拉氏变换逆变换

2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。

按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域与之等价的复变函数。

2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t当 ，则 。

所以（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。

令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t []s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-由欧拉公式，有所以(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。

拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。

例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。

根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。

1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。

例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。

根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。

1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。

例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。

根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。

2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。

为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。

我们可以使用留数定理来实现这一点。

首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。

根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。

根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。

实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。

拉氏逆变换的公式拉氏逆变换（Laplace Inversion）是拉普拉斯变换（Laplace Transform）的逆运算，用于将拉普拉斯变换的结果逆向转换回原来的函数。

拉氏逆变换的公式是一个积分表达式，可以通过计算积分来得到原函数的表达式。

拉普拉斯变换是数学中一种重要的变换方法，常用于解决常微分方程和偏微分方程的问题。

它能够将一个定义在实数轴上的函数转换为一个复变量的函数，从而使得原来的函数在复平面上的性质更加明确和易于分析。

设$f(s)$是一个函数在复平面上的拉普拉斯变换，记为$F(s)$，则其拉氏逆变换的公式可以表示为：\[f(t) = \frac{1}{2πi}\int_{c-i∞}^{c+i∞} e^{st}F(s)ds\]其中，$c$是一个常数，确保所有的奇点（即$F(s)$在复平面上发散的点）都位于复平面上的一个左半平面内，$i$是虚数单位，$s$是复变量。

公式中的积分路径称为瑕积分路径（Bromwich contour），它是一条从$c-i∞$到$c+i∞$的线段，再加上两个无穷远的半圆弧，构成一个封闭曲线。

这个路径的选取是为了保证积分路径上不存在任何奇点。

瑕积分路径上的积分则被称为瑕积分（residue integral）。

在实践中，计算拉氏逆变换的公式并不是一件简单的任务。

这是因为瑕积分路径上的积分通常是无法直接计算出来的，需要借助于复变函数理论和瑕积分的计算技巧。

常用的计算瑕积分的方法有留数法（Residue Method）和柯西积分公式（Cauchy's Integral Formula）等。

当然，也存在一些拉普拉斯变换对应的函数的拉氏逆变换公式可以直接使用，而无需进行繁琐的计算。

以下是一些常见的拉普拉斯变换和其对应的拉氏逆变换公式：1.常数函数：\[F(s) = \frac{K}{s} \Rightarrow f(t) = K\]2. 单位阶跃函数（Heaviside函数）：\[F(s) = \frac{1}{s} \Rightarrow f(t) = 1\]3.指数函数：\[F(s) = \frac{1}{s-a} \Rightarrow f(t) = e^{at}\]4.正弦函数：\[F(s) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \Rightarrow f(t) =\sin(\omega t)\]5.余弦函数：\[F(s) = \frac{s}{s^2+\omega^2} \Rightarrow f(t) =\cos(\omega t)\]这些是一些简单的拉氏逆变换公式，可以帮助我们快速将一些常见的拉普拉斯变换结果转换回原函数。

拉氏逆变换拉氏逆变换，又称为拉普拉斯反变换，是数学中的一种重要变换方法，常用于信号与系统、电路分析、控制理论等领域。

拉氏逆变换可以将频域中的函数转换为时域中的函数，从而帮助我们更好地理解信号的时域特性。

拉氏逆变换的基本定义是：给定一个复变量函数F(s)，如果存在一个复变量函数f(t)，使得拉普拉斯变换L[f(t)] = F(s)，那么f(t)就是F(s)的拉普拉斯逆变换，并记作L^(-1)[F(s)] = f(t)。

在实际应用中，我们通常需要通过已知的拉普拉斯变换求解出对应的拉普拉斯逆变换。

具体而言，我们可以利用拉普拉斯逆变换的一些基本性质和公式进行求解。

我们需要了解一些基本的拉普拉斯逆变换公式。

对于常见的拉普拉斯变换函数，如常数函数1、指数函数e^(-at)、正弦函数sin(ωt)和余弦函数cos(ωt)，我们可以通过查表或直接推导得到它们的逆变换函数。

在实际应用中，我们经常会遇到一些复杂的拉普拉斯变换函数，此时可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质、平移性质、频移性质、微分性质和积分性质等进行求解。

对于拉普拉斯变换函数F(s) = G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别是已知的拉普拉斯变换函数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质得到F(s)的逆变换函数。

对于拉普拉斯变换函数F(s-a)，其中a为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的平移性质得到F(s-a)的逆变换函数。

对于拉普拉斯变换函数F(s-b)，其中b为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的频移性质得到F(s-b)的逆变换函数。

对于拉普拉斯变换函数F'(s)，其中F'(s)是F(s)的导数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的微分性质得到F'(s)的逆变换函数。

对于拉普拉斯变换函数∫F(s)ds，其中∫F(s)ds是F(s)的积分，我们可以利用拉普拉斯逆变换的积分性质得到∫F(s)ds的逆变换函数。

通过灵活地运用这些性质和公式，我们可以将复杂的拉普拉斯变换函数转化为简单的拉普拉斯逆变换函数，从而求解出函数在时域中的表达式。

复习：1.拉氏变换的性质.2. 拉氏变换的公式.讲授新课课题引入: 在实际工作中经常会遇到这样问题,已知象函数F(s)，求它的象原函数f(t)，这时则称f(t)是F(s)的拉氏逆变换，可以记为 L -1[F(s)]＝f(t)在求象原函数,要结合拉氏逆变换性质,通过查表10-1解得结果.拉氏逆变换性质设 )()]([11s F t f L =,)()]([22s F t f L =)()]([s F t f L = 1. 线性性质)()()]()([21211t bf t af s bF s aF L +=+-（a ，b 为常数）2.平移性质 )()]([)]([11t f e s F L e a s F L at at ==---3.延滞性质)()()]([1a t u a t f s F e L at -⨯-=-例1 求下列函数的拉氏逆变换：(1) 31)(+=s s F ； (2) 2)3(1)(-=s s F ； (3)252)(s s s F -= ； (4) 434)(2+-=s s s F 。

解 (1)由表10-1中的4,取3-=a 。

得t e s L t f 31]31[)(--=+= (2)由表10-1中的4，取1,3==n a 。

得t te s L t f 3111])3(1[)(=-=+- (3)由性质1及表10-1中公式2、3得]1[5]1[2]52[)(21121sL s L s s L t f ---+=-= (4) 由性质1及表10-1中7、8得t t s L s s L s s L t f 2sin 232cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=--- 练习: 习题10.3 (1)说明: 在应用拉氏变换解决实际问题时，经常遇到的函数是有理式，一般先将其分解为部分分式之和，然后再利用拉氏变换表求出像原函数。

例2 求659)(2+++=s s s s F 拉氏逆变换。

第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。

一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。

解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。

例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。

解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。

例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。

解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。