2012第四章时变电磁场

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chapter 04时变电磁场

矢量位和标量位的方程
①
②
关于动态位和达朗贝尔方程的讨论
引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解：
原因：1、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2、矢量位方向与电流方向相同；从达朗贝尔方程可知：电荷是产生标量位的源，电流是产生矢量位的源动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的
坡印廷定理的物理意义设区域V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可能通过边界流出，或因对V中电荷做功而消耗，即流出能量减少量 = 流出量 + 消耗量
d - wdV dt V

Σ
S dΣ

V
J EdV

n
E, H

V

坡印廷矢量
量流密度有关的矢量，称为坡印廷矢量. 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）
jwt jwt Re[(e x E xm e y E ym ez E zm )e ] Re[ Em e ] e E e E e E Em D Re[ D e j t ] x xm y ym z zm m jt e ] H Re[ H e j t ] J Re[ J m m j t jt Re[ me ] B Re[ Bm e ]
求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量
kE 0 2 ez cos 2 ( t kz )
0
0
1 T (3) S av 0 E (t ) H (t )dt T 2 kE0 T ez cos 2 ( t kz )dt 0T 0

第4章时变电磁场

⇒ ∇× H =
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令（洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程由麦氏第一方程设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝

第四章时变场

图变化的磁场产生感应电场
三、全电流定律
H dl JdS I l S H dl JdS i
l S1

H dl
l

JdS 0
S2
为了解决这个矛盾，麦克斯韦把电容器里的电流称之为位移电流，位移电流和传导电流统称为全电流。

动态位函数（动态位）
二、达朗贝尔方程
H J
D
t D B A A E t
A
2
A
2
A t
2

t
2
J ( A ) t
1 （ BH) H t 2 t D t H J B
D 1 （ D E) E E ( H J ) t 2 t 1 B （ B H ) H E E t 2 t

d dt

B
S
பைடு நூலகம்
t
dS
感生电动势，是变压器工作的原理，又称为变压器电势
图4.1.2 感生电动势
（2）、回路切割磁力线，磁场不变
d dt ( v B) dl
l

动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势
图4.1.2
动生电动势
（3）磁场随时间变化，回路切割磁力线

( v B )dl
l

B
s

( v B )dS
S

t B t

第四章时变电磁场-工程电磁场导论-冯慈章课件

电磁感应定律磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭合曲线。磁通连续性原理
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。高斯定律
返回上页下页
D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
返回上页下页
( H ) 0 D 所以 H J t
返回上页下页
A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经整理后，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量正弦电磁场分界面上衔接条件动态位A ,

达朗贝尔方程
返回上页下页
电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）

电磁场与电磁波第四章时变电磁场

电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁场..
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法或称瞬时表示法
只要把微分算子用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。

工程电磁场导论-第四章时变电磁场

H y z
d
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) A / m2
2. 分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，应用积分形式的基本方程：
法向分量
lD dS q
电场的切向分量 lB dS 0
布，不存在电流，则在分界面处的边界条件为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
折射定律
n
B1
1 1,1
2
B2
2,2
tg1
B1t B1n
1H1t
B1n
tg 2
B2t B2n
2 H 2t
H2n
tg1 1 tg2 2
n
D1
3 1,1
4
D2
2,2
tg3
D1t D1n
1E1t
dt
S t
称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。
感生电动势
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2）磁场不变，回路运动切割磁力线
f qv B
E f vB
e dm
q (ν B) dl
dt
l
称动生电动势，是发电机工
作原理，亦称发电机电势。
若B均匀，且l、B、v三
者垂直，则
动生电动势
e Blv
② 遵循麦克斯韦方程； ③ 电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。
上页下页
法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学家和化学家.他创造性地提出场的思想，磁场这一名称是法拉第最早引入的.他是电磁理论的创始人之一，于1831年发现电磁感应现象，后又相继发现电解定律，物

第4章时变电磁场 1PPT课件

电的磁磁场H 感都应J能定产律D 生：t 电麦场克lH 。斯d 韦l第二S(方J 程，D t)表d明S电全荷电和流定变律化
磁通连E续性原B理：表E明d磁l 场是无B 源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
合曲线。 t
l
S t
：旋表的明形B 电式荷产0以生发电散场的)。方SB式d产S生电0场 (变磁化通的连磁续场性以原涡理
2 t A
（2）
定义A 的散度 A 洛仑兹条件
t
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第四章
2 A
2A t 2
J
2
2
t 2
时变电磁场
达朗贝尔方程 (Dalangbaier Equation)
说明确定了 A的值，与 BA共同确定 A；
简化了动态位与场源之间的关系;
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2AJ
2/
洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
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第四章
时变电磁场
若激励源是时变电流源时
A(x,y,z,t)
J(x,y,z,tr) vdV （无反射）
4πV
r
达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取
决于 (tr/v) 时刻的激励源。又称 A，为滞后
位（Retarded Potential）。
电磁波是以有限速度 v 1 传播的，光
也是一种电磁波。
当场源不随时间变化时， A，蜕变为恒定
场中的位函数（拉普拉斯方程或泊松方程）。
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第四章
时变电磁场
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
Poynting Theorem and Poynting Vector

第4章时变电磁场(精简版)

r r r r E ( x, y , z , t ) = ex Ex ( x, y , z, t ) + ey Ey ( x, y, z, t ) + ez Ez ( x, y, z , t )
E x ( x, y , z , t ) = E xm ( x, y , z ) cos[ωt + φ x ( x , y , z )] = Re[ E xme j (ωt +ϕx ) ] E y ( x , y , z , t ) = E ym ( x, y , z ) cos[ωt + φ y ( x , y , z)] = Re[ E yme
v H
NJUT
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o
v v
v u
x
单位时间穿过闭合面S进入体积V 的电磁场能量
单位时间体积V 内变为焦耳热的电磁能量
体积V 内单位时间电场能量和磁场能量的增加
说明：(1） S
为时t 间t的函数，表示瞬时功率流密度；的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量(功率流密度)；的方向：电磁能量传播方向。
11
南京工业大学通信工程系
Ñ ∫
S
r r r J2 ∂W (E × H) ⋅ dS = −∫ dV − V γ ∂t
12
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v v v ∂W J2 −Ñ ∫ S (E× H) ⋅ dS = ∫V γ dV + ∂t
坡印亭定理
r r r 定义坡印亭矢量 S = E × H W/m2
v E
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NJUT
通信：利用电磁波进行信息的传输和通信雷达：利用电磁波进行目标的探测和测距

电动力学教程第4章时变电磁场

实振幅初相
利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学运算简化：
E x ( x, y , z, t ) Re[ E xm ( x, y , z )e j [t x ( x , y , z )] ] Re[ E xme jx e jt ] e jt ] Re[ E
xm
e jωt ] Ey ( x,y,z,t) Re[ E ym
*
式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积Ｖ的介质中所消耗的功率，即单位时间体积Ｖ中消耗的电磁能量；第
二项中的积分是体积Ｖ中的电磁能量，因此该项代表单位时
间体积Ｖ中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时间内，经边界Ｓ流入体积Ｖ的总的电磁能量，即流入功率 a P in - E H dS
H E μ t 4 E 0
2
E H ε t
H 代入(2)式 H με 2 0 t 再利用矢量恒等式和 (3)式 2 2 H H H H 可得到 2 H 2 的无 H με 2 0 t 波源动空同样地，(2)式两边取旋度后可得方间程电 2 磁 E 2 E με 2 0 场 t
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
S
另一方面，根据Poynting矢量的定义，单位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为 P S dA
A

电磁场与电磁波第四章

∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量，得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0

第4章时变电磁场1

2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（表示）－定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。称为坡印廷矢量的瞬时形式。瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式说明：说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义：坡印廷定理物理意义：物理意义流入体积V 流入体积V内的电磁功率等于体积V 等于体积V内电磁能量的增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的电磁功率之和。电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中，在时变场中，电、磁能量相互依存，相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2

第四章时变电磁场

物理意义：物理意义
r E
O
r H
能流密度矢量
r S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 r S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
r S
5
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过在导体为理想导体的情况下，的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传为有限值时，输的功率；（输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。表面进入每单位长度内导体的功率。
17
例4.5.2 已知电场强度复矢量
r r & Em (z) = ex jExm cos(kz z)
其中k 为实常数。其中 z和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量解
r r E(z, t) = Re[ex jExm cos(kz z)ejωt ]
π j(ωt + ) r = Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ] π r = ex Exm cos(kz z)cos(ωt + ) 2 r = −ex Exm cos(kz z)sin(ωt)
r r A(r , t) = A cos[ωt +φ(r )] 0
式中的A0为振幅、φ(r )为与坐标有关的相位因子。式中的为振幅、为与坐标有关的相位因子。利用三角公式其中
复振幅
实数表示法或瞬时表示法
r
r r r j[ωt +φ (r )] & (r )ejωt ] A(r , t) = Re{ A e } = Re[A 0

第4章时变电磁场

引入洛伦兹规范条件，引入洛伦兹规范条件，则方程简化为
2 2 ∂ϕ ρ ∇ ϕ − µε 2 = − ε ∂t v 2 v v 2 ∇ A − µε ∂ A = − µ J 2 ∂t
达朗贝尔方程
从达朗贝尔方程可以看出：从达朗贝尔方程可以看出：
v v v v v v ϕ (r , t )的源是ρ (r , t )，A(r , t )的源是J (r , t )
建立波动方程的意义：通过解波动方程，建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况。空间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。方程求解。
4.2 电磁场的位函数
4.2.1 矢量位和标量位
v v v (2) S (t ) = E (t ) × H (t ) v v kE0 = −ey E0 cos(ω t − kz ) × ex cos (ω t − kz )
kE0 2 v = ez cos 2 (ω t − kz )
ωµ 0
ωµ 0
v v 1 Tv 1 T v S av = ∫ S (t )dt = ∫ E (t ) × H (t )dt T 0 T 0 v 时间t无关。注： S av 与时间t无关。
三、例题已知无源的自由空间中，例1：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度 v v 为 E = e E cos(ω t − kz ) (V / m)
一、坡印廷定理坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系电磁能量守恒关系。坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
v v v v v ∂D ∇ (E × H ) ∇× H = J + v v v v ∂t ⇒ H ∇ × E − E ∇ × H v v v v ∂B v ∂B v v v ∂D ∇× E = − = − H ∂t − E J − E ∂t ∂t v v v v v ∂B v ∂D v v ⇒ ∇ (E × H ) = −H −E −E J ∂t ∂t

《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场

《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。

电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。

在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。

本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。

电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。

本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。

4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。

下面建立无源空间中电磁场的波动方程。

在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。

在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。

同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。

在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。

例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。

第四篇时变电磁场

电磁场理论
第 4 章时变电磁场
26
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示复矢量的麦克斯韦方程复电容率和复磁导率亥姆霍兹方程时谐场的位函数平均能流密度矢量
电磁场理论
第 4 章时变电磁场
27
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
时谐电磁场的概念
如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
电磁场理论
第 4 章时变电磁场
位函数的微分方程
D E
H
B
8
H
J
D
B
J
E
t
B A
E
A
t
t
A
J
(
A
)
t t
A ( A) 2 A
2 A
2A t 2
J
(
A
t
)
A
0
t
2
A
2 t
H
(
E )
t
(
H)
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
若为导电媒质，结果如何？
电磁场理论
第 4 章时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义位函数的性质位函数的规范条件位函数的微分方程
电磁场理论
第 4 章时变电磁场
5
引入位函数的意义引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。

第四章时变电磁场

∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ，其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。是常数，是常数求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意：注意：这里的矢量位及标量位均是时间空间函数时间、函数。这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它们与时间无关时，矢量位、们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位矢量磁位，静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位又称为标量电位标量电位。又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|

电磁场与电磁波课件之时变电磁场

无源空间中的波动方程无源空间中的波动方程空间中的
∂2E ∇ 2 E − µε 2 = 0 ∂t
矢量位标量位
∂2 H ∇ 2 H − µε =0 2 ∂t
∇× A = B
E+ ∂A = −∇ϕ ∂t
P173 2. 标量位与矢量位已知 ∇ ⋅ B = 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度即
B = ∇× A
称为电磁场的矢量位式中 A 称为电磁场的矢量位
将上式代入式 ∇ × E = − 即
∂ ∂B 中，得 ∇ × E = − (∇ × A) ∂t ∂t
∂A ∂A =0 ∇× E + ∂t
∂ϕ ∂t
洛伦兹条件
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得麦克斯韦方程
∂2 A ∂ϕ ∇ × ∇ × A = µ J − µε 2 + ∇ ∂t ∂t ∂A ρ + ∇ ⋅ ∇ϕ = − ∇ ⋅ ε ∂t

P175 达朗贝尔方程
∂2E ∇ × (∇ × E ) + µε 2 = 0 ∂t
∂E ∇× H = ε ∂t
∂2E ∇ E − µε 2 = 0 ∂t ∂t
2
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E
∇⋅E ≡ 0
∂2 E ∇ 2 E − µε 2 = 0 ∂t
同理
无源空间中无源空间中E 的波动方程
∂A 无旋场矢量场 E + 的梯度来表示为无旋场。可以用一个标量场 φ的梯度来表示 ∂t ∂A 即 E+ = −∇ϕ 称为电磁场的标量位式中 φ称为电磁场的标量位称为电磁场的 ∂t

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E ex Exm c os(t z) ey E ym sin(t z)
E
ey E0
sin(z ) c os(t
d
x)
E ex E0 sin(z) c os(t )
等,首先表达式要符合波动方程,其次另一个场量要客观存在,才能彼此相互激励（注意导体边界的影响）
E ex Em c os(t z),
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性
麦克斯韦方程组
波动方程
无源区的波动方程
在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒
质，则有
2E
2E t 2
0
2H
2H t 2
0
电磁波动方程
推证
H
Ε
Ε
t
H
t
H Ε
0 0
同理可得问题
2E
2E t 2
t B
t
B 0
D
均匀无耗媒质远场区
H
E
t
E
H
t
H
0
E
0
本章首先引入麦克斯韦方程组的解耦形式：波动方程（注意具体条件），探讨验证时变场各种可能的解的结构，提出平面波的波场结构（TEM波，TE波，TM波,注意习题4.2的通解表达）
提出时变场的为位函数与场源的关系：达朗贝尔方程（用于8.2节点电流辐射源的辐射场推导，习题4.12有关）
4.2 电磁场的位函数
问题的提出：对于有源区域的辐射场，波动方程将是非齐次的，无法直接应用。有源区域的辐射场求解需要借助于位函数，特别是矢磁位函数。
讨论内容
位函数的定义、作用位函数的性质位函数的规范条件位函数的微分方程
引入位函数的意义引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
B 0
Ε
B
A
t t
只规定旋度，散度
B A 没有规定
(Ε
A)
0
t
E
A
t
线性媒质有源区域如何求解？：
H J E
t
E H
t
•B 0
•D
位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数（( A、,)）和（A、）能描述同
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
E H ,一个场量已知，转换另一个场量当然首先要突破一个场量的求解
S AV
1 T
T (E H ) • dt 物理意义，具体计算
0
本章重要的基本结果：
*例4.3.1（电磁波传播的途径是介质而不是导体）
*习题4.3,4.1，4.4等，平面电磁波的波场结构不可能是纵波，可以是TEM、TE、TM、驻波等结构,TE/TM传播需要一定的频率条件
其次对于表达方程要明确如何展开和取舍（只限于直角坐标系下的平面波，球面波等结构通过其他途径整理）
10
2 Ex x 2
2 Ex y 2
2 Ex z 2
2 Ex t 2
0
2Ey x 2
E y y 2
2Ey z 2
2Ey t 2
0
有取舍的
2 Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位
消化对应的习题
波动方程的两个基本用途: *波动方程配合对应的麦氏方程组探讨可能的波场结构（只有平面波能有较简便的展开形式）
*用波动方程确定波参数及其传播条件
12
场量作为时间和空间的函数有许多可能的形式,如:
E ex Em c os(t x)
E ex Em c os(t z)
E ey Em c os[t ( x z)]
引入能流密度矢量，整理有耗媒质远场区的能量守恒关系：坡印廷定理以及时变场的唯一性定理，回答电磁能流的传播途径（例4.3.1）
引入场量的复数形式，在复数形式下改写有关方程，提出复介电系数和复磁导率的概念，定义复功率（复数形式下具有压缩表达，统一方程，简化计算等优点)
本章中有两个重要的计算类型
2 Ex z 2
2 Ex t 2
0 2 2
0
此TEM横电磁波的波参数对任何频率都成立
E
ey E0
sin(z ) cos(t
d
x)
2Ey x 2
2Ey z 2
2Ey t 2
0 2 ( )2 2
d
0
2 ( )2 尺寸一定时存在截止
d
频率, 频率足够高才能传播
*习题4.2 均匀平面波的通解结构
*习题4.12 点电流源的辐射场（推导来自第八章）
第一次课要点：
*了解波动方程（具体什么条件）下时变场的常见波场结构
*整理达朗贝尔方程，推导电偶极子的矢磁位和辐射场
4.1 波动方程（条件、作用）
问题的提出
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场间的相互作用关系
对TE、TM横电磁波的波参数需要一定的条件才能成为传播项，与TEM波截然不同
讨论习题4.1~4.4，注意习题4.2均匀平面波的通解表达（用波动方程的复数形式亥姆霍斯方程来论证）
思考：
*损耗媒质无源区域的波动方程是什么形式？与无耗媒质远场区比较，解的结构有什么变化？
*无耗媒质有源区域的波动方程是什么形式？（见习题4.5）
2 Ez
t 2
0
可能
2H x x 2
2H x y 2
2H x z 2
2H x t 2
0
2H y x 2
H y y 22 H z 2 H z 2 H z 0
x 2
y 2
z 2
t 2
再其次，要掌握如何用波动方程结合对应的麦氏方程组，验证可能的波场结构，准确判别平面波的波型（TEM,TE,TM,驻波等)
0
H
(
E )
t
( H )
2H
2H t 2
2 H
2H
0
t 2
什么条件下的产物？
若为有源空间，结果如何？若为导电媒质，结果如何？
还有没有其他形式？有何应用？
对于波动方程，首先要了解其某种具体形式存在的条件，式4.1.5，4.1.6继承的麦氏方程组本身的条件的同时，牺牲了场量相互制约的关系，符合波动方程的时变场的解只是麦氏方程组的解的必有条件，而不是充分条件
本章内容
4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场
本章概述：本章是时变场的导论。
第二章中麦克斯韦方程组和边界条件已经交代的时变场的场源形式（包括激励源，媒质（均匀或不均匀）中的感应源，边界上的感应源。
H
J
D
E

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