ]2,6[ππ-； 14. 3≥m 二、解答题15.解：（1）若命题p 为真命题，有⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-11201012k k k k 即k 的取值范围是1>k ------------6'（2）当p 真q 假时，⎩⎨⎧≥>31k k 即3≥k ， -----------------------------------------------------9'当p 假q 真时，⎩⎨⎧<≤31k k 即1≤k ， ------------------------------------------------------21'故所求的k 的取值范围是1≤k 或3≥k -----------------------------------------------------41'16．解(1) 两次摸球的所有可能情况为：红红，红黄，红白，黄红，黄黄，黄白，白红，白黄，白白； ------------------------------6' (2)设“两次摸球总分不少于3分”为事件A ，所有等可能的基本事件总数为9，事件A 中所含的基本事件数为3（红红，红黄，黄红） ----------------------------------21'3193)(==A P ,所求概率为31． ----------------------------------41'17．解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.3 -----------------------------4' (2)已知样本中产品净重小于100克的个数是72,设样本容量为n ,则3.072=n,所以024=n ,净重大于或等于100克并且小于104克的产品的频率为(0.150+0.125)×2=0.55,所以样本中净重大于或等于100克并且小于104克的产品的个数是240×0.55=132. ------------------------------------------------------ 01'(3) 净重（单位：克）在 [104，106] 内的频率为0.0750.152=⨯,则这批产品中净重（单位：克）在 [104，106] 内的个数估计有10000150015.0=⨯． ------------------------------------------------------41'18．解：(1)45=x , =+-=2)08459045(333y 1675,75.184********=⨯. 若车速为45千米/小时，汽车从甲地到乙地的耗油量为75.18升. ---------------------5'（2）)280190(540180)(32x x y x x f +-=⨯=，∈x ]120,0（. ----------------------01' （3）23332390901080)2902(540)(xx x x x f -⨯=-=' ----------------------21' 当90=x 时，0)(='x f ；当900<<x 时，0)(<'x f ；当12090≤<x 时，0)(>'x f 因此，当90=x 时，)(x f 有最小值.（为11.25）即当车速为90（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最少. --------------------61'19．解：（1）由已知得1,2+==m ca m c ，从而)1(2+=m m a ，mb =2 由22=e 得c b =，从而1=m ------4' 故1,2==b a ，得所求方程为1222=+y x --------------------6' （2）易得)1,1(----m m A ，),1,1(++m m B 从而),1,1(),1,12(+=⋅++=m m m故724)1(1222<++=+++=⋅m m m m ， --------------------01' 得10<<m ， -------------------21' 由此离心率mm m m ac e 111)1(+=+==，故所求的离心率范围为)22,0(. ---------------61'20解：（1）a x x x f ++='2)(2，0)1(='f 则03=+a ，3-=a （经检验符合题意）， ------4'（2）32)(2-+='x x x f =0，得3-=x 或1=x ，可得)(x f 在)3,(--∞和),1(+∞上递增，在)1,3(-上递减，9)3(+=-b f ，35)1(-=b f . --------------------7' 当9)3(+=-b f ＜0或35)1(-=b f ＞0 即9-<b 或35>b 时，函数)(x f 的图象与x 轴有一个公共点，当9)3(+=-b f =0或35)1(-=b f =0 即9-=b 或35=b 时，函数)(x f 的图象与x 轴有两个公共点，当9)3(+=-b f ＞0且35)1(-=b f ＜0 即359<<-b 时，函数)(x f 的图象与x 轴有三个公共点.------------------------------------------------------------------------------------01'（3）从x x x x f ln 83)(2+->得x x b ln 833+->，令x x x g ln 83)(3+-=， 则xx x x x g 3288)(-=+-='，从0)(='x g 得2=x ，---------------------------------------31')2,1[∈x 时0)(>'x g ，],2(e x ∈时0)(<'x g ，又 )1(038)(,31)1(3g e e g g >>-=-=，31)1()(min -==g x g ，当min )(x g b >时满足题意.所求的实数b 的取值范围是31->b .-------61'。

2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞02．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0} 3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b210．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2 12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为．（参考数据：log52≈0.43）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1＞0，故选：D．2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．故选：B．3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣）＝cos＝cos（2）＝cos＝．故选：D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人解：设同时爱好这两项的人最少有a人，作出韦恩图：∵某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，∴22﹣a+a+28﹣a＝45，解得a＝5．故选：B．5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解：∵30.2＞30＝1，log30.3＜log31＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＜c＜a．故选：D．6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+解：由表格中数据作出散点图：由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢，故选：C．7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，由f（x）＝0得x＝0或sin x＝0，即x＝π是右侧第一个零点，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，则不等式|f（2sin x+1）|≤1，即﹣1≤f（2sin x+1）≤1，即f（0）≤f（2sin x+1）≤f（3），又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以0≤2sin x+1≤3，即﹣≤sin x≤1，结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．故选：D．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b2解：对于A：若c＞0时，不等式成立，当c＜0时，不等式不成立，故A错误；对于B：由于a＞|b|，则a2＞b2，故B正确；对于C：由于a＞b＞0，则＞，故C正确；对于D：当a＝﹣5，b＝1时，不等式不成立，故D错误；故选：BC．10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；对于C，log xn y m＝＝＝log x y，故C正确；对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．故选：BCD．11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝A sin（ωt+φ）+B（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），由题意，h max＝6，h min＝﹣2，∴，解得，∵T＝＝60，∴ω＝，则h＝4sin（+φ）+2．当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ＝﹣，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣．h＝，故D错误；令h＝＝6，∴sin（）＝1，得t＝20秒，故A正确；当t＝155秒时，h＝4sin（）+2＝4sin5π+2＝2米，故B正确；当t＝50秒时，h＝4sin（）+2＝4sin+2＝﹣2，故C正确．故选：ABC．12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝﹣2．解：f（1）＝21+2＝4，所以．故答案为：﹣2．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．．解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，）．解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝﹣；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为8．（参考数据：log52≈0.43）解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P＝P0•e kt，∴（1﹣80%）P0＝P0•e4k，得0.2＝e4k，即k＝﹣，由0.25%P0＝P0•e kt，得0.0025＝﹣，∴t＝＝4log5100＝8（1+log52）＝11.44．故整数n的最小值为12﹣4＝8．故答案为：；8．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．解：sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝，若选①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；可得tan＝﹣，原式＝＝﹣．若选②tan（﹣α）＝，可得tanα＝，原式＝＝﹣．若选③3sinα+4cosα＝0，tanα＝﹣，原式＝＝．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．解：A＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|log2（x﹣1）≤log24}＝{x|1＜x≤5}，B＝＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，（1）若a＝1时，B＝[0，2]，A∪B＝[0，5]；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件，即B⊆A，即，解得：2＜a≤4，综上所述：a的取值范围（2，4]．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意得，y＝（6+）p﹣x﹣（10+2p），把p＝3﹣代入得，y＝22﹣（0≤x≤10）；（2）y＝24﹣（）≤24﹣2＝16，当且仅当，即x＝2时取等号，所以促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为16万元．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．解：（1）根据题意：函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R），令t＝sin x，（﹣1≤t≤1），则g（t）＝2t2﹣at﹣a﹣1（﹣1≤t≤1），①当时，即a≤﹣4，f（a）＝，所以无解．②当时，即﹣4＜a≤4，f（a）＝，即a2+8a+12＝0，所以a＝﹣2或a＝﹣6（舍去），③当时，即a＞4时，，所以a＝，（舍去），综上所述：a＝﹣2．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝，当sin x＝1时，即x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为5．即当{x|x＝2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得＝5﹣1，∴ω＝，根据五点法作图，可得×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2cos（x+）的图象；再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，∴m≥2．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，所以，又因为y＝log2x在上为增函数，所以，所以在恒成立，即对恒成立，即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，所以，故，解得，所以a的最小值为；（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，即，可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；②当a﹣2≠0，即a≠2时，，1°当，即时，符合题意；2°当，即a≠﹣2且时，要满足题意，则有或，解得；综上可得，a的取值范围为．。

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（七）数学试题一、单选题 1．若经过两点,6A m 和1,3B m 的直线的斜率是12，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【分析】由两点间连线的斜率公式即可求解． 【详解】解：因为直线经过两点,6A m 、1,3B m 且直线的斜率是12，所以63121mm ，解得2m =- 故选：D ．2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（ ） A ．28 B ．26C ．24D ．20【答案】A【分析】根据题意利用等差等比中项公式得到方程组，解之即可； 【详解】依题意，设这四个数分别为,,12,16x y y x --，则2(12)2(16)(12)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或159x y =⎧⎨=⎩， 所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28． 故选：A ．3．已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（ ） A ．2y = B ．10x y -+= C ．1x = D ．2y =或10x y -+=【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩，将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=， 则248Δ()4(4)01k kk=---=⇒=， 此时:2110l y x x y -=-⇒-+=． 综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=． 故选：D ．4．如图，圆228x y +=内有一点()012P -,，AB 为过点0P 的弦，若弦AB 被点0P 平分时，则直线AB 的方程是（ ）A ．250x y ++=B ．250x y -+=C ．250x y --=D ．2150x y +-=【答案】B【分析】根据题意得到直线AB 与直线0OP 垂直,求出直线0OP 的斜率,可得直线AB 的斜率,点斜式即可确定AB 的方程.【详解】当弦AB 被点0P 平分时，直线AB 与直线0OP 垂直， 因为020210OP k -==---，所以12AB k =，则直线AB 的方程为()1212y x -=+，即250x y -+=． 故选:B .5．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆22185x y +=中，c，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=， 所以双曲线的方程为：22135x y -=． 故选：A.6．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（ ） A ．e 2 B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可. 【详解】因为f (x )＝x ln x ，所以()ln 1f x x '=+， 由00()ln 12f x x '=+=，解得0x e =. 故选：B.7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( ) A ．2升 B ．6766升 C ．3升 D【答案】D【详解】现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列， 上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，∴2111678111··3··9a a q a q a q a q a q ⎧=⎨=⎩，解得1a q =3q =∴第5节的容积为：433611333a q a q q ===．故选：D ．8．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-【答案】B【解析】根据函数2(1)1ax y x x =>-，求导211(1)y a x ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦'，然后根据开区间上唯一的极值点为最值点，结合函数在区间(1,)+∞上的最大值为4-求解. 【详解】因为函数2(1)1ax y x x =>-， 所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-， 此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0'>y ，当2x >时，0'<y ， 所以当2x =时y 取得最大值4-， 故选：B.二、多选题9．若圆C 23100x y +-=与圆C 相切于点()2,2P ，则圆的方程是（ ） A ．()22113x y +-= B ．()22113x y ++= C ．()()224513x y ++-= D ．()()224513x y -+-=【答案】BD【分析】由直线与圆相切及点在圆上，结合待定系数法得到方程组，解之即可. 【详解】根据题意，设圆的标准方程为()22()13x a y b -+-=，圆心坐标为(),a b ，过圆心且过切点的直线与直线23100x y +-=垂直，得22123b a -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，即322a b -=①， 由点()2,2P 在圆上得()()222213a b -+-=②，将①②联立得()()223222213a b a b -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或45a b =⎧⎨=⎩， 故所求圆的方程为()22113x y ++=或()()224513x y -+-=． 故选：BD ．10．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确 又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC11．已知方程22121x y m m -=++，下列说法错误的是（ ）A ．当21m -<<-时，此方程表示椭圆B ．此方程不可能表示圆C ．若此方程表示双曲线，则2m <-D ．当2m <-时，此方程表示双曲线【答案】ABC【分析】分别列出方程22121x y m m -=++表示椭圆，圆，双曲线的条件，推出 m 的范围与取值，判断选项的正误即可.【详解】若该方程表示椭圆，则201021m m m m +>⎧⎪+<⎨⎪+≠--⎩，33(2,)(,1)22m ∴∈--⋃--，故A 错误;若该方程表示是圆，则21m m +=--，32m ∴=-，即当32m =-时，此方程表示圆，故B 错误;若该方程表示是双曲线，则(2)(1)0m m ++>，1m ∴>-或2m <-，故C 错误；当2m <-时，20,10m m +<+<，方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，故D 正确；故选：ABC.12．下列说法正确的是（ ）A ．截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示B ．方程()20x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C ．经过点()11P ，，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D ．经过两点()111P x y ，，()222P x y ，的直线方程()()()()2112110y y x x x x y y -----= 【答案】BD【分析】A ．当直线过原点时，无法表示；B ．当0m =时，满足条件；C ．当倾斜角为90︒时，无法表示；D ．结合两点式方程进行判断即可.【详解】解：对于A ，截距相等为0的直线都不可以用方程1x ya a+=表示，故错误；对于B ，当0m =时，方程()20x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线2x =，故正确；对于C ，经过点()11P ，，倾斜角为90θ=︒的直线方程不能写成()1tan 1y x θ-=-，故错； 对于D ，经过两点()111P x y ，，()222P x y ，的直线均可写成()()()()2112110y y x x x x y y -----=，故正确． 故选：BD ．三、填空题13．设k 为实数，若直线:13l yk x 不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【分析】根据直线不经过第四象限，得到不等关系，求出k 的取值范围.【详解】直线:13l yk x 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l ykx k ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦14．方程22121x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是________.【答案】{1k k <或}2k >【分析】根据方程22121x y k k +=--表示双曲线，可知()()210k k --<，从而可求实数k 的取值范围【详解】∵方程22121x y k k +=--表示双曲线，∴()()210k k --<，解得1k <或2k >， ∴实数k 的取值范围是{1k k <或}2k >， 故答案为：{1k k <或}2k >15．我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？通过计算可知，塔顶的灯数为_____________． 【答案】3【分析】设第n 层塔的红灯盏数为n a ，由题意知{}n a 为公比为12的等比数列，根据7381S =求出首项得通项公式，再计算7a 可得答案.【详解】设第n 层塔的红灯盏数为n a ，由题意知，{}n a 为公比为12的等比数列，且7381S =，则()71711a q S q -=-，即71112381112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =， 则6671119232a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，从而可知塔顶有3盏灯． 故答案为：3.16．对于函数()f x ，若()02f x '=，则000()()limh f x h f x h h→+--=_____．【答案】4【分析】由导数定义构造计算可以得到结果. 【详解】[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--又0000()()lim()h f x h f x f x h →+-'=，()()()()()0000000lim lim h h f x f x h f x h f x f x h h→-→---=-'-∴=0000()()lim2()4h f x h f x h f x h→+--'∴==故答案为:4.四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）记12111n nT S S S =++⋯+，求n T 【答案】（1）21n a n =+，(2)n S n n =+；（2）32342(1)(2)n n n +-++. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合3577,26a a a =+=，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前n 项和公式求出n a 及n S ；（2）利用裂项相消法可以求出n T . 【详解】1）设等差数列{}n a 的公差为d ，311571273210262a a d a a a a d d =+==⎧⎧∴∴⎨⎨+=+==⎩⎩ ()121,(2)2n n n n a a a n S n n +∴=+==+ （2）由（1）知：11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭123111111*********2n n T S S S S n n ⎛⎫∴=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭11113231221242(1)(2)n n n n n +⎛⎫=+--=-⎪++++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了裂项相消法求数列前n 项和，考查了数学运算能力.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(A ，且a =.直线 :l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N两点.（1）当1k =时，求实数m 的取值范围；（2）当2m k =-时，AMN 的面积为4，求直线l 的方程. 【答案】（1）m -<（2）直线l 的方程为0y =.【解析】（1）先根据题中已知条件求出椭圆的方程，再与:l y kx m =+联立，令0∆>即可求解； （2）椭圆方程与直线:l y kx m =+联立，由根与系数的关系求出12x x +和12x x ，利用弦长公式求出MN，利用点到直线的距离公式求出点(A 到直线:2l y kx k =-距离，将面积表示出，解方程即可得k 得值，进而得出直线l 的方程.【详解】由题意可得22222421a abc a b ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得：22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆22:184x y C +=，设()11,M x y ，()22,N x y由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222214280k x kmx m +++-=， （1）当1k =时，2234280x mx m ++-=，若直线与椭圆有2个交点，则()221612280m m ∆=-->，解得：m -< 所以实数m的取值范围为m -<（2）当2m k =-时，()222214280k x kmx m +++-=即()2222218880kx k x k +-+-=2122821k x x k +=+，21228821k x x k -=+，12MN x =-)22121k k +==+， 点(A 到直线:2l y kx k =-距离为d ==，所以AMN的面积为)2211142221k MN d k +⨯⨯=⨯=+，即(22121k k +=+221k =+，两边同时平方得42430k k +=，解得0k =，所以0m =，且0k =时，()2222218880k x k x k +-+-=即为280x -=满足直线与椭圆有2个交点，所以直线l 的方程为：0y =.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正确求出椭圆的标准方程，直线与椭圆交于两点等价于直线与椭圆方程联立消元后的一元二次方程判别式0∆>，关键是正确求出弦长MN和点(A 到直线:2l y kx k =-距离，化简运算得过程要仔细认真，属于中档题. 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52254S S =，221n n a a =+，N n *∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3n n b =，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.n T【答案】(1)21n a n =-，()*N n ∈(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由错位相减法求解即可【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由52254S S =，221n n a a =+，*N n ∈， 可得()()()11112551024212211a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎪+-=+-+⎩解得112a d =⎧⎨=⎩因此21n a n =-，()*N n ∈；（2）由（1）知()213nn c n =-，()23133353213n T n n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅，①()23413133353...213n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅，②①-②得()231213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅()()23132333213n n n +=+⨯+++--⋅()()()211131332213622313n n n n n -++-=+⨯--⋅=---⋅-，()1133n n T n +∴=-⋅+20．已知函数()1n )l (f x x a x a x=--∈R（1）若函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，12x x >不等式()12f x mx <恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)0,+∞. 【分析】（1）由题意得出21()10a f x x x '=+-≥对2x >恒成立，即1a x x≤+对2x >恒成立，求出1x x +的最大值，得出a 的取值范围； （2）根据一元二次方程根的分布求出2a >，111a x x =+，结合()12f x mx <得出22111(1)ln 1m x x x >-+-，构造函数22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，利用导数得出()(1)0g x g <=，从而得出实数m 的取值范围.【详解】解（1）21()10a f x x x '=+-≥对2x >恒成立，即1a x x≤+对2x >恒成立， 令1(),2h x x x x=+>，2(1)(1)()0x x h x x -+'=>，即()h x 在2,上递增，15222a ∴≤+=， 故a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （2）2221(1)1a f x x x x ax x '=-+=+- 若()f x 有两极值点，即210x ax -+=在0,上有两根1x ，2x ，12x x >，则212124001a x x a x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=⎩. 2a ∴>，111a x x =+， 12x x >，11x ∴>，201x <<，12()f x mx <，22211111111()ln 1(1)ln 1m x f x x ax x x x x ∴>=--=-+-，令22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，1()2ln g x x x x x'=--， 令1()2ln h x x x x x =--，21()2ln 1h x x x '=--， 1x >，2110x ∴-<，()0h x '∴<， ()(1)0h x h ∴<=，即()0,g x '<()g x ∴在1,递减，()(1)0g x g <=，0m ∴≥，故m 的取值范围为[)0,+∞.21．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值．【答案】(1)28y x =(2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可.【详解】（1）设点)(00,M x y ，则06y p =(2062p px =，解得03x =． 因为03522p p MF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =． （2）由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x =+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=． 所以212284k x x k -+=，124x x =， 且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <． 所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y y k k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------)(12121228024x x k x x x x -==-++ 所以12k k +的值为0．22．已知函数()e x f x ax =+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，不等式()sin 1f x mx x ≥-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,3]-∞【分析】(1)求出()f x 的导数()'f x ，分当0a ≥，当a<0的情况讨论，可得()f x 的单调性；(2)可构造函数()e sin 1x g x x mx x =+-+-，利用(0)0g =，判断()g x 单调性，即可得出m 的取值范围.【详解】解：（1）()'x f x e a =+，当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，由()'0x f x e a =+>得，ln()x a >-，则函数()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(,ln())a -∞-上单调递减.综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(,ln())a -∞-上单调递减.（2）设()e sin 1x g x x mx x =+-+-，()1cos x g x e m x '=+-+，设()()h x g x '=，()[)sin 0,0,x h x e x x >'=-∈+∞上恒成立，所以()g x '在[0,)+∞为增函数，(0)3g m '=-，若3,()(0)0,()m g x g g x ''≤≥≥在[0,)+∞上单调递增，所以()0g x ≥恒成立，即()sin 1f x mx x ≥-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立；若3,(0)30m g m '>=-<，()()()ln2'ln 21cos ln 21cos ln 20m g m e m m m m =+--=+->，存在0(0,ln 2)x m ∈，使得000()0,(0,),()0g x x x g x ''=∈<，()g x 单调递减，所以0(0,),()(0)0x x g x g ∈<=，此时不等式()sin 1f x mx x ≥-+不成立，不合题意，所以实数m 取值范围是(,3]-∞.【点睛】证明不等式恒成立要注意端点函数值，尤其是端点取等号时的端点效应，经常作为解题的突破口.。

2022-2023学年江苏省连云港市海头高级中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．过两点()2,4-和()41-,的直线在y 轴上的截距为（ ） A ．145B ．145-C ．73D ．73-【答案】C【分析】求出直线方程，令x ＝0，即可求出纵截距. 【详解】由题可知直线方程为：()()411424y x --+=⋅---，即()5416y x =---， 令x =0，则73y =，故直线在y 轴上的截距为73.故选：C.2．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 A ．41.1 B ．51.1C ．610(1.11)⨯-D ．511(1.11)⨯-【答案】D【分析】利用等比数列的求和公式即得.【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；52551(110%)[1(110%)]1(110%)1(110%)1(110%)11(1.11)1(110%)⋅+-+⋅++⋅+++⋅+==⨯--+.故选：D3．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（ ）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=【答案】A【分析】由渐近线方程可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，再由点在双曲线上，将点代入求参数m ，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，又()在双曲线上，所以36319m =-=-，则双曲线的方程是2219y x -=. 故选：A4．过圆x 2+y 2＝5上一点M （1，﹣2）作圆的切线l ，则l 的方程是（ ） A ．x +2y ﹣3＝0 B ．x ﹣2y ﹣5＝0 C ．2x ﹣y ﹣5＝0 D ．2x +y ﹣5＝0【答案】B【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可. 【详解】解：由题意：点M （1，﹣2）为切点，则1OM l k k ⋅=-，20210OM k --==--， 解得：12l k =， ∴l 的方程：1(2)(1)2y x --=-，整理得：250x y --=， 故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于1-，是基础题. 5．已知函数()2ln af x x x x=-+在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．(),1∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【分析】由题意转化为()0f x '≤，0x >恒成立，参变分离后转化为()2max2a x x≥-+，求函数()()22,0g x x x x =-+>的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是()0,∞+， ()222221a x x af x x x x-+-'=--=， 若函数()f x 在定义域内单调递减，即220x x a -+-≤在()0,∞+恒成立，所以22a x x ≥-+，0x >恒成立，即()2max2a x x≥-+设()()22211g x x x x =-+=--+，0x >， 当1x =时，函数()g x 取得最大值1，所以1a ≥. 故选：D6．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ） A ．6766升 B ．176升 C ．10933升 D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ， 设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=， 即第5节竹子的容积为6766升． 故选：A ．7．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，若圆22:(4)(3)1C x y -+-=上存在点M 是线段AB 的中点，则线段AB 长度的最小值为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C【分析】首先求点M 的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数t 的取值范围.【详解】设AB t =，()0t >，AB 的中点为M ，则1122OM AB t ==， 故点M 的轨迹是以原点为圆心，12t 为半径的圆，问题转化为圆:M 22214x y t +=与圆()()22:431C x y -+-=有交点，所以111122t MC t -≤≤+，5MC =，即11521152t t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得：812t ≤≤，所以线段AB 长度的最小值为8. 故选：C8．设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，则不等式24(2022)(2022)(2)0f x x f ---<的解集为（ ）A ．(0,2023)B ．(2022,2024)C ．2022(,)+∞D ．(,2023)-∞【答案】B【分析】构造函数2()()f x g x x =，根据()2()xf x f x '>得到2()()f x g x x =的单调性，在变形不等式由单调性求解即可.【详解】由题知，函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->， 设2()()f x g x x =， 所以243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为24(2022)(2022)(2)0f x x f ---<， 所以22(2022)(2)(2022)2f x f x -<-，所以2022020222x x ->⎧⎨-<⎩，解得20222024x <<，所以不等式24(2022)(2022)(2)0f x x f ---<的解集为(2022,2024)， 故选：B二、多选题9．若在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2 B ．－2C ．4D ．－4【答案】CD【分析】由等比数列的性质，即可求解.【详解】由条件可知，11a =，5256a =，所以4256q =，解得：4q =±. 故选：CD10．若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（ ） A ．3x = B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【答案】AC【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程.【详解】圆的标准方程为：()()22415x y -+-=，由题意圆心到直线l的距离1d == ①当直线的斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心到直线的距离1d =，符合题意， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为()13y k x +=-，即130kx y k ---=，圆心到直线的距离为1d ==，解得34k =，则直线方程为34130x y --=， 综上，直线 l 的方程为3x =或34130x y --=． 故选：AC ．11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =- 【答案】AC【解析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D 选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q <⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q -=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q >⎧⎨>⎩，解得1q >，则110n n a a q -=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=， 由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 12．已知函数()2ln f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．存在()0x ∈+∞，，使得()0f x < B ．函数()y f x x =-有且只有一个零点 C ．存在正数k ，使得()0f x kx ->恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分析函数的单调性及最值可检验选项A ； 求得()y f x x =-的导数可得单调性, 计算1,2x x ==的函数值，可判断选项B ；由参数分离和构造函数求得导数判断单调性，可判断选项C ；构造函数()(2)(2)g t f t f t =+--，结合导数分析()g t 的性质，结合已知可分析12x x +的范围即可判断选项D. 【详解】22122()x f x x x x-'=-=，易得， 当02x << 时，()0f x '<，函数单调递减， 当 2x > 时，()0f x '>，函数单调递增，故函数在2x =处取得极小值也是最小值(2)1ln 20f =+>， 不存在,()0x ∈+∞，使得()0f x <, 故选项A 错误；()y f x x =-的导数为22222191222410x x x y x x x x ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=--==-<恒成立, 所以 ()y f x x =-递减，且(1)110f -=>，(2)21ln 22ln 210f -=+-=-<，可得 ()y f x x =- 有且只有一个零点，介于(1,2), 故选项B 正确；()f x kx > 等价为 2ln 0x kx x+-> ，设()2ln e h x x x =>，则()10h x x '=， 故()h x 在()2e ,+∞上为减函数，故()2lne e 2e 0h x <-=-<，故2ln e x x <>，故当22max e ,x ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬⎝⎭⎪⎪⎩⎭，2ln 20x kx kx x +-<-<，所以()k g x <不恒成立，故选项C 错误； 设(0,2)t ∈，则2(0,2),2(2,4)t t -∈+∈， 令22242()(2)(2)ln(2)ln(2)ln 2242t t g t f t f t t t t t t t+=+--=+--+-=++---， 则 ()()222222241648()0444t t g t t t t --'=+=-<---， 故()g t 在(0,2)上单调递减，()(0)0g t g <=，不妨设12x t =-，因为()()12f x f x =，所以22x t >+， 则12224x x t t +>-++=，故选项D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查导数的运用，求单调性和极值、最值，以及函数的零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题.三、填空题13．已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫⎪⎝⎭'______．【答案】4【详解】试题分析：因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1'()(tan )'()'cos cos cos x x x f x x x x x+====，所以21'()43cos 3f ππ== 【解析】1．导数的运算；14．两条平行直线433x y ++＝0与869x y +-＝0的距离是________. 【答案】32【解析】将直线869x y +-＝0化为94302x y +-=，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】可将直线869x y +-＝0化为94302x y +-=， 所以两条平行直线间的距离为229323243⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+. 故答案为：32.【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题.15．已知圆221O x y +=：，圆()()2241M x a y a -+-+=：.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为,A B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围为________. 【答案】222,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP 的距离，再由题意得到关于a 的不等式求得答案.【详解】解：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ， 过点P 作圆O 的两条切线，切点为,A B ，使得60APB ∠=︒， 则30APO ∠=︒，在Rt PAO ∆中，=2PO ， 又圆M 的半径等于1，圆心坐标(),4M a a -，min 1PO MO ∴=-，max 1PO MO =+，()224MO a a =++，∴由()()222241241a a a a ++-≤≤+++，解得：222222a -≤≤+. 故答案为：222,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键.16．已知函数2(1)e 1,0()2,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，（e 是自然对数的底数），若函数()()10f f x a -+=有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()0,1【分析】利用导函数画出()f x 的图像，由图像可得当(())1f f x a -=-时，()1f x a 或1-，再利用图像求()1f x a =±有四个交点时a 的范围即可.【详解】令()(1)e 1(0)x g x x x =+-≤得()(2)e x g x x '=+， 所以()g x 在(,2)-∞-单调递减，在(2,0]-单调递增， 且当x →-∞时()1g x <-，2(2)e 11g --=--<-，(1)1g -=-， 所以()f x 图像如图所示：由图像可得令()1f t =-解得1t =或1-， 令()f x k =，由图像可得当0k >时，有一个解；当0k =时，有两个解；当10k -<<时有三个解；当1k =-时有两个解；当2e 11k ---<<-时有两个解；当2e k -=-时有一个解；当2e k -<-时，无解； 所以当()f x t a =+有四个不同的解时，(0,1)a ∈， 故答案为：()0,1四、解答题17．已知函数32()f x x ax =-，a ∈R ，且(1)3f '=．求： (1)a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)函数()f x 在区间[]0,2上的最大值． 【答案】(1)320x y --= (2)8【分析】（1）由题意，求出a 的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数()f x 在区间[0,2]上的单调性，从而即可求解. 【详解】（1）由题意，2()32f x x ax '=-， 因为()13f '=，所以23123a ⨯-=，解得0a =， 所以3()f x x =，2()3f x x '=， 因为(1)1f =，(1)3f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()131y x -=-，即320x y --=； （2）因为2()30f x x '=≥，且[0,2]x ∈， 所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以max ()(2)8f x f ==，即函数()f x 在区间[0,2]上的最大值为8.18．在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）2(1)nn +.【分析】（1）由21(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同除以n （n +1）可得：121n n a a n n +-=+，且141a=，即可证得． （2）由（1）可得：22na n n =+，可得1111()21na n n =-+，再利用裂项求和方法即可得出． 【详解】（1）在数列{}n a 中，满足21(1)22n n na n a n n +-+=+，同时两边除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，且141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，以2为公差的等差数列. （2）由（1）得，()4+2122n a n n n=-=+，所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-===-+++， 所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-+⋯+-+1111111[(1)()]223231n n =+++⋯+-++⋯++11(1)212(1)n n n =-=++. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．已知圆F : 22(3)1x y ++=，直线:2,l x =动圆M 与直线l 相切且与圆F 外切.(1)记圆心M 的轨迹为曲线C ， 求曲线C 的方程；(2)若直线260x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长.【答案】(1)212y x =-(2)15【分析】（1）设(,)M x y ，用坐标表示题设条件化简可得；（2）设交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程与曲线C 方程联立消元，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式求得弦长．【详解】（1）设(,)M x y ，显然点M 在直线2x =左侧，22x x -=-，12x =+-123x x =+-=-，平方整理得212y x =-，所以M 的轨迹方程是212y x =-；（2）联立方程组212260y x x y ⎧=-⎨-+=⎩，化简得，++=2x 9x 90， 设直线260x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则129x x +=-，129x x ⋅=，15AB .20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为78,13,64n S a S ==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-(2)13(1)3n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组，求解1,a d ，即可得通项公式；（2）利用错位相减法代入计算{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1116131828642a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-； （2）由（1）得(21)3n n b n =-，∴121333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅，23131333(21)3n n T n +=⨯+⨯++-⋅.∴1212132323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⋅()12123333(21)3n n n +=+++---⋅162(1)3n n +=---⋅.∴13(1)3n n T n +=+-⋅21．淮北市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前淮北市的空气质量位列全省前列，吸引了大量的外地游客。

2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分 选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立， 又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分 （2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍） 故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=， 即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ， 即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ， 直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ， 进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期9月期初检测数学试题一、单选题1．直线20y +=的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．4π，1 B ．0，0 C ．2π，不存在 D ．不存在，不存在 【答案】B【分析】由倾斜角和斜率的定义求直线20y +=的倾斜角和斜率. 【详解】由倾斜角定义可得直线20y +=的倾斜角为0， ∴直线20y +=的斜率为0， 故选：B.2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）． A ．(2,0)-，2 B ．(2,0)，2 C ．(2,0)-，4 D ．(2,0)，4【答案】B【详解】2240x y x +-=， 即222(2)42x y -+==， 故圆心为(2,0)，半径为2． 故选B ．3．直线l 过点P （2，﹣1）且在两坐标轴上的戴距之和为0，则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ﹣3＝0 B ．x +2y ＝0或x ﹣y ﹣3＝0 C ．x +2y ＝0 D ．x +2y ＝0或x +y ﹣1＝0【答案】B【分析】根据直线l 是否过原点进行分类讨论，由此求得正确结论. 【详解】当直线l 过原点时，直线方程为1202y x x y -=⇒+=符合题意. 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=-， 将P 点坐标代入得2113a a a +=⇒=，13033x yx y -=⇒--=.所以直线l 的方程为20x y +=或30x y --=. 故选：B4．“m =2”是“直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直的等价条件，再结合已知借助充分条件、必要条件的定义即可判断作答.【详解】“直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直”等价于：1[(2)]0m m m ⋅+⋅-+=⇔2201m m m --=⇔=-或2m =，于是有：当m =2时，直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直，当直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直时，m 值可以是-1，即2m =不一定成立， 所以“m =2”是“直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直”的充分不必要条件. 故选：A5．若点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3a <- B ．3a >- C ．32a -<< D ．23a -<<【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件. 【详解】因为点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部， 所以14240a ++-+>， 解得3a >-，又方程22220x y x y a +--+=表示圆， 所以22(2)(2)40a -+-->， 解得2a <，故实数a 的取值范围为32a -<<． 故选：C6．在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0， 所以11d ==，22d ==，解之得k ＝0或43k =-，所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B.7．直线22(1)10ax a y -++=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[-,]44ππB ．5[,]66ππC ．3[0,][,)44πππ⋃D ．5[0,][,)66πππ⋃ 【答案】C【分析】设直线22(1)10ax a y -+-=的倾斜角为θ，可得22tan 1aa θ=+，根据正切函数的性质可得结果.【详解】直线22(1)10ax a y -++=， 所以直线的斜率22tan 1ak a θ==+， 又2120aa ，所以1tan 1θ-，又[0,),θπ∈所以3[0,][,).44ππθπ∈⋃故选：C .8．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有（ ）个. A ．2 B ．3 C ．5 D ．7【答案】D【分析】根据已知两圆相离，根据圆与圆相切的定义利用待定系数法求出满足条件的圆即可.【详解】圆1O ：22(2)1x y ++=的圆心为1(2,0)O -，半径11r =，圆2O ：22(2)1x y -+=的圆心为1(2,0)O ，半径11r =，设圆3O ：()22()9x a y b -+-=与圆1O ，圆2O 都相切， 当圆3O 与圆1O ，圆2O 都外切时，则313231O O O O ，所以22216ab ，22216a b ，所以0a =，b =±所以圆3O 的方程为22(9x y ++=或22(9x y +-=， 当圆3O 与圆1O ，圆2O 都内切时，则313231O O O O ，所以2224ab ，()2224a b -+=，所以0a =，0b =，所以圆3O 的方程为229x y +=，当圆3O 与圆1O 外切，与圆2O 内切时，则31323131O O O O ，，所以22216ab ，()2224a b -+=，所以32a =，152b ，所以圆3O 的方程为22392x y ⎛⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭或22392x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 当圆3O 与圆1O 内切，与圆2O 外切时，则31323131O O O O ，，所以2224ab ，22216a b ，所以32a =-，152b，所以圆3O 的方程为22392x y ⎛⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎝⎭或22392x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以满足条件的圆共7个， 故选：D .二、多选题9．已知直线1:230l ax y a ++=和直线()2:3170l x a y a +-+-=，下列说法正确的是（ ） A ．当3a =时，12l l // B ．当2a =-时，12l l //C ．当25a =时，12l l ⊥ D ．直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()2,1-【答案】ACD【分析】根据两直线垂直和平行的判定，以及将直线一般式换成斜截式、点斜式判断过定点问题，上述过程中注意区分a 等于1和不等于1的情况. 【详解】对A 和B ，如果12l l //，则1l 和2l 的斜率相等，1a ≠时321a a -=--，26a a -=，解得3a =或2a =-.当1a =时，1:230l x y ++=，2:2l x =-，两直线既不平行也不垂直. 当3a =时，1:3290l x y ++=，2:3240l x y ++=，，A 对. 当2a =-时，1:30l x y -+-=，2:30l x y -+-=，，B 错.对C ， 当25a =时，121525k =-=-，235215k =-=-，221k k ⋅=-，所以 12l l ⊥，C 对.对D ，1:230l ax y a ++=转化为斜截式为()32a y x =--，即()032ay x -=--，所以1l 过定点()3,0-.同理，()2:3170l x a y a +-+-=，1a ≠时转化为斜截式为()3211y x a =--+-，即()3121y x a -=---，2l 过定点()2,1-；1a =时，2l 为2x =-，也过定点()2,1-，D 对. 故选：ACD.10．下列说法正确的有（ ）A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αB ．点()1,2-关于直线1y x =+的对称点为()1,0C ．圆()()()222130x y r r -+-=>与圆2216x y +=可能内含、内切或相交D ．若圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y r r -++=>相离，则04r <<【答案】BC【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A ，设对称点的坐标为(),a b ，依题意得到方程组，解得a 、b ，即可判断B ，求出两圆心之间的距离，即可判断C 、D ；【详解】解：对于A ：当直线的倾斜角90α=︒时，直线的斜率不存在，tan90︒无意义，故A 错误；对于B ：设点1,2关于直线1y x =+对称的点的坐标为(),a b ，则211121122b a b a -⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，故对称的点的坐标为()1,0，故B 正确；对于C ：圆()()()222130x y r r -+-=>的圆心为()1,3，半径为r ，圆2216x y +=的圆心为()0,0，半径为4，所以圆心之间的距离4d r <+，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C 正确；对于D ：圆221:1C x y +=圆心()10,0C ，半径为1，圆()()()2222:340C x y r r -++=>圆心()23,4C -，半径为r ，若两圆相离，因为125C C ==，所以121C C r >+或121C C r <-，所以04r <<或6r >，故D 错误. 故选：BC11．圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1+ 【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-， 整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB ==C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d =，又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确. 故选：ABD.12．平面直角坐标系xOy 中，点()3,6P ，圆22:9O x y +=与x 轴的正半轴交于点Q ，则（ ）A ．点P 到圆O 上的点的距离最大值为3B ．过点P 且斜率为1的直线被圆O 截得的弦长为C ．过点P 与圆O 相切的直线方程为34150x y -+=D ．过点P 的直线与圆O 交于不同的两点A ，B ，则直线QA ，QB 的斜率之和为定值-1 【答案】ABD【分析】对于A ，点P 到圆心O 的距离与半径之和即为点到圆上点的最大值，求出即可；对于B ，利用圆的弦长公式求得即可；对于C ，过点(3,6)P 的直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况，其中存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线斜率即可；对于D ，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，代入化简121233QA QB yk k x x y +=+--，验证是否是定值-1即可. 【详解】对于选项A ，点P 到圆O 上的点的距离最大值为P 到O 的距离与圆O 的半径33= ，故选项A 正确；对于选项B ，过点P 且斜率为1的直线为30x y -+=，则圆心O 到该直线的距离为d =B 正确； 对于选项C ，圆心坐标为()0,0，半径3r =，则圆心()0,0到直线3x =的距离为303r -==，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，直线方程为6(3)y k x -=-，即360kx y k --+=，则圆心()0,0到直线的距离为3d r ==，解得34k =，则直线方程为34150x y -+=，综上，过点P 与圆O 相切的直线方程为3x =和34150x y -+=.故选项C 不正确；对于选项D ，由题意知点(3,0)Q ，联立226(3)9y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得()22216(2)936270k xk k x k k +--+-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221226(2)19362710k k x x k k k x x k -⎧+=⎪+⎪-+⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩， 所以()()1212121236363333QA QB k x k x yk k x x x x y -+-++=+=+---- ()()121212216666223339x x k k x x x x x x +-=++=+---++222236276(2)66122(21)196(2)3911k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⋅-⎢⎥+⎣⎦=+=+--=---⋅++-++.故选项D 正确.故选：ABD三、填空题13．以点()0,4A ，()4,6B 为直径的两个端点的圆的标准方程是___． 【答案】()()22255x y -+-=.【分析】求出AB 中点坐标为圆心，求出线段AB 长的一半即为半径，进而可得圆的方程.【详解】由点()0,4A ，()4,6B 可得AB 中点坐标为()2,5，AB =所以所求圆的圆心坐标为()2,5 所以所求圆的标准方程为：()()22255x y -+-=， 故答案为：()()22255x y -+-=.14．一条光线从点()2,3射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y -++=相切，则反射光线所在直线的斜率为________. 【答案】34-或43-【解析】由题意可知点(2,3)-在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为3(2)y k x -=+，利用直线与圆的相切的性质即可得出.【详解】由题意可知点(2,3)-在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=. 圆()()22321x y -++=的圆心(3,2)-，半径为1， 1=，解得34k =-或43-.故答案为：34-或43-15．已知圆()()22:684-+-=C x y 和两点()0,A m -，()()0,0B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为______.【答案】12【分析】根据圆C 上存在点P 使得90APB ∠=，则以AB 为直径的圆O 与圆C 有交点，从而得到圆O 与圆C 内切时，m 取得最大值，再求最大值即可. 【详解】圆22:(6)(8)4C x y -+-=，圆心()6,8C ，半径2r =，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则以AB 为直径、半径长为m 的圆O 与圆C 有交点，如图所示：当圆C 内切于圆O 时，m 取得最大值，22max 268212m CO =++=. 故答案为：12.16．设,m n R ∈,若直线 :10l mx ny +-=与 x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ,且l 与圆 224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB ∆面积的最小值为 _____．【答案】3.【分析】由点到直线的距离公式和弦长公式求得,m n 的关系，利用基本不等式即可求解即可.【详解】如图所示,取CD 中点E ,连接OE ,则OE ⊥CD , ∵l 与圆相交所得弦的长为2,1DE ∴=,又∵圆的半径2OD =, 直线l 的方程为10mx ny +-=, 由点到直线的距离公式得OE =22m n +41-∴m 2＋n 2=13≥2|mn |,∴|mn |≤16,当且仅当66m n ==时取等号,mn ∴的最大值为16.l 与x 轴交点A (1m ,0),与y 轴交点B (0,1n ), AOB S ∴=12·|1m ||1n |=12·1mn ,AOB ∴的面积的最小值为16=32⨯.故答案为：3.四、解答题17．已知直线1:230l x y +-=.(1)若直线2l 与直线1l 垂直，且过点(1，1)，求直线l 2的方程. (2)若直线1l 与直线:210l ax y -+=平行，求直线1l 与l 的距离； 【答案】(1)210x y -+= 5【分析】（1）由直线2l 与直线1l 垂直，求得212k =，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由直线1l 与直线l 平行，求得4a =-，得到4210x y +-=，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】(1)解：由直线1:230l x y +-=，可得12k =-，因为直线2l 与直线1l 垂直，所以121k k ，可得212k =， 又因为直线2l 过点(1,1)，可直线2l 的方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=，所以直线2l 的方程为210x y -+=.(2)解：因为直线1l 与直线:210l ax y -+=平行，可得21213a -=≠-，解得4a =-， 即直线l 与直线4210x y --+=，即4210x y +-=， 又由直线1:230l x y +-=，可化为4260x y +-=，所以直线1l 与l 的距离d ==1l 与l .18．已知ABC 的三个顶点分别为(0,1)A ，(2,1)B ，(0,5)C ，求： (1)BC 边上中线所在直线的方程（D 为BC 中点）； (2)BC 边的垂直平分线的方程； (3)求ABC 的外接圆方程. 【答案】(1)210x y -+= (2)250x y -+= (3)()()22135x y -+-=【分析】（1）计算线段BC 的中点D 坐标，然后得到中线的斜率，最后利用点斜式计算即可.（2）计算直线BC 的斜率，得到中垂线的斜率，然后利用点斜式计算即可.（3）计算AC 中垂线的方程，然后与（2）中方程联立可得圆心，进一步得到半径，可得结果.【详解】(1)线段BC 的中点()13D ，，所以直线AD 的斜率为31210-=-， 所以中线的方程为：()120y x -=-，即210x y -+= (2)直线BC 的斜率51202-=--，所以中垂线的斜率为12所以中垂线的方程为：()1312y x -=-，即250x y -+= (3)线段AC 中垂线的方程3y =，所以312503y x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以该外接圆的圆心为()1,3=所以该三角形的外接圆方程为：()()22135x y -+-= 19．已知圆M ：2226290x y mx y m +--++=. (1)求m 的取值范围；(2)已知点()2,1A 在圆M 上，若圆N 过点(1,P ，且与圆M 相切于点A ，求圆N 的标准方程.【答案】(1)()(),02,-∞+∞(2)()2212x y -+=【分析】(1)将圆M 的一般方程化成标准方程，然后利用半径大于0求解即可；(2)结合已知条件求出圆M 的方程，求出圆心和半径，设出圆N 的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆N 的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆N 半径相等即可求解. 【详解】(1)将2226290x y mx y m +--++=变形为()()22232x m y m m -+-=-， 由220m m ->，得0m <或2m >， 所以m 的取值范围是()(),02,-∞+∞.(2)将点()2,1A 代入圆22:26290M x y mx y m +--++=，可得4m =，所以圆M 的方程为2286170x y x y +--+=，化为标准方程可得()()22438x y -+-=，故圆M 的圆心为(4,3)，半径为设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(),N a b ，因为圆N 与圆M 相切于点A ，所以A 、M 、N 三点共线， 故直线AM 的方程为123142y x --=--，即1y x =-， 把(),N a b 代入得1b a =- ①，又由||||AN PN r ==可得，()()()(22222211a b r b a -+-=-+= ②， 联立①②，解得1a =，0b =，所以r ==故圆N 的标准方程为()2212x y -+=.20．已知圆E 经过点(0,0)A ，(2,2)B ，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y 轴相切；②圆E 恒被直线20(R)mx y m m --=∈平分；③过直线440x y +-=与直线240x y --=的交点.C (1)求圆E 的方程；(2)求过点(4,3)P 的圆E 的切线方程，并求切线长. 【答案】(1)22(2)4x y -+=(2)切线方程为4x =或512160x y -+=，切线长3【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P 在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可. 【详解】(1)选①，设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=， 由题意可得222222(2)(2)a r a b r a b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为22(2)4;x y -+= 选②，直线20mx y m --=恒过(2,0)， 而圆E 恒被直线20(R)mx y m m --=∈平分，所以20mx y m --=恒过圆心，因为直线20mx y m --=过定点(2,0)， 所以圆心为(2,0)，可设圆的标准方程为222(2)x y r -+=， 由圆E 经过点(0,0)A ，得24r =， 则圆E 的方程为22(2) 4.-+=x y 选③，由条件易知(4,0)C ，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->， 由题意可得082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为2240x y x +-=，即22(2) 4.-+=x y (2)因为22(42)3134-+=>，所以点P 在圆E 外， 若直线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为3(4)y k x -=-，即430.kx y k --+=2==，解得512k =所以切线方程为512160x y -+=，若直线斜率不存在，直线方程为4x =，满足题意.综上过点(4,3)P 的圆E 的切线方程为4x =或512160x y -+=， 切线长|30| 3.-=21．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）()2211x y -+=；（2）（ⅰ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)C a a >，因为圆C 过原点，所以半径r =a ， 又圆C 与直线3480x y +-=相切，所以圆心C 到直线的距离|38|15a d a a -==⇒=（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：()2211x y -+=.（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：()()2214240k x k x ++-+=，因为有两个交点，所以()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系：12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，所以()1212121212122222OA OB x x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+. 即直线OA ,OB 斜率之和为定值.22．如图，已知圆22:1O x y +=，点(),4P t 为直线4y =上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为,M N .（Ⅰ）已知1t =，求切线的方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；（Ⅲ）若1t >，两条切线分别交y 轴于点,A B ，记四边形PMON 面积为1S ，三角形PAB 面积为2S ，求12S S ⋅的最小值. 【答案】（Ⅰ）1x =或151788y x =+；（Ⅱ）是，104⎛⎫⎪⎝⎭，；（Ⅲ）25. 【解析】（Ⅰ）分切线的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径可得切线的方程；（Ⅱ）由题意求出以P 为圆心，以||PM 为半径的圆的方程，与圆O 联立可得弦MN 所在的直线的方程，可得直线恒过定点；（Ⅲ）由题意求出面积1S ，2S 的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值．【详解】（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线1x = 情况2.设切线：()41y k x -=-，即40kx y k --+=.由d r =2411k k -=+，解得158k =，切线为151788y x =+综上：切线为1517188x y x ==+, （Ⅱ）,M N 在以点P 为圆心，切线长PM 为半径的圆上， 即在圆P ：()()222415x t y t -+-=+上联立()()22222415{1x t y t x y -+-=++= 得410tx y +-=所以:410MN l tx y +-=过定点104⎛⎫⎪⎝⎭，(Ⅲ)21122152PMO S S PM OM t ∆==⨯⋅=+设()()12:4,:4PM PN l y k x t l y k x t -=--=-；得()()120,4,0,4A k t B k t --，12AB k k t ∴=-，2121122PABSAB t k k t =⋅=-⋅ 切线统一记为()4y k x t -=-，即40kx y kt --+=由d r =1=，得()2218150t k tk --+=两根为12,k k所以12k k -=所以2S =()()221221511t t S S t t +⋅=>- 记()()2116161,17m m m t y m mm++=-==++当4m =，即t =()12min 25S S ⋅=【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

连云港市2020-2021学年高二上学期期末调研考试地理试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

1．某静电场的电场线分布如图所示，M 、N 为电场中的两点，则（ ）A ．M 点的电势比N 点的电势高B ．M 点的电场强度比N 点的电场强度大C ．负电荷从M 点运动到N 点，电场力做负功D ．正电荷在M 点的电势能比在N 点的电势能大2．如图所示是有两个量程的电压表的内部电路图，当使用a 、b 两个端点时，量程为0~3V ，当使用a 、c 两个端点时，量程为0~15V 。

已知电流表的内阻g R 为50Ω，满偏电流为10mA ，则电阻1R 、2R 的值分别为（ ）A ．1450Ω 250ΩB ．1200Ω 250ΩC ．250Ω 1450ΩD ．250Ω 1200Ω3．如图所示，1L 、2L 是两只完全相同的灯泡，线圈自感系数很大，线圈的直流电阻不计，初始状态开关S 断开，下列说法中正确的是（ ）A ．S 闭合后，1L 、2L 均逐渐变亮B ．S 闭合后，2L 立即亮，1L 逐渐变亮C ．待电路稳定后再断开S ，1L 、2L 立即同时熄灭D ．待电路稳定后再断开S ，2L 立即熄灭，1L 亮一下熄灭4．质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。

如图所示，一带电粒子从容器下方的小孔1S 飘入电势差为U 的加速电场，然后经3S 沿着与磁场方向垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后打在照相底片D 上，测得该粒子在磁场中运动的轨道半径为r ，则该粒子的比荷()/q m 为（ ）A ．222U r BB ．222r B UC ．224r B UD ．22Ur B 5．显像管原理示意图如图所示，没有磁场时电子束打在荧光屏正中的O 点。

为使电子束偏转，需要在管径上安装偏转线圈以产生偏转磁场，下列分析正确的是（ ）A ．要使电子束打在A 点，偏转磁场应垂直纸面向里B ．要使电子束打在B 点，偏转磁场应垂直纸面向外C ．要使电子束打在荧光屏上的位置由A 点逐渐移向O 点，偏转磁场应垂直纸面向外且磁感应强度逐渐变小D ．要使电子束打在荧光屏上的位置由B 点逐渐移向O 点，偏转磁场应垂直纸面向里且磁感应强度逐渐变大6．如图，闭合矩形线圈ABCD 位于通电长直导线附近，线圈与导线在同一平面内，线圈的两个边与导线平行，关于线圈中感应电流方向的判断，下列说法正确的是（ ） A ．线圈向右运动时，电流沿顺时针方向B ．线圈沿平行于直导线向上运动时，电流沿顺时针方向C ．线圈以直导线为轴向外旋转时，电流沿逆时针方向D ．直导线中电流沿图示方向增加时，电流沿顺时针方向7．中国地球物理科考队为测量赤道某处地磁场的磁感应强度，进行如下实验：先将未通电线圈固定于南北方向竖直平面内，中央放置一枚小磁针静止时指向北方。

一卷练透04排列组合月学情调研测试数学试题）故选：ACD ．10．（江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A ．没有空盒子的方法共有24种B ．可以有空盒子的方法共有128种C ．恰有1个盒子不放球的方法共有144种D ．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种【答案】ACD【分析】对于A ：没有空盒则全排列，求解即可；对于B ：有4个球，每个球有4种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完，求解即可；对于C ：恰有1个空盒，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有一个盒子中放了2个球，求解即可；对于D ：没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，求解即可．【详解】对于A ：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列，共44A 24=种，故A 正确；对于B ：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共44256=种，故B 错误；对于C ：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共123443C C A 144=种，故C 正确；对于D ：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，则共14C 28⨯=种，故D 正确．故选：ACD ．11．（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（）A ．共有64种不同方案B ．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案C ．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案D ．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案【答案】ACD【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解.【详解】对于选项A ，每个彩灯颜色都有4种选择，根据分步乘法原理得，有64444444⨯⨯⨯⨯⨯=种不同方案，故A 正确；对于选项B ，第一类：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有34A 24=种结果，使用1种剩余的颜色和前3种颜色的2种安装4，5，6号位彩灯时，有2133C C 9⋅=种结果，根据乘法原理得共有249216⨯=种不同的安装方法；第二类：先从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有24A 12=种结果，再安装4，5，6号位彩色灯，分两类：第一类，4，5，6号位只用1，2，3号位剩余的2种彩色灯，有2种结果，第二类，4，5，6号位用1，2，3号位剩余的2种彩色灯和前三个位置使用过的1种彩灯，有122222C A A 6⋅+=种结果，根据计数原理得共有()21224222A 2C A A 96⋅+⋅+=种不同的安装方法.由分类加法原理得共有21696312+=种不同的安装方案，故B 错误；对于选项C ，第一步：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有34A 24=种结果，第二步：分两类：第一类，4，5，6号位用1，2，3号位的3种彩色灯，有2种结果，第二类，4，5，6号位用1，2，3号位的2种彩色灯，有2132C C 6⋅=种结果，根据计数原理得共有()321432A 2C C 192⋅+⋅=种不同的安装方法.故C 正确；对于选项D ，第一步：从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯安装在1，2，3号位，则有2142C C 12⋅=种结果，第二步：安装4，5，6号位彩灯有1种，根据分步计数原理，可得有12112⨯=种不同的安装法，故D 正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．即所有符合条件的二进制数()0152a a a ⋯的个数为10．所以所有二进制数()0152a a a ⋯对应的十进制数的和中，52出现25C 10=次，42，32…，12，02均出现24C 6=次，所以满足0152a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数()0152a a a ⋯对应的十进制数的和为24302545C 2+2++2+2+C 2=631+1032=506⨯⨯ （）.先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有1444C A 96⋅=种，其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，考虑2和0相邻时，且2在0的左边，共有4!24=种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复.其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，考虑2和3相邻时，且2在3的左边，共有1333C ×A 18=种排法，其中一半是重复的，故此时有9种重复.故共有9612975--=种.故答案为：506；75．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有21102C C 90=种不同的抽法，（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有331210C C 220120100-=-=种不同的抽法.16．（江苏省宿迁市泗阳县2022-2023学年高二下学期期中数学试题）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A ，B 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加A 项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．【详解】（1）分两类：①甲参加B 项救护活动，再从其余5人中选一人参加A ，选法数为15C 5=，②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为25A 20=，所以共有选法种数为20+5=25；（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：23A ，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：24A ，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：22C ，所以共有不同的分配方案数为：222342A A C 72=．17．（山东省泰安市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.(1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；(2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）【答案】(1)120(2)96【分析】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，然后利用两个计数原理和排列组合数即可求解；（2）利用分类加法计数原理和排列组合的相关知识即可进行求解.【详解】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，第1次抽到的是正品有14C 种抽法；第2次抽到的是次品有12C 种抽法；第3次抽到的是正品有13C 种抽法；当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有111423C C C 24=种抽法；当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有11114232C C C C 48=种抽法；若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有11114232C C C C 48=种抽法；综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.（2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况：①4次抽到的均为正品，共有44A 24=种抽法；②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有123243C C A 72⋅⋅=种抽法.所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.18．（湖北省武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.(1)一共有多少不同的分组方案？(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A 、B 、C 、D 、E 、F 六名女老师进行训练，经训练发现E 不能站在5号位，若A 、B 同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】(1)120(2)348【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可；同时上场，则利用捆绑法，求解即可（iii ）若E 在3号位，再将AB 全排列，且AB 可位于1，2号位或4，5号位，共有22A 2⨯种方式，再从CDF 中选两人进行排列，有23A 种方式，所以E 在2号位或3号位共有2223A 24A 2⨯=⨯种不同的方式；（iiii ）若E 在4号位，将AB 全排列，且AB 可位于1，2号位或2，3号位，共有22A 2⨯种方式，再从CDF 中选两人进行排列，有23A 种方式，所以E 在4号位共有2223A 24A 2⨯=⨯种不同的方式.所以AB 上场且E 也上场共有36242424108+++=种不同的方式；③若AB 中有一人上场且E 上场：E 上场且不在5号位，则E 可位于1，2，3，4号位，有14C 种方式，再从AB 中选一人，有12C 种方式，AB 中的一人和CDF 共4人全排列，共44A 种方式，所以AB 中有一人上场且E 上场共有114424C C A 192⨯⨯=种不同的排列方式.综上所述，共有48108192348++=种排列方式.19．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是,,,,,A B C D E F .（以下问题用数字作答）(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A 不担任第一场比赛的主裁判，C 不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？【答案】(1)63种(2)504种。

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（九）数学试题一、单选题1．经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角，则实数m 的范围是（ ） A ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞ B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞ D ．(,2)(3,)-∞⋃+∞【答案】D【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m 的范围 【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．故选：D ．2．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（ ） A ．14 B ．13 C ．14-或14 D ．13-或13【答案】C【分析】通过等差数列的性质，列方程组求解数列中的项，再求和. 【详解】设这四个数分别为3,,,3a d a d a d a d --++，由题意得()()()()()()()()222233943318a d a d a d a d a d a d a d a d ⎧-+-++++=⎪⎨-+=-++⎪⎩，即2222104749a d d ⎧+=⎨=⎩，解得7232a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7232a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或7232a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7232a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当73,22a d ==时，等差数列为-1，2，5，8；当73,22a d ==-时，等差数列为8，5，2，-1；等差数列的和是14；当73,22a d =-=时，等差数列为-8，-5，-2，1；当73,22a d =-=-时，等差数列为1，-2，-5，-8，等差数列的和是14-． 故选：C ．3．已知点P 在抛物线22y x =上．若点P 到抛物线焦点的距离为4，则点P 的坐标是（ ） A．7(2B．7(,2C．7(2或7(,2 D．7(2 【答案】C【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】对于抛物线212,22,22p y x p === ，准线方程为122p x =-=- ， 设点00(,)P x y ，根据抛物线得定义得：点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离为0142x +=，所以072x =，则207272y =⨯=，0y =P 的坐标为7(2或7(,2；故选：C ．4．设a ，b 为实数，若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(),P a b 与圆的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定【答案】B【分析】根据直线与圆的位置关系，求得,a b 满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.1<，即221a b +>，故点(),P a b 在圆221x y +=外.故选：B.5．设双曲线的方程为22221x y a b -=，过点(),0a ，()0,b 的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率是 （ ）AB C D 【答案】A【分析】由斜率公式得出b a =222c a b =+以及离心率公式求解即可.【详解】由题意得0tan150tan300b b k a a -==-=︒=-︒=-b a =，又222c a b =+，所以22222413c b e a a ==+=，又1e >，故e =故选：A ．6．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为 A ．1 B ．2 C ．π D ．2π【答案】C【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.7．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为12，那么前四日所取木棒的总长度为（ ） A ．1 B ．6364C ．1516D ．3132【答案】C【分析】根据题意可得每天所取部分是以12为首项，12为公比的等比数列，再根据等比数列前n 项和公式即可得出答案.【详解】解：由题意可知，每天所取部分是以12为首项，12为公比的等比数列，所以前四日所取木棒的总长度为4111152211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-.故选：C.8．已知函数21()e 32x f x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．3【答案】C【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数e ()=xg x x，求出()g x 的最小值作答.【详解】函数21()e 32xf x ax =-+，求导得：()e x f x ax '=-，因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则对任意的,()0x ∈+∞，()e 0x f x a x'⇔≤≥成立，设e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=， 由()0g x '>，得1x >，由()0g x '<，得01x <<，从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即min ()(1)e g x g ==，因此e a ≤， 所以a 的最大值是e . 故选：C二、多选题9．已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线=1x -与圆A 相切B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4C ．点(1,1)B --在圆A 外D ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3 【答案】AC【分析】由直线与圆的位置关系可以判断AB ，由点与圆的位置关系可以判断C ，由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离的公式可判断D 【详解】因为22:230A x y x +--=， 所以22(1)4x y -+=， 则圆心1,0A ，半径2r =，对于A ：因为圆心1,0A 到直线=1x -的距离为2d r ==，故A 正确；对于B ：圆A 截y 轴所得的弦长为=B 错误；对于C ：()22(1)(1)21310-+--⨯--=>，故C 正确；对于D ：因为圆心A 到直线34120x y -+=的距离为|312|35d +==， 则圆上点到直线的最小距离为321d r -=-=，故D 错误. 故选：AC.10．设数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，10a >，且69S S =，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．80a =C ．56S S >D ．7S 或8S 为n S 的最大值【答案】ABD【分析】由69S S =及前n 项和公式可得17a d =-，即可判断A 、B 的正误，进而得到2152n dn dnS -=判断C ，结合二次函数的性质判断D 的正误. 【详解】根据题意可得1165986922a d a d ⨯⨯+=+，即1870a d a +==．因为10a >，80a =，所以0d <，所以数列{}n a 是递减数列，所以A ，B 正确；对于C ，因为80a =，0d <，所以60a >，所以56S S <，故C 不正确；对于D ，因为80a =，所以78S S =，又{}n a 为递减数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，故D 正确．故选：ABD ．11．下列有关双曲线22231x y -=的命题中，叙述正确的是（ ） A．顶点()B．离心率e C．渐近线方程y = D．焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】把双曲线22231x y -=化为2211123x y -=，求得,,a b c 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线22231x y -=，可化为2211123x y -=，可得2211,23a b ==，所以a b ==c ==所以双曲线的顶点坐标为⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以A 不正确；双曲线的离心率为c e a===B 不正确；双曲线的渐近线方程为b y x x a =±=，所以C 正确；双曲线的焦点坐标为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确. 故选：CD.12．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】对于A ，代入1a =-，利用斜率之积为1-得知直线l 与直线0x y +=垂直； 对于B ，由两平行线的一般式有111222A B C A B C =≠求得a ，从而可判断正误；对于C ，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l 过定点()0,1； 对于D ，代入0a =，分别求得直线l 在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，故l 的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为1(1)1⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确； 对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则2110111a a -=≠++-，解得0a =或1a =-，所以B 错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误. 故选：AC.三、填空题13．过点()2,3的直线L 被两平行直线1:2590L x y -+=与2:2570L x y --=所截线段AB 的中点恰在直线410x y --=上，则直线L 的方程是________． 【答案】4570x y -+=【分析】首先根据线段AB 的中点M 在直线410x y --=上，可设()0041,M y y +，利用M 到1l 与2l 的距离相等求得0y 的值，进而求出点M 的坐标，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设线段AB 的中点为()0041,M y y +,因为点M 到1l 与2l 的距离相等,=，解得01y =-,则点()3,1M --．∴直线l 的方程为321332y x --=----,即4570x y -+=． 故答案为：4570x y -+=14．已知双曲线2216436x y -=的焦点1F 、2F ，点P 在双曲线上，且12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为__________． 【答案】36【详解】由双曲线的标准方程可得：8,6,10a b c ===，设12,PF m PF n ==， 由双曲线的定义有：216m n a -==，()1由余弦定理有：2224400m n c +==，()2()()2221-可得：72mn =，则12PF F 的面积为11723622mn =⨯=.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．15．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为________． 【答案】511(1.11)⨯-【分析】由题意结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；52551(110%)[1(110%)]1(110%)1(110%)1(110%)11(1.11)1(110%)⋅+-+⋅++⋅+++⋅+==⨯--+故答案为：511(1.11)⨯-16．直线12y x b =+是曲线ln ,0y x x =>的一条切线，则实数b =___________． 【答案】ln21-【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．1y x'=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-．四、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足21log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】(1)2n n a =； (2)22122n n n n T ++=-．【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，根据等差数列的性质列方程求得q 后可得通项公式； （2）写出n b ，由分组求和法求和． 【详解】（1）设{}n a 的公比为q （0q >）， 因为12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，所以2432(2)a a a +=+，即32222(22)q q q +=+，解得2q ，所以2n n a =； （2）由（1）12n nb n =+， n T 2111()(12)222nn =+++++++211(1)(1)2122122212n n n n n n -+++=+=--． 18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q 0），直线l ：x＝P 满足到点Q 的距离与到直线l . (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|.【答案】(1)22163x y +=(2)3【分析】（1）设P 的坐标，由题意可得P 的横纵坐标的关系，进而求出P 的轨迹方程. （2）联立直线与曲线方程，写出韦达定理，利用弦长公式计算即可 可求弦|AB |的长.【详解】（1）设P （x ，y ）- 整理可得：22163x y +=；所以P 的轨迹C 的方程为：22163x y +=.（2）设直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2216310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，消去y 得x 2+2（x －1）2＝6，整理得3x 2－4x －4＝0，由()Δ163440=-⨯-⨯>所以x 1+x 2＝43，x 1x 2＝43-，，所以AB =3==19．已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求n S 的表达式；（2）设21nn S b n =+，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析，121n S n =-；（2）21n n +. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可将已知等式整理为1112n n S S --=，结合11111S a ==可证得结论；根据等差数列通项公式求得1nS ，进而得到n S ；（2）由（1）得到n b ，采用裂项相消法求得结果. 【详解】（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-()22111111222n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---⎛⎫∴=--=--+ ⎪⎝⎭，即：112n n n n S S S S ---=1112n n S S -∴-=，又11111S a ==∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列 ()112121nn n S ∴=+-=-121n S n ∴=- （2）由（1）知：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前n 项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.20．已知函数()()2e xx x f a =+，且()01f '=.(1)求a 的值；(2)求与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程.【答案】(1)1a =. (2)2ey =.【分析】（1）求导函数，再由()01f '=建立方程，求解即可；（2）由（1）得()()21e xx x f =+，设与x 轴平行的()f x 的图象的切线的切点为()00P x y ，，由已知建立方程求得00x y ，，由此可求得答案.【详解】（1）解：因为()()2e x x x f a =+，则()()2'+2e xx x f x a =+， 又()01f '=，所以()()2'00+0e 210f a =⨯=+，解得1a =； （2）解：由（1）得()()21e x x x f =+，则()()2'+12e xx x f x =+，设与x 轴平行的()f x 的图象的切线的切点为()00P x y ，，则()()02'000+21e 0x f x x x +==，解得01x =-，所以()()002120211+1ee e x y x -⎡⎤+⎣⎦-===， 所以与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程为2ey =. 21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：22y px =，点()1,0C ，过点()2,0P 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点：当l 与抛物线的对称轴垂直时，42AB =．(1)求抛物线的标准方程；(2)若点A 在第一象限，记AOB 的面积为1S ，BOC 的面积为2S ，求122S S +的最小值． 【答案】(1)24y x =. (2)8.【分析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.（2）设直线AB 为2x ty =+，代入联立得关于y 的一元二次方程，运用韦达定理，得到122S S +关于t 的函数关系，再求函数最值.【详解】（1）当l与抛物线的对称轴垂直时，(2,A，(2,B -，则代入抛物线方程得842p p ==，，所以抛物线方程是24y x =．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为2x ty =+，联立抛物线整理得：2480y ty --=，216320t ∆=+>，t R ∈ ∴124y y t +=，128y y =-， 有2284y t y -=，由A 在第一象限，则10y >，即20y <， ∴222480y ty --=，可得22y t =-AB ==又O到AB 的距离d∴112S d AB =⋅=222122y S OC y t =⋅⋅==， ∴1222S S t +=，()()2f t t t =∈R()23t f t '=当1,2t ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， ()0f t '<，f t 单调递减； 1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f t '>，f t 单调递增； ∴122S S +的最小值为182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,此时14y =，22y =-. 22．设m 为实数，函数()ln .f x x mx =+(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当e m =时，直线2b y ax =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值． 【答案】(1)0m 时，单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；0m <时，单调递增区间为10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,.m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)e 2ln 2.-【分析】（1）利用导数，求解函数的单调区间.（2）设切点，利用导数求切线方程，得到a b +，再构造新函数，利用导数求单调性得最小值.【详解】（1）函数()ln f x x mx =+定义域为()0,∞+，11()mx f x m x x+'=+=， 当0m 时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，当0m <时，()0f x '>解得10x m <<-，()0f x '<解得1x m >-. 故0m 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m <时，函数()f x 的单调递增区间为10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,.m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，设切点为000(,ln e )x x x +，则切线斜率()001e k f x x ==+'，切线方程为00001(ln e )e ()y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， 即001e ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 01e a x ∴=+，02ln 2b x =-，0012ln e 2a b x x +=++-， 令1()2ln e 2g x x x =++-，221221()(0)x g x x x x x'-=-+=>， 令()0g x '<，可得102x <<，令()0g x '>，得12x >， ∴可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， min 1()e 2ln 22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即a b +的最小值为e 2ln 2.-。

2021-2022学年江苏省连云港市东海县高二下学期期中数学试题一、单选题1．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．7 C ．15 D ．30【答案】D【分析】根据题意，从6名同学中选出正、副组长各1名是个排列问题，可得答案.【详解】从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有26A 6530=⨯=种，故选：D2．已知随机变量()21,X N σ，且()10.8P X ≥-=，则()13P X -≤≤的值为（ ） A ．0.3 B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】C【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】解：()()()1321120.80.50.6P X P X -≤≤=-≤≤=⨯-=， 故选：C.3．20222023被22022除的余数是（ ） A ．1 B ．0 C ．2023 D ．2022【答案】A【分析】利用二项式定理展开()20222022220221023=+，可得出20222023被22022除的余数.【详解】因为()20222022120212020220212022202220202222202212022C 2022+C 2022C 202212023=+=+⋅+⋅+⋅+ 202212021202022202220222022C 2022+C 202220221=+⋅+⋅++()220201201920202022202220222022C 2022C 11=+⋅++++，因此，20222023被22022除的余数是1. 故选：A.4．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（ ） A ．12B ．35C ．710D ．1320【答案】C【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为2163=，再从甲箱中摸到红球的概率为51102=，故从甲箱中摸到红球的概率为1111326P =⨯=； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为4263=，再从乙箱中摸到红球的概率为84105=，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P =⨯=； 综上所述：摸到红球的概率为710故选：C5．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为1X ，2X ，记{}12min ,X X X =，则()24P X ≤≤=（ ） A ．512B ．712 C ．13D ．12【答案】B【分析】分别求出随机变量2X =、3X =、4X =时的概率，再利用互斥事件的加法公式计算作答.【详解】依题意，随机变量X 满足24X ≤≤的事件是2X =、3X =、4X =的3个互斥事件的和，而21222C 4C (2)6P X +==，21222C 3C (3)6P X +==，21222C 2C (4)6P X +==，所以()212121222222222C 4C C 3C C 2C 9757666361224P X +++≤+==++=≤+. 故选：B6．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1CA CB CC ==，若D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则1B D 与1A E 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】作11B C 中点F ，连接1EF AF ED C E 、、、，证1FEA ∠为1B D 与1A E 所成角，再根据余弦定理去求1FEA ∠的余弦值即可【详解】如图，作11B C 中点F ，连接1EF AF ED C E 、、、，在直三棱柱111ABC A B C -中，由D ，E 分别是AB ，AC 的中点，得1111111C C 22DE BC B DE BCB B F ===、，所以四边形1B FED 为平行四边形，所以1B D FE ，所以1FEA ∠为1B D 与1A E 所成角，由AC BC ⊥，设1CA CB CC a ===，易得2222111556222,a a a a aE C A E AF a FE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎭=⎝=，由余弦定理得221230cos 565625a a a a aFEA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎭+∠==⨯⎪⎝⎭⎝⎝⎭⨯， 故选：B7．在三棱锥P ABC -中，PA a =，PB b =，PC c =，点M 在棱PA 上，且2PM MA =，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量加法、减法和数乘向量的运算法则即可求解. 【详解】解：连接PN ，因为2PM MA =，N 为BC 中点，所以2233PM PA a ==，()()1122PN PB PC b c =+=+， 所以MN PN PM =-=112223b c a +-，故选：B.8．设()72345670123456721x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则1234567234567a a a a a a a ++++++=（ ）A ．10206B ．5103C ．729D ．728【答案】A【分析】首先两边同时取导数，再写出()621x -展开式的通项，最后利用赋值法计算可得；【详解】解：因为()72345670123456721x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++， 两边同时取导数得()26236165454371421234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，其中()621x -展开式的通项为()()()666166C 21C 21rrrrrr r r T x x ---+=-=⋅⋅-⋅，所以当r 为奇数时系数为负数，r 为偶数时系数为正数， 即10a >，30a >，50a >，70a >，20a <，40a <，60a <， 令1x =-，则()12345676234567142110206a a a a a a a ==-+-+-+--， 所以123456723456710206a a a a a a a ++++++=； 故选：A 二、多选题9．根据变量x 与y 的n 对观测数据，求得相关系数0.93r =-，线性回归方程9.50.6y x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．x 与y 正相关且相关性较弱B ．x 与y 负相关且相关性很强C ．x 每增加1个单位时y 平均减少0.6D ．若 4.5x =，则7.8y = 【答案】BC【分析】根据相关系数的意义可判断AB ，由线性回归方程的斜率可判断C ，因为回归方程过中心点(),x y ，故将 4.5x =代入回归方程即可判断D ．【详解】因为相关系数0.93r =-，线性回归方程9.50.6y x =-，则x 与y 负相关且相关性很强；因为线性回归方程的斜率为0.6-，则x 每增加1个单位时y 平均减少0.6；故A 错，BC 正确；因为回归方程过中心点(),x y ，若 4.5x =，则9.50.6 4.5 6.8y =-⨯=，故D 错． 故选：BC10．设随机变量X 的可能取值为1,2,,n ⋅⋅⋅，并且取1,2,,n ⋅⋅⋅是等可能的.若()30.4P X <=，则下列结论正确的是（ ） A ．5n = B ．()10.1P X == C ．()3E X = D ．()3D X =【答案】AC【分析】由等可能得出1(),1,2,,P X k k n n===，结合(3)(1)(2)P X P X P X <==+=求出n 值，再由期望公式和方差公式计算后判断.【详解】由题意1(),1,2,,P X k k n n===，2(3)(1)(2)0.4P X P X P X n<==+===，5n =， 1(1)0.25P X ===， 1()(12345)35E X =++++⨯=，222221()[(13)(23)(33)(43)(53)]25D X =-+-+-+-+-=.故选：AC.11．下列等式成立的有（ ）A ．11A A m m n n n --=B ．11A A A m m m n n n m -+=+C ．1C C k kn n k n -= D ．11111C C C C k k k k n n n n --+--=++【答案】ABD【分析】利用排列数公式推理、计算判断A ，B ；利用组合数公式、组合数性质推理、计算判断C ，D 作答.【详解】对于A ，11!(1)!()![(1)(A 1!A )]mm n n n n n n m n m n ---==⋅---=-，A 正确；对于B ，11!!(1)!!(1)!()!(1)!(1)!(A 1)!A A m m m n n n n n n m n m n n m n m n m n m n m m -+-++⋅+=+⋅==--++=-+-+，B 正确；对于C ，11!(1)!!()!(1)![(1)(1)]!C C kk n n n n k n k n k k k n k n --=-=⋅=⋅-----，C 不正确；对于D ，由组合数性质：11C C C k k kn n n -+=+知，111111C C C C C C k k k k k k n n n n n n ---+--=+++=，D 正确.故选：ABD12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则（ ）A．EF =B ．5cos 6EAF ∠=C ．点D 到平面AEFD ．直线AF 与平面11BDD B 所成的角为60° 【答案】BCD【分析】建立图所示的直角坐标系,利用向量法逐一求解. 【详解】解：建立图所示的直角坐标系，由题意得1111(0,0,0),(,,1),(,1,),(0,1,0),(1,1,0)2222A E F D C ,所以111111(0,)(,,1),(,1,),(0,1,0),(1,1,0)222222EF AE AF AD AC =-====，，,所以122EF ⎛= ,故A 错， 554cos 362AE AF EAF AE AF ⋅∠===⋅,故B 对，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1102211022x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,令3x =，得 ()3,1,1n =--，故点D到平面AEF 的距离cos ,1111AD n AD AD n n⋅===，故C 对，根据正方体的可知，AC ⊥平面11BDD B ,故直线AF 与平面11BDD B 所成的角的正弦值为：332sin 322AC AF AC AFθ⋅===⋅⨯,又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故θ=60°，故D 正确. 故选：BCD.三、填空题13．已知()4,1,2a =，()2,1,3b =-，则()()2a b a b -⋅+=_______. 【答案】6【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解. 【详解】由()4,1,2a =，()2,1,3b =-，得()()42,11,232,2,1a b -=-+-=-，()24,2,6b =-， ()()244,12,268,1,8a b +=+-+=-.()()()()22821186a b a b ∴-⋅+=⨯+⨯-+-⨯=.故答案为：6.14．在()()()()()13579x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是_______. 【答案】25【分析】根据多项式乘法法则得结论.【详解】4x 是由题中五个一次式中4个取x -，一个取常数项相乘得出，所以其系数为1357925++++=.故答案为：25.15．在n 件产品中，有3n -件合格品，3件不合格品.若从中任意抽出2件，至少有一件不合格品的概率为511，则n =_______. 【答案】12【分析】根据题意可求其对立事件的概率，再解方程求解. 【详解】依题意得，至少有一件不合格品的概率为511∴所有都合格的概率为5611111-=， 即()()()23234C 6C 111n n n n n n ---==- ， 化简得25711320n n -+= 解得：12n =或 2.2n =（舍去） 故答案为：12.16．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，1.将这4张卡片排成一排，可构成_______个不同的四位数.（用数字作答） 【答案】336【分析】根据给定条件，按出现1的个数分类，求出每一类中四位数个数即可计算作答. 【详解】依题意，4张卡片应全部取出，含数字1的卡片用数字只有1种方法，不用1也只有1种方法，当四位数中没有数字1时，排卡片有44A 种方法，含有数字1的卡片只能用2和7，不含数字1的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有424A 296⋅=个，当四位数中有一个数字1时，选一张含有数字1的卡片有12C 种方法，排卡片有44A 种方法，不含数字1的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有14224C A 2192⋅=个，当四位数中有两个数字1时，取两个数位排含数字1的卡片，有24C 种方法，另两个数位排不含数字1的卡片，有22A 种方法，不含数字1的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有22242C A 248⋅=个，由分类加法计数原理得：不同四位数有9619248336++=个. 所以可以构成不同四位数个数是336. 故答案为：336【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步． 四、解答题17．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.学校从全体学生中随机抽取了200人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：(1)根据所提供数据，完成22⨯列联表；(2)判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】(1)表格见解析(2)有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 【分析】（1）根据题意，即可得到22⨯列联表；（2）根据列联表中数据，求得2 4.8χ=，结合附表，即可得到结论. 【详解】(1)解：根据题意，得到22⨯列联表为：(2)解：提出假设0H：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，根据列联表中数据，可以求得()222007045553024 4.8100100125755χ⨯⨯-⨯===⨯⨯⨯， 因为当0H 成立时，()23.8410.05P χ≈，这里的2 4.8 3.841χ=>，所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点.(1)求证：1BC ∥平面1A EC ； (2)求二面角1A EC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)6【分析】（1）连接1AC ，交1A C 交于点O ，得到1//OE BC ，结合线面平行的判定定理，即可证得1//BC 平面1A EC ；（2）以{}1,,DA DC DD 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面1A EC 和平面EBC 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AC ，交1A C 交于点O ，则O 为1AC 中点，因为E 为AB 中点，所以1//OE BC ，又因为OE ⊂平面1A EC ，1BC ⊄平面1A EC ，所以1//BC 平面1A EC .(2)解：在正方体1111ABCD A B C D -中，以{}1,,DA DC DD 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -设正方体的棱长为2，则()12,0,2A ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，()2,2,0B ， 所以()2,1,0EC =-，()10,1,2EA =-，设平面1A EC 的一个法向量(),,n x y z =，则12020EC n x y EA n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取1x =，可得2,1==y z ，所以平面1A EC 的一个法向量为()1,2,1n =， 又平面EBC 的一个法向量为()10,0,2DD =， 所以16cos,2121DD n ==⋅++，又由二面角1A EC B --为钝二面角，所以二面角1A EC B --的余弦值为6-.19．已知某型号汽车的平均油耗y （单位：L/100km ）与使用年数x 之间有如下数据： x1 2 3 4 5y 5.6 6.1 6.4 7.0 7.4(1)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程；(2)试估计该型号汽车使用第8年时的平均油耗.（附：()1221ˆni ii nii x y nx ybxn x==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） 【答案】(1) 5.150.45y x =+ (2)8.75L /100km【分析】（1）根据表格所给数据运用最小二乘法求其线性回归方程即可； （2）利用（1）的线性回归方程，将第8年代入方程即可估计平均油耗. 【详解】(1)由表中数据可得： ()511112345355i i x x ===++++=∑，()51115.66.1 6.47.07.4 6.555i i y y ===++++=∑522222211234555i i x==++++=∑511 5.62 6.13 6.447.057.4102iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑代入公式，求得回归系数()5152221510253 6.5ˆ0.4555535i ii i i x y x ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，6.5ˆˆ0.453 5.15ay bx =-=-⨯= 因此，线性回归方程为： 5.150.ˆ45y x =+ (2)由（1）知， 5.150.ˆ45yx =+ 当8x =时， 5.150.458ˆ8.75y=+⨯=， 所以，该型号汽车使用第8年时的平均油耗约为8.75L /100km .20．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则. (1)求甲3:1获胜的概率；(2)记甲、乙比赛的局数为X ，求X 的概率分布列和数学期望. 【答案】(1)827(2)分布列见解析，10727【分析】（1）甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，即可求解.(2)列出X 的所有取值，求出对应概率，再列出分布列，即可求出期望. 【详解】(1)记甲3:1获胜为事件A ，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，所以()2232128C 33327P A ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：甲3:1获胜的概率为827(2)X 可能取值是3、4、5， 所以()332113333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222233212121104C C 33333327P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22242185C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X3 4 5 P131027827则()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯= 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，526PEEC=±【分析】（1）在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，根据线面垂直的判定定理，，即可证得AD ⊥平面PCD ；（2）以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系，设PEECλ=，求得平面ADE 的一个法向量，结合直线PB 与平面ADE 所成角为30，列出方程求得λ的值，即可得到结论.【详解】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CD PC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD . (2)解：在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F . 由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,3P -， 设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以2132,,1AE AP PE λλ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪+⎝⎭， ()2,0,0AD =-，()2,3,3PB =-设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则21320120AE n x y z AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩， 取3y =，可得0,12x z λ==-，所以平面ADE 的一个法向量()0,3,12n λ=-， 因为直线PB 与平面ADE 所成角为30， 所以()()2333121sin 30cos ,2312493PB n λλ--︒===+-⋅++，解得526λ=± 综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且526PEEC=±.22．2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为12，且每次回答问题是相互独立的，记小明得n 分的概率为()p n ，n *∈N . (1)求()2p ，()3p 的值； (2)求()p n . 【答案】(1)()324p =，()538p =(2)()211332np n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）由得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，根据互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解；（2）由小明得1n +分有两种情况，一种是小明在得n 分的情况下又答1题错误；另一种是小明在得1n -分的情况下又答1题正确，可得()()()111122p n p n p n +=+-，进而利用配凑法，根据等比数列的定义可得()(){}1p n p n +-是以14为首项，12-为公比的等比数列，则有()()1112n p n p n +⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，从而利用累加法可求()p n .【详解】(1)解：得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以()111322224p =+⨯=， 得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，所以()121111153222228p C =⨯⨯+⨯⨯=；(2)解：因为小明得1n +分有两种情况，一种是小明在得n 分的情况下又答1题错误； 另一种是小明在得1n -分的情况下又答1题正确. 所以()()()111122p n p n p n +=+-，即()()()()1112p n p n p n p n +-=---⎡⎤⎣⎦， 因为()()311210424p p -=-=≠， 所以()()()()1112p n p n p n p n +-=---，因此()(){}1p n p n +-是以14为首项，12-为公比的等比数列，所以()()1112n p n p n +⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，当2n 时，()()()()()()()()112211p n p n p n p n p n p p p =--+---+⋅⋅⋅+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12111112212222332n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()112p =符合上式， 所以()1221211332332n np n +⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。