第七章 时变电磁场

v v ∂D v (J + ) ⋅ ds = 0 ∫s ∂t
全电流的无散性和连续性
4、推广的安培回路定律的几点说明： 、推广的安培回路定律的几点说明： ①分布电流和时变的电场都是磁场的源
v v r ②位移电流 ∂ D / ∂ t 与分布电流 J 有着本质的区别，∂ D / ∂ t 的
存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。 ③定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时 变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。
π
π
8 频率为 f = 4 × 10 Hz ，写成对应的瞬时表达式。
解： 利用公式 j = e
j
π
2
将所给表达式写成模值和辐角的形式
π
2
H y = 120π e
j
e
− j[ ( x − 2 y − z )+ ] 3 4
π
π
= 120π e
− j[ ( x − 2 y − z )− ] 3 4
π
π
对应的瞬时分量表达式为
例7.1 试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明：①导线上的传导电流是 I = ∂ Q ∂ t 假设电容器极板面积为S，电荷在极板 上均匀分布，则 Q = ρ s S
K I
S
S1
v d ∂ ρs D 所以传导电流为 I =S ∂t S2 ②由导体的边界条件知 D = ρ s I ∂ D ∂ ρs Jd = = 则位移电流为 图7－1 接有电容器的电路 ∂t ∂t ∂ ρs ③因此 Id = Jd S = S =I ∂t ★位移电流作为传导电流的继续，从电极1 流到电极2
所以复矢量表达式为
π v j[ ( 2 x + ˆ E ( x, y, z ) = x120π e 3
3 y + z )− ] 4
π
ˆ − z 240π e
j[ ( 2 x + 3 y + z ) − ] 3 3
π
π
例7.3 已知一磁场分量的复振幅为
H y = j120π e
− j[ ( x − 2 y − z ) + ] 3 4
v ∇⋅D = ρ v v ∇× H = J v v ∂ B ∇× E = − ∂t v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
静态场结论 时变场结论
(
)
v ∇⋅J = 0
静态场成立 时变场不成立
∂ ρ =0 ∂t v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
2、推广的安培回路定律 、 麦克斯韦提出安培回路定律的修正 于是
π
3
(2 x + 3 y + z ) +
π
6
]
写出它的复矢量。
解： 首先利用三角关系将电场瞬时矢量的 z 分量写成余弦函数
v π π ˆ E ( x, y, z , t ) = x120π cos[2π × 10 6 t + (2 x + 3 y + z ) − ] 3 4 π π ˆ − z 240π cos[2π × 10 6 t + (2 x + 3 y + z ) − ] 3 3
n =1 ∞
非周期函数可以展开为付里叶变换
1 f (t ) = 2π
∫ −∞ F (ω )e
∞
jω t
dω
因此，不论对周期性或非周期性的时变电磁场，都可以通 过对正弦电磁场的数学变换来进行分析和求解。
一.
正弦电磁场的复数表示法
基础：正弦电磁场的时间变量和空间坐标变量可以进行分离 约定：用余弦函数表示正弦电磁场 1、振幅 、
v v v v F = Q(E + v × B) v v v v v v v f = ρ(E + v × B) = ρE + J × B
牛顿定律 量子力学
§7.3 正弦电磁场
时变电磁场随时间的变化规律可以有多种形式： 正弦波、方波、锯齿波、脉冲…… 按照付里叶理论 周期的函数可以展开为付里叶级数
f (t ) = B0 + ∑ [ An sin(nω t ) + Bn cos(nω t )]
s
3、媒质本构方程（辅助方程） 、媒质本构方程（辅助方程） 仅由麦克斯韦方程组的四个基本方程还无法求解出电磁场的 具体分布需要补充如下3个方程 v v v v B = µH D = εE
v v J =σE
通过对上述方程的分析，麦克斯韦预言了时变的电磁场将以波 的形式按光速传播 1/ µ0ε 0 = c 。并在1888年，由物理学家赫 兹首次用实验验证了上述预言的正确性。
r v 为了得到 J d 的表达式，进一步假设 ∇ ⋅ D = ρ 对时变场律： v v v ∂D ∇× H = J + ∂t v v v v ∂D v H ⋅ dl = ∫ ( J + ) ⋅ ds ∫l s ∂t
微分形式 积分形式
r 3、位移电流密度 J d 、
第七章 时变电磁场
§7.1 位移电流和推广的安培回路定律
1、问题的提出 、 前面各章的总结： ①高斯定理(库仑定律） ②安培回路定律（安培磁力定律） ③法拉第定律（电磁感应定律） ④电流连续方程（电荷守恒原理） ★考察①②在时变场中的适用性：
v v v v 对 ∇ × H = J 两边取散度，有 ∇ ∇ × H = ∇ J = 0
v v v v ˆ ˆ ˆ E ( r , t ) = xE x ( r , t ) + yE y ( r , t ) + zE z ( r , t ) v v v v v v ˆ ˆ ˆ = xE 0 x ( r ) cos[ω t + ϕ x ( r )] + yE 0 y ( r ) cos[ω t + ϕ y ( r )] + zE 0 z ( r ) cos[ω t + ϕ z ( r )]
v E x = E 0 x e jϕ x ，则表达式更为简洁 E x (r , t ) = Re[ E x e jω t ] 令
E x 称为复振幅 复振幅，一般是坐标变量的复函数，包含着振幅和初相信息 复振幅
★为避免混淆
v E x (r ) 或 E x ( x, y, z ) ，也可简写成 Ex 复振幅写成 v 瞬时值写成 E x (r , t ) ，也可以简记为 E x (t ) v E 0 x (r ) ，也可简记为 E0 x 振幅写成
3、复矢量 、 利用复数的基本运算法则，电场表示为
v v ˆ ˆ ˆ E (r , t ) = x Re( E x e jω t ) + y Re( E y e jω t ) + z Re( E z e jω t ) ˆ ˆ ˆ = Re[( xE x + yE y + zE z )e jω t ] v jω t = Re[ Ee ] v v 上式称为电场矢量 E (r , t ) 的复数表示法 v ˆ ˆ ˆ E = xE x + yE y + zE z 称为电场强度的复矢量 复矢量
①来源
v v v v ∂D ∂E ∂P Jd = = ε0 + ∂t ∂t ∂t
a. 电场随时间的变化率 b. 极化电介质的极化强度随时间的变化率 v v ∂D ②全电流密度 J + 全电流密度 ∂t ③全电流连续性方程 全电流连续性方程 v v v ∂D 对 ∇× H = J + 两边取散度，得 ∂t v v ∂D ∇ ⋅ (J + )=0 ∂t 积分形式为
、
r P ( r ) 点的正弦电场写作 例：将
v v v 其中 E0 x ( r ), E0 z ( r ), E0 y ( r ) v v v ϕ x (r ), ϕ y (r ), ϕ z ( r )
ω = 2π f
f
振幅 初位相 角频率 频率
只与位置有关 单位：rad / s 单位：Hz 或 s-1
v v ∇ × E = − jωB v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v v D =εE v v B = µH v v J =σE 这组复矢量的方程组称为麦克斯韦方程组的复数形式 麦克斯韦方程组的复数形式， 麦克斯韦方程组的复数形式 或复麦克斯韦方程组 复麦克斯韦方程组。 复麦克斯韦方程组
若作一闭合曲面S包围电极1，则：传导电流 I 流入闭合面为负值 位移电流 Id 流出闭合面为正值 闭合面S上总电流满足全电流连续性方程
§7.2 麦克斯韦方程组
1、微分形式 、 ①描述宏观电磁现象的基本方程组
v v v ∂D ∇× H = J + ∂t v v ∂ B ∇× E = − ∂t v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
它的各分量就是每个瞬时分量的复振幅。 ★特别强调指出： 特别强调指出： ①复振幅和复矢量都只是场点坐标的函数或常量，因此在它们 的表达式中不应出现时间变量 t ； ②而瞬时场矢量或分量都是实数域内的函数，在它们的表达式 中不能出现复数的标记 j 。
例7.2 已知一电场的瞬时矢量为
v π π ˆ E ( x, y, z , t ) = x120π cos[2π × 10 6 t + (2 x + 3 y + z ) − ] 3 4 ˆ − z 240π sin[2π × 10 6 t +
H y ( x, y, z , t ) = 120π cos{8π × 108 t − [ ( x − 2 y − z ) − ]} 3 4
π
π
二.
麦克斯韦方程的复数形式
v v v ∂ D(t ) ∇ × H (t ) = J (t ) + ∂t
考察瞬时安培回路定律
利用复数表达式 得
因为取实和微分可互换顺序，则 v jωt v jωt v jωt ∂ Re[(∇ × H )e ] = Re[ Je ] + [Re( De ) ] ∂t v v jωt = Re[( J + jω D)e ] 因此可以得到安培回路定律的复数表示 v v v ∇ × H = J + jω D