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2014-2015年高中选修2-1 2.1 曲线与方程课件及练习题含详解-2.1.1

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人教A版高中数学选修2-1课件曲线和方程(2)

人教A版高中数学选修2-1课件曲线和方程(2)

直线 BC 的斜率
kBC＝
x
y
5
（x≠5）；
由题意，得 kACkBC＝m，
所以， y × y ＝m（x≠±5）． x5 x5
写成
x2 － y2 ＝1（x≠±5）．
25 25m
一、转移代入法
这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y) 依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F例(x1’: ,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程 已知点A(3，0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y>0)， ∠AOP的Q平为分AP线中交点PA于Q，求点Q的轨迹方程．
求证：不论m取任何实数，方程 (3m＋4)x＋(5－2m)y＋7m－6＝0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出 这一点的坐标。
8 是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。
y2 x2
y x
已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0),
且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(m 0),试探求
顶点C的轨迹方。程
解：设 C（x，y）．由已知，得 直线 AC 的斜率
kAC＝
x
y
5
（x≠－5）；
三、参数法
根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的 坐标x和y，间接地把坐标x和y联系起来，得到用参数表示 的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的 交点P的轨迹方程．
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上

人教A版高中数学选修2-1课件2.1《求曲线的方程》(第二课时).pptx

人教A版高中数学选修2-1课件2.1《求曲线的方程》(第二课时).pptx
上式两边平方，并整理得x+2y－7=0.①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0,x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
2.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
通过美丽的南沙群岛中，在甲岛、乙岛军舰巡逻的路线引入新课 ，在回顾曲线与方程概念的基础之上，学习如何建立曲线的方程 。以学生自主探究为主，探究求曲线的方程的基本步骤，尝试用 代数方法研究几何问题。在几何问题代数化以后，注意检验是否 产生增解或漏解。 通过例1探讨求曲线方程的一般方法.通过例2说明检验是否产生 增解或漏解的重要性。通过这两个例题，了解坐标法的解题方法 ，明确建立适当坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线 上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节。 例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选 择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐 标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法 研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海 上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角 ，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个 方程吗？

高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.1 曲线与方程 课件2

高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.1 曲线与方程 课件2

则 该 双 曲 线 的 方 程 为 ( )
A ．5 x 2 4 y 2 1 5
y2 C.

x2
1
54
B. x2 y2 1 54
D ．5 x 2 5 y 2 1 4
【 点 评 】 熟 记 圆 锥 曲 线 的 标 准 方 程 形 式 及 圆 锥 曲 线 的 定 义 ． 求 标 准 方 程 时 ， 注 意 “先 定 位 ， 后 定 量 ”的 思 维 程 序 ．
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
特殊情形的检验．
2动点M的运动，导致Q点的运动，两相关
动点问题的轨迹方程求法常用坐标代入法， 即将要求动点的坐标表示已知动点坐标， 然后代入已知动点满足的方程求解．
备 选 题如 图 ， 已 知 点 A3,0， B3,0， 点 C 、 D 为
圆 x2y225上 两 相 异 动 点 ， 且 满 足 C BC D .若 点 P 在 线 段 C D 上 ， 且 P A D P B C ， 求 点 P 的 轨 迹 方 程 ．
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。

2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程

2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
返回目录
1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?

问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.

【人教A版】高中选修2-1数学：2.1.2-求曲线的方程-教学课件

【人教A版】高中选修2-1数学：2.1.2-求曲线的方程-教学课件

第二章　§2.1　曲线与方程2.1.2　求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学思考1　知识点一　坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案思考2　依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.答案梳理(1)坐标法：借助于，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .曲线的性质坐标系表示曲线的方程知识点二　求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解题型探究类型一　直接法求曲线的方程例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解答设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解答据题设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.解答类型二　代入法求解曲线的方程例2　动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.解答反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2　△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解答类型三　根据曲线的方程求两曲线的交点例3　过点M(1，2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解答结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.反思与感悟跟踪训练3　直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答当堂训练1.曲线y＝与xy＝2的交点是A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在联立方程组无解.答案解析√234512.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析√答案解析x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______.答案解析5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.因为点M(x0，y)在直线2x－y＋3＝0上，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.解析规律与方法求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.。

高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)

高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)

证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解， 即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习 第37页练习第1、2题 课堂作业 第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在 直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:

人教B版高中数学选修2-1课件2.1曲线与方程


将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程 ①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
建系设点
列式:动点的几何条件
代换:转换为代数方程 化简 利用坐标系 化形为数
这种方法叫直接法
审查
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l 的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当 的坐标系，求这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系 设点M(x,y)xOy, 是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足 1）建系设点 是B，
解：设 C（x，y） ．由已知，得 直线 AC 的斜率 y 参数法 : 选取适当的参数 kAC＝ （x≠－5） ； ,分别用参数表示动 x 得出轨迹的参数方程，消去参数， 5 点坐标x,y, 直线 BC 的斜率 x y 即得其普通方程。 写成 － ＝1（x≠±5） ． y 25 25m kBC＝ （x≠5） ； x5 由题意，得 kACkBC＝m，
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也 P M | MA || MB | 就是点M属于集合 由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
.
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.1.2 求曲线的方程

1
0＋9＋x1 x＝ ， 3
x1＝3x－9， 所以 y1＝3y.
因为点C(x1，y1)在曲线x2－y2＝18上运动，所以(3x
－9)2－(3y)2＝18，整理得(x－3)2－y2＝2，为所求轨迹方 程． 点评：代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y) 与相关动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动 点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，
变 式 迁 移
1．若A、B两点的坐标分别是(1,0)、(－1,0)，
且kMA· kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是什么？ 答案: x2＋y2＝1(x≠±1)
栏 目 链 接
题型二 例2
定义法求曲线方程 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的
任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦， P(x，y)为线段 OQ 的中 1 点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为 ，0. 2 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上，所以圆的 12 1 方程为x－ ＋y2＝ (0<x≤1)． 2 4
代入法求曲线方程
例3 已知△ABC的两个顶点 A、 B的坐标分别为
A(0,0), B(9,0)，顶点C在曲线x2－y2＝18上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解析：设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，顶点 C(x1，y1)， 则由三角形重心公式得
栏 目 链 接
0＋0＋y y＝ ， 3
2
＋
(y－4)2＝ 4x2＋4y2，

(人教)高中数学选修2-1【精品课件】2-1 曲线与方程


课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
目标导航
预习引导
(2)求曲线的方程的步骤 ①建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的 坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; ③用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0; ④化方程 f(x,y)=0 为最简形式; ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤⑤可以省略不写,如有 特殊情况,可以适当说明.另外也可以省略步骤②,直接列出曲线方程.
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
目标导航
预习引导
1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
例 1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系: (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|=2 之间的关系; (2)到两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy=5 之间的关系; (3)第二、四象限角平分线上的点与方程 x+y=0 之间的关系. 思路分析:按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.

人教版高中数学选修2-1第二章曲线与方程教育课件


y
l (x-ay)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
r
x O
C(a, b)
O
y
y=ax2(a>0)
x
x
O
这些曲线和方程到底是怎样一个关系呢，这就是 我们本节来探讨的内容？
探究新知
曲线和方程之间有什么对应关系：
（1）探求平分一、三象限直线l与方程x-y=0之间 的关系？
平分一、三象限的直线 l 曲线
点(x,y)与圆心C(a,b)距离为r 条件
(xa)2(yb)2r
y (x-a)2+(y-b)2=r2 (x-a)2 +(y-b)2 =r2 方程
●(x,y) r
关系： (1)圆C上点的坐标都是方程
C(a, b)
(x-a)2 +(y-b)2 =r2的解;
O
x
(2)以方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
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2.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程 f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的 是( )
A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0 C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0
结论
这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程
的曲线
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程 f(x,y)=0即为曲线C的方程.( )
(2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程 F(x,y)=0的点不在曲线C上.( )
的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间是一一对应关系.因此平面曲线
可以理解为平面内符合某种条件的点的集合.
(4)从集合角度看:若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程
f(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B,则的交点坐标与相应方程组的解之间的关系 曲线C1,C2的方程分别为f(x,y)=0和g(x,y)=0.
【题型示范】
类型一 点与曲线的关系及应用
【典例1】
(1)点P(a+1,a+4)在曲线y=x2+5x+3上,则a的值是 .
(2)(2014·天津高二检测)若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a) (a∈R),则k的取值范围是 .
【解题探究】1.题(1)中由条件点P(a+1,a+4)在曲线y=x2+5x+3 上,能得出什么结论? 2.题(2)如何求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值?
【解析】选C.满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上,但曲线C上 的点的坐标不一定都适合方程F(x,y)=0,故A不正确;坐标不适 合F(x,y)=0的点,也可能在曲线C上,故B不正确;因为满足方程 F(x,y)=0的点都在曲线C上,故不在曲线C上的点必不适合方程 F(x,y)=0,故C正确,D不正确.
【即时练】
1.已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上,那么( )
A.曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
B.凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x,y)=0
D.不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y)=0,有些不适合
F(x,y)=0
【解析】选D.“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不 正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是 正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x0,y0)=0,但(x0,y0)∉C,即一定有不在曲线C上的点,其坐标满 足f(x,y)=0,故应选D.
【探究提示】1.由条件可得出点的坐标满足方程. 2.对y=ax2+bx+c配方得y=
b 2 4ac b 2 a(x ) ， 2a 4a
2 4ac b 当a>0时,y有最小值 ； 4a 2 4ac b 当a<0时,y有最大值 . 4a
【微思考】 (1)是否所有曲线都有相应的方程? 提示:不一定,有的曲线有方程,有的曲线就没有方程.如图,随 意画一条曲线,则求不出方程与之对应.
(2)怎样判断方程是曲线的方程? 提示:判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检 验曲线上点的坐标是否都适合方程,二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上.
f (x 0，y0 ) 0， (1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则 g(x 0，y0 ) 0.
f (x，y) 0， (2)交点的个数与 的解的组数相同. g(x，y) 0 f (x，y) 0， 特别地,C1与C2没有公共点⇔ 没有解. g(x，y) 0
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
问题 引航
1.曲线的方程和方程的曲线是如何定义的?只满足
一个条件是否可以? 2.如何判断一个方程是某条曲线的方程?
曲线的方程和方程的曲线的概念 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 前提 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: 条件 这个方程的解 ①曲线上点的坐标都是_____________; 曲线上的点 ②以这个方程的解为坐标的点都是___________
所以,y=-2,故点(1,-2)在曲线上.
答案:(1,-2)(答案不惟一)
x y 0， x 1， (2)由 得 x y 2 0 y 1.
答案:(-1,1)
2 2 (3)由点 ( m ， m) 在曲线x +(y-1) =10上,
所以 ( m ) 2 +(-m-1)2=10, 解得m=2或m= 18 . 答案:2或 18
5 5 2
2
【要点探究】 知识点 曲线的方程和方程的曲线
对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明 (1)定义中的条件①说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即 曲线上每个点的坐标都符合这个条件. (2)定义中的条件②说明符合条件的所有解构成的点都应在曲
线上.
(3)定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0
(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.
(
)
【解析】(1)错误,曲线的方程必须满足两个条件. (2)正确,根据曲线的方程和方程的曲线的概念,不满足方程 F(x,y)=0的点,显然不在曲线C上. (3)错误,以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上,如M(-4,6) 就不在线段AB上. 答案:(1)〓 (2)√ (3)〓
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)写出曲线xy-4x-3y=0上一点的坐标 (2)直线C1:x+y=0与直线C2:x-y+2=0的交点坐标为
2 2 (3)点A ( m ， m) 在方程x +(y-1) =10表示的曲线上,则
. .
2
m=
.
【解析】(1)取x=1,代入得y-4-3y=0,