二次函数二次函数的概念及特殊二次函数的图像

二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于ab x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

练习：1.判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.(1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c2.m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数？1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则点A(ac ，bc)在（ ）．A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，对称轴是x =1，则下列结 论中正确的（ ）A ． a c >0B ． b <0C ． b a c 240-<D ． 20a b += 3、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知二次函数的图象如图所示，则在“①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A ．①②③④ B ．④ C ．①②③ D ．①④5题6题5、已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，下列结论中：① abc > 0；② b = 2a ；③ a + b + c ；④a – b + c ，正确的个数是（ ）.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）(A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点（1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

二次函数概念与性质【知识概要】1.二次函数的概念一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．2.二次函数图像特征二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．开口方向：抛物线的开口向上或者向下．对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．3.特殊二次函数的性质与图像◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：原点．◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：．一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．4.一般二次函数的性质与图像抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．对二次整式配方，得所以．将上式与作比较，得由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：直线．（3）顶点：．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．5.二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：（1）一般式：（a、b、c是常数，）；（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．6.求解析式的题型（1）根据实际问题列函数关系式根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系（3）用待定系数法求二次函数的解析式．确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．【典例精讲】1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．【解】（1）由题意，得，．∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．因为抛物线过点，所以，解得．所以，这个函数的解析式为．（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴．3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；（3）这个函数的值能否为负数？为什么？【解】（1）设所求二次函数的解析式为．因为函数图像过、、三点，所以，解这个方程组，得．因此，所求二次函数的解析式．（2）．所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．【课堂练习】二次函数概念1. 下列函数是二次函数的是_____________．A 、B 、C 、D 、解：A 、分母中含自变量，不是二次函数，错误；B 、表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；C 、式子变形为，是二次函数，正确；D 、式子变形为，不是二次函数，错误．故选C ．【说明】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后根据二次函数的定义作出判断．2. 若265(1)mm y m x --=+是二次函数，则_____________由题意得：；且；解得或；，∴．3. （1）形如的函数只有在______________的条件下才是二次函数．（2）取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？（3）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？解：（1）,,a b c 都是常数，且．（2）由，得且．当m 取不等于0，也不等于1的任意实数时，函数是以为自变量的二次函数．（3）若函数是以为自变量的一次函数，则，得．4.下列各式中，一定是二次函数的有①；②；③；④；⑤（a，b，c为常数）；⑥（m为常数）；⑦（m为常数）．解：①，含有两个自变量，不是二次函数；②，是二次函数；③，是一次函数；④，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤（a，b，c为常数），不一定是二次函数；⑥（m为常数），一定是二次函数；⑦（m为常数）不一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．5.已知函数，当_____________时，图象是一条直线；当m_____________时，图象是抛物线；当m_____________时，抛物线过坐标原点．解：根据一次函数的定义可知：，；根据二次函数的定义可知：，时，图象是抛物线；当，且时，抛物线过坐标原点．故答案为：1，，．二次函数图像6. 分别通过怎样的平移可由抛物线的图像得到抛物线和的图像？解：抛物线由抛物线向左平移1个单位得到；抛物线由抛物线向右平移1个单位得到．7. 在同一直角坐标系中与（）的图像的大致位置是（ ）答案：D ．8. 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，第8题图 第9题图9.已知：函数c bx ax y ++=2的图象如上图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y10. 已知一次函数y ax c =+二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,它们在同一坐标系中的大-1 O X=1Y X3o-13 y x致图象是( ).11. 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作出该抛物线的大致图像．解：，所以该抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． 在对称轴两侧找出四点、、、以及顶点，描点，连线，如图所示．【说明】描点画图时，要根据抛物线的特点，一般先找到顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次联结各点，注意顶点处不要画成“尖角”．【说明】（1）对的顶点坐标可直角用顶点坐标公式，这里是直接配方得．（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴及两轴的交点等主要环节．12.二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）（0，3），对称轴1x =-。

二次函数及其图象xx年xx月xx日CATALOGUE目录•定义与性质•开口方向与顶点坐标•一般式与顶点式•极值的概念与性质•最大利润问题•与一次函数的联系与区别01定义与性质二次函数形如$f(x) = ax^{2} + bx + c$的函数，其中$a \neq 0$。

顶点二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。

对称轴二次函数的图像关于对称轴$x = -\frac{b}{2a}$对称。

开口方向根据$a$的正负性，决定函数的开口方向，$a > 0$时，函数开口向上；$a < 0$时，函数开口向下。

当$a > 0$时，函数在顶点处达到最小值；当$a < 0$时，函数在顶点处达到最大值。

当$b^{2} - 4ac < 0$时，函数有两个不同的实数根；当$b^{2} - 4ac = 0$时，函数有一个实数根；当$b^{2} -4ac > 0$时，函数没有实数根。

当$a > 0$时，函数在区间$(-\infty,-\frac{b}{2a})$上单调递增，在区间$(-\frac{b}{2a}, +\infty)$上单调递减极值点零点区间单调性02开口方向与顶点坐标当二次项系数a大于0时，函数图像开口向上，顶点为最低点。

开口向上当二次项系数a小于0时，函数图像开口向下，顶点为最高点。

开口向下开口方向顶点式如果一个二次函数的形式为y=a(x-h)^2+k，则其顶点坐标为(h,k)。

一般式如果一个二次函数的形式为y=ax^2+bx+c，则其顶点坐标可以通过配方得到，具体为y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2]。

顶点坐标03一般式与顶点式1一般式23表达式：$y = ax^{2} + bx + c$描述了二次函数的基本形式，其中a、b、c为系数，a不为0。

代表了二次函数的普遍形式，可以用于描述各种不同的二次函数。

二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。

一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。

二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。

2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。

4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。

三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。

2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。

平移的距离与|b|成正比。

3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。

平移的距离与|c|成正比。

四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。

2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。

五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。

2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。

3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。

总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。

二次函数的定义及特点二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的数学函数，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。

特点一：二次函数的图像是抛物线。

抛物线可以是开口向上的，也可以是开口向下的，这取决于二次项系数a的正负。

特点二：二次函数的对称轴垂直于x轴，具有形如x=-b/(2a)的垂直线对称轴方程。

特点三：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，具有形如(-b/(2a),f(-b/(2a)))的坐标。

特点四：二次函数的自变量x在整个实数范围内都有定义，即定义域为全体实数R。

特点五：二次函数的值域的范围是根据二次项系数a的正负而定。

若a>0，则值域为[f(-b/(2a)),+∞)，即抛物线开口向上的情况；若a<0，则值域为(-∞,f(-b/(2a))]，即抛物线开口向下的情况。

特点六：根据二次函数的图像，可以分析二次函数的零点和极值。

零点是函数图像与x轴的交点，是方程ax² + bx + c = 0的根；极值则是函数图像的最高或最低点，是顶点坐标的纵坐标值。

特点七：二次函数的导数是一次函数，导数函数f'(x) = 2ax + b，而且对于开口向上的二次函数，导数恒大于0；对于开口向下的二次函数，导数恒小于0。

特点八：二次函数的最大值或最小值是在其顶点处取得的，与一次函数不同，二次函数的最大值或最小值唯一存在。

特点九：二次函数与x轴的交点个数根据二次方程ax² + bx + c = 0的判别式来确定。

若判别式Δ = b² - 4ac > 0，则有两个不同实根，即抛物线与x轴有两个交点；若Δ = 0，则有一个重根，即抛物线与x 轴有一个交点；若Δ < 0，则无实根，即抛物线与x轴无交点。

特点十：二次函数的图像可以通过平移图像、伸缩图像、翻转图像等操作来得到其他二次函数的图像。

根据平移、伸缩和翻转的参数不同，可以得到不同形状和位置的抛物线图像。