拉氏变换及反变换

拉氏变换及反变换公式3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。

拉氏变换及反变换公式3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss is A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1 r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

第十三章拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。

§13-1 拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。

教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。

教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为:e-st dt式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频率。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。

F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。

通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

三、几个常见函数的拉氏变换1．2．§13-2 拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

教学重点：拉普拉斯变换的性质。

教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。

根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。

唯一性的证明从略。

二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有：[证]：根据拉氏变换的定义可得[例]：求的拉氏变换。

拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。

按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。

几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。

所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。

令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。

机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。

按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。

几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为当，则。

所以（）图单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。

令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以）同理）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。

其幅值和作用时间的乘积等于1，即。

如图所示。

图单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，，故积分限变为。

5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为见图所示。

图单位速度函数单位速度函数的拉氏变换式为利用分部积分法令则所以当时，,则（）6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为如图所示图单位加速度函数其拉氏变换式为（）拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。

拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。

本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。

1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。

以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。

（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。

（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。

其中ω为正弦信号的频率。

2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。

（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。

（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。

3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。

（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。