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第二章 拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。
一、拉氏变换的定义设f(t)是以时间t 为自变量的实变函数，0≥t （定义律），那么f(t)拉氏变换的定义为： dt e t f t f L s F st ⎰∞-∆==0)()]([)( （2-1）式中：S 是复变数： Jw S +=σ （可用点、向量、三角（指数）表示）⎰∞-0dt e st ——拉氏积分F(s)——函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。
f(t)——原函数L ——拉氏变换的符号 拉氏反变换⎰∞+∞--==j j stds e s F js F L t f σσπ)(21)]([)(1（2-2） 式中：1-L 拉氏变换的符号上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。
二、几种典型函数的拉氏变换1．单位阶跃函数1（t ）的拉氏变换 如图所示，单位阶跃函数定义为⎩⎨⎧=∆10)(1t 00≥<t t表示在t=0时突然作用于系统的一个幅值为1的不变量。
拉氏变换为：⎰∞∞---===001)(1)](1[)(stst e sdt e t t L s F ss 1)]1(0[=--= （2-3）若幅值为K ，则SKt K L =⨯)](1[ （2-4） 其反变换为：)(1]1[)(1t SL t f ==- （0≥t ） （2-5）2．指数函数tet f α-=)(的拉氏变换t e t f α-=)( α+=S s F 1)( （2-6） t e S L αα--=+]1[1 （0≥t ） （2-7） 3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 wt t f sin )(=22)(wS ws F +=（2-8） t t f ωcos )(=22)(wS Ss F +=（2-9） 4．单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换如图所示，单位脉冲函数的数学表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧<<><=→)0(1lim )0(0)(0εεεδεt t t t 和其拉氏变换为1)(=∆S （2-10） 反变换：()t L δ=-]1[15．单位速度函数的拉氏变换(又称斜坡函数)⎩⎨⎧≥<=)0()0(0)(t t t t f 其拉氏变换为21)(Ss F =（2-11） 反变换t S L =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211 （0≥t ） （2-12）6．单位加速度函数的拉氏变换⎪⎩⎪⎨⎧=2210)(t t f 0)0(≥<t t1/0 ε单位脉冲函数31)(S s F =（2-13）231211t S L =⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （2-14） 7.幂函数的拉氏变换()n t t f = （2-15）()1!+=n s n s F （2-16）三、拉氏变换的主要定理1．叠加定理 拉氏变换是一种线性变化 1）齐次性设)()]([s F t f L = 则)()]([s F t f L αα= （2-17）式中，α为常数 2）叠加性令 )()]([11s F t f L =，)()]([22s F t f L =则 )()()]()([2121s F s F t f t f L +=+ （2-18） 也即 )()()]()([2121s F s F t f t f L βαβα+=+2．微分定理若 )()]([s F t f L = 则⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(dt e t f dt d t f dt d L st ⎰∞-=0)(t df e st ⎰∞-∞-+=00)()(dt e t f S t f e stst )0()(f s SF -= （2-19） 同理可得)0()0()()(222f Sf s F S dt t f d L '--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ )0()0()0()()(2333f f S f S s F S dt t f d L ''-'--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ )0()0()0()()()1(21-----'--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n nn f f S f S s F S dt t f d L 若函数f(t)及其各阶导 数的初始值均为零，则上式可变为：)()]([s SF t f L =')()]([2s F S t f L =''…)()]([s F S t f L n n =3．积分定理 若 )()]([s F t f L = 则)0(1)(1)()1(-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰f Ss F S dt t f L （2-20） 式中 )0()1(-f——积分⎰dt t f )(在t=0时刻的值。
当初始条件为零时)(1])([s F Sdt t f L =⎰ 对多重积分：)0(1)0(1)(1])([)1()1(---+++=⎰⎰n nn f S f Ss F S dt t f L当初始条件为零时)(1])([s F S dt t f L n=⎰⎰ 4．延迟定理（实数域中的位移定理） 设)()]([s F t f L =，且t <0时，f (t )=0 则)()]([s F e T t f L sT -=- （2-21）说明：函数)(T t f -为原函数f (t )沿时间轴向右平移T 。
5．位移定理 （复数域中的位移定理） 设 )()]([s F t f L =，则)()]([a s F t f e L t +=-α （2-22）例：22][cos wS S t L +=ω22)(]cos [wa s aS t e L at +++=∴-ω6．初值定理 表明原函数+-=0t 时的数值)(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→= （2-23）7．终值定理设)()]([s F t f L =，且)(lim t f s ∞→存在，则)(lim )()(lim 0s sF f t f s t →∞→=∞= （2-24）8．卷积定理设)()]([s F t f L =，)()]([s G t g L =则 )()()]()([s G s F t g t f L =* （2-25） 式中，卷积τττd g t f t g t f t⎰-=*∆)()()()(四、应用拉氏变换解线性微分方程步骤：1．对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使之成为S 的代数方程； 2．解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 3．用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
（一）部分分式法极点：在控制理论中，常遇到的象函数是S 的有理分式（m n ≥）nn n n mm m m a S a S a S a b S b S b S b s A s B s F ++++++++==----11101110)()()(为了将)(s F 写成部分分式，首先将)(s F 的分母因式分解，则有)())(()(211110n mm m m P S P S P S b S b S b S b s F +++++++=-- 式中，n P P P ---,,,21 是0)(=s A 的根，称为)(s F 的极点。
1．)(s F 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换，)())(()()()(211110n mm m m P S P S P S b S b S b S b s A s B s F +++++++==-- ∑=+=++++++=ni ii n n P S A P S A P S A P S A 12211 （2-26） 式中，i A 是待定系数，其求法如下：i P S i i P S s F A -=+=)])(([再根据拉氏变换的迭加原理，求原函数∑∑=-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==n i tP i n i i i i eA P S A L s F L t f 1111)]([)( 例：求)6(2)(22--+-=S S S S S s F 的原函数 解：首先将分母因式分解23)2)(3(2)(3212++-+=+-+-=S A S A S A S S S S S s F31)2)(3(2])([0201-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅+-+-====S S S S S S S S S s F A158)3()2)(3(2)]3)(([3232=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-=-===S s S S S S S S S s F A 54)2()2)(3(2)]2)(([2223=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-=+=-=-=S s S S S S S S S s F A 215431158131)(++-+-=∴S S S s F )1154()31158()131()]([)(1111++-+-==----S L S L S L s F L t f t t e e 235415831-++-= )0(≥t2．)(s F 含有共轭复数极点时的拉氏反变换方法：如果)(s F 有一对共轭复数极点21,P P --，其余极点均为各不相同的实数极点。
将)(s F 展开成 ：)())()(()(3211110n mm m m P S P S P S P S b S b S b S b s F +++++++++=-- nn P S A P S A P S P S A S A ++++++++=332121))(( 式中，1A 和2A 可按下式求解2121][)])()(([2121P S P S P S P S A S A P S P S s F -=-=-=-=+=++或或 （2-27）由于（2-27）两边都是复数，令等号两边的实、虚部相等得两个方程式，联立求解即得1A ，2A 两常数。
例：已知)1(1)(2+++=S S S S s F ，求)(t f解：先因式分解1)2321)(2321(1)(2210++++=-++++=S S A S A S A j S j S S S s F 1])([00===S S s F A232121232122][)1()1(1jS jS A S A S S S S S S --=--=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++即21)2321(232112321A j A j j +--=--+--利用方程两边实、虚部分别相等，可得21)(2121=+-A A 23)(2321-=-A A 解得：11-=A ，02=A 11)(2++-=∴S S SS s F 上式在拉氏变换表上仍然查不到，故将上式再作适当变换；222)23()21(111)(++-=++-=S SSS S S S s F2222)23()21(21)23()21(211++++++-=S S S S2222)23()21(232321)23()21(211++++++-=S S S S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-)1(1)(21S S S S L t f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--2211)23()21(211S S L S L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-221)23()21(2357.0S L 查表 t e t e t t23sin 57.023cos 12121--+-= )0(≥t3．)(s F 中含有重极点时的拉氏反变换 设0)(=S A 有r 个重根，则)()()()(1111n r ro m m m m o P S P S P S b S b S b S b s F +++++++=+--展开 o rr o ro P S A P S A P S A +++++=-010201)()(nn r r P S A P S A ++++++ 11 式中，n r r A A A ,,21++的求法与单实数极点情况下相同r A A A 00201,, 的求法如下：oP S r o P s s F A -=+=]))(([01oP S r o P s s F dsdA -=+=]}))(([{02o P S r o P s s F dsd A -=+=]))(([{!212203……oP S r o r r r P s s F dsd r A -=--+-=]))(([{)!1(1)1()1(0 （2-28）则 ⎢⎣⎡+-+-==---)2(02)1(011)!2()!1()]([)(r r t r A t r A S F L t f ]t P n tP r t P r n r e A e A e A --+-+++++ 1010，)0(≥t例：求)1()2(3)(2+++=S S S s F 的拉氏反变换解：先将)(s F 展开为部分公式1)2()2()(0302201+++++=S AS A S A s F求系数：1)2()1()2(322201-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-=S S S S S A 22202)2()1()2(3-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=S S S S S ds d A 22)1()1)(3()1()3(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+'++-+'+=S S S S S S 2-= 2)1()1()2(3123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-=S S S S S A 1222)2(1)(2+++-+-=∴S S S s F 查拉氏变换表得：t t e e t t f --++-=2)2()(2 )0(≥t（二）用拉氏变换解线性微分方程例：设系统微分方程为：)()(6)(5)(00202t x t x dtt dx dt t x d i =++ 若)(1)(t t x i =，初始条件分别为)0(0x '、)0(0x ，试求)(0t x 解：对微分方程左边进行拉氏变换：（利用拉氏变换微分性质）)0()0()()(002202x Sx S X S dt t x d L o '--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ )0(5)(5)(500o x S SX dt t dx L -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ )(6)](6[0S X t x L o =利用迭加定理有：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++)(6)(5)(00202t x dt t dx dt t x d L=)]0()0()5[()()65(0002'++-++x x S s X S S 对方程右边进行拉氏变换：St L t x L i 1)](1[)]([== 得：Sx x S s X S S 1)]0()0()5[()()65(0002='++-++ 65)0()0()5(1651)(2020++'+++++=∴S S x x S S S S S X )3)(2()0()0()5()3)(2(100++'+++++=S S x x S S S S 323221321++++++++=S B S B S A S A S A 求待定系数：61)3)(2(11=++==S SS S S A 21)2()3)(2(122-=+++=-=S S S S S A 31)3()3)(2(133=+++=-=S S S S S A )0()0(3)2()3)(2()0()0()5(002001x x S S S x x S B S '+=+++'++=-= )0()0(2)3()3)(2()0()0()5(00302x x S S S x x S B S '--=+++'++=-= 代入原式得：3)0()0(22)0()0(333122161)(00000+'--++'+++++-+=S x x S x x S S SS X查拉氏变换表得：t t t e x x e e t x 200320)]0()0(3{[312161)(---'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=})]0()0(2[300t e x x -'+- 当初始条件为零时，得 tt e e t x 320312161)(--+-=)0(≥t。
